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112 | 2013
Annuaire du Collège de France 2011-2012
Résumé des cours et travaux 112e année
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles

Équations aux dérivées partielles et applications

Pierre-Louis Lions
p. 109-115

Notes de la rédaction

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.
Les vidéos du cours sont disponibles sur le site Internet du Collège de France : www.college-de-france.fr/site/pierre-louis-lions.

Texte intégral

Cours : Jeux à champ moyen (suite)

1. Introduction

1Le cours, suite de celui de l’an dernier, poursuit la présentation d’une théorie nouvelle appelée théorie des « jeux à champ moyen », élaborée en collaboration avec M. Jean-Michel Lasry. L’objectif de cette théorie est d’introduire, de justifier, d’analyser et d’appliquer dans différents contextes une nouvelle classe de modèles mathématiques permettant d’étudier le comportement collectif d’un très grand nombre d’agents en interaction (ou de joueurs au sens de la théorie des jeux) qui tous souhaitent « optimiser » leurs décisions.

2Ces modèles peuvent être obtenus en considérant des équilibres de Nash à N joueurs et en faisant tendre N vers l’infini. Dans un cadre dynamique et d’espace d’état continu, ces modèles s’écrivent sous la forme de systèmes (d’un type nouveau) d’équations aux dérivées partielles (EDP en abrégé) non linéaires. Les équations ainsi obtenues sont très générales et contiennent comme cas particuliers de nombreux systèmes et équations classiques : équations elliptiques semi-linéaires, équations de type Hartree de la Mécanique quantique, les équations d’Euler compressible de la Mécanique des fluides, les équations cinétiques (Vlasov, Boltzmann, Fokker-Planck...), l’équation de la chaleur, les équations de type milieux poreux ou les équations du transport optimal (problème de Monge-Kantorovich)...

3La terminologie « champ moyen » fait référence à la Physique et à la Mécanique statistiques : dans ces cadres physiques, il s’agit de décrire le comportement global d’un très grand nombre de particules en interaction qui créent un champ dit moyen et dont la dynamique dépend de ce champ. De manière simplifiée, on peut dire que nous étendons cette approche en permettant à chaque agent de « choisir au mieux » ses décisions tout en tenant compte des « champs moyens » créés par les décisions des autres joueurs.

4Dans tout ce qui précède, nous avons implicitement admis que les joueurs sont « identiques » ou plus exactement « indistinguables ». Signalons que des variantes de la théorie permettent de considérer plusieurs catégories de joueurs, ou des caractéristiques variant (de manière aléatoire) d’un joueur à l’autre.

5Il est donc clair que la classe d’équations que nous obtenons par cette approche générale de modélisation est extrêmement vaste et que de très nombreuses questions notamment mathématiques se posent, dont beaucoup restent à résoudre. Le cours, d’une certaine manière, détaille quelques-uns des progrès accomplis durant l’année.

6Cette année, le thème abordé concerne le cas d’espaces d’état finis pour les joueurs et l’existence et l’unicité de solutions régulières dans ce cas.

2. Un cas modèle

7[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3. Le cas général

8[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

4. Termes du second ordre

9[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Cours et séminaire

10Cours: Le cours a eu lieu du 28 octobre 2011 au 13 janvier 2012.

Séminaire de mathématiques appliquées

1118 novembre : Ioannis G. Stratis (National and Kapodistrian University of Athens) : Electromagnetics in deterministic and stochastic bianisotropic media.

25 novembre : Pauline Lafitte (École Centrale de Paris) : Simulations numériques pour un modèle de transition de phase.

2 décembre : Fioralba Cakoni (University of Delaware, Newark) : Transmission Eigenvalues in Inverse Scattering Theory.

9 décembre : Nicolas Seguin (Laboratoire J.-L. Lions, Université Paris 6) : Étude de l’interaction entre une particule ponctuelle et un fluide de Burgers.

20 janvier : Massimo Gobbino (Université de Pise) : The Perona-Malik equation: an example of forward-backward parabolic PDE.

27 janvier : Stéphane Jaffard (Université Paris-Est Créteil Val de Marne) : Méthode d’analyse multifractale pour la classification de signaux et d’images.

3 février : Shih-Hsien Yu (National University of Singapore) : Boundary kernels for dissipative systems.

10 février : Yves Capdebosq (Université d’Oxford) : Sur la régularité des solutions en homogénéisation à forte conductivité et application.

9 mars : Frank Pacard (École Polytechnique) : Ondes stationnaires d’énergie finie et n’ayant aucune symétrie pour l’équation de Schrödinger non linéaire.

16 mars : Bartosz Protas (McMaster University) : Une enquête sur la précision de quelques estimations fondamentales en hydrodynamique à l’aide des méthodes variationnelles d’optimisation.

23 mars : Luis E. Silvestre (University of Chicago) : Partial regularity for fully nonlinear elliptic PDE.

30 mars : Gabriel Nguetseng (Université de Yaoundé) : Sigma-convergence d’équations du type Navier-Stokes.

6 avril : Ian Tice (Université Paris-Est Créteil) : Global well-posedness and decay for the viscous surface wave problem without surface tension.

4 mai : Franois Golse (École Polytechnique) : Effet régularisant non linéaire pour les lois de conservation hyperboliques.

11 mai : Matteo Novaga (University of Padova) : Variational problems in infinite dimensional spaces.

25 mai : Nicolas Rougerie (Université de Grenoble 1 et CNRS) : On the binding of polarons in a mean-field quantum crystal.

1er juin : Yvan Martel (Université de Versailles Saint-Quentin) : Explosion pour l’équation de Korteweg-de Vries généralisée L2 critique (travail en collaboration avec Frank Merle et Pierre Raphaël).

