Introduction

2L’introduction des nouveaux outils performants, tels que l’ordinateur ou la calculatrice, favorise l’initiation des élèves à la question de la modélisation du réel via la simulation d’expériences aléatoires (Parzysz, 2011). Proposer des situations probabilistes faisant appel à la modélisation accroît les possibilités de donner du sens aux connaissances enseignées. Le travail mathématique lié à la résolution des tâches probabilistes suppose donc une nouvelle démarche et des raisonnements différents des autres branches des mathématiques puisqu’ils accordent une place importante à la modélisation et à l’expérimentation.

3Dans le cadre de cet article, nous étudierons le travail mathématique effectivement produit à l’issue de la mise en œuvre des tâches probabilistes dans les classes au niveau secondaire. Cette étude s’effectue à travers l’analyse de la mise en œuvre des tâches par les professeurs dans leurs classes. Des travaux montrent que la gestion par les professeurs de la mise en œuvre des tâches dans les classes est différente d’un professeur à un autre (Stein et al., 2007). Cela suppose-t-il que le travail mathématique produit à l’issue de la réalisation de ces tâches est également différent d’un professeur à un autre ? Dans notre travail de thèse (Nechache, 2016), nous avons constaté que dans le domaine de la géométrie, la gestion de la mise en œuvre des tâches est bien différente selon les professeurs alors que le travail mathématique effectivement produit à l’issue de la réalisation de ces tâches est similaire. Qu’en est-il alors du travail mathématique effectivement produit dans le domaine des probabilités ? Est-il différent ? Si oui, sur quoi portent ces différences ?

4L’étude du travail mathématique s’effectue également par l’identification du rôle attribué aux élèves dans l’élaboration de ce travail. En effet, dans la classe, l’élaboration du travail mathématique s’appuie sur les interactions produites entre les élèves et le professeur lors de la mise en œuvre des tâches. Cela suppose que les élèves ont un rôle dans l’élaboration de ce travail mathématique. Son identification s’effectue à travers les activités des élèves lors de la résolution des tâches. Cela implique de caractériser le type de travail fourni par les élèves lorsqu’ils sont confrontés à la résolution de ces tâches.

5Ces questions autour du travail de mathématique effectivement produit lors de la résolution des tâches probabilistes nous ont conduit à construire une catégorisation des tâches et du travailleur-sujet traitant ces tâches. Cette catégorisation constitue pour nous un outil méthodologique pour analyser le travail mathématique produit à l’issue de la résolution des tâches probabilistes.

6Dans cet article, nous commençons par préciser notre cadre théorique et nos questions de recherche (section 1). Nous expliciterons ensuite notre catégorisation de tâches et du travailleur-sujet (section 2). Enfin, nous présenterons un exemple d’une tâche probabiliste (section 3) illustrant notre étude du travail mathématique mis en œuvre et privilégié par deux professeurs dans deux classes de même niveau. L’étude de cet exemple de tâche nous permet aussi d’analyser le rôle donné aux élèves par les professeurs dans l’élaboration du travail mathématique.

1. Cadre théorique et questions de recherche

7Dans cette section, nous présenterons tout d’abord (§ 1.1.) le modèle des Espaces de Travail Mathématique utilisé pour analyser le travail mathématique produit lors de la résolution des tâches probabilistes. Ensuite, nous expliciterons (§ 1.2.) nos questions de recherche.

1.1. Espace de travail mathématique

8L’étude du travail mathématique produit lors de la résolution de tâches probabilistes au niveau secondaire a été étudiée sous l’angle des Espaces de Travail Mathématique (Kuzniak et al., 2016), notés ETM. Tel qu’il a été défini, le modèle des ETM a pour objectif de décrire et d’analyser la nature du travail mathématique attendu dans une institution scolaire donnée. Au sein de ce modèle, il existe une forte articulation entre les plans épistémologique et cognitif :

• Le plan épistémologique est composé de trois pôles : representamen, artefact et référentiel théorique. Il permet de structurer le contenu mathématique.

• Le plan cognitif est composé de trois processus cognitifs : visualisation, construction et preuve. Il vise à structurer l’ETM lorsqu’il est proposé à un individu dont l’intention est d’effectuer le travail mathématique. Ce plan rend compte du travail mené par l’utilisateur de cet espace de travail pendant l’activité de résolution d’une tâche.

9Le passage d’un plan à un autre est assuré par un ensemble de genèses liées aux pôles :

• La genèse sémiotique donne aux objets tangibles de l’ETM leur statut d’objets mathématiques opératoires ;

• La genèse instrumentale a pour fonction de rendre opératoire les artefacts dans le processus constructif ; 


• La genèse discursive permet de donner sens aux propriétés pour les mettre en œuvre dans le raisonnement mathématique.

10Ces trois genèses favorisent la circulation entre les plans épistémologique et cognitif en activant une articulation entre les composantes respectives des deux plans. L’étude des trois genèses passe par l’identification des dimensions associées (sémiotique, instrumentale, discursive). L’analyse de ces dimensions rend compte du développement du travail mathématique élaboré dans l’Espace de Travail Mathématique.

11Cet ensemble de relation peut être visualisé grâce au diagramme suivant :

1.1.1. Interaction et articulation des genèses 

12Le diagramme de la Figure 1 fait apparaître un certain nombre de plans verticaux qui rendent compte des connexions entre les trois genèses et de la circulation du travail mathématique au sein de l’ETM. Ces trois plans peuvent être décrits à partir des genèses qu’ils mettent en œuvre : sémiotique-instrumentale ([Sem-Ins]), instrumentale-discursive ([Ins-Dis]) et semiotique-discursive ([Sem-Dis]).

