1Soient E un corps de nombres, p un nombre premier, S un ensemble fini de premiers de E (contenant ceux divisant p), et G_S le groupe de Galois d’une extension algébrique maximale de E non ramifiée hors de S. Nous nous intéressons à l’espace analytique p-adique X_d paramétrant les représentations (semi-simples) de G_S de dimension d et à coefficients p-adiques. Un sous-ensemble dénombrable naturel Z de X_d est donné par les représentations dites « géométriques », qui apparaissent (à torsion près) dans la cohomologie étale des variétés projectives lisses sur E, et la question s’est posée de comprendre ce lieu. En 1995, Gouvêa-Mazur et Coleman ont démontré que pour E = ℚ, l’ensemble Z est Zariski-dense dans certaines composantes connexes de X2 (qui sont des boules ouvertes de dimension 3). L’objectif du cours est d’étudier le cas de la dimension supérieure, notamment la contribution de la partie Zu de Z provenant des variétés de Shimura associées aux groupes unitaires sur ℚ. Nous supposons pour cela que E est un corps quadratique imaginaire (dans lequel p est décomposé) et que toutes les représentations en jeu satisfont de plus une condition d’auto-dualité. Le théorème principal est alors que Z_u est Zariski-dense dans certaines composantes de X₃ (qui sont des boules ouvertes de dimension 6). Nous développons de plus un ensemble de résultats permettant de « minorer » l’adhérence de Zariski de Zu en toutes les dimensions d, et nous étudions un analogue de ces questions pour le groupe de Galois absolu de ℚ_p.

2Le cours s’est composé de quatre séances de deux heures chacune, dont nous décrivons maintenant brièvement le contenu.

3D’après les travaux de nombreux auteurs, aux points de Z_u sont associées des représentations automorphes pour divers groupes unitaires à d variables attachés à E/ℚ ; la première partie du cours a consisté en une analyse des congruences modulo une puissance de p entre celles-ci. Nous travaillons avec des groupes unitaires U dont les points réels sont compacts, et l’objectif est d’étendre à ces derniers les résultats sur les familles p-adiques de formes modulaires obtenus par Hida, Coleman et Coleman-Mazur dans le cadre du groupe GL₂ sur ℚ. Pour un tel groupe U, nous définissons ce qu’est une « représentation automorphe p-adique de pente finie » et nous démontrons que l’ensemble de ces dernières forme un espace analytique p-adique naturel : la « variété de Hecke » de U. Cet espace, disons noté Y_d(U ), est d’équi-dimension d. Il peut être vu comme une interpolation p-adique d’une partie du spectre automorphe (discret) de U. En effet, à chaque paire (Π, R) formée d’une représentation automorphe Π de U telle que Π_p est non ramifiée, et d’un « raffinement » R de Π_p (essentiellement, un ordre total sur les valeurs propres de la classe de Langlands de Π_p), est associé un point dit « classique » de Y_d(U ) ; les points classiques sont Zariski-denses dans Y_d(U ).

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4À la fin du cours, nous avons illustré nos résultats par un exemple explicite de composante de X₃ attachée au carré symétrique de la courbe elliptique X₀(19).