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Enseignement et apprentissage des mathématiques au CP : continuité de l’expérience des élèves et systèmes de représentation, un exemple.

Teaching and learning in mathematics first grade students: continuity of the students’ experience and systems of the representation, an example
Sophie Joffredo-Le Brun

Résumés

Notre étude s’appuie sur une recherche nationale « Arithmétique et Compréhension à l’école élémentaire ». Son objectif est la construction d’un curriculum en mathématiques au CP. Elle se centre sur l’analyse d’un extrait de séance issu de ce curriculum. Cet extrait introduit via les systèmes de représentation connus des élèves une nouvelle notion mathématique, la différence. Cet article pose la question de la continuité de l’expérience des élèves notamment à travers le maniement des systèmes de représentation. Nous faisons l’hypothèse que cette continuité est nécessaire pour la construction d’une réelle expérience mathématique des élèves. Le contenu de l’extrait sélectionné offre des potentialités de mise en relation entre les situations précédentes et futures. Nous montrons qu’il peut y avoir croissance du savoir par une continuité de l’expérience des élèves dès lors qu’un travail énonciatif du professeur autorise un remaniement des connaissances antérieures à travers ces systèmes de représentation.

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Texte intégral

Introduction

  • 1 Sur le site Internet http://python.espe-bretagne.fr/ace/ sont déposées les ressources produites par (...)
  • 2 Le curriculum ACE se compose de quatre domaines qui s’articulent les uns avec les autres. Ces trois (...)
  • 3 Cette recherche s’établit dans un paradigme quasi-expérimental où l’efficacité du curriculum est év (...)

1Notre étude s’appuie sur la recherche ACE-ArithmEcole dont l’objectif est de construire une progression1 en mathématiques au cours préparatoire (première primaire). Nous nous sommes focalisés sur le processus d’élaboration d’une partie de ce curriculum, le domaine « Situations2 » et sur sa mise en œuvre dans une classe. Ce domaine a été conçu au sein d’une ingénierie didactique coopérative (Sensevy & al, 2013) regroupant une équipe de recherche, conceptrice des séances et des professeurs expérimentaux implémentant l’ensemble du curriculum3.

2Le domaine « Situations » s’organise autour d’une suite de situations peu nombreuses, emboîtées et évolutives, qui doivent permettre aux élèves de construire une réelle expérience mathématique, notamment à travers le maniement des systèmes de représentation et de l’écriture symbolique. Cette réelle expérience mathématique se construit dans un rapport de première main à l’expérience mathématique en laissant les élèves produire des connexions entre différents concepts et procédures mathématiques (Hiebert & Grouws, 2007). Le professeur pourra influer sur leurs stratégies mais sans se substituer à lui, l’élève devant assumer la responsabilité de l’apprentissage (Brousseau, 1998). Cette conception entre en consonance avec le paradigme du questionnement du monde (Chevallard & Ladage, 2010) qui, suggère que, dans une démarche d’enquête, l’élaboration d’une réponse à une question est d’abord sous la responsabilité des élèves.

3Nous faisons l’hypothèse que la construction d’une telle expérience demande avant tout une forme de continuité, une continuité de l’expérience des élèves, dans le sens où « toute expérience garde quelque chose des expériences antérieures et modifie d’une manière ou d’une autre la qualité des expériences ultérieures » (Dewey, 1968, p. 473).

4Au sein d’un curriculum classique en mathématiques, cette continuité est souvent compromise. En effet, le savoir scolaire classique résulte d’une discrétisation (Verret, 1975) qui découle de sa mise en texte. Les objets de savoirs deviennent alors de simples « emblèmes » du défilement temporel, ce qui empêche « l’élève de s’installer durablement dans les objets de savoir et les relations qui les organisent » (Sensevy, 1998, p. 98). Ce temps classique, linéaire peut être rapproché du paradigme de la visite des œuvres (Chevallard, 2016) qui propose un parcours ponctué d’arrêts où l’on visite une œuvre un certain temps pour en prendre une certaine connaissance sans y construire un rapport « authentique ». Tout au contraire, le développement de Parcours d’Étude et de Recherche (Ibid.) construit de la continuité. Ainsi, les élèves élaborent des connaissances au cours de différentes enquêtes qui vont constituer « un réservoir d’outils potentiels en vue d’enquêtes à venir » (Chevallard & Ladage, 2010, p. 9). La notion de situations enchaînées (Brousseau, 1987, 1998) vient, de même, illustrer cette notion de continuité. En effet, la situation de niveau n naît de la nécessité de résolution d’un problème posé par une situation de niveau n-1 dans un jeu de questions et de réponses. « Chaque situation peut être proposée grâce aux acquisitions des précédentes mais elle est de plus (plus ou moins) justifiée par les questions soulevées par la précédente » (Brousseau, 2003, p. 5).

5Dans de telles conditions, comment la continuité de l’expérience des élèves peut-elle se construire dans l’action conjointe du professeur et des élèves ?

1. Outils théoriques et explicitation de la question de recherche

6La continuité peut être étudiée en fonction de la dynamique des savoirs enseignés, notamment dans « la reprise d’éléments du savoir déjà introduits » (Tiberghien & Malkoun, 2007, p. 35). Cette continuité est aussi, on l’a vu, celle de l’expérience mathématique dans laquelle les élèves agissent et dont ils éprouvent les conséquences (Dewey, 1916). Cette capacité d’apprendre par l’expérience est, selon Dewey, « le pouvoir de retenir d’une expérience quelque chose qui serait utile pour faire face aux difficultés de situations ultérieures » (Ibid., p. 124). Le processus d’institutionnalisation (Brousseau, 1998) des connaissances permettra alors aux élèves de se référer à celles-ci dans les situations futures.

7Les connaissances construites dans les situations antérieures, les connaissances déjà-là des élèves, sont en relation avec ce que le professeur veut faire apprendre aux élèves, le nouvel objet de savoir

8Dans cet article, nous faisons l’hypothèse que l’usage des systèmes de représentation du nombre peut être le garant de cette continuité, notamment grâce à leurs mises en relation dans un jeu de représentation (Brousseau, 2004). Ces systèmes de représentation donnent à voir le nombre comme mesure de grandeurs discrètes et continues.

9Notre travail se situe dans le cadre général du paradigme de l’action conjointe (Mead, 2006 ; Blumer, 2004 ; Tomasello, 2008) et plus spécifiquement au sein de la Théorie de l’Action Conjointe en Didactique (TACD), (Sensevy, 2011 ; Gruson, Forest & Loquet, 2012 ; Sensevy & Mercier, 2007).

10En TACD, le contrat didactique est propre à un système de transactions, qui permet de mettre au jour la dialectique entre les habitudes instituées qui permettent d’aborder la réalité et la mise en situation qui correspond à un déséquilibre dans cette réalité, à un « problème », nécessitant l’accommodation du contrat (Sensevy, 2011a). Ainsi, le contrat didactique est un système de capacités qui est constitué par un système de savoir-faire et de savoir-comment. Il est « propre à un savoir donné, dans un jeu didactique spécifique à ce savoir. Il constitue le système stratégique disponible, au moyen duquel le professeur et les élèves jouent au jeu (Ibid.).