13L’analyse du travail mathématique à partir de ces trois plans verticaux permet d’identifier la manière dont les trois dimensions (sémiotique, instrumentale, discursive) interagissent afin de constituer un travail mathématique complet (Kuzniak et Nechache, 2014).

14Pour comprendre la nature et la circulation du travail mathématique à travers les plans verticaux de l’ETM, il est nécessaire d’examiner le rôle des outils sémiotique, technologique, théorique du plan épistémologique (Kuzniak, Nechache et Drouhard, 2016) associés à chacune des dimensions (sémiotique, instrumentale et discursive) de l’ETM. Il est également important d’examiner la manière dont un sujet utilise et transforme ces outils en des instruments sémiotique, technologique, théorique du plan cognitif (Ibid ., 2016).

1.1.2. Différents types d’Espace de Travail Mathématique

15Il existe trois types d’Espace de Travail Mathématique permettant de décrire le travail mathématique dans le cadre scolaire. Ils sont respectivement qualifiés d’ETM de référence, idoine et personnel (Kuzniak et al., 2016, page 729 ou Kuzniak, 2010, page 79). Dans le cadre de cet article, nous avons choisi de nous polariser particulièrement sur les ETM idoines.

16Le contenu mathématique à enseigner est défini par une institution et est décrit dans les ETM de référence. Ces ETM doivent par la suite être adaptés et aménagés par les professeurs en des ETM qualifiés d’ETM idoines afin de permettre la mise en place effective de l’enseignement de ce contenu dans les classes. La conception de ces ETM idoines dépend de l’institution mais également du professeur chargé de la mise en œuvre de ces espaces dans la classe.

17En outre, la réussite de l’enseignement d’un contenu dépend naturellement du professeur mais aussi de l’élève. Un ETM idoine est donc un environnement organisé de telle manière qu’un élève s’engage dans la résolution de problème. Cet ETM idoine doit permettre à la fois un travail dans le paradigme correspondant à la problématique visée et ses différentes composantes doivent être organisées de manière valide.

18On distingue deux types d’ETM idoines : potentiel et effectif. L’ETM idoine potentiel est celui qui est construit au préalable pour être mis en place dans les classes. Il s’agit par exemple des ETM idoines construits par les auteurs des documents ressources ou des manuels scolaires mais aussi ceux construits par les professeurs pour leurs classes. Les ETM idoines effectifs sont les ETM idoines potentiels effectivement mis en place dans les classes par les professeurs.

1.2. Questions de recherche

19Notre objectif est d’étudier le travail mathématique effectivement produit lors de l’exécution des tâches probabilistes en classe. Il s’agit d’étudier la mise en œuvre de ces tâches dans des ETM probabilistes (noté ETM_PROBA) idoines. Les deux questions principales guidant cette étude sont les suivantes :

201°) Quel travail mathématique est effectivement produit autour d’une même tâche probabiliste dans le cadre des interactions entre les élèves et le professeur dans les différents ETM_PROBA idoines de même niveau de classe ?

212°) Quel rôle est attribué aux élèves dans l’élaboration du travail mathématique autour de cette tâche probabiliste ?

22L’étude du travail mathématique autour d’une même tâche probabiliste s’effectuera par l’analyse de la circulation du travail mathématique dans l’ETM_PROBA et par l’identification du rôle attribué aux élèves dans l’élaboration de ce travail. Or la nature du travail mathématique dépend du degré d’exigence des tâches. Il est donc nécessaire de les catégoriser en déterminant le rôle attribué aux élèves sous la forme d’un travailleur-sujet.

2. Catégorisation des tâches et du « travailleur-sujet »

23Dans cette section, nous définissons d’abord (§ 2.1.) la notion de tâche mathématique dans le modèle de l’Espace de Travail Mathématique. Ensuite, nous exposons (§ 2.2.) la catégorisation des tâches que nous avons établie pour analyser les tâches probabilistes. Enfin, nous présentons (§ 2.3.) la catgéorisation du travailleur-sujet associée à la catégorisation des tâches.

2.1. Tâche mathématique et travailleur-sujet

25En adaptant la définition de Sierpinska au modèle des Espaces de Travail Mathématique, la tâche mathématique est pour nous tout exercice, question ou problème réalisé dans un temps limité et dans un contexte donné. Les conditions de réalisation de ce travail mathématique sont définies par l’Espace de Travail Mathématique dans lequel la tâche est proposée.

26Selon Stein et Smith (1998), l’entraînement des élèves à penser de façon mathématique est cultivé par les tâches mathématiques que les élèves rencontrent. Confronter les élèves à diverses tâches leur permet non seulement d’utiliser leurs connaissances, mais aussi de développer des compétences et de construire des concepts mathématiques. L’apprentissage des concepts mathématiques s’appuie sur les tâches mathématiques que les élèves rencontrent. La mise en œuvre de ces tâches par des professeurs dans les classes induit les élèves à endosser un rôle que nous avons qualifié de « travailleur-sujet » dans l’élaboration du travail mathématique de ces tâches.

