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« Égalité des lignes spirale et parabolique. Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur A. D. D. S. » ou Pascal et l’exhaustion

Explication de texte
Claude Merker
p. 163-214

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Texte intégral

Pourquoi Pascal a écrit cette Lettre

  • 1 À la suite des trois autres Lettres, celle de Monsieur Dettonville [pseudonyme de Pascal] à Monsie (...)

1Trois des quatre Lettres qui enferment l’ensemble du Calcul infinitésimal de Pascal se basent sur une méthode des indivisibles dont la définition et les ressorts lui appartiennent en propre. Seule cette Lettre à Monsieur A. D. D. S. fait exception car elle fait appel à une méthode de vingt siècles plus ancienne, la méthode d’Archimède1.

2Pourquoi cette Lettre, différente des trois autres ? Le point de départ est un désaccord portant sur un résultat de géométrie alors qu’en géométrie il n’y a normalement pas de place pour la contestation :

Il y a environ quinze ans que Monsieur Hobbes crut que la ligne courbe d’une parabole donnée était égale à une ligne droite donnée. Monsieur de Roberval dit ensuite qu’elle était égale à la ligne courbe d’une spirale donnée ; mais sans en donner de démonstration autrement que par les mouvements, […] ; et comme cette manière de démontrer n’est pas absolument convaincante, d’autres géomètres crurent qu’il s’était trompé, et publièrent que cette ligne parabolique était égale à la demi-circonférence d’un cercle donné.

3Rien n’empêche, a priori, que la ligne courbe d’une parabole donnée ne soit égale à la fois à une ligne droite donnée, et aussi à la ligne courbe d’une spirale donnée et aussi à une telle ligne courbe que l’on choisira, pourvu qu’on le montre « de manière absolument convaincante », après avoir bien délimité les segments de courbe de longueur présumée égale, et sans erreur logique, ce qui ne devait pas être le cas. Alors Pascal décide d’examiner par lui-même la question, et, c’est ce qui nous importe ici, précise qu’il ne va prendre ni la méthode des mouvements, ni celle des indivisibles, mais la méthode des anciens (comprendre la méthode d’exhaustion d’Archimède), afin que la chose soit « désormais ferme et sans dispute ».

Je résolus d’examiner moi-même si la ligne à laquelle on peut comparer la ligne parabolique donnée est une ligne droite, ou une spirale, ou une circonférence de cercle. C’est ce que je voulus chercher comme si personne n’y avait pensé ; et sans m’arrêter, ni aux méthodes des mouvements, ni à celles des indivisibles, mais en suivant celle des anciens, afin que la chose pût être désormais ferme et sans dispute. Je l’ai donc fait, et j’ai trouvé que Monsieur de Roberval avait eu raison et que la ligne parabolique et la spirale sont égales l’une à l’autre.

  • 2  Par deux fois Pascal, dans un long avertissement, affirme qu’il n’y a pas de vraie différence entr (...)

4Ainsi, même pour Pascal, qui écrit, dans la Lettre I, en substance, que la méthode des indivisibles est aussi sûre que celle des anciens à laquelle d’ailleurs elle se ramène très facilement2, celle des anciens restes, tout de même, la plus sûre… Il est difficile de faire abstraction du foisonnement de paradoxes nés de méthodes d’indivisibles, même si l’on voit bien qu’ils sont inventés avec artifice et que l’on n’y croit pas vraiment.

5N’a-t-on jamais entendu parler d’un paradoxe engendré par la méthode d’exhaustion des anciens ? Inconcevable ! La pure raison géométrique y est seule à l’œuvre, fait un travail « ferme et sans dispute ». À aucun moment il n’est nécessaire de faire appel à l’intuition. L’exhaustion a beaucoup de défauts, elle est lourde, ne donne pas ses motivations, exige de repartir de zéro chaque fois, mais elle est irréprochable du point de vue de la raison.

6La première méthode des indivisibles, celle du traité de Cavalieri paru en 1635, a subi sous la pression des paradoxes bien des remaniements jusqu’à son faîte, en 1658 avec la Lettre I de Pascal (le vaste Traité de la Roulette). Bien que toutes les réalisations ultérieures de la méthode native de Cavalieri portent le même nom de méthode – ou doctrine – des indivisibles, elles finissent par être fort différentes les unes des autres. Les indivisibles de Cavalieri ont une dimension de moins que le continu dans lequel ils sont découpés ; ceux de Roberval et Torricelli sont homogènes à ce même continu, ils en sont les infiniment petits ; il est plus difficile de dire rapidement ce que sont ceux de Pascal. Le seul point commun à toutes ces méthodes d’indivisibles est la nécessité, à un moment ou à un autre, de faire un saut confiant dans l’intuition ; la seule raison ne suffit pas à les justifier, ils ont pour eux la certitude, l’évidence, l’heuristique, mais pas complètement la raison. Ce fait durera longtemps encore après les découvertes de Leibniz et Newton.

7Je vois dans la relation entre la méthode des indivisibles et la méthode des anciens un écho de la relation entre le cœur et la raison telle qu’elle apparaît dans un célèbre fragment de la liasse Grandeur des Pensées.

  • 3 Pensées, fragment 142, dans l’édition Ph. Sellier (c’est-à-dire toute édition établie – à la suite (...)

Nous connaissons la vérité non seulement par la raison, mais encore par le cœur. […] Nous savons que nous ne rêvons point, quelque impuissance où nous soyons de le prouver par la raison ; Cette impuissance ne conclut autre chose que la faiblesse de notre raison, non pas l’incertitude de toutes nos connaissances, comme ils [les pyrrhoniens] le prétendent3.

8La méthode d’exhaustion qui est celle de Pascal dans cette Lettre à Monsieur A. D. D. S. fait appel à la seule raison ; tandis que la doctrine des indivisibles à l’œuvre partout ailleurs dans les écrits infinitésimaux pascaliens se situe toujours à un moment du côté du cœur : certaines assertions imparfaitement démontrables par la raison au xviie siècle (notamment pour conclure au moment où tout s’évanouit, en anticipant l’idée de limite) ont l’absolue certitude de ce « nous savons que nous ne rêvons point ». Certitude improuvable, ce « nous savons que nous ne rêvons pas » nous laisse sans voix, mais nous savons. Le court-circuit de la raison qui a lieu lors d’une démonstration par les indivisibles – créés par une seule règle, ceux qui n’engendrent pas de paradoxes – de Cavalieri, la plus « hors raison » de toutes les méthodes d’indivisibles n’empêche pas que nous savons qu’elle dit juste. Pourtant, à moins de la dénaturer en déformant son principe même, elle continue d’être improuvable.

9En passant faisons remarquer que la méthode native de Cavalieri est la seule dont la définition est à la fois définition de nom et définition de chose ; toutes les autres s’appellent méthode des indivisibles en souvenir de leur ancrage originel dans celle de Cavalieri, mais elles devraient plutôt s’appeler méthode des divisibles si la définition de nom n’avait tous les droits.

  • 4  Le Traité des trilignes rectangles et de leurs onglets qui se trouve dans OC IV, p. 442-468. Les q (...)
  • 5  Émile Picard a ainsi qualifié la Lettre I, à cause des techniques modernes (changement de variable (...)

10L’apport de Pascal au calcul infinitésimal n’est certes pas du côté de l’exhaustion, mais réside dans la création, dans la Lettre I d’une méthode des indivisibles déconnectée de son nom (que Pascal lui donne en passant çà et là) qui est une méthode à différentielles géométriques dûment conceptualisées et soumises à de continuelles métamorphoses justifiées dans le deuxième des sept traités qui composent la Lettre4. « Le premier traité de calcul intégral », a-t-on dit5.

11Au-delà de son contenu mathématique, cette Lettre à Monsieur A. D. D. S. démontrant par exhaustion l’égalité des lignes spirale et parabolique est une œuvre d’art qui combine l’art de l’architecte dans la répartition des volumes avec la finesse de l’orfèvre dans le ciselage logique, graphique et notationnel des figures. Sans compter le savoir théorico-pratique de l’ingénieur mêlé à celui du chef de chantier qui prévoit tout ce dont il aura besoin pour le tenir prêt.

12Il est fort probable que cette démonstration d’une articulation inouïe – voir la complexité de la figure séparée et des deux démonstrations-phares qu’elle régit – est la dernière qui respecte les canons de la méthode par exhaustion des anciens.

  • 6  OC IV, p. 391

13D’après les arguments convaincants que J. Mesnard donne dans sa notice consacrée aux Lettres de A. Dettonville (pseudonyme de Pascal dans toutes les Lettres) le destinataire de cette Lettre à Monsieur A. D. D. S. a toutes les chances d’être Monsieur Arnaud Docteur De Sorbonne6.

14Le parti pris par Pascal dans cette Lettre est de faire appel uniquement à des raisonnements irréfutables, c’est bien le parti de la raison, car la raison met tout le monde d’accord. Mais on comprend, après lecture de cette Lettre pourquoi, au xviie siècle, on a préféré faire appel pour le calcul de l’infini à des méthodes plus légères, et finalement aussi sûres dans leurs résultats, sinon dans leurs fondements.

La marche d’approche : Lemmes de cercle, spirale et parabole vues pour elles-mêmes, figures encadrantes, correspondance

Cercles

15Pascal a placé en tête de la Lettre cinq propriétés de cercle sans en donner les causes finales.

I
Si la touchante EV (dans la fig. 33) est perpendiculaire au rayon AE, et que, l’arc EB étant pris moindre qu’un quart de cercle, on incline BV, faisant avec la touchante l’angle BVE aigu ; Je dis que toute la portion BV sera hors du cercle.

II
Si d’une extrémité du diamètre (dans la fig. 35) est menée la touchante SN, et de l’autre extrémité G, la droite GN, qui la coupe en N, et le cercle en X ;
Je dis que la droite SN est plus grande que l’arc SX.

III
Si la touchante SL (dans la fig. 34) étant perpendiculaire au diamètre SG, est égale à l’arc SX moindre qu’un quart de cercle ;
Je dis qu’en menant les droites SX, XL, les trois angles du triangle XSL sont aigus.

IV
Si la touchante S8 (fig. 36), étant prise plus grande que le diamètre SG, auquel elle est perpendiculaire, l’on mène au centre la droite 8T, coupant le cercle au point Y ;
Je dis que quelque point qu’on prenne dans l’arc SX [comprendre dans l’arc SY], comme X, dont on mène SX coupant T8 en Q, la portion 8Q est plus grande que l’arc SX.

16Ce lemme IV a un aspect baroque. Comme il y a dans cette fig. 36 des points d’énoncé et des points de démonstration, je donne en plus une sous-figure simplifiée ne montrant que ce qui se lit dans l’énoncé

V
Si l’arc du cercle EB (fig. 37), moindre qu’un quart de cercle, est égal à la touchante EV, perpendiculaire au rayon AE ; 
Je dis que l’angle EAV sera plus grand que la moitié de l’angle EAB.

17À partir d’hypothèses métriques portant sur des angles, le Lemme I a une conclusion topologique, une extériorité par rapport à une courbe fermée. Plusieurs Lemmes rectifient sans état d’âme des arcs de cercle.

18Ces Lemmes de cercle n’évoquent rien de connu. Avant même de lire le texte on sait que Pascal les a mis là, au début, pour les avoir à disposition lorsque cela sera nécessaire. La spirale est la seule des deux courbes dont la définition fait appel au cercle, ils ont sûrement à voir avec elle (le Lemme IV semble bien adapté à une majoration de circonscrite pour la spirale). De plus ils sont une bonne entrée en matière puisque le cercle est un objet connu, même si ces Lemmes le concernant n’ont pas un air de déjà vu. Les énoncés sont simples, les preuves ingénieuses. Cette ingéniosité ne sera rien auprès de l’étonnement admiratif que suscitera leur mise en œuvre très pascalienne dans cette Lettre.

19NB. En dehors de ces cinq figures de cercle, il y a dans la Lettre trois autres figures qui sont reproduites une fois dans l’explication de texte et une autre fois à la fin dans la partie dépliable, ceci pour permettre de les avoir sous les yeux facilement à tout moment.

Spirale vue pour elle-même

20Juste après apparaissent dix propriétés de la spirale, presque toutes énoncées sans démonstration. Rappelons que la spirale d’Archimède est la ligne que trace un point animé d’un double mouvement : partant du point A, il se déplace sur le segment AB (le rayon AB) d’un mouvement uniforme pendant que le rayon AB tourne autour du point A d’un mouvement uniforme et les deux mouvements sont réglés de manière que le point arrive en B en même temps que le rayon finit d’accomplir son tour complet. Abrégeons la citation :

[…] le rayon AB est divisé en autant de portions égales que l’on voudra aux points A, Y, 4, 3, B ; et les arcs menés de ces points autour du centre commun A, [coupent] la spirale aux points C, D, X, etc.

21Ainsi, sur la grande figure (fig. 38, ci-dessous) Pascal a marqué les points A, X, D, C, B (B est le point de fin de première révolution si on tourne en partant de A). Les lignes qui repèrent les points de la spirale sont les arcs de cercles extérieurs : le point D est repéré par A4, ou AD (son rayon) et par l’arc 4HD, son arc extérieur ; C par son rayon, A3 ou AC, et par l’arc extérieur 3FC ; pour le point B l’arc extérieur est le cercle de première révolution entier, tandis que pour le premier point l’arc extérieur est l’arc YX ou l’arc Y9 appelé à jouer un rôle de brique élémentaire dans ce qui va venir. Dans la suite le mot rayon, pour le « point quelconque C » de la spirale, désignera indifféremment A3, le rayon resté en place, ou AC, le rayon qui a tourné, c’est-à-dire le rayon du cercle extérieur.

22Avant que la géométrie de Descartes ne soit entrée dans les mœurs, les équations de courbes s’écrivent sous une forme qui préserve la dimension ; les ordonnées sont entre elles comme les carrés des abscisses (parabole), les arcs extérieurs sont entre eux comme les carrés des abscisses (i.e. rayons) (spirale). Rien qu’à écrire cela on voit tout de suite des accointances entre la spirale et la parabole, cela n’avait, bien sûr, échappé ni à Archimède, ni à Cavalieri, Roberval ou Fermat, etc.

23Après avoir exprimé l’« équation » de la spirale à la manière du xviie siècle, Pascal détache deux propriétés évidentes, uniquement pour attirer l’attention. Se reporter à la grande figure, on y voit :

5. Que ce moindre arc Y9, pris autant de fois que l’arc BE est dans sa circonférence [six fois sur la figure], est égal au plus grand arc BE.
6. Que ce moindre arc Y9 est égal au dernier arc extérieur de la spirale YX [au premier arc extérieur si l’on fait le choix, comme ici, de tourner dans l’autre sens].

