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Dossier

La transformation de Laplace élémentaire dans les formations mathématiques pour l’ingénieur et le technicien. Du calcul intégral à « l’algébrisation » des équations différentielles et la production de tables

Elementary Laplace Transform in Mathematics for Engineers and Technicians. From Integral Calculus to “Algebrization” of Differential Equations and Production of Tables
Norbert Verdier, Aurélien Gautreau et Pascal Raini
p. 187-221

Résumés

La transformation de Laplace est un outil d’analyse utilisé dans les métiers de l’ingénierie. Ce travail porte sur une première étude d’un corpus de textes — ouvrages d’enseignement et articles issus de revues techniques — produits par des acteurs, dont des anciens professionnels et des enseignants, pour des formations et enseignements techniques. Les applications mises en avant donnent des indices d’adaptation voire d’appropriation des savoirs pour certaines professions comme la production de tables originales et beaucoup plus complètes que celles très synthétiques des textes strictement mathématiques.

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Texte intégral

Nous remercions les deux rapporteurs d’une première version de ce texte. L’un des deux rapports a été particulièrement constructif. Dans la phase de révision du texte, nous remercions Jenny Boucard et Thomas Preveraud pour toutes leurs utiles suggestions.

  • 1 Nous ne définirons pas ces termes ici et renvoyons à une littérature spécialisée (Tisserand, Pautex (...)

1À partir des années 1940s, avec l’essor du génie électrique dans l’industrie, différents métiers (électroniciens, électrotechniciens ou automaticiens) font un usage intensif de la transformation de Laplace associant, si possible, à un signal \(f\) la fonction : \(F(p)= \displaystyle \int_{0}^{\infty}f(t)e^{-pt}\mathrm{d}t\). Ces professions étudient des asservissements, c’est-à-dire des relations entre deux grandeurs physiques dont l’une impose ses variations à l’autre sans être influencée par elle. La transformation de Laplace permet une mathématisation de ce type de relation et en dégagent des concepts essentiels comme ceux de « fonctions de transfert » ou encore de « spectre »1.

2Cette transformation s’est imposée, au cours du xxe siècle, comme un outil pour l’ingénierie et a été transmise par des publications variées et pour des formations et des enseignements à caractère technique. Par exemple, en France, la transformée de Laplace est au cœur des enseignements créés dans le cadre de la mise en place de nouvelles institutions d’enseignement technique dans les années 1960 : sections de technicien supérieur (STS), instituts universitaires de technologie (IUT), instituts nationaux de sciences appliquées (INSA) et dans de nombreuses formations d’ingénieurs par l’apprentissage. Cette transformation, dans les cursus strictement mathématiques, n’est considérée que comme un cas particulier de la transformation dite de Fourier.

3Dans cette étude exploratoire, la question de l’utilisation effective par les techniciens et ingénieurs de cette transformation fonctionnelle dans leurs pratiques professionnelles n’a néanmoins pas pu être traitée. En effet, des documents existent — produits par les bureaux d’études d’entreprises soucieuses de préserver leur patrimoine industriel — mais sont difficiles d’accès car disséminés ; beaucoup sont perdus car échappent aux circuits éditoriaux classiques. Nous proposons néanmoins en conclusion quelques pistes de mise en œuvre d’une telle enquête.

  • 2 La théorie des distributions, généralisation de la notion de fonctions mise en œuvre par Laurent Sc (...)
  • 3 Le seul examen des ouvrages contenant dans leur titre le mot « transformation de Laplace » dans le (...)

4Nous nous limitons de plus aux formes élémentaires de la transformation de Laplace, qui s’appliquent aux fonctions d’une seule variable réelle \(t\), et « causales », c’est-à-dire nulles pour \(t<0\). Par cette limitation, nous avons conscience qu’il resterait à étendre notre étude aux fonctions de plusieurs variables et surtout aux distributions mais celles-ci ont une place marginale dans les enseignements considérés ici2. Nous ne nous sommes pas intéressés, non plus, aux nombreux travaux de recherche3 bien qu’une partie d’entre eux propose des applications à l’électronique (ou à l’économie) : là aussi, ils n’ont vraisemblablement pas été mobilisés dans les formations qui nous intéressent dans cette étude.

  • 4 Sur la question générale de l'usage des tables par les ingénieurs, voir (Tournès, 2014).
  • 5 Nous pensons tout particulièrement aux fonctions de transfert. Souvent, elles prennent la forme d’u (...)

5La transformation de Laplace fait partie des méthodologies consistant à transposer dans les cas où cela est possible, un problème fonctionnel (comme une équation différentielle) en un problème algébrique simple. Cela permet ainsi d’éviter le plus souvent le recours au calcul intégral et à toutes ses technicités. Cette transformation est parfois qualifiée d’« algébrisation » comme le suggère notre épigraphe. On résout ce problème algébrique puis, en inversant (calcul de Laplace inverse), on obtient une solution du problème initial. Ce va-et-vient — cette « algébrisation » — entre équations différentielles et algébriques — et donc entre les domaines du calcul différentiel et intégral et de l’algèbre — est assuré par des tables de correspondances recensant une liste de résultats. En pratiquant ces tables, l’utilisateur les applique à des signaux supposés compatibles, c’est-à-dire vérifiant les conditions nécessaires pour assurer la convergence de l’intégrale de Laplace. Il ne se soucie alors pas ou peu des conditions de validité des équations et des fonctions manipulées. En ce sens, cette pratique relève d’une culture spécifique du praticien, qu’il soit technicien ou ingénieur, voire chercheur engagé dans des recherches appliquées4. Notons que tous les livres traitant de la transformation de Laplace contiennent des tables. Pour les ouvrages académiques, elles sont réduites, synthétiques et théoriques. Comme nous le verrons, les tables publiées dans les ouvrages d’enseignement ou de formation sont plus longues et détaillent de nombreux exemples. Les praticiens mobilisent sans cesse les mathématiques pour disposer de tables plus opérationnelles et complètes que celles des mathématiciens afin d’éviter tout recours à des techniques calculatoires pas toujours maîtrisées5.

  • 6 Pour le rôle joué par Doetsch dans la communauté mathématique de l’Allemagne nazie, nous renvoyons (...)

6Sur le plan historique, cette transformée a particulièrement été étudiée par Michael Deakin (1939-2014), dans un premier temps dans le cadre académique. En 1980, il publie une note dans The American Mathematical Monthly ; quelques mois plus tard, encouragé par l’historien des mathématiques Ivor Owen Grattan-Guiness (1941-2014) qu’il remercie dans son texte, Deakin publie deux articles (1981, 1982). Deakin s’intéresse à la conception et à la circulation de ce concept dans les cercles académiques depuis Leonhard Euler (1707-1783) en 1737 jusqu’à Gustav Doetsch6 (1892-1977), auteur d’un ouvrage qu’il considère comme l’ouvrage de référence (Doetsch, 1937).

  • 7 Au début des années 1850, Petzval s’est brouillé avec son ancien étudiant Simon Spitzer (1826-1887) (...)

7Le rôle du mathématicien éponyme Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) est reconnu en 1880 lorsque Henri Poincaré (1854-1912) adopte la terminologie « Transformation de Laplace », à la suite de George Boole (1815-1864). C’est le nom de Laplace qui est resté attaché à cette transformation même si des dizaines d’acteurs, comme le mathématicien autrichien Joseph Petzval (1807-1891)7, ont contribué à la développer et à l’appliquer. Dix ans plus tard, Deakin (1992) revient sur l’histoire de la transformée de Laplace, en s’intéressant cette fois à son enseignement dans les années 1950s. Il montre ainsi comment elle est entrée rapidement dans les cours pour les étudiants en ingénierie, peut-être plus vite qu’aucun autre concept théorique à peine achevé. Deakin s’appuie alors sur plus de 130 travaux, presque tous anglo-saxons, dont beaucoup d’articles académiques mais pas d’enseignement parus dans les années 1930-1940. Nous prolongerons cet aspect des recherches de Deakin selon deux perspectives.

8Dans une première partie, nous explorons sous quelles formes la transformée est enseignée pour les professionnels dans les années 1940 : en effet nombre d’ingénieurs ont alors dû se former pour pouvoir comprendre et appliquer cette notion dans un contexte professionnel où les technologies liées aux domaines du génie électrique (électronique, électrotechnique et automatisme) se sont considérablement développées. Pour ce faire, nous nous sommes focalisés sur la production d’une littérature à destination des ingénieurs et des techniciens en formation continue, comme cet ouvrage de John Conrad Jaeger (1907-1979), An Introduction to the Laplace Transformation (Jaeger, 1949), que ne cite pas Deakin alors qu’il cite plusieurs travaux académiques de cet auteur. Nous avons aussi mobilisé les revues techniques car elles informent les praticiens sur la littérature scientifique et technique qui leur est destinée.

  • 8 Cette collection fut impulsée à la fin des années 1980 par André Baumy, professeur agrégé de scienc (...)

9La deuxième partie s’intéresse à l’enseignement de la transformée de Laplace, en France, dans les formations scientifiques et techniques supérieures, à partir des années 1960. Elle s’appuie sur un corpus spécifique construit au fil du temps à l’IUT de Cachan dans le cadre de l’enseignement technique. Pour comprendre la mise en place des formations à dominante scientifique et technique dans la France des années 1960s, nous avons constitué, depuis une vingtaine d’années, un fonds spécifique à la bibliothèque de cet IUT. Il sera désormais désigné par l’expression : « fonds de Cachan » et nous reviendrons plus en détail sur sa constitution. Composé de documents destinés à l’enseignement pour les filières de l’enseignement supérieur scientifique et technique français, il témoigne de collaborations entre mathématiciens, enseignants et praticiens. La collection « Mathématiques pour »8, un exemple parmi d’autres de collections dont l’objectif est d’appliquer les mathématiques, illustre bien cette approche spécifique des mathématiques : mémoriser les définitions, retenir les formules de base, sans en détailler les démonstrations, et reproduire minutieusement les calculs dans un esprit d’« interpénétration des disciplines » (Boissel, Maléjacq & Cozian, 1994, p. VII-VIII). C’est cette interpénétration des mathématiques avec des pratiques professionnelles enseignée à un public d’utilisateurs dont les métiers nécessiteront de recourir à des mathématiques non triviales découlant de l’emploi des tables de Laplace que nous proposons d’étudier ici.

