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« Il y a autant de lapins que de carottes » : quelle compréhension à l’école maternelle ?

“There are as many rabbits as carrots”: what is the level of understanding of nursery school children?
Mirène Larguier
p. 121-139

Résumés

Des enseignants constatant qu’une majorité d’élèves de maternelle ne comprennent pas une expression comme « il y a autant de », évitent de l’utiliser. La difficulté des élèves est identifiée comme relevant de la discipline du français et n’est pas perçue comme un révélateur de la complexité du concept mathématique de cardinal. Pour remettre en cause cette interprétation erronée, il s’agit d’identifier des processus d’enseignement/apprentissage du langage oral concernant les mathématiques dès l’école maternelle. L’étude s’appuie sur une séquence expérimentée en moyenne section qui vise la construction du nombre. Le cadre théorique articule pour la didactique des mathématiques, la théorie des situations didactiques de Guy Brousseau, et pour la didactique du français, les travaux développés par l’équipe de Jean-Paul Bernié et en particulier le concept de secondarisation des genres qui permet de mettre au jour l’évolution langagière en lien avec la construction conceptuelle du nombre.

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Texte intégral

Introduction

1Le contexte d’enseignement de cet article est une séquence expérimentée en moyenne section de maternelle intitulée « Lapins et carottes ». Son objectif est la construction du nombre en tant que cardinal (le cardinal d’un ensemble est le nombre de ses éléments). Les données sont issues d’un mémoire de master Métiers de l’enseignement, de l’éducation et de la formation (MEEF) de Marie-Anne Malay et Nathalie Pons (2014).

2Dans l’analyse de cette séquence, je me suis intéressée à la dimension du langage oral en empruntant notamment des éléments du cadre théorique développé par Jean-Paul Bernié et al. (2003). Je pose comme préambule ce qui est affirmé par l’équipe bordelaise de Bernié à savoir que le français n’est pas transversal mais spécifique de chaque discipline. Partant de cette hypothèse, l’analyse de la séquence « Lapins et carottes » s’attachera à répondre aux questions suivantes :

– quels sont à priori les éléments langagiers tels qu’ils pourraient être institutionnalisés pour dire les savoirs visés à ce niveau de maternelle ?

– quels sont les processus à l’œuvre dans les discours des élèves qui montrent comment ils parviennent ou non à élaborer les concepts visés ?

– comment se réalise « l’articulation des gestes professionnels discursifs à l’activité des élèves et aux situations » comme le proposent Bernié et al. (2003, p. 73) ?

3Ainsi la visée de l’étude est de mettre au jour la dynamique de la co-construction conceptuelle et langagière dans une situation d’enseignement des mathématiques en maternelle.

1. Des outils pour une analyse du point de vue langagier

4L’intérêt porté spécifiquement à la dimension langagière des pratiques de classe n’est pas nouveau en didactique des mathématiques. Pour ne citer que Brousseau (1998), il a décrit les transformations conduisant d’une connaissance implicite mobilisée dans une situation d’action à l’institutionnalisation d’un savoir, en passant par une connaissance formulée rendue nécessaire dans une situation de formulation (Bosch et Perrin-Glorian, 2013).

5Par ailleurs des chercheurs en didactique du français ont apporté des concepts spécifiques pour analyser le langage, en particulier l’équipe bordelaise citée précédemment. Ainsi je présente dans cette section des notions développées dans cette équipe, notions que j’utilise de façon complémentaire à la théorie des situations didactiques de Guy Brousseau (1998) en reprenant les propos de Rebière (2013, p. 221) : « les concepts, défendus dans notre équipe bordelaise, permettront de préciser quel peut être le rôle du langage en situation scolaire d’enseignement et d’apprentissage ».

1.1. Communauté discursive scolaire

  • 1 Une institution I est un dispositif social « total », qui peut certes n’avoir qu’une extension très (...)

6La classe de moyenne section constitue une communauté discursive scolaire (Bernié, 2002 ; Bernié et al., 2003) qui est dans une perpétuelle dynamique, somme des mouvements cognitifs de tous les élèves, et qui tend à adopter les us et coutumes d’une communauté discursive de mathématiciens. La communauté discursive scolaire peut être appréhendée comme une institution au sens de Chevallard1 (2003) dans laquelle :

Le rôle des pratiques langagières est alors de construire des « contextes de pertinence », amenant les élèves à des « rôles », des ensembles de manières d’agir-penser-parler qui permettent et entrainent la réorganisation de leurs capacités cognitives, au contact des connaissances scolaires rendues nécessaires (Bernié et al., 2003, p. 59).

7Ainsi la rencontre avec les apprentissages visés a une valeur épistémique de nécessité ce qui se retrouve dans la Théorie des situations didactiques (TSD) (Brousseau, 1998). Dans la TSD, la rencontre de l’élève avec les apprentissages est nécessitée par la résolution d’un problème dans le contexte d’une situation. Un autre caractère est affirmé avec force dans les deux théories, celui d’un processus dynamique à l’œuvre aussi bien dans la notion de secondarisation des genres que dans la transformation du statut des connaissances en fonction de la modification des variables d’une situation dans la TSD.

1.2. Genres et secondarisation des genres

8L’équipe de Bernié reprend les notions de genre premier et de genre second (Bakhtine, 1979) qui se caractérisent ainsi :

– pour le genre premier par des actes de langage proches de l’agir et assujettis à des concepts spontanés ;

– pour le genre second par des actes de langage qui disent la décontextualisation, qui s’éloignent de l’agir et traduisent des concepts scientifiques.

