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O(A) LÓGICO(A) – (O)A LÓGICO-MATEMÁTICA(O)

Henri Lefebvre
Tradução de Marcio Rufino Silva (Professor Adjunto DEGEO/UFRRJ)
Referência(s):

LEFEBVRE, Henri. Le (La) logique – (Le) La logico-mathématique. In: Le retour de la dialectique: 12 mots-clefs pour le monde moderne. Paris: Messidor/Éditions Sociales, 1986, pp. 59-74.

Texto integral

A lógica e as lógicas

1Que a ciência ingressa na produção (nas forças produtivas), isso era uma afirmação já banalizada antes da publicidade da “revolução científica e tecnológica”. Esta, por outro lado, veio a seu tempo, preparada por múltiplas “condições”, circunstâncias, razões e causas (dos fracassos, relativos, da revolução política e social). O que parece menos banalizado é compreender que o(a) lógico(a) ingressou, ele(a) também, na prática social. Sem nenhuma violência? Pela única ação potente do pensamento? Não. Vislumbrou-se, conforme veremos, que existe uma relação entre violência e lógica, bem como uma violência (uma força e uma potência) própria da(o) lógica(o). E isso oculta o fato de que a lógica, enquanto forma, seja separadamente ensinada (fora da prática), seja a propósito da filosofia e de sua história, seja nas especialidades altamente técnicas (lógica operacional, teoria das estratégias etc.). Não se trata apenas da lógica operacional. Trata-se de toda ação conduzida de modo coerente, não somente a partir do individual e de tais indivíduos que dirigem esta ou aquela operação, mas igualmente no âmbito dos grupos, das instituições e mesmo de uma globalidade: o Estado (este Estado) ou o capitalismo.

2Toda ação tem sua lógica; a extensão do termo vai mais além, já que obras importantes utilizaram esses títulos: lógica do vivente – lógica do inconsciente – lógica da sociedade, etc. Decorrem duas consequências da fragmentação da(o) lógica(o) em múltiplas lógicas, ou seja, em lógicas cuja diversidade não tem limites. Existem, portanto, lógicas relativas, cuja relação com a lógica (formal, rigorosa) já é um problema. No mais, se cada ser humano pratica mais ou menos claramente uma lógica, servindo-lhe ou dela se servindo, aquele não se encontra, devido a isso, menos preso nas contradições igualmente múltiplas. Ele as refuta, recusa tomá-las pelo que elas são: contradições. Ele encontra outros nomes (paradoxo, desafio, confrontação etc.). As contradições, mesmo não percebidas ou não elucidadas, não estão mais ali (aqui). A lógica se encontra atormentada pela dialética – a teoria e a prática da coerência encontram-se presas às contradições, ainda que se descarte a teoria das contradições. E isso desde o emprego (ideológico ou retórico) do discurso e das palavras. Há uma luta constante entre a(o) lógica(o) e a dialética. Esta última se encontra incontestavelmente na defensiva, já há alguns anos. Mas a mundialidade, bem como o pontual, mostram que ela não desapareceu, ainda que ela pareça obscurecida.

As exposições da dialética

  • 1 A esse respeito, vale a pena mencionar um trecho do Prefácio à Segunda Edição (1969) de “Lógica Fo (...)

3Ela pode ser exposta (teoria, procedimento ou conceito) de várias maneiras: a partir da natureza (material) – a partir da história – e a partir da(o) lógica(o). A primeira exposição tornou-se clássica desde que Engels (discípulo de Schelling, filósofo da natureza, mais do que de Hegel, filósofo da história) retira seus argumentos do exame das forças em conflito, das lutas e da relação entre o humano e o ambiente, etc. O materialismo claramente vincula-se, então, à presença da natureza, à descoberta do determinismo (gravitação, energia). Esse vínculo com a ciência, claro e distinto no século XIX, engendrou mais tarde um dogmatismo, ele próprio ligado ao poder político, tendo suas consequências: uma recusa das descobertas realizadas do lado “burguês”, rapidamente taxadas de idealismo e de ideologia.1

4Além disso, os argumentos nessa direção não evitam os sofismas: mais e menos, grande e pequeno, ação e reação não são contradições. Substituir a contradição, sem outras precauções, por “contrariedade”, acarreta dificuldades, especialmente quando se deseja compreender as matemáticas: o grande e o pequeno, isto é, o infinitamente grande e o infinitamente pequeno. As dificuldades de uma tal exposição e seus limites provêm do que se considera exclusivamente relações de dois termos (nas quais costuma-se dizer que tais termos se confrontam). Do mesmo modo, a luz e as trevas, o repouso e o movimento, o passivo e o ativo, o gradual e o súbito.

5Ora, o dual introduz apenas oposições, constituindo uma estrutura e, cedo ou tarde, uma fixidez. A análise que evita esse lado redutor da reflexão dual, assim como da racionalidade unitária (identitária), sempre descobre três termos. Já para Hegel, a linguagem corrente e o intelecto, que fragmentam e reduzem, apercebem-se somente de um ou dois termos. A razão e o pensamento dialético restituem uma tríade: “Tese – antítese – síntese”. Hoje, mais de um século após Marx, a análise não pretende mais resultar em uma síntese; ela descobre três termos (ao menos). Citemos, ainda, para ilustrar novamente essa afirmação, a tríade da potência: “Ter – poder – saber”. Ou a tríade da mediação: “Voz – texto – imagem”. Ou a tríade da ação: “Determinismo – decisão – acaso”, etc.

