1Au début du Livre I des Éléments, Euclide définit l’angle en énonçant quatre conditions : pour former un angle, deux lignes doivent être inclinées mutuellement, se toucher en un point, être situées dans le même plan et enfin ne pas être placées « en ligne droite » - condition qui exclut le cas de l’angle aujourd’hui dit « plat ». Il définit ensuite une espèce d’angle, le rectiligne, puis l’angle droit et distingue enfin les angles aigus et obtus. Euclide privilégie donc les angles rectilignes, les seuls dont il fasse véritablement la théorie dans les Éléments. Deux de ces angles étant donnés, on pourra en toutes circonstances les mesurer, c’est-à-dire s’assurer que l’un est plus grand, plus petit ou égal à l’autre. Ces définitions suffisent à donner à l’angle, ou du moins à l’angle rectiligne, le statut d’une grandeur au sens euclidien. Mais d’autres espèces d’angles, les curvilignes et les mixtes, formés les uns par deux lignes courbes, les autres par une courbe et une droite, ne sont pas pour autant exclus du domaine de la géométrie. Et dans une proposition des Éléments apparaissent presqu’inopinément deux angles mixtes.

2Dans la proposition III, 16 en effet, Euclide démontre successivement que :

1. « une droite menée à angles droits avec le diamètre du cercle à partir d’une extrémité tombe à l’extérieur du cercle » ;

2. « dans le lieu compris entre le droite et la circonférence une autre droite ne sera pas intercalée » ;

3. « l’angle du demi-cercle est plus grand [que tout angle rectiligne aigu] » ;

4. « l’angle restant [est] plus petit, que tout angle rectiligne aigu ».

4En mettant en évidence la contradiction entre les propositions III, 16 et X, 1, Peletier a soulevé une difficulté majeure de la géométrie euclidienne. Sa solution est pourtant ambiguë. Il affirme que le « contact » n’est pas un angle et qu’il n’a aucune quantité, mais soutient aussi qu’il est de même genre que l’angle rectiligne. Et surtout, dans les démonstrations qu’il bâtit pour appuyer ces thèses, il l’utilise comme s’il s’agissait d’un angle véritable, en admettant que le « contact » ajouté à l’angle du demi-cercle donne un angle droit. En somme, Peletier a posé un problème dont Euclide ne donne pas la solution, mais lui-même ne l’a pas résolu. Son affirmation que la géométrie contient des contradictions semble scandaleuse à ses contemporains, et en introduisant un objet « sans quantité », il a créé un monstre géométrique.

1. Les six arguments du chapitre XIII

9Dans cet ensemble, ce chapitre XIII apparaît comme une digression. Sa forme même en atteste : au contraire de tous les autres chapitres de l’ouvrage, il ne contient aucune démonstration ; « pour ne pas entasser ici sur ce sujet un trop grand nombre de propositions géométriques », Viète donne seulement six arguments pour étayer l’idée que c n’est pas un angle. Son seul lien avec le reste de l’ouvrage tient à ce qu’il s’appuie implicitement sur les résultats concernant les angles mixtes du chapitre XII et dans le fait que l’angle corniculaire apparaît dans certaines quadratures des chapitres suivants.

10Mais auparavant, il rédige une brève introduction dont la première phrase montre qu’il aborde la question avec la volonté de ne pas entrer dans le débat agité par ses contemporains :

• 7 François Viète (1593), 22v. : « Caepit agitari quæstio à sagacibus quibusdam Geometris an diverticu (...)

Quelques géomètres à l’esprit subtil commencent à agiter cette question : le petit espace compris entre le cercle et une ligne droite ou circulaire, est-il oui ou non un angle ?7

11S’il souligne l’actualité de la question qu’il aborde, il ne mentionne aucun des protagonistes de la querelle en cours. Les seuls noms propres qu’il mentionnera sont ceux des Anciens : Euclide, Apollonius, Aristote ; aucun moderne, alors même que ce sont leurs opinions qui sont discutées.

12Le parti de Viète est clairement exprimé dans les phrases suivantes : pour lui, l’angle corniculaire n’est pas un angle, affirmation qu’il étaye par une analogie. Si l’on considère le cercle comme « une figure plane d’un nombre infini de côtés et d’un nombre infini d’angles », la tangente sera confondue avec l’un de ces côtés (et il n’y aura pas d’angle). L’idée d’une « confusion » au point de contact du cercle et de la tangente, confusion qui annulerait l’angle, est empruntée à Peletier, mais ce dernier n’affirmait pas si clairement l’analogie entre cercle et polygone. Ensuite, Viète prend acte du caractère composite de III, 16. C’est à juste titre, explique-t-il, qu’Euclide a écrit qu’aucune droite ne peut tomber entre la tangente et la circonférence. Mais le « porisme » selon lequel l’angle de contact est plus petit que tout aigu n’est pas exact si on admet qu’il n’y a pas d’angle formé entre la tangente et le cercle. Aussi Apollonius a-t-il eu raison d’appeler « espace » et non « angle » la rencontre entre tangente et cercle et de ne pas poser ce porisme. Aux yeux de Viète, les différentes assertions d’Euclide en III, 16 n’ont pas toutes la même valeur. Il ne va pas jusqu’à supposer, cependant, que cette proposition, ou certaines de ses parties, sont inauthentiques.

