Nous remercions Jean-Yves Briend pour sa relecture attentive du texte, ainsi qu’Étienne Ghys pour une conversation enrichissante sur la correspondance dont il a été question ici.

1Ce texte a été rédigé suite à la préparation d’un exposé à la Bibliothèque nationale de France et à l’Université de Clermont-Ferrand, dans le cadre du cycle de conférences « un texte, un mathématicien » organisé par la Société Mathématique de France. L’exposé était consacré à la correspondance entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat, qu’on voit généralement comme l’acte de naissance de la théorie des probabilités. Plus précisément, les contributions de ces deux géomètres à la mathématisation du hasard consistent en des textes de différentes natures :

• la correspondance Pascal-Fermat de l’été 1654, avec deux lettres de Pascal datées des 29 juillet et 24 août, deux lettres de Fermat du 29 août et du 25 septembre, et enfin une dernière lettre de Pascal le 27 octobre ;
• une adresse de Pascal faite en 1654 aux membres de « l’académie parisienne », hébergée par Jacques Le Pailleur, dans laquelle il annonce la rédaction prochaine d’un traité sur une matière entièrement nouvelle, qu’il nomme avec un sens magnifique de l’oxymore Géométrie du Hasard ;
• le Traité du triangle arithmétique de Pascal, portant sur le tableau de nombres qui porte désormais son nom. La rédaction de ce traité commence avant la correspondance avec Fermat sur les jeux de hasard, mais se nourrira certainement ensuite de cette dernière, et notamment son chapitre III, Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu’on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties ;
• une correspondance ultérieure entre Pascal et Fermat, sans doute en tout ou partie indirecte, par l’intermédiaire de Pierre de Carcavi : l’existence et le contenu de ces échanges sont attestés notamment dans des lettres entre Carcavi et Huygens datées de 1656.

2Il existe bien entendu un grand nombre de résumés et de commentaires de ces différents textes, explorant à fond leur contexte historique et leur portée épistémologique. Le but du présent article est moins ambitieux : nous allons proposer une reconstitution possible, et même, nous l’espérons, plausible, voire probable, de ce qu’a pu être le cours des réflexions de Pascal et de Fermat dans un langage accessible aux non-mathématiciens. Pour ce faire, l’article remarquable de Pierre-José About et Michel Boy, « La correspondance de Blaise Pascal et Pierre de Fermat. La Géométrie de Hasard ou le début du calcul des probabilités », s’avère un guide précieux dans la correspondance visible et invisible.

3Une question qui reviendra souvent sera celle de l’actualité de cette correspondance. De fait, près de 370 ans plus tard, elle semble traiter, à première vue, de problèmes relativement élémentaires et spécifiques, et, bien qu’au début du xix^e siècle Laplace pouvait encore consacrer un chapitre de son traité Théorie analytique des probabilités au problème des partis, ils ont désormais essentiellement disparu des ouvrages de probabilités modernes. Si Pascal et Fermat furent les premiers à avoir « résolu des questions de ce genre, un peu compliquées », pour citer Laplace, doit-on cependant conclure que ces problèmes eux-mêmes n’ont aujourd’hui qu’un intérêt historique ?

4Comme nous l’avons dit, la partie « émergée » de la correspondance a lieu en l’année 1654. Elle traite de deux problèmes, dits des dés et des partis. Mais on a toutes les raisons de penser que les deux hommes ont continué à échanger après cette année, et donc après la fameuse « nuit de feu » du 23 novembre 1654, pourtant réputée mettre un coup d’arrêt à la vie scientifique de Pascal – cette idée, qui prend son origine dans la légende familiale fixée par sa sœur Gilberte Périer, est au mieux une simplification. Ainsi, une lettre du 28 septembre 1656 de Carcavi à Huygens mentionne des discussions entre Pascal et Fermat sur plusieurs questions de probabilités. La plus remarquable, que Pascal « juge sans comparaison plus difficile que toutes les autres », est le célèbre problème de la ruine du joueur, que tout traité de probabilités moderne ne peut manquer de mentionner. Il est peu connu que Pascal en est l’inventeur, et que Fermat et lui sont les premiers à l’avoir résolu.

5Précisons que de nombreuses lettres de la correspondance ont été perdues, y compris dans leurs échanges de 1654. En particulier, la solution de Fermat au problème des partis n’est pas connue dans ses propres termes. Qui découvre leurs échanges se retrouve immanquablement à ressentir le frisson de l’enquêteur, tout en imaginant avec émotion l’état d’impatience que pouvaient éprouver l’un et l’autre des correspondants lorsqu’il délivrait ou attendait le coup suivant de ce ping-pong intellectuel. Faisons donc revivre l’espace d’un instant les « coups fourrés » de ces deux grands esprits.

Enjeux et paris

6Pascal s’intéresse aux propriétés des jeux de hasard et cherche à déterminer les avantages qu’il y a à parier sur les résultats de jets de dés.

7Laplace nous dit, dans sa notice historique sur le calcul des probabilités, que « depuis longtemps, on a déterminé dans les jeux les plus simples, les rapports des chances favorables ou contraires aux joueurs : les enjeux et les paris étaient réglés d’après ces rapports. »

9Pascal procède en géomètre, suivant en cela les principes qu’il a lui-même précisément décrits dans ses textes sur L’esprit de géométrie et L’art de persuader. Il cherche donc à identifier quelques axiomes de départ « très évidents » pour en déduire des propositions suivant les règles des démonstrations géométriques. S’il développe souvent ses démonstrations sur des exemples, il veille à n’utiliser que des « règles générales et sans exception ».

11Un premier principe stipule que, dans un jeu équitable, les « rapports des chances favorables ou contraires » sont réglés selon les proportions des cas favorables aux différents joueurs. C’est ainsi que, par exemple, si le jeu consiste en un unique jet d’un dé à 6 faces, que le premier joueur parie sur l’apparition d’un six alors que le second joueur gagne dans tous les autres cas, la justice commande que la répartition des mises suive la proportion de « 1 contre 5 ». Autrement dit, le pari sera juste si, quand le premier joueur apporte un euro, le second mise cinq euros.