9Ces genres vont de pair avec des positions énonciatives différentes des élèves, autrement dit des rôles ou des postures différents.

10Le processus par lequel un genre premier évolue vers un genre second est appelé secondarisation des genres (Bernié et al., 2003 ; Rebière, 2013). Dans le corpus étudié dans cet article, c’est cette transformation qui sera analysée à travers les propos des élèves. Mais ce sont aussi les gestes professionnels (Bronner et Larguier, 2004) des enseignants qui seront étudiés pour identifier comment ils favorisent ou inhibent les phénomènes de secondarisation.

2. Typologie des moments de classe impliquant du langage

11Dans les programmes de maternelle de 2008 en vigueur au moment de la mise en œuvre de la séquence « Lapins et carottes », une insistance particulière était manifestée pour le développement du langage :

La pratique du langage associée à l’ensemble des activités contribue à enrichir son vocabulaire et l’introduit [l’élève] à des usages variés et riches de la langue (questionner, raconter, expliquer, penser). (p. 13)

  • 2 « Définition. La dévolution est l’acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsab (...)

12Cette injonction du curriculum officiel se traduit souvent dans les pratiques enseignantes par un geste professionnel d’étayage qui consiste à « questionner » très souvent les élèves : « comment tu as fait ? », « explique ce que tu as fait », etc. Pourtant certains moments de la vie de la classe nécessitent des gestes professionnels de lâcher-prise de la part du professeur (Bucheton, 2009). Un cas exemplaire correspond à une situation d’action au sens de Brousseau (1998) : si le processus de dévolution2 de la situation est enclenché, l’élève est alors dans une posture où il est censé pouvoir assumer seul ou avec ses camarades la responsabilité de la recherche d’une réponse au problème posé, le professeur n’a donc aucune intervention à faire sur le plan cognitif de façon à assurer l’autonomie de l’élève. Guy Brousseau (ibid.) souligne à ce sujet la nécessaire neutralité cognitive du professeur. Ainsi selon les moments de l’enseignement, une différence peut être faite entre ceux qui nécessitent les interventions de l’enseignant et ceux qui ne les nécessitent pas, voire ceux où la parole de l’enseignant est interdite sur le plan cognitif. Cette posture de l’enseignant est décrite comme la posture de lâcher – prise dans le modèle du « multi-agenda » de Bucheton et Soulé (2009). Mais ce professeur qui adopte cette posture de neutralité cognitive n’est ni absent ni muet, il observe et si c’est nécessaire il encourage les élèves et il maintient leur motivation.

13Il est intéressant de repérer dans la dynamique de l’apprentissage la diversité des moments selon qu’ils favorisent ou bien nécessitent le langage. Les situations de formulation au sens de Brousseau (1990) sont conçues pour que l’expression langagière soit nécessaire pour résoudre le problème posé. La situation de formulation permet le changement de statut de la connaissance visée. Dans une situation d’action la connaissance est implicite, elle est mobilisée en acte en tant qu’outil, dans la situation de formulation elle est exprimée le plus souvent dans un genre premier et prend un statut de connaissance formulée :

C’est une situation qui met en rapport au moins deux actants avec un milieu. Leur succès commun exige que l’un formule la connaissance en question (sous une forme quelconque) à l’intention de l’autre qui en a besoin pour la convertir en décision efficace sur le milieu. La formulation consiste pour ce couple d’actants à utiliser un répertoire connu pour formuler un message original, mais la situation peut conduire à modifier ce répertoire. On peut déduire théoriquement et vérifier expérimentalement qu’une formulation « spontanée » de connaissance exige que cette connaissance existe préalablement comme modèle implicite d’action chez les deux actants. (Brousseau, 1998b, p. 3)

14Grâce au jeu orchestré par le professeur dans la succession de différentes situations, cette connaissance formulée spontanément dans la communauté discursive de la classe devra évoluer vers un genre second pour être institutionnalisée en tant que savoir. Cela suppose des gestes professionnels complexes qui seront détaillés dans la séquence « Lapins et carottes ».

15La prise en compte de critères permet d’établir une typologie des différents moments en les différenciant en deux grandes classes selon qu’il s’agit de moments didactiques ou adidactiques. Les situations didactiques sont toutes les situations proposées aux élèves à des fins d’apprentissage. Elles englobent des situations adidactiques dans lesquelles les élèves ont la responsabilité totale de résoudre le problème posé. Le topos de l’élève (Chevallard, 1999), c’est-à-dire sa place dans l’avancée du savoir, est alors très important dans les situations adidactiques. Un degré repéré de 1 à 3 indique par ordre croissant ce topos de l’élève quant à l’importance de la production langagière potentielle de chaque moment. Ainsi D1 indique que le moment ne nécessite pas à priori une activité langagière importante des élèves. Une remarque s’impose sur les moments identifiés comme étant de degré 3 (noté D3) : ils sont potentiellement favorables à l’expression langagière des élèves à condition que le professeur respecte véritablement ce topos dévolu aux élèves en leur laissant une place à investir pour construire dialectiquement pensée et langage (Vygotski, 1985).

2.1. Moments didactiques

16Dans ces moments le professeur intervient intentionnellement pour susciter l’expression orale des élèves. Ce sont des moments très classiques dans les classes de maternelle. Dans cette catégorie nous pouvons repérer des moments de degrés différents.

