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108 | 2008
Annuaire du Collège de France 2007-2008
Résumé des cours et travaux 108e année
Conférenciers invités

Variétés de Hecke des groupes unitaires et représentations galoisiennes

Résumé des conférences du Collège de France (2007-2008)
Gaëtan Chenevier
p. 919-920

Texte intégral

1Soient E un corps de nombres, p un nombre premier, S un ensemble fini de premiers de E (contenant ceux divisant p), et GS le groupe de Galois d’une extension algébrique maximale de E non ramifiée hors de S. Nous nous intéressons à l’espace analytique p-adique Xd paramétrant les représentations (semi-simples) de GS de dimension d et à coefficients p-adiques. Un sous-ensemble dénombrable naturel Z de Xd est donné par les représentations dites « géométriques », qui apparaissent (à torsion près) dans la cohomologie étale des variétés projectives lisses sur E, et la question s’est posée de comprendre ce lieu. En 1995, Gouvêa-Mazur et Coleman ont démontré que pour E = , l’ensemble Z est Zariski-dense dans certaines composantes connexes de X2 (qui sont des boules ouvertes de dimension 3). L’objectif du cours est d’étudier le cas de la dimension supérieure, notamment la contribution de la partie Zu de Z provenant des variétés de Shimura associées aux groupes unitaires sur . Nous supposons pour cela que E est un corps quadratique imaginaire (dans lequel p est décomposé) et que toutes les représentations en jeu satisfont de plus une condition d’auto-dualité. Le théorème principal est alors que Zu est Zariski-dense dans certaines composantes de X3 (qui sont des boules ouvertes de dimension 6). Nous développons de plus un ensemble de résultats permettant de « minorer » l’adhérence de Zariski de Zu en toutes les dimensions d, et nous étudions un analogue de ces questions pour le groupe de Galois absolu de p.

2Le cours s’est composé de quatre séances de deux heures chacune, dont nous décrivons maintenant brièvement le contenu.

3D’après les travaux de nombreux auteurs, aux points de Zu sont associées des représentations automorphes pour divers groupes unitaires à d variables attachés à E/ ; la première partie du cours a consisté en une analyse des congruences modulo une puissance de p entre celles-ci. Nous travaillons avec des groupes unitaires U dont les points réels sont compacts, et l’objectif est d’étendre à ces derniers les résultats sur les familles p-adiques de formes modulaires obtenus par Hida, Coleman et Coleman-Mazur dans le cadre du groupe GL2 sur . Pour un tel groupe U, nous définissons ce qu’est une « représentation automorphe p-adique de pente finie » et nous démontrons que l’ensemble de ces dernières forme un espace analytique p-adique naturel : la « variété de Hecke » de U. Cet espace, disons noté Yd(), est d’équi-dimension d. Il peut être vu comme une interpolation p-adique d’une partie du spectre automorphe (discret) de U. En effet, à chaque paire (ΠR) formée d’une représentation automorphe Π de U telle que Πp est non ramifiée, et d’un « raffinement » R de Πp (essentiellement, un ordre total sur les valeurs propres de la classe de Langlands de Πp), est associé un point dit « classique » de Yd() ; les points classiques sont Zariski-denses dans Yd().

 3 ou sous certaines hypothèses locales), nous obtenons par interpolation un morphisme Yd( Xd, qui se trouve être quasi-fini. Il envoie les points classiques de Yd() dans Zu, mais son image, disons notée Fd, est assez complexe. En effet, l’espace Xd est de dimension en général alors que Yd() est de dimension d ; de plus, en chaque point x de Zu qui est l’image d’un point classique de Yd() passe en général ! branches de Fd, correspondant aux différents choix de raffinements associés aux antécédents de x dans Yd(). Il en résulte que Fd admet une structure de type fractal. L’objet analogue dans le cadre de GL2 avait été mis en évidence par Gouvêa et Mazur, qui lui ont donné le nom de « fougère infinie » (que l’on reprendra pour Fd) pour en illustrer cet aspect.

Fd. L’objectif est de comprendre les positions relatives des différentes branches de la fougère Fd au voisinage d’un point x de Zu comme plus haut. Le résultat principal est que sous une condition purement locale en p de « généricité » sur x que nous définissons, la somme des espaces tangents des différentes branches de Fd en x est de dimension au moins ; nous en déduisons les résultats annoncés au premier paragraphe. Pour démontrer cet énoncé, nous étudions tout d’abord la restriction au groupe de Galois absolu de p de la famille p-adique naturelle de représentations de GS portée par Yd(). Ses propriétés s’interprêtent de manière naturelle à l’aide de la théorie des (φΓ)-modules et de la notion de représentations « triangulines » (Colmez), qui permettent notamment de comprendre le pendant galoisien des « raffinements » intervenus plus haut. En dimension 2, ces résultats sont dus à Kisin et Colmez ; les généralisations nécessaires à la dimension supérieure présentées dans le cours sont un travail en commun avec Joël Bellaïche. Ceci étant fait, nous nous ramenons à démontrer un énoncé purement local, concernant la théorie des représentations cristallines de Fontaine : « Toute déformation à l’ordre un d’une représentation cristalline générique est combinaison linéaire de déformations triangulines ».

4À la fin du cours, nous avons illustré nos résultats par un exemple explicite de composante de X3 attachée au carré symétrique de la courbe elliptique X0(19).

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Pour citer cet article

Référence papier

Cours et travaux du Collège de France. Annuaire 108e année, Collège de France, Paris, décembre 2008, p. 907-909. ISBN 978-2-7226-0082-9

Référence électronique

Gaëtan Chenevier, « Variétés de Hecke des groupes unitaires et représentations galoisiennes », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 108 | 2008, mis en ligne le 24 juin 2010, consulté le 26 avril 2018. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/286

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Auteur

Gaëtan Chenevier

Chargé de recherches au CNRS

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Droits d’auteur

Collège de France

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