2.2. Trois catégories de tâches

27L’étude du travail mathématique produit lors de l’exécution des tâches nécessite d’analyser les tâches mises en œuvre dans les ETM idoines. Cette analyse doit prendre en compte selon nous les exigences épistémologiques liées à la conception de la tâche. La résolution de cette dernière est réalisée par des sujets et son analyse tient donc également compte des exigences cognitives liées à sa réalisation. Par conséquent, l’analyse d’une tâche est associée aux aspects épistémologique pour sa conception et cognitif pour sa réalisation par un sujet. Le modèle des Espaces de Travail Mathématique permet de mettre en relation ces aspects et nous conduit à effectuer l’analyse d’une tâche selon deux points de vue :

• Du point de vue épistémologique, cette analyse prend en compte les outils sémiotiques, technologiques et théoriques disponibles dans l’ETM pour résoudre la tâche. Nous pourrions également utiliser, pour cette analyse, les outils de praxéologie (Bosch et Chevallard, 1999) pour déterminer les différentes techniques utilisées et les technologies de références justifiant ces techniques.

• Du point de vue cognitif, l’analyse de la tâche permet de rendre compte de la manière dont le sujet interagit avec les outils (sémiotiques, technologiques, théoriques) et les transforme en instruments (sémiotiques, technologiques, théoriques) pour résoudre la tâche. Cette analyse s’appuie sur l’identification des demandes cognitives (Stein et Smith, 1998) nécessaires pour effectuer la tâche et des différentes adaptations des connaissances (Robert, 2007) que le sujet doit réaliser.

28L’analyse d’une tâche à travers le modèle des ETM nous permet de rendre compte à la fois des exigences épistémologiques de la tâche prescrite et des exigences cognitives pour résoudre la tâche. Les exigences épistémologiques et cognitives d’une tâche définissent, selon nous, le niveau d’exigence d’une tâche. La catégorisation des tâches en fonction de leur niveau d’exigence devient nécessaire pour les analyser afin de caractériser le travail mathématique produit. Pour construire ces catégories, nous nous sommes inspirés des travaux de Stein et Smith (1998), White et Mesa (2014) et Robert (2007).

29Stein et Smith (1998) proposent une catégorisation des tâches fondée sur le niveau des demandes cognitives des tâches mathématiques : des tâches à faible niveau d’exigences cognitives et des tâches à haut niveau d’exigences cognitives.

30White et Mesa (2014) propose une catégorisation fondée sur l’orientation cognitive des tâches, autrement dit sur les exigences cognitives potentielles de ces tâches. Elles distinguent trois catégories de tâches selon les connaissances mises en jeu et le niveau du processus cognitif : mémorisation, application, compréhension, analyse ou création (White et Mesa, 2014, p. 7).

31Robert (2007) propose une catégorisation fondée sur les adaptations des connaissances que le sujet doit effectuer pour résoudre les tâches. Ces connaissances « peuvent être anciennes ou en cours d’acquisition » (Robert, 2007, p. 309) et sont soit mobilisables (lorsqu’elles sont indiquées dans l’énoncé), soit disponibles (dans le cas contraire).

32À partir de ces travaux, nous avons développé une catégorisation des tâches dans le modèle des ETM. Une catégorisation fondée sur le niveau d’exigence des tâches.

2.2.1. Tâches simples

33Ce sont des tâches à faible niveau d’exigence. Leur résolution nécessite l’usage des procédures « simples » qui font appel aux connaissances déjà mémorisées et aux techniques de résolution connues. Ces connaissances et ces techniques sont indiquées dans l’énoncé de la tâche et font partie de l’ETM idoine et de l’ETM personnel du sujet. La résolution de ces tâches mobilise des outils soit sémiotiques, soit technologiques, soit théoriques et ne nécessite pas d’interaction entre les trois dimensions de l’ETM. Cela entraîne un travail mathématique souvent confiné dans l’une des trois dimensions.

34Les tâches simples ont pour but de réinvestir et de mettre en œuvre les connaissances et les techniques déjà étudiées et assimilées.

2.2.2. Tâches standards

35Ce sont des tâches à un niveau d’exigence moyen. Leur résolution nécessite d’identifier et d’appliquer des connaissances ou des techniques utiles. Ces connaissances et ces techniques ne sont pas indiquées dans l’énoncé de la tâche mais elles sont disponibles dans l’ETM idoine et l’ETM personnel du sujet. La résolution de ces tâches nécessite les interactions entre les différentes dimensions de l’ETM et la mobilisation d’au moins deux outils (sémiotique, technologique, théorique). Cela entraîne un travail mathématique souvent élaboré dans au moins un des trois plans de l’ETM.

36Ces tâches nécessitent éventuellement d’enchaîner et de mettre en lien plusieurs procédures.

2.2.3. Tâches riches

37Ce sont des tâches à haut niveau d’exigence. Leur résolution fait appel à des connaissances et à des techniques de résolution qui ne sont pas nécessairement apprises et qui ne sont pas disponibles dans l’ETM idoine et l’ETM personnel du sujet. La résolution de ces tâches requiert la mobilisation de l’ensemble des outils (sémiotique, technologique et théorique) et l’interaction entre les différents plans verticaux de l’ETM. Cela permet de développer un travail mathématique complet (Kuzniak et Nechache, 2014). La résolution de ces tâches peut recourir au changement de domaines mathématiques (Montoya et Vivier, 2014), de registres de représentation sémiotique (Duval, 1995) et à la modélisation, à la charge du sujet.

38Ces tâches visent à développer l’esprit critique et le raisonnement. Ces tâches supposent une prise d’initiative plus grande.