24Les quatre dernières propriétés, relatives aux tangentes à la spirale, sont cruciales pour la suite. Pascal suppose que l’on sait :

  • 7  Dans la suite on se référera très souvent à ce point 7. de cette manière : pour un point donné, on (...)
  • 8  C’est la proposition XX, p. 269 du tome I. Les œuvres complètes d’Archimède, trad. Paul Ver Eecke, (...)

7. Que l’angle aigu que fait la touchante à un point quelconque de la spirale C avec son rayon AC se trouvera en faisant un triangle rectangle dont la base soit ce rayon AC, et la hauteur soit égale à l’arc extérieur CF3. Car alors l’angle de la touchante avec son rayon sera égal à l’angle que l’hypoténuse d’un tel triangle rectangle fait avec sa base.7
Archimède démontre par la méthode d’exhaustion cette propriété dans le livre Des Spirales8.

25Ce triangle de construction n’apparaît pas naturellement sur la figure de la spirale, il faut le faire exprès, en plus. Sur la grande figure il y en a un greffé autour du point A, c’est le triangle YAG car l’arc YX ou Y9 est étalé en YG (Pascal va le dire bientôt), et ainsi l’angle de tangence en X est l’angle YAG (triangle de construction d’Archimède), supérieur à la moitié de l’angle de découpage de la grande figure (cet angle de découpage est l’angle BAE), car nous sommes exactement dans la situation du Lemme V, voir ci-dessous après l’énoncé de la propriété 10.

26De la propriété 7. découle la 8. La tangente en A est le rayon AB lui-même, et à mesure que le rayon grandit, l’angle grandit aussi.

8. Que la touchante de la spirale au point A est la même que le rayon AB, et que les touchantes aux autres points font toujours avec les rayons menés de ces points des angles d’autant plus grands que le point d’attouchement est plus proche de B.

27La démonstration est faite soigneusement pour ce résultat auquel on s’attend car, en imaginant les tours successifs, la spirale ressemble de plus en plus à un cercle et l’angle rayon – tangente de plus en plus à un angle droit.

28Sans que cela soit dit, l’énoncé de la propriété 8. est pour un mouvement continu, à preuve l’énoncé de la suivante, la 9. qui revient au discontinu du découpage (pour avoir un plus petit angle) et répète, à part cela, strictement ce qu’a dit la 8. Le plus petit des angles (le point A étant hors concours) est celui que fait le rayon avec la touchante en X, et le plus grand est celui qui a lieu au point B. Pascal attire l’attention sur ce premier point de découpage, comme en témoigne la dernière propriété, la 10.

10. Que le moindre des angles des touchantes avec leurs rayons est plus grand que la moitié de l’angle compris par deux rayons prochains qui enferment l’un des arcs égaux ; savoir la moitié de l’angle BAE.

29C’est à ce moment que Pascal construit le triangle de tangence en X évoqué ci-dessus. L’arc YX ou Y9 est étalé en YG, ce qui donne le triangle de tangence d’Archimède, pour le point X, on est exactement dans la situation du Lemme V de cercle, les points A, Y, G, 9 de cette propriété 10. étant, dans cet ordre, les points A, E, V, B du Lemme V. On a la conclusion tirée du Lemme V qui nous dit que l’angle de tangence en X est plus grand que la moitié de l’angle YA9 ou BAE. Comme les angles de tangence en les autres points sont tous plus grands que celui en X, on retient de tout cela :

30Pour un découpage donné, avec la propriété 10, nous disposons d’un minorant uniforme pour tous les angles entre rayon et tangente : la moitié de l’angle du découpage.

31Pendant que nous sommes dans les angles de tangence – particulièrement celui en X – et leur figure de construction, anticipons un peu, il y a un deuxième endroit où l’on détecte la présence de ce Lemme V. J’ai dit que Pascal ne donnait pas les causes finales des Lemmes de cercle, mais ce n’est pas complètement vrai, il la donne ici, par ses notations, car la figure du Lemme V est exactement, et cette fois avec les mêmes lettres, la partie BAEV en haut à droite de la grande figure.

32Encore faut-il avoir, interpellés que nous sommes par cette similitude de notations, survolé le texte de la Lettre pour avoir repéré que la définition du point V est la même les deux fois : V est le point de la tangente en E tel que le segment EV soit égal à l’arc EB dans les deux cas.

33Ce que l’on sait du triangle de tangence au premier point X est reporté là. L’angle de tangence en X, c’est-à-dire angle YAG, se lit en angle EAV dans le quadrilatère « pseudo-losange » EABV.

34Cet angle de tangence en X est supérieur à ½ angle YA9 (ou ½ angle YAX ou encore la moitié de l’angle de découpage BAE).

35En résumé, on lit dans le pseudo-losange EAVB un angle EAV minorant de tous les angles de tangence, et supérieur à la moitié de l’angle de découpage, laquelle moitié est l’angle BEV.

36Fin, pour le moment, de ces variations sur le thème du minorant de l’ensemble des angles de tangence pour un découpage donné. Pascal les a faites afin de nous préparer pour la suite.

37Avec Pascal, il faut souvent lire un peu partout un résultat que l’on voit à un endroit et la virtuosité ubiquiste de l’auteur requiert assez fortement l’attention des lecteurs.

38Il y a de fortes raisons d’insister sur les tangentes à la spirale car on sait d’avance leur rôle classique pour fabriquer une figure circonscrite. Une deuxième raison, particulière à la relation des deux courbes, apparaîtra plus loin, au moment de leur mise en correspondance.

Parabole vue pour elle-même

39La parabole est représentée deux fois ; sur la grande figure pour figurer à côté de la spirale, et sur la fig. 40, toute seule (encore que…), pour des raisons visuelles évidentes : démêler ce qui se passe autour du point A en ne représentant que 5 points sur le rayon AB au lieu des 7 points de la grande figure. Comparée à la grande figure, la figure 40 est à la fois plus simple – elle en est une sous-figure – et plus complète – elle fait voir le point S intersection de la touchante en Q avec l’axe de la parabole.

40Passons sur l’illogisme des lettres, qui sera fort gênant pour la dénotation M dans une démonstration cruciale à venir. La seule propriété dont parle Pascal dans cette section est celle-ci :

Soit AB (fig. 40) la touchante au sommet d’une parabole, divisée en tant de parties égales qu’on voudra aux points 3, 4, Y, d’où soient menés les diamètres ou les parallèles à l’axe, coupant la parabole en Q, 7, L. Et de ces points soient menées les touchantes jusques aux diamètres prochains QK, 75, LT, etc. ;
Je dis que toutes les portions des diamètres PK, Q5, 7T, LY, etc., comprises entre les touchantes et la parabole, sont égales entre elles.

41Il la démontre soigneusement. Chacun de ces segments est ce qu’on appelle habituellement « la différence entre la courbe et la tangente ». C’est une spécialité de la parabole que toutes ces différences soient égales en elles.

42On aperçoit dans l’énoncé ce qui justifie d’appeler des points par des noms de nombres ; Y est le premier de la subdivision, c’est logique qu’il ait un nom déterminé ; mais la subdivision est appelée à avoir une infinité de points, du coup les nombres sont plus adaptés pour les désigner que les 25 lettres de l’alphabet*. La construction de la tangente, par le moyen du point S symétrique du point M par rapport à A, est considérée comme trop connue pour être rappelée ici (il s’agit sur la figure 40 de la tangente en Q).

43*Roberval note aussi çà et là des points par des chiffres dans son traité des indivisibles.

44Le moment est arrivé de décrire les courbes inscrites et circonscrites aux deux courbes à comparer, les deux tours d’inscrites et deux tours de circonscrites, comme les appelle Pascal.

Les deux tours d’inscrites, le principe d’Archimède pour les longueurs, les deux tours de circonscrites

45Le plan est annoncé de manière très générale dans un Avertissement. Il est sous-entendu que les deux tours encadrent – en mesure – la ligne en question, pour cela il faut que la ligne ne change pas de concavité, sinon la circonscrite risquerait d’être plus petite que ladite ligne.

Je démontre l’égalité de la ligne spirale avec la parabolique en inscrivant et circonscrivant, tant à la spirale qu’à la parabole, des figures desquelles je considère seulement le tour, ou la somme des côtés.

46Suit la manière d’inscrire une figure en la parabole, sans surprise et sans problème (la ligne droite est le plus court chemin…), puis celle de circonscrire, toujours plus problématique puisqu’il faut un axiome de convexité qui va être énoncé entre les deux « manières ».

La manière dont je me sers pour inscrire et circonscrire ces figures est telle.
POUR INSCRIRE UNE FIGURE EN LA PARABOLE
Soit (en la figure 38) une parabole dont AR soit l’axe, RP la base, AB la touchante au sommet, divisée en tant de parties égales qu’on voudra aux points 3, 4, etc., d’où soient menées les parallèles à l’axe, qui coupent la parabole aux points 7, Q, P, etc. Les accommodées PQ, Q7, etc., font une figure inscrite en la parabole, et c’est celle de laquelle je me sers, dont le tour est visiblement moindre que celui de la parabole, puisque (par la nature de la ligne droite) chaque accommodée est moindre que la portion de la parabole qu’elle sous-tend.

47Juste avant de donner et de justifier la manière de circonscrire Pascal énonce donc le principe d’Archimède dans un

Avertissement
Je suppose le principe d’Archimède : Que si deux lignes sur le même plan ont les extrémités communes, et sont courbes vers la même part, celle qui est contenue sera moindre que celle qui la contient.

48Puis il annonce la manière de circonscrire une figure à la parabole : PKQ57 etc., précise que le tour de cette figure est visiblement plus grand que la parabole puisque le principe d’Archimède est satisfait :

[…] les deux quelconques côtés liés QK plus KP (dont l’un est la touchante et l’autre la portion extérieure du diamètre) sont plus grands que la portion de la parabole qu’ils enferment, puisqu’ils ont les extrémités P, Q, communes, et que la parabole est courbe vers la même part.

49Chaque élément de circonscrite est une ligne brisée constituée d’une partie verticale, toujours la même en longueur, on l’a vu, et d’une partie de tangente. Sauf le vocabulaire tout ceci est habituel.

50Passons à la ligne spirale.

51Les accommodées, comme dit Pascal, les cordes, comme on dit aujourd’hui, BC, CD, etc., font une figure inscrite en la spirale, le « tour d’inscrite », figure forcément moindre en longueur que la spirale, toujours à cause de ce plus court chemin entre deux points qu’est la ligne droite.

52Les éléments du tour de circonscrite à la spirale sont aussi des lignes brisées, mais dont une partie est courbe :

Soient des points C, D, etc. menées les touchantes de la spirale, jusques aux cercles prochains qu’elles coupent en M, N, etc. ; la figure BMCND composée des portions extérieures des arcs BM, CN, etc., et des touchantes MC, ND, etc., qui sera circonscrite à la spirale, est celle dont je me sers, et dont le tour est visiblement plus grand que celui de la spirale, puisque deux quelconques côtés liés BM, plus MC (dont l’un est un arc de cercle extérieur, et l’autre la touchante de la spirale), sont plus grands que la portion de la spirale qu’ils enferment, ces figures étant partout courbes vers la même part, et ayant les extrémités B, C, communes.

53C’est exactement le même parcours que celui effectué pour construire le tour de circonscrite à la parabole : partir d’un point sur sa ligne coordonnée, suivre la tangente en ce point jusqu’à la prochaine ligne coordonnée, emprunter alors cette ligne coordonnée jusqu’au prochain point de la courbe selon le découpage donné et recommencer.

54Les deux courbes sont encore autonomes, elles vont tout de suite acquérir un lien.

La correspondance entre les deux courbes et ses conséquences métriques

55Pour une spirale donnée, voici comment est choisie la parabole parmi toutes paraboles possibles :

Soit (dans la même figure 38) la droite AB le commencement d’une spirale de la première révolution ; et soit la même droite AB la touchante au sommet d’une parabole, dont l’axe AR soit égal à la moitié de la circonférence du grand cercle BEB, et la base RP égale au rayon AB. Cette parabole et cette spirale ayant cette condition seront dites correspondantes.

56Toutes les paraboles ont la même forme (d’ailleurs toutes les spirales d’Archimède aussi). Il suffit donc, la spirale étant donnée, de fixer la taille du segment de parabole, ce que vient de faire Pascal par deux conditions métriques. Les deux lignes sont alors dites correspondantes. Puis Pascal définit une correspondance point à point entre les deux lignes : d’un point de la parabole, comme Q, on emprunte la parallèle à l’axe Q3 jusqu’au point 3 situé sur le rayon, de là on suit le cercle extérieur à la spirale issu du point 3 jusqu’à sa rencontre avec la spirale, qui a lieu au point C. Alors les points Q et C sont dits correspondants. Définie de cette façon la correspondance n’a pas lieu du plan dans le plan mais d’une ligne sur une autre.

57La notion s’étend naturellement aux portions de courbes et à leurs cordes :

Et la portion de la parabole entre Q et P correspond à la portion de la spirale entre B et C. Et les inscrites CB, PQ sont correspondantes ; et par la même raison les inscrites DC, Q7.

Et un peu moins naturellement aux segments QZ et CE :

Et, si de ces points Q, 7, etc., sont menées les ordonnées QZ, 72, etc., la portion QZ correspond à la portion CE, et 72 à DF, etc.

58Seuls Q et C sont des points se correspondant… Mais il est vrai que le cheminement de Q à Z est analogue à celui de C à E : aller par le plus court chemin d’une ligne coordonnée à la suivante. De par leur fonction dans la logique du texte, QZ et CE se correspondent. Pascal ne dit rien de ce glissement de sens qui va de soi.

59D’autres correspondances, s’appuyant sur une identité de rôle, à partir de places se correspondant sont énoncées par Pascal :

Et la première portion PZ (égale à la première portion de l’axe, comprise entre les deux premières ordonnées) correspond à l’arc BE du premier cercle, compris entre les deux premiers rayons […]
Et le triangle rectangle PQZ correspond au triligne BEC, fait de l’arc BE et des droites BC, CE […].

Et aussi :

Et les touchantes de la parabole et de la spirale QK, CM, sont correspondantes, étant menées des points correspondants Q, C ; et la portion PK à l’arc BM, etc.

60Ces derniers exemples montrent clairement comment s’étend la notion de correspondance. Deux portions de chaque figure qui, partant de deux points correspondants, jouent le même rôle (exemple : partir de deux points qui se correspondent, emprunter la tangente jusqu’à la prochaine ligne coordonnée, continuer sur cette ligne coordonnée, s’arrêter en des points correspondants, etc.), sont déclarées d’office correspondantes. Les différentes mises en correspondance doivent être faites une à une, car celle du départ, point à point, ne détermine pas les autres qui sont d’identité de rôle, chose qui se voit sans ambiguïté, puisque les mots descriptifs sont rigoureusement les mêmes d’une courbe à l’autre.

