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112 | 2013
Annuaire du Collège de France 2011-2012
Résumé des cours et travaux 112e année
I. Sciences mathématiques, physiques et naturelles

Théorie des nombres

Don Zagier
p. 117-126

Notes de la rédaction

Pour des raisons techniques, la présente version électronique de ce texte ne reprend pas l’intégralité du résumé édité dans l’annuaire. Le fac-similé du texte intégral est disponible en téléchargement (PDF). Les coupes sont signalées dans le corps du texte.

Texte intégral

Cours : Valeurs zêtas multiples (Paris, novembre 2011)

1[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Les relations entre les valeurs zêta multiples

[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Intégrale de Drinfel’d et relations de mélange

[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Les résultats de Francis Brown et les nombres

[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Les valeurs zêta multiples modulo p

[NDLR : Voir développement dans le résumé complet ci-joint en téléchargement.]

Cours : Mock Modular Forms and Mock Jacobi Forms [Pohan, Corée, avril 2012]

2Ce cours de 10 heures avait comme but de donner un exposé de la théorie relativement nouvelle des « fausses formes modulaires » (mock modular forms) et de leurs applications en mathématiques et physique. Cette classe de fonctions a été introduite par Zwegers en 2002 pour expliquer les propriétés des « fausses séries thêta » (mock theta functions) qui avaient été découvertes par Ramanujan en 1920 mais dont on n’avait jamais pu trouver une définition mathématique rigoureuse. Elle a déjà été traitée plus brièvement dans les cours de 2004-2005 et 2005-2006, mais la théorie a beaucoup avancé depuis cette date et a trouvé de nombreuses applications, la plus sensationnelle étant la découverte par Eguchi, Ooguri et Tachikawa en 2010 que les coefficients de certaines fausses formes modulaires sont des dimensions de représentations du groupe fini sporadique de Mathieu M24, exactement analogue à la célèbre théorie « moonshine » qui a relié les coefficients de certaines formes modulaires classiques aux représentations du groupe fini « monstre ». Le thème central du cours en Corée était le lien entre les fausses formes modulaires et les formes de Jacobi, le résultat clé (basé sur des résultats antérieurs de Zwegers, mais beaucoup plus précis) étant une décomposition canonique de certaines formes de Jacobi méromorphes en deux parties, dont l’une est complètement déterminée par les pôles et l’autre est une combinaison de séries thêta et de fausses formes modulaires. Ce résultat s’applique en particulier aux coefficients de la fonction de partition pour les états ¼-BPS dyoniques dans la théorie des cordes pour les trous noirs (pour la compactification de type II sur le produit d’une surface K3 et d’une courbe elliptique). L’étude approfondie de ces coefficients a mené à l’introduction de deux familles de fausses formes modulaires ayant des propriétés mathématiques particulièrement belles et contenant la plupart des exemples spéciaux étudiés auparavant. On n’en donne pas une description détaillée ici, renvoyant pour cela au long article de A. Dabholkar, S. Murthy et l’auteur paru cette année et cité dans la bibliographie ci-dessous, puisque une continuation de ces même thèmes, qui ira bien plus loin du côté théorique, fera l’objet de l’enseignement de l’année prochaine et sera présentée dans le résumé de ce cours-là.

Conférences invitées

3Moscou, Russie, octobre 2011 : From number theory to black holes, Musée polytechnique, Conférence publique dans le cadre de l’Université Ouverte de Skolkovo.

Moscou, Russie, octobre 2011 : Arithmetic properties of quantum invariants of manifolds, Institut de Mathématiques de l’Académie des Sciences Russe, A.N. Tyurin Annual Memorial Conference.

Moscou, Russie, octobre 2011 : The arithmetic of multiple zeta values, École Supérieure d’Économie, séminaire « Homological and homotopical methods in geometry ».