39Selon les catégories de tâche, la résolution des tâches par un sujet génère différentes activités lui permettant d’appliquer ou de comprendre des notions mathématiques, d’établir des liens entre les notions mathématiques et d’approfondir des connaissances mathématiques. La réalisation de ces tâches suivant leurs catégories entraîne un développement des formes particulières du travail du sujet. Ainsi à chacune des trois catégories de tâches est associée une catégorie de travailleur-sujet.

2.3. Trois catégories de travailleur-sujet

40La catégorisation des tâches mathématiques dans le modèle de l’ETM selon leur niveau d’exigence nous induit à distinguer trois catégories du travailleur-sujet qui exécute ces tâches. En effet, un travailleur qui effectue une tâche simple ne fournit pas les mêmes efforts et le même travail que celui qui effectue une tâche standard ; de même pour le travailleur qui réalise une tâche standard et celui qui réalise une tâche riche. Un sujet qui est confiné constamment dans l’une des trois catégories de tâches mathématiques acquiert une identité de travailleur-sujet. Le travail mathématique du sujet au sein de l’ETM dépend fortement de la catégorie des tâches effectuées. Ainsi à chacune des trois catégories de tâches, nous associons une catégorie de travailleur-sujet particulière :

2.3.1. Tâcheron

41Dans le cas d’exécution de tâches simples, où il s’agit d’appliquer des techniques 
connues, le travailleur endosse le rôle du travailleur « tâcheron » ;

2.3.2. Technicien

42Dans le cas d’exécution de tâches standards, où il s’agit de reconnaître la (ou les) technique(s) disponible(s) dans l’espace de travail mathématique adéquat pour effectuer la tâche, 
le travailleur endosse le rôle du travailleur « technicien » ; 


2.3.3. Ingénieur

43Dans le cas d’exécution de tâches riches, où il ne suffit pas de reconnaître une 
technique mais plutôt plusieurs techniques disponibles ou non dans l’espace de travail. Lorsqu’elles ne sont pas disponibles, le travail du sujet est de créer la technique pour pouvoir effectuer la tâche. Dans ce cas, le travailleur endosse le rôle du travailleur « ingénieur ». 


44Dans cette étude, et c’est une de ses originalités, nous avons défini trois catégories de tâches mathématiques et nous avons associé à chacune d’elle une catégorie homologue de travailleur-sujet qui rend compte de la forme de travail produite par un sujet. Cette double catégorisation constitue un outil méthodologique pour étudier et identifier le travail mathématique produit lors de la mise en œuvre des tâches dans les ETM idoines.

3. L’étude du travail mathématique à travers les catégories de tâches et du travailleur-sujet

45Pour étudier le travail mathématique à travers les catégories de tâches et du travailleur-sujet, nous avons sélectionné quatre tâches probabilistes. Ces tâches sont extraites des documents ressources de différents niveaux de classe (3^e, 2^nde, 1^re S, Terminale S). Nous avons proposé à cinq professeurs de mettre en œuvre ces tâches dans leur classe. Les mises en œuvre des tâches dans les classes ont été filmées et transcrites. Les données recueillies ont été analysées avec le modèle des ETM utilisé comme outil méthodologique (Nechache, 2016).

46Dans cette section, nous avons choisi de présenter une des quatre tâches probabilistes et sa mise en œuvre par deux professeurs en classe de seconde (les transcriptions des deux séances sont proposées en annexes 1 et 2). Ceci nous permet d’illustrer l’usage des catégories de tâches et du travailleur-sujet pour étudier le travail mathématique produit lors de la mise en œuvre d’une même tâche probabiliste dans des ETM_PROBA idoines différents et pour identifier le rôle des élèves dans l’élaboration de ce travail mathématique.

47La tâche choisie intitulée « la politique nataliste » est présentée ci-dessous. Elle est extraite des documents ressources de la classe de 1^re S (2010) et ceux de la classe de 2^nde (2002) :

Pour limiter le nombre de filles dans un pays imaginaire, on décide que :

a) chaque famille aura au maximum 4 enfants ;

b) chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.

On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou une fille et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un enfant est indépendant du sexe des précédents.
Ce choix a-t-il la conséquence attendue, à savoir de diminuer le nombre de filles dans la population ?

48Nous proposons ensuite d’analyser brièvement cette tâche dans l’ETM_PROBA idoine potentiel afin de décrire le travail mathématique produit a priori à l’issue de l’exécution de la tâche et d’identifier le rôle a priori des élèves dans l’élaboration de ce travail. Par la suite, nous analyserons la mise en œuvre de cette tâche dans deux ETM_PROBA idoines effectifs afin d’examiner le travail mathématique privilégié par les professeurs.

49L’analyse détaillée de cette tâche dans l’ETM_PROBA idoine potentiel et dans quatre ETM_PROBA idoines effectifs (niveau 2^nde et 1^re S) est présentée dans notre travail de thèse (Nechache, 2016).

3.1. Analyse de la tâche dans l’ETM_PROBA idoine potentiel

50L’expérience aléatoire décrite dans cette tâche consiste à observer une succession de naissances dans une famille au sein d’une population donnée. Si à la première naissance un garçon naît, la famille arrête de procréer. Sinon, elle continue à procréer jusqu’à la naissance d’un garçon ou jusqu’à quatre enfants maximum. On a donc une expérience aléatoire de une à quatre épreuves maximum.

51L’énoncé de la tâche décrit une expérience aléatoire avec deux informations :

1. « Chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou une fille » traduit l’hypothèse d’équiprobabilité d’un garçon et d’une fille.