61Une précision qui nous sera utile au moment de conclure, en comparant la démonstration de Pascal avec celle de Torricelli. On sait qu’au xviie siècle, on a coutume de « confondre localement la courbe avec la tangente » (comprendre « confondre les ordonnées »), ce qui procède d’une pensée parallèle d’ordres selon laquelle ce que l’on néglige est encore « infiniment » plus petit que ce que l’on garde, qu’il faut déjà penser « infiniment petit » : confondre l’arc de parabole arc QP avec le segment de tangente QK qui va du point de la parabole (Q) à la prochaine ligne cordonnée est pensé comme licite, la différence courbe – tangente KP étant pensée comme ce qu’elle est, i.e. du deuxième ordre. Cela se traduit sur les correspondants : confondre l’arc infinitésimal de spirale arc CB avec le segment de tangente CM donne lieu à une différence courbe-tangente égale à arc MB qui ne comptera pas au moment où tout s’évanouira. Le dessin est fait avec un maillage trop grossier pour que cela se voie, on voit plutôt le contraire… peu importe à Pascal qui s’interdit de raisonner comme cela dans la Lettre à M. A. D. D. S.

  • 9  Dominique Descotes, Blaise Pascal. Littérature et géométrie, Clermont-Ferrand, Presses universitai (...)

62On peut penser que toutes ces correspondances sont là pour familiariser avec la grande figure et habituer à passer d’une courbe munie de son environnement (lignes repères, tangentes, cordes, etc.) à l’autre. Mais il est sans doute aussi question d’une notion de correspondance plus générale ancrée dans la pensée de Pascal. Renvoyons à ce que dit Dominique Descotes sur la symbolisation qui a lieu entre deux courbes dont chacune est une figure de l’autre : « L’amateur d’exégèse figurative apprend avec intérêt que Grégoire de Saint-Vincent appelle symbolisation ce genre de comparaison, qui dévoile une convenientia, une similitudo de propriété entre courbes. […] Pascal parle en termes voisins de la correspondance entre la spirale et la parabole dans la Lettre à M. A. D. D. S. et des représentantes dans la Lettre à Huygens. Cette symbolisation établit une correspondance d’élément à élément entre les courbes, les points, les droites, les arcs et les trilignes qui rendent la parabole et la spirale figuratives l’une de l’autre. » Et aussi, toujours à propos de ces pièces méticuleusement mises en rapport une à une par Pascal dans la Lettre : « La démarche annonce celle qui, dans l’herméneutique des Figuratifs dans les Pensées associe les termes des prophètes avec les réalités spirituelles qu’ils symbolisent : on se trouve dans le cas où l’on sait qu’entre les deux réalités existe une relation symbolique (quod), mais où l’on ignore encore sa nature (quid).9 » Ce qui est le cas tant qu’on ne sait pas qu’il y a égalité entre les deux courbes.

63La grande figure dessinée pour des courbes correspondantes a déjà servi bien avant que ladite correspondance ne soit définie (ce qui a lieu tardivement, à peu près au milieu de la Lettre). Jusque-là les propriétés étaient des propriétés individuelles de chaque courbe, la mise en correspondance fait apparaître de nouvelles propriétés nées de leur rapport.

64Trois propriétés métriques naissent ainsi de la correspondance :

I
Si une parabole et une spirale sont en la condition supposée,
Je dis que, quelque point qu’on prenne dans la touchante AB, comme 3, la portion du diamètre extérieur, ou bien 3Q, comprise entre le point 3 et la parabole, est égale à la moitié de l’arc 3FC, passant par le même point 3 et extérieur à la spirale.

65Ce qui était à l’origine de la correspondance – le diamètre total de la parabole égal à la moitié du cercle de première révolution (le cercle extérieur final BEB) – est donc valable, on s’en doutait, pour tous les points. Avec le vocabulaire actuel, les ordonnées de la parabole sont toujours la moitié des ordonnées correspondantes de la spirale, c’est-à-dire les cercles extérieurs. Démonstration facile, avec les « équations ».

66Suit un Corollaire évident, simple application du général au particulier, plutôt conséquence immédiate que Corollaire, mis là, comme d’habitude, pour attirer notre attention sur l’arc Y9 qui joue un rôle d’unité dans cette Lettre :

Corollaire
D’où il s’ensuit que le moindre des arcs Y9, compris entre deux rayons prochains, est double du dernier [le premier, dans cet article] diamètre extérieur YL. Car ce moindre arc Y9 est égal au dernier [au premier, ici] extérieur YX, lequel est double de sa portion YL par cette proposition.

67Les points A, X, C, B de départ et d’arrivée de la spirale sont les points stratégiques pour les preuves à venir ; remarquons que Pascal les met en évidence dans ces énoncés métriques, les moindres détails sont pensés et exprimés d’avance dans le texte.

68La propriété II concerne les tangentes en des points correspondants, la démonstration est faite pour le « point quelconque » C.

II
Les mêmes choses étant posées,
Je dis que les angles que les touchantes de la spirale font avec leurs rayons sont égaux aux angles que les touchantes de la parabole font avec leurs ordonnées aux points correspondants.
Ou, ce qui est le même, que quelque point qu’on prenne dans la spirale, comme C, son correspondant Q dans la parabole, l’angle ECM du rayon du rayon avec la touchante sera égal à l’angle ZQK de l’ordonnée ZQ avec la touchante QK.

69On veut donc : angle ECM = angle ZQK sur la figure 38.

70Ici CM est définie comme la tangente, plus loin dans le texte CI est aussi définie comme la tangente au même point C, donc les points C, M, I sont alignés, ce qui ne se voit pas sur le dessin, donc il faut remonter légèrement M sur la figure qui semble à montrer C, M, O alignés.

71La construction de la tangente à la parabole est connue, et très simple : comme on aura besoin de l’intersection de la tangente avec l’axe, il faut se rendre dans la figure 40, prolonger QK jusqu’au point S où elle coupe l’axe, on sait alors que A est milieu de MS. On peut alors remplacer l’angle ZQK par son égal l’angle MQS (on est toujours dans la figure 40, le M de la figure 40 n’est autre que le point noté 6 de la figure 38, laquelle comporte aussi un point M situé sur la tangente CI…) et tout revient à vérifier que l’angle ECM de la figure 38 est égal à l’angle MQS de la figure 40

72angle ECM = angle MQS

73Insistons puisque cette proposition est cruciale et qu’il y a un certain désordre notationnel rare chez Pascal : à gauche le M est celui de la figure 38, à droite le M est celui de la figure 40 qui n’a rien à voir avec celui de la figure 38 (puisqu’il est le 6 de la figure 38…).

74Rappelons que les figures 38 et 40 ont une partie commune et une partie qui leur appartient en propre ; la figure 40 comporte moins de points de subdivision, mais un point de plus, S, indispensable pour avoir l’angle MQS. Noter par M deux points complètement distincts sur deux figures, dont chacune est partiellement contenue dans l’autre est une liberté de notation qui complique inutilement la lecture.

75Quel est le procédé de fabrication de la tangente à la spirale en un point ? Ici en le point C, puisque C est le correspondant de Q. Dans la liste de propriétés énoncées sans démonstration figurait celle-ci, énoncée justement, tout est prévu, pour le « point quelconque » C ; redonnons cette figure d’Archimède de construction de l’angle de tangence :

7. Que l’angle aigu que fait la touchante à un point quelconque de la spirale C avec son rayon AC se trouvera en faisant un triangle rectangle dont la base soit ce rayon AC, et la hauteur soit égale à l’arc extérieur CF3. Car alors l’angle de la touchante avec son rayon sera égal à l’angle que l’hypoténuse d’un tel triangle rectangle fait avec sa base.

76Or MQS (de la figure 40, avec le point S en haut de la figure sur l’axe de la parabole) est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont d’une part l’ordonnée MQ et d’autre part deux fois l’ordonnée Q3 (A est le milieu de MS, c’est la construction classique de la tangente en Q). L’angle MQS est celui de MQ avec l’hypoténuse QS ; c’est exactement l’angle de la tangente à la spirale avec le rayon au point C. En effet, dit Pascal ci-dessus, pour l’avoir, il faut fabriquer le triangle rectangle dont un côté de l’angle droit est AC (ou Q6 de la fig 38, i.e. MQ de la fig 40) tandis que l’autre côté de l’angle droit est arc 3FC, lequel est deux fois l’ordonnée Q3 de par la correspondance. Les angles avec les rayons perpendiculaires au maillage sont les mêmes, c.q.f.d.

77Le triangle MQS était un « triangle de tangence » d’Archimède, celui du point C de la spirale, mais, ô surprise, représenté, ou plutôt se révélant tel, sur la figure qu’on croyait dédiée à la seule parabole, roman policier des figures…

78Si l’on avait en vue, comme Torricelli, une démonstration de l’égalité des lignes spirale et parabolique par une méthode des indivisibles postérieure à celle de Cavalieri, on en aurait fini après avoir donné la preuve de cette égalité angulaire. Mais ce n’est surtout pas cela que veut faire Pascal, il l’a dit clairement, aussi a-t-il besoin de bien d’autres résultats dont cette Propriété III, qui vont organiser une autogreffe de la grande figure, en haut, à sa droite, autogreffe indispensable au projet pascalien comme on va le voir incessamment. La Propriété III en est un avant-goût, la voici :

III
Les mêmes choses étant posées, je dis que chacun des arcs BE, CF, etc. (qui sont les mêmes que les arcs BE, 3C, 4S, etc., compris entre les deux rayons prochains), diminué de la moitié du dernier Y9, est égale à chacune des portions de l’axe qui lui correspond, PZ, Q2, etc. (et qui sont les mêmes que les portions de l’axe entre les ordonnées).

79Pascal affectionne les progressions de nombres – on sait ce qu’il a été capable dans faire dans le Traité du triangle arithmétique. Les arcs 9, …, 4S, 3C, BE, enfermés entre les deux rayons prochains AB et AE, sont entre eux comme les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6.

80Plus précisément, les arcs enfermés entre deux rayons prochains comme AB et AE sont comme la suite des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, sous-entendu arc Y9.

81Les arcs extérieurs correspondant aux points de la spirale sont comme la suite des carrés de ces nombres. Donc ces différences d’arcs extérieurs de la spirale sont comme la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, 11, toujours en unité arc Y9.

82Leurs moitiés sont les diamètres extérieurs de la parabole (les ordonnées en langage d’aujourd’hui), de par les relations métriques initiales entre la parabole et la spirale. Donc en ajoutant systématiquement la moitié de arc Y9 à cette nouvelle séquence on trouve bien la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6, en unité arc Y9.

83Les différences d’ordonnées de la parabole sont lisibles d’une manière agréable dans cette partie encore mystérieuse de la grande figure située en haut à sa droite. Il y a là un premier transport des éléments de la parabole dans le secteur circulaire AEB qui fait partie du territoire de la spirale. Les différences d’ordonnées successives de la parabole se lisent comme des arcs de cercle successifs, à une moitié d’arc Y9 près.

84Après ce transport, nous sommes presque arrivés aux deux tiers de la Lettre sur l’égalité des lignes spirale et parabolique. Les préliminaires sont achevés, exposés dans un ordre qui s’avèrera parfait. Pascal a énoncé cinq propriétés de cercle sans souffler mot de leur nécessité, et pour le moment seul le Lemme V a parlé, puis Pascal a détaillé les propriétés propres à chacune des deux courbes, tracé les tours d’inscrites et de circonscrites, tout cela hors de toute correspondance ; puis il a dégagé trois propriétés naissant de leur correspondance.

85Nous arrivons au seuil du cœur de la Lettre c’est-à-dire au paragraphe intitulé Problème. Avant de continuer faisons un bilan rapide de ce qu’ont déjà dit ou laissé entrevoir les figures, car les figures discourent chez Pascal, et ce, bien souvent au moyen de leurs notations.

Arrêt sur les figures, ce que l’on en a vu jusqu’ici, anticipations possibles

86Dans l’ordre d’apparition, qui n’est pas toujours celui de la numérotation, il y a :

87* Les cinq figures de cercle. On ne les a pas encore vues à l’œuvre, sauf celle du Lemme V, qu’on a vue deux fois dans la grande figure : lovée en son centre, mais avec des lettres différentes, A Y G 9 au lieu de A E V B ; puis avec les mêmes lettres A E V B en haut à droite. Elle a servi à montrer une propriété commune à tous les angles de tangence de la spirale : rester supérieurs au demi-angle de découpage. Propriété qui sera mise à profit dans la deuxième démonstration phare de la Lettre.

88* La grande figure dont une partie est attendue, car chaque fois qu’il y a un problème de longueur il faut bien des inscrites et des circonscrites, et bien sûr, un découpage amené à devenir de plus en plus fin. Il reste ces points I et O du triangle curviligne EBV constitué de deux segments ordinaires et du segment de cercle arc EB. D’ailleurs il faudra encore porter son attention sur la figure qui l’englobe, le pseudo losange AEVBA – bord et intérieur compris –, dont nous n’appréhendons pour le moment que les arcs de cercles successifs chargés de représenter, à un infinitésimal du second ordre près (le demi-arc Y9), les différences d’ordonnées de la parabole. La grande figure est pleine d’éléments infinitésimaux du second ordre, pas seulement arc Y9 et sa moitié YL, mais aussi KP, arc MB (malgré les apparences).

89* La figure 40, représentation claire de la parabole seule, mais pas seulement. Comme elle a moins de points de subdivision, elle simplifie la partie parabole de la figure 38, tout en en gardant l’essentiel, moins de points de subdivision, certes, mais plus de points notés. Cependant son rôle est ailleurs, à savoir faire apparaître le point S de l’axe symétrique de M par rapport A, car ce point est indispensable pour montrer l’égalité des angles de tangence en des points correspondants. En effet, comme on l’a vu ci-dessus, le triangle MQS de cette figure 40 est – se révèle être, plutôt – un triangle de construction d’Archimède pour le point C. Cette fois, on a un élément de la spirale importé sur le territoire de la parabole : l’angle de tangence en C de la spirale est figuré par l’angle en Q du triangle MQS.

90* La figure 39, pas encore présentée par Pascal qui va le faire incessamment sous le nom de figure séparée. Rien ne nous empêche de la regarder par avance ; que nous dit-elle sans rien nous laisser entrevoir de son « pourquoi » ? Simplement ceci : on est sûr qu’elle a un rapport avec une autre figure dont on ne connaît pas plus la cause, la figure du Lemme IV de cercle qui est totalement incluse dans cette figure séparée avec les mêmes lettres T, S, 8, Y, X, Q à la minusculisation près. Par les notations Pascal fait prévoir un lien qui aura lieu entre le plus déroutant des cinq Lemmes et la figure la moins avenante de la Lettre.