12En termes modernes, nous dirions que, dans l’exemple ci-dessus, la probabilité que le premier joueur emporte la mise est de 1/6 car, parmi les 6 résultats possibles du jet du dé, un seul lui confère la victoire. La probabilité de victoire du second joueur vaut alors 5/6 puisque cinq parmi les six résultats possibles le font gagner. On trouve ainsi la formule qui exprime la probabilité d’un succès comme le rapport (1).

Il va de soi que le raisonnement fait ci-dessus et la formule (1) ne s’appliquent que si le dé est bien symétrique, que « le jeu est de pur hasard et qu’il y ait autant de hasards » pour chacun des cas. Finalement, pour qu’un jeu soit équitable, il convient que les mises des différents joueurs soient fixées selon des proportions égales aux probabilités de victoire.

14La description que nous avons donnée du jet d’un unique dé à six faces permet également de déterminer dans quelle mesure un pari peut être avantageux ou pas. Dans notre exemple, la proportion de « 1 contre 5 » implique clairement qu’il n’est pas avantageux de parier sur l’apparition d’un six.

15La formulation du problème des partis est de nature subtilement différente de celle que nous avons considérée jusqu’à présent. Plutôt que de s’interroger sur la juste contribution des joueurs à un pari, on considère un jeu dont la mise a déjà été fixée (et dont naturellement les règles sont connues des joueurs). La question est alors de répartir équitablement la mise, si les deux joueurs « veulent se séparer sans jouer et prendre ce qui leur appartient légitimement ». Dans notre exemple du jet d’un unique dé, il semble bien équitable que cette répartition se fasse selon la même proportion de « 1 contre 5 » et c’est cette règle que Pascal posera comme principe dans le Traité du triangle arithmétique. On notera cependant qu’un tel principe aurait pu prêter à discussion : en effet la position d’un joueur qui doit décider d’engager une certaine somme lors d’un pari n’est pas tout à fait équivalente à celle d’un joueur qui revendique sa part d’une somme déjà présente. On observera par exemple que, dans le second cas, le joueur ne court pas le risque de se ruiner.

18Problème après problème, des questions de dés au problème des partis, puis pour la question de la ruine du joueur, Pascal recherche une solution mesurée qui compose avec des écarts aux symétries de plus en plus marqués : dans le problème des partis, dès le premier jet du dé, l’un des deux joueurs prend l’avantage ; dans la question de la ruine, ce sont les chances de succès des deux joueurs qui diffèrent à chaque manche. Pascal fait certes preuve d’audace, mais aussi de retenue.

19En réponse aux sollicitations de Pascal, Fermat propose deux solutions dont les méthodes diffèrent de celle de Pascal mais qui parviennent aux mêmes conclusions. Nous ne connaissons la première méthode de Fermat que par l’exposé que Pascal en fait dans sa lettre datée du 29 juillet. En revanche Fermat détaille (contrairement à ses habitudes) sa seconde méthode dans sa lettre du 25 septembre. Il est frappant de constater que, alors que les raisonnements de Pascal sur le hasard ont fait l’objet de très nombreux commentaires selon des perspectives variées, aussi bien historiques et philosophiques que scientifiques, la plupart des auteurs omettent de discuter les arguments de Fermat. Il est vrai que Fermat, bien que magistrat par ailleurs, ne s’embarrasse pas d’un vocabulaire juridique.

20Dans un premier temps, via l’introduction de « parties feintes », Fermat propose une description alternative du jeu qui lui permet de ramener la question des partis à un jeu équitable. Pour conclure, il lui suffit alors de dénombrer les cas favorables et d’appliquer la formule (1). L’introduction des manches feintes soulèvera des réserves de la part de Roberval ainsi que quelques malentendus avec Pascal que Fermat s’empressa de clarifier. La seconde méthode de Fermat repose sur une décomposition du jeu en sous-jeux, tous équitables et qui relèvent donc de nouveau de la formule (1).

21Si les méthodes de Fermat offrent peu de prises aux commentaires d’ordres philosophique ou historique, elles n’en révèlent pas moins une compréhension profonde de la structure mathématique du problème des partis qui trouve des échos dans la théorie des probabilités jusqu’à nos jours.

22Nous invitons maintenant nos lectrices et lecteurs à parcourir avec nous les différentes étapes du chemin tracé par Pascal et Fermat.

Problème des dés

23Rappelons dans un premier temps ce que sont les problèmes posés par Antoine Gombaud, chevalier de Méré, à Blaise Pascal et Gilles Personne de Roberval, sans doute fin 1653 ou début 1654. Ce sont d’ailleurs ce dernier et Pierre de Carcavi qui communiqueront ces problèmes à Fermat, et encourageront Pascal à entamer la correspondance qui nous occupe.

24Le premier problème, dit « problème des dés », consiste à savoir s’il y a avantage à parier qu’en vingt-quatre lancers de deux dés, au moins un des lancers produira un double-six.

25Ici, par « avoir avantage à parier », on entend qu’il y a plus de hasards favorables que défavorables. En langage moderne, on dirait que la probabilité est plus grande que 1/2, et dans la langue courante qu’il y a plus de 50 % de chances de gagner.

26Toujours est-il qu’en 1654, le chevalier de Méré savait, et, si l’on en croit Pascal, savait même démontrer, qu’il y a avantage à parier qu’au moins un six sortira de quatre lancers d’un dé, et plus précisément, « par 671 chances contre 625 ». Nous appellerons cette situation le « jeu à un dé ».

31Nous venons ici d’affirmer que nous avons 36²⁴ − 35²⁴ < 35²⁴ mais que 36²⁵ − 35²⁵ > 35²⁵, et ceci peut se vérifier instantanément sur tout outil de calcul moderne. Néanmoins, il s’agit tout de même de nombres à 38 ou 39 chiffres en base dix, et on peut se demander à bon droit comment Pascal, Fermat et les autres mathématiciens du siècle les manipulaient effectivement. Les premières tables de logarithmes de Neper, utilisées par les astronomes pour accélérer leurs calculs, ne datant que du début du xvii^e siècle, et n’étant sans doute pas encore d’un usage commun, il nous paraît plausible que Pascal et ses contemporains effectuaient des calculs approchés, en ne gardant à chaque étape du calcul que suffisamment de chiffres significatifs. Dans son traité Du calcul dans les jeux de hasard, Huygens donne du crédit à cette affirmation, puisqu’il résout le problème des dés en concluant : « Dans ce calcul, comme il s’agit surtout de chercher pour quel nombre de coups les chances des deux joueurs commencent à devenir égales, on peut omettre une partie des derniers chiffres des nombres qui sans cela deviendraient très grands. Je trouve que celui qui joue en 24 coups a encore un léger désavantage, et qu’on ne peut accepter la partie avec avantage qu’en jouant en 25 coups au moins ».