1.  Faire apprendre la transformée de Laplace aux ingénieurs en poste à partir des années 1940s

10Nous commencerons par étudier l’ouvrage de Jaeger An Introduction to the Laplace Transformation. Écrit dans l’immédiate après-guerre, il est l’un des premiers ouvrages destinés à des praticiens à partir de travaux spécialisés de son auteur, repérés par Deakin ; il nous paraît opportun d’étudier son contenu car notre première analyse du fonds de Cachan montre qu’il constitue une sorte de norme pour ces livres visant des lecteurs qui ne recherchent pas des démonstrations mais des processus applicatifs. Ensuite nous nous focaliserons sur les revues techniques et sur leur rôle dans la circulation de la transformation auprès des ingénieurs déjà en poste dans l’industrie.

11D’abord diffusé sous forme ronéotypée lors de sa parution en 1949, cet ouvrage a été de nouveau publié, sous forme imprimée cette fois-ci, en 1952, 1953 et tout au long des années 1950 et 1960. C’est sur cette troisième édition que nous nous appuierons par la suite.

1.1.  Le manuel de Jaeger ou un modèle d’initiation mêlant théorie et pratique

  • 9 « This book contains the substance of a course of lectures delivered to engineers and physicists at (...)

12Jaeger (1953, p. v) indique dans la préface l’origine du contenu de son ouvrage : « Ce livre contient la substance de conférences données à des ingénieurs et des physiciens au National Standards Laboratory, à Sydney, en 1944, lorsque l’auteur était détaché au Radiosphysics Laboratory du Council for Scientific and Industrial Research. Une édition ronéotypée a été produite par le C.S.I.R. en 1945 pour une diffusion en Australie. »9

  • 10 Le Council for Scientific and Industrial Research National Standards Laboratory (1939-1973) a été f (...)
  • 11 Afin d’éclairer cette dernière question, nous avons pris contact, sans succès, auprès du CSIR, afin (...)
  • 12 Malgré le relatif succès de cet ouvrage dans l’espace anglophone, il n’été traduit, ni en français (...)

13Cet ouvrage — né d’un enseignement destiné à des ingénieurs et chercheurs d’un laboratoire de recherche australien10 — est donc construit à partir des enseignements de Jaeger. Repéré pour ses travaux en mathématiques appliquées à Cambridge, Jaeger n’a jamais soutenu son doctorat. Rentré en Australie en 1935, il enseigne à l’université de Tasmania puis de Sydney. À partir de 1944, il intervient en tant que formateur au Council for Scientific and Industrial Research (CSIR) dans un contexte méconnu, faute d’archives. Dans sa préface, Jaeger remercie plusieurs officiers du CSIR (sans les nommer) pour leur aide matérielle, notamment pour la réalisation des figures insérées dans le texte. « Cela montre que la première version de l’ouvrage s’appuie sur des échanges avec des professionnels. Les éditions suivantes ont pu de plus bénéficier des réactions des auditeurs de Jaeger »11. L’ouvrage de Jaeger a été utilisé in situ au moins sous sa forme ronéotypée, à Sydney, avant d’être publié à Londres et être diffusé dans le monde anglo-saxon, avec plusieurs rééditions ; en revanche, il semble avoir peu circulé hors de l’espace anglophone12.

14Il s’intègre dans la collection « Monographs on Physical Subjects » comptant une cinquantaine d’ouvrages au moment de la parution de l’édition de 1953 et composée uniquement d’ouvrages d’enseignement faisant le point sur un domaine technique.

  • 13 La nécrologie sur Carslaw rédigé par Deakin (1997) permet de comprendre la collaboration les unissa (...)

15L’écriture de l’ouvrage est à deux niveaux : le corps de texte est un discours adressé à son public ; quelques tables, proposant un nombre réduit d’exemples, y sont insérées. Le paratexte (notes de bas de page essentiellement) renvoie aux sources indiquées dans la préface. Outre l’ouvrage de Doetsch (1937), Jaeger fait surtout référence à l’ouvrage académique coécrit avec Horatio Scott Carslaw (1870-1954)13 (Carslaw & Jaeger, 1941) et auquel il renvoie fréquemment. Il se réfère également à plus d’une vingtaine d’articles publiés dans des journaux mathématiques spécialisés, tous édités dans l’espace anglophone. Les notes démontrant les résultats exposés ou permettant d’aller plus loin sont conçues pour être omises en première lecture ; elles concernent des études traitant de fonctions dans toute leur généralité et pas seulement des fonctions « susceptibles d’apparaître dans le type de problèmes auxquels la théorie est généralement appliquée. » (Jaeger, 1953, chap. I).

16Cet ouvrage constitue un condensé d’ouvrages de référence adaptés à un enseignement appliqué. La construction de l’ouvrage avec son alternance de chapitres consacrés aux mathématiques (le premier, le troisième et le dernier, partiellement) et ceux consacrés à l’étude des circuits électriques (le deuxième et une partie du dernier chapitre), montre le choix pédagogique de l’auteur. Il désire rendre accessibles les résultats mathématiques pour un usage immédiat. Il a opté pour une imbrication des chapitres, ce qui conduit à une véritable interpénétration des disciplines (mathématiques et électronique) selon l’expression citée en introduction.

  • 14 « Such functions are not likely to appear in the types of problem to which the theory is usually ap (...)
  • 15 Carson a introduit une variante de la transformation de Laplace sous la forme \(f^*(p)=p\int_{0}^{\ (...)

17L’un des théorèmes centraux du premier chapitre concerne la formule donnant la transformée de la dérivée d’une fonction en fonction de la transformée de cette même fonction : \(L(f’)(p)=pL(f)(p)-f(0)\)\(L\) désigne la transformation de Laplace. Jaeger donne seulement l’idée de la démonstration, qui est fondée sur une intégration par partie. Il précise, en note de bas de page, qu’il suppose que les transformées de Laplace existent et donne un contre-exemple montrant qu’on peut avoir divergence de l’intégrale en considérant \(f(t)= exp (t^2)\) et s’empresse d’ajouter : « Ces fonctions ne sont pas susceptibles d’apparaître dans le type de problèmes auxquels la théorie est généralement appliquée » (Jaeger, 1953, chap. I)14. Notons que cette formule permettant de transformer une dérivée en un produit à la condition initiale près (le \(-f(0)\) de la formule) a conduit à l’introduction d’une variante par John Renshaw Carson (1886-1940), dont les travaux ont également été évoqués par Deakin15.

18Le troisième chapitre complète l’artillerie mathématique. La première section est relative au théorème dit « du retard » qu’il nomme : « Heaviside’s shifting theorem » (théorème du déplacement de Heaviside) (figure 1). Il s’intéresse à l’influence du déplacement d’un signal sur sa transformée de Laplace.

19Pour saisir la compréhension physique du décalage, l’auteur a inséré une figure et une note de bas de page concernant quelques remarques à propos de la fonction \(H\) dite « de Heaviside », qu’on note aujourd’hui couramment \(U\) et qu’on appelle « échelon Unitaire » dans un vocabulaire issu du traitement du signal

Figure 1 - « Heaviside’s shifting theorem » (théorème du déplacement de Heaviside)

Figure 1 - « Heaviside’s shifting theorem » (théorème du déplacement de Heaviside)

Source : (Jaeger, 1953, chap. III)

20Le théorème est ensuite appliqué à des exemples numériques ou généraux. Ainsi, son cinquième exemple est une application à une fonction T-périodique. Il s’agit d’une application à une situation omniprésente dans les circuits électriques. Jaeger n’en fait pas un théorème mais un exemple d’applications réitérées du théorème du retard (figure 2).

  • 16 Jaeger ne détaille pas le fait qu’on obtient une série géométrique (convergente) de raison \(q=e^{- (...)

Figure 2 -Transformée d’une fonction T-périodique16

Figure 2 -Transformée d’une fonction T-périodique16

Source : (Jaeger, 1953, chap. III)

21La quatrième section est intéressante car elle présente un théorème théorique classique mais avec une présentation adaptée au lectorat ; elle est consacrée à ce qu’il nomme « The superposition* theorem » (figure 3). C’est un des théorèmes clés de la théorie de Laplace car il introduit une nouvelle opération sur les fonctions : le produit dit de convolution. La transformée de Laplace est linéaire, autrement dit, la transformée d’une somme de fonctions est la somme des transformées des fonctions. Ce n’est plus vrai pour un produit puisque, en général, l’intégrale d’un produit n’est pas égale au produit des intégrales. Ce théorème permet justement de pallier cette difficulté.

22Une première note de bas de page est intéressante en ce qu’elle témoigne de l’intégration de l’aspect visuel de ce théorème dans les dénominations les plus couramment utilisées. En effet, elle indique que d’autres dénominations ont été utilisées pour le qualifier : « composition », « convolution », « Faltung Theorem », « Borel’s Theorem » ou « Duhamel’s Theorem ».

Figure 3 - « The superposition Theorem » ou comment calculer la transformée d’un produit

Figure 3 - « The superposition Theorem » ou comment calculer la transformée d’un produit

Source : (Jaeger, 1953, chap. III)

23Or, les attributions à Jean-Marie Constant Duhamel (1797-1872) et à Émile Borel (1871-1956) n’ont laissé aucune trace dans la littérature. En revanche, le terme « Faltung » — pliage en allemand — continue d’être utilisé. Doetsch, dans un article consacré à ce théorème, revient dans une note de bas de page sur le choix du terme :

  • 17 « Dieser Name, der daher rührt, dass durch Zusammenfalten der Strecke \(0…t\) in der Mitte gerade d (...)

