Cours : Équations elliptiques ou paraboliques, et homogénéisation précisée

1. Introduction

1Cette année le cours a porté sur la caractérisation de profils asymptotiques des solutions d’équations aux dérivées partielles correspondant à des modèles variés. Ces profils asymptotiques ou correcteurs sont associés à des singularités, défauts ou interfaces... Nous supposerons toujours une dimension caractéristique notée ε (> 0) pour ces défauts. Il est utile d’observer que, souvent pour des applications réalistes, ce paramètre ε n’est pas « très petit » mais peut être de l’ordre de 0,1.

2De plus, nous considèrerons systématiquement des situations où ces défauts de taille ε sont présents dans des environnements périodiques dont la période est également d’ordre ε. Noter qu’il s’agit en fait du seul cas intéressant car si la période est beaucoup plus grande, on peut considérer l’environnement comme indépendant de ε, tandis que si la période est beaucoup plus petite il convient de résoudre ces oscillations avant toute chose par exemple en appliquant ou en tentant d’appliquer la théorie de l’homogénéisation.

3Lorsque la période est effectivement d’ordre ε, la théorie de l’homogénéisation permet de prendre en compte les oscillations de l’environnement sans défaut notamment par l’introduction de correcteurs périodiques. Le problème considéré est donc double : i) confirmer (ou infirmer) le fait que la présence du défaut ne modifie pas le problème limite (typiquement le problème homogénéisé) ; ii) déterminer, lorsque cela est possible, le comportement des solutions, en présence de défauts, par des correcteurs précisés.

4Pour conclure cette introduction, mentionnons que, d’une certaine manière, notre approche permet de donner un sens précis à ce que les méthodes multi-échelles en calcul scientifique font (ou devraient faire...). D’autre part, le programme esquissé ci-dessus a été réalisé pour les modèles stationnaires classiques (équations et systèmes elliptiques, équations quasilinéaires, équations de Hamilton-Jacobi et optique géométrique, équations complètement nonlinéaires...) avec des adaptations aisées à des modèles dépendant du temps (équations de type chaleur, équation de Schrödinger ou équations des ondes – dans des « régimes basse fréquence »). Le principal problème ouvert concerne la propagation d’ondes avec une longueur d’onde d’ordre ε également : on s’attend d’ailleurs dans ce cas à des phénomènes complexes qui n’ont pas été abordés rigoureusement pour l’instant.

2. Équations elliptiques

5[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3. Autres équations

6[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Cours

7Le cours a eu lieu du 8 novembre 2013 au 7 février 2014.

Séminaire de mathématiques appliquées

88 novembre 2013 : Pierre-Louis Lions (Collège de France), « Homogénéisation quasi périodique ».

15 novembre : Sergey Gavrilyuk (université Aix Marseille), « Un nouveau modèle hyperbolique des écoulements cisaillés d’eau peu profonde : applications aux trains de rouleaux et au ressaut hydraulique ».

22 novembre : Alain Damlamian (université Paris-Est – Créteil Val-de-Marne), « Quelques inégalités de Korn unilatérales avec application à un problème d’omogénéisation périodique avec inclusions ».

29 novembre : Erwan Faou (ENS-INRIA), « Quelques résultats mathématiques en lien avec la théorie de la turbulence d’ondes ».

13 décembre : Michal Kowalczyk (DIM, université du Chili), « Multiple end solutions to the Allen-Cahn equation on the plane ».

10 janvier : Laura Grigori (INRIA-Rocquencourt), « Nouveaux algorithmes parallèles d’algèbre linéaire à grande échelle et leur stabilité numérique ».

17 janvier : Isabelle Gallagher (université Paris Diderot), « Limite de diffusion pour un système de sphères dures ».

31 janvier : Thomas Alazard (ENS-Ulm), « Existence globale pour l’équation d’Euler incompressible à surface libre ».

7 février : Jonathan Weare (université de Chicago), « An improved diffusion Monte Carlo and other ensemble sampling schemes ».

7 mars : Emmanuel Trélat (université Paris VI), « Optimisation de domaine pour l’observabilité d’EDP, et ergodicité quantique ».

14 mars : Pierre Rouchon (Centre Automatique et Systèmes – Mines ParisTech), « Stabilisation par feedback de systèmes quantiques ouverts ».

21 mars : François Bouchut (LAMA – CNRS & université Paris-Est), « Convergence d’approximations conformes pour les écoulements de type Bingham sans viscosité, et application aux granulaires ».

28 mars : Karine Beauchard (CMLS – École polytechnique), « Contrôlabilité d’opérateurs paraboliques dégénérés de type Kolmogorov : temps minimal et condition de contrôle géométrique ».

4 avril : Delphine Salort (Institut Jacques Monod – université Paris Diderot), « Autour de certaines équations de Schrödinger quasi linéaires ».

23 mai : Julien Sabin (Laboratoire AGM – université de Cergy-Pontoise), « Dispersion dans les systèmes quantiques infinis ».

6 juin : L. Ridgway Scott (université de Chicago), « Electron correlation in van der Waals interactions ».

13 juin : Josselin Garnier (université Paris-Diderot), « Analyse multi-échelles de la propagation des ondes en milieux aléatoires et application l’imagerie interférométrique ».

Publications

9Lions P.-L., en collaboration avec Souganidis P.E., Viscosity solutions and stochastic partial differential equations (livre en préparation).