2. « Le sexe d’un enfant est indépendant du sexe des précédents » traduit l’hypothèse de l’indépendance des naissances.

3.1.1. Résolution de la tâche

52Plusieurs méthodes sont possibles pour traiter cette tâche :

53- Méthode 1 : Usage de variables aléatoires et de la loi de probabilité associée à celles-ci.
L’expérience aléatoire, telle qu’elle est décrite dans cette tâche, consiste à répéter dans des conditions identiques une expérience de Bernoulli de paramètre p (la probabilité d’avoir un garçon) avec au maximum quatre répétitions (\(n \leq 4 \)) et arrêt du processus au premier succès. On définit Y comme la variable aléatoire qui représente le rang du 1^er succès tel que :

Y = 0 s’il n’y aucun succès
Y = k avec \(1 \leq k \leq 4 \) si le premier succès est obtenu à l’étape k.

54La loi de probabilité de Y est donnée dans le tableau ci-dessous :

k	0	1	2	3	4
P(Y =k)	1/16	1/2	1/4	1/8	1/16

55On considère une deuxième variable aléatoire X qui prend la valeur 0 s’il y a eu un garçon et 1 s’il n’y a pas eu de garçon. Alors :

• P(X =0) = P(Y = 0) = (1-1/2)⁴ = 1/16

• P(X = 0) = P(Y = 1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) =15/16

• L’espérance de la variable aléatoire X est E(X) = 15/16

56En considérant une troisième variable aléatoire N qui prend comme valeurs le nombre d’enfants nés dans une famille, alors l’espérance de N est E(N) = 15/8. D’où E(X)/E(N) = 1/2. On conclut que cette politique nataliste n’a aucune influence sur la proportion de filles dans la population considérée.


57Le traitement de la tâche à l’aide de cette méthode requiert l’identification des outils théoriques telles que les variables aléatoires, la loi de probabilité et l’espérance mathématique. Il sollicite également l’usage d’outils technologiques pour déterminer la loi de probabilité associée à une variable aléatoire et pour calculer l’espérance d’une variable aléatoire. Ces outils ne sont pas indiqués dans l’énoncé de la tâche. La résolution de cette tâche nécessite des interactions entre les dimensions discursive et instrumentale. Le travail mathématique produit à l’issue de la résolution de cette tâche est ainsi construit dans le plan [Ins-Dis].

58- Méthode 2 : Usage d’un arbre pondéré et d’un tableau de dénombrement.

On note G l’événement « l’enfant né est un garçon » et l’événement F : « l’enfant né est une fille ».

Les probabilités des événements G et F sont égales à \(\frac{1}{2}\) . On a alors l’arbre pondéré « asymétrique » ci-dessous représentant les différentes sortes de familles ayant un à quatre enfants :

59On peut évaluer le résultat cherché, en présentant les calculs sous la forme d’un tableau de dénombrement en considérant par exemple 16 familles :

60Sur 30 enfants, il y a autant de garçons que de filles dans cette population de 16 familles. La politique nataliste n’a donc aucune influence sur la proportion de filles dans la population considérée.

61Le traitement de la tâche à l’aide de cette méthode nécessite l’usage de l’arbre pondéré « asymétrique » comme outil sémiotique pour représenter l’expérience aléatoire décrite dans l’énoncé de la tâche et pour décrire les issues de cette expérience aléatoire et comme un outil technologique pour calculer la probabilité de chacune des issues. L’élaboration du travail mathématique est donc initié dans le plan [Sem-Ins]. L’usage d’un tableau de dénombrement comme un outil théorique permet de communiquer et de justifier la solution. Cela implique que le travail mathématique est initié dans le plan [Sem-Ins] puis basculé dans le plan [Ins-Dis].

62- Méthode 3 : Usage d’une simulation informatique.

63La simulation informatique de l’expérience aléatoire peut s’effectuer à l’aide du générateur pseudo aléatoire ALEA() du tableur (logiciel Excel) ou avec celui de la calculatrice (fonction Random). Nous choisissons par exemple une simulation informatique à l’aide de la fonction ALEA().

64La conception et la mise en œuvre de cette simulation nécessite plusieurs étapes. Tout d’abord, traduire les deux informations données dans l’énoncé dans le langage de tableur et à l’aide de la fonction ALEA(). Ensuite, en considérant un échantillon de taille donnée (par exemple 1000), on simule l’expérience (1000 fois) et on calcule la fréquence d’apparition de l’événement G (qui est égale à environ 0,5) dans l’échantillon considéré. Enfin, à l’aide de la loi des grands nombres, on conclut que 0,5 est une valeur estimée de la probabilité de l’événement G.

65La résolution de la tâche à l’aide de cette méthode implique dans un premier temps la construction d’une simulation informatique. Cette dernière mobilise des outils technologiques tels que le tableur et la fonction ALEA(). Dans un second temps, l’estimation de la probabilité de l’événement G à partir des résultats fournis par la simulation suggère l’usage de l’outil théorique de la loi des grands nombres afin de justifier la solution attendue. Ainsi, le travail mathématique élaboré dans cette méthode pour répondre à la tâche est produit au sein du plan [Ins-Dis].