91Un lien entre la figure séparée et la grande figure se laisse aussi prévoir si l’on remarque que l’arc sx est contenu autant de fois dans sa circonférence que l’arc BE l’est dans la sienne, six fois.

92Il y a aussi cette figure implicitement présente, déjà rencontrée plusieurs fois, que Pascal décrit sans la représenter isolément, c’est, toujours elle, la figure de construction de l’angle tangente – rayon de la spirale. Ses occurrences sont fort nombreuses, elle intervient un peu partout, jamais seule, mais comme partie d’une des figures des planches, chaque fois qu’un segment pris sur une tangente est égal à un arc. La longueur de l’arc indique le point de la spirale concerné. Avant de savoir à quoi peut bien servir la figure séparée, on voit déjà apparaître en survolant sa définition ci-après, Problème, un angle de tangence avec cet s8 égal à la circonférence entière donné à la première ligne de la présentation de cette dernière figure, voir ci-dessous.

93Avant de passer à la suite, n’oublions pas ce tout dernier des résultats préliminaires de la Lettre, un Lemme que Pascal qualifie de « manifeste » :

Lemme
Si une grandeur A est moindre que quatre autres ensemble B, C, D, E ; Je dis que la différence entre la première, A, et deux quelconques des autres, comme B, plus C, sera moindre que les quatre autres ensemble, B, C, D, E. Cela est manifeste.

94Manifeste, presque mais pas tout à fait, car la différence entre deux grandeurs A et B + C doit se faire dans le sens où elle existe (même aujourd’hui, car une grandeur négative n’a guère de sens). Si B + C est plus petit que A, on peut retirer B + C aux deux membres de l’inégalité A < B + C + D + E, et écrire A — (B + C) < D + E < B + C + D + E. Mais si A est plus petit que B + C, il faut procéder autrement, on écrira B + C — A < B + C < B + C + D + E. Ce lemme original et surprenant est probablement dégagé d’avance pour que les lecteurs ne soient pas surpris lorsqu’ils le verront œuvrer de façon quelque peu magique dans la démonstration des circonscrites.

95Le Principe d’Archimède, les deux relations dans le triangle : un côté est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence, ce Lemme de quatre grandeurs surprenant et moins naïf qu’il n’y paraît, seront utilisés dans les majorations à venir.

Le cœur pascalien de la Lettre. Le Problème et la figure séparée. Réécriture à la manière de Pascal du Problème : tout se passe dans la partie AEVBA de la grande figure

96Montrer l’égalité des lignes spirale et parabolique passe par la résolution préliminaire d’un Problème dont l’énoncé suivi du programme de la résolution a de quoi émerveiller et justifie la longue citation :

Problème
Etant données une parabole et une spirale en la condition supposée, inscrire et circonscrire en l’une et en l’autre des figures, en sorte que le tour de l’inscrite en la parabole ne diffère du tour de l’inscrite en la spirale que d’une ligne moindre qu’une quelconque donnée Z ; et de même pour les circonscrites.
Soit pris dans une figure séparée [en note : la fig 39] le rayon ts plus grand que le rayon AB, et ayant élevé s8 perpendiculairement égale à la circonférence dont ts est le rayon, soit menée 8t, coupant son cercle en y. Soit maintenant de 8y retranchée 8a de telle grandeur qu’on voudra, pourvu qu’elle soit moindre qu’un tiers de Z ; et ayant mené as coupant l’arc en d , soit divisée la circonférence [de rayon ts] en tant d’arcs égaux qu’on voudra, pourvu que chacun, comme sx, soit moindre que l’arc sd.
Je dis qu’en divisant le cercle BEB en autant d’arcs égaux, et le rayon AB de même en autant de portions égales aux points 3, 4, etc., d’où soient menés à l’ordinaire des cercles et des parallèles à l’axe, qui, coupant la spirale et la parabole, y donneront les points pour inscrire et circonscrire des figures en la manière qui a été marquée ; ces figures satisferont au problème.

97En mimant l’Oulipo, nous dirons que la formulation géométrique de Pascal est un plagiat par anticipation de la formulation analytique donnée deux siècles après par Weierstrass : étant donné une ligne Z quelconque, trouver l’arc de cercle BE (ou, ce qui est la même chose, le nombre de subdivisions de la circonférence en arcs égaux) tel que les deux tours d’inscrites et les deux tours de circonscrites diffèrent d’une ligne moindre que Z. Le moyen est clairement donné de fabriquer alpha à partir de epsilon.

98Pour trouver ce nombre il faut passer par la figure séparée basée sur un cercle auxiliaire qui représente la circonférence BEB, agrandie, sans préciser de combien. Puis voir que le Lemme IV de cercle est là tout entier – avec des lettres minusculisées –, puis remarquer que les points a et d sont là uniquement parce que l’arc sd n’a aucune raison d’être sous-multiple de la circonférence entière, d’où le point x. Une fois munis d’un tel arc sx, c’est-à-dire d’un nombre entier n de subdivisions, il n’y a plus, dit Pascal, qu’à revenir au cercle BEB, à le diviser en n parties égales et à prouver que cette figure satisfait le programme qu’il s’est donné. Pour le moment on sait seulement que l’arc sx est plus petit qu’un tiers de Z, car plus petit que 8q (Lemme IV de cercle) lui-même plus petit que 8a qui est plus petit que 1/3 Z. Étant donné Z, on a fabriqué n(Z), donc deux tours d’inscrites, (resp. deux tours de circonscrites), dont il reste à prouver qu’ils diffèrent de moins que Z. Le Lemme IV est un lemme alpha-epsilonnique, adapté à un problème particulier, à la fois précurseur et formulé géométriquement à l’ancienne. Sa cause finale est dorénavant claire.

99On se souviendra que cet arc BE, fonction du Z arbitraire, vérifie l’inégalité :

100arc BE < 1/3 Z.

101En tournant mentalement la figure séparée de manière à amener ts parallèle à AE, on voit bien que t figure A, s figure E, x figure B, l figure V. Pascal nous a dit d’avance que l’arc BE est contenu autant de fois dans sa circonférence que l’arc sx dans la sienne, en effectuant les deux figures pour le même nombre, 6. Les angles et les rapports de longueur sont les mêmes sur la grande figure et sur la figure séparée, s’ils sont issus de points homologues.

102Ensuite viennent bien détaillées et séparées les deux « parties de la démonstration ». C’est une partie très technique et très pascalienne de la Lettre. Comme dans ses autres écrits de géométrie infinitésimale Pascal maîtrise souverainement l’art de transformer le requis.

103Réunissons ce que Pascal sépare, les deux débuts du travail de preuve, pour une raison qui va apparaître sous peu :

PREMIÈRE PARTIE DE LA DÉMONSTRATION
Que la différence entre les deux inscrites est moindre que Z.
Pour prouver que la somme des côtés de l’inscrite en la parabole diffère de celle des côtés de l’inscrite en la spirale d’une ligne moindre que Z, on fera voir que chaque côté de l’une ne diffère de son correspondant que d’une ligne qui, prise autant de fois qu’il y a de côtés (ou qu’il y a d’arcs en la circonférence) est moindre que Z. D’où il s’ensuit nécessairement que toutes ces différences ensemble, prises chacune une fois, sont moindres que Z. Je dis donc que la différence entre BC, par exemple, et son correspondant PQ, prise autant de fois qu’il y a d’arcs en la circonférence, est moindre que Z.

  • 10  En toute rigueur il faudrait s’assurer, pour que la somme des différences soit bien la différence (...)

104Il est question au départ de « chaque » différence entre une corde et son correspondant (il y en a n). Puis Pascal ne parle plus que des deux cordes finales BC et PQ qui seront bien les deux seules à intervenir dans sa démonstration, grâce à l’idée très bien venue de multiplier leur différence par n. C’est vrai que si on montre cette inégalité pour les deux dernières cordes sans utiliser la spécificité de leur position, le cas particulier est général, et on a montré sans rien faire de plus la même inégalité pour toutes les autres différences de cordes correspondantes. Et en sommant tout cela, et en remplaçant la somme des différences par son égale, la différence des sommes10, on trouvera que n fois la différence des deux tours d’inscrites est inférieure à n Z, et on aura eu raison de transformer ainsi le requis.

105En un tournemain la connaissance de la différence des deux tours a été réduite à celle de leurs derniers éléments.

106Voici maintenant l’énoncé équivalent pour les circonscrites :

IIe PARTIE DE LA DÉMONSTRATION
Que la différence entre les deux circonscrites est moindre que Z.
Pour prouver que la somme des côtés de la circonscrite à la spirale ne diffère de celle des côtés de la circonscrite à la parabole que d’une ligne moindre que Z, on montrera que deux quelconques côtés liés, circonscrits à la spirale, comme l’arc BM, plus la touchante MC, ne diffèrent des deux côtés correspondant en la parabole, PK, plus QK, que d’une ligne qui, prise autant de fois qu’il y a d’arcs en la circonférence, est moindre que Z. D’où il s’ensuit nécessairement que toutes les différences, prises chacune une fois, seront moindres que Z. Je dis donc que la différence entre deux quelconques côtés liés BM, plus MC, et les correspondants PK, plus KQ, prise autant de fois qu’il y a d’arcs, est moindre que Z.

107La même chose a donc lieu pour les deux tours de circonscrites, dont chaque élément est double : il s’agira seulement de montrer que la différence entre (arc BM + MC) et (PK + KQ) prise n fois est moindre que Z.

108La reformulation des problèmes selon laquelle il suffit de s’occuper du dernier segment de chaque courbe éclaire immédiatement l’existence de la figure E I O V B M E, cette excroissance de la grande figure, restée en partie mystérieuse jusque-là : tout va se passer dans ce lieu restreint. Ce que nous précisons sur l’heure.

Autogreffe de la figure 38

109Pour comparer les cordes BC et PQ distantes l’une de l’autre sur la grande figure, Pascal remonte la corde PQ de la parabole sur le territoire de la spirale ; il fait de même pour l’élément double de circonscrite PK plus QK de cette même parabole. Trois points sur la tangente au grand cercle sont ainsi créés.

110* Le point V de la tangente en E est tel que EV est égal à l’arc EB.

111* Le point O est défini par l’égalité EO = ZP (conséquence immédiate : CO = QP). Mais ZP est la différence des ordonnées de la parabole que l’on sait égale à l’arc EB moins la moitié de l’arc Y9, puisque Pascal a montré d’avance – c’est la propriété III née de la correspondance – que l’on retrouvait dans les arcs successifs du dernier quadrant les différences des ordonnées de la parabole à cette moitié de arc Y9 près. Donc OV est égal à la moitié de arc Y9.

112* Le point I est l’intersection de la tangente à la spirale en C, CM, avec EV (rappelons que les points C, M, I sont alignés, même si cela ne se voit pas). Or on sait que angle ECI = angle ZQK, en effet, c’est l’important théorème d’égale inclinaison des tangentes aux deux courbes sur leurs lignes de repérage que Pascal a montré soigneusement dans la section qui traite des rapports qu’entretiennent spirale et parabole en correspondance. Comme cela implique que les triangles rectangles ECI et ZQK sont égaux (EC = QZ), on a EI = ZK. Du coup KP vaut ZP ou EO moins ZK, ou EI, c’est-à-dire OI. Comme KP vaut 1/2 arc Y9 – comme on le sait depuis longtemps –, c’est que OI vaut la moitié de arc Y9, comme OV.

113En résumé les éléments de la parabole, réduits à leurs grandeurs, se liront rassemblés avec ceux de la spirale comme ceci :

114La corde QP se lira en CO.

115L’élément double de circonscrite à la parabole QK + KP se lira en CI + IO (ou CI + OV).

116Ainsi le quadrilatère E I O V B C E, intérieur compris, – installé sur le territoire de la spirale – réunit tout ce qu’il faut pour comparer les deux tours d’inscrites et les deux tours de circonscrites. Les éléments liés aux deux courbes, séparés jusque-là, sont maintenant contigus ou du moins rapprochés ; ils sont dès lors susceptibles d’entrer dans des relations de côtés de triangles, d’angles, d’intériorité ou d’extériorité comme le réclame le Principe d’Archimède, pour pouvoir comparer les grandeurs de lignes etc. Les Lemmes de cercle vont entrer en action, le Lemme des quatre grandeurs aussi. Tout cela, Lemmes et Principe a été clairement énoncé à l’avance, il n’y aura plus qu’à puiser pour faire toutes les majorations nécessaires de façon à arriver à l’ultime majoration par Z de la différence entre les deux tours d’inscrites d’une part, de circonscrites, d’autre part. Nous faisons le choix de donner tous les détails de ces deux démonstrations-phares de la Lettre, éblouissantes d’inventivité et de mise en ordre logique.

117Il arrivera (il est arrivé), pour abréger, de parler de pseudo-losange pour la figure E A B V O I E ; du quadrilatère E I O V B C E ; d’excroissance pour la partie qui déborde dans la grande figure, c’est-à-dire la figure E I O V B M E qui a un côté courbe, arc BME. Tous les raisonnements ont lieu dans le pseudo-losange ou dans une de ses deux sous-figures.

La démonstration des deux tours d’inscrites. Rôle de carrefour de la figure séparée

118Avec cette corde QP de parabole reportée en haut de la grande figure en CO, pour montrer que la différence entre les deux inscrites est moindre que Z, « il suffira de montrer que la différence entre CO et CB, prise autant de fois qu’il y a d’arcs, est moindre que Z »

119Grâce au transport les cordes correspondantes sont devenues contigües, fabriquant des triangles ; or, entre les trois côtés d’un triangle, on a des relations. Donc, (triangle COB) la différence entre CO et CB est moindre que BO qui, (triangle BVO) est moindre que BV plus VO. Donc il suffira de montrer que n VO et n BV sont plus petits que un demi de Z. Ce qui, dit Pascal, est aisé puisque « chacun [VO, BV], pris autant de fois qu’il y a d’arcs, est moindre qu’un demi et même qu’un tiers de Z. ».

120* Pour VO c’est presqu’immédiat : il suffit de se rappeler la partie Lemme IV de la figure séparée, partie qui a créé n à partir de Z.

  • 11 Rappelons qu’à cet endroit la figure séparée recopie, à un changement d’échelle près, de celle du (...)

