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Information scientifique

L’intérêt de l’analyse en composantes principales (ACP) pour la recherche en sciences sociales

Présentation à partir d’une étude sur le Mexique
Marc Guerrien
p. 181-192

Résumés

L’analyse en composantes principales (ACP) est un outil extrêmement puissant de synthèse de l’information, très utile lorsque l’on est en présence d’une somme importante de données quantitatives à traiter et interpréter. L’apparition au cours des dernières années de logiciels chaque fois plus performants et faciles à utiliser rend aujourd’hui accessible ce type d’analyses des données à tous les chercheurs en sciences sociales, et non plus aux seuls spécialistes. C’est pourquoi nous proposons ici de présenter le principe et l’intérêt de l’ACP à partir d’un exemple simple, celui d’une analyse portant sur les trente-deux entités fédérales du Mexique fondée sur 12 variables démographiques socio-économiques et culturelles.

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Texte intégral

  • 1 Le logiciel français SPAD est particulièrement bien conçu et très pratique à l’usage.

1 L’analyse en composantes principales (ACP) est un outil extrêmement puissant de compression et de synthèse de l’information, très utile lorsque l’on est en présence d’une somme importante de données quantitatives à traiter et interpréter. L’apparition au cours des dernières années de logiciels chaque fois plus performants et faciles à utiliser1 rend aujourd’hui accessibles ce type d’analyses des données à tous les chercheurs en sciences sociales, et non plus aux seuls spécialistes. C’est pourquoi nous proposons ici de présenter le principe et l’intérêt de l’ACP à partir d’un exemple simple, celui d’une analyse portant sur les trente-deux États fédérés mexicains fondée sur 12 variables démographiques socio-économiques et culturelles. On a volontairement choisi comme cas d’étude un espace familier à de nombreux lecteurs des Cahiers des Amériques Latines, afin de mettre en lumière l’efficacité d’une méthode d’analyse des données applicable à toute aire géographique et culturelle.

  • 2 Pour éviter la confusion du lecteur, il faut souligner que lorsque l’on parle de « composantes pri (...)

2L’ACP est une analyse factorielle, en ce sens qu’elle produit des facteurs (ou axes principaux) qui sont des combinaisons linéaires des variables initiales, hiérarchisées et indépendantes les unes des autres. On appelle parfois ces facteurs des « dimensions latentes », du fait qu’ils sont l’« expression de processus généraux dirigeant la répartition de plusieurs phénomènes qui se retrouvent ainsi corrélés entre eux » (Béguin & Pumain, 2000). On va voir que, dans le cas du Mexique, la proportion des actifs gagnant plus de 5 salaires minimaux est un principe de différenciation qui va conditionner toute une série d’autres facteurs (niveaux d’équipement en ordinateurs ou automobiles, confort des logements, etc.). Plutôt que d’effectuer une représentation cartographique pour chacune des variables retenues pour l’étude nous offrant des informations souvent récurrentes et redondantes, le calcul de quelques composantes principales2 concentrant l’essentiel de l’information contenue dans la matrice - ou tableau - de données de départ permet de distinguer très clairement les grandes tendances de l’organisation spatiale de l’espace étudié, sans se noyer dans une mer de chiffres difficilement interprétables.

Choix de la population et des variables

  • 3 Ce qui arrive si l’on utilise par exemple des variables comme « population totale » et « populatio (...)
  • 4 Par exemple au Mexique, il est bien plus intéressant d’étudier la proportion des foyers équipés d’ (...)

3L’ACP se réalise sur une population donnée. Dans l’exemple choisi ici, les individus statistiques constituant cette population sont les 32 États mexicains, mais il peut tout aussi bien s’agir de pays, de régions, de communes, de quartiers, de personnes, ou d’objets quelconques. La première étape, essentielle, consiste à choisir des variables à partir desquelles on veut réaliser l’ACP. Suivant ce que l’on analyse, on choisira telle ou telle variable. En général, lorsque l’on travaille sur des unités spatiales de tailles inégales, il est préférable qu’elles soient sous la forme de taux, de moyennes ou de proportions, pour éviter des corrélations structurelles biaisant l’analyse3. Dans notre exemple, on a retenu comme variables un taux (taux de fécondité), deux moyennes (densité d’habitant au km 2 et nombre moyen d’habitants par logement), et 9 proportions (celles de la population âgée de moins de 15 ans, de la population de plus de 15 ans ayant accédé à l’éducation supérieure, des actifs gagnant moins de deux salaires minimaux, des actifs gagnant plus de 5 salaires minimaux, des logements dont le sol est en terre, des logements dont les occupants sont propriétaires, des foyers équipés d’une voiture, des foyers équipés d’un ordinateur et des foyers dont le chef est une femme). On a sélectionné ces diverses variables, issues du recensement réalisé en 2000 au Mexique par l’Institut National d’Économie, Géographie et Informatique (INEGI), pour dresser un portrait global de la population et du logement dans ce pays aujourd’hui, et identifier les grandes divisions spatiale qui marquent son territoire. Elles nous ont en effet paru être des indicateurs intéressants des niveaux de développement démographique, économique et culturel, mais le choix garde toujours une part de subjectivité. C’est pourquoi il demeure toujours essentiel d’avoir une bonne connaissance du terrain avant de réaliser ce type d’analyses, une variable pouvant s’avérer intéressante dans une société donnée, mais pas dans une autre4.