6A natureza? Esse antigo conceito não encerrou sua longa carreira, mas ele se desembaraça de um finalismo ingênuo e se completa com outras noções: matéria, energia, processo, campos etc. Estabelecer uma conexão dogmática entre “matéria” e “dialética” é arriscar uma extrapolação. Invertendo essa posição (mais “idealista” que parece, em uma primeira aproximação, pois ela põe e supõe uma espécie de essência da natureza material), pode-se dizer que uma pesquisa animada pelo procedimento dialético descobre na “natureza” dos processos o que outros procedimentos desconheceriam.

7Essa afirmação não é suficiente. Ela remete à teoria geral das relações entre o finito e o infinito, entre o contínuo e o descontínuo, entre a repetição e o devir. Essa teoria prolonga a filosofia clássica, mas não é mais filosófica, pois ela considera a lógica e a dialética, bem como os procedimentos do conhecimento em matemática, em física e em cosmologia. Ela difere bastante da epistemologia. Esta se contenta em inventariar o adquirido; ela faz a “nomenclatura” e classifica os conceitos considerados como definidos e definitivos. No melhor dos casos, ela arranja-os em oposições em caráter limitativo, tais como o aberto e o fechado, o demonstrável e o indecidível, o lógico e o paradoxal. O que esquiva-se, de início, da(o) dialética(o). Ao passo que o procedimento (método) aqui explicitado deixa aberto (mas nunca escancarado) os campos da pesquisa em cosmologia, em física etc., ele não põe em anterioridade nenhum esquema geral e deixa espaço a descobertas e surpresas na exploração do universo.

8Sabe-se há muito tempo que é possível expor a dialética e fundá-la sobre a história. O materialismo histórico, assinado por Marx e Engels, se define como sua descoberta crucial, como uma virada decisiva no conhecimento; implicaria, assim, essa fundação da dialética. Ainda que a relação entre o materialismo histórico e o materialismo dialético seja frequentemente admitida como autoexplicativa, enquanto exige uma elucidação.

9Argumento: quando o essencial da história se desvela nas lutas de classes, agentes e motores do tempo histórico, aí se descobre o fundamento do pensamento dialético. Se negarmos que a dialética enraíza-se e funda-se desse modo, recusamos de vez as lutas de classes e a importância dos conflitos no tempo histórico. Abandonamos o marxismo em benefício de um racionalismo evolutivo, conciliatório e reformista desde a teoria – antes mesmo de ingressar na prática; desde então, o conhecimento da história se perde em anedotas, em fatos isolados ou em detalhes concernentes seja aos eventos, seja às instituições. Sem fio condutor. Sem eixo, nem centro.

10Admitamos que a luta de classes tenha “animado” o tempo histórico. É necessário, ainda, acrescentar imediatamente que o esquema que representa essas lutas como uma oposição entre duas classes, sendo uma a dominante e outra a dominada, simplifica as situações, colocando uma espécie de estrutura conflituosa de dois termos.

11Para que se dê conta disso, basta ler os escritos históricos de Marx, onde ele analisa tal conjuntura política: por exemplo, O 18 Brumário de Luís Bonaparte. Esse estudo conjuntural expõe as relações de classes altamente complexas, irredutíveis a uma oposição “estrutural” polarizada, a uma luta, portanto, no sentido esquemático geralmente admitido. Haveria incompatibilidade entre as análises que opõem estruturas de classes determinadas (plebe e aristocracia, na Antiguidade – burguesia e proletariado no modo de produção capitalista) e os estudos de conjuntura, expondo uma situação concreta? Não. As noções de estrutura e de conjuntura têm uma relação dialética: em conflito e, no entanto, complementares, sob a condição de não separar o que se dá em conjunto.

12Parece difícil caracterizar, portanto, sem redução, a história e o tempo histórico, pelas simples relações (conflituosas) de classes e, assim, fundar a dialética. É necessário adicionar a essas relações de classe a relação entre as sociedades globais e a “natureza”, o crescimento das forças produtivas, a inovação técnica, o movimento (conflituoso) das estruturas e das conjunturas, que corresponde à complexidade das sociedades levadas ao devir histórico. Uma consideração já anunciada reforça esses argumentos: a mercadoria surge no Ocidente, durante a Antiguidade grega, nas relações de troca entre as cidades mediterrâneas (não sem violência, pirataria, agressões, rivalidades e guerras). Ela aparece “nos poros” (Marx) dessas sociedades. Entretanto, a forma da troca, com seus meios (as moedas) não é menos produzida (ou criada, pois se trata de uma criação, a criação de uma forma) pela troca que, por sua vez, produz riqueza; as aquisições estendem o domínio da forma, fornecendo-lhe conteúdo. Serão necessários mais de vinte séculos para que a forma ganhe o mundo inteiro, no mercado mundial. O capitalismo, com suas relações específicas, aparece sobre esse fundo, o qual ele contribui para acentuar, desenvolver e mundializar.