Car cela est visible de VO, puisque étant égale à un demi Y9, il est clair qu’étant prise autant de fois qu’il y a d’arcs, elle ne sera égale qu’au demi-arc BE, et partant, bien moindre qu’un demi Z : l’arc BE étant moindre qu’un demi Z, puisqu’il est moindre que l’arc sx de la figure séparée [en note, la fig 39] (le rayon AB étant moindre que ts), lequel arc sx est moindre que 8Q par le Lemme 4 des cercles, et a fortiori, que 8A, qui a été pris moindre qu’un tiers de Z11.

121Ainsi n VO est nettement plus petit qu’un demi de Z. On le savait déjà, car on avait remarqué ci-dessus, après l’énoncé du Problème, la relation entre l’arc BE et le Z arbitraire : arc BE < 1/3 Z.

122* Pour voir la même chose de BV, il faut se plonger dans la partie non encore abordée de la figure séparée avec son désordre de lignes entrecroisées. La géométrie y est élémentaire, certes, mais ce qu’en fait la logique de Pascal l’est moins. Pour ne pas s’encombrer des lignes qui serviront dans la démonstration des circonscrites, il est pratique de joindre à cette figure séparée deux sous-figures ne comportant rien d’inutile au propos du moment.

123Dans la figure séparée ou figure 39 représentée ci-dessus après l’énoncé du Problème, Pascal a marqué sur la tangente en s le point l tel que sl = arc sx. Quelques remarques pour commencer : moralement les points s, x, t, l « sont » les points E, B, A, V de la grande figure, à l’agrandissement près, donc les angles seront inchangés par rapport à ceux de la figure de base, la grande figure. Les lettres sont, en minuscules, celles du Lemme 3 de cercle pour la même situation géométrique ; d’avance Pascal nous indique qu’il va utiliser le fait que le triangle slx a ses trois angles aigus (ce n’est pas le cas de l’angle en x dessiné sur la figure, mais peu importe, l’art de la géométrie ne s’encombre pas de tels détails s’ils ne l’empêchent pas de raisonner juste).

124Pascal mène la droite le parallèle à t8, puis la droite tz parallèle à lx (voir les deux sous-dessins, ici).

125Comme sl = arc sx, le Lemme 3 nous dit que l’angle lxs est aigu ; donc aussi l’angle xzt qui lui est égal ; donc le supplémentaire, l’angle tzs est obtus ; mais si tzs est obtus, ts est le (seul) grand côté du triangle tzs et donc on a (retourner à la figure séparée) l’inégalité stricte tz < ts ou ty, mais ty < tq et on aboutit à

126tz < tq

127Comme le triangle xle est semblable au triangle ztq (dessin n° 1), cette inégalité se reflète dans le triangle xle par

128lx < le

129Passons au deuxième sous-dessin, qui est extrait du premier : par le parallélisme des droites el et q8, le/8q = sl/s8. On est près du but car le deuxième membre est connu, c’est l’inverse du nombre n d’arcs construit par la figure séparée en fonction du Z arbitraire donné. Comme lx < le, on a lx/8q < sl/s8 et ce dernier rapport est aussi celui de BE à la circonférence BEB ; en définitive, comme BV est moindre que lx et 8q moindre que le tiers de Z, Pascal a bien montré : n BV < Z/3

130Dans cette démonstration, tout repose sur l’inégalité tz < ts, que l’on peut voir comme un énoncé de situation du point z, être entre s et x, ou être intérieur au cercle. Cela se voit, mais Pascal ne se contente pas de cette évidence visuelle, il la fait découler de manière rigoureuse du Lemme 3 des trois angles aigus, plus précisément du fait que l’angle en x du triangle sxl est aigu. De fait, en traçant fictivement un angle en x suffisamment obtus on arrive très bien à faire tomber le point z à l’extérieur du segment corde sx, rendant tz plus grand que st, et à mettre ainsi en évidence (visuelle, bien que cela soit interdit dans ce cadre d’exhaustion) le rôle du Lemme 3 de cercle.

131Ici la figure séparée est un lieu de rencontre de deux figures de Lemmes de cercles (le théorique Lemme 4, et le Lemme 3 des angles aigus), et de la partie territoire mixte parabole – spirale de la grande figure. Les lignes qui n’ont pas encore œuvré vont le faire dans la démonstration des circonscrites.

La même chose pour les deux tours de circonscrites

132Pour la démonstration des circonscrites, cela va être un peu plus compliqué, puisque chaque atome de circonscrite est, si l’on peut dire, en deux parties.

133D’après ce qui précède, montrer le requis, à savoir que la différence entre les deux tours de circonscrites est moindre que Z, se ramène à montrer que la différence entre (arc BM + MC) et (OI + CI) prise autant de fois qu’il y a d’arcs en la circonférence est moindre que Z ; cela puisque OI + CI n’est autre que l’élément de circonscrite à la parabole PK + KQ déplacé. Il s’agit donc de prouver l’inégalité

134n {différence entre (arc BM + MC) et (OI + CI)} < Z

135Grâce à quelques nouvelles inégalités géométriques, montrer le requis va se ramener à montrer que les trois lignes ensemble BV, plus VI, plus IM prises autant de fois qu’il y a d’arcs en la circonférence sont moindres que Z. Il suffira pour cela que chacune prise n fois soit moindre que Z/3. Donnons en détail le chemin suivi par Pascal pour ramener le problème à ce qui se passe pour les trois lignes BV, VI, IM.

136Le lieu géométrique du départ de preuve est la partie E I O V B M E de la grande figure. On commence par montrer, grâce à deux Lemmes de cercle que BV, VI, IM sont toutes les trois hors du cercle BE, cela pour pouvoir appliquer le principe d’Archimède. Comme EV est égal à l’arc EB, le Lemme 3 (celui des angles aigus) s’applique, donc BV est incliné en angle aigu sur EV ; le Lemme 1 dit alors que « toute la portion BV est hors du cercle » ; CI ou MI est aussi incliné en angle aigu sur EV, puisque l’angle en E est droit, ainsi MI est aussi entièrement hors du cercle. Quant à IV, il est évidemment hors du cercle en tant que segment situé sur la tangente.

137Par le principe d’Archimède on a donc : arc BM < BV + VI + IM. Pascal ne s’est pas contenté de « voir » que les segments BV et IM sont hors du cercle, il l’a montré grâce à un Lemme de cercle, le premier, rien moins qu’évident.

138On scinde VI en VO + OI ; l’inégalité devient arc BM < BV + VO + OI + IM.

139On se trouve donc dans la situation du Lemme des quatre grandeurs (voir ci-dessus, la fin du paragraphe Marche d’approche). On sait qu’alors la différence entre arc BM et (OI + IM) est inférieure à BV + VO + OI + IM. Gardons soigneusement l’expression « différence entre deux grandeurs » pour éviter le signe moins entre des éléments dont on ne sait pas lequel est le plus grand, c’est l’intérêt du Lemme de ne pas avoir à traiter systématiquement deux cas.

140Machine arrière toute ; on réunit VO + OI en VI ; alors la différence entre arc BM et (OI + IM) est moindre que BV + VI + IM. Après ce tour de passe-passe sur VI on ajoute et retranche MC aux deux termes de la différence pour obtenir : la différence entre (arc BM + MC) et (OI + IM + MC) est moindre que BV + VI + IM, puis finalement, I, M, C étant alignés, la différence entre (arc BM + MC) et (OI + CI) est moindre que BV + VI + IM. C’est terminé pour le début de preuve, car dans le premier membre on reconnaît la différence entre les deux atomes de figures circonscrites.

Donc, pour montrer que la différence entre BM, plus MC, et PK, plus QK, prise autant [de fois] qu’il y a d’arcs, est moindre que Z, il suffira a fortiori de montrer que ces trois ensemble BV, plus VI, plus IM, prises autant de fois, sont moindres que Z. Et cela est aisé, puisque chacune d’entre elles, prise autant de fois, est moindre qu’un tiers de Z.

141Cela est déjà fait pour BV, dans la démonstration des inscrites. Cela est déjà fait aussi pour VI, qui est le double de VO, puisqu’on a vu dans la démonstration des inscrites que n VO vaut un demi de arc BE lequel est inférieur à un tiers de Z.

142Il reste donc à voir que n IM est moindre qu’un tiers de Z. On change de lieu géométrique pour cette nouvelle preuve, on se rend dans la figure séparée et on fait appel à ses lignes qui n’ont pas encore servi. La parabole est hors-jeu ici.

143Cette dernière démonstration repose grandement sur la construction et les propriétés des angles de tangence (omniprésents ; paragraphe spirale, ci-dessus, les points 7. 8. et 10.)

144Voici maintenant comment Pascal inscrit dans la figure séparée deux de ces angles de tangence, le final, en B et l’avant-dernier, en C, avant de leur appliquer ce que l’on sait sur eux :

Soit prise dans la figure séparée [en note : la fig. 39] sh égale à EI ; et soient menées ho2 parallèle à t8, et hcf perpendiculaire à scq. Soit maintenant menée hrp, faisant l’angle hps égal à l’angle ICE de la grande figure ; donc elle tombera entre hf et h2, puisque l’angle hps ou ECI (du rayon avec la touchante de la spirale) est moindre que l’angle s2h ou st8 (à cause qu’au triangle rectangle st8, la base est à la hauteur comme le rayon à la circonférence) et plus grand que la moitié de l’angle BAE, ou que l’angle IEB, ou hsx, ou hfs ; mais l’angle c est droit ; donc l’angle hro est obtus ; et partant hr est moindre que ho, […, (suite de la citation plus bas)]

145Gardons en mémoire ce que Pascal dit de la position de la droite hrp, à savoir qu’elle « tombera entre hf et h2 » et continuons à donner les détails de cette démonstration des circonscrites.

146Pour l’instant laissons de côté l’égalité sh = EI. Un peu étrange tout de même puisque la partie tslx de la figure séparée est un agrandissement – pour nous – de la partie EVBC de la grande figure : tout y est agrandi avec la même échelle, à savoir le rapport du rayon ts sur le rayon AB : sl est agrandissement de EV dans ce rapport-là, etc. Cependant EI est reporté tel quel.

147En tous cas, dans cet agrandissement, pour des éléments homologues, les angles sont conservés, ainsi que les rapports de longueurs. Comme s8 est égal à la circonférence de rayon ts, on a par la construction de la tangente en B de la spirale (le 7. ci-dessus)

148angle en B = angle st8

149En effet l’arc extérieur au point B est la circonférence entière, et l’on a affaire exactement à la figure de construction de l’angle de tangence en B. Mais la droite h2 est construite parallèle à t8, cette égalité s’écrit donc :

150angle en B = angle s2h

151B est le dernier point de la spirale, tandis que C est, pour ce découpage, l’avant-dernier. Or toujours d’après les propriétés des tangentes à la spirale (le 8. ci-dessus, parfaitement intuitif), les angles vont en croissant quand le rayon augmente, ainsi l’angle en C (l’angle hps) est plus petit que l’angle en B

152angle hps < angle s2h

153Les angles de tangence restent tous supérieurs à la moitié de l’angle de découpage qui est l’angle BAE (le 10. ci-dessus, pas intuitif du tout, raison d’être du Lemme V de cercle, et fort important dans cette démonstration). Cette moitié de l’angle BAE est l’angle IEB (géométrie élémentaire, cas limite classique du théorème de l’angle au centre). L’angle IEB ou VEB est le même que l’angle lsx (l, s, x, points homologues de V, E, B dans l’agrandissement) qui est le même que l’angle sfh (angles à côtés perpendiculaires). Finalement

154angle hfs <angle hps < angle h2s

155Et la droite hp (ou hrp) tombe bien, comme l’annonce Pascal au départ, entre hf et h2. Ce qui est dire, en tenant compte des alignements, que hr est intérieur au triangle rectangle hcs. C’est la situation de hr, être entre les droites h2 et hf, qui est primordiale ici. Remarquons que sans le théorème du minorant uniforme (la propriété 10. énoncée dans le paragraphe consacré à la spirale) on ne pourrait pas affirmer que p est entre 2 et f car p pourrait être à la gauche de f, hr serait extérieur au triangle hcs, l’angle hro serait aigu et Pascal ne pourrait continuer le raisonnement qui fait suite au passage cité plus haut, à savoir :

[…] mais l’angle c est droit ; donc l’angle hro est obtus ; et partant hr est moindre que ho, mais ho est à 8q comme hs est à s8. Donc il y a moindre raison de hr à 8q que de hs à s8 ; donc a fortiori il y a moindre raison de hr à un tiers de Z que de hs ou EI à la circonférence BEB, moindre que s8, et, a fortiori, que de EV ou l’arc BE à la circonférence. Donc hr, prise autant de fois que l’arc BE est en sa circonférence, est moindre qu’un tiers de Z.

156Paraphrasons : comme hp tombe entre hf et h2, le segment hr est intérieur au triangle hcr dont l’angle en c est droit. Ainsi l’angle hro est obtus et le côté ho du triangle hro est son plus grand côté, d’où l’inégalité hr < ho. Il faut appliquer Thalès : comme ho est parallèle à 8q, on a l’égalité ho/8q = sh/s8, et donc hr/8q = sh/s8. Mais 8q < Z/3, et s8 > BEB, donc hr/(un tiers de Z) < (hs ou EI)/BEB < (EV ou arc EB)/BEB, ce dernier rapport étant celui de l’arc à sa circonférence. Ainsi on a bien que « hr, prise autant de fois que l’arc BE est en sa circonférence est moindre qu’un tiers de Z » Pour en avoir terminé il ne reste plus qu’à voir hr est plus grand que IM :

Et partant IT (qui est égal à hr, toutes choses étant pareilles), et a fortiori IM, pris autant qu’il y a d’arcs, sera moindre qu’un tiers de Z. Ce qu’il fallait démontrer.

157Il faut s’arrêter un peu ici, puisque nous abordons le terrain dangereux où EI est reporté tel quel en sh dans la figure séparée alors que celle-ci est un agrandissement de la grande figure. Tout se passe comme si sur une carte, sans le dire, on faisait un petit coin « échelle différente », mais justement sur une carte on prévient en général. J’ai cru un bon moment que l’erreur de Pascal se situait là ; c’était le méconnaître. Précisons laborieusement, en deux points, l’égalité IT = hr que Pascal justifie lapidairement par « toutes choses étant pareilles » :

158(1) Les triangles hps et ICE sont égaux

159Car angle hps = angle ICE (définition de la droite hrp) ; les deux ont un angle droit ; sh = EI (définition de h).

160On en tire angle shp = angle EIC, autrement dit (alignements) angle shr = angle EIT.

161(2) Les triangles hrs et ITE sont égaux.

162Car sh = EI (définition de h) ; angle shr = angle EIT (on vient de le voir) ; angle hsr ou lsx = angle IET ou VEB, on le sait depuis longtemps, puisque le n qui sert à subdiviser le cercle BEB est justement le même que le nombre de fois que l’arc sx et contenu dans sa circonférence.