Ce nom, qui provient du fait qu’en pliant le segment \(0..t\) en deux, on fait coïncider les deux valeurs d’argument \(\tau\) et \(t-\tau\), a probablement été utilisé pour la première fois par F. Bernstein et moi-même depuis 1920 et est aujourd’hui généralement adopté. N. Wiener, dans son livre : The Fourier-Integral and certain of its applications ; Cambridge 1933, p. 45, a également repris le mot en anglais sans en indiquer l’origine, car il est pratiquement impossible de le traduire.17 (Doetsch, 1935, p. 71)

  • 18 Quand on multiplie un polynôme par un autre, le coefficient de \(x^n\) est donné par \(a_0b_n + a_1 (...)

24Derrière ce terme, c’est l’idée de pliage et de repliement qui est en filigrane. L’idée est ancienne et se trouve déjà dans les travaux de Cauchy sur les polynômes18. Cette visualisation géométrique a été entérinée par le mot allemand « Faltung » et le mot français (ou anglais) « convolution » issu du terme circonvolution désignant un enroulement sur soi-même. Le terme allemand continue à être employé dans la littérature germanophone alors que le mot « convolution » s’est imposé dans la littérature francophone et anglophone après la Seconde Guerre mondiale. Les électroniciens et électrotechniciens visualisent géométriquement les produits de convolutions entre signaux usuels par des repliements successifs entre eux selon les considérations initiales de Doetsch et de Bernstein.

25Le théorème dont il est question est désormais communément nommé « théorème du produit de convolution » — et « Faltungssatz » dans l’espace germanophone — et affirme que la transformée du produit de convolution est égale au produit classique des transformées. Jaeger explique la démonstration, dans une note de bas de page marquée par un astérisque, en introduisant une intégrale double puis opère à un changement de variables avant de conclure, sans indiquer tous les détails calculatoires, avec ce que nous appelons le théorème de Fubini.

26Cette place réduite de la démonstration pour un théorème central illustre montre la stratégie de Jaeger en ce qui concerne l’exposition des résultats mathématiques. Dans de nombreux autres cas, les démonstrations ne sont même pas esquissées par Jaeger, qui renvoie le lecteur aux références indiquées dans sa préface. Son ouvrage nous paraît représentatif d’un enseignement moderne de la transformation de Laplace dans les filières technologiques et scientifiques : des exemples mobilisés jusqu’aux formulations qui indiquent l’évitement des difficultés mathématiques pour pouvoir présenter l’efficacité de la méthode à des professionnels utilisant les mathématiques pour résoudre les problèmes rencontrés.

  • 19 Ces ouvrages à destination de ceux qui utilisent des résultats mathématiques (ingénieurs et cherche (...)

27Dans la décennie suivant la Deuxième Guerre mondiale, les métiers liés au génie électrique se développent considérablement. Plusieurs ouvrages à destination de ces nouveaux publics sont publiés. Tous portent des titres similaires : Laplace Transforms for electrical engineers (Starkey, 1954), Introduction to Laplace Transforms for Radio and Electronic Engineers (Day, 1960), Laplace and Fourier Transforms for Electrical Engineers (Craig, 1964), etc. et suivent peu ou prou le modèle inauguré par Jaeger. Ils ne présentent pas une théorie unifiée de la transformée de Laplace et de ses applications mais mettent à disposition une palette d’outils adaptés à la modélisation d’un grand nombre de circuits électriques. D’ailleurs, les diverses éditions de l’ouvrage de Starkey, pour ne citer qu’un exemple, a donné lieu, à partir de 1957, à un ouvrage recensant la table des transformées de Laplace extraite de l’ouvrage associé : Tables of Laplace Transforms (Starkey, 1960)19. Ces tables, contenant des dizaines d’occurrences, sont très détaillées.

1.2.  Les revues techniques : des articles avec des tables et des notes de lecture

28La circulation de la transformée de Laplace à usage professionnel se fait aussi par les revues techniques. Ce sont des sources centrales pour faire connaître aux ingénieurs les ouvrages venant de paraître ; elles sont aussi le lieu de parution d’articles adaptés à des lecteurs ne consultant pas les revues spécialisées en sciences.

  • 20 Depuis les années 1990, les historiens mobilisent les journaux de mathématiques, au sens le plus la (...)

29Un exemple illustrera ce mode de circulation longtemps ignoré par l’historien des mathématiques20 ; il s’agit d’articles de Charles Blanc (1910-2006). Blanc, né à Lausanne en 1910, après des études de mathématiques à Göttingen et son doctorat à Paris en 1937, a intégré l’université de Lausanne en tant que chargé de cours avant d’y devenir professeur d’analyse en 1942 (Le comité, 2006). Ses textes paraissent dans le Bulletin technique de la Suisse romande, un bimensuel, créé en 1900, émanant de l’« organe de la Société suisse des ingénieurs et des architectes, des Sociétés vaudoises et genevoises des ingénieurs et des architectes, de l’Association des anciens élèves de l’École d’ingénieurs de l’université de Lausanne et des Groupes romands des anciens élèves de l’École polytechnique fédérale. » Il contient des articles techniques mais certains sont à caractère mathématique comme ceux de Blanc ou à caractère institutionnel comme celui d’Alfred Stucky (1892-1943) sur l’École d’ingénieurs de l’université de Lausanne, dont il est directeur (Stucky, 1943) et où Blanc enseigne.

30Son premier article, extrait de sa leçon inaugurale (Blanc, 1943b), porte sur le calcul symbolique. Il donne des généralités sur le calcul symbolique permettant de revenir aux opérations élémentaires de l’arithmétique (additions, soustractions, multiplications et divisions) en donnant comme exemple celui de la transformation de Laplace particulièrement opérationnelle pour la résolution des équations différentielles ; il indique :

Qu’il me suffise de dire qu’Euler, puis Laplace, vers la fin du xviiie siècle, avait introduit une transformation fonctionnelle qui permet de résoudre entièrement la question. Au lieu de considérer la dérivation comme une multiplication symbolique, on remplace, au moyen d’une transformation appelée transformation de Laplace, la fonction envisagée \(F(t)\) par une fonction image \(\varphi (s)\), telle qu’à la dérivation de \(F(t)\) corresponde, pour la fonction image une multiplication (bien réelle, et non plus symbolique) par s, avec adjonction d’un terme qui permet d’introduire ensuite les constantes d’intégration.  (Blanc, 1943b, p. 5)

  • 21  Voir épigraphe.

31Le second article revient sur l’application de cette transformation à la résolution d’équations différentielles (Blanc, 1943a). En préambule, il insiste sur le processus d’algébrisation21.

  • 22  Blanc fait allusion à la définition d’une intégrale par la limite de la somme des rectangles appro (...)

32Dans une première partie intitulée « Définitions et théorèmes », il démontre quatre théorèmes (linéarité, dérivation, théorème de composition [figure 3] et théorème du retard). En revanche, il ne donne pas la formule donnant la transformation de Laplace inverse. « Il est plus simple d’avoir recours à une table de transformées (de même que pour calculer une intégrale, on utilise une table de dérivées et non la définition par une limite de sommes22) » (p. 27) justifie-t-il. Avant de donner la table, il précise : 

On peut se poser la question de l’unicité de la transformation inverse. On démontre que deux fonctions \(F(t)\) et \(G(t)\) qui ont même transformée sont égale partout, excepté peut-être sur un ensemble de mesure nulle ; il en résulte pratiquement, pour l’ingénieur, que si une fonction donnée est une transformée, elle n’admet qu’une fonction génératrice. (p. 27)

33Il insère ensuite une table de dix-huit transformées usuelles, dont celle des fonctions de Bessel, et termine par une propriété donnant la transformée d’une fonction dont la variable est amplifiée (figure 4).

34Sa table est précédée d’un « usage de la table » précisant que si on est confronté à une fonction à transformer ou à inverser, soit le résultat est directement dans la table soit on s’y ramène par les quatre théorèmes énoncés.

  • 23 Cette table a été augmentée et rééditée plusieurs fois.

35Il précise ensuite que sa table est limitée aux cas usuels mais que le livre de Doetsch en donne une de « sensiblement plus complète » (Blanc, 1943a, p. 27) et qu’une table de référence de presque 700 transformées a été publiée23 par Norman William Mc Lachlan (1888-1968) et Pierre Humbert (1891-1953) (Mc Lachlan & Humbert, 1941).

Figure 4 - Extrait de la table des transformées de Blanc

Figure 4 - Extrait de la table des transformées de Blanc

Source : (Blanc, 1943a)

  • 24 La machine d’Atwood — mis au point par George Atwood (1745-1807) — a été conçue pour l’étude de la (...)

36Il poursuit en présentant une section d’applications comprenant une équation différentielle provenant de la modélisation du mouvement d’une machine d’Atwood24 en tenant compte d’un frottement proportionnel à la vitesse ainsi que du poids du fil ; ainsi que deux équations aux dérivées partielles classiques désignées par « équation des télégraphistes » et « équation de la chaleur ». Ces exemples sont de différentes natures. Ils se veulent comme des applications mais certains sont des illustrations de la théorie de la chaleur ; d’autres sont artificiels pour l’enseignement comme celui où il est supposé que les frottements sont proportionnels aux paramètres de vitesse et de poids ; enfin, un, relève explicitement du métier d’ingénieurs (l’équation des télégraphistes). Son dernier exemple part du constat suivant : « Nous avons appliqué jusqu’ici la transformation de Laplace à des équations à coefficients constants. Cette condition peut être levée partiellement. » (Blanc, 1943a) ; Blanc expose alors une classe d’équations pour laquelle la transformation est efficiente et est utilisée par les télégraphistes, un des métiers auxquels se destinent ses étudiants.

