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Conférenciers invités

Variétés de Hecke des groupes unitaires et représentations galoisiennes

Résumé des conférences du Collège de France (2007-2008)
Gaëtan Chenevier
p. 919-920

Texte intégral

1Soient E un corps de nombres, p un nombre premier, S un ensemble fini de premiers de E (contenant ceux divisant p), et GS le groupe de Galois d’une extension algébrique maximale de E non ramifiée hors de S. Nous nous intéressons à l’espace analytique p-adique Xd paramétrant les représentations (semi-simples) de GS de dimension d et à coefficients p-adiques. Un sous-ensemble dénombrable naturel Z de Xd est donné par les représentations dites « géométriques », qui apparaissent (à torsion près) dans la cohomologie étale des variétés projectives lisses sur E, et la question s’est posée de comprendre ce lieu. En 1995, Gouvêa-Mazur et Coleman ont démontré que pour E = , l’ensemble Z est Zariski-dense dans certaines composantes connexes de X2 (qui sont des boules ouvertes de dimension 3). L’objectif du cours est d’étudier le cas de la dimension supérieure, notamment la contribution de la partie Zu de Z provenant des variétés de Shimura associées aux groupes unitaires sur . Nous supposons pour cela que E est un corps quadratique imaginaire (dans lequel p est décomposé) et que toutes les représentations en jeu satisfont de plus une condition d’auto-dualité. Le théorème principal est alors que Zu est Zariski-dense dans certaines composantes de X3 (qui sont des boules ouvertes de dimension 6). Nous développons de plus un ensemble de résultats permettant de « minorer » l’adhérence de Zariski de Zu en toutes les dimensions d, et nous étudions un analogue de ces questions pour le groupe de Galois absolu de p.

2Le cours s’est composé de quatre séances de deux heures chacune, dont nous décrivons maintenant brièvement le contenu.

3D’après les travaux de nombreux auteurs, aux points de Zu sont associées des représentations automorphes pour divers groupes unitaires à d variables attachés à E/ ; la première partie du cours a consisté en une analyse des congruences modulo une puissance de p entre celles-ci. Nous travaillons avec des groupes unitaires U dont les points réels sont compacts, et l’objectif est d’étendre à ces derniers les résultats sur les familles p-adiques de formes modulaires obtenus par Hida, Coleman et Coleman-Mazur dans le cadre du groupe GL2 sur . Pour un tel groupe U, nous définissons ce qu’est une « représentation automorphe p-adique de pente finie » et nous démontrons que l’ensemble de ces dernières forme un espace analytique p-adique naturel : la « variété de Hecke » de U. Cet espace, disons noté Yd(), est d’équi-dimension d. Il peut être vu comme une interpolation p-adique d’une partie du spectre automorphe (discret) de U. En effet, à chaque paire (ΠR) formée d’une représentation automorphe Π de U telle que Πp est non ramifiée, et d’un « raffinement » R de Πp (essentiellement, un ordre total sur les valeurs propres de la classe de Langlands de Πp), est associé un point dit « classique » de Yd() ; les points classiques sont Zariski-denses dans Yd().

YdXdYdZuFdXdYddxZuYdFdxYdFd2FdFdFdxZupxFdxppSYdφΓ

4À la fin du cours, nous avons illustré nos résultats par un exemple explicite de composante de X3 attachée au carré symétrique de la courbe elliptique X0(19).

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Pour citer cet article

Référence papier

Gaëtan Chenevier, « Variétés de Hecke des groupes unitaires et représentations galoisiennes »L’annuaire du Collège de France, 108 | 2008, 919-920.

Référence électronique

Gaëtan Chenevier, « Variétés de Hecke des groupes unitaires et représentations galoisiennes »L’annuaire du Collège de France [En ligne], 108 | 2008, mis en ligne le 24 juin 2010, consulté le 13 décembre 2024. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/286 ; DOI : https://doi.org/10.4000/annuaire-cdf.286

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Auteur

Gaëtan Chenevier

Chargé de recherches au CNRS

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Droits d’auteur

Le texte et les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés), sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.

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