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113 | 2014
Annuaire du Collège de France 2012-2013
Résumé des cours et travaux 113e année
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles

Théorie des nombres

Don Zagier
p. 107-116

Notes de la rédaction

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.

Texte intégral

Cours : Théorie et applications des fausses formes modulaires

1Dans sa célèbre dernière lettre à Hardy, envoyée juste trois mois avant sa mort prématurée en 1920, Ramanujan lui fait part de sa découverte d’une nouvelle classe de fonctions qu’il appelle les « mock ϑ-functions » et dont il est convaincu que « they enter into mathematics as beautifully as the ordinary ϑ-functions » – c’est-à-dire, dans la terminologie moderne, que les formes modulaires classiques. Pendant plus de 80 ans ces objets sont restés mystérieux, mais en 2002 la propriété décisive des fonctions trouvées par Ramanujan a été décelée par Sander Zwegers, et, depuis cette date, il y a eu une véritable explosion d’activité, avec des développements théoriques du sujet et de nombreuses applications en divers domaines des mathématiques et de la physique théorique, et on peut dire maintenant que la prédiction de Ramanujan s’est avérée juste. Les fausses formes modulaires (mock modular forms), pour leur donner leur nom actuel, ont déjà été traitées de façon périphérique dans le cours de 2005-2006, et elles ont été traitées aussi dans la partie du cours de 2011-2012 qui a eu lieu en Corée du Sud. Dans le cours de cette année, la théorie a été présentée beaucoup plus en détail, avec l’accent mis sur les liens avec la théorie des formes modulaires de Jacobi et les applications motivées par la physique (théorie des cordes des trous noirs). Tous les résultats présentés sont contenus dans un article de 150 pages (arXiv:1208.4074) écrit avec Atish Dabholkar et Sameer Murthy qui paraîtra sous forme de monographie.

Fausses formes modulaires et fausses fonctions thêta

2[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Constructions des fausses formes modulaires

3[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Formes modulaires de Jacobi méromorphes

4[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Deux familles de formes de Jacobi spéciales

5[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Application à la théorie des cordes des trous noirs

6[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Conférences invitées

7Bad Honnef, Allemagne, août 2012 : Mock modular forms and black holes (2 conférences). Conference on Algebraic-Geometric methods in Fundamental Physics, Physikzentrum Bad Honnef.

Potsdam, Allemagne, septembre 2012 : The mathematics of mock modular forms. Workshop on Black Holes in Supergravity and M/Superstring Theory, MPI für Gravitationsphysik (Einstein-Institut).

Potsdam, Allemagne, septembre 2012 : Arithmetical properties of quantum invariants of 3-manifolds. Colloque, MPI für Gravitationsphysik (Einstein-Institut).

Saarbrücken, Allemagne, septembre 2012 : Zur Person und Werk von Friedrich Hirzebruch. Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.

Bures-sur-Yvette, décembre 2012 : Modular forms, periods, and differential equations. Conférence « Amplitudes and Periods », Institut des Hautes Études Scientifiques.

Trieste, Italie, janvier 2013 : Partitions and modular forms. Mathematics Seminar, International Centre for Theoretical Physics.

Aarhus, Danemark, janvier 2013 : Partitions, coverings, and modular forms. Nielsen Lecture (conférence spéciale annuelle), Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces, Aarhus Universitet.

Aarhus, Danemark, janvier 2013 : Partitions, Siegel-Veech constants, and quasimodular forms. Workshop « Topological Recursion and Quantum Algebraic Geometry », Centre for Quantum Geometry of Moduli Spaces, Aarhus Universitet.

Edinburgh, Écosse, février 2013 : Modular forms and black holes: from Ramanujan to Hawking. Maxwell Institute Lecture (conférence spéciale annuelle), Maxwell Institute for Mathematical Sciences.

Aurich, Allemagne, février 2013 : Schönes aus der Zahlentheorie. Conférence et rencontre avec les élèves du lycée Gymnasium Ulricianum.

Aurich, Allemagne, février 2013 : Die Schönheit der Mathematik. Auricher Wissenschaftstage (conférence grand public).

