Gérard Jorland, directeur d’études

Les théorèmes de Gödel

1Ce séminaire avait pour objet de comprendre comment, contrairement à Kant pour qui les limites de notre faculté de connaître sont externes et proviennent du fait qu’elle ne peut s’exercer que sur les phénomènes, sur les objets qui affectent notre sensibilité, ces limites sont en réalité internes et proviennent du caractère transcendantal de notre faculté de connaître. Ce ne sont plus des paralogismes ni des antinomies, mais des Illusions et des paradoxes.

2Nous avons vu qu’il y a trois grands types de paradoxes : le menteur, les paradoxes de Zénon et le dominateur. Le dominateur concerne la logique modale (nécessité et contingence), les paradoxes de Zénon concernent les concepts fondamentaux des mathématiques (l’Infini et le continu), alors que le menteur concerne la logique formelle. Il s’agit, dans ce dernier cas, des paradoxes que peut entraîner l’autoréférentialité et, par conséquent, mais sur un plan ontologique cette fois, l’autoimplication qu’illustre la fable du Baron de Münchausen. Les théorèmes de Godei ont la même structure que le menteur.

3Nous avons suivi pas à pas la démonstration des théorèmes de Godei, depuis leur point de départ, la logique de Russell, jusqu’à la théorie des fonctions récursives que Godei a contribué à construire précisément pour démontrer ses théorèmes en arithmétisant la logique.

4Richard Tieszen, professeur à l’Université de San José, a montré au cours de trois séances pourquoi et comment Godei s’est tourné de plus en plus résolument vers la philosophie phénoménologique de Husserl. Si ses théorèmes établissent bien que toute vérité n’est pas démontrable, alors les mathématiques ne sont pas réductibles à la logique formelle comme l’espéraient Hilbert et les formalistes, elles pourraient constituer une ontologie formelle équivalant au monde platonicien des essences qu’il nous appartient de découvrir, mais que nous ne pouvons pas construire à partir d’un système d’axiomes arbitraires.