13Retornamos aqui sobre uma tese exposta de outro modo diversas vezes. Não haveria vastos campos e processos que a dialética permite explorar? Sem esquematizar de antemão, mas fornecendo-lhes seus conceitos? As relações dessa forma de troca (mercadoria) e de conteúdo (as coisas materiais) – as relações do mercado e da mercadoria com a formação, acumulação e extensão do capital são exploradas, são campos de pesquisa. Resumidamente, uma historicidade ligada às classes, mas irredutível a uma espécie de mecânica de classes e irredutível tanto aos eventos quanto às instituições (aos procedimentos e métodos eventuais e institucionalistas, portanto), é esclarecida “dialeticamente”.

14Já é possível concluir. O método (o pensamento) dialético não pode nem se expor nem tampouco se fundar segundo os esquemas geralmente admitidos; nem segundo a filosofia (e a oposição “sujeito-objeto”), nem segundo a natureza e a filosofia da natureza, nem segundo a história, a filosofia da história e o materialismo histórico. Ao contrário: uma vez estabelecido, o pensamento dialético esclarece esses domínios. Ele deve se expor a partir da lógica, exigido pela lógica, a partir dos limites de sua lógica e das deficiências definidas pelo seu funcionamento e em sua incontestável eficácia.

15À imensa positividade regida pela lógica nos diversos domínios (poderíamos dizer: no reino ou no império do lógico) se opõe uma negatividade, não menos formidável. O que caracteriza a modernidade: inverso e reverso. Aqui, não se trata de uma oposição abstrata e paradigmática, produtora de significações e de sentido, mas de um conflito prático, em profundidade: de um trabalho de destruição e de autodestruição, imanente ao “real”. Se é verdade que o que insistimos nomear ingenuamente de “crise” não se circunscreve mais ao econômico, ou a esta e àquela ideologia, essa palavra designa um vasto processo que estremece a cultura, depois o político, o econômico, o Estado e, em seguida a totalidade (constituindo essa totalidade pela via da negação, e de modo algum, como acreditaram os hegelianos e muitos outros, pela via do afirmativo e do positivo).

16Permanece um enigma, entre outros menos insistentes, um paradoxo e uma interrogação: o destino da filosofia. Descartada como fundamento da dialética, não realizada segundo a promessa e o anúncio de Marx, como ela resistiria na incursão na “crise”? Se há “crise total”, isto é, engendrando pela via do negativo uma nova totalidade, do finito (historicamente concluído), há uma crise da filosofia...

17Seria possível definir essa “crise”? Sim, através de certos traços da crise em geral, mas também por traços específicos. Se há “revolução cultural”, com ou sem revolução política, a filosofia pode sofrer algumas consequências. Ela se transforma. Senão, ela se degrada, com alguns especialistas fazendo louváveis esforços para mantê-la na sua forma “clássica”...

18Mas, como se diz, a lógica reina. Sem divisão. Reclama-se por ela em todos os lados; ora, a lógica faz parte da filosofia. Resposta: justamente, ambas se separam; a lógica ingressa, por sua conta, no saber e na prática. A “crise” da filosofia provém, entre outras razões, dessa ascensão e desse emprego autônomo da(o) lógica(o). Emprego que se constata, que não faz mais sentido contestar. Ao contrário: é necessário aceitá-lo e tomá-lo como ponto de partida, como princípio. Mostrando as bordas, os limites da lógica. Mostrando-a presa à dialética, de modo que a situação se inverta; hoje dominante, a lógica será dominada. Para o momento, é o movimento, o devir e o processo que fazem “o objeto” da teoria: o momento no qual a situação se volta (na teoria).

19A grande força da lógica e dos lógicos é:

a) Ter buscado pensar a matemática (o que geralmente os dialéticos simplificaram, descuidando-se da matemática “de ideologia burguesa”).

b) Ter posto que a matemática, sendo em essência um pensamento, ou ainda, o pensamento, seria necessário e suficiente refletir sobre ela, para responder às questões ditas filosóficas, metafísicas e religiosas. Para eliminar os problemas relacionados à incoerência do discurso, sem solução nem resposta. Porque são “efeitos de linguagem”.

20O que há de aceitável nessas ambições, estreitamente ligadas à filosofia clássica? A filosofia continua. Sem a menor dúvida. Porém, se ela não se transforma, não sucumbirá aos rigores da lei da degradação, da lei do negativo e do mortal, que atinge toda energia mental, social e natural?

21A questão da filosofia como tal nunca deixou de estar no centro do debate. Ela o é neste instante, aqui e agora, mais do que nunca; pois se é questão de lógica e de dialética, é que não há uma questão filosófica, mas a questão da filosofia.

22Até porque os termos do problema se deslocam e mudam, ao longo da “crise” e na crise. Realizar a filosofia, segundo a palavra de ordem de Marx, ainda tem um sentido? A informática e a lógica caminham neste sentido – ou em sentido contrário? Pode-se ignorá-las? Desviá-las? Se a filosofia teve dificuldades em ingressar no real e no vivido, em sua forma “clássica”, não seria necessário modificar essa forma? Inventar, então, para inseri-la em um projeto global, outra forma de filosofia? É que essa invenção não faz parte da revolução cultural que prossegue (por meio das mudanças ou contra as mudanças sociopolíticas); isso será tratado mais tarde.