11De fait, les éléments de ce système peuvent être vus à la fois comme des capacités, des habitudes d’action, des normes et des attributions d’attentes. Les connaissances construites dans l’action conjointe passée, le déjà-là, constituent donc le contrat didactique.

12Lors de l’introduction d’un nouveau savoir, ces habitudes vont être mises en déséquilibre dans un nouveau milieu-problème qu’on peut considérer comme un système d’éléments matériels, scripturaux, symboliques. Le milieu est donc tout ce qui agit sur l’élève ou / et ce sur quoi l’élève agit (Brousseau, 1998b). Ce milieu offre aux élèves des possibilités d’enquête (Dewey, 1967). Il est donc constitué par ce à quoi l’élève est confronté, un état du monde problématique, qui contient des saillances dont l’élève va faire usage pour jouer et activer un nouveau système stratégique (Sensevy, 2011a). Pour qu’il y ait apprentissage, il est nécessaire que l’élève, à partir de ce qu’il connaît, de ses habitudes d’action (le contrat), puisse acquérir de nouvelles capacités lorsqu’il est confronté à un certain milieu porteur de nouvelles connaissances à acquérir (Sensevy & Vigot, 2016)

13Pour cela, au sein du jeu didactique, le professeur va mettre en place certaines stratégies pour engager l’action des élèves. Ces interactions entre professeurs et élèves sont surdéterminées par le contrat didactique (Brousseau, 1998) puisque le professeur sait des choses que les élèves devront apprendre. Le professeur peut, en effet, retenir ce qu’il sait en le taisant/le cachant aux élèves, la réticence (Ibid.) ou produire des signes pour orienter l’action des élèves (l’expression). C’est la dialectique réticence/expression (Sensevy, 2016 ; Sensevy & Quilio, 2002). L’action professorale oriente l’action de l’élève soit vers le contrat, en faisant reconnaître le connu, ou vers le milieu, en « désignant » ce qui est à connaître, le nouveau savoir. Il existe ainsi un entrelacement étroit entre la dialectique réticence/expression et la dialectique contrat/milieu.

14Nous mobiliserons principalement ces deux dialectiques, pour tenter de comprendre comment, dans l’action conjointe, se crée une forme de continuité de l’expérience mathématique par l’usage des systèmes de représentation dans une situation de recherche de différence entre deux écritures additives.

15Pour illustrer d’autres entrelacements possibles entre ces deux dialectiques, nous envisagerons d’autres possibles pratiques, d’autres stratégies professorales, sous la forme de stratégies contrefactuelles (Sensevy &Vigot, 2016 ; Sensevy, 2016 ; Gruson, à paraître), non pas dans une perspective normative, mais dans une volonté d’exploration « hypothétique » de la pratique.

16Comment la gestion, par le professeur, de la dialectique expression/réticence permet-elle de construire (ou non ?) de la continuité dans l’expérience de l’élève en orientant son action, vers le contrat, ou vers le milieu ?

17Nous examinerons ces questions à partir de l’étude d’épisodes issus d’une séance incluse dans la progression ACE. Cette séance introduit la notion de « différence ». Elle est mise en œuvre par un professeur expérimenté (P), membre de l’équipe de recherche concevant les modules « Situations ».

2. Éléments de méthodologie

18Pour travailler ces questions, nous nous concentrerons sur un moment spécifique de la pratique issu d’un corpus de quinze séances filmées dans une même classe et réparties sur l’ensemble de l’année. Les données filmiques ont été transcrites et des synopsis ont été réalisés pour chaque séance.

19Le choix de l’extrait sélectionné est motivé par le fait qu’il donne à voir des éléments de réponses aux questions liées à la continuité de l’expérience des élèves. Il peut être considéré comme une description-pivot (Sensevy, 2011b) dans la mesure où le niveau d’échelle de la description offre une potentialité de mise en relation avec ce qui a précédé et ce qui va suivre. Ceci nous permettra d’analyser les transactions didactiques hic et nunc et de caractériser, de décrire les motifs et les formes qui ont orientés l’action du professeur et des élèves. Cette description-pivot peut donner à voir les stratégies professorales pour faire avancer le temps didactique.

20De plus, le travail en coopération avec le professeur (P) nous a permis de bénéficier d’un retour réflexif sur les analyses que nous avons produites à propos de sa pratique.

3. Le contexte ACE

21Dans ACE, la situation initiale, le jeu des annonces (comparaison d’une annonce produite à deux mains avec un lancer de dé à six faces), se décline sur dix modules dans l’année.

22Ce domaine repose sur des principes mathématiques suivants :

  • travail sur un temps long sur les petits nombres puis sur les grands nombres par analogie aux petits nombres ;

  • travail de comparaison systématique entre les nombres de divers types ;

  • travail de composition/décomposition des nombres ;

  • développement d’un rapport pré-algébrique notamment à travers le travail du « principe inverse » (Verschaffel, Bryant & Torbeyns, 2012) ;

  • usage systématique des systèmes de représentation du nombre comme moyen de résolution et de preuve.

23Depuis le début de l’année, les élèves ont acquis des connaissances liées à la comparaison de nombres. Cette comparaison s’effectue d’abord oralement avec la production d’annonces à deux ou trois mains et un lancer de dé à six faces.

24Par exemple, les élèves montrent des doigts levés sur leurs mains, énoncent le total obtenu et comparent ce nombre au résultat d’un lancer de dé. L’annonce est gagnante si elle est égale au lancer.

Photogramme 1 : comparaison d’une annonce à deux mains et d’un lancer de dé.

Photogramme 1 : comparaison d’une annonce à deux mains et d’un lancer de dé.

25Puis, elle s’effectue par écrit. Les élèves comparent des écritures additives à deux ou trois termes avec un nombre usuel en usant des signes « =, ≠ <, > » (par exemple, pour comparer 3 + 1 et 5, les élèves écrivent 3 + 1 < 5).

26La situation des annonces se complexifie alors. Les élèves comparent à l’oral puis à l’écrit deux écritures additives à deux termes (par exemple 2 + 3 et 4 + 1 ; 2 + 3 = 4 + 1).

27Enfin, la notion de différence est introduite à partir de la comparaison de deux écritures additives à deux termes, en continuité avec les situations précédentes. L’étude de ces comparaisons est accompagnée par l’usage de systèmes de représentation du nombre tel que le schéma-ligne (demi-droite numérique (Schmittau, 2005 ; Davydov, 1975 ; Bass, 2015)) et un schéma-boîte (représentation analogique d’une réunion de deux nombres) qui sont mis en correspondance les uns avec les autres (McNeil & Fyfe, 2012 ; Fyfe, McNeil, Fyfe & Son, 2014) dans une relation de représentation (Brousseau, 2004). Des exemples de ces deux représentations sont donnés ci-dessous.