13Suit l’énumération des arguments.

• 8 Ibid. : « 1° Anguli ex ipsa Euclidis partitione recti aut obliqui. Obliqui vero aut sunt acuti vel (...)

1° D’après les définitions d’Euclide, des angles sont droits ou obliques ; les angles obliques sont aigus ou obtus. L’angle du demi-cercle n’étant ni aigu, ni obtus ne peut être que droit. Et celui que l’on considère comme reste de l’angle droit et « qui a la forme d’une corne » est habituellement appelé angle imaginaire ou « idéal ».8

• 11 Ibid. : « 2° Angulos circumferentia. Nulla circumferentia definit diverticulum keraoeidÓq. Divert (...)

2° L’arc de cercle détermine les angles ; aucun arc de cercle ne peut déterminer cet espace « qui a la forme d’une corne ». Cet espace n’est donc pas un angle.11

16Viète change de registre et développe un argument fondé sur les résultats acquis dans son chapitre XII : il est impossible d’assigner à l’angle une mesure semblable à celle de l’angle rectiligne (à savoir un arc de cercle). Cela suffit à le rejeter hors du domaine des angles. Si c a une existence, ce n’est donc pas celle de l’angle.

17Toutefois, cette affirmation ne tient que si c est le seul angle qu’on ne peut mesurer par un arc de cercle. Or, les angles du segment peuvent également être mesurés par un arc de cercle. C’est ce qu’a établi la proposition I du chapitre XII et ce que rappelle le troisième argument.

• 12 Ibid.: « 3° Secto dissimiliter circulo anguli sectionum dissimilium diffe- runt per circumferenti (...)

3° Le cercle ayant été partagé en deux sections dissemblables, les angles de ces sections dissemblables diffèrent de l’arc de ces sections. Et cette grandeur mesure la circonférence totale, l’arc qu’on lui enlève et celui qui reste. Donc étant proposées dans un cercle des sections dissemblables, la grandeur qui mesurera l’angle de la plus grande mesurera l’angle de la plus petite ; elle mesurera donc la différence entre l’angle le plus grand et l’angle le plus petit, différence qui est un arc, et comme les angles ne sont ni plus grands, ni plus petits que la moitié de l’arc qui avec sa base comprend les secteurs, on doit considérer ces angles comme égaux à la moitié de cet arc.12

18Dans la proposition I du chapitre XII, Viète procédait ainsi. Considérant que l’angle droit est mesuré par un quart de cercle, et que l’« amplitude » du demi-cercle est double de celle de l’angle droit, il déterminait d’abord (en s’appuyant implicitement sur la proposition III, 20 d’Euclide) que la mesure de l’angle du demi-cercle est un quart de cercle (c’est-à-dire qu’il est égal à un droit) avant d’étendre ce résultat à tous les angles du segment, c’est-à-dire d’établir l’égalité

Angle du segment =1/2 arc du segment.

20Le quatrième argument inaugure un nouveau changement de registre apparent, pour conduire finalement de la considération des angles du segment à celle de l’angle corniculaire :

• 14 Ibid.., 22v-23r : « 4° An circulus quænam figura plana est anomala ? An non Aristoteli prima figu (...)

4° Est-ce que le cercle serait une figure plane irrégulière ? N’est-elle pas la première et la plus parfaite des figures planes que leur similitude entraîne l’égalité des angles, et l’égalité des angles la similitude des figures ; c’est pour cela que dans des cercles inégaux, les angles des sections semblables sont égaux. Par conséquent si l’angle du demi-cercle dans le plus grand est le même que dans le plus petit, l’angle « qui a la forme d’une corne » n’est pas plus petit dans l’un que dans l’autre. Cet angle n’étant donc pas susceptible de décroissement n’est pas une grandeur, car une grandeur « infiniment petite » ne peut exister autrement que par la pensée.14

22Le cinquième argument poursuit la même idée. L’angle corniculaire n’est pas plus susceptible d’accroissement que de décroissement :

• 16 Ibid., 23r. : « 5° Anguli keratoeido†q siquidem is incrementum suspicit duplus est angulus qui fi (...)

5° Si l’angle « qui a la forme d’une corne » est susceptible d’accroissement, l’angle qui est au contact de deux cercles est double ; mais alors pourquoi ne pourrait-on pas en faire un qui serait triple, quadruple, multiple quelconque ?16

24Dans son dernier argument, Viète paraît encore s’appuyer sur Peletier, selon lequel l’angle de contact « n’ajoute rien » au demi-cercle, mais donne une justification plus élaborée :

• 18 Ibid. : « 6° Circulus circulum æqualem in lunari spatio potest secare ad angulum rectum an angulu (...)