163En conclusion on a bien hr = IT > IM et n IM < un tiers de Z. À cet endroit de la figure séparée l’échelle est bien 1/1.

164C’était la dernière inégalité à montrer pour s’assurer que les deux tours de circonscrites – comme les deux tours d’inscrites – diffèrent de moins que Z. Tout réside dans le fait que la droite hrp est à gauche de la droite ho2, mais pas à gauche de la droite hcf, sinon l’angle hro ne serait pas obtus, et l’inégalité ho > hr ne pourrait se déduire. Cette démonstration majorant IM est un sommet de virtuosité, on termine avec elle la partie la plus technique de la Lettre, par cette figuration des angles de tangence ailleurs que dans leur lieu naturel, dans cette disposition d’ensemble, créée tout exprès, qui fait si bien voir leurs liens.

165Pascal ne se contente pas de voir qu’un point, comme p, est entre deux autres, comme 2 et f, il le montre ; à partir d’hypothèses métriques d’angles il a des conclusions de situation, comme il en avait déjà eu pour le Lemme I de cercle où le segment BV est hors du cercle. On sent là un esprit habitué à d’autres géométries que la géométrie ordinaire.

166La croissance des angles de tangence et le minimum au-dessus duquel ils restent tous sont utilisés à fond dans cette démonstration à coloration topologique plus facile à comprendre qu’à inventer. Pascal a extrait trois angles de leur endroit natif pour les réorganiser en un schéma abstrait au sein de la figure séparée, comment savait-il que cela allait aboutir ?

167En résumé, par deux fois dans ces démonstrations de tours d’inscrites et de circonscrites, un rôle central est donné à quelque chose que Pascal démontre avec grand soin, à grand renfort de Lemmes intermédiaires et de résultats généraux déjà prêts, sans se fier à la vue, une relation de situation liant trois points :

168z est entre s et x (Démonstration des inscrites)

169p est entre 2 et f (Démonstration des circonscrites)

La figure séparée, figure d’idée. En quoi elle diffère de la grande figure

170C’est la dernière figure. Un joyau conceptuel. Elle n’a aucune esthétique propre, mais est un joyau d’idée. Elle est en lien avec toutes les autres et contient beaucoup des idées pascaliennes de la Lettre. Elle se laisse fort peu déchiffrer avant d’avoir pris connaissance du texte. Elle est triple :

171Un tiers alpha-epsilonnique (donnant le moyen de trouver l’arc BE, ou si l’on préfère ce nombre n (en quelque sorte son inverse) de fois que l’arc BE est contenu dans sa circonférence, en fonction d’un segment Z arbitraire donné).

172Un tiers représentation du dernier secteur de la grande figure, car, c’est une idée importante de la Lettre, il n’est pas besoin de considérer les quatre tours en entier, leurs derniers épisodes suffisent – le dernier segment de la parabole étant remonté pour figurer à côté de celui de la spirale.

173Un tiers représentation des angles de tangence, aux points X, C et B, c’est-à-dire de départ et d’arrivée, avec en plus un apparent désordre de lignes parallèles ou perpendiculaires créées ad hoc en vue des deux démonstrations phares. La représentation en un même lieu irréaliste, le triangle fsh, avec une même base fs des angles de tangence en B et en C et de l’angle minorant issu de l’angle de tangence en X témoigne d’une synthèse par l’image, d’un art de la figuration.

  • 12  Jean-Luc Verley, mathématicien et historien des mathématiques, préconisait de réserver le terme de (...)

174Les deux figures principales de la Lettre, la grande figure et la figure séparée sont très différentes. La première montre clairement ce pourquoi elle est faite, on y voit sans avoir besoin de lire le texte les deux maillages de repérage, les cordes, les segments de tangentes entre deux mailles, les raccords de segments de tangente au point suivant le long de la maille. Sauf la partie pseudo-losange A E I O V B A qui reconfigure le problème, tout se laisse voir assez immédiatement dans cette figure réaliste proche de la question énoncée. Tout autre est la figure séparée. On peut, peut-être, pressentir qu’elle va fabriquer l’arc BE à partir d’un Z arbitraire, mais, quant à la réorganisation des trois « angles de tangence », je doute fort que la simple inspection de cette figure séparée sans recours au texte puisse faire deviner quoi que ce soit. C’est que, là, la figure séparée est une vraie représentation de la grande figure en ce sens que, loin de la recopier, elle la refait logiquement en prévision de subtils raisonnements angulaires à coloration topologique que la grande figure telle quelle ne pouvait même pas laisser entrevoir12. Le talent de création figuratif de Pascal est à l’œuvre pour amener trois angles dans un unique et nouveau lieu irréel adapté à tirer des conséquences complètement inattendues de ce que l’on savait pourtant sur eux. La figure séparée figure les angles de tangence des points stratégiques de la grande figure.

  • 13  Voir Hubert Aupetit, De L’Esprit géométrique aux Pensées de Pascal. La nécessité biblique. Thèse, (...)
  • 14  Ibid., p. 172.

175L’intérêt de Pascal pour les figures commence très tôt, avec ces figures dessinées sur le sol dont parle Gilberte lorsque son frère s’essayait à la redécouverte personnelle de la géométrie d’Euclide ; et aussi, tandis que Descartes numérise la géométrie, Pascal figure l’arithmétique dans le Traité du triangle arithmétique ; ou encore là où Desargues invente une formule de teneur algébrique pour trois couples de points en involution, Pascal crée la figure de l’hexagramme avec ses trois droites concourantes. Ces exemples et mises en regard sont repris de Hubert Aupetit13 qui dit aussi : « […] Pascal est un figuratif. Là est l’unité de ses écrits en apparence fort diversifiés de géométrie et d’arithmétique. Là est l’unité de sa conception du langage et de la signification, qui s’étend à bien d’autres domaines et rejoint, ce sera l’objectif du dernier chapitre de cet ouvrage que de le montrer, la notion classique de figure en théologie14 ». En effet, dans De L’Esprit géométrique aux Pensées de Pascal, Hubert Aupetit montre que la figure est une ligne de champ principale, non seulement dans les écrits scientifiques de Pascal, mais aussi dans les Pensées. La question de figuration biblique est hors sujet ici, contentons-nous de dire que la figure dans le sens très vaste de ce terme est une préoccupation majeure de Pascal tout au long de sa vie, source, à l’intérieur des mathématiques, de création continuée.

176Un détail montre le soin « structuraliste » que Pascal met à concevoir les notations des figures : le lien entre la partie « calcul du nombre de subdivisions en fonction du Z arbitraire donné » et le Lemme IV de cercle est indiqué par la similitude des lettres S, X, Q, 8, L et s, x, q, 8, l de marquage des points. Le Lemme IV a comme hypothèse une longueur S8 plus grande que le diamètre SG du cercle. Dans la partie similaire de la figure séparée, s8 (homologue de S8) est égale au cercle entier, qui est bien sûr supérieur au diamètre, mais là, le point 8 sort de la feuille, il faut l’imaginer ; il s’appelait déjà 8, dans le Lemme IV, comme un point éloigné, alors que ce n’était pas encore la peine puisqu’il ne sortait pas de la feuille. Tout en songeant au futur, l’auteur a préféré faire la démonstration avec des points tous présents, puisqu’elle restera valable si le point 8 sort du cadre comme dans la figure séparée.

Comparaison d’inscrites et de circonscrites à deux courbes différentes, jusque-là. Irruption d’une nouvelle comparaison intérieure à une seule courbe

177Avec les deux longues démonstrations d’inscrites et de circonscrites, le travail est presque fini, mais pour parachever la preuve de l’égalité des lignes, Pascal énonce explicitement encore un indispensable Corollaire qui s’est démontré tout seul :

Corollaire
Il s’ensuit de cette même construction que la figure inscrite en la parabole ne diffère de la circonscrite à la même parabole que d’une ligne moindre que Z.

178En effet dans le dernier secteur de parabole, la différence entre l’élément de circonscrite et l’élément d’inscrite est, avec le signe moins en bonne place, PK + QK — PQ, moindre que PK puisqu’on lui ajoute QK moindre que PQ que l’on retranche, le triangle PKQ ayant un angle obtus en K.

179La différence entre le tour de circonscrite et le tour d’inscrite de la parabole est inférieure à la somme de tous les segments du genre PK, mais ces segments tels que PK sont tous égaux entre eux, à YL (moitié de l’arc Y9), donc pris tous ensemble, ils sont moindres que n YL, c’est-à-dire 1/2 arc BE, et l’on sait depuis longtemps que arc BE est moindre que 1/3 Z.

180Jusqu’à ce Corollaire Pascal comparait les inscrites à deux courbes différentes – spirale et parabole –, et pareillement les circonscrites. C’est la première fois qu’il compare inscrite et circonscrite à une même courbe, la parabole ; un coup d’œil rapide à la suite du texte (on est presque à la fin) montre qu’il n’a pas d’énoncé similaire pour la spirale.

  • 15  Voir Bernard Bettinelli, Bulletin IREM de Besançon, no 35, nov. 1997, p. 19-21, et, du même auteur (...)

181Il ne fait aucun doute que Pascal emploie la méthode archi-rigoureuse d’Archimède, celle que l’on entend sous le nom de méthode d’exhaustion, mais cela n’empêche pas les écarts à celle du géomètre grec chez qui deux objets encadreurs variables, que l’on sait rendre arbitrairement proches, encadrent à la fois l’objet dont on cherche la mesure, et un autre objet que l’on considère comme connu quant à sa mesure15.

182Même si la notion de connu est subjective, l’accord se fait (par exemple, chez Archimède, la mesure d’un disque va servir de référence pour la mesure du premier tour de révolution de la spirale, ou la mesure d’un triangle pour la mesure d’un segment de parabole, etc.) Ici, rien de tel : les deux courbes sont dans la même position d’inconnaissance (seule la parabole semi-cubique a été égalée à un segment par Fermat). D’où (peut-être ?) le choix de comparer ainsi deux tours de même genre appartenant à deux courbes différentes. Mais il est certain que, sans le Corollaire qui compare les deux tours d’une même courbe, on serait à l’arrêt. Il faut exprimer quelque part qu’inscrite et circonscrite se rapprochent, et pas seulement l’évidence, principe d’Archimède satisfait, qu’elles encadrent la courbe.

183Tout est fait, il n’y a plus qu’à voir comment ce travail qui a demandé à Pascal les trésors de mise en ordre et, plus encore peut-être, d’inventivité figurative dont il fait preuve pour les démonstrations des tours d’inscrite et de circonscrite, comment tout cela, disions-nous, démontre le Théorème.

La démonstration finale, l’erreur de Pascal

Théorème
Si une parabole et une spirale sont en la condition supposée,
Je dis que la ligne parabolique est égale à la ligne spirale.

184Voilà l’énoncé de ce qui reste à faire : montrer l’égalité des deux lignes. Et voici l’amorce du plan, très archimédien, avec cette différence X supposée entre les deux lignes, qui va être montrée impossible :

Car si elles ne sont pas égales, soit X la différence, et soit Z le tiers de X, et soient inscrites et circonscrites à la parabole et à la spirale des figures comme en la précédente, en sorte que la différence entre les inscrites soit moindre que Z, et que la différence entre les circonscrites soit aussi moindre que Z.

185La subdivision est celle issue de Z, comme l’indique l’énoncé du Problème. La suite est à regarder très précisément, pour savoir si l’erreur de Pascal dont on parle encore et dont ont parlé ses contemporains est fondamentale ou non. Les numéros entre crochets sont rajoutés au texte.

Maintenant, puisque la ligne spirale est moindre que le tour de la figure qui lui est circonscrite, et plus grande que le tour de l’inscrite, il s’ensuit que la différence entre la ligne spirale et le tour de la figure qui lui est inscrite [(1)] est moindre que Z ; et de même [(2)] pour la parabole (puisque la différence entre l’inscrite et la circonscrite est moindre que Z, par le corollaire de la précédente) ; mais la différence entre l’inscrite en la spirale et l’inscrite en la parabole [(3)] est aussi moindre que Z, par la construction.

186Le tout début de première phrase est indubitable, dès que le principe d’Archimède est vérifié, – et il est fait pour cela –, quant à la longueur de l’inscrite, elle est toujours moindre que celle de la courbe.

187Mais il ne s’ensuit pas que « la différence entre la ligne spirale et le tour de la figure qui lui est inscrite est moindre que (ce même) Z ; » rien ne permet d’affirmer sans autre argument cette assertion ; d’ailleurs Pascal, tout de suite après, fait découler du Corollaire la proposition strictement analogue pour la parabole (« Il s’ensuit de cette même construction, …, voir ci-dessus), or il n’y a pas de Corollaire semblable pour la spirale. Dire que cette deuxième différence, entre la ligne parabole et son inscrite, est moindre que Z est bien justifié par le Corollaire. Quant à la troisième différence, celle entre les deux inscrites, elle est moindre que Z, c’est le travail accompli lors de la démonstration des inscrites.

188Il est question de trois différences moindres que Z. La première, notons-la (1), n’est pas justifiée par l’auteur ; la seconde (2) et la troisième (3) sont déduites rigoureusement d’évidence ou de proposition démontrée. Continuons la démonstration du théorème :

Donc la différence entre la ligne spirale et le tour de l’inscrite [(4)] en la parabole est nécessairement moindre que deux Z. Mais la différence entre l’inscrite en la parabole et la ligne même de la parabole est moindre que Z. Donc la différence entre la ligne de la spirale et ligne de la parabole [(5)] est nécessairement moindre que 3Z, c’est-à-dire que X, contre la supposition.

189On ne sait pas toujours laquelle des deux quantités dont on prend la différence est la plus grande, mais Pascal fait toujours, nous sommes au xviie siècle, la différence dans le sens plus petit enlevé au plus grand ; la différence de Pascal est la valeur absolue de la différence, en se permettant cet anachronisme. En additionnant (1) et (3), l’inscrite en la spirale s’élimine et on obtient (4), à savoir « la différence entre la ligne spirale et le tour de l’inscrite en la parabole est nécessairement moindre que 2Z ». Mais (4) est aussi fautif que (1).

190Passons à la dernière, (5), « la différence entre la ligne de la spirale et la ligne de la parabole est nécessairement moindre que 3Z [ou X] » Elle s’obtient en additionnant (4) et (2), puisque le tour de l’inscrite en la parabole s’élimine dans l’addition des valeurs absolues. L’assertion (5) hérite de l’erreur de (1) par l’intermédiaire de (4). Pascal, qui n’a évidemment pas conscience de l’erreur précédente dans son raisonnement, conclut à l’impossibilité, car une quantité égale à X ne peut être moindre que X :

On montrera toujours la même absurdité, quelque différence qu’on suppose entre les lignes spirale et parabolique. Donc il n’y en a aucune ; donc elles sont égales. Ce qu’il fallait démontrer.