Problème des partis

33Deux personnes que nous nommerons P et F lancent successivement une pièce ; si la pièce tombe sur pile, P marque un point, si la pièce tombe sur face, c’est F qui marque un point. Le premier à atteindre trois points a gagné. Au début du jeu, les deux adversaires misent une somme égale d’argent, et le vainqueur récupère l’ensemble de l’argent mis en jeu. Supposons que le jeu s’interrompe avant la fin, par exemple, qu’après trois lancers, P ait deux points, et F ait un point. Comment les joueurs doivent-ils se répartir les mises de façon juste, c’est-à-dire, suivant les mots de Pascal, « proportionnellement à ce qu’ils sont en droit d’espérer de la fortune » ? C’est cette juste répartition que l’on appelle le parti.

34Ce problème, Pascal déclare à Fermat « l’admirer bien davantage que celui des dés ». Les raisons en sont sans doute multiples, mais la plus évidente est qu’il ne s’agit plus d’une simple situation d’équiprobabilité. Dans le cas décrit ci-dessus où P a deux points et F en a un, P peut remporter le jeu si le prochain lancer tombe sur pile, ce qui arrive avec probabilité 1/2, mais dans le cas contraire, P et F seront à deux points chacun, et on voit que la suite du jeu est déterminée par une nouvelle expérience aléatoire. Ces deux situations sont, en quelque sorte, incommensurables du point de vue des chances.

35L’un des grands intérêts de la résolution de ce problème dans la correspondance entre Pascal et Fermat est que leurs deux solutions sont très différentes. Elles parviennent pourtant au même résultat, ce qui nous vaudra le joli mot de Pascal : « je vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris ». En langage moderne, on dirait que Fermat trouve un bon espace de probabilités dans lequel le problème se ramène à une simple question de dénombrement. De son côté, Pascal voit le jeu comme une sorte de contrat passé entre les joueurs, et s’intéresse toujours à ce que chacun peut revendiquer sur une somme engagée dans le jeu. Ce faisant, il invente la notion d’espérance mathématique.

La solution de Pascal

36Il est un peu plus simple d’exposer la solution de Pascal. Nous supposons, comme il le fait dans sa lettre du 29 juillet, que chacun des joueurs a misé 32 pistoles.

37Si les joueurs sont à deux points chacun, la solution au problème va de soi. Chacun doit récupérer la moitié de l’argent mis en jeu, c’est-à-dire sa mise initiale de 32 pistoles, puisque l’issue finale du jeu sera déterminée par un dernier lancer de pièce équilibrée : si elle tombe sur pile, P aura gagné par trois points contre deux, alors que si elle tombe sur face, P aura perdu par deux points contre trois. On pourrait également avancer l’argument que, les deux joueurs ayant un nombre égal de points, les parts qui reviennent à chacun doivent être les mêmes par symétrie des rôles.

38Intéressons-nous maintenant à la situation où P a deux points, et F en a un. Examinons la manche suivante. Si la pièce tombe sur pile, P aura gagné par trois points à un, et remportera donc les 64 pistoles mises en jeu. Si la pièce tombe sur face, les deux joueurs se trouveront à deux points chacun. Or, nous venons de voir que dans ce cas, chaque joueur doit récupérer à bon droit 32 pistoles. Ainsi, P serait assuré, si les joueurs décidaient d’arrêter le jeu un coup plus tard, et ce, qu’il remporte ou qu’il perde la manche, de récupérer 32 pistoles, et il aurait autant de chances de remporter les 32 pistoles restantes que de les perdre. Par conséquent, il peut récupérer à bon droit la moitié de ces 32 pistoles restantes, en plus des 32 « qui lui sont sures ». Ainsi la part qui revient à P s’élève à 32 + 16 = 48 pistoles, et celle de F aux 16 restantes.

39Ce petit raisonnement peut se poursuivre jusqu’à épuiser toutes les situations possibles. Par exemple, si P a deux points et F zéro, après le prochain lancer de pièce, nous serons ou bien à trois points pour P et zéro pour F, synonyme d’une victoire de P, qui récupérera donc les 64 pistoles, ou bien à deux points pour P et un point pour F, auquel cas P doit récupérer 48 pistoles par le cas précédent. Il convient donc de répartir équitablement les 16 pistoles restantes entre les deux joueurs, c’est-à-dire que P doit récupérer 56 pistoles, et F récupérer les 8 restantes.

40Enfin, si P a un point et F zéro, nous laissons aux lectrices et aux lecteurs le soin de montrer que P doit récupérer 44 pistoles, et F récupérer les 20 pistoles restantes, confirmant ainsi que la vérité est la même au xxi^e et au xvii^e siècle.

42E(p, f ) = E(p, f 1)+ (E(p 1, f ) E(p, f 1)). (2)

En effet, le premier terme de cette somme, E(p, f − 1), représente la part de la mise qui revient au premier joueur dans le cas où il perdrait la manche suivante et resterait donc à p points de la victoire alors qu’il ne manquerait plus que f – 1 points au second joueur. Cette part de la mise est acquise au joueur puisqu’elle lui revient même dans l’hypothèse qui lui est défavorable. Dans l’hypothèse favorable où le premier joueur emporte la manche suivante, il gagnerait E(p − 1, f), soit E(p − 1, f) − E(p, f − 1) en plus du cas précédent. Comme l’acquisition de cette seconde partie de la mise est soumise aux caprices du hasard, il ne peut légitimement prétendre qu’à la moitié, soit E(p − 1, f) − E(p, f − 1) /2. On peut réécrire l’équation (2) sous la forme :

E(p, f ) = E(p − 1, f ) + 1 E(p, f − 1) , p, f > 0. (3)

43Que nous raconte aujourd’hui cette solution ? Comme on l’a dit plus haut, Pascal est le premier à utiliser, quoique de façon implicite, la notion d’espérance mathématique, qui sera l’outil-clé développé par Huygens, dans son traité, deux ans plus tard. Huygens y démontre que l’espérance mathématique d’une variable aléatoire, soit la valeur qu’un joueur est en droit d’attendre d’un jeu de hasard, est la moyenne pondérée des valeurs possibles de cette variable, par les probabilités qu’elle prenne ces différentes valeurs.