17Degré D3 – Des moments de libre parole déclenchés par une mise en situation : un album, un nouveau matériel, un évènement marquant comme une sortie au zoo, etc. La discipline de référence est alors celle du français. Le professeur initie ce type de moment par des demandes comme : « que pouvez-vous dire de cela ? », « racontez une histoire à partir de cela », etc.

18Degré D3 – des moments d’évocation initiés par une question, par exemple : « l’autre jour nous avons fait… est-ce que vous vous en souvenez ? Pouvez-vous le raconter ? ».

19Degré D3 – Des moments d’explicitation en réponse à des sollicitations du professeur comme « comment avez-vous fait ? », « expliquez comment vous avez trouvé la réponse ».

20Degré D2 – Des moments de validation quand le professeur demande « comment vous savez si c’est réussi ? ».

21Degré D1 – Des moments d’institutionnalisation au cours desquels c’est la voix du professeur qui désigne ce qu’il faut retenir comme connaissances et savoirs dans les situations qui ont été travaillées. Dans ces moments le professeur institutionnalise les apprentissages visés dans un langage de genre second.

22Dans les trois dernières catégories, l’expression orale s’inscrit dans la discipline du français mais aussi dans la matrice de la discipline convoquée dans la situation qui a été vécue, la discipline des mathématiques pour cet article.

2.2. Moments adidactiques

23La théorie des situations offre à travers les situations d’action et les situations de formulation, deux modèles très intéressants du point de vue du développement du langage.

2.2.1. Situation d’action

24Les élèves ont la responsabilité de résoudre le problème donné, le professeur est censé observer une parfaite neutralité cognitive, il n’a donc à priori aucune raison d’intervenir au point de vue langagier par rapport aux connaissances en jeu.

25D1) Situation individuelle d’action : l’élève doit résoudre le problème seul et aucune production langagière n’est nécessaire, si ce n’est un langage personnel, oralisé ou non, dont la fonction est l’objectivation pour soi-même.

2.2.2. Situation de formulation

26La résolution du problème posé nécessite une production langagière. En cycle 1 il est fréquent de trouver les deux formes suivantes où l’élève résout le problème avec d’autres élèves :

– D3) situations de formulation type acheteur/marchand : un couple d’élèves doit nécessairement communiquer ;

– D3) situations de formulation avec coopération dans lesquelles des élèves doivent se mettre d’accord pour réussir la tâche.

27Dans ces deux cas, le langage des élèves est nécessaire pour que la communication s’établisse. La fonction du langage oral est double : l’objectivation et la communication. Cependant il arrive que des élèves utilisent un langage uniquement gestuel pour se faire comprendre.

2.3. Synthèse

28L’observation des classes « ordinaires » permet d’observer de très nombreux moments de libre parole, d’évocation, d’explicitation, etc. qui peuvent ne pas avoir de raison d’être pour l’élève si ce n’est répondre aux demandes du maitre pour respecter le contrat didactique habituel : le professeur pose des questions, l’élève répond, pourtant le professeur connait déjà la réponse. Dans ces situations le langage est travaillé comme objet au sens de Douady (1987). En revanche, des situations comme les situations de formulation où le langage fait partie des outils indispensables pour résoudre le problème sont très peu travaillées dans les classes. Ce type de situation est pourtant une raison d’être du travail langagier nécessaire dans le processus de conceptualisation qui va de pair avec le processus de secondarisation des genres. Dans les situations adidactiques d’action et de formulation, le professeur devrait être le plus discret possible pour respecter le topos de l’élève en le laissant essayer, tâtonner, chercher, se tromper. La prise de conscience par les professeurs de la pertinence de leur questionnement ou de leur silence selon les différents moments de l’enseignement apparait comme une condition essentielle de la TSD pour permettre les apprentissages.

3. La situation d’apprentissage expérimentée

29L’expérimentation de la séquence « Lapins et carottes » a eu lieu en moyenne section avec deux groupes de cinq élèves chacun :

– un groupe dénommé GMar dans la classe de Marie-Anne ;

– un autre groupe dénommé GNat dans la classe de Nathalie.

Figure  : matériel utilisé dans la séquence figurant les lapins, les carottes et le jardin.

Figure  : matériel utilisé dans la séquence figurant les lapins, les carottes et le jardin.
  • 3 Une certaine quantité de pots est donnée à chaque élève, il s’agit d’aller chercher la même quantit (...)

30Partant de la situation fondamentale « des pots et des pinceaux3 » proposée par Brousseau (1999) pour construire le nombre en tant que cardinal, Malay et Pons (2014) ont proposé un autre « habillage » dans leur mémoire : pour une collection de lapins donnée, il faut aller chercher des carottes pour nourrir les lapins, sachant que chaque lapin ne mange qu’une seule carotte (cf. figure 1).

3.1. Description des différentes séances

31La séquence expérimentée se compose de sept séances présentées dans le tableau 1. Chaque séance est sous la forme d’un atelier dirigé de 15 à 35 minutes.

