4Après avoir décrit le cadrage théorique dans lequel nous nous inscrivons, nous énonçons nos questions de recherches et précisons la méthodologie utilisée pour le recueil des données. Nous analysons alors des extraits de séances menées par chacun des trois professeurs avant de conclure sur les gestes professionnels spécifiques que nous identifions.

1. Appuis théoriques

1.1. La théorie des champs conceptuels

5Selon Vergnaud (1991), un concept n’acquiert du sens pour l’enfant qu’au travers des situations et des problèmes qu’il permet de résoudre. Il envisage une construction simultanée de l’addition et de la soustraction, de la multiplication et de la division et définit ainsi le champ conceptuel des structures additives comme l’ensemble des situations faisant appel à une addition, à une soustraction ou à une combinaison de ces deux opérations. De même, le champ conceptuel des structures multiplicatives renvoie aux situations dont le traitement appelle une multiplication, une division, ou une combinaison de telles opérations. Il élabore au sein de ces deux champs des catégories de problèmes. Pour le champ des structures additives qui concerne notre étude, il distingue six catégories : les problèmes de transformation (dynamique) d’un état-mesure en un autre état-mesure, les problèmes de composition (statique) de deux états-mesures en un troisième, les problèmes de comparaison établissant une relation (statique) entre deux mesures, les problèmes de composition de deux transformations (dynamiques), les problèmes de transformation d’une relation et les problèmes de composition de relations (statiques). Plusieurs études ont montré qu’à l’instar de la taille des nombres ou des difficultés lexicales de l’énoncé, l’appartenance à l’une des catégories de cette classification et la place de l’inconnue dans le problème avaient une incidence significative sur la réussite des élèves. Par exemple, 100 % des élèves de 6-7 ans de la cohorte étudiée par Riley et al. (1983) réussissent un problème de transformation négative dont les données numériques sont inférieures à 10, ne comportant pas de difficultés lexicales et dans lequel on cherche la valeur de l’état final (« Joe avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Tom. Combien de billes a maintenant Joe ? »). Ces performances chutent à 78 % lorsqu’ils doivent déterminer la valeur de la transformation (« Joe avait 8 billes. Il en a donné à Tom. Maintenant Joe a 3 billes. Combien a-t-il donné de billes à Tom ? ») et à 39 % lorsqu’ils cherchent celle de l’état initial (« Joe avait des billes. Il en a donné 5 à Tom. Maintenant Joe a 3 billes. Combien avait-il de billes ? »). La classification élaborée par Vergnaud est donc un indicateur pertinent pour guider le choix des problèmes proposés en classe. Elle nous sert de point d’appui pour l’analyse a priori des problèmes qui sont étudiés dans cet article : ce sont des problèmes de transformation pour lesquels la donnée recherchée peut être la valeur de l’état initial, de la transformation ou de l’état final et des problèmes de composition pour lesquels la donnée recherchée peut être la valeur du tout ou d’une des parties.

1.2. Processus cognitifs en jeu dans l’activité de résolution de problèmes

7Dans la lignée de Julo, Houdement (2017) note que les pratiques enseignantes, souvent basées sur la monstration, ne sont pas toujours les plus adaptées au développement de la mémoire de problèmes des élèves car si elles leur permettent en général de côtoyer des problèmes, elles ne leur donnent pas nécessairement l’opportunité de mener à terme leur résolution :

L’enseignant suppose souvent qu’assister à la correction (qu’elle soit magistrale ou proposée par l’entremise de brefs exposés d’élèves sur leurs productions) produira des effets positifs sur la prochaine résolution. (Houdement, 2017, p. 64)

8Dans une étude menée auprès d’élèves de 8 à 11 ans, Houdement cherche à identifier des connaissances qui aideraient les élèves à résoudre des problèmes arithmétiques et dont l’absence serait pénalisante. Elle aboutit à la conclusion que la résolution de certains types de problèmes vus comme des briques élémentaires de raisonnement doit être automatisée en fin de cycle 3, dans le sens où la structure mathématique sous-jacente de ces problèmes doit être rapidement reconnue par les élèves. Ces problèmes, qu’elle nomme « problèmes basiques », sont les problèmes « à deux données […], où il s’agit de déterminer une troisième valeur […], à énoncé court, syntaxe simple, sans information superflue » (Ibid., p. 64). Elle insiste sur le fait qu’un enseignement progressif de ces problèmes sur les cycles 2 et 3 doit être pensé.

9Pour les élèves concernés dans cet article, nous nous intéressons à des problèmes de transformation ou de composition du champ additif dont les énoncés répondent aux critères définis ci-dessus par Houdement. Ces élèves de CP ne disposent pour le moment que des opérations d’addition ou de soustraction pour résoudre un problème numérique. L’enjeu des séances étudiées ici est donc en premier lieu de leur faire percevoir que ces opérations ne permettent pas seulement de résoudre des problèmes de transformation dans lesquels l’état final est recherché, mais bien toute une « gamme » de problèmes.

1.3. Registres de représentations sémiotiques

10Au cours des processus en jeu lors de la résolution d’un problème, l’élève mobilise tour à tour plusieurs types de représentations au sein de différents registres. En effet, Duval note que l’une des caractéristiques de l’activité cognitive en mathématiques est que « les objets mathématiques ne sont pas directement accessibles dans la perception […]. Il faut donc pouvoir en donner des représentants » (Duval, 1993, p. 38) qu’il nomme « représentations sémiotiques ». Il précise qu’il peut s’agir de « productions discursives (en langue naturelle, en langue formelle), ou non discursives (figures, graphiques, schémas...) » (Duval, 1996, p. 356) qu’il classe dans différents registres sémiotiques. Deux représentations distinctes d’un même objet donnent accès à des propriétés différentes de cet objet, c’est ce qui en fait l’intérêt. Duval appelle « conversion » le passage d’une représentation à une autre représentation appartenant à un registre différent ; il appelle « traitement » le passage d’une représentation à une autre représentation appartenant au même registre. Ainsi en situation de résolution de problème, l’élève est conduit à opérer différents traitements et conversions pour passer de l’énoncé du problème (registre de la langue naturelle) à l’écriture du calcul à effectuer et à l’éventuelle transformation de cette écriture (registre symbolique) en transitant peut-être par d’autres types de représentation (schémas ou représentations analogiques, avec usage de matériel, par exemple).

11Duval (1996) note également que certaines représentations, qu’elles appartiennent ou non à un même registre, peuvent être « congruentes » ou « non-congruentes ». Par exemple, l’énoncé « Paul avait 5 billes. Il en gagne et il en a maintenant 8. Combien a-t-il gagné de billes ? » est congruent avec la représentation « 5 + ? = 8 » mais pas avec « 8 – 5 = ? ». En effet, si pour les deux représentations symboliques, chaque unité signifiante élémentaire de la première représentation est traduite par une et une seule unité signifiante élémentaire de la seconde, ces unités sont arrangées dans le même ordre pour « 5 + ? = 8 » mais pas pour « 8 – 5 = ? ». Par ailleurs, le verbe « gagner » induit plutôt l’addition que la soustraction ce qui renforce la non-congruence. Une conversion ou un traitement entre deux représentations est plus aisé lorsqu’il s’agit de deux représentations congruentes.

1.4. Espace problème de recherche de l’élève

13La théorie de l’activité (Leontiev, 1975 ; Leplat, 1997) différencie les notions de tâche et d’activité : la tâche est « ce qui est à faire ; « le but qu’il s’agit d’atteindre sous certaines conditions » » alors que l’activité est « ce que développe un sujet lors de la réalisation de la tâche » (Rogalski, 2003, p. 349). Plus précisément chez l’enseignant, on distingue « la tâche prescrite : ce sont les buts et les conditions explicités dans les textes prescriptifs » de « la tâche attendue : c’est le contenu réel des attentes du prescripteur » et chez l’élève, « la tâche redéfinie : c’est la représentation de la tâche que se donne le sujet » de « la tâche effective : c’est celle à laquelle il répond effectivement, et qui peut différer de celle qu’il pense s’être fixée » (Ibid., p. 350). L’activité́ est alors déterminée par la tâche effective.