44Par exemple, nous avons vu que si nous jetons cent fois deux dés, il n’est pas vrai que la probabilité de voir sortir un double-six est de 100/36, mais ce dernier nombre a tout de même un sens. Au jeu du double-six avec deux dés et avec une mise unité, l’espérance de gain est de 1/36 et coïncide bien avec la probabilité d’une victoire. Quand on répète le jeu cent fois, l’espérance croît en proportion du nombre de parties et devient de 100/36. De même, d’une part, l’espérance du nombre de six tombant au cours de quatre lancers d’un dé est de 4/6 = 2/3, et d’autre part, l’espérance du nombre de double-six tombant au cours de vingt-quatre lancers de deux dés est de 24/36 = 2/3. Ces deux espérances sont bien égales, ce qui peut être une façon de réconcilier Méré avec l’arithmétique : Méré avait ainsi correctement calculé, non un rapport de chances comme il le croyait, mais une espérance de gain dans un jeu répété.

46Mais la solution de Pascal ne se limite pas à introduire un outil de calcul pratique, elle est beaucoup plus profonde. Une équation du type de (3) détermine, en langage mathématique moderne, une fonction harmonique, dont l’étude relève de ce qu’on appelle la théorie du potentiel. Cette dernière a joué un rôle fondamental dans le développement de la théorie des probabilités au xx^e siècle, avec l’introduction du concept probabiliste de martingale, qui est en quelque sorte un processus aléatoire naturellement associé à une fonction harmonique. Si Pascal ne pouvait évidemment pas anticiper ce fait, il est clair qu’il éprouvait pour sa solution une sorte de fascination, qui transparaît dans ses lettres, dans le traité du triangle arithmétique, et même plus tard dans les Pensées, montrant qu’il avait senti qu’il touchait là à un résultat profond.

49Pascal donne une formule pour cette valeur de la première partie dans sa lettre à Fermat du 29 juillet, et va la démontrer sous une forme un peu différente dans son traité du triangle arithmétique.

50Elle vaut : (4)

Par exemple, on calcule, avec M = 64, V (3) = 32 x = 12, ce qui est cohérent avec le calcul E(2, 3) = 44 que nous avions déjà effectué plus haut.

51Pour expliquer l’origine de cette formule, nous devons tout d’abord discuter la solution de Fermat.

La première solution de Fermat

52La méthode de Fermat pour le problème des partis n’a rien de commun avec celle de Pascal. Ce dernier affirmera dans sa lettre du 29 juillet que c’est la première méthode qui lui est venue à l’esprit, mais que « la peine en est excessive ». Pourtant, cette méthode permet de fournir la formule générale que Pascal souhaitait, et en particulier, de déterminer la valeur de la première partie.

55Ce petit raisonnement peut être généralisé pour couvrir tous les cas possibles, comme nous allons le faire à présent. Supposons donc que l’on souhaite calculer E(p, f), et pour cela, faisons jouer exactement p + f – 1 manches à P et F. Nous faisons le même raisonnement qu’au-dessus : si parmi ces p + f − 1 manches, P en a remporté au moins p, alors F en aura remporté au plus f − 1, et donc P aura nécessairement remporté le jeu. De même, si P a remporté au plus p − 1 manches, c’est que F en aura remporté au moins f, et donc que F aura remporté le jeu. À nouveau, nous sommes désormais dans une situation d’équiprobabilité, le jeu étant équivalent à jeter p + f – 1 pièces d’un coup, et de désigner P vainqueur si au moins p tombent sur pile, de désigner F vainqueur dans le cas contraire.

56Pour continuer le raisonnement, il nous faut donc compter les possibilités menant à une victoire de P, mais nous devons utiliser un moyen plus systématique que le comptage ad hoc que nous avons effectué pour calculer E(2, 3). Nous avons besoin ici d’une sorte de couteau suisse de la combinatoire : les coefficients binomiaux, que Fermat et Pascal appellent plutôt les combinaisons. Ces nombres sont aussi les indispensables compagnons des joueurs de cartes. Supposons que nous disposions d’un jeu de n cartes distinctes (dans la vie de tous les jours, on prend souvent n = 32 ou n = 52), et qu’on cherche à déterminer combien de mains distinctes de k cartes on peut former à partir de ce jeu, où k est un nombre plus petit que n – les joueurs de poker seront intéressés notamment par les valeurs de k comprises entre 3 et 5. Nous notons ce nombre par le symbole .

Évidemment, ce dernier nombre ne sert pas seulement à compter des mains de cartes ; c’est plus abstraitement le nombre de façons de sélectionner k objets parmi une collection de n objets distincts.

57Dans le cas qui nous intéresse ici, ces « objets » désigneront n = p + f − 1 pièces distinctes, parmi lesquelles nous allons sélectionner les k qui sont tombées sur pile. Pour compter les possibilités menant à une victoire de P, nous devons considérer que k est un nombre compris entre p et p + f − 1, et nous concluons que le nombre de possibilités menant à une victoire de P est

+ +…+ (5).

58Dans cette somme un peu compliquée, le premier terme compte les possibilités où précisément p pièces sont tombées sur pile, le second, celles où p + 1 pièces sont tombées sur pile, etc. Finalement, nous voyons que la probabilité de victoire de P est le quotient de (5) par le nombre total de possibilités, c’est-à-dire 2^p+f−1. La valeur du parti E(p, f) est en proportion de cette probabilité, c’est-à-dire que

(6).

