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2L’histoire des machines à calculer s’enorgueillit d’avoir deux grands philosophes à ses origines.

grâce à ma Machine (…) les calculs pouvaient être menés à bonne fin par un petit enfant.

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6Le texte de Leibniz est avant tout un mode d’emploi qui met en évidence l’objectif qu’il s’est fixé : la multiplication devient un « jeu d’enfant », pour reprendre son expression.

7Le texte débute par les références conventionnelles aux savants que Leibniz fréquente et avec qui il a débattu de son projet. Nous connaissons encore Antoine Arnaud, logicien de Port Royal (1612-1694) – surnommé le grand Arnaud, théologien janséniste, il est en particulier l’auteur de la Grammaire Générale et raisonnée –, le physicien Christian Huygens (1629-1695), le mathématicien et physicien Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651-1708) qui a en particulier redécouvert en 1708 la façon de fabriquer la porcelaine chinoise, mais la renommée de Melchisédech Thévenot (1620-1692), voyageur et garde de la bibliothèque du roi, ne semble pas nous être parvenue.

8Leibniz présente alors la principale innovation de sa machine dès le début du texte : elle est composée d’une partie fixe et d’une partie mobile. L’utilité de ce dispositif n’apparaîtra dans le texte qu’au travers de l’exemple qu’il donne : la multiplication de 1709, année de la rédaction de l’article, par 365.

9Ce dispositif a une double fonction. D’abord, il permet de dissocier la pose du multiplicande (ici 1709) sur la partie mobile, de son report sur la partie fixe recevant les résultats intermédiaires au fur et à mesure des calculs. Sur la Pascaline, tout nombre posé l’est directement en tant que résultat partiel.

10Ensuite, ce dispositif permet de décaler la partie mobile vers la gauche en fonction de la puissance de dix du multiplicateur que l’on considère. Pour illustrer ce dispositif, nous allons utiliser une machine qui fonctionne de façon identique à celle de Leibniz (machine TIM de 1907, photos Yves Serra) ; ainsi pour multiplier 1709 par 365 on va d’abord poser 1709 :

11Et multiplier par 5 en tournant 5 fois la manivelle, les unités du multiplicande sont face aux unités du résultat, position qui est indiquée par la flèche blanche, le premier résultat partiel apparaît, 8545 (soit 5 fois 1709) :

12Nous allons maintenant déplacer la partie mobile d’un cran vers la gauche (voir à droite de la photo ci-dessous le décalage vers la gauche qui s’est opéré), les unités du multiplicande se trouvent ainsi en face des dizaines du résultat ; puis l’on multiplie par 6 (en tournant 6 fois la manivelle), le nouveau résultat partiel 111085 = 1709 x 65 apparaît en haut :

13Enfin, nous répétons l’opération en déplaçant à nouveau la partie mobile d’un cran vers la gauche et multiplions par 3 alors que les unités du multiplicande sont faces aux centaines du résultat final, 623785 :

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14Cette invention de Leibniz, principe de partie mobile et partie fixe, sera reprise dans pratiquement toutes les machines à calculer mécaniques permettant la multiplication comme l’arithmomètre de Thomas de Colmar qui a été la première machine à construction et diffusion industrielle et son innombrable descendance, dont la TIM photographiée ci-dessus.

15La seconde invention de Leibniz réside dans le report du multiplicande, ici 1709, de la partie mobile vers la partie fixe, par un tour de manivelle ; il faudra donc 5 tours pour la multiplication par les 5 unités de 365. Le résultat partiel qui apparaît sur la partie fixe est alors 8545.

16Leibniz ne détaille pas cette seconde invention dans le texte – qui se veut un mode d’emploi et non une description de la structure de la machine. Présentons-la néanmoins, il s’agit du fameux « cylindre cannelé de Leibniz à dents progressives » :

17Chaque chiffre du multiplicande est inscrit à l’aide du curseur A qui déplacé de gauche à droite sera en face de 0 dents, puis 1, puis 2 jusqu’à 9. Un tel cylindre est donc utilisé pour chacune des puissances de 10 du multiplicande. Poser 1709 revient à faire glisser la molette inférieure du premier cylindre, celui des unités, en face de 9 dents :

puis le second, celui des dizaines, en face de 0 dents, celui des centaines en face de 7 dents et celui des milliers en face de 1 dent. La rotation de la manivelle fera ensuite tourner les 4 cylindres et ajoutera au résultat partiel de la partie fixe la contribution correspondant à chaque position. Le multiplicateur s’inscrit comme le nombre de tours de manivelles donnés.