23Se hoje tiramos as lições do passado histórico, não é mais apenas a matemática e a lógico-matemática sobre as quais se convêm pensar (levar ao pensamento). É também a arte. Marx propôs realizar a filosofia. Efetivado ou não, esse projeto se transformou e ainda se transforma. Não seria também a arte, inteiramente, desde os poetas e trágicos gregos até os músicos modernos, que deve entranhar-se ao vivido? Na prática e no cotidiano? O que nomeamos “cultura” caminha nesse sentido ou em sentido inverso?

Lógica e matemática

24Nesse cruzamento particularmente complexo, itinerários se cruzam e se enredam. Qual a relação entre a lógica e a matemática? Os temas e as teorias se opõem; o empirismo lógico, cujos adeptos fizeram trabalhos notáveis, detêm fortes posições. Resumindo, pode-se dizer que eles insistem no rigor (absoluto) do raciocínio matemático: na demonstração. Em uma demonstração, a conclusão deve se descobrir, porém, inerente aos axiomas, princípios ou premissas. Tipo: o silogismo aristotélico, o mais próximo possível da repetição ao idêntico, da redundância, perfeitamente claro e inteligível, portanto. “Todos os homens são mortais; ora, Sócrates é um homem”. A proposição: “A é A” é clara e inteligível – óbvia, mas vazia. Como se introduz um “algo” em uma sequência de proposições tais que “A é B, ou B é C; logo, A é C”. Variante: “Se A é verdadeiro e que B seja verdadeiro, que C seja verdadeiro quando B é verdadeiro, portanto C é verdadeiro quando A é verdadeiro...” É o que introduz a noção de verdade.

25Em resumo, uma tendência na reflexão sobre a matemática a reduz (busca reduzi-la) a uma vasta tautologia. Consideremos o zero (ou suponhamos, sem mais análise) e o um. A repetição dá o dois. Um e um são dois. Dois e um são três. Temos, portanto, todos os números, a partir dos quais se constrói (ou se deduz) a matemática, ciência da quantidade. Essa sucessão se assemelha ao que fazemos na prática imediata: colocar os objetos uns ao lado dos outros (ovelhas, grãos de trigo etc.) e contá-los. A matemática “reflete” a prática... O que não ocorre sem dificuldades. Admitamos que passemos, sem muitos problemas, da aritmética e dos números inteiros à geometria. Isso deve acontecer, no entanto, a partir de um certo número de hipóteses e de axiomáticas, como o espaço, o ponto, a linha, a superfície, as dimensões etc.

26Mas, permaneçamos nos números. Descobre-se prontamente que eles têm “propriedades” notáveis: o par e o ímpar, os assim chamados números “primos”, etc. Propriedades que se apresentam como “fatos” e não como evidências tautológicas. Ou ainda, os números chamados (ao longo da história da matemática e do conhecimento) “irracionais” ou “imaginários”, tais como o π (relação entre o diâmetro e a circunferência, que pode se referir a um número finito de números); ou ainda , número “impossível”, mas do qual se necessita nos cálculos. Essas dificuldades aparecem desde a Antiguidade. Elas suscitam uma outra teoria, muito oposta. Os números têm uma “realidade”, que se distingue tanto da evidência quanto da realidade prática e sensível: uma idealidade. Tese pitagórica, retomada e alargada por Platão. Os números são (e têm) Ideias (uma realidade quase mística, quase divina). Essa concepção do Número (ideal, ou se preferir, substancialista, essencialista, portanto, idealista etc.) tem muita influência (por exemplo, o Número de Ouro em arquitetura etc.). O aspecto qualitativo dos números se expõe plenamente, mas padece o rigor. As “propriedades”? Busca-se descobri-las e demonstrá-las, nem sempre obtendo sucesso. Isso suscita paradoxos, a partir dos quais se leva a negar o número e mesmo a sacrossanta Verdade. Que fazer do infinito? Do número em uma sequência ilimitada de cifras, de séries infinitas? Nomeamos e classificamo-los “irracionais”. Ora, é por aí que acontece a invenção matemática.

27É curioso constatar que a interpretação platonizante não desapareceu, revigorada nos tempos recentes, pelo fato de haver “teoremas de existência”, proposições indemonstráveis ou indecidíveis, e outras cujo “objeto” não se apresenta, ao passo que se sabe matematicamente que ele “existe”. De outra parte, a descoberta em matemática frequentemente deu a impressão de que ela atendia um “algo” pré-existente e não engendrado pela iteração, reiteração ou pela recorrência. No mais, a matemática, desde Leibniz, Newton e o cálculo infinitesimal (diferencial ou integral), pela teoria dos conjuntos, exploram o infinito. Ora, o repetitivo e o tautológico se perdem no ilimitado; dificilmente chegam a pôr o “infinito”. A tese da idealidade, portanto, encontrou defensores! Para a infelicidade deles, a aplicação da matemática ao “real” – à “prática”, à técnica – elucida-se mal nessa perspectiva. Ora, o prolongamento da matemática é, ao mesmo tempo, critério e problema.