Équivalence des deux solutions

, (7)

propriété qui se démontre simplement par le fait qu’une main de k cartes parmi n est ou bien une main de k cartes parmi les n − 1 premières cartes, ou bien une main de k – 1 cartes parmi les n – 1 premières, à laquelle on a ajouté la dernière carte pour en faire une main de k cartes. Si l’on ajoute les valeurs = = 1, cette formule permet de déterminer tous les termes du triangle, c’est-à-dire tous les nombres .

61On peut voir que cette dernière équation a un fort lien de parenté avec (3). En fait, si l’on prend M = 1 et qu’on étudie les nombres F(n, k) = 2ⁿE(k, n – k + 1), définis pour deux nombres entiers n et k, où 0 ≤ k ≤ n + 1, on voit par (3) que

F(n, k) = F(n − 1, k) + F (n − 1, k − 1) (8)

F (n, k) = + · + (9)

avec la convention que le membre de droite est nul pour k = n + 1. En effet, cette formule donne le bon résultat pour n = 0 et k = 0 et k = 1. Par ailleurs, si elle est vraie pour une valeur de n donnée et pour tout k entre 0 et n + 1, alors par l’équation (8), on a, pour tout k entre 1 et n + 1,

(10)

par des applications successives de (7). Ainsi, la formule (9) est encore vraie pour la valeur n + 1 à la place de n, et pour tout k entre 0 et n + 2 (la vérification pour k = n + 2 étant évidente puisque F(n + 1, n + 2) = 0, et celle pour k = 0 est une propriété élémentaire du triangle de Pascal). Par conséquent, la formule (9) est vraie pour toute valeur de n, et en l’appliquant à k = p et n = p + f − 1, on voit qu’elle implique la formule (6). Ceci termine la résolution du problème des partis « par le triangle arithmétique » proposée par Pascal, qui n’est autre, comme on vient de le voir, qu’une preuve de la cohérence entre les méthodes de Pascal et de Fermat.

Objections de Roberval et de Pascal

62La solution de Fermat ne convainc pas Roberval, qui critique l’utilisation des manches feintes : pour lui, Fermat n’a pas répondu à la question posée. Ces objections sont rapportées par Pascal dans sa longue lettre à Fermat du 24 août 1654, où Pascal se fera d’abord l’avocat de la cause de Fermat contre Roberval (il sait d’ailleurs probablement déjà que leurs deux solutions aboutissent au même résultat), avant de se faire procureur. En effet, il ne reconnaît pas à la solution de Fermat le même degré de généralité que la sienne : dans le cas où trois joueurs s’affrontent et non plus deux, Pascal « croit avoir démonstration qu’elle est mal juste ».

65Cette petite incompréhension entre les deux correspondants est à l’origine de ce qu’on a pu parfois voir comme une controverse, tournant plutôt à l’avantage de Fermat. Nous ne la voyons pas vraiment ainsi : même si la solution était claire dans l’esprit de Fermat, ce dernier était aussi connu pour communiquer des démonstrations souvent peu détaillées, et on voit bien que Pascal cherche à développer, là où Fermat semble s’arrêter dès qu’il a la bonne réponse. Et même si le raisonnement de Fermat était correct, il n’est pas évident de tirer une formule générale analogue à (6) par sa méthode des manches feintes pour trois joueurs ou plus : en fait, il ne semble pas vraiment avoir expliqué de méthode systématique par laquelle il dénombrait les possibilités aboutissant à une victoire de chacun des trois joueurs. Ainsi, quoique la réponse de Pascal puisse paraître légèrement embrouillée par moments, elle va néanmoins pousser Fermat à détailler un peu plus son raisonnement et à proposer une solution similaire, mais subtilement différente, et riche d’enseignements.

Seconde solution de Fermat

66Pour Fermat, l’utilisation de manches feintes n’est qu’un petit artifice de calcul permettant de se ramener à une situation d’équiprobabilités, ou dans ses propres termes, de réduction « à la même dénomination » (on dirait aujourd’hui au même dénominateur) des fractions définissant les différentes probabilités en jeu. Puisque cela ne convient pas à Roberval, il va donc montrer que l’on peut en fait s’en passer de la façon suivante, qu’il détaille dans sa lettre du 25 septembre 1654. Nous reprenons l’exemple des trois joueurs ci-dessus, où P a un point, et F et R zéro, et le premier atteignant deux points remporte le jeu.

67Suivant Fermat, P peut arriver à la victoire après une, deux ou trois manches. Un « dé à trois faces produit trois hasards », dont un attribue un point à P, et donc à sa victoire finale. Cela arrive donc avec probabilité 1/3. Deux dés produisent 9 hasards, dont deux aboutissent à la victoire de P en deux manches (le premier point allant à F ou R, et le second, à P), et cela arrive avec probabilité 2/9. Enfin, trois dés produisent 27 hasards, parmi lesquels deux aboutissent à la victoire de P en trois manches (le premier point allant à F, le second à R, le troisième à P, ou bien, le premier point allant à R, le second à F, et le troisième à P). Cela se produit avec probabilité 2/27. La somme de ces trois fractions donne la probabilité de la victoire de P, c’est-à-dire

(11)

conformément au résultat ci-dessus.

69p−1 Utilisons ce point de vue pour le problème à deux joueurs, c’est-à-dire pour calculer la quantité E(p, f). Cette fois, nous séparons les possibilités menant à la victoire de P par p manches à k, où k est un nombre compris entre 0 et f − 1. Pour une valeur de k fixée, et avant la victoire finale de P, qui est toujours un lancer tombant sur pile, le jeu est déterminé par p + k − 1 lancers de pièces dont p − 1 tombent sur pile, et nous savons que le nombre de possibilités correspondant est égal au coefficient binomial . Quant au nombre de possibilités total associé au lancer de p + k pièces, il vaut 2^p+k. Ainsi, par ce nouveau calcul, nous obtenons

(12)

Il est intéressant de comparer ce résultat à la première formule (6) de Fermat : montrer que les deux formules donnent le même résultat est un bon exercice de manipulation du triangle de Pascal. Nous l’épargnons aux lectrices et aux lecteurs, qui pourront vérifier par exemple que la formule donne bien le bon résultat pour la quantité E(2, 3) que nous avons déjà calculée plusieurs fois.