Tableau 1 : description de la séquence « lapins/carottes »

Séance Description succincte Fonction de la situation
1 Présentation d’un vrai lapin et de vraies carottes. Moment de libre parole permettant la découverte du milieu notamment langagier du contexte lapin-carottes.
Moment préalable pour favoriser la dévolution du problème futur.
2 Présentation de la situation avec le matériel qui représente les lapins, les carottes et le jardin. Les élèves donnent à manger une carotte à chaque lapin, la réserve de carottes est à côté des lapins. Situation d’action non problématique qui permet de faire comprendre le contexte, la tâche, le but à atteindre et les critères de réussite.
3 Idem avec une contrainte : la réserve des carottes est placée loin des lapins. Situation d’action non problématique qui prépare la situation d’apprentissage et favorise sa dévolution.
4 Idem avec une nouvelle contrainte : rapporter les carottes en une seule fois. Situation d’actionproblématique (situation de référence du cardinal) qui nécessite une connaissance implicite : l’outil nombre en tant que cardinal.
5 Idem avec une nouvelle contrainte : commander les carottes à un marchand. Situation de formulation
6 Après les vacances il est demandé aux élèves de raconter individuellement à quoi ils ont joué avant les vacances. Moment d’évocation permettant de mettre à distance le « faire » pour privilégier le « dire »
7 Idem situation 5 Situation de formulation

3.2. Analyse du langage mobilisé dans la séquence

32Cette analyse comprend l’étude à priori du potentiel langagier de la séquence en lien avec les concepts mobilisés en prenant appui sur la transposition didactique au sens de Chevallard (1994). Ainsi les apprentissages visés sont analysés au niveau du savoir de référence (ou savoir universitaire), du savoir à enseigner (fixé par les programmes officiels) et du savoir enseigné (tel qu’il est mis en scène réellement dans une classe).

33L’analyse de la séquence est initiée par la description des apprentissages mathématiques visés. Il s’agit de mettre au jour les concepts mathématiques convoqués ainsi que les signifiants langagiers qui les expriment dans le savoir de référence. Cela permet d’identifier les apprentissages langagiers possibles d’un genre second de la séquence au niveau du savoir enseigné. Cette analyse à priori de la séquence du point de vue langagier, permet d’établir le potentiel langagier des situations proposées dans la séquence « Lapins et carottes », c’est ce qui est résumé dans le tableau 2.

34En consultant les programmes de 2008 voici les seules indications qui apparaissent dans le savoir à enseigner à propos des apprentissages langagiers pour la séquence étudiée :

Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons, appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. L’accompagnement qu’assure l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. (MEN, 2008, p. 15)

35Ainsi les préconisations du savoir à enseigner invitent les enseignants à faire vivre des moments didactiques d’explicitation et de validation et les incite à commenter les situations proposées aux élèves. Mais aucune indication précise n’est donnée quant au langage permettant d’exprimer le résultat de comparaisons et d’appariements. L’étude du potentiel langagier de la séquence est résumée dans le tableau 2. Ce tableau révèle la richesse du milieu langagier qui peut être convoqué en lien avec la séquence et montre comment le langage peut être « déplié ». Il montre également la richesse des enjeux langagiers des apprentissages en lien avec la situation de référence du nombre en tant que cardinal.

Tableau 2 : mise en relation entre le savoir de référence et le langage visé à priori

Savoir de référence Savoir enseigné
Savoir visé au point de vue langagier pour dire la réussite Savoir visé au point de vue langagier pour dire l’échec
Cadre des fonctions
– Bijection
– Équipotence
– Correspondance terme à terme
– Chaque lapin a sa carotte et il ne reste pas de carotte.
– Il y a une seule carotte pour chaque lapin.
– etc.
– Il y a un lapin qui n’a pas de carotte.
– Il y a des carottes en trop.
– Il y a un lapin qui a plus d’une carotte.
– etc.
Cadre des ensembles
– Cardinal (A) = Cardinal (B)
– Les deux ensembles A et B ont le même cardinal
– Il y a autant de lapins que de carottes.
– La quantité de lapins est la même que la quantité de carottes
– Le nombre de lapins est le même que le nombre de carottes.
– Le nombre de lapins et le nombre de carottes sont pareils.
– Le nombre de lapins est égal au nombre de carottes.
– etc.
– Il n’y a pas autant de lapins que de carottes.
– Le nombre de lapins n’est pas égal au nombre de carottes.
– Il y a plus de lapins que de carottes.
– La quantité de carottes n’est pas la même que la quantité de lapins
– etc.

4. Analyse de la séquence

36Dans le cadre de ce texte, ce sont quelques éléments significatifs de l’analyse à postériori du point de vue du langage qui sont mis en relief. Ainsi je vais présenter quelques épisodes de classe pour les deux groupes d’élèves en fonction de certains phénomènes langagiers qui se retrouvent de façon similaire dans les deux classes.

4.1. Les démêlés des élèves avec l’emploi de « chaque » et de « chacun »

37Pour initier la séance 2, le professeur (désigné par P dans le verbatim) du groupe GMar donne une consigne qui est interprétée de deux façons différentes par les élèves et qui montre l’importance du terme « chaque ».

P : Je vais donner à Nolan des lapins, tu les places dans ton jardin. Par contre, ce sont des lapins particuliers, ils ne mangent qu’une carotte. Donc, Nolan, il faut que tu donnes à manger à tes petits lapins et leur donner qu’une carotte. Tu donnes à chaque petit lapin, une carotte.

(Nolan donne à manger la même carotte à tous ses lapins.)

Léna : Chaque lapin doit avoir une carotte.

P : Chaque lapin doit avoir une carotte.

Léna : Cette carotte, elle peut être croquée avec tous les lapins. Oui, mais c’est chaque lapin qui doit avoir une carotte

P : C’est une carotte par lapin.

Léna : Eh ! Oui ! Chaque lapin a une carotte.

P : Oui ! Chaque lapin a une carotte. Il n’y a pas une carotte pour tous les lapins.