14Le constat de l’écart existant entre la tâche prescrite par l’enseignant et l’activité de l’élève en situation de résolution de problème arithmétique conduit Musquer (2009, p. 218) à considérer deux espaces de recherche : « l’espace tâche de recherche » constitué de l’expérience construite et raisonnée du maître (la consigne qu’il a donnée et l’interprétation qu’il en espère par les élèves, la ou les stratégies de résolution plus ou moins expertes du problème qu’il attend de ses élèves) et « l’espace problème de recherche » (EPR), espace mental et privé constitué de l’expérience empirique et tâtonnante de l’élève lors de la résolution de ce problème. De son point de vue, la construction de cet EPR est associée à la formation de plusieurs types de représentations dans une « série de va-et-vient, tantôt descendant vers des opérationnalisations possibles et tantôt remontant vers le problème posé pour le formuler » (Ibid., p. 219). Ainsi, l’EPR désigne l’ensemble des processus que l’élève met en œuvre et des représentations qu’il mobilise lors de la résolution du problème : ces représentations peuvent être exclusivement mentales (par exemple, l’élève a en tête une image mentale du contexte du problème) ou plus ou moins publiques en étant oralisées (par exemple, l’élève énonce à voix basse une partie de la comptine numérique), gestuelles (il compte sur ses doigts, manipule des jetons) ou écrites (il produit un dessin intelligible par lui seul ou par un autre, ou encore une écriture mathématique ou une représentation schématique ayant précédemment été institutionnalisée en classe). Par essence, cet EPR est donc relativement opaque et l’élève ne donne souvent à voir qu’une infime partie de son contenu au professeur. En effet, il n’est pas toujours en mesure de formaliser oralement ou à l’écrit le recours à telle ou telle représentation. Comme le note Julo (2022), les analogies qu’il fait avec des problèmes stockés dans sa mémoire de problèmes peuvent en outre s’opérer de manière relativement inconsciente :

il est vraisemblable que nous nous dotons […] d’une bibliothèque de cas, celle-ci se complexifiant très vite dès que notre maîtrise du domaine augmente. Nous avons quelquefois conscience de l’intervention de ces cas dans le processus de résolution, en particulier lors d’un raisonnement par analogie explicite (« Ah oui, c’est comme le problème que j’ai fait l’autre jour... »), mais cette intervention reste le plus souvent totalement implicite, limitée au façonnage de notre représentation du problème. » (Julo, 2002, p. 36)

15Il est pourtant primordial pour l’enseignant d’accéder au moins partiellement à cet espace : en effet, c’est ce qui lui permet d’estimer l’écart existant entre la tâche qu’il pensait avoir prescrite et l’interprétation qu’en a fait l’élève, mais aussi d’identifier les difficultés que l’élève rencontre pour tenter d’y remédier. Nous postulons que grâce à ces informations, il ajuste son action in situ pour réorienter l’élève vers l’espace tâche de recherche qui correspond à son objectif initial. Pour interpréter les choix des trois enseignants de notre étude, nous regardons la manière dont ils procèdent pour prendre des informations sur l’EPR de leurs élèves.

1.5. Analyser l’agir didactique situé de l’enseignant et des élèves

16Afin d’examiner « l’agir didactique situé » de ces trois enseignants, nous utilisons les outils, les concepts théoriques et les méthodes d’observation dont se sont dotés Bucheton et al. (Bucheton, 2009 ; Bucheton et Soulé, 2009 ; Bucheton et al., 2015) pour étudier la co-activité entre le maître et ses élèves et analyser l’action et les prises de décision de l’enseignant au regard de la situation et de ses contraintes. Ils postulent en effet que pour comprendre la diversité des obstacles inhérents à un apprentissage, il est nécessaire de penser conjointement l’appropriation des savoirs et le contexte d’apprentissage, d’envisager l’élève et l’enseignant comme des sujets sociaux et pas seulement comme des sujets épistémiques, de les considérer « comme des personnes, porteuses d’une histoire, d’une culture, d’un rapport à l’institution, d’un rapport au savoir enseigné » (Bucheton et Soulé, 2009, p. 30). Par geste professionnel, ils désignent de manière métaphorique « l’action de l’enseignant dirigée vers l’élève ou la classe, dans le but d’instruire ou d’éduquer » (Bucheton, 2019, p. 79). Les gestes de l’enseignant sont professionnels dans le sens où ils lui permettent d’ajuster son activité en fonction de celle de l’élève au vu du savoir visé. Ces gestes professionnels ont pour objectif premier la construction de savoirs. C’est en principe la préoccupation centrale du professeur, mais il la conjugue à d’autres au sein d’un « multi-agenda de préoccupations enchâssées » que l’on peut observer par la manifestation d’un certain nombre de gestes professionnels. Bucheton (2009) a identifié, de manière très générique, quatre autres catégories de préoccupations en étroite relation avec celle du savoir. Une de ces catégories est liée au souhait de maintenir une certaine atmosphère dans la classe par un « climat général cognitif et relationnel, un certain ethos (Maingueneau, 2002) qui autorise ou non la prise de parole de l’élève et régule le niveau d’engagement attendu dans l’activité » (Bucheton, 2009, p. 58). Une catégorie regroupe les gestes de pilotage des dimensions spatiotemporelles (contrôle du timing, gestion des déplacements de l’enseignant ou des élèves, du tableau, du matériel nécessaire à la leçon, etc.). Une catégorie englobe les gestes d’étayage, concept que les auteurs empruntent à Bruner (1983). Ces gestes « relèvent du double registre toujours en tension de l’enseigner et du faire apprendre » (Ibid., p. 59) et se manifestent lorsque l’enseignant accompagne l’élève dans les apprentissages que l’élève ne peut conduire seul. Une catégorie regroupe les gestes de tissage : ils correspondent à ce que l’enseignant met en œuvre pour faire des liens entre les apprentissages, entre ce qui se passe à l’école et hors de l’école, pour donner du sens à la situation et au savoir visé.

17Pour ces auteurs, les gestes professionnels didactiques sont les gestes :

spécifiques aux objectifs de savoir ou compétences travaillés : choix de types de problèmes, de tâches, de milieux d’apprentissage, de temporalités, de formes d’étayage ou d’évaluation, etc. Ils évoluent et s’ajustent en cours d’année ou de cycle en fonction de l’avancée des apprentissages des élèves. (Bucheton, 2019, p. 209)

19Pour s’adapter à l’activité des élèves face aux tâches proposées, l’enseignant met en œuvre des modes d’agir spécifiques que Bucheton et Soulé. (2009) nomment postures. Une posture regroupe différents gestes qui correspondent à des préoccupations conjointes. Au cours d’une séance, l’enseignant ajuste son action en passant d’une posture à l’autre et modifie ainsi potentiellement l’activité des élèves. Les auteurs identifient cinq grands types de postures chez l’enseignant :

• une posture d’accompagnement : il relève les difficultés, oriente vers les ressources disponibles, laisse du temps pour la réflexion et la discussion ;

• une posture de contrôle : il pilote les tâches en exerçant un contrôle fort, explique les erreurs et les corrige ;

• une posture d’apparent lâcher-prise : il n’intervient pas et laisse les élèves travailler en autonomie ;

• une posture d’enseignement : il formule, structure les savoirs, les nomme, en fait éventuellement la démonstration, il fait alors ce que l’élève ne peut pas encore faire tout seul ;

• enfin, une posture du magicien : en théâtralisant la situation, il capte momentanément l’attention des élèves, « le savoir n’est ni nommé, ni construit, il est à deviner » (Bucheton et Soulé, 2009, p. 40).

20Pour cerner ce qui se joue dans la situation d’enseignement, les auteurs précisent qu’il importe d’analyser simultanément l’agir de l’enseignant et celui des élèves.

2. Questions de recherche

21Nous cherchons à identifier dans les pratiques de trois enseignants de CP des gestes professionnels didactiques spécifiques de la résolution de problèmes basiques. Les gestes ainsi repérés sont-ils cohérents ? Sont-ils pertinents au regard de leurs effets supposés sur l’activité des élèves ? Le cas échéant, ces gestes sont-ils transférables à d’autres enseignants dans le cadre de la formation ?

22Afin de mieux comprendre les logiques profondes qui sous-tendent les choix des trois professeurs, nous interrogeons la manière dont ils procèdent pour accéder à l’EPR de leurs élèves : que souhaitent-ils en connaître ? Quel degré d’incertitude tolèrent-ils ? Quels sont les indicateurs qui témoignent pour eux d’une compréhension suffisante de la tâche à accomplir par l’élève ? Quels effets ce retour d’informations produit-il sur leurs actions, sur l’activité de l’élève et plus généralement sur la situation de recherche ?

23Pour tenter de répondre à ces questions, nous pointons et nous catégorisons à partir des transcriptions de séances les gestes professionnels et les postures que nous voyons émerger dans les pratiques des trois enseignants. Ce découpage et cette classification sont artificiels : ils ne sont réalisés que pour guider l’analyse alors que l’imbrication des préoccupations de l’enseignant est constante. Par exemple, un même geste repéré chez deux enseignants qui apparaît en posture de contrôle chez l’un et en posture d’accompagnement chez l’autre nous conduit à interroger leurs logiques d’arrière-plan pour essayer de juger de sa cohérence et de sa pertinence dans chacun des cas. Ceci peut ensuite permettre, lors d’une réunion plénière de la recherche-action, de pointer ce geste pour tenter d’en valoriser une utilisation appropriée. La prépondérance marquée d’une posture chez un enseignant lors d’une séance est un autre exemple de signal qui nous conduit à un questionnement du même type.