  • 16  OC IV, p. 639.
  • 17  OC IV, p. 642-643.

191Plusieurs contemporains de Pascal ont remarqué l’erreur qu’il y a à affirmer sans preuve que la proposition « la différence entre la spirale et son inscrite est inférieure à Z » s’ensuit du fait évident que la spirale est comprise entre son inscrite et sa circonscrite. C’est le cas de Sluze, Huygens et Fermat, dans leur correspondance entre eux et avec Carcavi. Huygens l’a signalée à Pascal et attend sa réponse qui n’est pas venue, ou qui ne nous est pas parvenue. « Dans la démonstration relative à la ligne spirale, qu’il montre égale à la parabole dans le dernier théorème, je crois qu’il est arrivé à Dettonville (pseudonyme de Pascal dans toutes ses Lettres de calcul infinitésimal) un accident auquel la nature humaine est sujette : je l’ai déjà consulté là-dessus et j’attends sa réponse16 ». Sluze énonce la chose confusément, et même avec des erreurs, me semble-t-il ; toujours est-il qu’il pose une question intéressante ; « La vérité de la démonstration en est-elle ébranlée17 ? » Avant de conclure qu’il ne se prononce pas là-dessus.

192Mais la vérité ne peut pas être ébranlée : en effet, on rectifie facilement le raisonnement : Pascal n’utilise pas la proposition des circonscrites, mais si on utilise cette dernière, il est immédiat qu’en prenant les plus grands éloignements possibles pour inscrite et circonscrite à la spirale, on a ce schéma, avec trois intervalles de longueur inférieure à Z, P dans l’intervalle central, et qu’alors, la distance entre P et S est nécessairement inférieure à 2Z, contre la supposition.

  • 18  OC IV, p. 671-672.

193Fermat, avec sa clairvoyance habituelle, donne une démonstration d’une grande netteté, dans les plus purs canons de la rigueur, qui ne peut que satisfaire tout le monde18. Elle est résumée ci-dessous.

Fermat rectifie l’« erreur »

194La démonstration de Fermat évite de parler « des plus grands éloignements possibles » mais, au fond, elle est identique à celle que le schéma ci-dessus donne à lire. Étant donnée X la différence supposée entre les deux courbes, Fermat change de Z, il prend Z tel que 2Z = X, et fabrique le n lié à ce Z comme prescrit au moment du Problème par Pascal. On dispose donc de deux courbes, de deux inscrites, de deux circonscrites et de tous les résultats qui concernent ces six éléments.

195On notera P la parabole, S la spirale, insc P l’inscrite à la parabole, etc., comme ci-dessus. Fermat traite séparément les deux modalités qu’ont les deux courbes de ne pas avoir la même longueur : P < S et S < P.

1961) On suppose P < S alors ce qui est sûr, c’est que l’on a la chaîne d’inégalités

197insc P < P < S < circ S

car une ligne est toujours plus grande que son inscrite, et elle est plus courte que sa circonscrite dès lors que le Principe d’Archimède est satisfait. Mais Fermat veut introduire circ. P dans la chaîne ; et nécessairement, P < circ. P (toujours vrai), or entre P et circ P il y a moins que Z, (le Corollaire), alors qu’entre P et S, il y a 2 Z, c’est donc que circ. P s’insère dans la chaine comme suit :

198insc P < P < circ P < S < circ S

mais alors on va avoir une contradiction car en ajoutant - retranchant circ P, la longueur de l’intervalle total circ S – insc P, égale à circ S – circ P + circ P – insc P, est inférieure à Z + Z de par la démonstration des circonscrites et le Corollaire. Cet intervalle total qui va de insc P à circ S est ainsi plus petit que X, tout en contenant l’intervalle d’extrémités P et S qui est de longueur X. Conclusion : P < S est impossible.

1992) On suppose S < P, ce qui donne lieu à la chaîne évidente d’inégalités

200insc S < S < P < circ P

201Reste à insérer insc P dans la chaîne, or S < insc P, sinon la différence entre insc P et circ P serait plus grande que X, la chaîne complète est donc

202insc S < S < insc P < P < circ P

et on se trouve comme tout à l’heure dans la situation impossible d’un intervalle [ insc S   circ P ] de longueur inférieure à 2 Z (passer par insc P) contenant un intervalle plus grand que lui-même, [ S   P ] de longueur 2 Z ou X. Conclusion : S < P est impossible tout autant que P < S. Fermat a montré rapidement et sans discussion possible que les deux courbes ne peuvent être de longueur différente.

203Remarques : Dans la preuve de Fermat le Corollaire joue un rôle majeur : la chaîne partielle insc P < P < circ P est commune aux deux chaînes à cinq éléments (pour majorer par 2 Z la différence entre les deux extrémités), tandis que la première chaîne fait appel à la proposition des circonscrites et la deuxième à celle des inscrites.

204Dans sa preuve Pascal n’utilise nulle part la proposition des circonscrites, tandis que Fermat l’utilise dans la première partie de la sienne. À la place, si l’on peut dire, Pascal invente silencieusement un « Corollaire » pour la spirale, calqué sur le Corollaire de la parabole, sauf que celui-ci est justifié, et celui-là ne l’est pas, et sans doute (c’est mon intime conviction) ne peut pas l’être avec le même Z, (alors que 3 Z convient, mais ne serait pas concluant si l’on garde le strict cheminement de Pascal).

  • 19  Pour ce paragraphe, voir Dominique Descotes, Blaise Pascal. Littérature et géométrie, op. cit., sp (...)

205Bien que cette « erreur » n’en soit au fond pas une, il est étrange que Pascal dans un texte destiné à prévenir toute contestation ait laissé passer une telle bévue qui ressemble plus à un lapsus qu’à une vraie erreur logique. D. Descotes évoque dans l’ouvrage cité, Blaise Pascal, Littérature et Géométrie, la possibilité qu’il ait « existé deux démonstrations du Théorème, un peu comme il y a eu deux dénouements possibles pour Nicomède, entre lesquels Dettonville a hésité et qui se sont trouvées contaminées lors de l’impression […] ». La première suivrait celle de Pascal en ajoutant la preuve de la différence entre l’inscrite et la circonscrite mais cette fois pour la spirale, et continuerait à ne pas se servir de la proposition des circonscrites, inutile donc… La deuxième suivrait le cheminement différent de Huygens qui garde la proposition des circonscrites, et est aussi irréfutable que celle de Fermat19. Il faut juste noter que si l’on veut garder strictement le cheminement de Pascal, il faut montrer que la différence entre inscrite et circonscrite à la spirale est inférieure à Z, et pas seulement à 3 Z comme il est facile de le montrer. Pour cela faire appel à des propriétés particulières des courbes (bon courage). Ce qui est sûr, c’est que l’erreur est rapidement amendable dès lors qu’on veut bien s’écarter du chemin emprunté par Pascal et faire appel à la démonstration des circonscrites.

La première démonstration de l’égalité des deux lignes : celle de Torricelli qui repose sur son concept de « taille des points »

206Torricelli est mort en 1647, sa démonstration de l’égalité des lignes spirale et parabole est nécessairement antérieure à celle de Pascal. Tout conduit à penser que c’est la première démonstration de l’égalité des lignes spirale et parabolique – c’est ce que dit F. De Gandt –, et que Pascal ne la connaissait pas.

207Les indivisibles hétérogènes de Cavalieri ne permettent pas de comparer des lignes, car on compare des volumes en comparant des aires qui ont une dimension de moins, et pareillement des aires en comparant des longueurs, mais on comparera des longueurs en comparant quoi ? Si toutes les mesures d’une ligne ne sont pas nulles (son volume, son aire le sont, mais pas sa longueur), un point est toujours, quelle que soit la manière de le regarder, de mesure nulle. Et comment comparer des zéros ?

208Pour Torricelli, les indivisibles sont de même nature que la grandeur qu’ils composent, donc un indivisible de ligne est un « point » ayant une certaine taille. Voici comment Torricelli s’exprime dans les Opere :

Si dans le triangle ABC dont le côté AB est plus grand que AC, nous imaginons que sont tirées l’infinité des lignes parallèles à la base BC, il y aura autant de points marqués par le segment sur la droite AB que sur la droite AC ; donc un point de celle-ci est à un point de celle-là comme toute la ligne à toute la ligne.

209Dans l’article de 1939 qu’il consacre à Torricelli, Ettore Bortolotti fait de ces lignes un commentaire que nous redonnons pour clarifier cette idée de taille des points qui fait partie des géniales trouvailles du calcul de l’infini version xviie siècle :

En fait les lignes du triangle sont des bandes, c’est-à-dire des éléments d’aire compris entre les droites parallèles, et les indivisibles (points) qu’elles déterminent sur les côtés du triangle sont des éléments de droite, c’est-à-dire des petits traits rectilignes qui satisfont au théorème de Thalès et qui sont dans un rapport déterminé égal à celui des côtés.

210Ainsi la même ligne découpe sur les côtés AB et AC des points de taille différente, à cause des différences d’inclinaison. Inversement, si les inclinaisons sont les mêmes, les points auront la même taille. Voilà pour l’idée générale qui donne à Torricelli la possibilité d’égaler les longueurs de deux courbes. Il l’emploie pour les lignes parabole et spirale, se correspondant exactement comme chez Pascal (diamètre de la parabole égal à la moitié de la circonférence de première révolution de la spirale). Il dessine le réseau de cercles équidistants infiniment proches pour emprisonner la spirale, et le réseau de lignes verticales de même équidistance, pour emprisonner la parabole. Il a montré aussi l’égalité des angles de tangence avec les lignes coordonnées en des points homologues. Ainsi tout est fini, car dès lors que les points ont même taille deux à deux l’égalité se transmet aux lignes entières.

211Voici comment Torricelli exprime cela, toujours dans les Opere :

Donc la droite DO coupe la parabole en O selon la même inclinaison que l’arc CEB coupant la spirale en B. Et cela sera toujours vrai, quel que soit le point D. Donc tous et chacun des points de la parabole AOG sont égaux en nombre et en grandeur, c’est-à-dire en espèce, à tous les points de la spirale ABC. Par conséquent la ligne parabolique AOG sera égale à la ligne spirale ABC.

212Torricelli est passé de points découpés par une ligne sur les côtés d’un triangle, comme plus haut, à des points découpés sur une courbe par une ligne de repère. Ce faisant il remplace localement (et mentalement) une courbe par sa tangente. Et, dans le cas de la spirale, en plus, un segment de droite par un arc de cercle. Trois assimilations courbe-tangente, en tout, donc. La raison n’est plus complètement satisfaite comme elle l’était dans le cas des lignes droites d’un triangle mais le sentiment de continuer à dire juste prévaut.

213Le premier schéma de Torricelli est fait pour deux points qui se correspondent. Le deuxième donne à voir les deux sommes de « points » égaux deux à deux. Plus le moindre mystère.

Comparaison des deux démonstrations. Le prix à payer à la rigueur : l’invisibilité des causes. Le prix à payer au sentiment : sacrifier un peu de la raison. L’esprit de finesse et l’esprit de géométrie

  • 20 Tout ce qui est dit sur Torricelli s’appuie sur les écrits de François De Gandt et de Ettore Borto (...)

214Il est naturel de comparer les démonstrations de Pascal et de Torricelli20 puisque la Lettre à M. A. D. D. S. commence par évoquer deux méthodes : celle des anciens, à laquelle Pascal a décidé de se conformer pour la seule fois dans ses écrits infinitésimaux, et la doctrine des indivisibles, dont il use partout ailleurs et dont celle de Torricelli avec la taille des points est un des avatars.

215Les lignes coordonnées sont les mêmes chez les deux auteurs ; cercles concentriques pour la spirale, lignes de coordonnées cartésiennes verticales pour la parabole, avec mêmes écartements d’un repère à l’autre ; la correspondance des deux courbes et les correspondances point à point sont identiques aussi. La ressemblance s’arrête là. Un court extrait tiré du fragment Sel. 670 des Pensées intitulé « Différence entre l’esprit de géométrie et l’esprit de finesse » :

Il faut tout voir la chose d’un seul regard et non pas par progrès de raisonnement, au moins jusqu’à un certain degré

rend parfaitement compte de ce qui diffère dans les deux démonstrations : d’un côté, on a une machinerie d’exhaustion encore plus articulée que celles d’Archimède (et pourtant), machinerie dont la figure 38 et la figure séparée sont les artisans principaux, et de l’autre une preuve ostensive basée sur une idée de taille des points, taille fonction d’une inclinaison. La démonstration de Torricelli montre immédiatement, au sens propre de ce mot, que la cause de l’égalité des lignes entières résulte d’une égalité d’inclinaison de ces « points » correspondants sur leur ligne de repérage, un seul regard suffit pour tout comprendre instantanément. Pour avoir inventé sa démonstration Pascal savait nécessairement que parmi les innombrables propositions intermédiaires qu’il met en jeu, la seule à avoir la dignité de vraie cause du théorème final est l’égalité des angles de tangence ; mais on peut fort bien suivre pas à pas le dédale démonstratif de cette œuvre d’art qu’est la Lettre à M. A. D. D. S sans voir l’importance de l’égalité des angles de tangence en des points qui se correspondent.

  • 21 Comparer les Propositions II et III issues de la correspondance, citées plus haut. Elles n’ont pas (...)

216Sans surprise la preuve par exhaustion est parfaite du point de vue de la raison (ne prenons pas en compte l’« erreur » à la fin, amendable sans toucher au reste comme l’a montré Fermat), mais l’idée qui préside au résultat est noyée dans les dédales de la rigueur21 ; tandis que la preuve par les « points », façon Torricelli, est figurative, se comprend par la vue ; l’idée de la preuve et le résultat ne font qu’un ; mais (rien n’est jamais parfait) les entorses à la rigueur sont présentes, trois fois la courbe est, sans le dire, localement confondue avec la tangente (spirale, parabole, cercle servant de ligne coordonnées) comme on fait couramment au xviie siècle où l’on admet implicitement que pour ces êtres infiniment petits l’erreur faite en les confondant est encore infiniment plus petite et qu’après sommation elle sera négligeable au premier ordre et disparaîtra. On admet, parce qu’on sent, mais on serait bien en peine de donner une démonstration géométrique générale de ce fait, les développements limités ne sont pas encore advenus. Le même fragment du dossier Géométrie/Finesse, juste avant, parle à propos de la finesse de :

choses tellement délicates et si nombreuses, qu’il faut un sens bien délicat et bien net pour les sentir, et juger droit et juste selon ce sentiment, sans pouvoir le plus souvent le démontrer par ordre comme en géométrie parce qu’on n’en possède pas ainsi les principes, et que ce serait une chose infinie de l’entreprendre.