Figure 1 : exemple de représentation de l’écriture additive 5 + 3 = 8 sur le schéma-ligne et dans la schéma-boîte

Figure 1 : exemple de représentation de l’écriture additive 5 + 3 = 8 sur le schéma-ligne et dans la schéma-boîte

28C’est dans ce contexte mathématique de l’expérimentation ACE que nous plongerons nos questions de recherche. 

4. Analyses

4.1. Présentation générale des épisodes étudiés

29L’extrait que nous étudions dans cet article introduit un nouvel objet de savoir, « la différence ». Il prend place à la suite de séances au cours desquelles les élèves ont comparé des nombres. Ces séances se sont déroulées de la manière suivante : dans un premier temps, les élèves ont comparé à l’oral une « annonce » (les élèves montrent un nombre sur leurs deux mains en « l’annonçant ») avec un lancer de deux dés à six faces. L’annonce gagnante est, selon les règles prédéfinies, plus grande, plus petite ou égale au résultat des lancers. Dans un second temps, les élèves ont comparé deux écritures additives à deux termes en référence au jeu oral proposé précédemment. Le résultat de la comparaison est alors écrit sous forme d’égalité ou d’inégalité mathématique avec les signes « =, ≠, >, < ». Ces deux écritures additives sont représentées sur deux schémas-lignes. Ce système de représentation est un moyen de résolution ou de preuve de la comparaison proposée.

30Nous proposons une illustration de cette représentation sémiotique.

Figure 2 : représentation d’écritures additives sur des schémas-lignes

Figure 2 : représentation d’écritures additives sur des schémas-lignes

31Les élèves tracent chaque terme de l’addition sous forme de « ponts » sur le schéma-ligne et comparent ainsi la longueur de chaque portion de segment que désigne la concaténation des termes de chaque addition. Ci-dessus (Figure 2) un exemple de la comparaison de « 5 + 3 » et « 2 + 4 ».

32En travaillant jusqu’ici sur le « jeu des annonces » et ses situations dérivées, telles que nous les avons décrites ci-dessus, les élèves ont construit un système de connaissances liées à la comparaison de deux nombres par des stratégies de composition/décomposition, de correspondance terme à terme.

33Ils ont, de même, construit des connaissances sémiotiques pour représenter la comparaison entre une annonce à deux mains et deux dés, deux écritures additives en référence à l’instrument que constitue le schéma-ligne (Sensevy & Santini, 2006).

34Le nombre est alors vu comme la mesure d’une grandeur "nombres d’entités" (le nombre désignant une collection de doigts) ainsi que la réunion de plusieurs collections dans des situations additives. Le schéma-ligne, quant à lui, donne à voir le nombre comme une mesure de longueur.

35Ces connaissances déjà-là vont constituer le contrat didactique, les habitudes d’action à partir desquelles les élèves et le professeur vont aborder la notion de différence. Ainsi, la séance dont est issue l’extrait sélectionné introduit cette notion en reprenant comme situation de départ la comparaison de deux écritures additives à deux termes et notamment les expressions "plus grand que"/"plus petit que". La différence est donc vue non pas comme une opération de retrait mais comme un écart entre deux nombres, deux mesures de grandeurs.

36Cet extrait est composé de quatre épisodes. Nous décrivons (Tableau 1) son contenu général, en référant certains éléments étudiés à la transcription présentée plus bas.

Tableau 1 : découpage de l’extrait en épisodes

Épisodes

Contenu

Épisode 1

Production d’une écriture additive à deux termes par les élèves sur leur ardoise.

Épisode 2

Comparaison et recherche de la différence entre « 1 + 3 » et « 1 + 1 ».

Proposition de deux élèves : (tdp 15) « 1 + 3 » plus grand que « 1 + 1 ».

Proposition d’un élève : la différence entre « 1 + 3 » et « 1 + 1 » est de 3.

Épisode 3

La différence (tdp 53).

Introduction par le professeur des annonces à deux mains pour vérifier la différence proposée.

Épisode 4

Introduction du schéma-ligne par le professeur pour rechercher la différence entre « 1 + 3 » et « 1 + 1 » (tdp 68).

37Nous pouvons décrire le tableau qui précède dans le récit suivant.

38Chaque élève produit sur son ardoise une écriture additive à deux termes (Épisode 1). P sélectionne « 1 + 1 » et « 1 + 3 » et les affiche au tableau.

39Les élèves recherchent quelle est l’écriture la plus grande, la plus petite et la différence entre les deux. Deux élèves énoncent le fait que 1 + 3 est plus grand que 1 + 1 et justifient oralement leur réponse. Puis un nouvel élève propose une différence erronée de « 3 » entre les deux écritures additives (Épisode 2).

40Devant l’approbation par le collectif de ce résultat, P demande à deux élèves de représenter chaque écriture additive sur leurs deux mains (en référence au jeu des annonces) (Épisode 3).

41Cette représentation corporelle des écritures additives ne permettant pas aux élèves de produire une réponse correcte, P introduit deux schémas-lignes. Les élèves y représentent les deux écritures additives qu’ils comparent en montrant la différence (Épisode 4), qu’ils identifient correctement.

4.2. Introduction de la notion de différence, épisode 1

42Dans le premier épisode, P demande à chaque élève de produire une écriture additive à deux termes sur l’ardoise. Il introduit la nouvelle situation de la manière suivante. « Alors, aujourd’hui on va commencer un nouveau jeu. C’est toujours un jeu avec des annonces. Mais aujourd’hui ce qu’on va faire, c’est comparer vos annonces. On va chercher qui est l’annonce la plus grande, l’annonce la plus petite mais ce que je voudrais aussi savoir c’est de combien l’annonce la plus grande est plus grande et de combien l’annonce la plus petite est plus petite ». P reprend un peu plus tard, après que les élèves ont produit une écriture additive à deux termes, au tdp 15 « ce qu’on va trouver ça s’appelle la différence entre deux annonces »

43P s’appuie sur une situation déjà connue des élèves, la comparaison de deux écritures additives à deux termes, travaillée lors des séances précédentes. Les élèves abordent donc cette situation avec des capacités épistémiques (c’est-à-dire le « savoir du contrat » de la classe) construites précédemment. P fait donc appel à la mémoire didactique de la classe en proposant une réexpérienciation (Quilio, 2008) d’une expérience vécue, éprouvée (Coquidé, 2000) par les élèves.

4. 3. Recherche de la différence à partir d’écritures additives, épisode 2

4.3.1. Présentation de l’épisode

44P choisit deux productions d’élèves (celle de Félicien 1 + 1, et de Neil 1 + 3, cf. Photogramme 2) et les affiche au tableau comme nous le montre la Transcription 1 suivante.

Transcription 1 : comparaison des deux écritures additives

Photogramme 2 : productions d’élèves affichées

Photogramme 2 : productions d’élèves affichées

Tdp 19-P : Alors je vous, déjà, Neil et Félicien, qu’est-ce que vous en pensez ? Quelle est l’annonce la plus grande, quelle est l’annonce la plus petite ? [Neil lève la main] Neil ? »

Tdp 20-Neil : C’est la mienne la plus grande

Tdp 21-P : Comment tu le sais ?