Moscou, Russie, octobre 2011 : Teichmüller curves on Hilbert modular surfaces, Université Indépendante de Moscou, Conference on Global Fields.

Moscou, Russie, octobre 2011 : Integrality, Modularity, and Differential Equations, Université Indépendante de Moscou, Globus seminar.

Munich, Allemagne, novembre 2011 : The arithmetic of Euler sums, Universität München, Number Theory Symposium.

Lille, décembre 2011 : Autour du groupe de Bloch, Colloque, Université de Lille 1.

Bonn, Allemagne, janvier 2012 : The Eichler-Selberg trace formula (2 conférences). Cours pour les étudiants de l’école doctorale IMPRS, Max-Planck-Institut für Mathematik.

Genève, Suisse, janvier 2012 : Higher spherical polynomials, Séminaire sur les systèmes intégrables, Université de Genève.

Genève, Suisse, janvier 2012 : Arithmetic aspects of quantum invariants, Séminaire de Théorie des Noeuds, Université de Genève.

Paris, janvier 2012 : Hyperbolique, Fondation Cartier, conférence publique dans le cadre des « Nuits de l’Incertitude » (avec E. Ghys).

Utrecht, Pays-Bas, février 2012 : Multiple zeta numbers, Monna Lecture (Conférence annuelle), Universiteit Utrecht.

Cologne, Allemagne, février 2012 : Special mock modular forms, Symposium « Modular Forms, Mock Theta Functions, and Applications », Universität Köln.

Lausanne, Suisse, mars 2012 : Les valeurs zêta multiples et leurs applications, Colloque de Mathématiques, École Polytechnique Fédérale de Lausanne.

Lausanne, Suisse, mars 2012 : Teichmüller curves and theta series, Séminaire, École Polytechnique Fédérale de Lausanne.

Pohan, Corée, avril 2012 : Diophantine equations: ancient questions and modern answers, Awon Lecture (conférence annuelle pour étudiants en mathématiques), Pohan University of Science and Technology.

Pohan, Corée, avril 2012 : Euler’s multiple zeta sums: from number theory to Feynman diagrams, POSTECH and IES/Physics Joint Colloquium, Pohan University of Science and Technology.

Séoul, Corée, avril 2012 : Teichmüller curves on Hilbert modular surfaces, Colloque, Seoul National University.

Séoul, Corée, avril 2012 : The dilogarithm in number theory and geometry, Symposium on Geometry and Topology, Institute for Basic Science.

Séoul, Corée, avril 2012 : Quantum invariants of knots and number theory,  Conférence plénière, Spring meeting of the Korean Mathematical Society.

Fukuoka, Japon, mai 2012 : Modular properties of quantum invariants, Workshop on Automorphic Forms, Université de Kyushu.

Fukuoka, Japon, mai 2012 : Multiple zeta values, Feynman diagrams, mixed Tate motives, and mod p multiple zeta values, Algebra Seminar, Université de Kyushu.

Bures-sur-Yvette, juin 2012 : Topologie quantique : entre les formes modulaires et la K-théorie algébrique, Dialogues autour de l’algèbre, la géométrie et les fonctions multizêtas (Colloque à l’occasion des 80 ans de Pierre Cartier), IHES.

Trieste, Italie, juin 2012 : Modular forms, the Bloch group, and Nahm’s conjecture Colloque, International Center for Theoretical Physics.

Münster, Allemagne, juillet 2012 : Between number theory, topology, and quantum field theory, von Neumann Lecture, Université de Münster.

Bonn, Allemagne, juillet 2012 : Mock Modularity and Applications, String-Math, Universität Bonn.

Düsseldorf, Allemagne, juillet 2012 : Nachruf Friedrich Hirzebruch Nordrhein-Westfälische Akademie der Wissenschaften und der Künste.

Aix-la-Chapelle, Allemagne, août 2012 : Theta Blocks (3 conférences), Building Bridges: First EU-US conference on Automorphic Forms and related topics, Universität Aachen.

