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Comptes rendus

Compte rendu de : Jean-Michel Salanskis, Philosophie des mathématiques, Paris, Vrin, 2008

Jean Celeyrette
Référence(s) :

Paris, Vrin, 2008

Texte intégral

1C’est, beaucoup plus que l’essai annoncé, une remarquable synthèse sur la philosophie des mathématiques que nous procure Jean-Michel Salanskis (J-M. S), synthèse qu’il faut placer dans la continuité de ses autres ouvrages, L’herméneutique formelle, Paris, Éditions du CNRS, 1991, Le constructivisme non standard, Lille, Presses universitaires du Septentrion, 1999, Sens et philosophie du sens, Paris, Desclée de Brouwer, 2001, Herméneutique et cognition, Lille, Presses universitaires du Septentrion, 2003. Il y aborde tous les sujets qu’il considère comme relevant de la philosophie des mathématiques, et à chaque fois présente les positions classiques et expose sa propre position d’une façon rigoureuse et claire, en dépit de la technicité de l’objet.

2Pour introduire son propos, J-M. S s’interroge : pourquoi une philosophie des mathématiques ? Il subdivise cette question en deux sous-questions : la philosophie entretient-elle un rapport privilégié avec les mathématiques et, si oui, cela implique-t-il que la philosophie prenne parmi ses objets, les mathématiques ? Sur les deux points la réponse est affirmative et J-M. S, se séparant de Heidegger, revendique l’héritage platonicien, cela, dit-il, parce que « la mathématique enseigne à la philosophie la sorte d’universel dont elle a le souci ». Quant à ce qui est plus proprement la vocation de la philosophie des mathématiques, il la définit ainsi : c’est élaborer et comprendre l’identité de la mathématique, entreprise qui, dit-il, diffère tant de celle de la philosophie analytique que de celle de Kant. Pour comprendre cette identité le philosophe, qui ne peut regarder les mathématiques sans un certain retrait, ne peut non plus se cantonner à une méditation fondationnelle qui privilégie les premiers éléments, les plus généraux, de l’édifice mathématique ; il doit aussi répercuter, d’une certaine façon, la vie de la mathématique – J-M. S parle de feu puissant, partie intégrante de son identité. C’est là une nécessité qui est réaffirmée de diverses façons dans tout l’ouvrage.

3J-M. S propose alors une liste de cinq questions qu'il considère comme en débat dans la philosophie des mathématiques :

41) Qu’en est-il de l’objet mathématique et de son statut ?

52) Qu’en est-il des statuts respectifs de la philosophie et des mathématiques ?

63) Qu’en est-il du rapport de distinction et de séparation entre logique et mathématiques ?

74) Que faut-il penser de l’historicité de la mathématique ?

85) Que faut-il penser de la dispersion de la mathématique en branches ?

9Les diversités « spatiale » et « temporelle » dont traitent les deux dernières questions vont évidemment à l’encontre du préjugé naïf de la fixité absolue de la réalité mathématique.

10La question 2) ayant été traitée dans l’introduction, les quatre premiers chapitres traitent successivement des autres questions, et J-M.S leur adjoint deux chapitres consacrés à des questions à la forte actualité dans les débats philosophiques actuels : l’applicabilité des mathématiques à la physique et son incidence en philosophie de la connaissance, d’une part, les débats concernant les mathématiques en relation avec le développement des sciences cognitives, d’autre part. De cette somme impressionnante je ne peux donner qu’une idée très partielle ; j’insisterai particulièrement sur le premier chapitre où les concepts fondamentaux sont présentés.