3.1.2. Caractérisation a priori du travail mathématique et du rôle attribué à l’élève

66Le traitement de la tâche par la méthode 1 mobilise des outils théoriques technologiques disponibles dans les ETM idoines et personnels des élèves, à partir de la classe de 1^re. Cette méthode ne peut donc pas être envisagée en classe de 2^nde. En revanche, le traitement de la tâche via les deux autres méthodes est envisageable à ce niveau de classe. On peut néanmoins souligner certaines difficultés des élèves liées à l’usage des méthodes 2 et 3. Dans la méthode 2, la difficulté est liée à l’arbre pondéré « asymétrique », méconnu des élèves de 2^nde. Dans la méthode 3, la difficulté pour des élèves de 2^nde est liée principalement à la construction de la simulation nécessitant un « savoir-faire technique ». Nous considérons ainsi, que cette tâche probabiliste relève de la catégorie des tâches riches lorsque celle-ci est prescrite à des élèves de 2^nde. Dans ce cas, les élèves ont a priori un rôle de travailleur-ingénieur. En revanche, l’usage des trois méthodes explicitées précédemment dans la classe de 1^re est envisageable puisque ces trois méthodes font partie de l’ETM de référence, idoine et personnel de l’élève à ce niveau de classe. Dans ce cas, la tâche relève de la catégorie des tâches standards et les élèves ont a priori un rôle de travailleur-technicien dans la résolution de cette tâche.

67Nous avons donc a priori trois sortes de travail mathématique qui peuvent potentiellement être produits dans les ETM_PROBA idoines. Ces trois sortes de travail mathématique impliquent des rôles a priori différents attribués aux élèves.

68Dans la suite, nous proposons d’analyser deux exemples de mise en œuvre de cette tâche probabiliste dans deux classes de 2^nde.

3.2. Etude de la mise en œuvre de la tâche dans deux ETM_PROBA idoines de deux classes de 2^nde

69Les deux classes de 2^nde sont respectivement notées : 2^nde A et 2^nde B. Les deux extraits de discussion entre les élèves et les deux professeurs sont proposés en annexes 1 et 2.

3.2.1. Dans l’ ETM_PROBA de la classe de 2^nde A (professeur A)

70Les élèves ont disposé d’environ 40 minutes pour résoudre la tâche. Un élève est désigné par le professeur pour exposer sa procédure. L’élève construit alors l’arbre des possibles décrivant l’expérience aléatoire et écrit les cinq issues de l’expérience aléatoire (cinq sortes de familles ayant un à quatre enfants) :

71Un deuxième élève est invité à présenter au tableau son raisonnement (voir les lignes 5 à 14 de la transcription de la séance dans l’annexe 1). Il propose de considérer un échantillon de 100 familles. En utilisant l’arbre des possibles construit par le premier élève, il comptabilise le nombre de famille ayant un garçon, ou une fille et un garçon, …, ou 4 filles. Il obtient alors 50 familles ayant un garçon, 25 familles ayant un garçon et une fille, « 12,5 » familles ayant un garçon et deux filles, « 6,25 » familles ayant un garçon et trois filles, et « 6,25 » familles ayant quatre filles. Le raisonnement de cet élève n’a pu aboutir au résultat cherché, faute de temps. En effet, le professeur A a décidé de mettre fin à la correction et a conclu que « la politique nataliste n’est pas efficace ».

72Le raisonnement établi par ce deuxième élève est similaire à celui que nous avons décrit dans la méthode 2 (Voir § 3.1.1.). En reprenant le raisonnement de cet élève, avec l’échantillon de 100 familles, on en déduit le tableau suivant :

73Sur 187,5 enfants, on a donc autant de garçons que de filles dans cette population de 100 familles. La politique nataliste n’a de fait aucune influence sur la proportion de filles dans la population considérée. Ainsi, le raisonnement du deuxième élève aurait pu aboutir à la solution attendue. Cependant, le choix de la taille de l’échantillon n’est pas judicieux puisque avec un échantillon de taille 100, on obtient 6,25 familles, ce qui n’est pas possible dans la réalité.

74Bien que le professeur A ait rapidement conclu sur l’influence de la politique nataliste, il a néanmoins laissé les élèves chercher la réponse de la tâche pendant 40 minutes. Les élèves ont proposé un raisonnement à l’aide de l’outil sémiotique l’arbre des possibles pour représenter l’expérience aléatoire et décrire les issues de l’expérience aléatoire (voir la procédure de l’élève 1). Cet outil sémiotique est alors utilisé comme outil technologique pour comptabiliser le nombre de familles ayant un à quatre enfants (voir la procédure de l’élève 2). Il en résulte que le travail mathématique mis en œuvre pour résoudre la tâche a été construit au sein du plan [Sem-Ins]. Comme nous l’avons souligné auparavant, le raisonnement mis en place pour répondre à la tâche n’a pas pu aboutir au résultat attendu faute de temps. Cela entraine que le travail mathématique reste bloqué dans le plan [Sem-Ins] au lieu de basculer dans le plan[Ins-Dis] pour ainsi communiquer et justifier la solution.

75Dans cet ETM_PROBA de la classe de 2^nde A, on constate que le travail mathématique construit pour répondre à la tâche est pris en charge par les élèves. Le professeur A a donc attribué à ses élèves, tel que nous l’avons prévu, le rôle d’ingénieur. Un rôle qu’ils ont conservé tout au long de la séance. Précisons néanmoins que l’intervention du professeur à la fin de la séance a empêché les élèves de terminer la résolution de la tâche.