70Cette fois-ci, Pascal se déclare entièrement satisfait, et reconnaît la validité et la généralité de la preuve de Fermat. En effet, la formule (12) se généralise à un nombre quelconque de joueurs, éventuellement avec des probabilités de succès différant selon les joueurs, et c’est cette formule que Laplace décrira plus tard dans son traité.

72Le second point important que Fermat met en valeur, c’est le caractère additif des probabilités, à savoir que la probabilité de la conjonction de deux événements incompatibles qui s’excluent mutuellement est la somme des probabilités des deux événements. C’est ce qui fait que les probabilités ne peuvent être entièrement le fait d’une théorie de l’énumération des « nombre de cas favorables » ou « nombre de cas total ». En effet, pour parvenir à la formule (11), ce ne sont pas les « nombres de cas » qu’il faut additionner, mais bien les quotients de la forme (1). On peut y percevoir en germe le fait que la théorie des probabilités pourra s’épanouir bien plus tard, sous la plume de Borel, Lebesgue et enfin Kolmogorov, dans le cadre de la théorie de la mesure.

Problèmes de dés à horizon non borné

73Comme nous l’avons dit plus haut, les échanges entre Pascal et Fermat ont dû continuer après 1654, à la fois directement et par l’intermédiaire de Carcavi et Roberval. Entre-temps, un nouveau protagoniste a fait son apparition en la personne de Christiaan Huygens, mathématicien et physicien néerlandais. Au cours d’un séjour parisien où il rencontre Carcavi et Mylon, l’un des membres réguliers de l’académie parisienne, il s’emploie à résoudre les problèmes que Pascal et Fermat avaient considérés peu avant lui, et à en inventer de nouveaux. Pour cela, il entre à son tour en correspondance avec Pascal et Fermat, où Carcavi joue encore une fois un rôle d’intermédiaire. Huygens publiera en 1657 son essai « Du calcul dans les jeux de hasard », qu’on peut voir comme une sorte de succession d’exercices de calculs de probabilités de plus en plus élaborés, et où l’idée-force est la définition de l’espérance mathématique. Plusieurs de ces exercices provenaient directement de suggestions de Pascal et Fermat.

74Nous nous concentrerons ici sur deux problèmes seulement, qui nous semblent significatifs, parce qu’ils touchent à des jeux qui se décident en un nombre de manches fini, mais non borné a priori, contrairement aux problèmes discutés jusqu’ici. Ces problèmes sont intéressants parce qu’ils permettent en particulier de tester les limites des méthodes combinatoires de Fermat.

75Considérons donc un premier tel problème, mentionné dans une lettre de Fermat à Carcavi en juin 1656, et posé sans doute par Huygens aux mathématiciens français : nos deux joueurs P et F jouent désormais en jetant à tour de rôle deux dés, P jouant le premier coup. Le jeu continue jusqu’à ce que les deux dés jetés par P totalisent six points, auquel cas P est déclaré vainqueur, ou bien que les deux dés jetés par F affichent sept points, auquel cas c’est F qui gagne.

76On voit que la nature de ce jeu est différente des problèmes des dés ou des partis, puisque maintenant le jeu pourrait potentiellement durer éternellement, si ni P ni F n’obtenaient jamais le résultat qui leur vaudrait la victoire. Pourtant, on se doute bien (et c’est là l’expérience que feraient les joueurs se pliant à un tel jeu) que le jeu prendra bien fin, et ce, après un nombre raisonnable de coups.

77Le nombre de possibilités pour que deux dés affichent un total de six points est de 5, correspondant à une probabilité de 5/36, tandis que le nombre de possibilités pour obtenir sept points est de 6, pour une probabilité de 6/36 = 1/6. On voit donc que F a un léger avantage à chaque coup, mais peut-être cet avantage est-il contrebalancé par le fait que P joue le premier…

78Aujourd’hui, nous serions prêts à parier que quelqu’un, disposant d’un peu de bagages mathématiques, attaquerait ce problème avec peu ou prou le raisonnement suivant : la probabilité que P gagne au n-ème coup est de (31/36)ⁿ⁻¹ × (5/6)^n− 1 × (5/36), correspondant au produit des probabilités de ses n – 1 premiers échecs, par celui des probabilités des n – 1 échecs de F, puis par la probabilité de sa victoire survenant au coup final. La somme de ces probabilités sur toutes les valeurs possibles de n ≥ 1 est une somme géométrique classique, dont la valeur est 30/61. Ainsi, P gagne avec probabilité 30/61 et, par un raisonnement similaire, F gagne avec probabilité 31/61. On en conclut que F conserve un léger avantage.

79Or, même si Pascal, Fermat ou Huygens savaient certainement calculer des sommes de séries géométriques, il n’est pas certain qu’ils auraient reconnu l’opération que nous avons faite à l’instant comme licite. Même si Fermat avait bien préparé le terrain en pointant implicitement la propriété d’additivité des probabilités, le passage à une additivité dénombrable représente tout de même un certain saut conceptuel, à une époque où la notion de limite n’était pas encore naturelle, attendant son heure avec la naissance toute proche de l’analyse.

(13)

La solution de l’équation (13) est x = 30/61, comme attendu. Le raisonnement que nous venons d’expliquer est aussi une preuve élégante de l’égalité entre 30/61 et la somme des termes (31/36)ⁿ⁻¹ × (5/6)^n− 1 × (5/36) pour n ≥ 1.

L’ultime défi de Pascal à Fermat : la ruine du joueur

81Comme on l’a dit dans l’introduction de ce texte, la ruine du joueur est un problème fondamental que tout ouvrage de probabilités se doit de mentionner, mais peu en attribuent la paternité à Pascal. La lettre de Carcavi à Huygens du 28 septembre 1656 nous dit pourtant que Pascal avait proposé ce problème à Fermat.