  • 25 Dans la douzaine de revues dépouillées par consultation des tables des matières, nous avons identif (...)
  • 26 Les tables des revues techniques comptent de nombreux exemples traités qui se réduisent à un cas gé (...)

37Toutes les revues techniques consultées (Annales des mines, Annales des ponts et chaussées ainsi qu’une dizaine d’autres) et les publications internes émises par certains services, comme le service de documentation et d’information technique de l’aéronautique, contiennent des articles — à l’image de celui de Blanc — sur l’emploi de la transformée de Laplace25. Ils sont rédigés par des professeurs de mathématiques mais aussi par des professeurs d’autres disciplines scientifiques ou par des ingénieurs, parfois également professeurs, qui l’utilisent pour résoudre des problèmes issus de leurs pratiques. Tous ces articles contiennent des tables. Alors que les revues spécialisées consacrant des articles à la transformée de Laplace publient des tables succinctes rassemblant les cas essentiels, les revues techniques fournissent des tables plus complètes26 — à l’image de celle de Blanc — afin de satisfaire aux besoins de l’ingénieur.

  • 27  Le mot « algébrisation » est un mot assez employé dans les publications. Par exemple, l’ingénieur (...)

38Ces revues comportent généralement des notes de lecture. À titre d’exemple, les Annales des ponts et chaussées proposent une note de lecture succincte sur un ouvrage récemment paru (figure 5) : l’ouvrage de Francisque Salles (1904-1984), professeur ayant exercé dans différents établissements techniques, sur l’initiation au calcul opérationnel et à ses applications techniques (Salles, 1955). La plupart de la cinquantaine de contributions repérées (mémoires ou comptes rendus de livre) insistent sur l’algébrisation27 des équations différentielles par la transformation de Laplace et précisent que l’ingénieur rencontre des fonctions satisfaisant aux conditions d’existence et permettant l’applicabilité des propriétés avant de renvoyer (en les citant le cas échéant) à des textes spécialisés en mathématiques.

Figure 5 - Note de lecture des Annales des ponts et chaussées

Figure 5 - Note de lecture des Annales des ponts et chaussées

Source : (Annales des ponts et chaussées, 1956, p. 122)

  • 28 Il conviendrait de lister aussi exhaustivement que possible l’ensemble des revues pour ingénieurs ; (...)

39Toutes ces publications28 ont pour lecteurs, même s’il est difficile de définir cette catégorie, des personnes avisées c’est-à-dire des personnes — ingénieurs ou chercheurs dans le domaine des sciences — ayant une formation mathématique suffisante (au moins l’analyse des fonctions d’une variable réelle) pour appréhender cette transformation dans ses grandes lignes opérationnelles.

2.  Enseigner la transformée de Laplace, en France, dans les formations scientifiques et techniques depuis les années 1960

40Si la formation continue des années 1940s ne touche sûrement que quelques dizaines de personnes, bien qu’il soit difficile d’estimer cette population en situation de formation continue, de profondes réformes de l’enseignement supérieur sont mises en place pour répondre aux besoins du marché du travail dans l’immédiate après-guerre. Dans la France des années 1950s et 1960s, sont fondées de nouvelles institutions d’enseignement : des écoles d’ingénieurs avec un cycle préparatoire (intégré) comme les INSA, les IUT et les sections de technicien supérieur. Le brevet de technicien supérieur (BTS) et le diplôme universitaire de technologie (DUT) appartiennent à une même génération de diplômes ayant pour objectif de former des cadres intermédiaires en deux ans après le baccalauréat. D’emblée, la structure est pensée avec la possibilité, surtout pour les étudiants d’IUT, de poursuivre sans concours spécifique dans des formations d’ingénieurs (Benoist, 2016).

  • 29 Ces 6 000 ouvrages, essentiellement publiés depuis les années 1960s, sont répartis dans différentes (...)

41Pour appréhender cette construction de l’enseignement supérieur technique français, nous avons mobilisé le fonds de Cachan décrit succinctement, en introduction. Composé d’environ 6 000 ouvrages29 destinés à l’enseignement essentiellement français et d’ouvrages scientifiques de référence, il compte également des fascicules de cours, des programmes d’enseignements, des revues disciplinaires ou professionnelles ainsi que divers documents électroniques. Il a été constitué a priori avec tous les ouvrages achetés depuis la création de cette bibliothèque et surtout a posteriori en l’augmentant de fonds remis par certains enseignants partant à la retraite et par la cession d’invendus par notre librairie partenaire spécialisée dans le domaine technique. Ce fonds veut être une mémoire des mathématiques pour la formation des ingénieurs et des techniciens, en France.

  • 30  Un des plus anciens ouvrages du fonds de Cachan (traduction d’un ouvrage de Fritz Bergtold (1898-1 (...)

42La transformation de Laplace apparaît comme un outil à enseigner dans les programmes des classes de l’enseignement supérieur scientifique et technique français30 (formations d’ingénieurs, classes préparatoires au moins pour les voies technologiques, classes de STS et formations d’IUT). Un examen rapide du fonds de Cachan permet de concevoir comment et par qui elle est enseignée. À la différence d’une bibliothèque mathématique où les ouvrages ne traitent que de mathématiques et ne sont écrits que par des professeurs et chercheurs en mathématiques, ce fonds montre qu’une bibliothèque à prédominance technique implique souvent des collaborations entre auteurs différents : mathématiciens, électroniciens, électrotechniciens, automaticiens, mécaniciens, etc. Les premiers enseignent les mathématiques alors que les seconds les appliquent. Tous les futurs techniciens ou ingénieurs français ont donc appris directement ou indirectement la transformée via des manuels composés par des auteurs de cultures scientifiques complémentaires.

43Toutes les nouvelles institutions d’enseignement font intervenir de nouveaux acteurs. Le parcours de Salles — rencontré précédemment — semble assez significatif de ces enseignants du supérieur passés préalablement par l’industrie, rédacteurs de surcroit de publications destinées aux besoins immédiats de l’industrie. Ayant peu de publications scientifiques, ils se sont focalisés sur l’enseignement et ont largement contribué à enseigner des outils relativement nouveaux comme la transformée de Laplace.

  • 31  Salles Francisque, dossier personnel, Archives nationales, Pierrefitte-sur-Seine, F/17/30172/B.
  • 32  Pour une notice biographique sur Gauthier, nous renvoyons au Dictionnaire biographique des enseign (...)

44Le dossier de carrière de Salles31 montre qu’il a construit son parcours entre industrie et enseignement. Les différents rapports sur sa carrière soulignent ses publications d’ordre technique et reconnaissent son dévouement pour l’enseignement mais ne le soutiennent pas sur le plan scientifique ; l’un d’eux, rédigé en 1957 par le professeur de mathématiques appliquées à la faculté de Nancy Luc Gauthier (1913-1981)32, précise :

[L]es publications de Monsieur SALLES sont assez diverses, mais essentiellement techniques, et n’engageant que des mathématiques assez élémentaires […]. Sa tournure d’esprit, assez loin des véritables préoccupations scientifiques, doit correspondre très convenablement aux besoins de l’École Nationale des Sciences Appliquées de Lyon, mais tant qu’il n’existe pas de Maîtres de conférences de l’Enseignement technique, je ne pense pas qu’il soit bon de l’inscrire sur la liste d’aptitude à l’Enseignement Supérieur. 

45Le mécanicien Paul Germain (1920-2009) va dans le même sens en évoquant une « œuvre scientifique […] fort peu développée » (Salles). À partir de 1958, Salles fait sa carrière à l’INSA en tant que « détaché », puis beaucoup plus tard en tant que maître de conférences puis professeur, l’année de sa retraite en 1970.

  • 33 Les physiciens, face à un phénomène dont la représentation graphique a la forme d’une grande pointe (...)

46Tous ces manuels suivent le même mode d’exposition que celui de Jaeger ou de Blanc. Après la définition, sans forcément insister sur les conditions d’existence, sont calculées des transformées de fonctions élémentaires (fonction « Porte », fonction « Triangle » et fonctions directement liées à l’exponentielle) puis sont indiquées leurs principales propriétés. Notons que la plupart des enseignements en classe de STS omettent l’introduction ou au moins la définition, avec des intégrales, du produit de convolution. Dans le meilleur des cas, il est seulement présenté dans les tables comme un simple moyen opératoire. De toute façon, les exemples et applications traités ne requièrent pas son utilisation. En IUT ou dans les écoles d’ingénieurs ne recrutant pas des élèves issus d’un filtrage très sélectif sur le plan théorique, on insiste sur la construction géométrique d’un produit de convolution de deux signaux (simples) sans recourir au calcul intégral sous-jacent : convolution d’un signal triangulaire avec lui-même, d’un signal quelconque avec une distribution de Dirac33 d’un signal quelconque avec un signal carré, etc. Les étudiants retiennent ainsi des configurations de base qu’ils appliquent aux modèles rencontrés sans manipuler aucune intégrale. Les détails et difficultés des démonstrations sont souvent omis et les résultats sont toujours synthétisés sous forme d’une table telle que celle-ci (figure 6).

  • 34 Contrairement à certaines situations arithmétiques analysées par Maarten Bullynck (2010), il ne nou (...)

47Les techniciens et ingénieurs travaillant sur les modélisations issues du génie électrique ou mécanique ont une culture de la lecture des tables. Ils lisent des tables a contrario du mathématicien qui centre son attention sur des résultats qu’il cherche à démontrer dans le cadre le plus général possible. La table remplace le calcul et fournit directement les résultats avec une certaine automaticité. Par là même, la transformation de Laplace s’insère dans cette culture des tables. Pour le mathématicien, elle résume34 des propriétés alors que pour le praticien elle est, en quelque sorte, une boîte à outils répondant à la modélisation de chaque circuit qu’il analyse.