3.2.2. Dans l’ETM_PROBA de la classe de 2^nde B (professeur B)

76Après la lecture de l’énoncé de la tâche, le professeur laisse 10 minutes aux élèves pour chercher une réponse. Des élèves sont sollicités pour proposer leurs raisonnements. Aucun raisonnement ne semble correct. D’autres élèves proposent l’usage d’un arbre des possibles, mais le professeur B a rapidement rejeté cette proposition en affirmant que « l’arbre des possibles ne permet pas de modéliser cette expérience ». Le professeur B propose directement de réaliser une simulation de l’expérience aléatoire décrite dans l’énoncé en utilisant la fonction Random (fonction qui fournit un nombre au hasard compris entre 0 et 1) de la calculatrice (voir les lignes 28 à 37 de la transcription de la séance dans l’annexe 2) . Le professeur dicte toutes les étapes nécessaires pour réaliser la simulation :

Étape 1 : Faire afficher un nombre compris entre 0 et 1 sur l’écran de la calculatrice

Professeur B : La calculatrice affiche un nombre au hasard.

Étape 2 : Considérer uniquement la partie décimale du nombre affiché

Professeur B : On va essayer de travailler à partir de ça. On ne va pas s’occuper de la partie entière car cela fait toujours 0, et donc on va s’occuper que de la partie décimale.

Étape 3 : Considérer qu’un chiffre pair est associé à la naissance d’un garçon, et qu’un chiffre impair est associé à la naissance d’une fille.

Professeur B : Ce que je vous propose, si on a un chiffre pair on dit que c’est un garçon, sinon c’est une fille.

Étape 4 : S’arrêter dès qu’il y a une naissance d’un garçon

Professeur B : Pour le premier enfant, (dans le nombre 0,2342398...) 2 est un chiffre pair donc c’est un. . .


Élèves : C’est un garçon.


Professeur B : Donc est-ce que on arrête ou on continue ?

Élèves : On s’arrête.


Professeur B : On a donc une famille [...]. Je vous laisse continuer par groupe de deux.

77Chaque élève réalise la simulation sur sa calculatrice. Les résultats obtenus par chacun sont par la suite relevés au tableau. Le professeur B fait le constat que sur un échantillon de taille 179 (en regroupant l’ensemble des résultats), il y a 93 filles et 86 garçons. Les élèves ont alors conclu qu’il y a plus de filles que de garçons. Le professeur ajoute que ces résultats (93 filles et 86 garçons) sont liés à l’échantillon d’une taille donnée. Il conclut alors qu’« en théorie, le nombre de filles et le nombre de garçons sont identiques » (Ligne 58 de la transcription de la séance dans l’annexe 2). Le professeur utilise un argument d’autorité qui s’appuie sur la théorie mathématique pour formuler et justifier la solution attendue (la politique nataliste n’est pas efficace).

78Dans cet ETM_PROBA idoine, le professeur B a fait le choix d’utiliser la simulation via la calculatrice pour effectuer la tâche. Cette simulation mobilise l’outil technologique qui est la fonction Random() de la calculatrice. Le travail mathématique produit à l’issue de la résolution de la tâche est alors confiné sur la dimension instrumentale.

79Le professeur B n’a pas laissé le temps aux élèves de chercher une solution au problème posé. Il a fait le choix de prendre en charge l’élaboration du travail mathématique en fournissant toutes les étapes de la construction de la simulation, la communication et la justification de la solution. Les élèves se sont contentés d’exécuter la simulation sur leurs calculatrices. Par conséquent, lors de la mise en œuvre de la tâche dans l’ETM_PROBA idoine de cette classe de 2^nde, le professeur a transformé la tâche qui était a priori une tâche riche en tâche simple lors de sa réalisation et a attribué à ses élèves le rôle de travailleur-tâcheron au de lieu de travailleur-ingénieur tel que nous l’avions prévu.

4. Discussion et réponse à nos deux questions principales

80Notre analyse de la mise en œuvre d’une même tâche dans deux ETM_PROBA idoines au niveau de la classe de 2^nde nous permet de répondre à nos deux questions principales.

4.1. Caractérisation du travail mathématique effectivement produit

81Notre analyse du travail mathématique effectivement produit dans les ETM_PROBA idoines (1^re question) met en évidence deux sortes de travail mathématique.

82Dans l’ETM_PROBA idoine de la classe de 2^nde A, l’élaboration du travail mathématique est basée principalement sur l’usage des arbres des possibles (voir Figure 4) en tant qu’outil sémiotique afin de représenter l’expérience aléatoire et de décrire les issues de celle-ci. L’arbre des possibles a également été utilisé dans l’élaboration du travail mathématique en tant qu’outil technologique pour dénombrer (voir la procédure de l’élève 2 dans § 3.2.1.). Le travail mathématique produit à l’issue de la résolution de cette tâche est donc construit dans le plan [Ins-Dis]. Dans l’ETM_PROBA idoine de la classe de 2^nde B, l’élaboration du travail mathématique est, elle, fondée sur les outils technologiques associés à la dimension intrumentale. Effectivement, le professeur B a proposé aux élèves sans leur laisser le choix d’effectuer une simulation de l’expérience aléatoire à l’aide de la calculatrice et de la fonction Random (voir § 3.2.2.). À partir des résultats fournis par la simulation, le professeur B donne la solution attentue en la justifiant à l’aide d’un argument d’autorité qui n’est pas une justification rationnelle (voir les lignes 56 à 58 de la transcription de la séance dans l’annexe 2). Le travail mathématique produit dans cet ETM_PROBA idoine est alors confiné sur la dimension instrumentale.