3. Recueil des données

3.1. Éléments de contexte

26Enfin, les séances étudiées ont toutes eu lieu dans la deuxième quinzaine du mois de novembre 2019. Par conséquent, l’état d’avancement dans la programmation annuelle en mathématiques est sensiblement similaire dans les trois classes.

3.2. Modalités adoptées par les enseignants pour les séances

27Dans la classe de Paul, la séance de résolution de problèmes basiques se déroule en atelier de quatre élèves dirigé par l’enseignant. Le reste de la classe travaille sur d’autres tâches mathématiques au sein d’ateliers autonomes. Les élèves sont réunis avec l’enseignant autour d’une table. Ce dernier lit l’énoncé du problème plusieurs fois, puis chaque élève répond sur son ardoise. Une barquette remplie de jetons est à disposition sur la table d’atelier. Au cours de l’atelier qui dure approximativement 10 minutes, Paul fait travailler les élèves sur deux problèmes (P1 et P2).

28Dans la classe d’Angèle, la séance de résolution de problèmes basiques est proposée à la classe entière, elle dure 45 minutes. Les élèves sont à leurs bureaux et travaillent également sur ardoise. Cinq problèmes (A1, A2, A3, A4 et A5) sont successivement traités. Pour chacun, Angèle lit deux fois l’énoncé et les élèves cherchent individuellement. Aucun matériel n’est immédiatement disponible.

30Les énoncés des problèmes proposés par Paul, Céline et Angèle figurent en annexe.

3.3. La ressource utilisée par Angèle et Paul

31Dans le cadre du projet de recherche-action auquel ils participent, Angèle et Paul testent tous les deux une ressource conçue et mise à disposition par l’auteure dont l’objectif est de favoriser la mémorisation et la mobilisation des faits numériques additifs pour la résolution de problèmes basiques. Deux outils sont systématiquement utilisés : les « trios de nombres », expression qui désigne trois nombres liés par une relation additive ou soustractive (par exemple (3 ; 5 ; 8) car 8 =5+3) et les « boîtes » qui sont des représentations permettant d’illustrer la structure additive existant dans le trio de nombres (figure 1).

Figure 1. Boîte du trio de nombres (3 ; 5 ; 8)

8
5	3

32Cette représentation a entre autres été décrite et analysée par Fischer (1993) et reprise par Descaves (2000). Elle illustre aisément les problèmes de composition ou de comparaison d’états mais ne permet pas de rendre compte de la chronologie des événements présente dans un problème de transformation (Ibid., p. 188), contrairement à des représentations s’appuyant sur la droite numérique (Davydov, 1975 ; Joffredo-Le Brun, 2020, p. 285). Toutefois, elle peut être indifféremment mobilisée par les élèves de Paul et Angèle pour des problèmes de transformation ou de composition. En effet dans la progression proposée, son usage a avant tout pour objectif de rendre compte des relations entre les nombres et de faciliter des traitements du type « 3 + ? = 8 ⇔ 8 – 3 = ? », et non pas de représenter le problème. La ressource est également accompagnée d’une liste de problèmes basiques conçue par l’auteure qu’Angèle et Paul utilisent pour les séances analysées dans cet article et plus généralement pour toutes les séances de résolution de problèmes basiques. Les échanges qui ont lieu entre praticiens et chercheurs lors des entretiens post-visites et lors des réunions en petits groupes ou en plénière permettent aux chercheurs du projet de réajuster continuellement la ressource puis de soumettre ces modifications à l’équipe enseignante : ainsi, un processus d’amélioration continue de la ressource s’organise autour de ces va-et-vient. Céline, qui fait partie d’une autre recherche-action, connait l’existence de la ressource testée par Angèle et Paul mais ne l’utilise pas cette année-là. Elle se sert du livret-MHM et d’autres problèmes de la MHM.

3.4. Analyse a priori des problèmes proposés

33Dans les neuf problèmes du livret de la MHM traités dans la classe de Céline, il s’agit de déterminer l’état final dans un problème de transformation ou le tout dans un problème de composition ; de plus, les sept premiers se résolvent en calculant le résultat d’une addition. Il est à noter que plusieurs faits numériques en jeu ne sont pas « dans les tables d’addition » (C5 : 9 + 12 = ? ; C6 : 17 + 6 = ? ; C8 : 13 – 2 = ? ). On peut donc supposer que les problèmes C1 à C7 et C9 devraient être majoritairement réussis malgré des erreurs de calcul prévisibles en particulier pour C5 et C6, alors que C8 devrait souvent donner lieu à un calcul erroné d’addition (premier problème soustractif après sept problèmes additifs). Dans les problèmes abordés dans les classes d’Angèle et Paul, les élèves sont conduits à déterminer tour à tour une des parties, le tout, l’état final ou la transformation et pour cela, ils doivent calculer alternativement le résultat d’additions, de soustractions ou d’additions à trou. D’autre part, le champ numérique convoqué est différent : tous ces problèmes sont « dans les tables d’addition » et font appel à des résultats mémorisés qui ont été travaillés préalablement dans la ressource proposée par l’auteure. Ainsi dans la classe de Paul, P1 devrait être majoritairement réussi et P2 peu réussi (recherche d’une des parties dans un problème de composition) ; dans la classe d’Angèle, A1 devrait être plutôt réussi et A4 très réussi. A2 comme A3 et A5 devraient donner lieu à davantage d’échecs (recherche d’une des parties ou recherche de la transformation négative). Enfin, on peut anticiper pour A2 des difficultés à interpréter correctement « 2 vaches qui sont marron et les autres sont noires et blanches », « noires et blanches » pouvant renvoyer à deux catégories distinctes de vaches pour certains élèves. Le tableau 1 récapitule les caractéristiques des problèmes proposés et les prévisions concernant les performances des élèves lors de leur résolution (- : peu réussi ; + : plutôt réussi ; ++ : majoritairement réussi).

4. Analyse des données

34Les séances proposées par les trois enseignants ont été transcrites, puis les gestes professionnels ont été repérés et catégorisés. À chaque fois que des gestes consécutifs semblaient associés à des préoccupations conjointes, la posture correspondante a été identifiée, ce qui a fourni un découpage artificiel de chaque séance en successions de postures professionnelles. L’intégralité de la transcription ne pouvant être fournie, seuls des éléments saillants correspondant à des gestes professionnels qui nous semblaient intéressants à analyser sont restitués dans la suite du texte. Les enseignants sont désignés par leur prénom fictif et les élèves par une numérotation (E1, E2, etc.) correspondant à leur ordre d’apparition dans l’extrait concerné. Les indications portant sur leurs attitudes et gestes non-verbaux sont en italique. Dans trois extraits, les prises de parole sont numérotées afin d’y faire plus facilement référence (elles sont appelées « lignes » pour simplifier).

4.1. La séance menée par Paul : prédominance de la posture de contrôle

35Pour le traitement du problème P1 (« Léa a invité 3 copines et 4 copains. Combien a-t-elle d’invités ? »), Paul adopte très brièvement une posture de lâcher-prise (après avoir répété trois fois l’énoncé, il se tait et cesse ostensiblement d’observer E1, E2, E3 et E4 pour poser son regard sur les autres tables d’ateliers), se place pendant une longue phase en posture de contrôle (qui se manifeste par une succession de demandes de justifications) et conclut par une phase rapide en posture d’enseignement. Dans l’extrait suivant, on peut aisément constater les effets de la posture de contrôle sur l’activité des élèves :

[Tous les élèves ont écrit 3+4 = ou 3+4 =7 sur leur ardoise.]

Paul : Vous n’avez pas besoin, donc, de manipuler les jetons, non ? Vous n’avez pas besoin de dessiner non plus ?

E2 : Non.

Paul : Vous allez m’expliquer pourquoi alors après, hein ! Faudra m’expliquer comment vous avez fait.

[E1 efface son ardoise, se saisit des jetons et en prépare un tas de 3 et un de 4]

36En effet, alors que tous les élèves de l’atelier ont directement produit une écriture mathématique correcte, il effectue un guidage serré vers d’autres types de procédures, ce qui a pour effet immédiat de faire renoncer E1 à la stratégie qu’il avait choisie. Paul précise en outre aux élèves l’enjeu du choix d’une procédure plutôt qu’une autre :

Paul : Qu’est-ce que vous avez fait, E1, E2 et E3 ? E3, est-ce que tu peux expliquer ce que vous avez fait ? Pourquoi vous avez écrit ça ?

E3 : Non…

Paul : Non, vous n’êtes pas capables de me l’expliquer. Donc est-ce que vous avez compris, je ne sais pas… Je ne sais pas si vous avez compris le problème.

