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108 | 2008
Annuaire du Collège de France 2007-2008
Résumé des cours et travaux 108e année
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles

Théorie des nombres

Don Zagier
p. 105-114

Notes de la rédaction

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.

Texte intégral

Cours : Fonctions de Green et valeurs spéciales de fonctions L

1Le thème du cours de cette année était le lien entre les valeurs spéciales des fonctions L motiviques (et de leurs dérivées) d’un côté et les invariants algébro-géométriques des objets auxquels ces fonctions sont liées de l’autre. Les invariants en question, du type « régulateur généralisé », se calculent à l’aide de fonctions spéciales telles que les fonctions logarithme ou polylogarithme dans les situations les plus simples et des fonctions de Green dans des situations plus générales.

Travaux d’Euler

2L’année 2007 ayant été le 300e anniversaire de la naissance d’Euler, le cours a commencé par un aperçu historique des travaux d’Euler sur les fonctions zêta.

3[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Fonctions zêta motiviques

4[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Valeurs spéciales

5[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Le régulateur dans la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

6[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Valeurs des fonctions zêta de Dedekind et polylogarithmes

7[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Fonctions L des courbes sur en s = 2

8[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Valeurs des fonctions de Green modulaires

9[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Cours à l’École normale supérieure : « Bouillon Mathématique »

10Dans le cours « Bouillon » de cette année on a présenté des méthodes explicites qui permettent de résoudre des diverses types de problèmes asymptotiques.

11[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Conférences invitées

12Bordeaux, octobre 2007 : Quantum modular forms. Conférence à l’occasion du 60e anniversaire d’Henri Cohen, Université de Bordeaux I.

Bonn, Allemagne, octobre 2007 : Verknotete Modulformen. Conférence à l’occasion du 80e anniversaire de Friedrich Hirzebruch, Universität Bonn.

Banff, Canada, octobre 2007 : Modularity and three-manifolds. Conférence sur « Low-dimensional Topology and Number Theory », Banff International Research Station.

Paris, novembre 2007 : Les « mock theta functions » de Ramanujan (d’après Zwegers et Bringmann-Ono). Séminaire Bourbaki, Institut Henri Poincaré.

Lille, décembre 2007 : Les fausses formes modulaires. Colloque, Université de Lille I.

Bonn, Allemagne, janvier 2008 : The Riemann zeta function and the Selberg zeta function as determinants. Workshop « Random matrices and number theory », Hausdorff Mathematics Institute.

Bonn, Allemagne, janvier 2008 : Gaussian periods and finite projective planes.Number Theory Seminar, Max-Planck-Institut für Mathematik.

Bonn, Allemagne, janvier et février 2008 : Asymptotic methods (deux conférences). Conférences pour membres de l’école doctorale « IMPRS », Max-Planck-Institut für Mathematik.

Paderborn, Allemagne, janvier 2008 : Warum ich von Primzahlen träume. Conférence populaire dans le cadre du programme « Zahlen, bitte! », Nixdorf-Zentrum.

Bonn, Allemagne, février 2008 : Spectral decomposition and the Rankin-Selberg method. Second Japanese-German number theory workshop.

Amsterdam, Pays-Bas, février 2008 : Mock theta functions and their applications. Colloquium, Universiteit Amsterdam.

Utrecht, Pays-Bas, février 2008 : Finite projective planes, Fermat curves, and Gaussian periods.Colloquium Universiteit Utrecht.

Amsterdam, Pays-Bas, février 2008 : Modular Green’s functions. Intercity number theory seminar « L-functions and friends ».

Dublin, Irlande, avril 2008 : Gaussian periods and finite projective planes. Colloquium, University College Dublin et Trinity College.

Dublin, Irlande, avril 2008 : The amazing five-term relation. Conférence populaire, Trinity College.

Dublin, Irlande, avril 2008 : Modular forms and not-so-modular forms in mathematics and physics. Workshop on Gauge Theory, Moduli spaces and Representation Theory, Trinity College.

Vienne, Autriche, avril 2008 : Quantum ideas in number theory and vice versa. Conférence plénière à l’occasion du 15e anniversaire de l’Institut Ernst Schrödinger.

Baton Rouge, Louisiana, États-Unis, avril 2008 : The « q » of « quantum » (trois conférences). Porcelli Lectures 2008, Louisiana State University.

Austin, Texas, États-Unis, avril 2008 : Mock modular forms. Number theory seminar, University of Texas.

Bonn, Allemagne, mai 2008 : Diophant und die diophantischen Gleichungen. Conférence pour lycéens, Max-Planck-Institut für Mathematik.

Bar-Ilan, Israël, mai 2008 : Differential equations and curves on Hilbert modular surfaces. Conférence « Hirz80 » en l’honneur du 80e anniversaire de Friedrich Hirzebruch, Université de Bar-Ilan.

