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Leçons inaugurales

Géométrie algébrique

Claire Voisin
p. 9

Notes de la rédaction

Résumé de la leçon inaugurale du 2 juin 2016

L’intégralité de la leçon inaugurale est consultable sur le site www.college-de-france.fr, à la page du Professeur.

Leçon inaugurale à paraître aux éditions Fayard.

Texte intégral

1Je voudrais tout d’abord remercier les Professeurs de mathématiques du Collège de France, Alain Connes, Pierre-Louis Lions et Jean-Christophe Yoccoz, pour m’avoir proposé de candidater sur une chaire de géométrie algébrique, et l’Assemblée des Professeurs pour m’y avoir élue. Les mathématiciens enseignant ou ayant enseigné au Collège de France sont de très grandes figures des mathématiques, dans mon domaine particulièrement Jean-Pierre Serre dont l’œuvre a eu un immense impact sur la géométrie algébrique et ses développements ultérieurs par Grothendieck. Jean Leray a de son côté influencé indirectement mais de façon inestimable les développements du sujet en posant les fondements de la théorie des faisceaux. Je suis donc infiniment honorée par la confiance qui m’est ainsi accordée.

2J’ai choisi de consacrer cet exposé inaugural à la description d’une partie de mon domaine de recherche, la topologie des variétés algébriques complexes, qui est en contact avec des domaines des mathématiques extérieurs à la géométrie algébrique, comme la topologie, la géométrie analytique, et la géométrie différentielle. La notion de variété est partagée par tous les géomètres, différant seulement par la régularité des fonctions qu’on y considère - allant des fonctions continues (variétés topologiques) aux fonctions rationnelles (géométrie algébrique). Le point de départ est la notion de coordonnées cartésiennes qui permettent de repérer un point par une suite de nombres.

3Ces coordonnées sont très utiles aux géographes et aux voyageurs mais aussi aux mathématiciens qui les utilisent pour faire du calcul différentiel. Malheureusement la plupart des espaces intéressants (y compris la sphère,  la surface de la terre) n’admettent pas un système global de coordonnées. (Certains espaces topologiques n’admettent même pas de coordonnées locales.) On se contente donc, filant la métaphore géographique, d’un atlas formé de différentes cartes locales, dans lesquelles on dispose de coordonnées locales. Ces cartes recouvrent notre espace mais ont des recouvrements et les applications dites de changement de carte, définies sur l’intersection de deux cartes, décrivant les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes, dictent la régularité et la structure topologique globale de la variété.

4Une structure complexe sur une variété X est un système de cartes sur X, qu’on appelle coordonnées holomorphes locales,  à valeurs dans des ouverts de l’espace vectoriel complexe à n dimensions, tel que les applications de changements de cartes soient holomorphes. D’après Cauchy, les fonctions holomorphes sont aussi les fonctions analytiques complexes au voisinage de tout point. Des exemples de variétés complexes sont donnés par l’espace projectif et ses sous-variétés analytiques fermées, qui sont en fait également algébriques par le théorème de Chow, généralisé plus tard par Jean-Pierre Serre, et les tores complexes, qui ne sont en général pas du tout algébriques, ne contenant en fait aucune sous-variété complexe propre de dimension positive. Ces variétés ont en commun une propriété, l’existence d’une métrique de Kähler.

5La topologie algébrique a introduit des invariants algébriques permettant de décider si deux espaces topologiques sont homéomorphes. Nous nous intéressons ici à la cohomologie de Betti, calculée par exemple comme la cohomologie singulière. Lorsqu’on calcule cette dernière à coefficients réels, on peut utiliser sur une variété les théorèmes de Rham, qui les décrivent comme l’obstruction à ce qu’une forme différentielle fermée soit exacte. Sur une variété kählérienne compacte, le théorème de décomposition de Hodge explique comment la structure complexe se reflète sur la cohomologie, donnant lieu à la notion de structure de Hodge développée par Griffiths. De ce fait les variétés kählériennes compactes obéissent à des contraintes topologiques sévères. Cependant j’ai montré en 2004 que les variétés projectives complexes étaient encore plus restreintes topologiquement. Ceci est dû au fait que leurs structures de Hodge doivent admettre des polarisations. Les structures de Hodge comportent une information très fine sur les variétés considérées et deux ensembles de conjectures (Hodge-Grothendieck d’une part, Bloch-Beilinson d’autre part) les relient aux cycles algébriques, que l’on peut voir comme un analogue de la cohomologie, calculé en utilisant seulement les sous-variétés algébriques d’une variété. Le cours de cette année portera sur divers aspects de la théorie des structures de Hodge, allant de leurs applications topologiques à leurs applications (très largement conjecturales) à la théorie des cycles algébriques.

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Pour citer cet article

Référence papier

Claire Voisin, « Géométrie algébrique »La lettre du Collège de France, 41 | 2016, 9.

Référence électronique

Claire Voisin, « Géométrie algébrique »La lettre du Collège de France [En ligne], 41 | 2015-2016, mis en ligne le 01 novembre 2016, consulté le 28 mars 2024. URL : http://journals.openedition.org/lettre-cdf/3175 ; DOI : https://doi.org/10.4000/lettre-cdf.3175

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Auteur

Claire Voisin

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Droits d’auteur

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