37On voit nettement dans la persistance de la posture de contrôle que les procédures que les élèves exhibent ne suffisent pas à convaincre Paul d’un degré suffisant de compréhension de leur part. Ce doute peut s’expliquer ainsi : il s’agit d’un problème du champ additif et comme nous l’avons déjà précisé, à ce moment de leur scolarité les élèves ne disposent que de deux opérations (addition et soustraction). Un élève qui combinerait les données de l’énoncé avec une opération choisie au hasard obtiendrait donc une écriture mathématique adéquate dans la moitié des cas. Pour pallier cette incertitude, Paul semble vouloir fournir, par la monstration, un répertoire de procédures que les élèves n’ont pas spontanément mobilisées lors de la résolution du problème ou, pour le moins, qu’il n’a pas pu observer. Il leur suggère de faire appel à des représentations publiques tangibles (dessin ou jetons) qui lui donneraient davantage à voir de leur EPR. C’est lui-même qui fixe la nature de ces représentations, dont en particulier une reformulation de l’énoncé congruente à l’expression mathématique obtenue comme on le voit dans l’extrait suivant :

Paul : E3, lis ce que tu as écrit s’il te plait.

E3 : 3 plus 4 égalent 7.

Paul : Oui, quel est le signe que tu as écrit ?

E3 : Plus.

Paul : Pourquoi tu as écrit « plus » ?

E3 : Parce qu’elle a… Elle a invité 4 copains…

Paul : En plus ! Elle avait 3 copines, elle a invité 4 copains en plus ! D’accord ? C’est ce que vous n’avez pas été capables de me dire, tous les deux.

38L’utilisation de la représentation congruente à laquelle il aboutit est par ailleurs discutable : en effet, on peut redouter qu’elle engendre chez certains élèves l’effet inverse de celui escompté en instaurant dans leur esprit une règle du type « C’est quand j’entends « plus » ou « en plus » que je fais une addition ».

39Dans le traitement du problème P2 (« Anna a 7 billes dans ses poches. Elle en a 2 dans sa poche gauche. Combien en a-t-elle dans sa poche droite ? ») dont la résolution met davantage les élèves en difficulté, on constate une alternance de postures plus fréquente et la posture d’accompagnement apparait de manière significative : dans l’enchaînement de gestes identifiés dans la transcription, on repère tour à tour une posture de lâcher-prise, de contrôle, de lâcher-prise, d’accompagnement, de contrôle et d’accompagnement. Lors de la dernière phase, Paul demande aux élèves, après la résolution du problème, comment on aurait pu représenter la situation à l’aide d’un dessin. On voit en lignes 1 et 12 qu’il s’appuie sur la production de l’élève le plus en difficulté (E4) et fait en sorte que ce soit lui qui conclue :

1. Paul [montrant l’ardoise de E4 sur laquelle 7 ronds sont dessinés] : Regardez, comment on fait pour le dessin ? Qu’est-ce que je peux faire pour le dessin ?

2. E4 : Heu… 7.

3. Paul : Elle en a 7 en tout. Elle en a 2 dans sa poche gauche. Qu’est-ce que je fais pour les 2 ? Comment je représente, sur l’ardoise, les 2 ?

4. E4 : Ben tu rajoutes 2.

5. Paul : Non. Mais non. Est-ce qu’on en a rajouté 2, là ? [Paul montre les jetons au centre de la table]. Non, on les a séparés… Comment je fais pour les séparer, là ?

6. [E4 gesticule, sourit]

7. E3 : T’as qu’à barrer.

8. Paul : On peut les barrer si tu veux. Tu veux qu’on en barre 2 ? Les barrer, ça voudrait dire qu’on les perd, qu’on les enlève. Là, ce n’est pas le cas.

9. E2 : Ils sont pas en moins.

10. Paul : Et non, elle ne les a pas perdues, elle les a juste mises dans sa poche. [Paul entoure 2 ronds sur l’ardoise de E4]. Voilà, celles-là, elles sont dans la poche gauche, celles-là, elles sont dans la poche droite, et en tout, ça fait ?

11. E4 : 7.

40Par les questions qu’il adresse aux élèves (lignes 1, 5 et 8) et les réponses qu’elles occasionnent (lignes 7 et 9), on peut dire que Paul nourrit l’échange et accompagne les élèves E2 et E3 dans leur raisonnement. C’est en ce sens que l’on pourrait repérer ici une posture d’accompagnement. Toutefois pour E4 qui ne fournit pas les réponses attendues (lignes 2 et 4), voire ne répond pas (ligne 6), l’effet produit est différent : à l’issue d’une série de prises de paroles au cours desquels E4 s’exprime très peu, c’est finalement Paul qui, après avoir resserré ses questions vers la réponse qu’il attend, produit la représentation (ligne 10). E4 ponctue l’échange en annonçant simplement le nombre de ronds qu’il avait dessinés initialement. La posture de Paul s’apparente donc davantage à une posture de contrôle.

42L’entretien entre Paul et la chercheuse qui suit la séance vise à mieux comprendre les intentions de Paul dans sa gestion de l’atelier. Pourquoi demande-t-il aux élèves d’utiliser des procédures auxquelles ils n’ont pas fait appel alors même qu’ils ont déjà résolu correctement le problème ? En particulier, Paul et la chercheuse s’accordent sur le fait que lorsque nous résolvons nous-même le premier problème, nous effectuons une addition car nous « reconnaissons » immédiatement un problème additif, ce que nous serions bien en peine d’expliciter. Dès lors, peut-on attendre d’élèves de CP qu’ils soient en mesure de verbaliser le choix d’une opération plutôt qu’une autre ? En réponse à ces interrogations, Paul explique qu’il a besoin de pouvoir observer des éléments qui témoignent d’un degré suffisant de compréhension de ses élèves. Pour ce premier problème, il pense que la plupart d’entre eux proposent une addition par effet de contrat (Brousseau, 1998) : ils additionnent les deux données numériques de l’énoncé sans s’être réellement représenté le problème, parce que l’addition est l’opération la plus disponible pour eux. C’est pourquoi il ne se contente pas d’une réponse du type « 3 + 4 = 7 ». La chercheuse lui rappelle que par l’alternance des opérations en jeu et de la place de la donnée recherchée, la liste de problèmes est conçue de manière à pouvoir rapidement déceler des élèves qui procèderaient au hasard, même si une incertitude momentanée est bien sûr inévitable. L’échange semble interpeler Paul mais ne pas le convaincre pleinement. La chercheuse n’a en outre au moment de l’entretien pas de solution alternative à lui proposer qui pourrait l’aider à savoir si ses élèves choisissent l’opération à effectuer sciemment ou au hasard. Ce questionnement est soumis aux enseignants et aux chercheurs de la recherche-action lors d’une réunion plénière et devient un nouveau sujet de réflexion pour la suite du projet. Nous décrirons dans les paragraphes 4.3 et 4.4 un geste professionnel didactique qui a émergé des réflexions et des observations menées dans le cadre de la recherche-action et qui offre une possibilité à l’enseignant de vérifier le niveau de compréhension de l’élève. Nous préciserons également de quelle manière Paul s’en est spontanément emparé pour enrichir sa pratique sur cet aspect.

4.2. La séance menée par Céline : entre accompagnement et lâcher-prise, une pratique plus individualisée et différenciée

43Nous analysons les problèmes C1, C2, C3 et C5 dont le traitement comporte des épisodes significatifs. Pour le traitement du problème C1 (« Dans ma famille, il y avait 3 enfants avec moi. Maman a eu un bébé. Combien sommes-nous d’enfants à présent ? »), on note dans la pratique de Céline une alternance entre posture d’enseignement et de lâcher-prise, non seulement lorsqu’elle s’adresse à un élève en particulier mais aussi selon l’élève auquel elle s’adresse. Elle utilise un mode d’intervention plus individualisé que celui de Paul : par exemple, pour E1 qu’elle juge à l’aise pour la résolution de ce problème, elle adopte spontanément une posture de lâcher-prise :

Céline [à E1] : Allez, vas-y.

E1 [montre l’emplacement sur le livret] : On écrit la réponse là ?

Céline [à E1, avec un geste de la main lui signifiant de rester à l’écart de la conversation avec E3] : Si tu sais, oui.

44En revanche, elle adresse beaucoup plus ses interventions à E3 qu’elle estime plus en difficulté en alternant posture d’accompagnement, d’enseignement et de lâcher-prise. Dans l’extrait suivant, en posture d’enseignement, elle fait glisser l’élève du registre verbal au registre symbolique :

E3 : 4 !

Céline : Alors comment tu fais ?

E3 : Y’a trois enfants et un bébé.

Céline : D’accord. Et donc c’est quoi le calcul que tu as fait alors ?

E3 : 3 plus 1 est égal à 4.

Céline : Et beh ok.

45Les deux professeurs cherchent à obtenir une reformulation verbale du problème ayant une structure congruente à l’écriture mathématique. Toutefois, la représentation attendue dans le registre verbal n’est pas la même. En effet, Céline utilise la formulation « Y’a trois enfants et un bébé » alors que Paul attend une formulation du type « Elle a invité 4 copains en plus » évoquant clairement l’opérateur en présence dans l’écriture mathématique. La suite de l’extrait illustre la façon dont Céline se saisit d’une intervention imprévue d’élève pour pointer la propriété de commutativité de l’addition :

E1 : 1 plus 3 !