Tdp 22-Neil : Parce que un plus trois ça fait trois et Félicien il a mis un plus un et lui ça fait deux.

Tdp 23-P : Ton annonce fait combien ?

Tdp 24-Neil : Trois

Tdp 25-Els : Quatre

Tdp 26-PE : Donc là quand tu expliques ça tu nous dis que ton annonce est plus grande parce que la tienne fait quatre et celle de Félicien fait ?

Tdp 27-Els : deux

Tdp 28-P : Deux. Est-ce que vous êtes d’accord avec les explications de Neil ?

Tdp 29-Els : Oui

Tdp 30-El : Mais j’ai une autre explication

Tdp 31-P : Mais est-ce que Neil nous a dit quelle était la différence entre les deux annonces.

Tdp 32-Els : Non

Tdp 33-P : Non. Il ne nous a pas dit la différence.

Photogramme 3 : comparaison terme à terme des deux écritures additives

Photogramme 3 : comparaison terme à terme des deux écritures additives

Tdp 38-Adèle : En fait dans l’annonce de Neil, le trois il est plus grand que un parce que Félicien il a un. Et euh, ils ont deux un tous les deux et si on cache les deux un [Neil cache le 1 sur son ardoise avec sa main droite et P met sa main gauche devant le premier terme de l’addition, le 1, de Félicien puis l’enlève]

Tdp 39-P : Fais comme Neil cache un 1 dans ton annonce [Félicien cache le second terme de son annonce sur son ardoise]

Tdp 40-Adèle : Et en fait il reste plus que un plus trois et après trois est plus grand que un

Tdp 41-P : Ok, ben toi tu réussis à savoir ça que l’annonce de Neil est plus grande parce que sans calculer et tu as cherché ce qui était pareil

45P demande à Neil et Félicien « Quelle est l’annonce la plus grande, quelle est l’annonce la plus petite ? » au tdp 19. Neil affirme que 1 + 3 est la plus grand que 1 + 1, « C’est la mienne la plus grande » au tdp 20. P lui demande alors d’expliciter ce résultat au tdp 21. Neil explique, au tdp 22, qu’il a calculé la somme de chaque écriture additive « Parce que un plus trois ça fait trois et Félicien il a mis un plus un et lui ça fait deux ». Le collectif corrige le résultat de « 1 + 3 = 3 » en « 1 + 3 = 4 ». P reformule la réponse de Neil pour l’ensemble de la classe (tdp 26) en demandant si les élèves sont d’accord avec cette proposition. Les élèves confirment cette réponse. Puis, P recentre l’attention des élèves sur l’objectif de départ, la recherche de la différence (tdp 31) » Est-ce que Neil nous a dit quelle était la différence entre les deux annonces ». Les élèves répondent par la négative.

46P donne alors la parole à Adèle qui justifie le résultat de la comparaison par une « correspondance terme à terme » entre les deux écritures additives au tdp 38 : « En fait dans l’annonce de Neil, le trois il est plus grand que un parce que Félicien il a un. Et euh, ils ont deux un tous les deux et si on cache les deux un ». Pour valider cet énoncé oral, les élèves au tableau cachent les deux termes identiques de chaque écriture additive, le nombre 1, avec leur main pour donner à voir « ce qui reste », à savoir trois et un (cf. Photogramme 3).

47L’épisode se poursuit avec une première proposition de différence par Félix entre les deux écritures additives comme nous le montre la transcription ci-dessous.

Transcription 2 : proposition de différence entre « 1 + 1 » et « 1 + 3 »

Tdp 52-P : Et trois c’est plus grand que un donc là, on est toujours en train de dire que Neil a fait une annonce plus grande que Félicien et je ne sais toujours pas quelle est la différence entre l’annonce de Neil et l’annonce de Félicien. Mais moi j’avais envie de savoir quelle est la différence, de combien Neil a gagné, de combien son annonce est plus grande que celle de Félicien. Je t’écoute Félix.

Tdp 53-Félix : L’annonce de Neil est plus grande de trois parce que trois est plus grand que un.

Tdp 54-P : L’annonce de Neil est plus grande de trois parce que trois est plus grand que un. Ça veut dire que Neil a trois de plus dans son annonce ? C’est ça ? Est-ce que vous êtes d’accord avec ce que vient de nous dire Félix ?

Tdp 55-Els : Oui

48Après que les élèves ont comparé les deux écritures additives, P revient sur la recherche de la différence au tdp 52, « Mais moi j’avais envie de savoir quelle est la différence, de combien Neil a gagné, de combien son annonce est plus grande que celle de Félicien. Je t’écoute Félix ». Félix énonce alors au tdp 53 « L’annonce de Neil est plus grande de trois parce que trois est plus grand que un ». P reformule cette proposition au tdp 54 « l’annonce de Neil est plus grande de trois parce que trois est plus grand que un. Ça veut dire que Neil a trois de plus dans son annonce ? C’est ça ? Est-ce que vous êtes d’accord avec ce que vient de nous dire Félix ? » Les élèves approuvent cette différence au tdp 55.

4.3.2. Éléments d’analyse

49Nous pouvons tenter de mettre au jour les règles définitoires du jeu didactique (Gruson & al, 2012 ; Sensevy, 2011a) mis en place par le professeur. Ces règles définitoires, qui indiquent comment jouer au jeu, sont ici multiples. En effet, P pose simultanément plusieurs questions sans véritablement spécifier à laquelle les élèves doivent répondre prioritairement. A quel jeu faut-il jouer, quel est le gain du jeu ? Doit-on comparer, rechercher l’annonce la plus grande ou la plus petite, rechercher la différence ? Les connaissances mobilisées par les élèves peuvent rester, de ce fait, cantonnées à la comparaison des deux additions. Nous observons que ce que font les élèves relève du contrat didactique mis au jour dans les séances précédentes : comparer deux écritures additives, sans nommer l’écart, la différence entre les deux. Ce contrat semble activé par la question posée au tdp 19 par P « Quelle est l’annonce la plus grande, quelle est l’annonce la plus petite ? ».

50L’expression de P se situe donc majoritairement du côté des connaissances déjà-là c’est à dire le contrat de comparaison mis en place précédemment. P s’exprime par des énoncés d’accompagnement (Marlot, 2012) en reformulant les énoncés des élèves (par exemple au tdp 26, 33, 41) mais en recentrant néanmoins l’enquête sur la recherche de la différence aux tdp 31 et 33. P semble toutefois réticent vis-à-vis du milieu (la différence entre deux nombres). Il laisse les élèves mener l’enquête à partir des deux écritures mathématiques sans les orienter vers la stratégie gagnante, sans produire de signe les incitant à investiguer les écritures symboliques pour rechercher l’écart entre les deux nombres.