Lyon, août 2012 : The magic of generating functions (2 conférences), International Summer School of Mathematics for Young Students, ENS Lyon.

Bad Honnef, Allemagne, août 2012 : Mock modular forms and black holes (2 conférences), Conference on Algebraic-Geometric Methods in Fundamental Physics, Physikzentrum Bad Honnef.

Potsdam, Allemagne, septembre 2012 : The mathematics of mock modular forms, Workshop on Black Holes in Supergravity and M/Superstring Theory, MPI für Gravitationsphysik (Einstein-Institut).

Potsdam, Allemagne, septembre 2012 : Arithmetical properties of quantum invariants of 3-manifolds, Colloque, MPI für Gravitationsphysik (Einstein-Institut).

Saarbrücken, Allemagne, septembre 2012 : Zu Person und Werk von Friedrich Hirzebruch, Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.

Autres missions et activités

4Bonn, Allemagne, octobre 2011 : Membre du jury, soutenance de thèse de mon élève doctoral Khosro Monsef Shokri (« The Zinger deformation of differential equations with maximal unipotent monodromy »), Université de Bonn.

Trento, Italie, octobre 2011 : Comitato Direttivo, Centro Internazionale per la Ricerca Matematica.

Oberwolfach, Allemagne, octobre 2011 : Wissenschaftsrat (Comité scientifique) du Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.

Paris, octobre 2011-mars 2012 : Participation dans l’exhibition « Mathématiques : un dépaysement soudain » de la Fondation Cartier pour l’art contemporain.

Moscou, octobre 2011 : Président, Comité de consultation de l’Université Ouverte et la Fondation Skolkovo.

Paris, janvier 2012 : Participation à la table ronde du colloque à l’UNESCO « Mathématiques pour tous ? ».

Seoul, Corée, avril 2012 : Membre, Comité de Sélection pour le directeur d’un institut IBS en mathématiques.

Bonn, Allemagne, juin 2012 : Membre du jury, soutenance de thèse de mon élève doctoral Martin Raum (« Dual Weights in the Theory of Harmonic Siegel Modular Forms »), Université de Bonn.

Dublin, Irlande, juin 2012 : Advisory Board, Dublin Institute of Advanced Science.

Trieste, Italie, juin 2012 : Membre, Workshop on Hypergeometric Motives, American Institute of Mathematics and International Center for Theoretical Physics.

Bonn, Allemagne, juillet 2012 : Co-organisateur de la conférence internationale String-Math 2012.

Oberwolfach, Allemagne, juillet 2012 : Co-organisateur (avec P. Gunnells, W. Neumann, et A. Sikora) du Workshop « Low-Dimensional Topology and Number Theory », Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach.

Publications et prépublications

5Evaluation of the multiple zeta values ζ (2,…,2,3,2,…,2), Annals of Math., 175 (2012), p. 977-1000.

(avec A. Dabholkar et S. Murthy) Quantum Black Holes, Wall Crossing, and Mock Modular Forms, Prépublication, 150 pages. arXiv:1208.4074.

(avec A. Malter et D. Schleicher) New Looks at Old Number Theory, Amer. Math. Monthly, 120 (2013), 243-264.

(avec L. Weng) Higher rank zeta functions and Riemann hypothesis for elliptic curves, Prépublication, 18 pages.

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Pour citer cet article

Référence papier

Cours et travaux du Collège de France. Annuaire 112e année, Collège de France, Paris, avril 2013, p. 117-126. ISBN 978-2-7226-0198-7

Référence électronique

Don Zagier, « Théorie des nombres », L’annuaire du Collège de France [En ligne], 112 | 2013, mis en ligne le 22 novembre 2013, consulté le 26 mai 2018. URL : http://journals.openedition.org/annuaire-cdf/696

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Auteur

Don Zagier

Professeur au Collège de France

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Droits d’auteur

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