Céline : 1 plus 3, est-ce que c’est pareil ?

E1 : Heu…

Céline : Je ne sais pas, je te pose la question. Est-ce que qu’on écrive 1 + 3 ou 3 + 1, c’est pareil ?

E1 : Non, c’est pas pareil !

Céline : Pourquoi ?

E1 : Parce que c’est inversé.

Céline : D’accord. Mais le résultat ?

E1 : Ben c’est pareil le résultat.

46Elle passe alors en posture d’enseignement pour la dernière phase de la résolution de ce problème :

Céline : C’est ça ! Donc que tu écrives 1 + 3 ou 3 + 1, tu as raison, même si les nombres sont inversés, le résultat [Céline ralentit son débit] est le même. Dans l’addition, c’est ce qu’on avait vu ce matin.

47Dans cet extrait, on voit apparaitre un geste professionnel didactique d’atmosphère (elle ralentit son débit lorsqu’elle dit « est le même » pour capter l’attention de l’élève) et un geste professionnel didactique de tissage quand elle précise que cette même propriété avait été étudiée dans un autre contexte le matin-même (« c’est ce qu’on avait vu ce matin »).

48Le traitement du problème C2 (« Dans ma boite, j’ai déjà 8 perles dorées. Maman m’en donne 2 autres. Combien ai-je de perles maintenant ? ») fait apparaître un enchaînement de postures très similaire à celui du problème C1, avec une alternance entre postures d’accompagnement et de lâcher-prise en fonction des élèves auxquels Céline s’adresse et une conclusion en posture d’enseignement en fin de traitement du problème :

Céline : Les 8, c’est celles que j’avais déjà [Céline montre 8 doigts]. Et maman, elle en a donné en plus, elle en a rajouté.

49En effet dans cette réplique, Céline cherche à faire une démonstration du savoir en jeu. Elle se porte garante de la réponse qui a été produite. Il est intéressant de noter qu’elle s’appuie à nouveau sur le même type de représentation verbale que Paul : elle emploie une reformulation de l’énoncé utilisant l’expression « en plus » pour obtenir une représentation congruente à l’expression symbolique « 8 + 2 = ? » afin de faciliter la compréhension de la conversion entre ces deux représentations. Tout comme Paul, on peut remarquer qu’elle ne prend pas appui sur des représentations qui auraient été produites par les élèves pour illustrer son propos et on peut également redouter chez certains de ses élèves des généralisations abusives de ce qu’elle vient d’énoncer. Toutefois, alors que Paul fait appel à cette reformulation congruente en posture de contrôle et signifie aux élèves qu’il attendait d’eux qu’ils la produisent, Céline la mobilise en posture d’enseignement : c’est elle qui la fournit pour légitimer le recours à l’addition dans ce type de problème. Il semblerait que cette représentation n’endosse pas la même fonction dans la pratique des deux enseignants : pour Paul, c’est un moyen d’accéder à l’EPR de ses élèves et il les conduit, par ses interventions, à renoncer à leurs procédures initiales pourtant correctes ; Céline, en revanche, l’utilise comme justification mathématique en phase d’institutionnalisation.

50Le problème C3 (« Dans le coin autonomie de la classe, il y a 5 fiches de mathématiques et 4 fiches de lecture. Combien y a-t-il de fiches en tout ? ») est traité encore plus rapidement que les deux précédents. Céline est en posture de lâcher-prise avec E1 et E4 et s’adresse exclusivement à E2 et E3 en posture d’accompagnement. Elle différencie son enseignement en consacrant toutes ses interventions à E2 et E3 qu’elle pense plus en difficulté et laisse E1 et E4 continuer leur travail de manière autonome : elle permet ainsi à E1 et E4 de traiter davantage de problèmes tout en se rendant plus disponible pour E2 et E3. Cependant cela a lieu au détriment d’interactions entre élèves qui se révèlent parfois plus fécondes que les échanges maître-élèves générés par cette modalité de travail. Plusieurs gestes d’étayages viennent confirmer le choix d’une gestion très individualisée de la séance, comme le montre l’extrait suivant :

E1 : On peut tourner la page ?

Céline : Oui. Alors après, chacun va aller à sa vitesse. Ici, c’est la table où on peut se donner un coup de main, où on peut poser des questions. E2, s’il y a des mots qui bloquent, je vais te montrer que les problèmes sont enregistrés et tu peux les écouter. Moi, je vais rester avec E3 pour lui donner un coup de main.

51Encore une fois pour le problème C5 (« Mamie a planté des fleurs dans le jardin. Il y a une rangée de 9 tulipes et une rangée de 12 roses. Combien y a-t-il de fleurs au total ? »), Céline se place presque exclusivement en posture d’accompagnement, à l’exception d’un bref passage en posture d’enseignement en fin de traitement :

Céline : Et beh oui, parce que les fleurs de Mamie, tu as raison, il fallait compter les tulipes, mais aussi les roses.

52Sa pratique est à nouveau très individualisée : elle s’adresse majoritairement à l’élève E3 et adopte une posture de lâcher-prise avec les autres vers lesquels elle ne se tourne qu’à de rares instants si cela lui semble nécessaire ou s’ils en font la demande. Il semblerait que ce déroulement soit routinisé dans sa pratique.

53Attardons-nous maintenant sur un épisode particulier entre E3 et l’enseignante. Céline lit lentement deux fois l’énoncé à E3 et revient sur les termes « rangée » et « tulipe » pour s’assurer qu’ils sont connus de l’élève. E3 propose alors spontanément « 9 plus 3 égalent 12 ». Cette réponse d’élève donne un exemple intéressant d’obstacle potentiel lié au travail sur les trios de nombres. Après un temps de flottement, Céline interroge E3 de la manière suivante :

Céline : Alors où tu prends le 3 ?

E3 [regardant attentivement l’énoncé] : Heu…

54La question n’éclaire pas l’élève. En effet, E3 propose une réponse en combinant les deux données du texte (9 et 12) avec un troisième nombre (3) issu d’un fait numérique mémorisé qu’elle a identifié (9 + 3 = 12). Si elle avait proposé « 9 plus 12 égalent 21 » qui correspond à la réponse attendue, l’un des nombres (21) aurait également été absent de l’énoncé. Ce flottement et cette question caduque peuvent s’expliquer par le fait que Céline a été surprise par cette réponse imprévue. En effet, elle sait que les sept premiers problèmes du livret se résolvent par une addition des données de l’énoncé et s’attend donc à ce qu’E3 effectue spontanément une addition comme elle l’a fait pour les deux problèmes précédents. Prenant conscience de l’inefficacité de sa première intervention, elle suggère alors un changement de registre en sollicitant une autre représentation :

55Il est à noter que dans son discours, Céline met sur le même plan les représentations du registre analogique et du registre pictural. De plus, on peut constater qu’elle convoque les mêmes registres de représentation que Paul, mais dans des circonstances différentes : ici, le recours au dessin est invoqué en remédiation, pour pallier un échec lorsque l’élève n’arrive pas à procéder autrement alors que Paul le propose après que les élèves ont fourni la bonne réponse, pour les conduire à justifier leur démarche. Céline essaie dans l’extrait qui suit de faire évoluer les dessins produits :

Céline [à E3 qui s’applique à dessiner les tulipes pétale après pétale] : Non, bon, ok. Tu sais, après, le nombre de pétales, ce n’est peut-être pas très très important. L’important, c’est qu’on comprenne les fleurs que tu as représentées.

56Après avoir rapidement représenté les roses par 12 cercles, E3 regarde son dessin et pointe les fleurs une par une avec son crayon pour les dénombrer.

E3 : 21.

Céline : Et alors, comment t’arrives à ce total de 21 ? Qu’est-ce que tu fais ?

E3 : 9 plus 12 est égal à 21.

Céline : Et beh oui parce que les fleurs de Mamie, tu as raison, il fallait compter les tulipes, mais aussi les roses. C’est bien. Tu vois que le dessin, il faut pas hésiter à le faire, E3. Ça permet de bien mettre le film dans notre tête et de le comprendre.

57Enfin, Céline utilise un argument similaire à l’un de ceux utilisés par Paul :

Céline [à E1] : Comment je peux savoir, ma grande, comment tu arrives à ce résultat, moi, si je n’ai pas réfléchi en même temps que toi et que je n’ai pas entendu ton raisonnement ? Tu es arrivée comment à ce résultat ? T’as fait quoi dans ta tête ?

58Toutefois comme le montre la suite de l’extrait, la représentation attendue n’est pas la même. Paul souhaitait une justification orale alors que Céline attend ici une écriture mathématique :

E1 : 12 plus 9.