38Dans cet épisode, Léna rappelle à Nolan la consigne pour insister sur le fait que « chaque lapin doit avoir une carotte » et elle oppose cela au fait qu’une même carotte aurait pu être croquée par tous les lapins. Le professeur réalise un microgeste professionnel en validant instantanément le point de vue de Léna en le répétant et en institutionnalisant de fait les propos de cette élève. Vient ensuite le tour de Kenji avec un commentaire de Lucas qui montre la difficulté de l’emploi du terme « chaque » :

P : Qu’est-ce qu’il doit faire Kenji ?

Lucas : Il doit chaque carotte avec des lapins.

P : C’est-à-dire.

Léna : Non chaque lapin avec des carottes.

39Lucas reprend maladroitement l’expression utilisant « chaque » et Léna corrige pour implicitement dire qu’il faut partir de la collection des lapins. On voit là le processus de secondarisation à l’œuvre et l’impact de la dimension sociale du groupe pour s’approprier le langage spécifique des énoncés de problèmes mathématiques. Cependant l’utilisation de « chaque », même pour Léna n’est pas stabilisé comme on peut le constater à la séance 3 :

Léna : En fait, on a… on s’est passé la plaque [qui représente le jardin] et on a mis des lapins qui avaient chaque carotte pour eux.

40Dans le groupe GNat les mêmes difficultés apparaissent comme avec Alia dans les séances 3 et 4 ou encore avec Hugo à la séance 5 :

Alia [séance 3] : en fait, fallait donner aux lapins chaque carotte comme ça

Alia [séance 4] : parce qu’il a mis chaque carotte à chaque lapin

Hugo [séance 5] : y a chaque, chaque lapin, elle a chaque lapin, chaque la, chaque carotte un lapin

41Mais d’autres élèves du groupe GNat comme Milla enrichissent le langage de la communauté discursive de la classe avec l’emploi de « chacun » :

P : alors cette fois-ci est-ce qu’elle a gagné ?

Élèves : oui

Hugo : elle a bien compris le jeu

P : oui, tous les lapins ont bien une carotte

Milla : les lapins ont une carotte chacun

42Les usages de « chaque » et de « chacun » vont ainsi se répéter tout au long de la séquence avec plus ou moins de réussite. Il est à noter que ces termes sont à l’origine de très nombreuses erreurs d’interprétation des consignes des énoncés de problèmes jusqu’au collège.

43Concernant Hugo, il va répéter invariablement pendant longtemps « il (ou elle) a bien compris le jeu », marquant ainsi que son positionnement énonciatif le situe dans un jeu qui n’est pas le jeu des mathématiques. Il a adopté la posture fictionnelle proposée par le contexte en faisant « comme si » mais il ne s’est pas inscrit dans le contexte scolaire mais seulement dans le contexte social au sens où Jaubert et al. (2003) utilisent ces termes :

Il n’est pas possible de comprendre la subjectivation sans prendre en compte le « faire comme si » des situations d’apprentissage, lui-même relation mouvante entre deux contextes, le social et le scolaire, qui s’entre-construisent tout en se courant l’un après l’autre. (p. 55)

4.2. Les mots pour dire la réussite

44Lors de la séance 2, dans le groupe GMar, la dernière phase de la séance est un moment d’explicitation initié par un questionnement du professeur :

P : Comment vous avez fait ?

Léna : On a compté les lapins.

P : Ah ! Tu as compté les lapins. Et là, pour voir si tu as réussi, qu’est-ce que tu as fait ? Tu as compté les lapins ?

Lucas : Un, deux, trois, quatre, cinq, six.

P : Il y a six quoi ?

Lucas : Six carottes et un, deux, trois, quatre, cinq, six lapins.

Léna : J’ai compté deux fois (une fois pour les lapins, une fois pour les carottes).

P : Tu as compté Léna dans ta tête ? Et pour voir si tu as réussi ? Regardez sans les compter, comment vous pouvez voir que chaque lapin a sa carotte ? Qu’est-ce que vous avez fait ? Vous avez posé la carotte à côté du lapin.

Lucas : Et aussi, on peut rapprocher la carotte du lapin. Si on le rapproche du lapin, il peut tout manger !

P : Eh ! Oui ! Tout à fait mais ce ne sont pas là de vrais lapins !

45Ainsi se termine cette séance avec implicitement les équivalences entre les deux conceptions anticipées dans l’analyse à priori. Soit « j’ai compté deux fois les lapins puis les carottes ». Le sous-entendu est une connaissance implicite : c’est le même nombre, c’est-à-dire que les deux ensembles ont le même cardinal. Soit « j’ai rapproché un lapin et une carotte, etc. ». Le sous-entendu est qu’il existe une équipotence ou un appariement entre les deux ensembles.

46Les manières de dire des élèves pour vérifier la réussite ou l’échec sont du genre premier avec des termes qui disent l’action : compter deux fois c’est-à-dire reproduire deux fois le schème du dénombrement (Vergnaud, 1990) jusqu’au même nombre ou bien rapprocher physiquement les couples (lapin, carotte), ce qui permet une rétroaction du milieu matériel en vérifiant l’appariement des deux collections. Il est important de remarquer que le milieu matériel de la situation permet ces rétroactions qui garantissent l’adidacticité de la situation. Cela va de pair avec l’autonomie de l’élève quant à la possibilité de savoir si la tâche est ou non réussie. Cette condition garantit également la réussite du processus de dévolution.

47Pour le groupe GNat, lors de la séance 2, la vérification se traduit également par l’équipotence réalisée par l’appariement des lapins et des carottes :

P : Est-ce qu’il a gagné Chad ?

