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111 | 2012
Annuaire du Collège de France 2010-2011
Résumé des cours et travaux 111e année
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles

Théorie des nombres

Don Zagier
p. 109-116

Notes de la rédaction

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.

Texte intégral

Cours : Courbes de Teichmüller et surfaces modulaires de Hilbert

1La théorie des courbes de Teichmüller, qui mélange des éléments de la géométrie algébrique complexe et de la théorie des systèmes dynamiques, a vu un développement spectaculaire dans les dernières années, grâce aux travaux de C. McMullen et d’autres chercheurs. En particulier, dans le cas de genre 2, il y a une classification complète de ces courbes, due à K. Calta et à McMullen. Cette classification implique que les courbes de Teichmüller en genre 2 sont toujours contenues dans des surfaces modulaires de Hilbert, ce qui permet en principe une approche par les méthodes venant de la théorie des nombres et de la théorie des formes modulaires. Une telle approche a été développée par M. Möller et moi-même et était le sujet du cours de cette année, certains des résultats ayant déjà été présentés dans le cours de 2008-2009. On obtient en particulier une description des courbes de Teichmüller sur une surface modulaire de Hilbert donnée comme l’ensemble des zéros de la dérivée d’une certaine fonction thêta. Cette description explicite permet de mieux comprendre et de démontrer de façon beaucoup plus simple qu’avant les principaux résultats de la théorie obtenus dans les travaux de McMullen et de M. Bainbridge.

2[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Conférences invitées

3Berlin, Allemagne, octobre 2010 : Mathematics in Another World. Berlin Mathematical School (écoles doctorales en mathématiques de 3 universités berlinoises).

Bonn, Allemagne, octobre 2010 : Multiple zeta values. Séminaire de théorie des nombres, Max-Planck-Institut für Mathematik.

Marseille, décembre 2010 : Courbes de Teichmüller en genre 2. Séminaire, Université de Provence (Aix-Marseille 1).

Marseille, décembre 2010 : Formes modulaires, fausses formes modulaires et trous noirs. « Une journée à la FRUMAM », Colloquium des unités de recherche en mathématiques de Marseille, CPT-IML-LATP.

Budapest, Hongrie, décembre 2010 : Mathématiques dans un autre monde : les mathématiques japonaises vers 1700. Institut français, conférence organisée par l’ambassade de France en Hongrie, en coopération avec le Collège de France.

Budapest, Hongrie, décembre 2010 : Euler’s multiple zeta sums. Conférence conjointe de l’Université Eötvös et l’Université de technologie de Budapest.

Budapest, Hongrie, décembre 2010 : Les grandes questions en théorie des nombres. Conférence pour lycéens, Ferenc Kölcsey Gymnāzium.

Trieste, Italie, mars 2011 : Jacobi forms and mock modular forms (4 conférences). École « Mock modular forms and applications  », International Center for Theoretical Physics.

Trieste, Italie, mars 2011 : Quantum modular forms. Colloquium, International Center for Theoretical Physics.

Lausanne, Suisse, mars 2011 : From mock theta functions to black holes. Journée de Rham, École polytechnique fédérale de Lausanne.

Les Diablerets, Suisse, mars 2011 : q-series, modularity, and quantum topology. Spring School « Geometry and quantum topology ».

Hambourg, Allemagne, avril 2011 : Mock modular forms: a new tool in mathematics and physics. Séminaire conjoint de l’Université de Hambourg et de DESY.

Bristol, Angleterre, mai 2011 : Double zeta values of odd weight. Workshop on multiple zeta values, modular forms and elliptic motives, University of Bristol.

Pasadena, Californie, États-Unis, mai 2011 : From topology to modular forms. Number theory seminar, California Institute of Technology.

Atlanta, Georgia, États-Unis, mai 2011 : Moonshine and mock modular forms. Algebra seminar, Georgia Institute of Technology.

New York, États-Unis, juin 2011  : Arithmetic properties of 3-dimensional quantum invariants. « Faces of Geometry: 3-Manifolds, Groups and Singularities », Barnard College et Columbia University.

Zürich, Suisse, juillet 2011 : Mock modular forms and mock Jacobi forms. Workshop on Mathieu Moonshine, Pauli Center for Theoretical Studies, ETH.