Lecture de la matrice des corrélations

  • 5 Le coefficient de corrélation entre deux variables, égal au rapport entre la covariance entre ces (...)

4Une fois les variables sélectionnées, le calcul de la matrice des corrélations5 permet d’analyser les relations bilatérales existant entre les différentes variables retenues.

Tableau n° 1 : Matrice des corrélations entre les douze variables de départ.

densité

densité 1.00

<15

educ°

féc.

5 s. m.

2 s. m.

préca.

prop.

voit.

ordi.

fem.

hb/foy.

<15

-0.54

1.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

educ°

0.60

-0.83

1.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

féc.

-0.30

0.53

-0.37

1.00

 

 

 

 

 

 

 

 

5 s. m.

0.26

-0.70

0.73

-0.34

1.00

 

 

 

 

 

 

2 s. m.

-0.03

0.40

-0.48

0.16

-0.84

1.00

 

 

 

 

 

 

préca.

-0.24

0.66

-0.64

0.37

-0.72

0.49

1.00

 

 

 

 

 

prop.

-0.31

0.56

-0.48

0.31

-0.64

0.54

0.49

1.00

 

 

 

 

voit.

0.05

-0.56

0.53

-0.13

0.79

-0.78

-0.67

-0.45

1.00

 

 

 

ordi.

0.59

-0.77

0.82

-0.46

0.86

-0.66

-0.71

-0.63

0.66

1.00

 

 

fem.

0.47

-0.10

0.10

0.15

-0.14

0.10

0.24

-0.13

-0.09

0.40

1.00

 

hb/foy.

-0.22

0.75

-0.58

0.26

-0.60

0.41

0.41

0.53

-0.54

-0.15

-0.09

1.00

5Ici, la matrice permet par exemple d’observer la relation positive forte entre la proportion d’actifs gagnant plus de 5 salaires minimaux et les proportions de foyers équipés d’un ordinateur ou d’une voiture, de constater les relations négatives entre ces variables et la proportion de population âgée de moins de 15 ans ou le nombre d’habitants par foyers, etc. Toutes ces corrélations entre variables vont conditionner la composition des axes factoriels dont le sens et la signification s’interpréteront en fonction de leur corrélation avec chaque variable.

Part de la variance expliquée par les axes factoriels

6La diagonalisation par le logiciel de la matrice de données de départ - ici de format (12 x 32) - donne un histogramme des valeurs propres indiquant la part de l’ensemble de l’information contenue sur chaque facteur, ou composante principale. Les axes sont indépendants les uns des autres et se croisent au centre d’un nuage de points correspondant aux individus statistiques (ici les États) disséminés dans un espace dont le nombre de dimensions est égal au nombre de variables (ici 12 dimensions donc). Tout l’intérêt de l’ACP réside dans cette indépendance puisque ce sont des informations et des organisations spatiales de nature bien différentes que l’analyse fait ressortir pour chaque axe. Par ailleurs, du fait que les facteurs sont hiérarchisés et prennent des parts décroissantes de la variance, les premiers axes concentrent généralement l’essentiel de l’information, ce qui facilite plus encore l’analyse. Dans notre exemple, on peut lire dans la troisième colonne du tableau ci-joint que le premier axe de l’ACP, correspondant à la première valeur propre, concentre à lui seul plus de la moitié de l’ensemble de l’information (53,33 %). Le second et le troisième axe en regroupant chacun respectivement 14,88 % et 9,47 %, plus des trois quarts de la variance (77,68 %) est expliquée par ces trois premiers axes. On peut donc se contenter de retenir ces trois axes pour l’analyse, l’information contenue sur les 9 autres pouvant être considérée comme résiduelle. À noter que si la variance expliquée par les trois premiers facteurs avait été plus faible (par exemple seulement 60 ou 65 % de l’information), on aurait éventuellement pu prendre en compte le quatrième axe, et si elle avait été plus élevée sur les deux premiers (par exemple 75 ou 80 % de la variance expliquée), on aurait pu négliger la troisième composante principale sans perdre trop de l’information contenue dans le tableau de départ.

