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Autres enseignements et recherches
IV. Conférenciers invités

Géométrie asymptotique du groupe des automorphismes extérieurs d’un groupe libre

Camille Horbez
p. 708-709

Notes de la rédaction

Cycle de quatre leçons données les 10, 17, 24 et 31 janvier 2018 (fondation Claude-Antoine Peccot), disponibles en audio et vidéo sur le site internet du Collège de France : https://www.college-de-france.fr/site/cours-peccot/guestlecturer-2017-2018.htm.

Texte intégral

1Soit n ≥ 2, soit Fn un groupe libre de rang n, et soit Out(Fn) le groupe de ses automorphismes extérieurs, c’est-à-dire le quotient de Aut(Fn) par son sous-groupe distingué formé par les conjugaisons. Depuis les travaux fondateurs de Culler et Vogtmann en 1986, l’étude du groupe Out(Fn) s’effectue par des méthodes géométriques, via l’étude de son action sur plusieurs espaces, au rang desquels on peut mentionner l’outre-espace de Culler et Vogtmann, ainsi que plusieurs espaces à courbure négative qui lui sont reliés. L’objectif de ce cours a été de présenter quelques résultats récents obtenus sur le groupe Out(Fn) via l’étude de la géométrie de ces espaces et de la dynamique de l’action de Out(Fn).

2Lors de la première séance, j’ai présenté la définition de l’outre-espace, comme espace d’actions libres et simpliciales du groupe libre Fn sur des arbres simpliciaux métriques. J’en ai décrit une compactification, comprise grâce aux travaux successifs de Culler et Morgan, Paulin, Cohen et Lustig, Bestvina et Feighn, qui s’identifie à un espace d’actions dites « très petites » de Fn sur des arbres réels, auxquels on pense comme à des dégénérescences d’arbres simpliciaux. J’ai par ailleurs présenté quelques phénomènes de courbure négative dans ces espaces, en esquissant notamment une démonstration de l’hyperbolicité du complexe des scindements libres, qui peut être défini naturellement comme une complétion simpliciale de l’outre-espace.

3La deuxième séance fut consacrée à la classification des sous-groupes de Out(Fn). J’y ai notamment présenté une démonstration – reposant sur l’étude de la dynamique de Out(Fn) sur les espaces mentionnés ci-dessus – de l’alternative de Tits pour Out(Fn), théorème dû originellement à Bestvina, Feighn et Handel : pour tout sous-groupe H de Out(Fn), soit H contient un sous-groupe abélien d’indice fini, soit H contient un sous-groupe libre non abélien. Au cours de la démonstration, j’ai également donné une preuve d’un autre résultat de classification des sous-groupes de Out(Fn) essentiellement dû à Handel et Mosher : pour tout sous-groupe H de Out(Fn), soit H contient un élément complètement irréductible, soit un sous-groupe d’indice fini de H fixe la classe de conjugaison d’un facteur libre propre de Fn. Ici, un élément de Out(Fn) est dit complètement irréductible si aucune de ses puissances non triviales ne fixe la classe de conjugaison d’un facteur libre propre de Fn ; ce sont en un sens les automorphismes génériques de Fn.

4Lors de la troisième séance, j’ai présenté des phénomènes de rigidité pour le groupe Out(Fn), analogues en un sens aux résultats de rigidité de Mostow, Prasad et Margulis pour les réseaux en rang supérieur. Un théorème dû à Khramtsov et indépendamment à Bridson et Vogtmann énonce que pour tout n ≥ 3, le groupe Out(Out(Fn)) est trivial, autrement dit tout automorphisme de Out(Fn) est intérieur. Ce résultat a été généralisé par Farb et Handel, qui ont montré que tout isomorphisme entre sous-groupes d’indice fini de Out(Fn) est la restriction de la conjugaison par un élément de Out(Fn). J’ai présenté une nouvelle preuve géométrique de ce théorème obtenue récemment en collaboration avec Richard D. Wade ; un point clé dans l’argumentation est un théorème de Bridson et Vogtmann qui énonce que toutes les symétries simpliciales de l’outre-espace viennent de l’action de Out(Fn). J’ai conclu cette troisième séance en présentant un autre théorème de rigidité dû à Bridson et Wade : tout morphisme d’un réseau en rang supérieur tel SL(m,Z) avec m ≥ 3 vers Out(Fn) est d’image finie. J’ai expliqué comment ce théorème peut être retrouvé à partir d’un résultat de Haettel qui énonce que de tels réseaux ne peuvent pas agir de manière non élémentaire par isométries sur un espace hyperbolique.

5Enfin, la quatrième séance fut consacrée à une propriété concernant la géométrie asymptotique du groupe Out(Fn), obtenue en collaboration avec Mladen Bestvina et Vincent Guirardel : le groupe Out(Fn) est moyennable à l’infini, ce qui entraîne que Out(Fn) et ses sous-groupes satisfont la conjecture de Novikov issue de la K-théorie. La notion de moyennabilité est une notion centrale en géométrie des groupes, et celle de moyennabilité à l’infini en est une généralisation naturelle : un groupe G est moyennable à l’infini s’il admet une action topologiquement moyennable sur un espace compact K, autrement dit si l’on peut associer continûment à tout point de K une suite de mesures de probabilités sur G de manière asymptotiquement équivariante.

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Pour citer cet article

Référence papier

Camille Horbez, « Géométrie asymptotique du groupe des automorphismes extérieurs d’un groupe libre »L’annuaire du Collège de France, 118 | 2020, 708-709.

Référence électronique

Camille Horbez, « Géométrie asymptotique du groupe des automorphismes extérieurs d’un groupe libre »L’annuaire du Collège de France [En ligne], 118 | 2020, mis en ligne le 01 avril 2021, consulté le 08 juillet 2025. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/16579 ; DOI : https://doi.org/10.4000/annuaire-cdf.16579

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Auteur

Camille Horbez

Chargé de recherche à l’université d’Orsay

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Droits d’auteur

Le texte et les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés), sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.

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