51Dans cette perspective, un autre possible, un contrefactuel peut être produit. Ainsi, à partir des énoncés produits par Neil et Adèle « 3 + 1 plus grand que 1 + 1 » et « 4 est plus grand que 2 », P demande aux élèves d’écrire ces inégalités en utilisant le symbole « > » ou « < »). Les élèves peuvent alors collectivement déterminer les écritures « 3 + 1 > 1 +1 » et » 4 > 2 », « traduisant » les énoncés produits sous une forme mathématique qui leur est connue. L’expression de P vers l’usage des symboles d’inégalité, déjà connus, pourrait constituer un moyen, nous en faisons une hypothèse d’enquête, pour minorer la seule comparaison entre deux nombres et orienter l’enquête vers la recherche de la différence.

  • 4 Comme nous le verrons dans le prochain paragraphe, les élèves nomment la différence par les express (...)

52Dans la pratique effective, les élèves ne semblent pas jouer au même jeu que celui du professeur. Celui-ci tente d’instituer « recherche de la différence » alors que les élèves jouent à « qui a l’annonce la plus grande ». Les élèves répondent partiellement aux attentes du professeur. Il y a un effet de rémanence propre au contrat ancien qui perdure dans la nouvelle activité. De plus, les élèves répondent à une question posée en utilisant les valeurs numériques proposées dans l’énoncé du problème sans mettre du sens à la question, « de combien l’annonce est la plus grande, de combien l’annonce est la plus petite4 ? ». La prégnance du contrat didactique précédent, « comparer deux écritures additives » semble faire obstacle à l’enquête didactique des élèves.

4.4. Recherche de la différence et représentation corporelle, épisode 3

53Après que les élèves ont approuvé la différence de 3 entre « 1 + 1 » et « 1 + 3 », P énonce alors au tdp 56 « On va vérifier parce que moi je ne suis pas sûr de ça (…) faites-moi votre annonce avec les doigts ». La transcription 3 nous donne à voir la suite de ces transactions.

Transcription 3 :traduction des écritures additives à deux termes par une annonce à deux mains et recherche de la différence, épisode 3

Photogramme 4 : Neil et Félicien produisent une annonce à deux mains correspondant aux écritures additives « 1+ 1 » et « 1 + 3 »

Photogramme 4 : Neil et Félicien produisent une annonce à deux mains correspondant aux écritures additives « 1+ 1 » et « 1 + 3 »

Tdp 56-P : Neil et Félicien revenez-là. On va vérifier parce que moi je ne suis pas sûr de ça (…) Alors faites-moi votre annonce avec les doigts. Fais ton annonce Félicien [Félicien montre deux doigts sur la main droite]. Je ne suis pas d’accord [puis il montre un doigt sur chaque main. Neil montre trois doigts sur sa main droite et un doigt sur sa main gauche] Voilà

Tdp 57– Félicien : Ça fait deux

Tdp 58–P : Ah l’annonce de Félicien fait deux Tdp 59–El : L’autre, ça fait quatre

Tdp 60–P : L’annonce de Neil fait quatre. Est-ce que, est-ce que vous êtes d’accord avec Félix lorsqu’il dit que l’annonce de Neil fait trois de plus que l’annonce de Félicien ?

Tdp 61-Els : Non, oui

Tdp 62- P : Alors

Tdp 63- Emma : Deux de plus

Tdp 64-P : Emma dit deux de plus, allez. Félix dit trois de plus. Qu’est-ce que tu dis-toi ?

Tdp 65-Juliette : Deux de plus

Tdp 66-P : Juliette dit deux de plus et qu’est-ce que tu dis-toi

Tdp 67-El : Un, un de plus

Tdp 68-P : Un de plus. Alors moi, j’ai une solution et j’ai préparé cette feuille-là. Qu’est-ce que vous voyez sur cette feuille-là ?

54Nous observons un relâchement de la réticence du professeur qui, par ses propos, invalide la proposition de Félix au tdp 56 (je ne suis pas d’accord). P propose aux élèves de revenir à ce que l’écriture additive dénote, c’est-à-dire à une annonce produite à deux mains en référence au jeu des annonces. Ainsi, P initie l’introduction dans le milieu d’une représentation concrète des nombres. Chaque nombre désigne la mesure du cardinal d’une collection. P s’appuie sur les connaissances déjà-là des élèves (le contrat), la désignation d’une écriture additive à deux termes par une décomposition sous forme de deux sous-collections. Les élèves proposent alors oralement la somme de chaque annonce produite à deux mains, deux et quatre. P renvoie ces deux réponses au collectif au tdp 60 et demande s’ils sont d’accord avec Félix « lorsqu’il dit que l’annonce de Neil fait trois de plus que l’annonce de Félicien ? ». Les avis sont alors contradictoires, certains élèves valident, d’autres invalident cette différence de trois entre les deux annonces produites.

55L’incertitude des élèves peut être liée au fait que le contrat de traduction entre l’écriture symbolique (le représenté) et la représentation corporelle (le représentant) (Brousseau, 2004), connaissances anciennes des élèves, issues des expériences précédentes, ne permettent pas de répondre à la question posée. Il ne fait pas signe aux élèves pour rechercher la différence. Une seconde possibilité, sans doute étroitement liée à la première, pourrait être une incertitude linguistique des élèves à comprendre les expressions de P « combien de plus, combien de moins ».

56Les transactions didactiques montrent que P n’oriente pas les élèves vers une enquête dans ce nouveau milieu, les doigts. Il est réticent vis-à-vis du milieu (le problème constitué par la différence entre les deux annonces à deux mains) et expressif vis-à-vis du contrat puisqu’il propose aux élèves de s’appuyer sur un déjà-là, la traduction d’une représentation symbolique par une représentation corporelle. Le retour du professeur sur l’analyse de cet épisode montre que son intention était de « remettre les élèves dans le sens » en montrant concrètement ce que ces écritures mathématiques dénotent. P nous révèle que, dans les séances précédentes, certains élèves étaient capables d’annoncer la différence entre une annonce à deux mains et un lancer de dé à six faces mais sans qu’elle soit nommée en tant que telle, les expressions usitées étaient « il me manque « x » », j’ai « x » de trop ».

57Ici, certains élèves restent focalisés sur le signe 3 de l’écriture mathématique (ici et plus tard également). Ces élèves comparent le premier terme de chaque écriture additive et non pas la valeur de chacun de ces termes dans l’ajout (3 + 1/1 + 1). Les termes « différence, combien de plus, de moins » semblent donc être un obstacle à la compréhension du problème proposé. La réticence élevée de P n’encourage pas les élèves à s’appuyer sur leurs connaissances antérieures pour investiguer le milieu corporel. « L’habitude sémiotique » du contrat, c’est-à-dire celle des doigts comme instrument pour comparer des nombres empêche, limite une nouvelle forme de désignation, celle de la différence. Ainsi, il y a une reconfiguration contractuelle des éléments du milieu-problème puisque les « règles du jeu » ont changé, mais sans que les habitudes contractuelles plus anciennes ne permettent aux élèves de continuer l’enquête.