Céline : Tu voudrais bien me l’écrire ? S’il te plait. [E1 écrit 12 + 9 dans son livret]

Céline : Ok. Pareil pour celui du dessous si tu veux bien. Ok ?

59Lors de l’entretien qui suit la séance, Céline précise qu’elle a acheté cette année la version éditée du livret de la MHM pour chacun des élèves de sa classe. Elle tient à utiliser ces supports dans le but de « rentabiliser » son investissement, bien qu’il présente des aspects dont elle doute de la pertinence. En particulier, elle a bien noté avant la séance que les sept premiers problèmes du livret étaient des problèmes d’addition (recherche du tout dans une composition ou de l’état final dans une transformation positive) ; elle soupçonne le fait qu’après avoir résolu un ou deux problèmes, les élèves additionneront systématiquement les deux nombres présents dans l’énoncé pour les problèmes suivants, ce qui correspond exactement à l’effet de contrat redouté par Paul. Cette crainte est confirmée par le fait que la seule élève ayant traité le problème 8 a calculé le résultat de 13 + 2 au lieu de 13 – 2, ce qui témoigne aux yeux de Céline d’une perte de sens avérée. Elle s’appuie sur l’analyse qu’elle fait de la ressource pour interpréter les réussites et l’échec d’une de ses élèves, mais ne renonce pas pour autant à l’utilisation du livret pour l’année en cours. Dans ce geste de pilotage, l’aspect matériel – un investissement financier conséquent pour le budget de la classe – prime sur les enjeux didactiques dont elle a pourtant pleinement conscience. Céline assure toutefois qu’elle ne commandera pas de nouveau ces livrets l’année suivante.

4.3. La séance menée par Angèle : trois phases pour chaque problème

60Nous analysons les traitements des problèmes A1 et A2 qui sont ceux comprenant les épisodes qui nous semblent les plus significatifs. Lors de la dévolution (Brousseau, 1998) du problème A1 (« Charlotte a 8 biscuits dans son sac. Elle en mange 3. Combien lui en reste-t-il ? »), Angèle, en posture de contrôle, cadre la recherche pour le groupe-classe et précise ses attendus :

Angèle : Je redis. [Angèle pose un doigt sur la bouche en regardant E1]. Charlotte a 8 biscuits dans son sac. Elle en mange 3. Combien lui en reste-t-il ? [Angèle baisse la voix]. On fait son calcul, son trio de nombres. Après, quelqu’un viendra expliquer.

61Elle se place alors en posture de lâcher-prise avec l’ensemble de la classe. Puis en posture d’accompagnement, elle propose des interventions individuelles ponctuelles avec quelques élèves et une intervention plus prolongée avec E4 qui a écrit sur son ardoise « 8 + 3 = 11 » :

1. Angèle [à E4] : C’est quoi, E4, mon histoire ?

2. E4 : Charlotte avait, heu… 8, heu, gâteaux…

3. Angèle : Oui.

4. E4 : Elle en mange 3… Du coup, ça fait 11.

5. Angèle : Ça fait 11 quoi ?

6. E4 : Gâteaux.

7. Angèle : Gâteaux que quoi ?

8. E4 : Heu…

9. Angèle : Moi, je veux savoir combien il lui reste de gâteaux. [Angèle appuie le mot « reste » et marque une pause].

10. E4 : Ben du coup, on va mettre le signe moins.

11. Angèle : Ah ! Pourquoi on va mettre le signe moins ?

12. E4 : Parce qu’on en enlève.

62Nous notons un geste de tissage qui a pour objet de faire accéder l’élève à une stratégie correcte : Angèle rappelle une partie de l’énoncé qu’elle reformule partiellement, puis marque une pause après avoir insisté sur le mot « reste ». Elle fait ainsi écho à une liste de mots évoqués lors de précédentes séances et étant associés à la soustraction, liste qui sera à nouveau proposée aux élèves à la fin du traitement de ce problème. Si le geste de tissage observé ici est pertinent, on peut néanmoins remettre en question la pertinence du geste langagier qui y conduit : l’accentuation du mot « reste » en ligne 9 qui succède au jeu de questions-réponses des lignes 1 à 8 s’apparente à un effet Topaze (Brousseau, 1998) et permet d’obtenir la réponse attendue (ligne 10), ce qui est confirmé par le « Ah ! » satisfait d’Angèle en ligne 11. Ce passage débouche sur une phase rapide en posture d’enseignement dans laquelle Angèle, comme Paul et Céline, utilise une reformulation de l’énoncé congruente à la représentation « 8 – 3 = ? » :

Angèle : Ah ! Pourquoi on en enlève ? Parce que si elle les mange, et beh elle ne les a plus, elle les a en moins. D’accord ?

63Cependant, dans cette phase en posture d’enseignement (elle donne la justification mathématique de l’opération employée pour en garantir le choix), elle ne s’adresse qu’à une seule élève, ce qui n’est jamais le cas de Céline et de Paul lorsqu’ils adoptent cette posture. De même que Céline, Angèle prend en charge cette reformulation. Elle adopte alors une posture de lâcher-prise avec E4 (elle se lève et quitte sa table pour se rendre à celle d’un autre élève). Puis elle aborde une phase de mise en commun au cours de laquelle elle se place majoritairement en posture d’accompagnement alternant avec plusieurs temps rapides en posture d’enseignement. Dans l’épisode suivant, Angèle effectue un guidage fort dans le but d’inciter les élèves à opérer un traitement puis une conversion (ligne 7). C’est d’ailleurs elle qui effectue, en ligne 7, le traitement dans le registre de la langue naturelle permettant d’obtenir une reformulation congruente de l’énoncé :

1. Angèle : Vas-y. Alors, c’est l’histoire de qui ?

2. E6 : C’est Charlotte, elle a 8 biscuits dans son sac et elle en a mangé 3.

3. Angèle : D’accord. Et qu’est-ce qu’on veut savoir ?

4. E6 : Elle en a mangé combien ?

5. Angèle : Est-ce qu’on veut savoir combien elle en…

6. E6 : Ah ! Elle en a eu combien !

7. Angèle : Combien il lui en reste. Combien, à la fin, elle en a. D’accord. Comment tu vas écrire ça sous forme mathématique ?

64Elle dirige alors l’élève vers une conversion dans le registre symbolique pour aboutir à l’expression mathématique « 8 – 3 = ? ». Plus tard, elle précise comment opérer le traitement qui fournit le résultat numérique :

E6 : Je regarde là. [E6 montre une affiche qui recense des trios en boîtes].

Angèle : Et beh si tu veux. Soit on le connait par cœur et on l’écrit, soit on le regarde. Tu nous montres le trio ?

[E6 montre la boîte sur l’affiche]

65Puis elle replace le résultat dans le contexte du problème lors d’une conversion :

Angèle : Alors ma question était : « Combien lui reste-t-il de biscuits ? ». C’est quoi la réponse, alors ? Il lui en reste combien, des biscuits ?

Plusieurs élèves : 5.

Angèle : Il lui reste 5 biscuits, très bien.

66Elle termine en posture d’enseignement par un geste de tissage dans lequel elle effectue avec les élèves une association mathématique et linguistique :

E12 : C’est l’affiche rose.

Angèle : Pourquoi ? Pourquoi c’est comme l’affiche rose ?

Angèle : Oui. Mon histoire rose, souvenez-vous, c’était quand on jouait au jeu de l’oie. On est sur la case 5 et on recule de 3 cases. Et on avait vu que quand on recule, on en enlève. Qu’est-ce qu’on avait dit, aussi, comme mots qu’on pouvait mettre ? Reculer, casser, détruire…

E8 : Jeter.

E13 : Démonter.

Angèle : Enlever, perdre. Tout ça, c’est…

E5 : Donner.

Angèle : Donner, oui, si on donne… Très bien.

67En effet depuis le début de l’année, des problèmes de référence ont été notés sur des affiches de couleur. Après la résolution de chaque problème, un élève repère l’affiche à laquelle correspond le problème. Puis des mots ou des formulations concordant avec le sens du problème de référence sont donnés. Notons que lors de cette phase de mise en commun, Angèle répète à l’ensemble du groupe-classe les mêmes gestes que ceux qu’elle avait adressés individuellement à E4. Le temps qu’elle « gagne » du fait de l’organisation collective de sa séance (contrairement à Céline et Paul, elle n’aura pas à reproduire l’atelier avec d’autres élèves) semble contrebalancé par des redites collectives lors de la mise en commun. Elle traite en proportion un nombre de problèmes comparable à celui de ses collègues.