Élèves : Oui

P : Alors tu sais que tu as gagné quand tous les lapins ont à manger une carotte et il ne doit pas y avoir de lapin sans carottes

48Dans la séance 4, le professeur du groupe GMar valide la réussite sous cette forme « Parce qu’il avait, un, deux, trois, quatre, cinq et six lapins et six carottes » comme le fait l’autre professeur à la fin de la séance 5 : « il y avait 4 lapins dans ton jardin et tu as demandé 4 carottes. Très bien ».

49Pour les deux professeurs, dire la réussite c’est énoncer qu’il y a x lapins et aussi x carottes, l’important est donc de comprendre la répétition du dénombrement des objets lapins et des objets carottes jusqu’à x, et c’est effectivement une procédure nécessaire pour les apprentissages visés. Cependant les formulations langagières restent attachées au contexte matériel. En conséquence aucune transformation langagière spécifique du concept en acte (Vergnaud, 1990) sous-jacent de cardinal ne sera proposée par les professeurs dans la séquence. Pour les deux groupes, la communauté discursive scolaire n’est pas enrichie par le professeur pour que les élèves puissent s’emparer des éléments qui leur permettraient d’accéder à ce genre second qui s’exprime en mathématiques par : « il y a autant de lapins que de carottes » ou bien « les quantités de lapins et de carottes sont les mêmes, sont égales » ou encore « il y a le même nombre de lapins et de carottes ». La connaissance visée est travaillée implicitement comme réalisant l’équipotence plutôt que comme égalité de cardinaux. La connaissance telle qu’elle est formulée par les professeurs exprime cette équipotence qui concerne les éléments des deux ensembles.

50Pourtant l’analyse à priori de la situation présentée dans le tableau 2 montrait l’intérêt de travailler à travers le langage deux aspects conceptuels différents. Ainsi dans toute la séquence la relation d’égalité des cardinaux est suggérée, mais elle reste en tant que connaissance implicite, elle n’est jamais formulée par les enseignantes alors que des élèves sont capables de l’exprimer en entretien individuel (cf. section 4.4 : « j’ai demandé le même nombre de lapins »). Les formulations langagières n’évoluent donc pas vers un genre second qui exprimerait le concept scientifique et abstrait de cardinal qui est une caractéristique de l’ensemble et qui ne dépend pas de la nature de ses éléments.

4.3. Les mots pour dire la non-réussite

51Pour expliciter des erreurs comme celle de Milla qui prend une carotte en trop dans le groupe GNat à la séance 3, les élèves utilisent le terme « manquer » :

P : Alors est-ce qu’elle a gagné ?

Hugo prend la carotte seule du bout des doigts et la secoue

P : Pourquoi elle n’a pas gagné ?

Chad : Parce qu’il en manquerait une carotte

Angélo : Non

Alia : Si (en montrant la carotte seule qu’Hugo tient dans sa main)

Milla : Il voulait dire de plus

P : Il y a une carotte de plus, ce n’est pas grave tu peux la rapporter

52L’expression « il manque une carotte » pour dire qu’il y en a une en trop est reprise par les élèves :

Milla : Il manque une carotte

P : Il lui manque une carotte ?

Milla : Parce qu’il lui manque une carotte de plus

53Le professeur ne reprendra pas cette expression « il manque une carotte de plus ». Lors de la séance 4, cet emploi de « manquer » se retrouve :

Milla : Il en manque deux en trop

P : Il en manque deux en trop, non on ne dit pas ça, on dit qu’il y en a deux en trop

54Dans le groupe GMar, l’erreur est commise également plusieurs fois, notamment lors de la séance 5. Léna est l’acheteuse pour ses cinq lapins et Kenji le marchand lui donne sept carottes :

P : Pourquoi, tu n’as pas réussi Léna ?

Léna : Parce qu’il manque deux carottes sans lapin.

P : Il manque deux carottes sans lapin ?

Angélique : Il y avait cinq lapins.

P : Il y avait cinq lapins et tu as pris combien de carottes ?

Léna : Sept.

P : Donc, tu en as pris combien en trop ?

Léna : Deux.

P : Ce n’est pas, « il en manque », mais tu as deux carottes en trop.

55Dans les deux groupes, l’erreur fréquente « il manque des carottes en trop » semble vouloir dire « c’est raté [manqué] car il y a des carottes en trop ».

56Lors de la séance 4, dans le groupe GNat, Angélo exprime des raisonnements très structurés en parlant d’Alia qui a pris une carotte en trop :

Alia : oh

P : Oh, qu’est-ce qu’il se passe ?

Milla : Elle a perdu

Angélo : elle a pris que trois carottes et elle avait quatre lapins, il fallait une carotte en plus, il y a un lapin qui est tout seul

P : hé oui, il y a un lapin qui est tout seul sans carotte, donc il te manque une carotte.

57Angélo est déjà pratiquement dans le calcul avec les nombres et exprime un raisonnement qui révèle une totale compréhension de la situation au point de vue mathématique.

4.4. Évolution de la communauté discursive vers un genre second

58À la séance 4 pour le groupe GMar, Kenji joue le premier et le professeur fait vérifier si c’est ou non réussi :

P : Comment vous pouvez dire qu’il a réussi ?

Lucas : Oui parce que, égalité.

P : Égalité de quoi ?

Lucas : De lapins et…

P : Égalité de lapins…

Lucas : De carottes

P : Il y a égalité de lapins et de carottes. Ça veut dire quoi ?

