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Cours et recherches des professeurs
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles
Mathématiques et sciences informatiques

Équations aux dérivées partielles et applications

Pierre-Louis Lions
p. 31-39

Notes de la rédaction

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.
La série de cours « Sur les équations de transport » est disponible en audio et en vidéo sur le site internet du Collège de France (https://www.college-de-france.fr/fr/agenda/cours/sur-les-equations-de-transport).

Texte intégral

Enseignement

Cours – Sur les équations de transport

1Le cours a eu lieu du 12 novembre 2021 au 21 janvier 2022.

Introduction

Le cours de cette année a porté sur les équations de transport (linéaires et non linéaires) correspondant à des champs de vecteurs peu réguliers, ainsi que sur les équations différentielles ordinaires associées. Il s’agit d’un sujet classique qui remonte aux travaux de Joseph Liouville (professeur au Collège de France) au xixe siècle. La première extension de la théorie classique à des champs de vecteurs peu réguliers (à dérivées premières intégrables et à divergence bornée) est due à R.J. Di Perna et P.-L. Lions (théorie dite « de Di Perna-Lions »). Depuis, différents auteurs ont tenté d’affaiblir les hypothèses de régularité et l’objectif essentiel du cours a été de mettre en lumière quelques situations où il est possible de traiter des champs de vecteurs moins réguliers mais avec des hypothèses géométriques de type monotonie, anti-monotonie, croissance…

2Les équations de transport (linéaires) étudiées dans le cours sont les équations non conservatives

(1) [NDLR : voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

ou conservatives

(2) [NDLR : voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

ainsi que les équations différentielles ordinaires

(3) [NDLR : voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

3Enfin, signalons que l’extension aux équations différentielles stochastiques a été traitée en cours.

Le cas où B est semi-monotone

[NDLR : voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Le cas où (−B) est semi-monotone

[NDLR : voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Le cas où (−B) est croissante

[NDLR : voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Séminaire – Mathématiques appliquées

4Le cours a eu lieu du 12 novembre 2021 au 24 juin 2022.

5Séminaire 1 – Matrices aléatoires et EDP

Pierre-Louis Lions, le 12 novembre 2021

6Séminaire 2 – Distance de Monge-Kantorovich pour les EDP et méthode du couplage

Benoît Perthame (Laboratoire J.-L. Lions, Sorbonne Université), le 19 novembre 2021

7Séminaire 3 – Sur une version finiment échangeable du théorème de Hewitt et Savage

Guillaume Carlier (Ceremade, université Paris- Dauphine), le 26 novembre 2021

8Séminaire 4 – Transfert radiatif dans un fluide : analyse mathématique et simulations numériques

François Golse (École polytechnique, centre de mathématiques Laurent Schwartz), le 3 décembre 2021

9Séminaire 5 – A Mean Field Game Approach to Bitcoin Mining

Louis Bertucci (institut Louis Bachelier), le 10 décembre 2021

10Séminaire 6 – Formes optimales et contrôle optimal : existence, méthodes oscillatoires, applications en réaction-diffusion

Idriss Mazari (Ceremade, université Paris-Dauphine), le 7 janvier 2022

11Séminaire 7 – Moment Constrained Optmimal Transport Problem: Application to Quantum Chemistry

Virginie Ehrlacher (Cermics, ENPC), le 14 janvier 2022

12Séminaire 8 – Optimisation en temps long et stationnarité : le problème du turnpike

Emmanuel Trélat (laboratoire J.-L. Lions, Sorbonne Université), le 28 janvier 2022

13Séminaire 9 – Network Approximation in High Contrast Homogenization

David Gérard-Varet (IMJ-PRG, université de Paris), le 4 février 2022

14Séminaire 10 – New Results on the Lieb-Thirring Inequality

Mathieu Lewin (Ceremade, université Paris-Dauphine), le 11 février 2022

15Séminaire 11 – Statistique de réaction et relation de Hill pour la dynamique de Langevin

Julien Reygner (Cermics, ENPC), le 11 mars 2022

16Séminaire 12 – Optimisation en temps long et stationnarité : le problème du turnpike

Emmanuel Trélat (laboratoire J.-L. Lions, Sorbonne Université), le 18 mars 2022

17Séminaire 13 – Construction de solutions explosives pour les équations de Navier Stokes compressible tri dimensionnelles

Frank Merle (IHES et C.Y. Cergy Paris Université), le 25 mars 2022

18Séminaire 14 – Étude d’un problème non linéaire parabolique « forward-backward »

Anne-Laure Dalibard (laboratoire J.-L. Lions, Sorbonne Université), le 13 mai 2022

19Séminaire 15 – Schémas positifs pour l’équation de diffusion sur maillages déformés