82Les joueurs P et F disposent chacun initialement d’une pile de douze jetons, et jouent des manches successives d’un jeu de hasard. Quand P gagne une manche, F lui donne un jeton de sa pile, et sinon, c’est P qui donne un de ses jetons à F. Le jeu s’arrête lorsque l’un des deux joueurs n’a plus de jetons. La question consiste à déterminer la probabilité de victoire de P, ou, ce qui revient au même, les justes sommes que devraient miser l’un et l’autre pour jouer à ce jeu avec intérêt égal.

83Comme on le voit, ce problème est dans le même esprit que celui des partis, mais cette fois avec un horizon infini, puisque les joueurs peuvent potentiellement se passer successivement un jeton l’un à l’autre sans que l’état du jeu ait évolué après plusieurs allers-retours.

84Évidemment, si les chances de victoire de P et F à chaque manche sont égales, la symétrie parfaite des rôles montre que P et F ont autant de chances de remporter le jeu. Pour « casser » cette symétrie, Pascal suppose donc que les chances de succès de P contre F à chaque manche sont « de 27 chances à 15 » (c’est-à-dire que la probabilité de succès de P est de 27/42). Pourquoi ces nombres-là ? Eh bien, Pascal « implémente » cette inégalité des chances en imaginant que le résultat de chaque manche est déterminé par un arbitre, qui jette trois dés. Il donne le point à P si les trois dés affichent 11 points, et à F si les trois dés affichent 14 points. Si les trois dés donnent un autre résultat que 11 ou 14, l’arbitre relance les dés. On compte 27 possibilités pour que trois dés donnent 11 points, et 15 pour qu’ils donnent 14 points, ce qui aboutit aux probabilités ci-dessus.

85On perçoit bien les difficultés spécifiques de cette question, quand on compare au problème des partis : pour énumérer les différents scénarios du jeu menant à une victoire de P, il faut potentiellement considérer une infinité de combinaisons.

86Nous allons voir dans les paragraphes suivants comment Pascal a pu néanmoins adapter sa méthode et comment l’approche combinatoire de Fermat peut également donner la solution.

Application de la méthode de Pascal

E(p − 1), (14)

le premier terme de droite correspondant au gain de la première manche par P, ce qui lui vaut un jeton de plus dans son tas, et le second terme correspondant à la perte de la première manche pour P. Cette équation, Pascal a pu l’écrire sous la forme équivalente :

27(E(p + 1) − E(p)) = 15(E(p) − E(p − 1)) . (15)

89Nous pouvons itérer cette formule : si p est entre −9 et 12, on a, en appliquant la formule avec des valeurs décalées de p (savoir, p − 1 et p − 2) : 27²(E(p) − E(p − 1)) = 27 × 15(E(p − 1) − E(p − 2)) = 15 × 27(E(p − 1) − E(p − 2)) = 15²(E(p − 2) − E(p − 3)) .

90En appliquant un raisonnement similaire, on arrive ainsi au fait que, si p est entre 1 et 12, 27¹²(E(p) − E(p − 1)) = 15¹²(E(p − 12) − E(p − 13)).

91Et si on somme membre à membre toutes ces égalités pour p allant de 1 à 12, après simplification « télescopique », nous obtenons 27¹²(E(12) − E(0)) = 15¹²(E(0) − E(−12)) .

92Or, nous savons déjà que E(12) = 1 et E(−12) = 0, et nous trouvons donc

(16).

93On peut évidemment en déduire la valeur de E(0), mais nous avons là une expression qui nous dit que nous pouvons parier sur la victoire de P « à (27/15)¹² contre 1 ».

La réponse de Fermat

94Ce problème, si l’on en croit Carcavi, et pour les raisons que nous avons soulignées plus haut, Pascal « doutait si M. de Fermat en viendrait à bout », tant la question lui paraissait difficile. Pourtant, écrit encore Carcavi à Huygens, Fermat lui répondit « incontinent » à Pascal que P pouvait parier sur sa victoire « à 1156 contre 1, mais non pas 1157 contre 1 ». Comparons au résultat de Pascal :

95Incroyable ! Fermat a trouvé ! On peut imaginer que Pascal a été un peu piqué d’avoir été si facilement égalé, mais pour montrer qu’il avait lui-même une solution (et peut-être aussi pour avoir le dernier mot), il envoie à Fermat les chances exactes : P peut parier sur sa victoire à

96150 094 635 296 999 121 contre 129 746 337 890 625,

qui ne sont autres que les nombres 27¹² et 15¹², calculés en écriture décimale de la main de Pascal.

97Remarquons à ce sujet que, quitte à donner une réponse exacte à Fermat, Pascal aurait pu la lui communiquer sous une forme plus simple, puisque la fraction 27/15 est une expression non irréductible de 9/5. Il suffisait donc de dire que P pouvait parier sur sa victoire à 9¹² = 282 429 536 481 contre 5¹² = 244 140 625. Néanmoins, comme les nombres 27 et 15 correspondaient à des possibilités, des « chances » concrètes dans les jets des dés déterminant les gains des manches du jeu, peut-être que Pascal considérait que les nombres 27¹² et 15¹² avaient plus de sens.

99Fermat a pu observer la chose suivante : les lignes brisées correspondant aux victoires de P sont en correspondance biunivoque avec celles correspondant aux victoires de F, par une simple symétrie horizontale.

100Quelles sont les « chances » d’observer une quelconque de ces lignes ? Pour répondre à cette question, considérons une ligne L qui fait h pas vers le haut et b pas vers le bas. Comme nous l’avons vu, chaque pas vers le haut a 27 chances de se produire, et chaque pas vers le bas, 15 chances, et donc, la ligne L a 27^h · 15^b chances de se produire. Nous désignons par L’ la ligne symétrique de L. Comme la symétrie change les pas vers le haut en pas vers le bas et réciproquement, on voit de même que les chances de L’ sont 27^b · 15^h. Le rapport entre les chances de L et L’ vaut donc 27^h × 15^b/27^b × 15^h = 27^h−b/15^h−b. L’ordonnée du point final de la ligne L vaut la différence h − b. Ainsi L correspond-elle à l’une des possibilités gagnantes pour P si et seulement si h – b = 12. Dans ce cas, le rapport entre les chances de L et L’ est donc égal au rapport entre 27¹² et 15¹². Il est remarquable que ce rapport ne dépende pas des autres caractéristiques du chemin L telles que sa longueur.