28Essa problemática seria suficiente para mostrar que a matemática não se pensa ela mesma, que ela não é “per si” e “em sido pensamento; que haja, portanto, um lugar de pensá-la. Isso é feito em filosofia desde a aparição de teorias críticas (Kant), mas foi um pouco negligenciado ao lado “marxista”, e suscitou ou ressuscitou o empirismo lógico (associado a inovações em lógica). Adiciona-se também que esse enigma, mal resolvido há mais de cinco mil anos (o que não impediu o desenvolvimento da matemática, pelo contrário), suscitou também os paradoxos, paralelos às invenções matemáticas, colocando-os em questão, estimulando a pesquisa e, portanto, tão importantes quanto as descobertas. Desde o paradoxo de Zenão, o Eleata, incluindo o do Mentiroso (o Epimênide) e, enfim, até os paradoxos da teoria dos conjuntos (Zermelo, Gödel etc.), os paradoxos expuseram as contradições inerentes à pesquisa matemática, e que as demonstrações simultaneamente dissimulam e resolvem (assim, conforme Zenão, a relação entre o contínuo do espaço e o descontínuo dos atos ocupa o espaço: os passos de tartaruga e de Aquiles e o trajeto da flecha). Os paradoxos preparam, no interior da lógica, da demonstração e da prova pela dedução, a revanche da dialética.

29Entretanto, a pesquisa sobre o processo de invenção matemática lentamente saiu da alternativa e do dilema: ou rigor e tautologia – ou invenção e descoberta, realidade quase misteriosa dos números. Um capítulo parece provir da noção de operador (intermediário entre a lógica “pura”, formal, e o pensamento dialético).

30Caso famoso: conta-se que Gauss, ainda criança, com oito ou nove anos, foi conduzido pelos seus pais à escola de sua aldeia. O mestre de escola, para verificar o nível intelectual e de instrução do novo aluno, perguntou-lhe: “Um e um, isso dá...?” “Dá um”, respondeu a criança; obstinadamente. O professor, conforme se conta, o reenviou para sua casa, como débil mental. Os pais retornaram e disseram: “Mas ele já faz cálculos muitos sábios...” O professor refez a questão. Mesma resposta. A criança apenas adicionou: “Um mais um, isso dá dois”. – Ele libertou da tautologia a noção de operação, ato mental produtivo, que ajunta algo (a menor diferença) ao dado. O mais difere do e, o qual implica a simples repetição ao idêntico. O ato mental pode também remover e subtrair, cortar (segmentar, fazer um corte), fazer deslizar, ou rodar etc.

31A noção de operador está liberada de uma prática: a operação, ato mental cumprido desde os tempos mais remotos. Ela se generaliza recentemente; as linguagens das máquinas definem as operações lógicas, antes de definir as operações próprias.

32A teoria das formas permite elucidar o conceito de operador, sem esgotá-lo, no entanto. A forma “pura”, a identidade, A é A, vazia, tem, entretanto, uma capacidade produtiva (e não somente reprodutiva). E isso de várias formas, de modo que se apresenta imediatamente ao pensamento uma espécie de bifurcação. Em primeiro lugar, a forma pura é fonte da abstração: o rigor lógico, o mesmo, o silogismo e a demonstração, de modo que um mínimo necessário de conteúdo e de diferença, definidos como tais, ingresse na série de proposições. Segundo, na prática, a identidade engendra distintas formas, porém com o mínimo de diferença possível; “inteligíveis”, portanto, mas não sem alguns resíduos: a equivalência, a simultaneidade e a reciprocidade. Terceiro, ela engendra a ilusão filosófica concernente ao Ser idêntico (que é o que é), a Substância, a Verdade, o Absoluto. Mas essas formas ingressam na prática, conferem operações e operadores. Por exemplo, a identidade na identificação; incluindo a simultaneidade: de um lado, forma próxima da identidade e, de outro, ato mental (operação) pelo qual o intelecto torna simultâneo o que no tempo e no espaço aparece sucessivamente. Assim, a sequência dos números: um mais um mais um... Ou, então, o espaço de uma cidade, da informação. A “simultaneização” opera, por princípio, sobre o não simultâneo, o sucessivo; do mesmo modo, a equalização opera sobre o desigual – a reciprocidade sobre o não recíproco. Há, portanto, uma espécie de violência nessa eficácia das formas. Violência mental, que pode ter efeitos na prática. Porém, na matemática, essa “violência” não tem lugar, ela não se exerce. O cálculo matemático põe: um mais um fazem dois – dois mais um fazem três, etc, etc. E assim indefinidamente. Desse modo, um ato mental põe e simultaneiza essa sequência indefinida de números gerados uns após os outros; nascem assim as noções capitais de conjunto, de infinito demonstrável, de transfinito. A potência da forma, tornada operacional, gerou ou engendrou (não somente produziu) alguma coisa de nova. O repetitivo e a diferença têm uma capacidade criadora.

33Dessa maneira, dissipa-se uma segunda ilusão dos filósofos, surgida após a primeira. “O Ser é”, essa evidência não somente nada explica, mas consagra o sensível, o fenomenal e o movente ao nada. Admite-se, então, que a matemática é do pensamento; que não se deve pensá-las, mas aceitá-las enquanto pensamento já ali, não somente real, mas absoluto. Então: “Dum deus calculat fit mundus” [Quando Deus calculava, fez o mundo] (Leibniz).