Xavier Blanc (laboratoire J.-L. Lions, Université Paris Cité), le 20 mai 2022

20Séminaire 16 – Méthodes numériques pour le calcul de résonances dans des cristaux avec défauts

Antoine Levitt (INRIA & CERMICS, ENPC), le 3 juin 2022

21Séminaire 17 – Méthodes de scattering à la Kato-Lax pour les plasmas (et autres)

Bruno Després (laboratoire J.-L. Lions, Sorbonne Université), le 10 juin 2022

22Séminaire 18 – Autour de la modélisation du graphène simple et double couche

Éric Cancès (CERMICS, ENPC), le 17 juin 2022

23Séminaire 19 – Sur un système de particules en interaction non markovienne et singulière et sa limite champ moyen

Milica Tomasevic (CMAP, École Polychnique), le 24 juin 2022

Recherche

Missions, invitations, conférences

– Conférence aux Journées FIME, EDF R&D (Palaiseau), le 22 septembre 2021 ;

– conférence au congrès « Introduction to the area of distributed solutions », IMSI-NSF à Chicago (États-Unis; visioconférence), le 4 octobre 2021;

– séminaire à l’Institut d’intelligence artificielle et télécommunications à Abu Dhabi (Émirats arabes unis ; visioconférence), le 12 octobre 2021;

– conférence au colloque « Masterminds, masterclasses », à Hong-Kong (visioconférence), le 15 octobre 2021 ;

– conférence au colloque « Machine Learning and Control », au Lagrange Mathematics and Computation Research Center, à Paris (visioconférence), le 30 novembre 2021 ;

– conférence au congrès « Nobel Symposium on Game Theory », à Stockholm (visioconférence), le 17 décembre 2021 ;

– conférence au congrès « Mean Field Games », à Montréal (visioconférence), le 12 avril 2022 ;

– séminaire, SCOR, à Paris (visioconférence), le 28 juin 2022 ;

– conférence au congrès pour honorer la mémoire de Roland Glowinski, à l’université Pierre-et-Marie-Curie, à Paris, le 5 juillet 2022 ;

– conférence à l’International PDE Conference 2022, à Oxford (visioconférence), le 20 juillet 2022.

Responsabilités collectives et fonctions diverses

– Membre de l’Académie des sciences, de l’Académie des technologies, de l’Académie des sciences d’Italie, d’Argentine, du Brésil, du Chili et de Belgique, de l’Istituto Lombardo et de l’Académie de Naples, de la TWAS, de l’Academia Europea ;

– directeur scientifique du LabEx ILB International ;

– président du conseil scientifique de l’institut Louis-Bachelier ;

– président du Conseil scientifique de la chaire de Finance et développement durable, université Paris-Dauphine ;

– président du conseil scientifique de la fondation Lagrange ;

– président du conseil scientifique de l’Observatoire de finance durable ;

– Senior Fellow, Institute of Advanced Study, City University of Hong Kong ;

– membre du Scientific Advisory Panel de l’European Mathematical Society

– membre du conseil scientifique de la Fondation SCOR pour la science ;

– membre fondateur du Comité international de l’« International Summer School of Applied Mathematics », Morningside Institute, Chinese Academy of Sciences ;

– membre de l’International Advisory Board de l’Institute of Mathematical Sciences de l’Imperial College ;

– membre de la Société des amis du Palais de la découverte ;

– membre de l’International Advisory Board de la Scuola di dottorato in scienze astronomiche, chimiche, fisiche et mathematiche « Vito Volterra »;

– rédacteur en chef du Journal de mathématiques pures et appliquées

– éditeur de plus de 45 revues internationales.

Publications

24Bertucci C., Bertucci L., Lasry J.-M. et Lions P.-L., « Economic modelling of the Bitcoin mining industry », Université Paris-Dauphine Research Paper, no 3907822, 12 mai 2022, https://ssrn.com/​abstract=3907822, https://dx.doi.org/​10.2139/​ssrn.3907822.

25Bertucci C., Debbah M., Lasry J.-M. et Lions P.-L., « A spectral dominance approach to large random matrices », Journal de Mathématiques pures et appliquées, vol. 164, 2022, p. 27-56, https://doi.org/​10.1016/​j.matpur.2022.06.001.

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Pour citer cet article

Référence papier

Pierre-Louis Lions, « Équations aux dérivées partielles et applications »L’annuaire du Collège de France, 122 | 2026, 31-39.

Référence électronique

Pierre-Louis Lions, « Équations aux dérivées partielles et applications »L’annuaire du Collège de France [En ligne], 122 | 2026, mis en ligne le 18 décembre 2025, consulté le 16 février 2026. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/20412 ; DOI : https://doi.org/10.4000/15e0a

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Auteur

Pierre-Louis Lions

Membre de l’Institut (Académie des sciences) et de l’Académie des technologies, professeur au Collège de France

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Droits d’auteur

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