217L’importance de l’égalité des angles de tangence peut passer inaperçue dans la démonstration par exhaustion que donne Pascal. Mais pas chez Torricelli, ni chez ses lecteurs, car sa démonstration est une « monstration » de la vraie raison de l’égalité des deux lignes. De façon spectaculaire, le prix à payer à la rigueur est la noyade des causes dans l’océan du formalisme. Tandis que pour faire voir la cause et accéder au « je sais pour l’avoir vu » de la langue des Grecs, le prix à payer est d’enfreindre partiellement les lois rigoureuses de la pure raison, mais, au fond, sans rien dire de faux, car le sentiment pense juste au xviie et est encore parallèlement à la manœuvre pour longtemps dans le calcul infinitésimal.

218Maintenant que la rigueur logique pense avoir gagné avec les définitions rigoureuses de limites, un sérieux problème de compréhension des mathématiques continue à se poser au-delà de la maîtrise technique, si l’on entend par comprendre voir ce qu’il y a derrière ce que l’on dit.

Conclusion

219La Lettre à M. A. D. D. S. est une superbe manifestation de la raison discursive, comme nous espérons l’avoir mis en évidence en ne résumant rien des deux démonstrations phares.

  • 22 Il l’a fait volontairement, pour convaincre à coup sûr. Mais ce qui est paradoxal, c’est qu’au fon (...)
  • 23 Même le constructivisme qui refuse les preuves par l’absurde, ne trouve rien à redire, car « être (...)
  • 24 Non seulement les relations entre les côtés dans le triangle étaient connues, bien sûr, mais aussi (...)
  • 25 À la relecture de cet article, Stefan Neuwirth voit dans cette démonstration qu’il qualifie d’« à (...)

220Pascal a fait ce qu’il a voulu : évincer les indivisibles22 pour s’en tenir à la méthode des anciens, à savoir supposer, comme Archimède, que les deux lignes ont une différence et montrer par une suite de propositions logiquement inattaquables l’absurdité qui en découlerait23. Pascal ne s’est pas contenté de la formule rituelle en période indivisibles « on démontrerait facilement la même chose par exhaustion », il a effectué ladite démonstration, reléguant le mot facilement dans le tiroir à dénégations. En droit Archimède aurait pu fabriquer une telle preuve car pas un des résultats de géométrie qui y figurent ne lui est inconnu24, point d’hexagone à propriété projective, aucun faisceau de droites, rien de tout cela. En fait, cependant, il semble qu’aucune démonstration d’exhaustion pareillement articulée25 n’a vu le jour avant cette Lettre, ni après d’ailleurs ; en tous cas l’art de transformer le requis en une succession de requis de plus en plus simples appartient en propre à Pascal et est nécessaire pour aboutir.

  • 26 Pour les aspects littéraires, la poésie et la dramaturgie dans les Lettres de géométrie infinitési (...)

221Les autres Lettres de Dettonville obéissent à une logique moins dogmatiquement rationnelle que celle-ci, cependant toutes ont un point commun : loin de se réduire à leur contenu mathématique, elles élèvent la disposition des matières au rang d’œuvre d’art. Renvoyons, pour l’art littéraire, – poésie et dramaturgie –, à l’ouvrage de D. Descotes cité plus haut26, et contentons-nous de relever quelques points que l’on peut voir comme des manifestations de l’art d’agréer.

222Tous les écrits infinitésimaux de Pascal-Dettonville sont intitulés Lettres. Le mot Traité peut advenir après le titre, comme dans la Lettre I qui se compose de Traités, mais celui de Lettre est premier. Chaque Lettre a un destinataire nommé, Carcavi, Huygens, etc., mais, au fond, Pascal écrit une Lettre destinée à quiconque le lit, en prenant en compte ce lecteur, dans la manière d’écrire.

223Dans cette Lettre à M. A. D. D. S., les concaténations sont particulièrement longues. La manière d’écrire de Pascal sollicite constamment la curiosité : pourquoi ces Lemmes de cercle qui n’ont apparemment rien à voir avec le sujet ? Pourquoi déménager des éléments de parabole en un lieu consacré à la spirale ? Pourquoi cette abondance de similitudes dans les notations d’une figure à l’autre ?

224Chaque lecteur apprendra à mesure de son avancée dans le texte pascalien la raison de tout ce qui lui a posé question, d’autant qu’il gardera ce questionnement en mémoire, à cause de l’étrangeté. Pascal qui connaît l’âme humaine sait qu’il est plus satisfaisant de recevoir des réponses à des questions qu’on s’est posées que des vérités assénées sans préparation.

225Par exemple, il sera facile de s’apercevoir que si bien des Lemmes et des figures avaient été savamment disposés trop tôt et sans dévoiler d’intention, c’est que certaines démonstrations que l’on est en train de lire sont des séquences bien trop longues pour se permettre d’y inclure des sous-séquences de parenthèses de démonstrations partielles – celles des Lemmes, par exemple – qui risquent de faire perdre le fil aux lecteurs les plus attentifs et de meilleure volonté. Pascal sait se mettre à la place de l’autre.

226Le décalage temporel, créateur de questionnement, se manifeste aussi de cette manière : le moment où chaque figure advient dans le texte pour la première fois (se repérer au numéro) est toujours un moment où une partie – ou même parfois le tout, comme dans le cas des cinq Lemmes – d’elle-même reste mystérieuse car il y a constamment un décalage chronologique entre figures et texte, comme un contrepoint d’avance de celles-là sur celui-ci. Les figures ont la prééminence temporelle sur l’écrit, elles annoncent le texte, on l’a vu maintes fois, par leurs notations, et ce décalage temporel est créateur de lecture active. L’aspect figuratif général de la pensée de Pascal se déploie avec une grande variété. Il arrive même, comme on l’a vu avec les deux figures principales, qu’une figure soit la figure d’une autre.

227Il y a une unité dans les quatre Lettres, le mouvement. Le mouvement des « petites portions », ces infinitésimaux géométriques nés de lignes dont les métamorphoses incessantes sont le moteur de la Lettre I (le traité de calcul intégral) et se retrouvent avec une moindre intensité dans les deux Lettres suivantes. Quant à cette quatrième Lettre, à M. A. D. D. S., nous avons vu que pour venir à bout de sa démonstration Pascal change le requis en transportant fictivement les éléments d’inscrites et de circonscrites aux deux courbes dans le dernier secteur EAVBMA de la grande figure, avec une deuxième délocalisation – réelle celle-là, motivée par une mise en contiguïté – du dernier secteur de la parabole. Et l’on n’ose imaginer ce que seraient devenus les engrènements de sa démonstration sans la simplification créée par ces idées bienvenues.

228Il y a un dernier point commun à ces quatre Lettres de Dettonville : ce sont des chants du cygne, des indivisibles pour les trois premières, de l’exhaustion pour la dernière ; un premier chant du cygne étrange, tourné vers l’avenir, car les indivisibles de Pascal sont des différentielles ; un second chant du cygne clôturant le passé de la méthode antique par ses rouages à l’ordonnancement incomparable.

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Notes

1 À la suite des trois autres Lettres, celle de Monsieur Dettonville [pseudonyme de Pascal] à Monsieur A. D. D. S. se trouve dans Pascal, Œuvres complètes, IV, éd. J. Mesnard, Paris, Desclée de Brouwer, 1992, p. 542-565 (planches comprises). Cette édition sera désignée dans la suite par le signe OC suivi du numéro de volume.

Il faut noter que cette édition de J. Mesnard a tenu compte d’un nombre non négligeable d’erreurs se trouvant dans l’original et relevées par le mathématicien Kokiti Hara (une note précise chaque fois ce que dit l’original par or.), alors que ces erreurs subsistent souvent dans d’autres éditions.

2  Par deux fois Pascal, dans un long avertissement, affirme qu’il n’y a pas de vraie différence entre la doctrine des indivisibles qu’il emploie et la manière des anciens, ou la méthode géométrique ; voir OC IV, p. 424.

3 Pensées, fragment 142, dans l’édition Ph. Sellier (c’est-à-dire toute édition établie – à la suite de Ph. Sellier – d’après la deuxième copie). Dans la suite on abrégera ainsi : Sel. 142.

4  Le Traité des trilignes rectangles et de leurs onglets qui se trouve dans OC IV, p. 442-468. Les quinze propositions qui le composent sont toutes des égalités d’intégrales avec changement d’élément différentiel (dx, dy, ou ds, pour le dire comme aujourd’hui) d’un membre à l’autre, comme le montrent les notes p. 449-451. Les mots de Pascal sont différents – l’analytique n’a pas encore remplacé la géométrie –, mais les choses sont les mêmes.

5  Émile Picard a ainsi qualifié la Lettre I, à cause des techniques modernes (changement de variable, intégrales multiples, intégrales curvilignes, etc. qui y figurent). À ce propos, j’aimerais retrouver qui a dit que Pascal devrait figurer aux côtés de Newton et Leibniz comme inventeur du Nouveau Calcul, ce qui n’est toujours pas le cas, loin de là.

6  OC IV, p. 391

7  Dans la suite on se référera très souvent à ce point 7. de cette manière : pour un point donné, on appellera « angle de tangence » l’angle touchante - rayon et « triangle de construction d’A. » le triangle dû à Archimède chargé de représenter cet angle de tangence. Tout autre triangle de mêmes proportions qui, de ce fait, a les mêmes angles fera l’affaire.

8  C’est la proposition XX, p. 269 du tome I. Les œuvres complètes d’Archimède, trad. Paul Ver Eecke, Paris, Albert Blanchard, 1960. On peut aussi consulter la traduction de Charles Mugler.

9  Dominique Descotes, Blaise Pascal. Littérature et géométrie, Clermont-Ferrand, Presses universitaires Blaise-Pascal, 2001, spécialement chap. V, II, symbolisation à l’antique, p. 245-248.

10  En toute rigueur il faudrait s’assurer, pour que la somme des différences soit bien la différence des sommes, que les cordes de l’une des courbes sont systématiquement plus grandes (ou plus petites) que les cordes correspondantes de l’autre. Ne soyons pas plus pascaliens que Pascal, il y assez d’enchaînements comme cela et il semble visible que la parabole est partout moins courbée que la spirale.

11 Rappelons qu’à cet endroit la figure séparée recopie, à un changement d’échelle près, de celle du Lemme IV avec les mêmes lettres S, X, 8, Q, A en minuscules, ce qui justifie que Pascal passe de l’une à l’autre des deux figures pour les inégalités.

12  Jean-Luc Verley, mathématicien et historien des mathématiques, préconisait de réserver le terme de « représentation » à une figure qui se distancie du réel en ce sens qu’elle en est plus qu’une simple copie, disant qu’autrement une représentation n’apporte rien. La question qui reste entière est : « Comment Pascal a-t-il eu l’idée de cet éclatement - réorganisation des angles de tangence ? »

13  Voir Hubert Aupetit, De L’Esprit géométrique aux Pensées de Pascal. La nécessité biblique. Thèse, Université Lumière Lyon II, 2015. Spécialement chap. 4, l’unité figurative de l’œuvre mathématique pascalienne, p. 172-189.

14  Ibid., p. 172.

15  Voir Bernard Bettinelli, Bulletin IREM de Besançon, no 35, nov. 1997, p. 19-21, et, du même auteur, la brochure IREM, Le trésor d’Archimède, janvier 1988.

16  OC IV, p. 639.

17  OC IV, p. 642-643.

18  OC IV, p. 671-672.

19  Pour ce paragraphe, voir Dominique Descotes, Blaise Pascal. Littérature et géométrie, op. cit., spécialement chap. V Le rythme dramatique, p. 252.

20 Tout ce qui est dit sur Torricelli s’appuie sur les écrits de François De Gandt et de Ettore Bortolotti parus ou réédités dans le no 17 des Cahiers du séminaire d’épistémologie et d’histoire des Sciences, Université de Nice, 1983-1984.

21 Comparer les Propositions II et III issues de la correspondance, citées plus haut. Elles n’ont pas la même signification, la première est causale, la seconde est au service de la rigueur démonstrative.

22 Il l’a fait volontairement, pour convaincre à coup sûr. Mais ce qui est paradoxal, c’est qu’au fond, la démonstration de Torricelli est plus dans l’esprit de Pascal (« voir la chose d’un seul regard », etc.) qui met l’esprit de finesse au-dessus de l’esprit de géométrie.
Il y a encore plus troublant : les éléments infinitésimaux de Pascal, les « petites portions », fondement des autres Lettres, après avoir été l’objet d’une création et d’une étude théorique approfondie dans la Lettre I, naissent de lignes comme dans la preuve de Torricelli donnée plus haut.

23 Même le constructivisme qui refuse les preuves par l’absurde, ne trouve rien à redire, car « être égal » ne signifie rien d’autre que « il est absurde d’être différent ».

24 Non seulement les relations entre les côtés dans le triangle étaient connues, bien sûr, mais aussi le théorème de l’angle au centre double de l’angle inscrit ; et la difficile proposition de construction de l’angle de tangence en un point quelconque de la spirale établie par Archimède lui-même par exhaustion.

25 À la relecture de cet article, Stefan Neuwirth voit dans cette démonstration qu’il qualifie d’« à engrenages » une relation avec les engrenages de la machine à calculer dont Pascal est l’inventeur.

26 Pour les aspects littéraires, la poésie et la dramaturgie dans les Lettres de géométrie infinitésimale, voir Dominique Descotes, Blaise Pascal. Littérature et géométrie, op. cit. Le chapitre V concerne particulièrement cette Lettre à M. A. D. D. S. et la met en rapport avec la Lettre à Huygens.

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Table des illustrations

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Titre Fig. 4
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Titre Fig. 5
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Pour citer cet article

Référence papier

Claude Merker, « « Égalité des lignes spirale et parabolique. Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur A. D. D. S. » ou Pascal et l’exhaustion »Courrier Blaise Pascal, 43 | 2021, 163-214.

Référence électronique

Claude Merker, « « Égalité des lignes spirale et parabolique. Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur A. D. D. S. » ou Pascal et l’exhaustion »Courrier Blaise Pascal [En ligne], 43 | 2021, mis en ligne le 01 décembre 2022, consulté le 19 avril 2024. URL : http://journals.openedition.org/cbp/635 ; DOI : https://doi.org/10.4000/cbp.635

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Auteur

Claude Merker

Département de mathématiques, université de Franche-Comté

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Droits d’auteur

CC-BY-4.0

Le texte seul est utilisable sous licence CC BY 4.0. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.

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