58On pourrait imaginer un contrefactuel une autre possibilité d’action de P : celui-ci propose aux élèves de travailler par binôme sur la recherche de la différence à partir des annonces produites à deux mains. On produit l’hypothèse que les élèves, faisant cela, peuvent expérimenter effectivement différentes stratégies de comparaison (comme comparer terme à terme chaque doigt levé). L’expérience antérieure des élèves (celle de la comparaison) peut alors être réinvestie et transformée dans l’action dans et par l’expérience nouvelle.

4.5. Recherche de la différence et le schéma-ligne, épisode 4

4.5.1. Le système de représentation du schéma-ligne

59Lors de la quatrième phase, le professeur affiche au tableau deux schémas-lignes comme nous donne à voir la transcription 4.

Transcription 4 : représentation sur les schémas-lignes.

Photogramme 5 : affichage par P de deux schémas-lignes au tableau. Les élèves doivent expliquer l’usage de ce système de représentation

Photogramme 5 : affichage par P de deux schémas-lignes au tableau. Les élèves doivent expliquer l’usage de ce système de représentation

Tdp 74-P : Pourquoi il y a deux lignes ?

Tdp 75-Els : Pour faire les deux annonces

Tdp 76-P : Pour faire les deux annonces. Pour faire l’annonce de Neil et pour faire l’annonce de Félicien. Bon alors, j’embauche Anaëlle (…) [Anaëlle positionne son crayon sur la graduation 0 du premier schéma-ligne]. Alors tu fais l’annonce de qui là ?

Tdp 77-Anaëlle : Euh [Anaëlle montre avec son index l’ardoise de Neil]

Tdp 78-P : De Neil, sur la première Anaëlle nous représente l’annonce de Neil [Anaëlle trace un premier pont de un puis un pont de trois et note le cardinal de chaque collection, 1 et 3. Puis, elle trace en dessous du schéma-ligne un pont de quatre intervalles et écrit en dessous le nombre 4]. C’est bien une annonce qui fait quatre comme nous l’avait dit Neil. Sur la seconde ligne, que vas-tu faire ? On a dit qu’on avait une ligne pour l’annonce de Neil et une ligne pour l’annonce de 

Photogramme 6 : Anaëlle représente les deux écritures additives sur les schémas-lignes

Photogramme 6 : Anaëlle représente les deux écritures additives sur les schémas-lignes

Tdp 79-Els : Félicien

Tdp 80-P : De Félicien [Anaëlle trace deux ponts consécutifs d’un intervalle et inscrit au-dessus de chaque pont le nombre 1 puis trace un pont de deux intervalles en dessous du schéma-ligne et note le nombre 2]. Et l’annonce de Félicien fait ?

Tdp 81-Els : deux

60P, au tdp 68, introduit une nouvelle représentation, le schéma-ligne « alors moi, j’ai une solution (…) et j’ai préparé cette feuille-là ». Après un bref descriptif des schémas-lignes effectué par les élèves sous l’impulsion de P, ce dernier leur demande « pourquoi il y a deux lignes ? » (tdp 76). Les élèves répondent « pour faire les deux annonces » (tdp 77). P montre alors successivement les deux schémas-lignes et énonce au tdp 76 « Pour faire les deux annonces. Pour faire l’annonce de Neil et pour faire l’annonce de Félicien ».

61P fait appel à Anaëlle pour représenter les deux écritures additives sur les deux schémas-lignes. Sans prononcer un mot, cette élève représente sur le premier schéma-ligne l’écriture additive produite par Neil. P relie la représentation de la somme de l’annonce sur le schéma-ligne et la somme de cette écriture additive donnée par Neil au début de cet extrait. Puis Anaëlle représente l’écriture additive de Félicien sur le second schéma-ligne.

62L’élève s’appuie sur le contrat de traduction d’une écriture additive sur un schéma-ligne construite dans les transactions passées (cf., Photogramme 6) sans que le professeur n’intervienne. P fait donc évoluer le milieu de l’enquête en introduisant le schéma-ligne pour rechercher la différence.

4.5.2. Recherche de la différence sur le schéma-ligne

63Dans un second temps, P centre l’attention des élèves sur la représentation de l’écart entre les schémas-lignes comme nous montre la transcription 5.

Transcription 5 : recherche de la différence

Photogramme 7 : recherche de la différence à partir de deux schémas-ligne

Photogramme 7 : recherche de la différence à partir de deux schémas-ligne

Tdp 82-P : Est-ce qu’on voit sur cette ligne, sur ces deux lignes. Est-ce qu’on voit si l’annonce de Neil est plus grande que l’annonce de Félicien ?

Tdp 83-El : Oui

Tdp 84-El : De trois

Tdp 85-P : De trois

Tdp 86- El : Non, de quatre

Tdp 87-P : De quatre

Tdp 88-El : Non de deux.

Tdp 89-P : Alors viens me montrer Neil, où est ce que tu vois que ton annonce est plus grande ?

Tdp 90-Neil : Parce que là c’est deux [Neil fait glisser son doigt de la troisième graduation du premier schéma-ligne vers le second] et là [Neil montre avec son doigt les intervalles trois et quatre du premier schéma-ligne] (cf. figure. plus loin) c’est la partie de quatre et quatre et trois et puis.

Tdp 91-P : Oui, oui continue.

Tdp 92-Neil : Et puis trois est plus grand que quatre et que trois est plus grand que deux, c’est deux de plus [Neil montre avec son doigt les deux derniers intervalles du pont de quatre] parce que là c’est deux et là c’est trois.

64Au tdp 82, P demande aux élèves « est-ce qu’on voit si l’annonce de Neil est plus grande que l’annonce de Félicien ? » en montrant successivement les deux schémas, puis au tdp 89 « Est-ce qu’on peut voir de combien l’annonce de Neil est plus grande ? ». P ne pose plus la question suivante : « quelle est l’annonce la plus grande, la plus petite, quelle est la différence ? ». Elle modifie son expression, en partant de la proposition précédente des élèves, à savoir que l’annonce de Neil est plus grande que celle de Félicien.

65De plus, en usant du verbe « voir », P oriente l’attention des élèves vers l’observation de la différence de longueurs des deux portions des demi-droites représentées au tableau. L’énonciation de P se construit alors sur une imbrication particulière de réticence et d’expression, puisqu’il s’exprime directement sur la comparaison des deux schémas-lignes par des énoncés oraux et des gestes de monstration. Néanmoins, les réponses produites par les élèves au tdp 84, 86, 88 respectivement « trois, quatre, deux » à la question de combien l’annonce de Neil est la plus grande montrent toujours une incertitude des élèves face au milieu à connaître. Les élèves semblent avoir des difficultés à donner du sens aux expressions » combien de plus, combien de moins ».

66P invite ensuite Neil à montrer sur les schémas-lignes au tdp 89 « où est-ce que tu vois que ton annonce est plus grande ».

67Neil compare effectivement les deux schémas-lignes comme nous le montre le photogramme suivant :

Photogramme 8 : schématisation de la gestuelle de Neil pour montrer la différence sur les schémas-lignes.

Photogramme 8 : schématisation de la gestuelle de Neil pour montrer la différence sur les schémas-lignes.

