Formes automorphes (chaire internationale)

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.

La série de cours « Dualité des fibrations de Hitchin et endoscopie » est disponible en audio et en vidéo, sur le site du Collège de France (https://www.college-de-france.fr/fr/agenda/cours/dualite-des-fibrations-de-hitchin-et-endoscopie).

Texte intégral

PDF 568k Partager par e-mail

Cours – Dualité des fibrations de Hitchin et endoscopie

1Mon cours, au printemps 2021, portera sur l’espace de module de Hitchin et ses généralisations. Cet espace a d’abord été introduit par Hitchin partant des mathématiques physiques [14] [15] puis reconnu comme un objet primordial du programme de Langlands géométrique. Sa connexion avec la formule des traces formulée dans [24] a conduit à une série de travaux [22] [25] aboutissant à la démonstration du lemme fondamental dans la théorie des formes automorphes.

2Depuis la première démonstration du lemme fondamental par la voie de la fibration de Hitchin, de nombreuses améliorations ont été apportées à cette approche aussi bien sur le plan technique que conceptuel. On note les travaux de Chaudouard et Laumon qui ont démontré le lemme fondamental pondéré [6] [7], le travail de Migliorini et Shende sur le théorème de support [23], ainsi qu’une nouvelle démonstration du lemme fondamental fondée sur l’intégration p-adique due à Groechenig, Wyss et Ziegler [12]. Ces travaux seront rapportés dans ce cours ainsi que l’ébauche d’une généralisation de l’espace de module de Hitchin.

3Le résumé du cours suit essentiellement le plan des exposés oraux. On commence par rappeler dans la section 1 le comptage de points dans l’espace de modules des fibrés et fibrés avec structure additionnelle suivant un principe qui remonte aux travaux de Weil. Nous rappelons ensuite dans la section 2 les constructions de l’espace des modules des fibrés ainsi que la grassmannienne affine en payant une attention particulière aux groupes des composantes connexes. On rappelle la construction du morphisme de Hitchin et en ébauche une possibilité de généralisation dans la section 3. On met l’accent sur la construction d’un champ de Picard relatif qui agit sur la fibration de Hitchin. On continue avec des rappels sur les fibres de Springer affines et la formule de produit qui relie celles-ci à la fibre de Hitchin dans la section 4. On discute dans la section 5 la structure des fibres du champ de Picard et décrit leurs groupes de composantes connexes et la dimension de leur partie affine. Dans la section 6, on rappelle la notion de x-stabilité des fibrés de Higgs introduits par Chaudouard et Laumon. Dans la section 7, on discute du théorème de décomposition de Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber dans la situation de la fibration de Hitchin et donne une description des supports des faisceaux pervers simples qui apparaissent dans cette décomposition, ainsi qu’une généralisation due à Migliorini et Shende. Dans la dernière section, on discute l’approche d’intégration p-adique de Groechenig, Wyss et Ziegler.