4.2. Le rôle attribué aux élèves dans l’élaboration du travail mathématique

83Concernant le rôle attribué aux élèves (2^ème question), notre analyse révèle que les élèves n’ont pas le même rôle dans l’élaboration du travail mathématique dans les deux classes de 2^nde. Le professeur A a tenté de conserver le niveau d’exigence de la tâche tout au long de la séance et a laissé les élèves en tant que travailleur-ingénieur produire le travail mathématique. Pris par le temps, il a dû mettre fin à l’élaboration du travail mathématique par les élèves et a donné la solution attendue sans aucune explication et ni justification (voir § 3.2.1.). Le professeur B a, lui, guidé les élèves tout au long de la séance (voir l’extrait de dialogue proposé dans l’annexe 2). Lors de la mise en oeuvre de la tâche dans la classe, le professeur B a donc transformé la nature de la tâche initialement riche en une tâche simple. Cette transformation a conduit à la baisse du niveau d’exigence cognitive de la tâche et à la révision du rôle des élèves en leur attribuant le rôle de travailleur-tâcheron. Le rôle attribué par les professeurs aux élèves dans les deux classes de même niveau observées est ainsi différent.

Conclusion et perspectives

84La catégorisation des tâches et du travailleur-sujet pour analyser le travail mathématique et le rôle des élèves dans la mise en œuvre d’une tâche probabiliste a permis d’identifier et de caractériser des transformations de la nature des tâches probabilistes par les professeurs lors de leurs mises en œuvre en classe. Des transformations ayant pour conséquence d’abaisser le niveau d’exigence des tâches, notamment cognitive. Du point de vue du modèle des ETM, ces transformations des tâches par le professeur impliquent un travail mathématique confiné sur l’une des dimensions de l’ETM et donc très peu de circulation du travail mathématique dans l’ETM. Cela nous interroge sur l’origine de ces transformations et sur la manière de conserver le niveau d’exigence des tâches lorsqu’elles sont mises en œuvre dans les classes.

85Une autre conséquence de ces transformations de tâches réside dans la réduction du rôle des élèves dans l’élaboration du travail mathématique qui se réduit au rôle de tâcheron. Cela questionne alors les apprentissages des élèves puisque les transformations de tâches entrainent la dénaturation de celles-ci en faisant perdre le sens mathématique et privant les élèves d’établir des liens entre les notions mathématiques.

86Les travaux de Henningsen et Stein (1997) ainsi que ceux de Stein et al.(1996) portant sur la question de la conservation des exigences cognitives des tâches lors de leurs mises en œuvre dans les classes soulignent l’importance du « scaffolding » comme facteur favorisant la conservation de ces exigences. Il s’agit par exemple des questions que le professeur peut poser aux élèves lorsqu’ils sont bloqués. Il s’agit aussi des aides proposées par le professeur aux élèves sans pour cela divulguer trop d’informations sur la (ou les) solution(s) et sur la (ou les) procédure(s) possible(s) conduisant à la (ou les) solution(s). Selon nous, ces aides doivent être pensées au préalable par le professeur en effectuant un travail sur les énoncés des tâches (Robert, 2003), en particulier lorsqu’il est question des tâches riches. Pour le professeur, il convient d’élaborer une analyse a priori de la tâche afin de dégager les « activités potentielles des élèves et de prévoir leurs réactions » (Robert, 2003, p. 70) et ceci dans le but de « prévoir des interventions conduisant, s’il le faut, à des tâches intermédiaires, accessibles mais non isolées (non simples) » (Ibid., p. 70). En outre, les aides fournies par le professeur permettent d’une part de soutenir les élèves et de les motiver tout au long de leur travail de recherche et d’autre part de maintenir le niveau d’exigence de la tâche sans la dénaturer.

87Ces transformations de la nature de la tâche peuvent se produire lorsque les professeurs n’accordent pas suffisamment de temps aux élèves pour chercher la réponse au problème posé. On retrouve ce constat dans les résultats des travaux de Stein et al. (1996) où il est souligné que le fait d’accorder une quantité adéquate de temps aux élèves pour répondre à la tâche participe au maintien de son niveau d’exigence cognitive.

88L’utilisation de l’outil de la catégorisation des tâches et du travailleur-sujet pour étudier le travail mathématique et le rôle des élèves dans l’élaboration de ce travail dans le domaine des probabilités s’est révélée intéressante. Cet outil peut être utilisé dans le cadre de la formation des enseignants (initiale ou continue) pour analyser des séances d’enseignement. Cette analyse à l’aide de la catégorisation des tâches et du travailleur-sujet peut permettre aux enseignants de prendre conscience de l’importance du maintien du niveau d’exigence des tâches pour développer l’apprentissage des élèves. Cette analyse peut également permettre aux enseignants de prendre conscience des formes de travailleur-sujet qu’ils développent chez leurs élèves.

89Du point de la recherche, l’usage de cette catégorisation peut être envisagée pour étudier les représentations des enseignants qui prescrivent des tâches et qui attendent une forme de travail mathématiques de leurs élèves. En effet, c’est le professeur via son choix de la catégorie des tâches qui donne le rôle de travailleur-sujet à ses élèves. En outre, l’usage de cette catégorisation articulé avec l’usage du modèle des Espaces de Travail Mathématique peut être intéressante pour penser à la manière d’envisager la mise en œuvre des tâches dans les classes sans être dénaturées et en maintenant leur niveau d’exigence. Cette question fait d’ailleurs l’objet d’un travail de recherche en cours portant sur la notion de la tâche emblématique dans le domaine des probabilités (Kuzniak & Nechache, 2016, ETM5).