68Neil fait glisser son doigt de la graduation « 2 » du premier schéma-ligne à la graduation « 2 » du second schéma-ligne (figure, à gauche) puis montre la portion du premier schéma-ligne plus grande par rapport au second schéma-ligne (figure, à droite). Ainsi, il délimite la portion de la demi-droite désignant ce que le premier schéma-ligne a « de plus » que le second (tdp 90 et 92).

69P s’exprime donc vis-à-vis du milieu au tdp 89 « où est ce que tu vois que ton annonce est plus grande ? ». Il oriente l’attention de Neil vers la représentation effective de la différence entre les deux schémas. Cependant, il reste en retrait lorsque l’élève s’exprime sur la recherche de cette différence. P indique ce qu’il faut regarder mais la recherche reste sous la responsabilité de l’élève.

70La représentation sur les schémas-lignes permet à Neil de montrer effectivement l’écart entre les deux annonces, la différence entre deux longueurs délimitées par les schémas-ponts. P oriente l’élève dans le milieu tout en taisant/cachant certains éléments qu’il aurait pu exprimer.

71Un contrefactuel pourrait être le suivant : P demande à Neil, par exemple, de « montrer la première annonce avec ses doigts », puis de « montrer la deuxième », puis la différence. Il peut aussi demander de représenter sur un même schéma-ligne les deux écritures additives. Une tel contrefactuel, une autre stratégie professorale permet d’imaginer un système stratégique différent, moins globalement réticent et plus globalement expressif, ou plutôt, dont l’équilibre réticence-expression aurait été différemment organisé.

72Puis, P demande à Neil d’entourer sur le schéma-ligne désignant l’annonce 1 + 3 la différence au tdp 93 « ce que tu as mis en plus par rapport à l’annonce de Félicien ». Neil entoure alors le nombre 3 désignant le cardinal du deuxième terme de l’annonce.

Transcription 6 : montrer la différence

Photogramme 9 : Neil entoure le nombre 3 pour désigner la différence entre "1+1" et "1+3" sur le schéma-ligne

Photogramme 9 : Neil entoure le nombre 3 pour désigner la différence entre "1+1" et "1+3" sur le schéma-ligne

Tdp 93-P : Essaie déjà de m’entourer sur ton annonce ce que tu as mis en plus par rapport à l’annonce de Félicien. [Neil entoure le nombre 3 se trouvant au-dessus du pont représentant le second terme de l’annonce de Félicien]. Alors, moi, ce n’est pas ça que je t’ai demandé, tu n’as pas mis trois en plus, ce n’est pas vrai, tu m’avais dit que tu avais mis deux en plus. Essaie de m’entourer sur la ligne [P fait glisser son doigt le long de la portion du schéma-ligne désignant la somme de l’annonce] les wagons que tu as mis en plus de l’annonce de Félicien. Où sont les wagons qui sont en plus [Neil place la pointe de son stylo sur la graduation quatre puis la reporte sur la graduation deux et trace un pont de deux intervalles jusqu’à la graduation quatre]. Est-ce que vous êtes d’accord ?

Tdp 94-Els : Oui

Tdp 95-P : Neil, il dit que lui, il a en plus ces deux-là [P fait glisser son doigt le long des deux derniers intervalles du schéma-ligne]. Que l’annonce de Félicien fait deux [P place son doigt sur la graduation deux puis sur la graduation quatre] et que son annonce fait quatre et donc lui il a mis ces deux-là en plus [P fait glisser son doigt sur le pont de deux tracé par Neil]

73P, au tdp 92 demande à Neil d’entourer ce qu’il a mis en plus sur la ligne par rapport à l’annonce de Félicien. Neil trace alors un pont de deux intervalles de la graduation deux à la graduation quatre.

Photogramme 10 : représentation de la différence entre deux écritures additives sur le schéma-ligne

Photogramme 10 : représentation de la différence entre deux écritures additives sur le schéma-ligne

74P oriente donc l’enquête didactique sur la recherche de la différence en s’appuyant sur un système sémiotique déjà expérimenté par les élèves lors des séances précédentes pour résoudre ou prouver le résultat d’une comparaison entre deux nombres. On passe d’un usage-comparaison du schéma-ligne à un usage-différence. Il apparaît que ce système de représentation fait signe aux élèves pour rechercher la différence. En effet, la comparaison de deux schémas-lignes donne à voir un écart, une différence de longueur. Cet écart est représenté par un nombre d’intervalles compris entre la graduation 2 et 4. Ainsi, Neil en désignant sur le premier schéma-ligne (1 + 3) la portion de la demi-droite représentant la seconde écriture 1 + 1, montre effectivement l’écart entre deux nombres, la différence entre deux longueurs, deux mesures de grandeurs.

75L’introduction par P du schéma-ligne dans le milieu déplace le milieu de l’enquête didactique des élèves. P est expressif par rapport au contrat didactique en faisant porter l’action des élèves sur la traduction des écritures additives (le représenté) par un système de représentation connu d’eux (le représentant). Cependant, le professeur reste réticent par rapport au milieu à connaître, c’est à dire quant à la représentation de la différence entre deux nombres sur ce schéma-ligne. En effet, il fait travailler les élèves en les confrontant à un outil, un instrument avec lequel ils savent déjà jouer mais qui recèle des potentialités non encore explorées. Cependant, lorsque Neil entoure le nombre trois pour désigner la différence entre les deux schémas-lignes, P oriente l’action de l’élève en énonçant « alors moi, c’est pas ça que je t’ai demandé, tu n’as pas mis trois en plus, c’est pas vrai, tu m’avais dit que tu avais mis deux en plus » au tdp 93. Ainsi, P s’exprime sur la validité de la réponse produite par l’élève « c’est pas vrai ». P accompagne cet énoncé par un geste de monstration en faisant glisser son doigt le long de la portion du schéma-ligne délimitée par le schéma-pont de la somme de 1 + 3. Par ce geste, il semble montrer que la différence est représentée par une portion de la ligne numérique. P laisse alors l’élève tracer le « schéma-pont » (cf. photogramme 10.) désignant la différence entre les deux annonces. Nous pouvons parler d’une expression d’orientation dans le milieu par P. L’instrument, le schéma-ligne permet maintenant de nouveaux possibles en donnant à voir l’inclusion d’un nombre dans un autre. Les élèves peuvent maintenant voir le schéma-ligne comme une représentation de la différence entre deux nombres et non plus comme un moyen de représentation de la comparaison entre des nombres.

5. Discussion et Conclusion

76Pour introduire la notion de différence, le professeur s’appuie sur les connaissances déjà-là des élèves, sur un contrat de comparaison de deux écritures additives et un contrat sémiotique (les mains et le schéma-ligne) construits dans des situations de comparaison. P propose donc une reviviscence des situations connues des élèves (Quilio, 2008 ; Sensevy, 2011a). La situation initiale du jeu des annonces (situation de comparaison de nombres comme mesure de quantité) et l’usage des représentations associées (des ostensifs scripturaux, graphiques (Bosch & Chevallard, 1999)) permettent aux élèves de manipuler des objets mathématiques non manipulables, des concepts, dans une forme de praxis.