Angélique : Il a réussi parce qu’il y avait quatre lapins…

P : Il y avait quatre lapins et…

Angélique : Et quatre carottes.

P : Il y a quatre lapins et quatre carottes.

59Le professeur aurait pu faire évoluer l’expression de l’égalité vers un genre second en disant : « il y a égalité entre la quantité de lapins et la quantité de carottes » ou bien « la quantité de lapins et la quantité de carottes sont égales ». Mais le professeur semble déconcerté par cette expression sur laquelle il ne s’appuie pas pour faire évoluer le langage et pour favoriser la secondarisation des genres.

60Pour le groupe GNat, dans la séance 4, des élèves savent maintenant utiliser le verbe « manquer » à bon escient lorsque vient le tour de Hugo :

P : Est ce qu’il a réussi Hugo ?

Milla : Non, il manque une carotte

(Hugo sourit reprend vite les carottes dans ses mains et se lève pour les rapporter)

P : Allez, repose tout ça et recommence

Alia : Oh, Hugo, il y en avait quatre

(Hugo prend les carottes, 1 puis 2 et encore 1 et revient les placer)

P : Est-ce qu’il a réussi ?

Alia : Ben oui je lui ai dit le nombre : quatre

61Ce qui apparait pour la première fois dans la communauté discursive est le terme « nombre » qui exprime que pour Alia le concept de nombre en tant que cardinal est en cours de réification. Angélo dans la séance suivante utilise lui aussi les termes « combien » et « nombre » : « elle savait pas combien, il fallait dire le nombre », expression répétée et ainsi institutionnalisée immédiatement par le professeur, dans un microgeste professionnel très expert, car cette expression est reconnue comme étant d’un genre second.

62Les élèves des deux groupes, interrogés individuellement par leur enseignant lors de la séance 6, donnent encore la preuve qu’ils sont prêts à accéder au niveau de la connaissance formulée d’un genre second. L’extrait suivant a lieu avec Léna du groupe GMar :

P : Et alors comment tu faisais ?

Léna : Compter les lapins et après j’allais chercher les carottes pour qu’ils les mangent les lapins.

P : Et comment tu savais que tu avais réussi ?

Léna : En comptant les lapins et les carottes.

P : En comptant les lapins et les carottes. D’accord. C’est à dire ?

Léna : Si c’était le même nombre.

P : Si c’était le même nombre, c’est-à-dire si tu avais six lapins, il te fallait combien de carottes ?

Léna : Six carottes.

63La connaissance est enfin formulée, mais comme il s’agit d’un entretien individuel, cela n’enrichit pas la communauté discursive du groupe GMar. Le même phénomène se passe pour le groupe GNat dans un moment d’entretien individuel :

P : Comment tu sais que tu avais réussi ?

Milla : Parce que j’ai demandé le même nombre de lapins, et j’ai demandé à la marchande de me donner cinq carottes.

64Les séances 7 reprennent la situation de formulation. La dévolution du problème que ce soit pour le couple des acteurs (acheteur, marchand) ou pour les observateurs est toujours réalisée. Aucune lassitude ne s’installe chez les élèves qui réussissent de mieux en mieux. Les critères utilisés pour la vérification sont stabilisés comme dans les séances précédentes. Voici pour exemple ce qui est exprimé par Chad dans le groupe GNat :

P : Comment vous savez que vous avez réussi ?

Chad : Parce qu’on a mis à chaque lapin une carotte.

P : À chaque lapin on a mis une carotte. Et vous avez réussi. Très bien.

65Les deux professeurs ne font pas évoluer les formulations des élèves en ne reprenant pas l’expression pourtant utilisée spontanément dans les deux groupes : « il faut le même nombre de lapins et de carottes », cela aurait enrichi le milieu langagier et favorisé le processus de secondarisation du genre premier « chaque lapin a une seule carotte et il ne reste pas de carotte » au genre second « il y a le même nombre de lapins et de carottes » autrement dit « il y a autant de lapins que de carottes ».

4.5. Un geste professionnel d’ensemencement

66La théorie des situations didactiques offre une modélisation pertinente des différentes situations à proposer aux élèves afin de réaliser la dévolution du problème posé, mais c’est à condition que le professeur soit vigilant pour que les situations proposées puissent permettre d’assurer les conditions suivantes :

– proposer aux élèves une fiction pour « faire comme si » ce qui donne du sens aux apprentissages mathématiques visés et offre un contexte sans ambigüité notamment sur le but de la tâche ;

– maintenir l’élève dans le contexte scolaire mathématique en évitant qu’il ne s’investisse uniquement dans un rôle relatif au contexte de jeu social.

67La dynamique de secondarisation des genres suppose des gestes professionnels complexes et en particulier :

– l’identification à priori du potentiel langagier des situations proposées ;

– le repérage des différents moments d’une séquence en fonction du degré plus ou moins important par rapport aux productions langagières potentielles des élèves.

68Cela suppose pour le professeur deux conditions apparemment contradictoires :

– qu’il s’implique le moins possible dans les situations d’action, de formulation ou encore de coopération pour permettre aux élèves de développer leur discours ;

– qu’il participe au développement langagier de la communauté discursive scolaire en s’appuyant si possible sur des propositions des élèves pour enrichir le langage spécifique de la discipline et favoriser la secondarisation des genres.