8 juin : Gabriel Stoltz (CERMICS-ENPC) : Évolution en temps des défauts dans les cristaux.

15 juin : Andrey Piatnitski (Narvik Univ. College & Lebedev Phys. Inst. RAS) : Homogenization of spectral problems with sign-changing weight function.

22 juin : Martin Golubitsky (Ohio State University) : Patterns of Synchrony.

Publications

12Convexity and non-convexity of option prices for SABR models. En collaboration avec M. Musiela.

Viscosity solutions and stochastic partial differential equations. Livre en préparation, en collaboration avec P.E. Souganidis.

Scalar conservation laws with rough (stochastic) fluxes. En collaboration avec B. Perthame et P.E. Souganidis.

Jeux à champ moyen (Résumé du Cours au Collège de France), Annuaire du Collège de France (2010-2011), Paris, 2012.

A discussion about the homogenization of moving interfaces. En collaboration avec P. Cardialaguet et P.E. Souganidis. J. Maths. Pures Appl., 91, 2010, p. 339-363.

Stochastic averaging lemmas for kinetic equations. En collaboration avec B. Perthame et P.E. Souganidis.

Homogenization approach for the numerical simulation of periodic microstructures with defects: proof of concept. En collaboration avec X. Blanc et C. Le Bris.

Missions, invitations, conférences

13Panel aux Rencontres Économiques d’Aix-en-Provence, « Le monde dans tous ses états », 10 juillet 2011.

Conférence à la Third Riemann International School of Mathematics, « Free Surface, Multiphase and Multiphysics Problems », Verbania (Italie), 28 septembre 2011.

Conférence à l’Université de Chicago (USA), 12 octobre 2011.

Conférence au Mercantile Exchange Center, Chicago (USA), 14 octobre 2011.

Conférence à l’Université de Chicago (USA), 18 octobre 2011.

Conférence à l’Université de Chicago (USA), 19 octobre 2011.

Conférence au Congrès « Analysis and numerics of Partial Differential Equations » (in memory of Enrico Magenes), Pavia (Italie), 3 novembre 2011.

Conférence au Stevanovich Institute, Chicago (USA), 7 novembre 2011.

Conférence à l’Université de Chicago (USA), 18 janvier 2012.

Conférence à l’Université de Chicago (USA), 20 janvier 2012.

Conférence à l’Université de Chicago (USA), 25 janvier 2012.

Conférence à l’INRIA, Sophia-Antipolis, 11 avril 2012.

Conférence « Charlemagne » au RWTH Aachen, Aachen (Allemagne), 18 avril 2012.

Conférence publique au Centre Culturel Français, Budapest (Hongrie), 7 mai 2012.

Lauréat du Grand Prix INRIA, Collège de France, 14 juin 2012.

Conférence plénière au SIAM annual meeting, Minneapolis (USA), 12 juillet 2012.

Responsabilités collectives et fonctions diverses

14Membre de l’Académie des Sciences ; de l’Académie des Technologies ; de l’Académie des Sciences d’Italie, d’Argentine et du Brésil ; de l’Istituto Lombardo et de l’Académie de Naples, de la TWAS, de l’Academia Europea.

Professeur à temps partiel à l’École Polytechnique.

Conseiller scientifique à l’INRIA.

Président du Conseil d’Administration de l’ENS.

Président du Conseil Scientifique de l’Institut Louis Bachelier.

Président du Conseil Scientifique de France Telecom.

Président du Conseil Scientifique de la Chaire de Finance et Développement Durable de l’Université Paris-Dauphine.

Président du Conseil Scientifique de l’Initiative de Recherche « Finance post-crise ».

Président du Conseil Scientifique de ParisTech.

Président du Conseil Scientifique du projet EMMA.

Président du jury du prix « Science et Défense ».

Membre du Haut Conseil de la Science et de la Technologie.

Membre du Conseil Scientifique de l’Institut Europlace de Finance.

Membre du Scientific Advisory Panel de l’European Mathematical Society.

Membre fondateur du Comité International de l’« International Summer School of Applied Mathematics », Morningside Institute, Chinese Academy of Sciences.

Membre de l’International Advisory Board de l’Institute of Mathematical Sciences de l’Imperial College.

Membre du Conseil Scientifique de la Fondation du Risque.

Membre du Conseil d’Administration et du Conseil Scientifique de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris.

Membre du Conseil d’Administration de la Fondation d’Entreprise Natixis.

Membre de la Société des Amis du Palais de la Découverte.

Membre de l’International Advisory Board of the Scuola di Dottorato in Scienze Astronomiche, Chimiche, Fisiche e Mathematiche « Vito Volterra ».

Membre du Conseil Scientifique du BCAM (Basque Centre for Applied Mathematics).

Conseiller Scientifique auprès de BNP PARIBAS, EADS-ST et IEF.

Fondateur de MFG R&D.

Éditeur en chef du Journal de Mathématiques Pures et Appliquées.

Éditeur de 45 revues internationales.

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Pour citer cet article

Référence papier

Cours et travaux du Collège de France. Annuaire 112e année, Collège de France, Paris, avril 2013, p. 109-115. ISBN 978-2-7226-0198-7

Référence électronique

Pierre-Louis Lions, « Équations aux dérivées partielles et applications », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 112 | 2013, mis en ligne le 22 novembre 2013, consulté le 19 février 2018. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/690

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Auteur

Pierre-Louis Lions

Membre de l’Institut (Académie des sciences), professeur au Collège de France

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Droits d’auteur

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