Lions P.-L., en collaboration avec Perthame B. et Souganidis P.E., « Scalar conservation laws with rough (stochastic) fluxes », Stochastic partial differential equations: analysis and computations, 1(4), novembre 2013, 664-686, DOI : 10.1007/s40072-013-0021-3.

Lions P.-L., « Sur l’unicité des solutions des MFG ».

Lions P.-L., en collaboration avec Perthame B. et Souganidis P.E., « Stochastic averaging lemmas for kinetic equations », ArXiv:1204.0317 [math], avril 2012, http://arxiv.org/​abs/​1204.0317.

Lions P.-L., en collaboration avec Blanc X. et Le Bris C., « Homogenization approach for the numerical simulation of periodic microstructures with defects : proof of concept ».

Lions P.-L., « Équations et systèmes paraboliques : quelques questions nouvelles », Annuaire du Collège de France 2012-2013, 113, 2014, 99-107 [en ligne : http://annuaire-cdf.revues.org/​2285].

Cardaliaguet P., Lasry J.-M., Lions P.-L. et Porretta A., « Long time average of mean field games with a nonlocal coupling », SIAM Journal on Control and Optimization, 51(5), 2013, 3558-3591, DOI : 10.1137/120904184.

Lions P.-L., en collaboration avec Carrarelli L. et Carlier G.,« C^1,α regularity for variational problems with a convexity constraint and related issues ».

Lions P.-L., en collaboration avec Lachapelle A., Lasry J.-M. et Lehalle C.-A., « Efficiency of the Price Formation Process in Presence of High Frequency Participants: a Mean Field Game analysis », ArXiv:1305.6323 [math, q-fin], 27 mai 2013, http://arxiv.org/​abs/​1305.6323.

Lions P.-L., en collaboration avec Achdou Y., Lasry J.-M. et Moll B., « Heterogeneous Agent Models in Continuous Time », 2013, http://www.princeton.edu/​~moll/​HACT.pdf.

Lions P.-L., en collaboration avec Fritz P.K., Gassiat P et Souganidis P.E., « Eikonal equations and pathwise solutions to fully non-linear SPDEs ».

Achdou Y., Buera F.J., Lasry J.-M., Lions P.-L. et Moll B., « Partial differential equation models in macroeconomics », Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 372(2028), 2014, 20130397-20130397, DOI : 10.1098/rsta.2013.0397.

Autres activités

Missions, invitations, conférences

10Conférence au colloque sur les Mean Field Games, université de Padoue, Italie, 4 août 2013.

Série de trois exposés à l’université de Chicago, États-Unis, 30 septembre-9 octobre 2013.

Conférence publique, Nancy, 17 octobre 2013.

Conseil scientifique de BCAM, Bilbao, Espagne, 28 octobre 2013.

Série de trois exposés à l’université de Chicago, États-Unis, 20 janvier-29 janvier 2014.

Conférence publique à l’Institut français, Vienne, Autriche, 25 mars 2014.

Conférence « Pauli » et séminaire à l’université de Vienne, 26 mars 2014.

Conférence au congrès « Modern Applied Mathematics » (en l’honneur de E. Tadmor), Bethesda, États-Unis, 30 avril 2014.

Conférence à l’université de Lisbonne, Portugal, 18 juin 2014.

Table-ronde sur les mathématiques et la pluridisciplinarité , université de Lisbonne, Portugal, 18 juin 2014.

Conférence à l’université de Lisbonne, 19 juin 2014.

Conférence au colloque organisé en l’honneur d’Ivar Ekeland, université Paris-Dauphine, 20 juin 2014.

Conférence au congrès sur « Le contrôle et les jeux à champ moyen », Tours, 25 juin 2014.

Doctorat Honoris causa et conférence publique à l’université de Narvik, Norvège, 15 juillet 2014.

Responsabilités collectives et fonctions diverses

11Membre de l’Académie des sciences ; de l’Académie des technologies ; de l’Académie des sciences d’Italie, d’Argentine, du Brésil et du Chili ; de l’Istituto Lombardo et de l’Académie de Naples, de la TWAS, de l’Academia Europea.

Professeur à temps partiel à l’École polytechnique.

Président du conseil d’administration de l’ENS.

Président du conseil scientifique de l’institut Louis Bachelier.

Président du conseil scientifique de la chaire de Finance et développement durable, université Paris-Dauphine.

Président du conseil scientifique de la chaire Économie et gestion des données numériques, université Paris Dauphine.

Président du conseil scientifique de ParisTech.

Président du conseil scientifique du projet EMMA.

Président du jury du prix « Science et défense ».

Membre du Haut Conseil de la science et de la technologie.

Membre du Scientific Advisory Panel de l’European Mathematical Society.

Membre fondateur du comité international de l’« International Summer School of Applied Mathematics », Morningside Institute, Chinese Academy of Sciences.

Membre de l’international advisory board de l’Institute of Mathematical Sciences de l’Imperial College.

Membre du conseil scientifique de la fondation du risque.

Membre du conseil d’administration de la fondation d’entreprise Natixis.

Membre de la Société des amis du Palais de la découverte.

Membre de l’international advisory board de la Scuola di Dottorato in Scienze Astronomiche, Chimiche, Fisiche e Mathematiche « Vito Volterra ».

Membre du conseil scientifique du BCAM (Basque Centre for Applied Mathematics).

Conseiller scientifique auprès de BNP PARIBAS, EADS-ST et IEF.

Fondateur de MFG R&D.

Rédacteur en chef du Journal de mathématiques pures et appliquées.

Éditeur de plus de 45 revues internationales.