# Analyse critique de la notion de variable. Points de vue sémiotique et formel

Critical Analysis of Variable (Semiotic and Formal Wiewpoints) [First part]
Jean-Pierre Desclés et Kye-Seop Cheong

## Résumés

### Critical Analysis of Variable (Semiotic and Formal Wiewpoints) [First part]

For B. Russell “The variable is perhaps the most distinctively mathematical of all notions ; it is certainly also one of the most difficult to understand” (The Principles of Mathematics, 1903). The aim of this paper is to highlight the meaning of variable in different fields of Mathematics: the expression of equations in Algebra with indeterminate entities; the analytical expression of functions in Analysis; the expression of quantification in Logic… We give a historical survey of this notion from Viète and Descartes to Frege’s representations of a concept, viewed as a non numerical function, yielding to the modern theory of quantification in first order languages. On one hand, the Peirce’s theory of signs, and on the other hand, with Church’s functional types, λ-calculus “with bound variables” and Curry’s combinatory logic “without bound variables”, are very useful tools for investigating different kinds of variables in Mathematics, in Logic and in theoretical Computer Sciences. For instance, it was showed that “bound variables” were not semiotic tools necessary to formulate quantification (in Frege’s sense) in “classical” Logic. Indeed, a simple quantifier is an operator which applies to a predicate by building a proposition; restricted quantifiers are derived from simple quantifiers by formal combinations with logical connectors (conditional or conjunction operators). We propose to take into account and to formalize, inside the framework of Combinatory Logic with types, (i) the “old logical notions” of “extension / intension”; (ii) determination operations from Port Royal’s Logic; (iii) the distinction from the anthropology and cognitive psychology between “typical” and “atypical” instances of a concept, which brings us to define new quantifiers, called “star quantifiers”, conceived as determination operators acting on terms. These quantifiers are more adequate than the fregean quantifiers, for a natural languages processing. Thus, we are able to give a conceptual distinction between the meanings of “Whatever” and “Indeterminate”, implicitly used in Gentzen’s Natural Deduction; thanks to this distinction, we can clarify an apparent “paradox” emerging with the universal quantifier introduction rule.

Pour B. Russell, la variable est peut-être une des notions les plus difficiles à comprendre en mathématiques (The Principles of Mathematics, 1903). En effet, la variable est fondamentalement polysémique. Sa signification varie avec les domaines d’utilisation ; tantôt elle est utilisée pour indiquer une indétermination d’un signe dans une équation ; tantôt elle sert à décrire analytiquement une fonction en Analyse, tantôt, on l’utilise en logique pour exprimer la quantification au moyen de « variables liées ». Nous donnons une brève analyse historique de l’évolution de cette notion en mathématiques, depuis sa création avec l’Algèbre de Viète et Descartes pour l’expression des équations, jusqu’à la représentation formelle d’un concept, formalisé par Frege comme une fonction non numérique, ce qui a donné naissance aux modernes langages du premier ordre. D’une part, la théorie des signes de Peirce et d’autre part, les types fonctionnels de Church, le λ-calcul « avec variables liées » ainsi que la logique combinatoire de Curry « sans variables liées », sont d’excellents instruments qui sont convoqués pour examiner les différentes sortes de variables aussi bien en mathématiques, qu’en logique ou en informatique théorique. Par exemple, nous montrons que la notion de « variable liée » n’est pas nécessaire pour la formulation de la quantification en logique et son analyse dans le fonctionnement des langues naturelles : un quantificateur simple est avant tout un opérateur qui s’applique à un prédicat afin de construire une proposition ; un quantificateur restreint est dérivé d’un quantificateur simple, obtenu par une composition fonctionnelle avec un connecteur logique (les opérateurs d’implication ou de conjonction). Nous proposons de prendre en compte et de formaliser à l’intérieur du cadre formel de la logique combinatoire typée :(i) les « vielles notions » logiques « extension / intension », (ii) les distinctions issues de la psychologie cognitive et de l’anthropologie, entre les exemplaires « typiques » ou « atypiques » d’un concept, (iii) l’opération de détermination » de la Logique de Port Royal,, ce qui nous a conduit à définir les quantificateurs « star », considérés comme des opérateurs qui viennent apporter des déterminations supplémentaires aux termes, en particulier aux termes nominaux. Ces nouveaux quantificateurs sont plus adéquats à l’analyse logique des langues naturelles que les quantificateurs frégéens. Nous sommes ainsi capables de donner une distinction nette entre les significations de « quelconque » et «indéterminé », qui sont implicitement mises en œuvre dans la Déduction Naturelle de Gentzen. Cela nous conduit à donner une solution à un paradoxe apparent qui surgit avec la règle d’introduction du quantificateur universel.

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## Entrées d’index

### Thèmes :

algèbre, linguistique, logique, modélisation, sémiologie

### Topics :

algebra, linguistics, logic, modelling, semiology
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## Pour citer cet article

### Référence électronique

Jean-Pierre Desclés et Kye-Seop Cheong, « Analyse critique de la notion de variable. Points de vue sémiotique et formel », Mathématiques et sciences humaines [En ligne], 173 | Printemps 2006, mis en ligne le 22 mai 2006, consulté le 23 janvier 2018. URL : http://journals.openedition.org/msh/2956

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## Auteurs

### Jean-Pierre Desclés

Jean-Pierre Desclés, Laboratoire LaLICC (Langages, Logiques, Informatique, Cognition et Communication), unité mixte 8139 CNRS/Paris-Sorbonne, Maison de la Recherche, 28, rue Serpente 75006 Paris, Jean-Pierre.Descles@paris4.sorbonne.fr

### Kye-Seop Cheong

Kye-Seop Cheong, Duksung Women’s University, Séoul, 132-714 – Corée, kseopcheong@hanmail. net

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## Droits d’auteur

© École des hautes études en sciences sociales

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