Figure 6 - Extrait d’une table des principales transformées de Laplace

Figure 6 - Extrait d’une table des principales transformées de Laplace

Source : (Thuillier & Belloc, 1986, Table 3)

  • 35 On résout l’équation sans second membre ; s’il s’agit d’une équation différentielle linéaire du sec (...)
  • 36 L’ensemble des sujets posés en BTS est facilement consultable car il existe des annales synthétique (...)

48En transformant, si possible, un problème fonctionnel (comme une équation différentielle) en un problème algébrique simple, on résout le problème algébrique puis, en inversant et en utilisant les tables, on revient à une solution du problème originel (Verdier, 2000). Ce va-et-vient entre ces deux domaines est assuré par des tables de correspondances recensant une liste de résultats et propriétés fondamentales. Pour beaucoup d’applications, la notion clé est celle d’équations différentielles comme le soulignait Blanc (1943a). Ces équations sont des modèles résumant la variation, dans le temps, de grandeurs physiques. Dans quasiment tous les exemples mobilisés à un niveau élémentaire, c’est-à-dire dans des enseignements destinés aux classes de STS, IUT ou classes préparatoires techniques (littéralement tous ceux décrits dans un article de Daniel Duverney (1991a) par exemple), l’équation différentielle serait soluble directement par la méthode algébrique usuelle35. Nous avons également consulté l’ensemble des annales des sections relevant du génie électrique et mécanique du BTS de sa création en 1962 à 2020 et une partie signifiante de sujets posés dans différents départements d’IUT36 ; toutes les questions concernant la transformation de Laplace peuvent se traiter avec l’algèbre linéaire car elles concernent essentiellement des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Il semble que la méthode de Laplace, une fois franchie le cap rebutant de son introduction avec des intégrales généralisées, séduit ce public particulier d’utilisateurs par son caractère automatique ou plus exactement le rebutent moins que des raisonnements issus de l’algèbre linéaire, plus abstraits, avec des ensembles de solutions considérés comme des espaces vectoriels dont il faut trouver des bases. Les programmes des classes consultés (DUT, BTS et classes préparatoires technologiques), conduisant aux mêmes métiers de techniciens ou d’ingénieurs, insistent sur le fait que la transformée de Laplace doit être enseignée dans une optique opérationnelle. Par exemple, en classes préparatoires pour l’enseignement de cette notion, qui n’est pas au programme de mathématiques mais des « sciences de l’ingénieur », un commentaire précise : 

L’utilisation de la transformée de Laplace ne nécessite aucun prérequis. Sa présentation se limite à son énoncé et aux propriétés du calcul symbolique strictement nécessaire à ce cours. Les théorèmes de la valeur finale, de la valeur initiale et du retard sont donnés sans démonstration.37

  • 38 Signalons que cet écart entre applications et savoirs requis pour comprendre les concepts en jeu n’ (...)
  • 39 Cette formulation (avec ses variantes) est répétée dans de nombreux ouvrages. Les justifications so (...)

49L’absence de prérequis prête à sourire38 tant elle en suppose : analyse complexe, séries géométriques, intégrales généralisées, intégrales doubles si on veut pouvoir démontrer le théorème du produit de convolution (figure 3), etc. L’important, en l’espèce, n’est donc pas la compréhension théorique de la notion mais de permettre à ses utilisateurs de pouvoir l’appliquer à des situations concrètes. Il y a une différence culturelle entre l’approche mathématique qui nécessite de comprendre le fondement des propriétés fondatrices des tables et l’utilisation dans la pratique consistant à être capable de résoudre rapidement, en lisant directement dans des tables, les solutions de l’équation différentielle modélisant le circuit en présence. Souvent, dans les ouvrages les moins mathématiques, les difficultés sont masquées derrière des formules telles que « La légalité de l’opération exigerait beaucoup de soins, nous la supposons assurée »39. Notons au sujet des tables une dernière remarque. Il y a des tables indiquant des transformées de signaux particuliers (parfois plusieurs dizaines) et d’autres à double entrées avec une entrée relative aux transformées des cas synthétiques fondamentaux et une autre aux principales propriétés. C’est en combinant les deux entrées (exemples génériques et propriétés associées) que le lecteur doit être capable d’agir sur le signal qu’il souhaite transformer.

50Avec les tables, il est possible de présenter les applications de la transformée sans même en donner la formule algébrique de fonction définie par l’intégrale : \(F(p)=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-pt} \mathrm{d}t\). Que reste-t-il alors des concepts mathématiques ? Paradoxalement, il en reste l’essentiel. La définition pratique et accessible et l’épuration des difficultés inhérentes à la rigueur mathématique permettent un accès plus direct au concept pourtant abstrait de spectre en fréquence. La connaissance de transformées de fonctions élémentaires associées aux propriétés usuelles de la transformation permet d’introduire des objets irréels comme la « fonction ou distribution de Dirac » par exemple, sans introduire la théorie des distributions, mais sans en rester à la définition superficielle et étriquée d’une fonction nulle partout mais infinie à l’origine.

51Dans les cursus d’électronique et d’électrotechnique, la transformation de Laplace est aujourd’hui introduite dans un cours appelé « automatisme », « asservissement » ou encore « physique des capteurs et des systèmes ». Elle permet l’étude des systèmes linéaires à temps continu, en particulier dans les cas où le régime permanent ne suffit pas. Une introduction rapide mais rigoureuse sur le plan des concepts permet de fonder un raisonnement proprement scientifique sur les critères de rapidité, de précision et de stabilité d’un asservissement. Ainsi introduite, la transformation permet de retrouver les principaux résultats connus par ailleurs par les élèves des filières électroniques grâce à l’introduction des impédances complexes, introduction qui est, elle, rarement justifiée. En effet, on peut déduire les fonctions de transfert en fréquence de la transformation de Laplace grâce à des manipulations simples comme remplacer la variable \(p\) en \(j\omega\) (Duverney, 1991b). François Bliot a décrit, dans une revue fondée en 1981 et destinée aux enseignants des départements « Génie électrique » des IUT, une méthode permettant de retrouver les coefficients de Fourier d’une fonction périodique. Dans Quand la transformée de Laplace devient série de Fourier (Bliot, 1981), il lie plusieurs compétences indispensables à l’analyse des circuits électriques. Enfin les tables et méthodes de la transformation permettent d’en déduire par discrétisation celles de son équivalent numérique : la transformation en \(Z\), dont l’histoire reste à écrire. Le monde analogique et numérique ont fait un usage intensif de ces deux transformations qui, n’en sont qu’une, celle de Laplace.

  • 40 Le fonds cachanais compte plusieurs fascicules destinés aux étudiants et embryons de l’ouvrage publ (...)
  • 41  Voir note 36.

52La transformation de Laplace élémentaire est un outil efficace pour étudier les régimes transitoires des systèmes électroniques. Elle diffère de la transformée de Fourier, qui est utilisée sous forme opérationnelle pour déduire les caractéristiques des régimes permanents des filtres à travers les calculs d’impédance. L’ouvrage de Jean-Claude Belloc et Patrice Schiller (1994), fruit d’un enseignement commun de mathématiques et d’électronique mené à l’IUT de Cachan40, montre la dimension applicative de la transformée. Après une présentation du concept, la part belle est faite aux applications. Nous nous limiterons aux cas des systèmes asservis. Les caractéristiques d’un régime transitoire sont importantes à étudier en automatisme dans la recherche de l’asservissement d’un système, permettant à la grandeur physique de sortie d’évoluer à l’aide d’une commande conçue à partir de la mesure de cette grandeur physique et d’une consigne. Les qualités d’un asservissement se mesurent à sa rapidité, sa précision et sa stabilité ; ce dernier critère est essentiel. Dans le cas, courant en électronique, où le système est linéaire (ou dans un état qui permet de s’en tenir à l’approximation linéaire), les équations différentielles le décrivant sont elles-mêmes linéaires, le plus souvent à coefficients constants. Le second membre de l’équation représente la grandeur d’entrée. Ces équations sont souvent solubles par des méthodes algébriques connues des étudiants des filières concernées41.

53Mais la transformée de Laplace offre un confort de résolution supérieur grâce aux tables qu’il suffit d’apprendre à utiliser. Ces tables conviennent bien à un public de praticiens : elles permettent de transformer l’équation différentielle en une équation algébrique de la forme : \(S(p)=H(p)E(p)\)\(S\) est la transformée du signal de sortie \(s(t)\) et \(E\) de l’entrée \(e(t)\). Le théorème de la valeur finale permet d’obtenir la précision du système avant d’avoir écrit la transformée inverse pour déduire le signal de sortie : \(s(t)\mid _{t \rightarrow\infty}=pS(p)\mid_{p\rightarrow 0}\). L’équation en Laplace permet de définir la fonction de transfert \(H(p)\) comme le rapport entre la transformée de la sortie et la transformée de l’entrée. Ensuite, avec les tables, l’électronicien peut aller et venir entre le domaine temporel — usuellement régi par la variable \(t\) — et le domaine de Laplace, régi par la variable \(p\). Cette fonction ne représente que l’effet du filtre, indépendamment de l’entrée, donc indépendamment aussi de la transformée de l’entrée. Dans la plupart des systèmes et filtres construits à partir de composants traditionnels, cette fonction donne un accès immédiat à la fonction de transfert de la transformée de Fourier qui permet l’analyse fréquentielle du système : \(T(\omega)=H(j\omega)\), ce qui revient à changer \(p\) par \(j\omega\).

  • 42  Salles Francisque, dossier personnel, Archives nationales, Pierrefitte-sur-Seine, F/17/30172/B.