11Dans ce chapitre, le plus long, J-M. S part de la question traditionnelle sur l’ « existence » de l’objet mathématique. Après les remarques classiques sur le caractère fictionnel du nombre, 3 par exemple, J-M. S remarque que l’intérêt pour cette question s’est émoussé et ce depuis le débat intuitionnisme/formalisme en d’autres termes, Brouwer/Hilbert. Depuis Brouwer, en effet, les mathématiciens admettent que les nombres entiers ont un rapport privilégié à la pratique, rapport privilégié qui justifie l’acceptabilité par les intuitionnistes de preuves, termes, formules, objets « constructibles » par des procédures récursives, c'est-à-dire de procédures qui, à partir d’un nombre fini d’objets primitifs et de règles de fabrication en nombre fini, permettent de fabriquer un nouvel objet à partir de ceux qui sont déjà là, et ce indéfiniment; en bref, l'acceptabilité de ce qu’on appelle usuellement les mathématiques constructives. Plus précisément J-M. S décrit l’évolution contemporaine « comme le retrait de l’hypothèse intuitive » (l’intuition du nombre 3 à partir de la considération de plusieurs collections de 3 éléments) qu’il préfère appeler l’hypothèse contemplative. Pour lui, « nous habitons désormais une mathématique dépourvue de base contemplative mais liée par deux contrats fondationnels. Le premier est celui de la formalisation de la théorie des ensembles <sous la forme> de la théorie de Zermelo-Fraenkel avec l’axiome du choix, <théorie  usuellement appelée ZFC> /…/, le second est celui qui nous donne toute ‘l’objectivité constructive’ dont nous avons besoin ». En effet, pour le mathématicien, savoir ce que sont les objets mathématiques n’a d’autre intérêt que de dégager une légitimité de la démonstration, car « avant même qu’on sache si la mathématique parle de quelque chose, il est sûr qu’elle démontre ».

12Pour expliquer le caractère fondationnel de l’objectivité constructive, J-M. S remarque que le discours expliquant ce qu’est un objet engendré suivant une procédure récursive « donne » l’objet et, dit-il, il circonscrit un « voir comme » : une fois cette procédure donnée, non seulement on peut fabriquer des objets en nombre non limité, mais encore on peut reconnaître un objet comme membre de la classe récursivement instaurée : il suffit de « voir » le chemin de sa fabrication à partir des objets primitifs.

13J-M. S distingue alors l’objectivité constructive de ce qu’il appelle l’objectivité corrélative, celle qui revient à la multitude d’objets supposés membres d’une collection satisfaisant globalement à une liste d’axiomes. Une telle collection n’est-elle pas alors qu'une fiction collective ? Non, affirme J-M. S, car pour le mathématicien le système d’axiomes choisis, par exemple ZFC, qui stricto sensu n’est qu’un cadre juridique etne garantit pas l’existence d’objets y satisfaisant, prolonge en fait l’intuition originaire. L'intuition est alors conservée, si bien que ZFC est à la fois axiomatique et intuitif et circonscrit encore un « voir comme ».

14De ces deux objectivités, la première ne pose pas problème. Mais si la mathématique contemporaine appréhende sans difficulté l’objet constructif, J-M. S considère qu'il faut s’interroger sur l’objectivité corrélative du fait qu’elle permet l’infini actuel. Car pour J-M. S c’est au débat sur l’infini que se ramène aujourd’hui le débat fondamental de la philosophie des mathématiques.

15En conclusion, J-M.S revient sur le débat fondationnel des mathématiques et distingue la position formaliste (Hilbert), la position intuitionniste (Brouwer), et la position logiciste (Frege, Russell) en y voyant des attitudes différentes par rapport aux deux types d’objectivité. Pour lui, ces trois attitudes diffèrent de celle des mathématiciens professionnels, ce qui le conduit à dégager sa propre position, qu’il nomme méta-constructive, qui, dit-il, définit le sens de l’objet mathématique en partant de ce que vivent et de ce que font les mathématiciens.

16Je serai beaucoup plus bref sur les autres chapitres.

17Chapitre 2. Logique et mathématique.

18Dans ce chapitre J-M. S se propose de montrer jusqu'à quel point aujourd'hui les deux domaines se sont rapprochés, sans toutefois se confondre. Depuis Frege la logique est souvent caractérisée par sa valeur fondationnelle pour les mathématiques, ce qui amène à considérer comme logique la théorie des modèles, la théorie descriptive des ensembles, la théorie de la démonstration etc. Ce qui conduit J-M. S à présenter deux cas particulièrement intéressants, celui de l’analyse non standard et surtout celui de la théorie des catégories. Cette dernière a été à l’origine créée pour rendre compte d’analogies intra-mathématiques entre des situations apparemment très étrangères les unes aux autres ; la recherche a alors montré que cette théorie permettait de reformuler la théorie des modèles, de généraliser l’univers des ensembles, de recoder les notions et développements de la logique. Dans cette mesure il devient légitime de lui donner une dimension logique. Et il en est de même pour l’analyse non standard.