Tableau n° 2 : Valeurs propres λκ et pourcentage de la variance expliquée par chaque axe factoriel.

Numéro facteur

Valeur propre

Part de la variance totale expliquée (%)

Part de la variance totale expliquée (% cumulé)

k

λκ

λκ/Σλi

(Σλi)/Σλi

1

6.3995

53.33

53.33

2

1.7858

14.88

68.21

3

1.1360

9.47

77.68

4

0.7488

6.24

83.92

5

0.6363

5.30

89.22

6

0.4396

3.66

92.88

7

0.3581

2.98

95.87

8

0.1784

1.49

97.35

9

0.1215

1.01

98.37

10

0.0929

0.77

99.14

11

0.0681

0.57

99.71

12

0.0350

0.29

100.00

Analyse des corrélations variables-facteurs

7La lecture pour chacun des facteurs retenus des corrélations avec les 12 variables permet ensuite de déterminer leur signification concrète. Dans notre exemple, on voit sur le cercle des corrélations entre les deux premières composantes principales et les 12 variables que le facteur 1 s’avère être un indicateur de sous-développement. En effet, en projetant orthogonalement les vecteurs sur cet axe 1, on constate des corrélations positives avec les indicateurs de pauvreté et de précarité (proportion d’actifs gagnant moins de 2 salaires minimaux, proportion de logements dont le sol est en terre, etc.) et des corrélations négatives avec les indicateurs de richesse et développement (proportion d’actifs gagnant plus de 5 salaires minimaux, proportions de la population ayant accédé à l’éducation supérieure, taux d’équipements en voitures et en ordinateurs, etc.).

8Les États qui ont les coordonnées positives les plus élevées sur ce premier facteur sont donc les plus sous-développés (Guerrero, Oaxaca, Chiapas), alors que ceux qui ont les coordonnées négatives les plus fortes sont les plus riches (District Fédéral, Basse Californie Nord et Sud, Nuevo León, etc.).

Figure n° 1a : corrélations entre les douze variables et les facteurs 1 et 2.

Figure n° 1a : corrélations entre les douze variables et les facteurs 1 et 2.

9Une fois déterminée la signification de l’axe factoriel et le positionnement respectif des individus statistiques étudiés sur cet axe, on peut faire une représentation cartographique en faisant une partition de l’ensemble des individus en fonction de leurs coordonnées sur cet axe. Le nombre de classes retenues pour cette partition sera plus ou moins élevé en fonction du degré de précision que l’on veut atteindre. Dans notre exemple, on peut répartir les 32 individus statistiques que sont les États en six classes d’étendue égale symétriques par rapport à l’origine. La représentation cartographique que l’on obtient alors fait apparaître très nettement la division entre un Nord prospère (grâce notamment aux industries maquiladoras et d’une manière générale à sa position stratégique à la frontière des États-Unis) et un Sud sous-développé, ces deux extrêmes étant séparés par une vaste zone assez homogène de niveau intermédiaire. On notera néanmoins le positionnement atypiquement favorable de Quintana Roo (à l’extrême Est du pays), lié à la présence de l’« or bleu » carribéen.

Figure n° 1b : Coordonnées des individus sur les facteurs 1 et 2.

Figure n° 1b : Coordonnées des individus sur les facteurs 1 et 2.

10On procède de la même manière pour l’axe 2, pour constater que les États qui ont des coordonnées positives élevées sur cet axe sont à la fois denses, comptent relativement peu de riches et beaucoup de pauvres mais ont plutôt un niveau relatif d’éducation élevé et des mœurs plus modernes (District Fédéral et à un degré moindre Morelos, Veracruz, Guerrero, etc.). À l’inverse avec des coordonnées négatives élevées apparaissent les États où l’on trouve des niveaux de culture et d’éducation plus médiocres relativement au niveau de richesse matérielle (Coahuila, Basse Californie Nord et Sud, Nuevo León, Quintana Roo, etc.). La représentation cartographique fait apparaître un autre type de division spatiale, distinguant le centre du pays de ses périphéries.