Matemáticas e dialética

34Alguns grandes filósofos, dentre os quais Spinoza e Leibniz, conceberam a matemática como um vasto desdobramento, perfeitamente ordenado e rigoroso, interno a ele mesmo, do Ser: um Autômato divino. Seria ainda possível “pensar”, adotar uma tal concepção do número e do mundo, e não somente após o criticismo filosófico (Kant e seus sucessores) mas considerando as matemáticas como um “produto” (ou uma invenção, ou uma obra) do qual se pode rastrear a gênese da história? Não. Insistamos. As matemáticas não “são” o pensamento, mas é fundamental pensar as matemáticas! Ora, pode-se sustentar que, para levá-las ao “pensar”, deve-se introduzir a(o) dialética(o) e conceber desde já uma confrontação, um afrontamento (sem violência) entre a forma e o conteúdo, entre a(o) lógica(o) e a(o) dialética(o). O que torna a pôr em questão as contradições estimulantes para o raciocínio matemático, com o intuito de resolvê-los (ou aboli-los!).

35Essa dialetização das matemáticas se inicia por algumas proposições, cujas origens remontam à Grécia e aos pré-socráticos e que, desde então, foram enunciados e denunciados, muitas vezes.

36a) O que é o ponto? Se há uma espessura, um comprimento, uma superfície, como o que marcamos sobre a página com um lápis, toda linha, toda superfície e todo volume contém um número finito (determinável) de pontos. Se não há nenhum comprimento, nenhuma superfície e nenhum volume, não é nada. Ora, uma infinidade de nadas não faz nada! Seria, pois, ao mesmo tempo, nada e alguma coisa. Um buraco? Um vazio? A questão não se encontra nem resolvida, nem alterada. Então, o que é um ponto? Uma linha? Seria uma ficção, um sonho, um imaginário? Ou uma pura abstração? Não. É primordialmente uma forma, posta por um ato mental, que não tem nada de um a priori. É a medida que o ponto inicia, inaugura e instaura, dimensionando o espaço: o mensurável e o medidor. Pode-se dizer que um ponto, como um “zero”, marca um início, um começo, uma referência; isso não lhe confere ainda uma existência geométrica. Pode-se, então, defini-lo (e isso é um progresso) por um corte em uma linha. Mas o que é essa linha? Teria ela uma espessura? Essa definição não é a melhor e, de outra parte, é a mais frequentemente adotada; ela faz intervir um ato mental e, entretanto, concreto: traçar a linha, cortá-la (segmentar) e definido o ponto pelo limite. Permanece, porém, algo de irredutível: a relação entre esse “ponto” e as dimensões que ele definiu, ao numerável e ao não-numerável.

37b) A aporia (dialética) concernente ao “ponto” se reencontra na relação (cuja Antiguidade conheceu o paradoxo) entre contínuo e descontínuo. Retomando o ato mental de corte, toda continuidade se recorta em uma infinidade de segmentos ou de partes, todas finitas. Entretanto, o contínuo não se resolve em fragmentos. Ele contém e envolve “algo” maior e irredutível: a potência do contínuo, o não-numerável, o inesgotável; isso que, no entanto, o matemático deseja apreender e que introduz em sua análise e em sua mensuração, após tê-lo nomeado. Isso acarreta uma “metamatemática” ou metateoria, na medida em que isso supõe o contínuo de inumerável ou não-numerável. O que não ocorre sem paradoxos, proposições indecidíveis, escolhas (bifurcações) entre várias matemáticas, segundo os axiomas escolhidos ou segundo a hipótese adotada (sobre “o conjunto dos conjuntos”). A exploração do “infinitamente infinito” através da aritmética dos transfinitos parece mostrar que a matemática moderna, campo ou multiplicidade de campos imensos, não pode se fechar nem ao debate, nem em direção ao começo (proposição paradoxal de Gödel: para numerar os teoremas ou os números dever-se-ia dispor deste conceito de número que se constitui) – nem em direção a um “fim”.

38Vamos à sequência dos números inteiros. O ato mental que pôs “um mais um...”, e logo em seguida aboliu essa sucessão e os reuniu em uma simultaneidade. Assim se definiu o transfinito. Se pusermos sob um número, o 1, a sequência dos números inteiros, 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 etc. ou ainda 1/1.2, 1/1.2.3, 1/1.2.3.4, etc., engendraremos novos conjuntos “transfinitos”, isto é, ao mesmo tempo finitos e infinitos, uns maiores que outros (transfinitos ordinais e cardinais). Enquanto a filosofia tentava saltar no infinito (meta-física) por um atalho – o “transensus” – o matemático, pacientemente, explora o infinito: dialeticamente, que ele o diga ou não, que ele o saiba ou não.

  • 2 CQFD (ce qui fallait démontrer): O que era preciso demonstrar.