6° Un cercle peut couper à angle droit un autre cercle en formant un espace lunaire ; est-ce que l’angle extérieur formé par les arcs concaves diffère d’un angle droit d’une quantité égale à l’angle de contingence de ces cercles ?18

25Si une lunule est formée par deux cercles se coupant « à angles droits », l’angle interne formé par ces deux cercles sera droit (et les angles corniculaires formés par chacun de cercles et leurs tangentes au point de contact ne lui ajouteront rien). La valeur de cet argument repose sur la possibilité de qualifier de « droit » un angle formé au contact de deux cercles, ce qui est le cas sur la sphère où l’équateur et le méridien sont considérés comme formant des angles droits. L’autorité d’Aristote est invoquée par Viète pour justifier l’analogie entre angles sur la sphère et angles dans le plan.

26Citons encore la conclusion où Viète rappelle les anciens paradoxes sur l’angle de contact :

• 19 Ibid. : « Obtinuit tamen Procli & aliorum interpretum sententia angulum keratoeide¡ angulum esse (...)

Cependant elle a prévalu cette opinion de Proclus et des autres commentateurs : que l’angle « qui a la forme d’une corne » est un angle pas plus petit que tout angle aigu donné ; que la courbure d’une courbe commence à son origine même ; que par conséquent on peut passer du plus grand au plus petit sans passer par l’égalité, lorsque laissant fixe la base d‘un triangle rectangle on fait pivoter l’hypoténuse jusqu’à ce qu’elle se confonde avec la base.19

27C’est dans le commentaire de Campanus à III, 16 qu’était présentée la démonstration que résume ici Viète. Elle se rattachait sans doute à une ancienne réfutation des quadratures de Bryson, aussi visées dans les passages que Proclus consacrait à l’angle corniculaire.

2. La postérité du passage de Viète sur l’angle de contact

29Le passage que nous venons d’examiner est original. Par son style, il s’écarte en tout des règles de l’éloquence « judiciaire » alors en usage dans les écrits polémiques, sans pour autant être dénué de tout artifice rhétorique ; par son argumentation il renouvelle la vision de cet objet géométrique qu’est l’angle de contact. Historiquement, il paraît à une date où le débat sur l’angle de contact connaît une pose ; et lorsqu’il reprend, vers le milieu du XVII^e siècle, l’opinion de Viète est souvent discutée, et quelquefois préférée à celle de Peletier, dont les ouvrages étaient rares ou peu lus (dès le début du XVII^e siècle, ses textes sur l’angle de contact ne sont connus qu’à travers les citations qu’en donne Clavius), alors que les travaux de Viète étaient de mieux en mieux connus et appréciés.

34L’exemple de Borelli témoigne du crédit qu’on portait aux travaux de Viète dans la seconde moitié du XVII^e siècle. Pour lui, son autorité valait mieux que celle de Peletier pour appuyer l’idée que c n’est pas un angle. D’autres que lui n’ont toutefois pas la même attitude. Wallis reprend les arguments issus de l’analogie entre polygone et cercle, mais s’appuie sur les écrits de Peletier et ne mentionne jamais Viète. Son adversaire Hobbes s’appuie sur l’idée de mesure des angles (mixtes aussi bien que rectilignes) par un arc de cercle, sans qu’il soit possible de déterminer si cette idée lui soit venue de la lecture de Viète.

3. Entre Viète et Peletier : de subtiles différences

35Viète suit de près la position de Peletier, mais il s’appuie sur des arguments originaux et évite certains des écueils sur lesquels achoppait le Manceau. Il n’emploie pas les notions communes pour opérer sur l’angle corniculaire et n’affirme jamais expressément que l’angle corniculaire est le complémentaire à un droit de l’angle du demi-cercle, même si cette thèse paraît être une prémisse implicite de certains de ses arguments. Enfin en le qualifiant d’« imaginaire », il confère à l’angle corniculaire une existence minimale. Le simple fait qu’il parvienne ainsi à le nommer, ce que ne savait pas faire Peletier, lui permet d’éviter l’objection qu’il serait le « rien » que redoutait Clavius. Pour Viète, une « grandeur infiniment petite » existe, même si ce n’est que « par la pensée » ; par cette simple affirmation, il modifie la représentation de cet objet retors qu’est l’angle corniculaire.

36Mais s’il conforte le point de vue de Peletier, Viète ne parvient pas à éclaircir le statut géométrique de l’angle corniculaire : la grandeur infiniment petite est un objet de pensée mais... n’est pas une grandeur. Ce n’est qu’à l’issue de la longue polémique entre Hobbes et Wallis que c regagnera le rang de grandeur, et avec Newton que les ambiguïtés sur son statut géométrique paraîtront éclaircies.