Haifa, Israël, mai 2008 : The mysterious mock theta functions of Ramanujan.Colloquium, University of Haifa.

Bonn, Allemagne, juin 2008 : Das Geheimleben der Zahlen. Conférence d’intérêt général dans le cadre du programme « Mathe für alle—Vorlesungen im Freien ».

Bielefeld, Allemagne, juin 2008 : On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer. Conférence générale dans la série « Jahrtausendprobleme der Mathematik ».

Bonn, Allemagne, juin et juillet 2008 : Periods of modular forms (trois conférences). Conférences pour membres de l’école doctorale « IMPRS », Max-Planck-Institut für Mathematik.

Bonn, Allemagne, juillet 2008 : Von Zahlentheorie zu Knotentheorie zu Quantentheorie. Conférence populaire, « Nacht der offenen Tür » du Max-Planck-Institut für Mathematik.

Bayreuth, Allemagne, juillet 2008 : Diophantische Gleichungen: 2000 Jahre alt und noch nicht gelöst. Conférence spéciale dans le cadre du Tag der Mathematik de l’Université de Bayreuth.

Bonn, Allemagne, juillet 2008 : Mock theta functions, indefinite theta series and wall-crossing formulas. Workshop on Mirror Symmetry, Hausdorff Institute for Mathematics.

Bonn, Allemagne, juillet 2008 : Teichmüller curves and modular forms. Workshop on Codes, Invariants and Modular Forms, Max-Planck-Institut für Mathematik.

Tokyo, Japon, août 2008 : q-series and modularity. Algebra Colloquium, Tokyo University.

Tokyo, Japon, août 2008 : The mathematics of and around Seki Takakazu as seen through the eyes of a contemporary mathematician. International Conference on History of Mathematics in Memory of Seki Takakazu, Tokyo University of Science.

Autres missions et activités

13Bonn, Allemagne, février 2008 : Entretien enregistré avec Deutschlandfunk, diffusé le 12 mai 2008.

Bonn, Allemagne, mars 2008 : Entretien enregistré avec WDR, diffusé le 29 avril 2008.

Bar-Ilan, Israël, mai 2008 : Beirat (comité scientifique), Emmy Noether Institute.

Utrecht, Pays-Bas, mai 2009 : Membre du jury, thèse de Oliver Lorscheid (« Toroidal automorphic forms for function fields »), Universiteit Utrecht.

Bonn, Allemagne, juin 2008 : Rapporteur et membre du jury pour la thèse de mon étudiant Anton Mellit (« Higher Green’s functions for modular forms »), Universität Bonn.

Berlin, Allemagne, juin 2008 : « Mathematik im Gespräch », discussion publique avec R. Taschner, Akademientag, Deutsche Union der Akademien der Wissenschaften.

Paris, juin 2008 : Rapporteur et membre du jury, thèse de Sarah Carr (« Multizeta values : Lie algebras and periods on M0,n »), Université de Paris 6.

Publications et prépublications

14(avec L. Weng) Deligne products of line bundles over moduli spaces of curves. Commun. in Math. Phys. 281 (2008), no 3, 793-803.

Evaluation of S (mn). Appendice à « Low energy expansion of the four-particle genus-one amplitude in type II superstring theory » par M. Green, J. Russo et P. Vanhove, JHEP 02 (2008), 020, pp. 33-34.

Integral solutions of Apéry-like recurrence equations. A paraître dans Groups and Symmetries : From the Neolithic Scots to John McKay, CRM Proceedings and Lecture Notes of the American Mathematical Society, 47 (2008), Centre de Recherches Mathématiques, 18 pages.

Ramanujan’s mock theta functions and their applications (d’après Zwegers and Bringmann-Ono). Séminaire Bourbaki, 60e année, 2006-2007, no 986, à paraître dans Astérisque, 20 pages.

(avec A. Zinger) Some properties of hypergeometric series associated with mirror symmetry. Dans Modular Forms and String Duality, Fields Institute Communications 54 (2008), pp. 163-177.

Exact and asymptotic formulas for vn. Appendice à « Sequences of enumerative geometry : congruences and asymptotics » par D. Grünberg et P. Moree, pp. 21-24, à paraître dans Experimental Mathematics.

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Pour citer cet article

Référence papier

Cours et travaux du Collège de France. Annuaire 108e année, Collège de France, Paris, décembre 2008, p. 105-114. ISBN 978-2-7226-0082-9

Référence électronique

Don Zagier, « Théorie des nombres », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 108 | 2008, mis en ligne le 24 juin 2010, consulté le 19 février 2018. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/134

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Auteur

Don Zagier

Professeur au Collège de France

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Droits d’auteur

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