39Sejam agora duas linhas retas se encontrando em um ponto O e duas outras linhas AB e A’B’ determinando dois triângulos OAB e OA’B’. Seja também uma reta partindo de O, cortando AB em C e A’B’ em C’. Em todo ponto C sobre AB corresponde um ponto C’ sobre A’B’. E reciprocamente. Há, portanto, o mesmo número de pontos sobre AB e sobre A’B’. Portanto, AB=A’B’ (quanto à potência do contínuo). Entretanto, A’B’ > B. Elas são ao mesmo tempo iguais e desiguais. O ato mental e a demonstração matemática equalizam o desigual. CQFD2.

40c) Pode-se sustentar que os números têm propriedades qualitativas que são exploradas, simultaneamente às propriedades quantitativas, que são calculadas. Com os números “primos” e com esses singulares teoremas, os quais enunciamos e que demorou séculos para provar (teorema de Fermat). O número 12 (XII) corresponde ao cósmico, ao cíclico e ao “sagrado”, pelo papel que ele cumpre na mitologia e nas religiões, mas também a medida do tempo. Enquanto isso, o 10 e o decimal parecem se adequar bem ao linear e ao espaço; parece que é homogêneo e que tem sua métrica (medida).

41Essas questões matemáticas não podem ser tratadas à parte de uma teoria geral da medida, que atualmente deve considerar a relatividade. Não há mais medida absoluta; toda medida é ao mesmo tempo mensuradora e mensurada, em nome de uma medida comum. Tenta-se fazer disso um absoluto; ora, praticamente e teoricamente, a escala humana – tamanho, tempo e ritmos – serve de começo, de referência implícita, do micro ao macro, da partícula às galáxias. Essa “dialetização” tem limites; ela fixa os limites da(o) lógica(o), mas permanece relativa: não se pode tomar nenhuma contradição por um absoluto. A matemática retira da lógica a teoria da coerência e da identidade, incluindo o procedimento da formalização, que busca resolver as contradições. A lógica tem sua força; uma sequência coerente de atos mentais. A dialética tem uma contra-força. Elas não possuem nem a mesma tática e nem a mesma estratégia. As numerações, dentre outras a binária (zero e um), tão “prática” e tão importante na construção das máquinas (para calcular – não para pensar) dão um passo adiante na formalização. Na redução do(a) dialético(a), portanto; essa é a sua revanche. Não em uma “luta” pela força, mas pelo renascimento das contradições, sobretudo no pensamento crítico que continua: o número e o pensamento do número não coincidem.

O sistema

42A noção de sistema faz um grande uso e abuso da lógica. Ela vem de longe: da música e dos filósofos gregos, designando um conjunto de regras, de leis, de preceitos, constituindo um “todo”. A coerência exige a clausura ou fechamento desse “todo”. O que faz que cada “sistema”, uma vez constituído, busque bastar-se a si mesmo e, contudo, se difundir e se impor. Então, sobre a pressão do externo (fatos, eventos, descobertas, pesquisas) e do interno (contradições internas que se revelam “no uso”) todo sistema se rompe, cedo ou tarde. Muitas vezes, se seus pedaços são bons, pode-se remodelá-los e fazer deles outra coisa (assim com Hegel).

43A noção de sistema se generaliza com a análise sistemática. Supõe-se que tudo o que se mantém (dura ou persevera no “ser”) constitui um sistema, que se autorregula, se restabelece após as perturbações e conserva sua identidade, através do tempo e dos problemas. Daí os conceitos, formalizados pela cibernética e a informática, de feed-back, de retroação, de equilíbrio autossustentável, de programação (softwares). E isso se estenderia aos organismos vivos, às cidades, às instituições etc.

44Pusemos assim, não sem razão, o acento sobre a duração, em um sentido que não é mais o mesmo dos filósofos (Bergson), mas se reaproxima da “perseverança” (Spinoza). A duração resiste ao tempo. No entanto, ela torna-se. O que aprofundou o caráter dialético da temporalidade: o durável no tempo, que o devir carrega, apesar de seus esforços... A noção de sistema e de análise sistemática abusou do “sistemático”, generalizando-o. O conceito, entretanto, evolui: sistemas abertos – recepção e perda de energias (Prigogine). À vitória do lógico sucede uma contraofensiva dialética, sobre esse preciso terreno.

Lógica e ideologia

45De onde provêm representações que não se classificam nem nas utopias e nos sonhos, nem no imaginário e na ficção? A ideologia sairia da ideologia, e assim por diante? Porém, como ela se mantém e como se difunde, enquanto o absurdo da ideologia aparece cedo ou tarde (os “preconceitos”, por exemplo, o racismo, ou ainda o individualismo “puro e simples” etc.)? As ideologias deteriam a interpretação errônea dos fatos científicos? Ou da linguagem? Ou brutalmente de interesses, referentes a uma classe (dominante)? A questão permanece aberta, dada a força das ideologias neste mundo atual, enquanto certos ideólogos gritam para proclamar seu fim (diante da ciência, da técnica, da informação, da “transparência”).

46Hipótese: ao menos uma parte das ideologias nasceriam não mais do(a) lógico(a), mas de um abuso de lógica; elas sairiam assim da lógica, por extrapolação, identificando isso a aquilo: tal fato particular, tal fato individual, ao ser, à essência, à substância – tal indivíduo ao chefe, ao herói, ao deus. Conduzindo ao absoluto (o que se faz correntemente); avolumando a importância de uma constatação. Que de tais procedimentos depende o conhecimento crítico, é pouco necessário dizê-lo. Entretanto, eles não ocorrem sem perigo: fáceis, aparentemente legítimas, logicamente, enquanto eles saem do lógico, de tal lógica parcial e tendenciosa.