Bremen, Allemagne, juillet 2011 : Number Theory (deux conférences). International Mathematical Summer School for Students, Jacobs-Universität.

Autres missions et activités

4Paris, 2010-2011 : Coopération intensive avec la Fondation Cartier pour l’art contemporain, préparation de l’exposition « Mathématiques : un dépaysement soudain » (21 octobre 2011-18 mars 2012).

Oberwolfach, Allemagne, octobre 2010 : Wissenschaftsrat (comité scientifique) du Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.

Bures-sur-Yvette, janvier 2011 : Comité de sélection de l’IPDE (Institut post-doctoral européen pour les sciences mathématiques).

Bonn, Allemagne, janvier 2011 : membre du « Fachbeirat » (comité scientifique international) de l’Institut Minerva « Emmy Noether » de l’Université de Bar-Ilan, Israël.

Trieste, Italie, février-mars 2011 : Co-organisateur (avec K. Bringmann et L. Göttsche) d’une école et conférence « Mock modular forms and applications ».

Newport Pagnell, Angleterre, mai 2011 : Réunion des chercheurs liés à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, Kavli Royal Society International Centre.

Banff, mai 2011 : Co-organisateur (avec N. Yui, S. Gukov, C. Doran et V. Batyrev) de la conférence « Number Theory and Physics at the Crossroads », Banff International Research Station for Mathematical Innovation and Discovery.

Oberwolfach, Allemagne, juillet 2011 : Co-organisateur (avec H. Lenstra and K. Belabas)de la conférence « Explicit Methods in Number Theory », Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.

Cologne, Allemagne, septembre 2011 : Co-organisateur (avec K. Bringmann et U. Goertz) de la section « Algebraische Geometrie und Zahlentheorie », conférence annuelle de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung.

Publications et prépublications

5Zagier D., « Higher Kronecker “limit” formulas for real quadratic fields », paru en ligne le 23 mars 2012 dans J. reine Angew. Math., 42 pages.

Zagier D., avec Sun Z.-W., « On a curious property of Bell numbers », Bull. Aust. Math. Soc., 84, 2011, 153-158.

Zagier D., avec Cohen H., « Vanishing theta values », paru en ligne février-mars dans Annales des sciences mathématiques du Québec, Numéro spécial dédié à Paulo Ribenboim, 11 pages.

Zagier D., « Evaluation of the multiple zeta values ζ(2, …,2,3,2,…,2) », 175, 2012, 977-1000.

Zagier D., « Proof of the Harvey-Moore identity », dans Klemm A., Maulik D., Pandharipande R. et Scheidegger E., « Noether-Lefschetz theory and the Yau-Zaslow conjecture », J. Amer. Math. Soc., 23, 2010, 1013-1040 (1037-1038).

Zagier D., « Quantum modular forms », dans Quanta of Maths: Conference in honor of Alain Connes, Clay Mathematics Proceedings 11, AMS and Clay Mathematics Institute, 2010, 659-675.

Zagier D., « A Family of Combinatorial Identities », appendice dans Borwein J., Straub A., Wan J. et Zudilin W., « Densities of Short Uniform Random Walks », Can. J. Math., paru en ligne en novembre 2011.

Zagier D., « Une passion pour les mathématiques », dans Mathématiques, un dépaysement soudain, éd. Fondation Cartier pour l’art contemporain, Paris, 2011, 90-97. Traduction en anglais, « A passion for mathematics », dans Mathematics – A beautiful Elsewhere. Le livre est paru en même temps dans les deux langues.

Zagier D., avec Bruggeman R. et Lewis J., « Function theory related to the group PSL2(R) », à paraître dans From Fourier Analysis and Number Theory to Radon Transforms and Geometry. In memory of Leon Ehrenpreis, Springer, Developments in Mathematics, 78 pages.

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Pour citer cet article

Référence papier

Cours et travaux du Collège de France. Annuaire 111e année, Collège de France, Paris, avril 2012, p. 109-116. ISBN 978-2-7226-0156-7

Référence électronique

Don Zagier, « Théorie des nombres », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 111 | 2012, mis en ligne le 22 novembre 2013, consulté le 25 mai 2018. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/1319

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Auteur

Don Zagier

Professeur au Collège de France

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Droits d’auteur

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