Darmstadt, Allemagne, mars 2013 : Hecke operators and period polynomials for modular forms. Conférence « Automorphic Forms and L-Functions », Universität Darmstadt.

Cambridge, Angleterre, mars 2013 : Relations among multiple zeta values. Workshop on Grothendieck-Teichmueller Theory and Multiple Zeta Values, Isaac Newton Institute.

Palo Alto, Californie, États-Unis, avril 2013 : Mock modular forms and Jacobi forms. Workshop on Gromov-Witten invariants and Number Theory, American Institute of Mathematics.

Palo Alto, Californie, États-Unis, avril  2013 : Quasimodular forms and the holomorphic anomaly equation. Workshop on Gromov-Witten invariants and Number Theory, American Institute of Mathematics.

Cambridge, Angleterre, avril 2013 : From modular forms to finite groups. Rothschild Visiting Lecture, Isaac Newton Institute and University of Cambridge.

Oxford, Angleterre, avril 2013 : Deformations of Picard-Fuchs equations, modular forms, and the holomorphic anomaly equation. « Deformation Week », Mathematical Institute, Oxford University.

Oxford, Angleterre, avril 2013 : Arithmetic of quantum knot invariants. Workshop on Higher Structures in Topology and Number Theory, Mathematical Institute, Oxford University, and Clay Institute.

Cambridge, Angleterre, avril 2013 : Finite multiple zeta values. Workshop on Grothendieck-Teichmueller Theory and Multiple Zeta Values, Isaac Newton Institute.

Cambridge, Angleterre, avril 2013 : From quantum black holes to number theory. Colloquium, Department of applied mathematics and theoretical physics, Cambridge University.

Londres, Angleterre, avril 2013 : Deformations of Picard-Fuchs equations. Mini-workshop on Arithmetic Related to Mirror Symmetry and Fano Varieties, Imperial College.

Bonn, Allemagne, juin 2013 : Green’s functions on Riemann surfaces, trois exposés (1. Green’s functions and heights on algebraic curves, 2. Green’s functions for quotients of the upper half-plane, 3. Green’s functions, multiple zeta values, and string amplitudes). Conférences pour membres de l’école doctorale « IMPRS », Max-Planck-Institut für Mathematik.

Utrecht, Pays-Bas, juin 2013 : Higher rank zeta functions and Riemann hypothesis for elliptic curves. Conférence « A Singular Life, in Honour of Eduard Looijenga », Universiteit Utrecht.

Bremen, Allemagne, juillet 2013 : The dilogarithm (2 exposés). Conférence plénière et séminaire, « Modern Mathematics-International Summer School for Students », Jakobs-Universität Bremen.

Utrecht, Pays-Bas, juillet 2013 : Relations among multiple zeta values. Conference on « Special Functions and Special Numbers (on the occasion of the 60th birthday of Frits Beukers) », Universiteit Utrecht.

Trieste, Italie, août 2013 : Multiple zeta values and string amplitudes. Mathematics Seminar, International Centre for Theoretical Physics.

Bruxelles, Belgique, août 2013 : The multiple zeta sums of Euler - a link between number theory, geometry and mathematical physics. Conférence plénière, 6th Brussels Summer School of Mathematics.

Bonn, Allemagne, septembre 2013 : Das quadratische Reziprozitätsgesetz von Gauß (2 exposés). “Schülerwoche” (programme d’initiation mathématique d’une semaine pour lycéens), Hausdorff Institute for Mathematics.

Toronto, Canada, septembre 2013 : Quasimodular forms and the holomorphic anomaly equation. Workshop on Modular forms around String Theory, The Fields Institute for Research in Mathematical Sciences.

Toronto, Canada, septembre 2013 : Some number theory coming from string amplitude calculations. Workshop on Modular forms around String Theory, The Fields Institute for Research in Mathematical Sciences.

Autres missions et activités

8Trento, Italie, octobre 2012 : Comitato Direttivo, Centro Internazionale per la Ricerca Matematica.

Frankfurt, Allemagne, octobre 2012 : Membre du jury, soutenance de thèse de Christian Weiss (« Twisted Teichmüller curves »), Universität Frankfurt.

Utrecht, Pays-Bas, octobre 2012 : Membre du search committee pour deux professeurs en mathématiques.