47Pela ideologia (os ideólogos) por ela gerada, ainda que ela se oponha e os combata enquanto extrapolações e passagens inconsideradas aos limites, a(o) lógica(o) não escapa às rupturas no devir. Sequer a lógica escapa à dialética, que ela mesma origina e igualmente combate (não sem confusões), e que cedo ou tarde a faz romper!

48Enquanto rege os “complexos discursivos”, o(a) lógico(a) se opõe também às metáforas. Ele os interdita: sem rigor, sem alcance. Contudo, não haveria linguagem sem metáforas. Constituída metamorfose das sensações e do percebido (ao qual regressa), a linguagem – isto é, o complexo discursivo – mistura o lógico e o tautológico com as metáforas e as ideologias. Quando se torna poesia ou ação criadora, passa da metáfora à metamorfose (incluindo isso e supondo aquilo).

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Notas

1 A esse respeito, vale a pena mencionar um trecho do Prefácio à Segunda Edição (1969) de “Lógica Formal, Lógica Dialética” (originalmente publicado em 1947), de Henri Lefebvre, a respeito da interdição de seu projeto, intitulado Tratado de Materialismo Dialético, o qual, segundo o autor, seria publicado em oito volumes. Lógica Formal, Lógica Dialética, assim, corresponderia ao primeiro volume. Vejamos as razões do aborto do projeto. “Em pleno período stalinista, agravado pelo ‘zdhanovismo’ [referência a Andrei Jdanov (1896-1948), correligionário político do líder soviético Josef Stálin (1878-1953)], foi lançada na França uma palavra-de-ordem: ciência proletária contra a ciência burguesa. Uma palavra-de-ordem que – como diziam – era justificada pela situação mundial e transportava para o terreno teórico a luta de classes prática (política). Este volume, que se exigira não ser publicado numa editora ‘burguesa’ e que passava por uma vitória sobre os fanáticos stalinistas (a leitura e a exegese de Stalin eram suficientes, segundo eles, para a ‘formação ideológica’), este volume sofreu, desde o seu aparecimento, as mais severas críticas. Era acusado de não contribuir para a elaboração de uma lógica proletária, revolucionária, socialista. Os ideólogos, pretensamente marxistas, que defendiam essa ‘orientação’, se assim podemos chamá-la, não pediam a demonstração da lógica inerente ao mundo da mercadoria e à sua explicitação. Não pediam uma análise da coesão interna, malgrado as contradições, da sociedade burguesa (ou da sociedade socialista). Não. O pensamento deles, se ousamos dar-lhe esse nome, pretendia-se mais radical. Exigiam que uma lógica, enquanto tal, apresentasse um caráter de classe. E, se ela não podia ter ou receber esse caráter, então rejeitavam a lógica. Tendo o autor declarado que não compreendia as exigências que lhe eram feitas, nem como era possível substituir por uma verdade proletária o princípio da identidade (A = A) ou a identidade (a + b)² = a² + 2ab + b², veio a ordem de interromper a obra começada. Ou seja: o editor rompeu o contrato. [...] Entre as condenações, ocupava lugar destacado a de ter “hegelianizado” a dialética marxista. Condenação inexata e que atestava uma grande ignorância. Para refutar a acusação, bastava considerar o lugar concedido às matemáticas no conhecimento. O raciocínio matemático aparece no trajeto que vai do abstrato (elaborado) ao concreto (conhecido). Ele se liga à lógica dialética. Como essa, é mediador entre a forma e conteúdo. Em troca, Hegel rechaçou de sua filosofia o raciocínio matemático, impregnado – em sua opinião – de arbitrariedade, de construtivismo irreal. Ele afirmava assim o direito absoluto da dialética especulativa.” LEFEBVRE, Henri. Lógica formal, lógica dialética. 5ª ed. Trad. Carlos Nelson Coutinho. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, 1991. A esse respeito, ver também HESS, Rémi. Henri Lefebvre et l’aventure du siècle. Paris: Éditions A.M. Métaillé, 1988, especialmente o capítulo 12 (Science « bourgeoise » et science « prolétarienne »), onde Hess expõe um importante sentido à recusa de Henri Lefebvre ao dogmatismo stalinista, expondo a problemática da recusa oficial do regime stalinista à genética “ocidental” e “burguesa”, amparado nas pseudoteorias do biólogo e agrônomo ucraniano/soviético Trofim Lysenko (1896-1978).

2 CQFD (ce qui fallait démontrer): O que era preciso demonstrar.

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Para citar este artigo

Referência eletrónica

Henri Lefebvre, « O(A) LÓGICO(A) – (O)A LÓGICO-MATEMÁTICA(O) », Espaço e Economia [Online], 10 | 2017, posto online no dia 27 Julho 2017, consultado o 13 Dezembro 2017. URL : http://journals.openedition.org/espacoeconomia/3017

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Autor

Henri Lefebvre

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