77Néanmoins, la réexpérienciation d’une situation pour faire émerger un nouveau savoir nécessite un travail énonciatif subtil de la part du professeur pour orienter l’action des élèves soit vers le contrat soit vers le milieu. Comme nous montre l’analyse ci-dessus, la gestion professorale de l’expression et de la réticence très subtile l’amène à introduire des éléments connus des élèves dans le milieu (les doigts, le schéma-ligne) pour enquêter sur la différence tout en leur laissant la responsabilité de cette enquête.

78Cependant, la réticence du professeur face aux écritures additives et à la représentation avec les mains entraîne une incertitude épistémique, qui limite l’action des élèves dans le milieu tandis que l’orientation de l’action de Neil par des énoncés ciblés pour l’usage des schémas-lignes lui permet de trouver la différence. Les échanges des élèves semblent bien montrer que cette incertitude n’est pas réductible à un effet de contrat, mais relève de la difficulté à donner du sens aux expressions « l’annonce A est plus grande de x que l’annonce B », et « quelle est la différence ? ».

79Alors qu’elle constituait d’abord un empêchement (la comparaison « inhibant » la recherche de la différence), la connaissance construite dans une situation (sur les systèmes de représentation), le contrat sémiotique devient un moyen, un instrument de compréhension et d’action dans la situation suivante. En effet, la comparaison, dès lors qu’elle se fait en appui sur deux schémas-lignes, amène à introduire la notion de différence entre deux nombres. Il y a ainsi croissance du savoir par une continuité de l’expérience des élèves, « ce qu’il (l’individu) avait acquis de savoir et d’habilité, dans une situation précédente, devient instrument de compréhension et d’action pour la nouvelle situation » (Dewey, 1968, p. 480). On assiste à ce qui pourrait bien devenir un remaniement des connaissances antérieures (le contrat) à travers les systèmes de représentation. Les énoncés et la monstration de P lors de la recherche de la différence sur le schéma-ligne constitue alors un aménagement didactique adéquat pour l’action de Niel, le schéma-ligne donnant à voir concrètement l’écart entre deux grandeurs. L’usage de ces systèmes de représentation construit dans l’expérience antérieure, dans des situations de comparaison, se trouve complété par une seconde situation où les élèves font l’expérience du schéma-ligne comme représentation de la différence. La découverte par les élèves d’une nouvelle potentialité du schéma-ligne modifie le rapport institutionnel de l’élève à l’objet schéma-ligne (Chevallard, 2003) qui évolue ainsi par des expériences successives. L’analyse de ces épisodes montre, de même, l’importance de donner le temps aux élèves d’enquêter pour répondre à des questions.

80Les résultats mis au jour par cette étude de cas demandent toutefois à être travaillés. Il est nécessaire d’explorer sur un temps long cette continuité de l’expérience des élèves en mathématiques à travers les systèmes de représentation (Joffredo-Le Brun, en cours).

81Il faut noter en particulier qu’une telle continuité ne peut se construire qu’à travers une véritable continuité épistémique des savoirs au sein du curriculum utilisé par les professeurs. La conception d’un tel curriculum peut s’appuyer sur l’expérience effective des professeurs, comme cela est le cas dans la recherche ACE, dans un processus itératif avec des allers-retours entre le terrain et l’équipe de recherche. Une telle démarche, propre à l’ingénierie coopérative dont est issu ce travail, pourrait alors contribuer à l’élaboration de nouvelles formes de formation des professeurs, à l’instar des Lessons Studies asiatiques (Miyakawa & Winslow, 2009) ou de l’ingénierie didactique pour le développement et la formation (Perrin-Glorian, 2011).

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Notes

1 Sur le site Internet http://python.espe-bretagne.fr/ace/ sont déposées les ressources produites par les équipes de recherche pour les professeurs implémentant la progression.

2 Le curriculum ACE se compose de quatre domaines qui s’articulent les uns avec les autres. Ces trois domaines autres que celui « situations » se répartissent de la manière suivante :

« Estimation et grandeurs et mesures » qui travaille sur le traitement approximatif des nombres et des opérations ;

« Résolution de problèmes » qui se base sur une pratique guidée du recodage sémantique ;

« Calcul mental »

avec un travail de consolidation des connaissances déclaratives et l’automatisation des connaissances procédurales.

3 Cette recherche s’établit dans un paradigme quasi-expérimental où l’efficacité du curriculum est évaluée dans un système prétests et post-tests dans des classes expérimentales et des classes témoins (Sensevy et al., 2013).

4 Comme nous le verrons dans le prochain paragraphe, les élèves nomment la différence par les expressions « il manque x, j’ai x de trop » dans les situations précédentes.

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Table des illustrations

Titre Photogramme 1 : comparaison d’une annonce à deux mains et d’un lancer de dé.
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Titre Figure 1 : exemple de représentation de l’écriture additive 5 + 3 = 8 sur le schéma-ligne et dans la schéma-boîte
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Titre Figure 2 : représentation d’écritures additives sur des schémas-lignes
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-3.png
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Titre Photogramme 2 : productions d’élèves affichées
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-4.png
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Titre Photogramme 3 : comparaison terme à terme des deux écritures additives
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-5.png
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Titre Photogramme 4 : Neil et Félicien produisent une annonce à deux mains correspondant aux écritures additives « 1+ 1 » et « 1 + 3 »
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Titre Photogramme 5 : affichage par P de deux schémas-lignes au tableau. Les élèves doivent expliquer l’usage de ce système de représentation
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-7.png
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Titre Photogramme 6 : Anaëlle représente les deux écritures additives sur les schémas-lignes
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-8.png
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Titre Photogramme 7 : recherche de la différence à partir de deux schémas-ligne
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-9.png
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Titre Photogramme 8 : schématisation de la gestuelle de Neil pour montrer la différence sur les schémas-lignes.
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-10.png
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Titre Photogramme 9 : Neil entoure le nombre 3 pour désigner la différence entre "1+1" et "1+3" sur le schéma-ligne
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-11.png
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Titre Photogramme 10 : représentation de la différence entre deux écritures additives sur le schéma-ligne
URL http://journals.openedition.org/questionsvives/docannexe/image/1983/img-12.png
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Pour citer cet article

Référence électronique

Sophie Joffredo-Le Brun, « Enseignement et apprentissage des mathématiques au CP : continuité de l’expérience des élèves et systèmes de représentation, un exemple. », Questions Vives [En ligne], N° 25 | 2016, mis en ligne le 05 septembre 2016, consulté le 10 décembre 2017. URL : http://journals.openedition.org/questionsvives/1983 ; DOI : 10.4000/questionsvives.1983

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Auteur

Sophie Joffredo-Le Brun

Doctorante en Sciences de l’Éducation, didactique des mathématiques au laboratoire CREAD, EA 3875, Université de Bretagne Occidentale/ESPE de Rennes

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Droits d’auteur

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Questions Vives est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 4.0 International.

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