Responsable : Jonathan Touboul

Recherche

1Le cerveau est un système extrêmement complexe. Il se compose de milliards de cellules interconnectées, soumises à des aléas importants, mais il est néanmoins capable de répondre à des stimulations de façon rapide, fiable et reproductible. Parmi ces cellules impliquées dans l’activité cérébrale, les neurones sont chargés du traitement de l’information. Ce sont des cellules électriques excitables, dont l’activité comporte une part non négligeable d’aléas. De plus, les caractéristiques individuelles de ces cellules sont hautement variables. À l’échelle cellulaire, le cerveau a donc un comportement complexe et imprévisible. Mais aux échelles macroscopiques, le cerveau constitue de grandes assemblées neuronales (colonnes corticales ou champs neuronaux) chargées du traitement d’informations ou de tâches spécifiques dans lesquelles le traitement de l’information se fait de façon collective dans des ensembles composés d’une centaine de milliers de cellules. Et c’est à ce niveau macroscopique que les grands réseaux neuronaux répondent de façon rapide et déterministe aux stimulations.

2L’équipe de neurosciences mathématiques se consacre à l’étude de ces comportements macroscopiques. Depuis quelques années, nous avons développé l’analyse mathématique des grands ensembles de neurones aléatoires. Nous avons cette année poursuivi ce développement, tout en ouvrant nos recherches à des données biologiques encore peu explorés du point de vue de la modélisation mathématique. Nous avons ainsi développé des collaborations avec plusieurs équipes expérimentales du CIRB, en particulier avec Alain Prochiantz avec qui nous travaillons sur un modèle de morphogenèse dans le cortex, et avons intégré dans l’équipe un chercheur spécialiste de la neuroscience expérimentale, Jérôme Ribot, qui travaille sur l’émergence de cartes corticales chez le chat et le rongeur. En nous appuyant sur les données expérimentales de nos collaborateurs, nous utilisons les outils d’analyse stochastique et de systèmes dynamiques afin de comprendre, sur des modèles simplifiés, les rôles respectifs des différents éléments en jeu dans la dynamique de grands réseaux. L’activité de l’équipe se décline en trois thèmes de recherche principaux : (i) la modélisation des phénomènes biologiques, (ii) les dynamiques non linéaires à plusieurs échelles de temps et (iii) les limites macroscopiques de grands réseaux stochastiques. Le but de ces recherches est de mieux comprendre, d’un point de vue théorique, l’activité corticale aux échelles fonctionnelles, afin de développer de nouveaux modèles et de nouvelles méthodes d’analyse permettant de prédire l’activité de grands ensembles neuronaux dans différentes situations physiologiques ou pathologiques, ainsi que l’effet de médicaments sur celles-ci. De plus, cette approche nous permet d’obtenir la réduction nécessaire à la découverte des mécanismes fondamentaux en jeu dans l’activité corticale. Enfin, l’intérêt est mathématique, puisque l’analyse de ces systèmes met en lumière des problèmes mathématiques nouveaux d’un grand intérêt, plaçant les neurosciences mathématiques dans la même position que la physique du début du siècle dernier : la neuroscience apporte aux mathématiques de nouvelles questions, largement non résolues, qui méritent l’attention des mathématiciens.

Résultats obtenus (2013-2014)

3Un des principaux nouveaux résultats obtenus cette année est le développement d’une théorie de l’organisation du cortex visuel primaire des mammifères supérieurs. Il est bien connu que les neurones s’organisent le long du cortex visuel en fonction de l’orientation à laquelle ils répondent de façon préférentielle. Des cartes continues émergent, contenant des points singuliers où la topologie de la carte est très particulière, appelée pinwheel, et caractérisée par le fait que la représentation est à la fois exhaustive et parcimonieuse. Nous avons démontré mathématiquement que cette topologie est l’unique qui satisfasse ces propriétés. Nous avons alors réalisé de nouvelles expériences sur le cortex visuel primaire du chat et avons montré que, de même, les cartes de fréquence spatiale s’organisent de façon continue, mais présentent des singularités, sous la forme de dipôles, placées exactement au même endroit que les pinwheels. Mathématiquement, nous avons démontré que le dipôle est aussi l’unique minimiseur de l’exhaustivité et de la parcimonie lorsqu’il s’agit de représenter une quantité non périodique comme la fréquence spatiale. Ce travail nous permet d’inférer, à partir de nouvelles observations biologiques, de possibles principes fondamentaux de l’organisation des cartes fonctionnelles. Ces travaux font l’objet de deux notes soumises pour publication.