54Lorsque Salles fait paraître la deuxième édition, en 1961, de son Initiation au calcul opérationnel (Salles, 1955), il insiste justement dans son dossier de carrière sur cette nouvelle notion de fonction de transfert. « À la demande du Ministère de l’Air, l’auteur a fait paraître un livre d’initiation au calcul opérationnel, où, après avoir rappelé les principes, il étudie les équations différentielles de la technique, en insistant sur la notion nouvelle de fonction de transfert. » (Salles)42 ; il termine en indiquant que son ouvrage a été adopté officiellement dans les bureaux d’études de l’aéronautique. Il est vraisemblable qu’au cours des années soixante, toutes les institutions d’enseignement supérieur technique et bon nombre de bureaux d’études se sont procuré ce type d’ouvrages permettant d’apprendre et d’appliquer des notions développées et démontrées dans l’ouvrage fondateur de Doetsch (1937) publié une génération plus tôt.

55À côté de ces manuels pour l’enseignement, se créent des revues destinées à l’enseignement des sciences physiques ou technologiques. Nous assistons donc à un glissement des revues techniques — adressées à des professionnels — aux revues d’enseignement pour les sciences de l’ingénieur et du technicien, visant les personnes en formation. Ces revues s’intéressent aux mathématiques maniant avec efficacité les modèles issus de la physique. Comme les revues techniques, elles contiennent des comptes rendus d’ouvrage ou des articles spécifiques comme l’article de Bliot, évoqué précédemment. D’autres revues — destinées aux professeurs de mathématiques ou à la vulgarisation des mathématiques, au sens large — montrent en quoi la transformation de Laplace est un outil pertinent pour résoudre certains problèmes de physiques modélisés par des équations différentielles suffisamment simples, c’est-à-dire traitables facilement par cette méthode de Laplace déterminant la transformée de l’inconnue puis, par inversion, l’inconnue.

3.  Conclusion ou comment poursuivre cette étude

56Après la Seconde Guerre mondiale, par ses applications en ingénierie, la transformation de Laplace entre dans le patrimoine immatériel des métiers industriels. Il est intéressant de remarquer que la seule référence à la transformation de Laplace dans le dossier personnel de Laplace aux archives de l’Académie des sciences est une courte note faisant référence à l’ouvrage Laplace Transform for electrical Engineers (Starkey, 1954). Aujourd’hui, les différents moteurs de recherche internationaux, après avoir saisi l’expression « Transformation de Laplace » (ou ses variantes en anglais et dans d’autres langues asiatiques), malgré les biais inhérents, permettent de repérer des dizaines de millions d’occurrences. En incluant la transformation de Laplace comme sous-cas de la transformation de Fourier, ce sont des centaines de millions d’occurrences qui sont détectées. L’étude de la patrimonialisation de ces transformations fonctionnelles n’en est qu’à ses balbutiements. Acteurs et supports sont multiples mais nous paraissent être ancrés dans la décennie 1945-1955.

57Après être revenus sur les fondements historiques de la transformation de Laplace étudiés par Deakin, nous nous sommes concentrés sur les publications destinées à la formation des ingénieurs dans les années 1940s puis à celles destinées à l’enseignement supérieur scientifique et technique français, à partir des années 1960s. Il nous semble que les travaux, fussent-ils de référence, de Deakin sur la transformation de Laplace restent axés sur le monde anglo-saxon et sur quelques grands noms des mathématiques ; ils restent à prolonger en prenant en compte différents éléments mis en avant tout au long de notre texte. Nous nous sommes centrés sur l’enseignement de cette transformation — au moins dans un cadre élémentaire — dans de nombreux métiers de l’industrie. Le corpus sélectionné et étudié montre à quel point cette notion mathématique et les applications liées à l’ingénierie, notamment dans les domaines du génie électrique, se sont « interpénétrées » pour reprendre une expression empruntée à des auteurs de manuel (Boissel, Maléjacq & Cozian, 1994, p. VII-VIII) citée en introduction.

58Ces interpénétrations et circulations ont mobilisé des sources variées (ouvrages et revues) et des acteurs venant de l’enseignement et/ou de l’industrie. Notons le rôle des revues techniques. Considérées comme peu innovatrices sur le plan académique elles ont pourtant été primordiales pour que de nombreux praticiens puissent s’approprier la notion et l’appliquer à des problèmes concrets. En ce sens, les tables des praticiens sont de véritables dictionnaires de correspondance entre l’espace des signaux et celui de leurs transformées. Outre la mise en pratique de savoirs mathématiques via ces tables, ces mêmes praticiens algébrisent et géométrisent, en manipulant des produits de convolution des signaux traités dans le cadre de leurs métiers alors que les mathématiciens appréhendent ces produits presque exclusivement sous l’angle de l’analyse des fonctions d’une ou de plusieurs variables (théorie de l’intégration). Cette transposition — cette interpénétration — exige, du point de vue des acteurs, des apprentissages nouveaux et produit des applications efficientes à toute l’industrie relevant du génie électrique.

59Un point reste aveugle, celui de l’usage effectif de la transformation de Laplace par les techniciens et les ingénieurs en poste. L’enquête est délicate et reste à penser. Dans le cadre français, il serait judicieux de s’intéresser à la maison d’édition « Les éditions Radio ». Fondée dans les années trente, elle a publié plusieurs ouvrages de mathématiques, dont la traduction d’un ouvrage de Bergtold (1958/1968) déjà évoqué et cinq revues destinées à l’électronique. Il serait pertinent d’examiner sa production dans son ensemble et de voir quelles sont les mathématiques qu’elle met en avant pour un public passionné par les applications de l’électronique mais n’ayant pas forcément suivi d’études scientifiques. La transformation de Laplace, et dans quelles proportions, y est-elle mobilisée et utilisée ? Ensuite, alors que les enseignements sont localisés dans des institutions pilotées par des programmes d’enseignement et codifiés par des ouvrages, il faudrait étudier les pratiques auprès des professionnels des entreprises en mettant en place des enquêtes de terrain afin de constituer des archives orales à mettre en regard des différentes sources archivées dans certains bureaux d’études ou en interrogeant des ingénieurs issus de différents types d’écoles (réseaux d’anciens élèves), pour sonder l’utilisation de cette notion au quotidien.

  • 43  Un modèle possible serait le Dictionnaire biographique des enseignants de la Faculté des sciences (...)
  • 44  Un inventaire, établi à partir des réserves du Conservatoire national des arts et métiers, laisse (...)

60Nous prolongerons notre étude dans plusieurs directions. À l’image de Salles, reconnu pour ses implications dans l’enseignement technique et dans l’industrie aéronautique nous souhaitons nous intéresser prosopographiquement43 à tous ces enseignants de l’enseignement supérieur technique. Beaucoup ont fait peu de recherches mais ont formé aux mathématiques, et à leurs applications, des générations d’ingénieurs et de techniciens dans la France de l’après-guerre. Inspirés par les travaux de Loïc Petitgirard (2019), nous souhaitons également nous intéresser aux machines mécaniques44 conçues pour l’utilisation de ces transformations, avant l’invention de l’ordinateur.

  • 45  Pierre Simon de Laplace, dossier personnel, Archives de l’Académie des sciences de Paris.

61Sur un plan plus général de l’histoire des mathématiques, notre étude s’insère dans un champ actuellement très développé : qu’est-ce qui, en mathématiques, fait patrimoine et pour qui ? Comment et par quels biais la patrimonialisation s’effectue ? (Ehrhardt, Bruneau & d’Enfert, 2022). L’œuvre mathématique de la figure tutélaire de Laplace constitue, en soi, un cas d’étude. De Laplace, ne sont généralement retenus que ses apports en probabilités et en mécanique céleste. Son volumineux dossier personnel aux archives de l’Académie des sciences (Laplace)45 en atteste. Un document est révélateur : l’article rédigé en 1930, pour Le Figaro, par l’académicien des sciences Maurice d’Ocagne (1862-1938). Ce texte fait partie d’une série intitulée « Nos grands mathématiciens » et s’adresse à un large public. D’Ocagne met en avant « l’immortel créateur de La Mécanique céleste » mais ne dit mot de la transformation qui portait déjà le nom de Laplace au moment de la parution du texte. Une étude approfondie de nos corpus articulée à des enquêtes de terrain avec des praticiens (via des archives, des rapports techniques, mais également des archives orales pour les cas plus récents) nous permettra d’inclure, ou non, la transformée de Laplace dans un patrimoine technique ou professionnel.

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Bibliographie

Sources primaires

Annales des ponts et chaussées (1956), 126e, n° 1, janvier-février.

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Blanc Charles (1943b), « Les méthodes du calcul symbolique », Bulletin technique de la Suisse romande, vol. 69, n° 1, p. 1-5.

Bliot François (1981), « Quand la transformée de Laplace devient série de Fourier », GeSi (Génie électrique Service information), vol. 2, p. 21.

Boissel René, Maléjacq Gaëtan & Cozian Gilles (1994), Mathématiques pour l’électronique et l’électrotechnique, Paris, Ediscience international.

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Thuillier Pierre & Belloc Jean-Claude (1986), Mathématiques. Analyse 3 : séries, intégrale de Laplace, Paris, Masson (3e tirage).

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Cirmath, Circulation des mathématiques dans et par les journaux : histoire, territoires et publics, Projet ANR coordonné par Hélène Gispert, Philippe Nabonnand & Jeanne Peiffer, https://cirmath.hypotheses.org/

Deakin Michael A. B. (1980), « Euler’s Version of the Laplace Transform », The American Mathematical Monthly, vol. 87, n° 4, p. 264-269.

Deakin Michael A. B. (1981), « The Development of the Laplace Transform, 1737-1937 I. From Euler to Spitzer, 1737-1880 », Archive for History of Exact Sciences, vol. 25, n° 4, p. 343-390. 

