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AccueilVolumes117Cours et recherches des professeursI. Sciences mathématiques, physiq...Analyse et géométrie

Cours et recherches des professeurs
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles

Analyse et géométrie

Alain Connes
p. 11-22

Notes de la rédaction

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.

La série de cours et séminaires « La géométrie et le quantique » est disponible, en audio et/ou en vidéo, sur le site internet du Collège de France (http://www.college-de-france.fr/site/alain-connes/course-2016-2017.htm).

Texte intégral

Cours – La géométrie et le quantique

1. Le modèle spectral

1[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

1.1 Variables discrètes + non-commutativité engendrent le continu

2[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

1.2. Action spectrale

3[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

1.2.1. Courbure

4[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

1.2.2. Semigroupe des perturbations Pert(A)

5[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

1.3. Origine du paradigme de géométrie spectrale : KO-homologie

6[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

1.3.1. Structure réelle J

7[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

1.3.2. Les trois rôles de J

8[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

1.3.3. Dimension métrique et KO-dimension

9[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

2. Interaction avec la réalité

10[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

2.1. 1998-2006

11[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

2.2. Structure fine

12[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

2.3. 2008-2012

13[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3. La géométrie et le quantique

14[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.1. Équation géométrique de Heisenberg

15[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.2. Quantification du volume

16[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.2.1. Bicomplexe (b, B)

17[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.2.2. Ch* en homologie cyclique

18[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.2.3. Passage aux matrices

19[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.2.4. Annulation des Ch([e − 1/2]), m < n

20[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.2.5. Indice local

21[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.3. KO-équation de Heisenberg

22[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.3.1. Géométrie ⇒ Modèle standard

23[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.3.2. Deux applications Y± : M → S4

24[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3.3.3. L’invariant qM ⊂ ℤ

25[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Références

26[1] Milnor J., Stasheff J., « Characteristic Classes », Annals of Math. Studies, vol. 76, Princeton, 1974.

[2] Atiyah M., « Global theory of elliptic operators », Proc. Internat. Conf. on Functional Analysis and Related Topics, University of Tokyo Press, Tokyo, 1970, p. 21-30.

[3] Singer I. M., « Future extensions of index theory and elliptic operators », Prospects in mathematics, Ann. of Math. Studies, no 70, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971, p. 171-185.

[4] Chamseddine A. et Connes A., « The Spectral action principle », Comm. Math. Phys. Vol. 186, 1997, p. 731-750.

[5] Chamseddine A., Connes A., Marcolli M., « Gravity and the standard model with neutrino mixing », Adv. Theor. Math. Vol. 11, 2007, p. 991-1090.

[6] Chamseddine A. et Connes A., « Why the Standard Model », Jour. Geom. Phys., vol. 58, 2008, p. 38-47.

[7] Chamseddine A. et Connes A., « Conceptual explanation for the algebra in the noncommutative approach to the standard model », Phys. Rev. Lett., vol. 99, 2007, p. 191601.

[8] Connes A. et Chamseddine A. H., « Noncommutative Geometry as a Framework for Unification of all Fundamental Interactions including Gravity », Fortsch. Phys. vol. 58, 2010, p. 553-600.

[9] Connes A. et Chamseddine A. H., « The uncanny precision of the spectral action », Comm. Math. Phys., vol. 293, 2010, no 3, p. 867-897.

[10] Connes A. et Chamseddine A.H., « Resilience of the spectral standard model », Journal of High Energy Physics, vol. 1209, 2012.

[11] Chamseddine A. H., Connes A. et van Suijlekom W. D., « Inner Fluctuations in Noncommutative Geometry without the First Order Condition », Journal of Geometrics and Physics, vol. 13, 2013, p. 22-234.

[12] Chamseddine A. H., Connes A. et van Suijlekom W. D., « Beyond the Spectral Standard Model: Emergence of Pati-Salam Unification », Journal of High Energy Physics, 2013.

[13] Chamseddine A. H., Connes A., et van Suijlekom W. D., « Grand Unification in the Spectral Pati-Salam Model », Journal of High Energy Physics, 2015.