68Nous voyons à nouveau se dégager trois phases dans le traitement du problème A2 (« Un fermier a 6 vaches. Il y en a 2 qui sont marron et les autres sont noires et blanches. Combien a-t-il de vaches noires et blanches ? ») : la dévolution de la situation, une phase de recherche et une phase de mise en commun. Comme dans le problème précédent, elle adopte une posture de lâcher-prise après avoir précisé ses attendus et être revenue sur une ambiguïté de l’énoncé (une vache peut être noire et blanche, mais ni seulement noire ni seulement blanche) en posture de contrôle lors de la dévolution du problème. Pendant la phase de recherche, elle repère les productions erronées. En posture d’accompagnement, elle mobilise le geste professionnel didactique suivant : elle donne l’opportunité aux élèves de constater par eux-mêmes l’inadéquation de leurs propositions en leur demandant de s’assurer que la conversion « inverse » de celle qu’ils ont opérée est correcte :

Angèle : Regardez ce que vous avez fait. Je vous le relis une fois. Regardez bien si ce que vous avez écrit correspond à mon histoire. Écoutez bien, E3 comme tout le monde, si ça correspond bien à mon histoire. E5, tu es avec moi ? Un fermier a 6 vaches. Il y en a 2 qui sont marron et les autres sont noires et blanches. Combien a-t-il de vaches noires et blanches ? C’est ça que je cherche. Regardez votre calcul pour voir si ça correspond à mon histoire.

69Puis elle s’adresse à E7 en particulier en alternant, comme dans le problème A1, postures d’accompagnement et d’enseignement. Notons qu’elle commence par s’appuyer sur ce qui est correct dans la production d’E7 qui a écrit une boîte avec 6 (pour le tout), ? et 2 (pour les parties) puis a inscrit au-dessus : 6 + 2 = ? :

Angèle [à E7] : Alors, cette histoire, elle correspond à quoi ? Ce que tu as écrit là ? [Angèle montre le 2 dans la boîte]

E7 : Les vaches marron.

Angèle : Oui, les vaches marron.

70Par un geste professionnel didactique d’étayage assez proche de celui décrit ci-avant, elle incite E7 à vérifier la conversion qu’il a faite, ce qui le conduit immédiatement à déceler une erreur :

Angèle [à E7] : Tu crois que ça, ça correspond à ça ? [Angèle désigne tour à tour la boîte et l’égalité]

E7 : Non.

Angèle : Pourquoi ?

E7 : Parce que le point d’interrogation, il est au milieu.

Angèle : Alors tu le corriges ?

71Nous voyons ici l’intérêt que peut revêtir l’utilisation de représentations publiques telles que les boîtes dont l’usage a été systématisé en classe. L’élève et l’enseignante utilisent un langage commun qui permet de rendre visible pour E7 la structure mathématique du problème. Angèle le conduit alors à réaliser à nouveau la conversion qui consiste à passer de la boîte à l’égalité mathématique. Il est à noter que cette conversion, qui fait l’objet d’un travail spécifique dans l’ingénierie testée dans le cadre de la recherche-action, n’est pas mobilisée par Céline et Paul dans les séances observées.

Angèle : Comment tu vas l’écrire ?

E7 : 6 plus point d’interrogation

Angèle : Regarde. [Angèle désigne tour à tour le 6 de l’égalité et le 6 de la boîte]. C’est 6 plus point d’interrogation ?

E7 : Ah ! 2.

Angèle : Pourquoi ?

E7 : Heu, y’a… 2 vaches marron. Et y’a…

Angèle : Plus les vaches noires et blanches. Et c’est égal à combien ?

E7 : 6.

Angèle : 6. Alors réécris ton calcul s’il te plait [Angèle efface ce qui reste du calcul précédent]. Vas-y.

E7 : 2 ?

Angèle : 2, oui. Les vaches marron.

[E7 écrit 2 +]

Angèle : Plus quoi ? [Angèle montre dans la boîte]. 2 plus…

[E7 complète son écriture par ? = 6]

Angèle : Et c’est égal à 6. Les vaches marron plus les vaches noires et blanches, ça fait toutes les vaches.

72Dans la conclusion de cet épisode, elle fournit encore une fois une reformulation de l’énoncé congruente à l’expression mathématique utilisée. Pendant la mise en commun, elle alterne entre posture d’accompagnement et posture d’enseignement. Elle guide les élèves vers un registre qui lui semble plus approprié pour la résolution du problème :

Angèle : Peut-être qu’avant d’écrire ton calcul, parce que c’est celui-là qui vous gêne, peut-être que tu pourrais ou regarder les affiches ou faire la boîte. Qu’est-ce qui est le plus simple ? Essaye d’expliquer.

73Comme dans le problème précédent, elle redit en phase collective des éléments qu’elle avait déjà pointés en intervention individuelle lors de la phase de recherche.

4.4. Discussion

74En premier lieu, nous notons à un niveau général que la variété des postures mobilisées chez les trois enseignants de l’étude dénote une grande stabilité dans leurs pratiques, ce que Bucheton (2019) décrit en précisant que l’enseignant expérimenté s’est constitué « un capital de postures pour enseigner. Elles lui permettent de penser plus vite dans l’action, lui ouvrent un panel plus large pour s’ajuster aux élèves, aux situations, aux imprévus » (Bucheton, 2019, p. 99). Au-delà de la nature des postures sollicitées, nous voyons se reproduire chez chacun d’eux des enchaînements de postures selon des patterns facilement identifiables : Paul se place majoritairement dans une alternance entre posture de contrôle et posture d’accompagnement s’il juge le problème facile, il n’adopte la posture de lâcher-prise que lorsque le problème lui semble complexe. La posture d’accompagnement domine largement chez Céline qui n’est jamais en posture de contrôle et fait preuve d’une pratique très individualisée. Angèle organise le traitement de chaque problème en trois phases : la dévolution du problème lors de laquelle elle précise ses attendus en posture de contrôle et conclut en posture de lâcher-prise pour l’ensemble de la classe, la phase de recherche pour laquelle elle se place en posture de lâcher-prise avec une majorité d’élèves et propose des interventions individualisées en alternant posture d’accompagnement et posture d’enseignement, la phase de mise en commun enfin au cours de laquelle elle oscille entre posture d’accompagnement et d’enseignement en effectuant des redites de ce qu’elle a pointé avec certains élèves dans la phase précédente. Ce constat vient étayer le postulat de stabilité émis par Robert et Rogalski (2002) selon lequel « il existe des choix analogues pour gérer des situations comparables, en amont de la classe et pendant la classe, ce qui ne préjuge pas du détail des déroulements correspondants, toujours singuliers. » (Robert et Rogalski, 2002, p. 508).

75En second lieu, l’analyse de ces séances nous conduit à nous intéresser plus finement à certains gestes professionnels déployés par ces trois enseignants. Nous les qualifions de didactiques puisqu’ils sont spécifiques à la résolution de problèmes basiques du champ additif qui constitue l’objet de savoir en jeu dans les séances étudiées. Toutefois, le protocole utilisé ne permet pas de vérifier si ces gestes évoluent et s’ajustent au cours de l’année en fonction de l’avancée des apprentissages des élèves.

76Tout d’abord, l’étude comparative de leurs pratiques met en évidence des différences concernant les représentations que les trois enseignants sollicitent au cours de la résolution d’un problème avec leurs élèves, que ce soit du point de vue de leur nature, du moment auquel elles sont mobilisées ou des raisons qui animent l’enseignant lors de leur utilisation. Dans les séances observées, Angèle et ses élèves font exclusivement appel à des représentations du registre de la langue naturelle (l’énoncé, des reformulations de l’énoncé, une phrase réponse), du registre symbolique (écritures mathématiques et résultat numérique) et du registre des représentations schématiques (boîtes). Céline, Paul et leurs élèves en convoquent également dans le registre pictural (dessins) et le registre analogique (jetons et matériel divers). En outre, ces deux derniers types de représentations n’ont pas forcément la même fonction dans la pratique de Céline et dans celle de Paul et peuvent correspondre à des logiques d’arrière-plan différentes. Chez Céline, leur recours constitue un geste professionnel didactique d’étayage : elle suggère à l’élève de les utiliser s’il ne parvient pas à résoudre le problème avec des représentations des registres de la langue naturelle, symbolique ou schématique. Paul, pour le problème P1, sollicite ces représentations a posteriori, lorsque les élèves sont déjà parvenus à résoudre le problème. Il encourage ses élèves à les utiliser en priorité car il pense que leur nature tangible lui donne accès à leur EPR.