19À cette extension de son domaine il faut ajouter un autre type de développement de la logique contemporaine avec l’invention de logiques spéciales systématisant une perspective philosophique : logiques modales, déontiques, dialogiques etc.

20La constatation de ce double développement et surtout les exemples de la théorie des catégories et de l'analyse non standard amènent J-M. S à s’interroger sur deux points : qu’en est-il du problème fondationnel, n’y a-t-il pas circularité entre logique et mathématiques, que reste-t-il de l’antique opposition entre la logique, étude et recension des formes du dire valide, donc du côté du langage, et les mathématiques, description de l’univers intuitif du nombre et de l’espace ? Sa réponse est qu’entre les deux domaines, qui ne se confondent pas, existe aujourd’hui une vaste intersection, intersection qu’il met en rapport avec le statut privilégié de l’objectivité constructive.

21Le chapitre 3 porte sur l’historicité des mathématiques et peut susciter quelque contestation de la part de mathématiciens qui ne partageraient pas totalement la vision qu’a J-M. S des mathématiques. Bien que toutes les vérités établies par les mathématiciens anciens restent des vérités, il est impossible de défendre l’anhistoricité de la mathématique ; il suffit de penser aux révolutions du calcul infinitésimal, des géométries non euclidiennes, de la théorie des ensembles etc. La formule de Dieudonné : « on a démontré plus de mathématique nouvelle depuis 1945 qu’on en avait démontré auparavant », résume l’opinion des mathématiciens. Il y a donc une histoire des mathématiques et il faut la comprendre. J-M. S convoque pour cela le concept d’herméneutique formelle. Sur le modèle de l’ « histoire de l’être » dont parle Heidegger, il considère l’activité mathématique comme liée à des questions, sur des thèmes, qu’il nomme « tenants de questions » comme l’infini, le continu, l’espace. À un certain nombre de questions invariantes : qu’est-ce que l’infini ? qu’est-ce que le continu ? qu’est-ce que le calcul ? les mathématiciens donnent au cours du temps des réponses variées, et ce serait cette variété qui donnerait à la mathématique sa dimension historique. Cette solution du problème de l’historicité est-elle satisfaisante ? Un certain nombre d’objections, dont celles du signataire de ce compte rendu, sont signalées que J-M. S discute soigneusement. Même si ses arguments n’entraînent pas totalement l’adhésion, la construction théorique proposée reste une base de réflexion particulièrement intéressante.

22En ce qui concerne ce qu'il appelle la géographie des mathématiques, c'est-à-dire sa division en branches, J-M. S constate dans le chapitre IV qu’elle a existé dès l’origine. Et pour lui, il s’agit d’un des enjeux de la recherche. Mais cette division est en réélaboration permanente, si bien que la géographie propre de la mathématique et son histoire propre sont solidaires.

23L’ouvrage se termine par deux chapitres en liaison avec des débats contemporains, le premier en théorie de la connaissance à propos de l’ « efficacité déraisonnable » de la contribution de la mathématique à la physique, le second sur les changements apportés à la réflexion sur les mathématiques par les sciences cognitives.

24C’est par une invitation à lire et à méditer les différentes questions traitées dans cette somme que je souhaite terminer ce compte rendu. J-M. S a réussi le tour de force de présenter une réflexion particulièrement riche sur les mathématiques avec une technicité minimale, et c’est ce type de réflexion qui est indispensable à tous ceux qui s’intéressent aux mathématiques ou qui la pratiquent.

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Pour citer cet article

Référence électronique

Jean Celeyrette, « Compte rendu de : Jean-Michel Salanskis, Philosophie des mathématiques, Paris, Vrin, 2008 », Methodos [En ligne], 10 | 2010, mis en ligne le 07 avril 2010, consulté le 13 décembre 2017. URL : http://journals.openedition.org/methodos/2365

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