[14] Chamseddine A.H., Connes A., et Mukhanov V., « Geometry and the Quantum: Basics » Journal of High Energy Physics, vol. 12, 2014.

[15] Chamseddine A. H., Connes A., et Mukhanov V., « Quanta of geometry: Noncommutative aspects », Phys. Rev. Lett., vol. 114, 2015.

[16] Moser J., « On the volume elements on a manifold », Transaction of the American Mathematical Society, vol. 120, n° 2, 1965, p. 286-294.

[17] Connes A., Noncommutative geometry, Academic Press, 1995.

[18] Connes A., Moscovici H., « The local index formula in noncommutative geometry », GAFA, vol. 5,1995, p. 174-243.

[19] Carey A., Rennie A., Sukochev F., Zanin D., « Universal measurability and the Hochschild class of the Chern character », J. Spectr. Theory, vol. 6, 2016, no 1, p. 1-41.

Conférences

27• Octobre 2016, une conférence au Collège de France au colloque de rentrée.

• Mars 2017, trois conférences à Trieste.

• Mars-avril 2017, cinq conférences à Shanghai.

• Juin 2017, une conférence au Collège de France au colloque à la mémoire de J.-C. Yoccoz.

Publications

28Connes A. et Consani C., « Geometry of the scaling site », Selecta Mathematica, vol. 23, n° 3, 2017, p. 1803-1850, DOI : 10.1007/s00029-017-0313-y [arXiv: 1603.03191].

Connes A. et Consani C., « Homological algebra in characteristic one », 2017, http://arxiv.org/​abs/​1703.02325 [arXiv: 1703.02325].

Connes A., « Geometry and the Quantum », 2017, [arXiv: 1703.02470].

Connes A., Sukochev F. et Zanin D., « Trace theorem for quasi-Fuchsian groups », Sbornik : Mathematics, vol. 208, n° 10, 2017, p. 1473-1502, DOI : 10.1070/SM8794 [arXiv:1703.05447v1].

Connes A., Mcdonald E., Sukochev F. et Zanin D., « Conformal trace theorem for Julia sets of quadratic polynomials », Ergodic Theory and Dynamical Systems, 2017, p. 1-26, DOI : 10.1017/etds.2017.124.

Connes A., « An essay on the Riemann hypothesis », in J. Nash, J. Forbes et M. Rassias (dir.), Open Problems in Mathematics, Cham, Springer, 2016, p. 225-257, http://arxiv.org/​abs/​1509.05576 [arXiv: 1509.05576].

Connes A. et Consani C., « Absolute algebra and Segal’s Γ-rings: Au dessous de Spec(Z)‾ », Journal of Number Theory, vol. 162, 2016, p. 518-551, DOI : 10.1016/j.jnt.2015.12.002 [arXiv: 1502.05585].

Connes A. et Consani C., « Geometry of the arithmetic site », Advances in Mathematics, vol. 291, 2016, p. 274-329, DOI : 10.1016/j.aim.2015.11.045 [arXiv: 1502.05580].

Connes A. et Consani C., « The scaling site », Comptes Rendus Mathématique : Académie des sciences de Paris, vol. 354, n° 1, 2016, p. 1-6, DOI : 10.1016/j.crma.2015.09.027 [arXiv: 1507.05818].

Connes A. et Fathizadeh F., « The term a_4 in the heat kernel expansion of noncommutative tori », 2016, https://arxiv.org/​abs/​1611.09815.

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Pour citer cet article

Référence papier

Alain Connes, « Analyse et géométrie »L’annuaire du Collège de France, 117 | 2019, 11-22.

Référence électronique

Alain Connes, « Analyse et géométrie »L’annuaire du Collège de France [En ligne], 117 | 2019, mis en ligne le 04 juin 2020, consulté le 07 février 2025. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/13801 ; DOI : https://doi.org/10.4000/annuaire-cdf.13801

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Auteur

Alain Connes

Membre de l’Institut (Académie des sciences), professeur au Collège de France

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