4Dans le domaine mathématique, nous avons poursuivi nos recherches sur les grands ensembles de neurones et avons caractérisé les limites de grands réseaux neuronaux connectés aléatoirement, ou présenté la dynamique qui émerge de réseaux neuronaux spatialement étendus. Nous nous sommes également intéressés aux dynamiques de réseaux neuronaux connectés aléatoirement, et prouvé un lien entre la dynamique des réseaux et aux propriétés des spectres des matrices aléatoires de connectivité. Cela nous a mené à caractériser plus précisément le spectre des matrices dites « de Ginibre », qui correspondent à des matrices réelles où les éléments sont indépendants et aléatoires. Enfin, nous avons étudié particulièrement le rôle des délais de communication dans la dynamique de grands réseaux neuronaux : ceux-ci induisent des synchronisations importantes, parfois à grande échelle.

Diffusion des connaissances et formation par la recherche

5L’équipe s’attache à la diffusion des connaissances. Ainsi, nous avons organisé un symposium durant la conférence internationale sur les processus stochastiques (SPA) qui s’est tenue à Buenos Aires cet été, intitulé « The Stochastic Brain». Nous avons reçu divers chercheurs internationaux qui ont donné des exposés, et organisé à cette occasion un colloque intitulé « Mathematics of the Brain » au Collège de France, ainsi que deux journées de biologie et mathématiques en collaboration avec A. Lambert, A. Prochiantz et G. Berry. Celles-ci ont rassemblé une quinzaine de chercheurs qui ont exposé leurs travaux dans le domaine de la modélisation du vivant. Nous avons participé à de nombreuses conférences et séminaires, en particulier à l’université de Princeton, à Gottingen, Nottingham, Londres, Madrid. L’équipe a reçu trois étudiants en stage durant l’été 2013, deux de l’École polytechnique et une étudiante du master FdV de l’ENS, recrutée pour effectuer son doctorat dans l’équipe.

Publications

6Allez R., Touboul J. et Wainrib G., « Index Distribution of the Ginibre Ensemble », Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 47(4), 2014, 042001, DOI : 10.1088/1751-8113/47/4/042001.

Cabana T. et Touboul J., « Large Deviations, Dynamics and Phase Transitions in Large Stochastic and Disordered Neural Networks », Journal of Statistical Physics, 153(2), 2013, 211-269, DOI : 10.1007/s10955-013-0818-5.

Faye G. et Touboul J., « Pulsatile localized dynamics in delayed neural-field equations in arbitrary dimension », ArXiv, 2014, http://arxiv.org/​abs/​1402.0530

Galtier M.N. et Touboul J., « Macroscopic Equations Governing Noisy Spiking Neuronal Populations with Linear Synapses », PLoS ONE, 8(11), 2013, e78917, DOI : 10.1371/journal.pone.0078917.

García del Molino L.C., Pakdaman K., Touboul J. et Wainrib G., « Synchronization in random balanced networks », Physical Review E, 88(4), 2013, 042824, DOI : 10.1103/PhysRevE.88.042824.

Godinho D. et Quininao C., « Propagation of chaos for a sub-critical Keller-Segel model », Annales de l’Institut Henri Poincaré (B) Probabilités et Statistiques, 2013, http://arxiv.org/​abs/​1306.3831

Quininao C. et Touboul J., « Limits and dynamics of randomly connected neuronal networks », ArXiv, 2013, http://arxiv.org/​abs/​1306.5175

Ribot J., Aushana Y., Bui-Quoc E. et Milleret C., « Organization and origin of spatial frequency maps in cat visual cortex », The Journal of Neuroscience, 2013, 33(33), 13326-13343, DOI : 10.1523/JNEUROSCI.4040-12.2013.

Touboul J., « Propagation of chaos in neural fields », The Annals of Applied Probability, 24(3), 2014, 1298-1328, DOI : 10.1214/13-AAP950.

Touboul J., « Spatially Extended Networks with Singular Multi-scale Connectivity Patterns », Journal of Statistical Physics, 2014, 156(3), 546-573, DOI : 10.1007/s10955-014-1015-x.