11En ce qui concerne l’axe 3, en suivant exactement la même méthode, on obtient une carte qui fait apparaître une division entre l’Est et l’Ouest du pays. Les coordonnées positives sur cet axe correspondant aux zones pauvres et peu dynamiques démographiquement, on voit logiquement apparaître avec des valeurs supérieures à 0 les États du Golfe, qui se caractérisent par des niveaux de pauvreté relativement élevés mais un accroissement naturel modéré. À l’inverse, on retrouve avec des coordonnées négatives les États de la façade du Pacifique, qui ont pour caractéristiques un plus grand dynamisme démographique et des niveaux de pauvreté très variables.

Carte n° 1 : Les États en fonction de leur coordonnée x1i sur le premier axe factoriel (niveau relatif de richesse et de développement des États mexicains).

Carte n° 1 : Les États en fonction de leur coordonnée x1i sur le premier axe factoriel (niveau relatif de richesse et de développement des États mexicains).

Carte n° 2 : Les États en fonction de leur coordonnée x2i sur le deuxième axe factoriel (niveau relatif culturel et d’éducation des États mexicains par rapport à leur richesse).

Carte n° 2 : Les États en fonction de leur coordonnée x2i sur le deuxième axe factoriel (niveau relatif culturel et d’éducation des États mexicains par rapport à leur richesse).

Figure n° 2a : corrélations entre les douze variables et les facteurs 1 et 3.

Figure n° 2a : corrélations entre les douze variables et les facteurs 1 et 3.

Figure n° 2b : Coordonnées des individus sur les facteurs 1 et 3.

Figure n° 2b : Coordonnées des individus sur les facteurs 1 et 3.

Carte n° 3 : Les États en fonction de leur coordonnée x3i sur le troisieme axe factoriel (le degré de dynamisme démographique rapporté au niveau de pauvreté des États mexicains).

Carte n° 3 : Les États en fonction de leur coordonnée x3i sur le troisieme axe factoriel (le degré de dynamisme démographique rapporté au niveau de pauvreté des États mexicains).

***

12On retiendra de cet exemple mexicain que l’ACP nous a permis de compresser une somme considérable d’information (284 données de départ) pour en dégager l’essentiel, à savoir trois grands types de divisions socio-spatiales de nature distinctes (Nord/Sud pour le développement, centre/périphérie pour le niveau relatif d’éducation et de culture et Est/Ouest pour le dynamisme démographique). On a ainsi en quelque sorte résumé 12 cartes en 3, avec une perte négligeable d’information, ce qui facilite évidemment d’autant l’analyse des tendances de l’organisation spatiale du territoire.

13Une foule d’interprétations plus fines peuvent être menées en analysant en détail les corrélations entre chaque variable et chaque facteur, et en observant le positionnement précis de chaque individu sur les axes. Mais ce n’était guère l’objet de notre propos ici, qui était de présenter brièvement une méthode d’analyse des données à la fois accessible à tous - y compris à ceux qui ne sont guère familiers du maniement des chiffres et des méthodes de traitements statistiques - et particulièrement puissante et efficace pour synthétiser une masse importante d’informations et en faire ressortir l’essentiel.

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Bibliographie

Pour les lecteurs non initiés désireux d’en savoir plus sur les méthodes d’analyse des données et de traitement statistique en général en géographie et en sciences sociales, on recommande particulièrement deux ouvrages de référence, caractérisés à la fois par leur grande clarté et leur rigueur, quoique chacun dans un registre différent. Le « Wonnacott & Wonnacott » est de type manuel, d’ailleurs considéré par beaucoup comme la référence mondiale dans le domaine de la statistique descriptive et inductive. Il intéressera ceux qui veulent approfondir leur connaissance des concepts statistiques, et qui ont un minimum de bagage en mathématiques. L’ouvrage de Denise Pumain et Michèle Béguin, sans équivalent en France, est lui accessible à un plus large public et expose très clairement l’essentiel des méthodes de représentation graphique et cartographique utilisées aujourd’hui en sciences sociales, ainsi que le principe et l’intérêt des différents types d’analyses des données les plus répandus.

Béguin M., Pumain D., 2000 (2e ed.), La représentation des données géographiques, statistique et cartographie, Paris, Armand Colin.

Wonnacott T.H., Wonnacott R.J., 1988 (3e ed.), Statistique, Paris, Economica.

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Notes

1 Le logiciel français SPAD est particulièrement bien conçu et très pratique à l’usage.

2 Pour éviter la confusion du lecteur, il faut souligner que lorsque l’on parle de « composantes principales », « facteurs » ou « axes factoriels », on désigne exactement la même chose.