Dublin, Irlande, novembre 2012 : Réunion du Governing Board, School of Theoretical Physics, Dublin Institute of Advanced Studies.

Heidelberg, Allemagne, décembre 2012 : Membre du comité d’évaluation de la Forschergruppe (groupe de recherche) « Symmetrie, Geometrie und Arithmetik » de la Deutsche Forschungsgemeinschaft.

Osaka, Japon, mars 2013 : Visite scientifique, collaboration avec T. Ibukiyama et K. Nagatomo.

Cambridge, Angleterre, avril 2013 : Rothschild Distinguished Visiting Fellow, Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences.

Palo Alto, Californie, États-Unis, avril 2013 : Co-organisateur (avec A. Klemm et Y. Ruan) du workshop « Gromov-Witten invariants and Number Theory », American Institute of Mathematics.

Bonn, Allemagne, mai 2013 : Co-organisateur (avec W. Ballmann, G. Faltings et P. Teichner) de l’Arbeitstagung 2013

Bonn, Allemagne, mai 2013 : Beirat (comité scientifique) de l’Emmy Noether Mathematical Institute, Bar-Ilan, Israël.

Paris, juillet 2013 : Membre du jury, soutenance de thèse de mon élève doctorale Paloma Bengoechea (« Corps quadratiques et formes modulaires »), Université de Paris 6.

Oberwolfach, Allemagne, juillet 2013 : Co-organisateur (avec K. Belabas et B. Poonen) du Workshop « Explicit methods in Number Theory ».

Bonn, Allemagne, septembre 2013 : Membre du jury, soutenance de thèse de mon élève doctoral Karl-Heinz Fricke (« Analytische und p-adische Aspekte von klassischen und Mock-Modulformen »), Université de Bonn.

Bonn, Allemagne, septembre 2013 : Mathematical Salon, Hausdorff Institute for Mathematics. Sonate pour violoncelle et piano en ut mineur de Camille Saint-Saëns, Op. 32 (avec M. Kreck, violoncelle).

Publications et prépublications

9Zagier D., Higher Kronecker limit formulas for real quadratic fields (avec M. Vlasenko). J. reine angew. Math., 679 (2013), 23-64.

Zagier D., Some questions and observations around the mathematics of Seki Takakazu (avec S. Wimmer-Zagier). Dans Seki, Founder of Modern Mathematics in Japan - A Commemoration on His Tercentenary (E. Knobloch, H. Komatsu, Dun Liu, éds.), Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 39 (2013), 275-297.

Zagier D., Function theory related to the group PSL (2,R) (avec R. Bruggeman et J. Lewis). Dans From Fourier Analysis and Number Theory to Radon Transforms and Geometry. In memory of Leon Ehrenpreis (H.M. Farkas, R.C. Gunning, M.I. Knopp, B.A. Taylor, éds.), Springer, Developments in Mathematics, 28 (2013), 107-201.

Zagier D., A Family of Combinatorial Identities (appendice à “Densities of Short Uniform Random Walks” de J.M. Borwein, A. Straub, J. Wan et W. Zudilin). Canad. J. Math., 64 (2012), 961-990 (appendice : pp. 987-989).

Zagier D., Vanishing and non-vanishing theta values (avec H. Cohen). Annales mathématiques du Québec, 37 (2013), 45-61.

Zagier D., Asymptotics of the regular cube (appendice à “Asymptotics of classical spin networks” de S. Garoufalidis et R. van der Veen). Geometry and Topology, 17 (2013), 1-37 (appendice pp. 32-35).

Zagier D., Period functions for Maass forms and cohomology (avec R. Bruggeman et J. Lewis). Memoirs of the AMS, à paraître, 132 pages.

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Pour citer cet article

Référence papier

Cours et travaux du Collège de France. Annuaire 113e année, Collège de France, Paris, avril 2014, p. 107-116. ISBN 978-2-7226-0329-5

Référence électronique

Don Zagier, « Théorie des nombres », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 113 | 2014, mis en ligne le 15 août 2014, consulté le 25 mai 2018. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/2287

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Auteur

Don Zagier

Professeur au Collège de France

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Droits d’auteur

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