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Quantification in Ordinary Language and Proof Theory

Michele Abrusci, Fabio Pasquali et Christian Retoré
p. 185-205

Résumés

Cet article dresse un rapide panorama de l’approche usuelle de la quantification, qu’elle soit ou non généralisée, en linguistique formelle et en philosophie du langage. Nous montrons que le cadre général courant va parfois à l’encontre des données linguistiques, et nous donnons quelques indications pour une approche différente basée sur la théorie de la démonstration qui, sur bien des points, s’avère plus proche de la langue que les approches les plus répandues. Nous soulignons l’importance des opérateurs tau et epsilon de Hilbert qui rendent compte respectivement de la quantification universelle et existentielle. En effet, ces opérateurs permettent de construire des représentations sémantiques en suivant la structure de la langue avec, en particulier, des groupes nominaux quantifiés qui soient des termes individuels. Nous donnons aussi des principes pour définir des règles de déduction qui correspondent aux quantificateurs généralisés.

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Plan

1 Foreword: empirical data on quantification
1.1 Quantification in ordinary language: common and complex
1.2 Existential quantification in natural language
1.3 Universal quantification over potentially infinite sets in natural language
1.4 Vague quantifiers in natural language
1.5 Human processing of quantification
2 Remarks on the two mathematical quantifiers, there exists and for all
2.1 First order logic and completeness
2.2 Some subtle differences: each/ every
2.3 Domain restriction
2.4 Natural language examples of the formulation of quantification
2.4.1 Existential affirmatives
2.4.2 Existential negatives
2.4.3 Universal affirmatives, especially on infinite domains
2.4.4 Universal negatives, especially on infinite domains
2.5 Proof theory of mathematical quantifiers and
2.6 Individual concepts and second order
2.7 Proof and refutation semantics
3 Hilbert’s operators
3.1 An ancestor to Hilbert operators: Russell’s operator for definite descriptions
3.2 Hilbert’s operator ϵ-operator and τ-operator
3.3 Expressive power of Hilbert’s epsilon
3.4 Individual concept and Hilbert’s epsilon
3.5 Hilbert’s operators in natural language
4 Generalised quantifiers
5 Towards rules for some generalised quantifiers
5.1 Semantic representations with generalised quantifiers
5.2 Proof theoretical meaning of generalized quantification
6 Conclusion

Aperçu du début du texte

1 Foreword: empirical data on quantification

Despite the extensive study of quantification from many different viewpoints in logic, linguistics and philosophy, we think that the dominant model theoretic approach partially excludes some relevant facts that commonly occur in linguistics [Gabbay, Shehtman et al. 2009], [Peters & Westerståhl 2006], [Steedman 2012], [Szabolcsi 2010].

1.1 Quantification in ordinary language: common and complex

Quantifiers are quite common in ordinary language:

(1)

Something happened to me yesterday.

(2)

A man walked into a bar.

(3)

There are infinitely many primes.

(4)

Every natural number can be represented as the sum of four integer squares.

(5)

That way we’re all writing now.

(6)

a. All children are artists.

b. The children didn’t miss a swimming pool, they were body boarding nearly all day.

(7)

There are several reasons why few students read newspapers in the present.

(8)

Two thirds of the world’s inhabitants are clustered in these four regions.

(9)

For the first time, a m...

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Pour citer cet article

Référence électronique

Michele Abrusci, Fabio Pasquali et Christian Retoré, « Quantification in Ordinary Language and Proof Theory », Philosophia Scientiæ [En ligne], 20-1 | 2016, mis en ligne le 25 février 2019, consulté le 11 décembre 2017. URL : http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/1163 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.1163

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Auteurs

Michele Abrusci

Dipartimento di Matematica e Fisica, Università di Roma Tre (Italy)

Fabio Pasquali

Université d’Aix-Marseille & I2M-CNRS (France)

Christian Retoré

Université de Montpellier & LIRMM-CNRS (France)

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Droits d’auteur

Tous droits réservés

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