Deakin Michael A. B. (1982), « The Development of the Laplace Transform, 1737-1937 II. From Poincaré to Doetsch, 1880-1937 », Archive for History of Exact Sciences, vol. 26, p. 351-381.

Deakin Michael A. B. (1992), « The Ascendancy of the Laplace Transform and how it Came About », Archive for History of Exact Sciences, vol. 44, n° 3, p. 265-286.

Deakin Michael A. B. (1997), « Taking Mathematics to Ultima Thule: Horatio Scott Carslaw - His Life and Mathematics », Australian Mathematical Society. Gazette, vol. 24, n° 1, p. 4-16.

Ehrhardt Caroline, Bruneau Olivier & d’Enfert Renaud (éds.) (2022), Philosophia scientiæ, vol. 26, n° 2 (Patrimonialisation des mathématiques xviiie-xxe siècles).

Peiffer Jeanne, Gispert Hélène & Nabonnand Philippe (2020), « De l’histoire des journaux mathématiques à l’histoire de la circulation mathématique », Cahiers François Viète, sér. III, vol. 9, p. 123-154.

Petitgirard Loïc (2019), Pour une histoire des rapports entre savoirs mathématiques et instrumentation au 20e siècle, Mémoire inédit d’habilitation à diriger des recherches (Partie 2), Paris, Conservatoire national des arts et métiers.

Remmert Volker R. (1999), « Mathematicians at War Power Struggles in Nazi Germany’s Mathematical Community: Gustav Doetsch and Wilhelm Süss », Revue d’histoire des mathématiques, vol. 5, p. 7-59.

Tisserand Étienne, Pautex Jean-François & Schweitzer Patrick (2009), Analyse et traitement des signaux, méthodes et applications au son et à l’image, Paris, Dunod (2e édition).

Tournès Dominique (2014), « Mathematics of Engineers: Elements for a New History of Numerical Analysis », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 4, p. 1255-1273.

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Notes

1 Nous ne définirons pas ces termes ici et renvoyons à une littérature spécialisée (Tisserand, Pautex & Schweitzer, 2009).

2 La théorie des distributions, généralisation de la notion de fonctions mise en œuvre par Laurent Schwartz (1915-2002), n’est enseignée en mathématiques que dans les cursus d’ingénieur à partir de la licence 3, nous n’en traiterons pas ici, car la forme élémentaire de la transformée de Laplace est enseignée jusqu’en licence 2 sans introduire les distributions, et est largement utilisée ainsi par les professionnels. Pour les mêmes raisons, nous laissons volontairement de côté les transformations de fonctions à plusieurs variables.

3 Le seul examen des ouvrages contenant dans leur titre le mot « transformation de Laplace » dans le Système universitaire de documentation (SUDOC) (http://www.sudoc.abes.fr) permet d’identifier l’existence d’une cinquantaine de documents à ce sujet entre 1939 et début 1980. La transformation de Laplace a été un champ actif de recherche relevant des mathématiques pures ou appliquées.

4 Sur la question générale de l'usage des tables par les ingénieurs, voir (Tournès, 2014).

5 Nous pensons tout particulièrement aux fonctions de transfert. Souvent, elles prennent la forme d’une fraction. Plutôt que de la décomposer en éléments simples et d’appliquer ensuite la relation de linéarité de la transformée inverse, les praticiens se contentent de lire dans la table la transformation inverse de la fraction.

6 Pour le rôle joué par Doetsch dans la communauté mathématique de l’Allemagne nazie, nous renvoyons à (Remmert, 1999).

7 Au début des années 1850, Petzval s’est brouillé avec son ancien étudiant Simon Spitzer (1826-1887). Ce dernier, surtout connu pour avoir publié des tables d’intérêts composés, après avoir été recteur à Vienne et directeur d’une banque privée, n’était pas considéré par Petzval comme mathématicien. Ce jugement a provoqué une polémique prolongée et publique entre les deux hommes, au cours de laquelle Spitzer a dénoncé Petzval comme n’étant qu’un plagiaire de Laplace.

8 Cette collection fut impulsée à la fin des années 1980 par André Baumy, professeur agrégé de sciences physiques au Lycée naval de Brest.

9 « This book contains the substance of a course of lectures delivered to engineers and physicists at the National Standards Laboratory, Sydney, in 1944, when the author was seconded to the Radiosphysics Laboratory of the Council for Scientific and Industrial Research. A mimeographed edition was produced by the C.S.I.R. in 1945 for circulation in Australia. » Toutes les traductions proposées dans cet article sont les nôtres.

10 Le Council for Scientific and Industrial Research National Standards Laboratory (1939-1973) a été fondé à Sydney en 1939. Il comprenait initialement trois sections (électrotechnique, métrologie et physique) jusqu’en 1945 et comptait des ingénieurs et des chercheurs en sciences appliquées (Encyclopedia of Australian Science and Innovation).

11 Afin d’éclairer cette dernière question, nous avons pris contact, sans succès, auprès du CSIR, afin de consulter l’édition originale ronéotypée et la comparer avec les éditions imprimées ultérieures.

12 Malgré le relatif succès de cet ouvrage dans l’espace anglophone, il n’été traduit, ni en français ni en allemand. Cela étant, il a circulé dans les bibliothèques universitaires françaises comme l’indique une recherche dans le SUDOC. Notre exemplaire, acheté au marché du livre ancien de Paris, faisait partie d’une bibliothèque privée essentiellement composée d’ouvrages d’ingénierie des années cinquante. Est-ce à croire que l’ouvrage a circulé dans ce milieu d’ingénieurs ou chercheurs intéressés par le traitement du signal comme il l’a fait, sous sa forme d’édition ronéotypée dans l’Australie de l’immédiate après Deuxième Guerre mondiale ? En revanche, nous n’avons trouvé aucune citation de cet ouvrage d’apprentissage dans les ouvrages français malgré son succès, au moins, en Angleterre, aux États-Unis et en Australie.

13 La nécrologie sur Carslaw rédigé par Deakin (1997) permet de comprendre la collaboration les unissant.

14 « Such functions are not likely to appear in the types of problem to which the theory is usually applied » (Jaeger, 1953, chap. I).

15 Carson a introduit une variante de la transformation de Laplace sous la forme \(f^*(p)=p\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-pt} \mathrm{d}t\). On note par rapport à la transformée de Laplace classique la présence devant l’intégrale de la variable \(p\). Ainsi la dérivée par rapport au temps devient une simple multiplication par \(p\) autrement dit : \(f’^*(p)=pf^*(p)\). Exit la présence de la condition initiale. Cette forme s’est imposée dans les années cinquante sous l’appellation de « transformée de Laplace-Carson ».

16 Jaeger ne détaille pas le fait qu’on obtient une série géométrique (convergente) de raison \(q=e^{-pT}\) dont la somme \(\frac{1}{1-q}\) est simplement indiquée à la ligne suivante du calcul.

17 « Dieser Name, der daher rührt, dass durch Zusammenfalten der Strecke \(0…t\) in der Mitte gerade die beiden Argumentwerte \(\tau\) und \(t-\tau\) zur Deckung gebracht werden, dürfte zuerst von F. Bernstein und mir seit 1920 gebraucht worden sein und is heute allgemein adoptiert […]. N. Wiener hat in seinem Buch: The Fourier-Integral and certain of its applications; Cambridge 1933, S. 45, das Wort ohne Angabe seiner Herkunft auch ins Englische übernommen, weil es sich kaum übersetzen lasse. »

18 Quand on multiplie un polynôme par un autre, le coefficient de \(x^n\) est donné par \(a_0b_n + a_1b_{n-1}+a_2b_{n-2}+ \dots a_nb_0\) où les \(a_i\) et les \(b_i\) désignent respectivement les coefficients du premier et du deuxième polynôme. Autrement dit, on « plie » entre eux les coefficients : on les retourne, on effectue un enroulement entre le premier et le dernier, le deuxième et l’avant-dernier, le deuxième et l’antépénultième, etc.

19 Ces ouvrages à destination de ceux qui utilisent des résultats mathématiques (ingénieurs et chercheurs en sciences appliquées) se développent considérablement dans l’édition de l’après-guerre. Ils sont les successeurs de ces ouvrages du xixe siècle ne contenant que des tables pour les arpenteurs, les actuaires, les géodésiens, les métiers du vin avec leurs calculs de volumes, etc.

20 Depuis les années 1990, les historiens mobilisent les journaux de mathématiques, au sens le plus large du terme pour étudier les circulations des savoirs dans les espaces éditoriaux constitués par les journaux. Plusieurs programmes de recherche ont d’ailleurs réuni les historiens travaillant ces questions. Le plus récent est le programme intitulé « Circulation des mathématiques dans et par les journaux : histoire, territoires et publics (Cirmath) » ; il examine la circulation des mathématiques et montre qu’elles ne sont pas présentes que dans les journaux de mathématiques ou se revendiquant comme tels mais aussi dans d’autres journaux comme les journaux destinés aux communautés des ingénieurs, des actuaires, etc. (Peiffer, Gispert & Nabonnand, 2020).

21  Voir épigraphe.

22  Blanc fait allusion à la définition d’une intégrale par la limite de la somme des rectangles approximant l’aire d’une fonction (positive) (somme dite « de Darboux »).

23 Cette table a été augmentée et rééditée plusieurs fois.

24 La machine d’Atwood — mis au point par George Atwood (1745-1807) — a été conçue pour l’étude de la chute libre des corps. Souvent utilisée dans un usage pédagogique, elle permet de vérifier la relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton).

25 Dans la douzaine de revues dépouillées par consultation des tables des matières, nous avons identifié une cinquantaine d’articles traitant exclusivement ou partiellement de la transformation de Laplace. Tous ont été publiés après la Seconde Guerre mondiale et sont de nature et de format variés.