3 Ce qui arrive si l’on utilise par exemple des variables comme « population totale » et « population âgée de moins de 15 ans », l’une faisant partie de l’autre.

4 Par exemple au Mexique, il est bien plus intéressant d’étudier la proportion des foyers équipés d’un ordinateur que celles équipés d’une télévision, la première variant beaucoup plus suivant les groupes sociaux que la seconde (pratiquement toutes les familles désirant posséder un téléviseur en disposent aujourd’hui). Pour la même raison, il est plus intéressant de retenir la proportion de la population ayant accédé à l’éducation supérieure plutôt que celle de la population alphabétisée. Par contre, si l’on étudiait par exemple un pays comme Haïti, la proportion de foyers équipés en ordinateurs y est si faible qu’il serait sans doute plus intéressant d’étudier celle de ceux équipés d’un téléviseur, de même que l’étude des taux d’alphabétisation y serait beaucoup plus pertinente que dans le cas du Mexique.

5 Le coefficient de corrélation entre deux variables, égal au rapport entre la covariance entre ces deux variables et le produit de leurs écart-types respectifs, permet de mesurer le sens et l’intensité de la relation entre celles-ci. Si sa valeur est négative, cela signifie que d’une manière générale quand la valeur de la première variable augmente, celle de la deuxième diminue, et réciproquement (un exemple très simple : la proportion d’hommes et de femmes dans la population). A l’inverse si la valeur est positive, cela signifie que les deux variables augmentent et diminuent ensemble. Indépendamment du sens de la relation, la valeur absolue du coefficient permet de mesurer l’intensité de la relation entre les deux variables : plus elle est proche de 1, plus la relation est forte, plus elle s’approche de 0 moins elle n’a de signification lorsque l’on a comme ici que quelques dizaines d’individus statistiques, on ne considère en général comme significatifs que les coefficients ayant une valeur absolue supérieure à 0,5 c’est à dire compris entre-1 et-0,5 ou entre + 0,5 et + 1.

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Table des illustrations

Titre Figure n° 1a : corrélations entre les douze variables et les facteurs 1 et 2.
URL http://journals.openedition.org/cal/docannexe/image/7364/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 117k
Titre Figure n° 1b : Coordonnées des individus sur les facteurs 1 et 2.
URL http://journals.openedition.org/cal/docannexe/image/7364/img-2.jpg
Fichier image/jpeg, 87k
Titre Carte n° 1 : Les États en fonction de leur coordonnée x1i sur le premier axe factoriel (niveau relatif de richesse et de développement des États mexicains).
URL http://journals.openedition.org/cal/docannexe/image/7364/img-3.jpg
Fichier image/jpeg, 215k
Titre Carte n° 2 : Les États en fonction de leur coordonnée x2i sur le deuxième axe factoriel (niveau relatif culturel et d’éducation des États mexicains par rapport à leur richesse).
URL http://journals.openedition.org/cal/docannexe/image/7364/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 173k
Titre Figure n° 2a : corrélations entre les douze variables et les facteurs 1 et 3.
URL http://journals.openedition.org/cal/docannexe/image/7364/img-5.jpg
Fichier image/jpeg, 91k
Titre Figure n° 2b : Coordonnées des individus sur les facteurs 1 et 3.
URL http://journals.openedition.org/cal/docannexe/image/7364/img-6.jpg
Fichier image/jpeg, 79k
Titre Carte n° 3 : Les États en fonction de leur coordonnée x3i sur le troisieme axe factoriel (le degré de dynamisme démographique rapporté au niveau de pauvreté des États mexicains).
URL http://journals.openedition.org/cal/docannexe/image/7364/img-7.jpg
Fichier image/jpeg, 164k
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Pour citer cet article

Référence papier

Marc Guerrien, « L’intérêt de l’analyse en composantes principales (ACP) pour la recherche en sciences sociales », Cahiers des Amériques latines, 43 | 2003, 181-192.

Référence électronique

Marc Guerrien, « L’intérêt de l’analyse en composantes principales (ACP) pour la recherche en sciences sociales », Cahiers des Amériques latines [En ligne], 43 | 2003, mis en ligne le 10 août 2017, consulté le 19 novembre 2019. URL : http://journals.openedition.org/cal/7364 ; DOI : 10.4000/cal.7364

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Auteur

Marc Guerrien

ATER, Université de Paris VII (marc.guerrien@tele2.fr).

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Droits d’auteur

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