77Le deuxième geste professionnel didactique auquel on s’intéresse est commun aux pratiques des trois enseignants de l’étude. Nous l’appelons geste de reformulation congruente car il convoque une représentation particulière : il s’agit d’une reformulation de l’énoncé qui facilite la production de l’écriture mathématique exprimant le problème. Par exemple, Paul reformule l’énoncé « Léa a invité 3 copines et 4 copains. Combien a-t-elle d’invités ? » en « Elle avait 3 copines, elle a invité 4 copains en plus. Combien a-t-elle d’invités ? » afin de rendre plus visible l’emploi du signe « + » dans l’expression « 3 + 4 = ? ». Notons que ce nouveau problème peut être interprété comme une transformation alors qu’il s’agissait initialement d’une composition. Ce type de reformulation que les trois enseignants produisent peut faciliter la conversion entre le registre de la langue naturelle et le registre symbolique. Néanmoins, on peut noter que ces derniers l’introduisent avec une intention et selon des modalités différentes. Céline, dont la pratique est très individualisée, la fournit à l’élève auquel elle s’adresse pour ponctuer la résolution du problème par une justification mathématique de la procédure adoptée. Angèle procède de même, mais elle répète cet épisode une deuxième fois devant l’ensemble du groupe-classe en phase de mise en commun. Paul, pour sa part, l’utilise encore une fois comme un moyen d’accéder à l’EPR de ses élèves. Ce geste de reformulation congruente sert, chez Céline, Angèle et Paul, l’objectif d’apprentissage poursuivi bien qu’il soit motivé par des logiques d’arrière-plan différentes. Il est en ce sens cohérent dans la pratique des trois enseignants, mais la méthodologie adoptée ne nous permet pas concrètement d’en évaluer la pertinence. Comme nous l’avons évoqué précédemment, il existe un risque de sur-généralisation du type » Tout problème qui se résout par une addition contient le mot « plus » » par certains élèves. D’autre part, une interrogation persiste : Angèle, Céline et Paul produisent aisément cette reformulation congruente car paradoxalement, ils connaissent déjà l’expression mathématique qui traduit le problème. Mais lors de la résolution d’un autre problème, un élève qui ne dispose pas de l’écriture mathématique sera-t-il en mesure de choisir une reformulation congruente plutôt qu’une autre non-congruente qui pourrait alors l’induire en erreur ?

78Enfin, nous avons pu observer dans la pratique d’Angèle deux autres gestes professionnels didactiques très proches l’un de l’autre. Le premier, que nous qualifions de conversion inverse, est un geste d’étayage qui consiste à demander aux élèves de vérifier si la conversion inverse de celle qu’ils ont opérée entre deux représentations est correcte : dans l’extrait de corpus, les élèves ont converti l’énoncé oral en écriture mathématique et Angèle leur demande de vérifier que l’écriture mathématique correspond à l’énoncé oral. Le second, que nous qualifions de vérification de conversion, est un geste d’étayage dans lequel elle demande à un ou plusieurs élèves de vérifier que deux représentations obtenues suite à une conversion correspondent bien : dans l’extrait de corpus, l’élève a produit (dans un ordre qu’elle ignore) une boîte et une écriture mathématique en convertissant l’énoncé oral ; Angèle lui demande de vérifier que ces deux représentations correspondent l’une à l’autre dans le sens qu’il souhaite. Ces gestes de conversion inverse et de vérification de conversion sont clairement cohérents et nous pouvons de plus relever des traces tangibles dans l’activité des élèves qui témoignent de leur pertinence. Par exemple dans l’extrait cité dans le paragraphe 4.3, l’élève E7 décèle immédiatement l’erreur qu’il a commise lorsqu’Angèle utilise avec lui le geste de vérification de conversion. Notons que la capacité de ce geste à faire aussitôt rectifier sa procédure par l’élève est largement conditionnée par la pratique ritualisée d’exercices qui s’intègrent à la ressource testée dans le cadre de la recherche-action (associer une boîte à une écriture mathématique, associer une ou plusieurs écritures mathématiques à une boîte donnée, etc.).

79Le geste particulier de conversion inverse de l’écriture mathématique vers une formulation de l’énoncé dans le registre de la langue naturelle a émané de nos observations, réflexions et échanges au sein de la recherche-action comme une piste pour apprécier le niveau de compréhension des élèves une fois le problème résolu : il s’agit de les interroger a posteriori pour leur demander de montrer comment on « retrouve l’histoire du problème » à partir de l’écriture mathématique obtenue. Paul s’est spontanément emparé de cette idée : pour entrainer ses élèves à opérer cette conversion, il leur propose dès la rentrée suivante un rituel consistant à créer un énoncé de problème à partir d’une écriture mathématique. Après avoir été filmé, ce rituel est présenté aux membres de la recherche-action lors d’une séance plénière. Le geste de conversion inverse est maintenant présent dans les pratiques de la plupart des enseignants impliqués dans la recherche-action.

80Ces trois enseignants nous livrent des pratiques contrastées dues à des logiques profondes singulières et que nous pouvons en partie expliquer par une gestion différente de l’incertitude concernant l’EPR de leurs élèves. Céline effectue un compromis : elle utilise une ressource qui a nécessité un investissement financier conséquent mais dont le contenu va probablement induire des réponses automatisées chez les élèves. Elle prend le parti d’adopter un rythme soutenu dans la séance. Le critère de réussite qu’elle retient et dont elle se contente est la production par les élèves d’un résultat numérique correct. C’est elle qui prend en charge, en posture d’enseignement, la production de représentations facilitant les conversions de registres nécessaires à la résolution du problème. Dans le cadre de la mise en place de la ressource au plus près de ce qui lui est proposée au sein de la recherche-action, Angèle fait le choix, dès le début de l’année, de changer radicalement sa pratique sur un aspect : elle n’incite plus ses élèves à dessiner le problème ou utiliser du matériel. Le critère de réussite qu’elle retient est la production par les élèves d’une écriture mathématique ou d’une boîte modélisant correctement le problème posé. Malgré des doutes pour certains élèves, les progrès rapides qu’elle constate chez la plupart d’entre eux ainsi que les échanges réguliers avec les chercheurs et les enseignants impliqués dans la recherche-action l’encouragent à poursuivre dans cette voie. Paul, fort d’une longue expérience en CP au cours de laquelle il a pu éprouver les difficultés liées à l’enseignement de la résolution de problèmes, veut disposer de davantage d’éléments concernant l’EPR de ses élèves pour s’assurer d’un certain niveau de compréhension de leur part. Pour cela, il attend d’eux qu’ils utilisent des représentations tangibles qui lui permettraient d’accéder à leurs procédures. Le critère de réussite qu’il retient au moment où les séances analysées dans cet article se déroulent est la production d’un dessin, l’utilisation explicite de matériel ou la production par les élèves d’un énoncé congruent à l’expression mathématique modélisant le problème.

81Ces différences de pratiques observées ont donné lieu à des questionnements et des échanges dans le cadre de la recherche-action impliquant Paul et Angèle. Comme nous l’avons évoqué précédemment, la réflexion a par exemple conduit à la mise en évidence d’un geste professionnel didactique de conversion inverse de l’écriture mathématique vers une formulation de l’énoncé qui peut, en aval de la résolution du problème, renseigner le professeur sur le niveau de compréhension de l’élève sans agir sur les procédures qu’il mobilise en situation, geste dont s’est saisi Paul pour concevoir une nouvelle tâche qu’il a ritualisée dans sa classe. La réflexion a également permis d’exhiber des usages différenciés du matériel et des dessins, voire de l’absence de ces derniers. En faisant émerger différentes manières de faire, elle a permis un enrichissement des pratiques des participants. Ainsi, cette expérimentation qui a eu lieu dans le cadre d’une recherche-action laisse entrevoir des perspectives prometteuses concernant la formation continue des enseignants.

Conclusion

82Dans cette étude, nous avons observé les pratiques de trois enseignants de CP en séance de résolution de problèmes basiques afin d’identifier des gestes professionnels et des postures qu’ils mobilisent pour accéder à l’EPR de leurs élèves dans le but d’ajuster leur action. L’analyse des séances du corpus a mis en exergue la difficulté qu’ils rencontrent unanimement pour établir des justifications auprès de leurs élèves concernant le choix de la « bonne opération ». Tous y apportent des réponses plus ou moins adaptées qui se manifestent au travers de certains gestes professionnels didactiques. Quatre gestes spécifiques, déclinés de manière différente selon chaque enseignant, ont été mis en évidence : le recours ou non à des représentations du registre pictural ou du registre analogique, le geste dit de reformulation congruente, le geste de conversion inverse et celui de vérification de conversion. Ils sont cohérents dans les pratiques de ces enseignants et peuvent constituer à certaines conditions des leviers favorisant les apprentissages en jeu, c’est-à-dire être potentiellement pertinents. De plus, ces quatre gestes professionnels identifiés ici étoffent le cadre de Bucheton (2009) de gestes propres à l’enseignement des mathématiques. Le geste de conversion inverse ou celui de de vérification de conversion nous semblent par exemple pouvoir constituer les prémices de gestes de validation et de preuve.

83Enfin, nous avons constaté la stabilité et la cohérence des pratiques de ces trois enseignants et nous avons également vu de quelle manière ces pratiques pouvaient être enrichies par des alternatives qui se dégagent des observations, des échanges et de la réflexion menés au sein d’un projet de recherche-action. Cette dynamique qui nait d’une démarche commune entre chercheurs et praticiens réunit les conditions nécessaires au déclenchement d’une conscientisation lisible dans les propos des enseignants et laisse également présager d’une évolution de leurs pratiques favorable pour les apprentissages des élèves.