26 Les tables des revues techniques comptent de nombreux exemples traités qui se réduisent à un cas générique dans les articles scientifiques. De plus, elles respectent des notations usuelles employées par les praticiens ce qui ne correspond pas toujours au formalisme employé par les mathématiciens.

27  Le mot « algébrisation » est un mot assez employé dans les publications. Par exemple, l’ingénieur des Postes et Télégraphes Léon Bouthillon (1884-1964) étudie les oscillations et phénomènes transitoires grâce la méthode d’algébrisation, autrement dit, par les transformations de Laplace dans un ouvrage publié en 1948 (Bouthillon, 1948).

28 Il conviendrait de lister aussi exhaustivement que possible l’ensemble des revues pour ingénieurs ; elles ont été un véritable catalyseur de circulations des savoirs auprès d’un public spécifique. Un important travail de repérage a été proposé dans (Bret, Chatzis & Pérez, 2008).

29 Ces 6 000 ouvrages, essentiellement publiés depuis les années 1960s, sont répartis dans différentes sections (elles-mêmes subdivisées) : informatique (700), sciences (1500), mathématiques (150), astronomie (50), physique (200), technologies (3000) & ingénierie (200). Nous avons indiqué entre parenthèses le nombre de titres relatifs à chaque section.

30  Un des plus anciens ouvrages du fonds de Cachan (traduction d’un ouvrage de Fritz Bergtold (1898-1994) (Bergtold, 1958/1968) laisse penser que la transformée de Laplace n’a pas été enseignée aussi rapidement dans l’enseignement technique allemand. Ce livre est la traduction de Mathematik für Radiotechniker und Elektroniker. Avec quarante éditions entre 1957 et 1987 et quatre traductions, il a sans doute accompagné la formation de plusieurs générations d’électrotechniciens et d’électroniciens. Il ne fait aucune référence à la transformation de Laplace.

31  Salles Francisque, dossier personnel, Archives nationales, Pierrefitte-sur-Seine, F/17/30172/B.

32  Pour une notice biographique sur Gauthier, nous renvoyons au Dictionnaire biographique des enseignants de la Faculté des sciences de Nancy (1854-1918), http://cussenot-fst-nancy.ahp-numerique.fr/cussenot2/alphabetique.php?recherche=GAUTHIER

33 Les physiciens, face à un phénomène dont la représentation graphique a la forme d’une grande pointe étroite (charge ponctuelle, masse ponctuelle, force localisée en un point, etc.), utilisent une distribution (ou « fonction » ou impulsion) de Dirac.

34 Contrairement à certaines situations arithmétiques analysées par Maarten Bullynck (2010), il ne nous semble pas que les tables de Laplace soient utilisées par le mathématicien pour produire des résultats originaux.

35 On résout l’équation sans second membre ; s’il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second degré à coefficients constants, on détermine les solutions de l’équation caractéristique avant d’en déduire les solutions de l’équation différentielle homogène ; ensuite, on cherche une solution particulière de l’équation puis en vertu du théorème dit « de superposition », on ajoute les solutions de l’équation homogène à la solution particulière.

36 L’ensemble des sujets posés en BTS est facilement consultable car il existe des annales synthétiques pour ces examens nationaux. La tâche est plus ardue que pour les sujets posés en IUT car l’évaluation n’est pas nationale mais locale avec un système d’évaluations continu. Cependant, au cours des années 2000s et pendant une dizaine d’années, une association de professeurs de mathématiques (« Et les maths ! ») à dimension nationale (regroupant la plupart des enseignants de mathématiques de la cinquantaine de départements de génie électrique et d’informatique industrielle) a recensé les sujets posés et a publié des annales corrigées (Et les maths !, 2005).

37  Programmes des classes préparatoires aux grandes écoles (Annexe 3), https://edu.ens-rennes.fr/pluginfile.php/4279/mod_resource/content/2/MPSI-MP.pdf

38 Signalons que cet écart entre applications et savoirs requis pour comprendre les concepts en jeu n’est pas une spécificité de la transformation de Laplace. Les probabilités enseignées au lycée requièrent des fondements mathématiques qui ne sont pas à la portée d’un lycéen.

39 Cette formulation (avec ses variantes) est répétée dans de nombreux ouvrages. Les justifications sont renvoyées au cours de mathématiques adossé.

40 Le fonds cachanais compte plusieurs fascicules destinés aux étudiants et embryons de l’ouvrage publié.

41  Voir note 36.

42  Salles Francisque, dossier personnel, Archives nationales, Pierrefitte-sur-Seine, F/17/30172/B.

43  Un modèle possible serait le Dictionnaire biographique des enseignants de la Faculté des sciences de Nancy (1854-1918).

44  Un inventaire, établi à partir des réserves du Conservatoire national des arts et métiers, laisse penser qu’il y a eu peu de tentatives industrielles pour se lancer dans la conception de telles machines.

45  Pierre Simon de Laplace, dossier personnel, Archives de l’Académie des sciences de Paris.

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Table des illustrations

Titre Figure 1 - « Heaviside’s shifting theorem » (théorème du déplacement de Heaviside)
Crédits Source : (Jaeger, 1953, chap. III)
URL http://journals.openedition.org/cahierscfv/docannexe/image/3508/img-1.png
Fichier image/png, 90k
Titre Figure 2 -Transformée d’une fonction T-périodique16
Crédits Source : (Jaeger, 1953, chap. III)
URL http://journals.openedition.org/cahierscfv/docannexe/image/3508/img-2.png
Fichier image/png, 109k
Titre Figure 3 - « The superposition Theorem » ou comment calculer la transformée d’un produit
Crédits Source : (Jaeger, 1953, chap. III)
URL http://journals.openedition.org/cahierscfv/docannexe/image/3508/img-3.png
Fichier image/png, 100k
Titre Figure 4 - Extrait de la table des transformées de Blanc
Crédits Source : (Blanc, 1943a)
URL http://journals.openedition.org/cahierscfv/docannexe/image/3508/img-4.png
Fichier image/png, 97k
Titre Figure 5 - Note de lecture des Annales des ponts et chaussées
Crédits Source : (Annales des ponts et chaussées, 1956, p. 122)
URL http://journals.openedition.org/cahierscfv/docannexe/image/3508/img-5.png
Fichier image/png, 102k
Titre Figure 6 - Extrait d’une table des principales transformées de Laplace
Crédits Source : (Thuillier & Belloc, 1986, Table 3)
URL http://journals.openedition.org/cahierscfv/docannexe/image/3508/img-6.png
Fichier image/png, 129k
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Pour citer cet article

Référence papier

Norbert Verdier, Aurélien Gautreau et Pascal Raini, « La transformation de Laplace élémentaire dans les formations mathématiques pour l’ingénieur et le technicien. Du calcul intégral à « l’algébrisation » des équations différentielles et la production de tables »Cahiers François Viète, III-13 | 2022, 187-221.

Référence électronique

Norbert Verdier, Aurélien Gautreau et Pascal Raini, « La transformation de Laplace élémentaire dans les formations mathématiques pour l’ingénieur et le technicien. Du calcul intégral à « l’algébrisation » des équations différentielles et la production de tables »Cahiers François Viète [En ligne], III-13 | 2022, mis en ligne le 01 novembre 2022, consulté le 26 mars 2025. URL : http://journals.openedition.org/cahierscfv/3508 ; DOI : https://doi.org/10.4000/cahierscfv.3508

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Auteurs

Norbert Verdier

Maître de conférences en histoire des mathématiques (GHDSO-EST, université Paris-Saclay), il enseigne les mathématiques de l’ingénieur à l’IUT de Cachan. Ses travaux de recherche portent essentiellement sur la presse mathématique et sur les éditeurs au xixe siècle. Il coordonne avec Aurélien Gautreau et Pascal Raini divers projets. Sa dernière publication (sous presse) est relative aux actes du séminaire PÉLIAS (Périodiques, Littérature, Arts et Sciences) qu’il co-dirige avec Alexia Kalantzis (Université Versailles Saint-Quentin, Centre d’histoire culturelle des sociétés contemporaines) et Hélène Védrine (Sorbonne Université, Centre d’étude de la langue et des littératures française 19-21).

Aurélien Gautreau

s’intéresse à l’histoire des mathématiques, des sciences et de l’éducation (GHDSO de l’UR EST (Paris Saclay), il enseigne les mathématiques de l’ingénieur à l’IUT de Cachan. Co-auteur de plusieurs publications (sous presse) en collaboration : Le Bureau des longitudes et ses éditeurs : Didot et ses tables stéréotypées (avec Norbert Verdier) ; Diriger un journal de mathématiques et y collaborer au temps de Laisant : le cas de la « Nouvelle correspondance mathématique (1874-1880) » (avec Norbert Verdier). Auteur d'une communication à paraître dans les actes du séminaire PÉLIAS, Des périodiques par et pour les lycéens : le cas du « journal de mathématiques élémentaires » de l’école préparatoire Sainte-Barbe en 1870. Il vient de soumettre à la Revue d’histoire des sciencesLa copie de physique d’Évariste Galois au concours de l’École préparatoire en 1829.

Pascal Raini

est sapeur-pompier de Paris. Il y enseigne les sciences, et les mathématiques en particulier, depuis plus de dix ans afin de préparer aux différents concours organisés par cette institution. Ancien élève de l’ENS Cachan, il enseigne également les mathématiques de l’ingénieur à l’IUT de Cachan, dont il est un ancien étudiant. Intéressé par l’histoire des sciences et des techniques, il collabore avec Aurélien Gautreau et Norbert Verdier à différents projets relevant de l’histoire et de la vulgarisation scientifique dont la rubrique « Mathématiques en questions » pour la revue Quadrature, magazine de mathématiques pures et appliquées ou le Séminaire d’histoire des sciences et des techniques de Cachan.

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Le texte seul est utilisable sous licence CC BY-NC-ND 4.0. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.

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