Additionner ou Multiplier ?

Lors d’une addition, chaque opérande n’est utilisé qu’une fois. La façon la plus simple de réaliser une additionneuse mécanique est que le mouvement même qui saisit l’opérande ajoute la valeur dans le résultat. C’est le fonctionnement de la Pascaline dont les engrenages alimentent le résultat dès que l’utilisateur pose le chiffre à ajouter, et c’est bien sûr le fonctionnement du boulier ou, plus récemment, des innombrables additionneuses conçues à la suite de l’additionneuse à crosse de Kummer (1844).

Ces machines ne sont pas adaptées à la multiplication. La seule façon de multiplier, par exemple, 1709 par 5 serait d’ajouter 5 fois 1709 en saisissant 5 fois de suite 1709.

Deux solutions seront trouvées à ce problème afin de créer des machines à multiplier dignes de ce nom. La première, et la plus fréquente, est celle que propose Leibniz en séparant d’une part le fait de poser 1709 – nous dirions aujourd’hui le mettre en mémoire –, et d’autre part de l’utiliser 5 fois de suite en tournant simplement une manivelle : c’est la multiplication par additions successives automatisées. Une deuxième solution, qui a été peu exploitée, est dite « de multiplication directe » : elle s’appuie sur la matérialisation des tables de multiplication et l’exemple le plus célèbre en est la Millionnaire (brevetée en 1895).

18Plusieurs dispositifs viendront ultérieurement concurrencer le cylindre de Leibniz, mais cette innovation de Leibniz sera utilisée jusqu’au dernier jour des machines à calculer mécaniques, au milieu des années 1970, et leur remplacement par l’électronique.

La « Curta » - 1950 à 1970

Avant l’apparition du calcul électronique, des machines basées sur le principe de Liebniz (parties fixe et mobile, manivelle) ont été utilisées, dans le domaine des sciences de l’ingénieur notamment. Ainsi, la « Curta » (en abrégé du nom de son inventeur pendant la Seconde Guerre mondiale, Curt Herzstark) fonctionnait ainsi, et son encombrement réduit – la taille d’un moulin à poivre – a assuré son succès. Elle a été fabriquée jusque dans les années 1970.

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19Le texte se poursuit en véritable algorithme élaborant chaque étape de la démarche et montrant les résultats partiels qui doivent apparaître sur la partie fixe au fur et à mesure de l’avancée du calcul :

(…) le produit de 1709 par 5, soit 8545, apparaîtra à l’extrémité droite de la partie fixe dans les ouvertures. Etant donné que le multiplicateur comporte plusieurs chiffres (3,6,5) et que le chiffre suivant 5 est le chiffre 6 (…)

(…) non seulement le multiplicande 1709 sera multiplié par 6 mais encore le produit sera ajouté au premier résultat et le nombre 111085 apparaîtra dans les ouvertures situées à droite de la partie fixe.

20Leibniz insiste sur le grand avantage de sa méthode : l’effort sera identique quelles que soient les valeurs à multiplier, et l’exactitude du résultat est certaine. Une seule limite est à prendre en compte, c’est la valeur maximale de l’affichage sur la partie fixe. Nous dirions aujourd’hui le risque de débordement de la capacité de la mémoire !

(…) supposons le produit d’un multiplicande par un multiplicateur et que le résultat n’excède pas douze chiffres

21La présentation de la division n’est qu’effleurée, elle se fait selon le même principe que la multiplication mais en tournant la manivelle dans le sens inverse, ce qui conduit à enlever à chaque fois la valeur du diviseur, le quotient étant le nombre de tours de manivelles donnés et le reste, provisoire ou final, apparaît comme résultat intermédiaire sur la partie fixe.

22Un simple tour de manivelle dans un sens (addition) ou dans l’autre (soustraction) permet d’additionner ou soustraire ce qui est enregistré sur la partie mobile à ce qui figure sur la partie fixe.

23Ainsi, les quatre opérations sont bien mises à portée des enfants par la machine de Leibniz !

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