69Cette étude montre que l’analyse à priori a permis de mettre au jour deux concepts en acte essentiels visés dans cette séquence : l’équipotence et le concept de cardinal. C’est la première conception qui a été privilégiée dans la séquence « lapins carottes » avec « il n’y a pas de lapin sans carotte et il ne reste pas de carotte », conception qui se vérifie aisément avec les objets du milieu matériel. Un déplacement cognitif et langagier a été proposé avec cette autre façon de dire « on a compté x lapins et x carottes ». Cette nouvelle expression renvoie au schème du dénombrement sur les objets réels.

70La conception « équipottence » a été développée et n’a pas évolué vers la conception « cardinal » qui aurait pu se dire ainsi : « il y a le même nombre de lapins et de carottes » ou encore « il y a autant de lapins que de carottes ». Cela suppose un nouveau déplacement conceptuel qui nécessite une abstraction par rapport au milieu matériel. Des élèves ont montré qu’ils étaient prêts pour cet apprentissage conceptuel et langagier, mais les professeurs extrêmement soucieux de préserver l’autonomie de leurs élèves, n’ont pas saisi l’occasion d’enrichir les apprentissages langagiers des élèves d’un genre second, pourtant :

Ils [les genres seconds] permettent de mettre à distance, d’objectiver, de reconfigurer l’activité dans laquelle le locuteur est engagé, c’est-à-dire de l’arracher de son contexte in media res pour la dire, la réorganiser, la restructurer, la représenter via les formes langagières conventionnelles, déposées dans la culture et partagées par la communauté dans laquelle il s’inscrit. (Jaubert et al., 2003, p. 69).

71J’ai très fréquemment entendu dire par des enseignants expérimentés qu’ils évitent l’emploi de l’expression « autant que » au prétexte que les élèves ne comprendraient pas. Cette étude propose une cause à cela : les professeurs n’ont pas « ensemencé » le milieu langagier avec cette façon de dire propre à la communauté discursive de référence.

72Je voudrais revenir sur le topos des élèves au sujet duquel Chevallard (1999) fait la remarque suivante :

L’une des difficultés didactiques les plus ordinaires et les plus pressantes pour un professeur est celle qu’il rencontre pour « donner une place aux élèves », c’est-à-dire pour créer, à leur intention, et à propos de chacun des thèmes étudiés, un topos approprié, qui donne à l’élève le sentiment d’avoir un « vrai rôle à jouer ». Ainsi, dans ce qu’on peut appeler l’enseignement spectacle, que certaines modes pédagogiques ont pu pousser en avant au cours des décennies écoulées, les élèves sont sollicités fréquemment, mais n’interviennent en général que comme des figurants sans véritable rôle. (p. 18)

73Dans la séquence étudiée, des gestes professionnels de lâcher-prise des deux enseignantes ont favorisé le fait que les élèves ont eu un topos très important. Cela se manifeste dans l’investissement des élèves acteurs des tâches proposées mais aussi, et c’est encore plus remarquable, dans l’investissement des élèves observateurs dont l’attention et la vigilance n’ont pas faibli jusqu’à la fin de la séquence. La responsabilité de la vérification étant dévolue aux élèves, ils ont occupé cette place et leurs échanges langagiers pour décider de la réussite ou de l’échec ont été très riches et ont participé du phénomène de secondarisation des genres. Cependant comme cela a été précisé précédemment, l’enrichissement de la communauté discursive provient également des apports des professeurs qui peuvent nourrir le milieu langagier par des façons de dire nouvelles, ce que ces professeurs-là ne se sont pas autorisés à faire. Cela suppose un geste professionnel très délicat d’ensemencement entre lâcher-prise et intervention sur la scène didactique pour accompagner le processus de secondarisation des genres.

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Bibliographie

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Notes

1 Une institution I est un dispositif social « total », qui peut certes n’avoir qu’une extension très réduite dans l’espace social (il existe des « micro-institutions »), mais qui permet – et impose – à ses sujets, c’est-à-dire aux personnes x qui viennent y occuper les différentes positions p offertes dans I, la mise en jeu de manières de faire et de penser propres. Ainsi la classe est-elle une institution (dont les deux positions essentielles sont celles de professeur et d’élève), de même que l’établissement […], de même encore que cette institution qui englobe classes et établissements et qui foisonne en positions de toutes sortes, le système éducatif. (p. 2)

2 « Définition. La dévolution est l’acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité d’une situation d’apprentissage […] ou d’un problème et accepte lui-même les conséquences de ce transfert. » (Brousseau, 1990, p. 326)

3 Une certaine quantité de pots est donnée à chaque élève, il s’agit d’aller chercher la même quantité de pinceaux pour pouvoir mettre un pinceau dans chaque pot. Les pinceaux sont éloignés par rapport aux pots et il faut aller les chercher en une seule fois.

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Table des illustrations

Titre Figure  : matériel utilisé dans la séquence figurant les lapins, les carottes et le jardin.
URL http://journals.openedition.org/reperes/docannexe/image/1102/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 76k
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Pour citer cet article

Référence papier

Mirène Larguier, « « Il y a autant de lapins que de carottes » : quelle compréhension à l’école maternelle ? », Repères, 54 | 2016, 121-139.

Référence électronique

Mirène Larguier, « « Il y a autant de lapins que de carottes » : quelle compréhension à l’école maternelle ? », Repères [En ligne], 54 | 2016, mis en ligne le 16 décembre 2016, consulté le 13 décembre 2017. URL : http://journals.openedition.org/reperes/1102

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Auteur

Mirène Larguier

Université de Montpellier, faculté d’éducation de Montpellier

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Droits d’auteur

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