101De là, Fermat pouvait conclure, sans se soucier davantage de sommer les probabilités ou même de diviser les « chances » ainsi calculées par les dénominateurs appropriés, que la seule réponse possible était que les chances de victoire de P et F sont dans le rapport de « 27¹² contre 15¹² ».

102Même s’il ne s’agit pas là d’une démonstration rigoureuse, du moins, sans préciser davantage les règles élémentaires de manipulation des probabilités, Fermat était sans doute parvenu directement à l’essence du problème par un raisonnement de ce type. Il y a fort à parier d’ailleurs que Fermat aurait eu de réelles difficultés à donner une expression des nombres E(p) introduits ci-dessus sans utiliser la méthode de Pascal, l’argument de symétrie ne permettant de donner que la valeur E(0). En revanche, la méthode de Pascal permet de donner la valeur générale sans difficulté supplémentaire :

Peut-être Pascal n’avait-il jamais été aussi près de poser une véritable colle à son interlocuteur.

Prolongements

103Il nous semble intéressant de mettre en regard dans cette section, les résultats évoqués ci-dessus avec le penseur de l’infini qu’était Pascal. Nous l’illustrerons par deux exemples.

Frontières à l’infini

104Rappelons que les premiers faits d’armes scientifiques de Pascal concernent des propriétés des courbes appelées coniques, qu’il avait étudiées, à la suite de Desargues qui fut un de ses mentors, sous l’angle nouveau de ce qu’on a appelé plus tard la géométrie projective. Celle-ci définit le cadre mathématique dans lequel travaillent, depuis le début de la Renaissance, les peintres qui rendent les effets de perspective. Dans cette conception de la géométrie, contrairement à sa consœur euclidienne, il n’y a plus de notion de parallélisme, puisque deux droites se rencontrent toujours en un point, mais ce dernier peut éventuellement être un point de fuite situé à l’infini. Nous faisons l’expérience palpable de la géométrie projective à chaque fois que nous contemplons un horizon lointain, droite constituée de points de fuite. Si en plus nous nous trouvons sur une route partant tout droit devant, nous constatons que les deux bords de la route se rejoignent en l’un de ces points à l’horizon.

105Par un concours de circonstances particulièrement frappant, il se trouve que les fonctions harmoniques considérées par Pascal définissent, pour ainsi dire, des points de fuite probabilistes. Rappelons que les fonctions E(p, f) ou E(p) que nous avons considérées au cours de ce texte sont déterminées non seulement par les équations caractéristiques (3) et (14), mais aussi par des conditions au bord données par les valeurs E(p, 0), E(0, f) et E(12), E(−12) dans les exemples que nous avons discutés. Intéressons-nous plus avant au problème de la ruine du joueur, où les joueurs B et P disposaient d’un tas de 12 jetons chacun, et supposons maintenant que B et P disposent d’un nombre J très grand de jetons, par exemple un million. Nous voyons que le problème de la ruine du joueur nous renseigne sur la façon dont la trajectoire aléatoire matérialisée par le gain net de jetons du joueur P au cours du jeu « s’échappe » en atteignant soit la valeur J, soit en atteignant la valeur −J. Cette fois, la fonction harmonique associée sera définie sur les entiers compris entre −J et J. Si on suppose maintenant que chacun dispose d’une infinité de jetons, c’est-à-dire qu’on prend formellement J infini, le jeu ne prendra jamais fin, mais il existe pourtant des fonctions harmoniques associées à ce jeu infini sans condition de bord, qui déterminent comment le gain net de jetons du joueur P s’enfuit vers l’infini, c’est-à-dire que la fonction harmonique porte en elle une notion de bord à l’infini.

107Ainsi, Pascal, qui avait lui-même contribué au développement de la géométrie projective, avait aussi introduit les premiers ingrédients permettant de définir ces horizons probabilistes où les droites sont remplacées par des trajectoires au hasard.

Jeux à espérance infinie

108Il serait difficile, dans un texte sur le hasard chez Pascal, de ne pas évoquer les conséquences philosophiques, morales et théologiques que l’auteur des Pensées a pu tirer de ses considérations sur le problème des partis. « Saint-Augustin a vu qu’on travaille pour l’incertain sur mer, en bataille, etc., mais il n’a pas vu la Règle des partis qui démontre qu’on le doit », écrit-il. Ou encore, « Or quand on travaille pour demain et pour l’incertain on agit avec raison, car on doit travailler pour l’incertain, par la Règle des partis qui est démontrée » (les mots en italique sont de notre fait). Dans l’esprit de Pascal, la géométrie du hasard était donc l’outil rationnel par lequel décider d’affronter une situation incertaine, par le biais du calcul du parti, c’est-à-dire de l’espérance de gain.

109Bien sûr, l’argument du pari, exposé dans le fragment « Infini rien » des Pensées, est tout proche. Les auteurs de ces lignes n’étant pas en mesure de traiter en profondeur cette question extraordinairement débattue, nous voudrions simplement évoquer quelques résonances de l’argument du pari avec les points discutés dans ce texte. Rappelons que l’argument du pari a pour but de convaincre un interlocuteur libre-penseur (comme l’était par exemple Méré) qu’il est rationnel de croire en Dieu et de régler sa vie en fonction. L’argument comporte une partie mathématique, directement inspirée des réflexions de Pascal sur le problème des partis : quelque petite que soit la probabilité que Dieu existe, elle ne peut être nulle, et le gain de qui a parié sur son existence est celui d’une « infinité de vie infiniment heureuse », la perte à mettre en face étant finie. Dans ce jeu, à espérance infinie, il est donc raisonnable de parier, et d’y engager une mise finie : sa vie, ou du moins, ses passions.

110L’argument mathématique semble imparable. Pourtant, l’espérance, qui permet par un seul nombre de jauger l’avantage procuré par un jeu de hasard, ne peut pas toujours en résumer la complexité. Pour donner un exemple très prosaïque, un jeu offrant un million d’euros avec probabilité 1/1000 donne une espérance de gain de 1 000 euros. Pour autant, seriez-vous effectivement prêt à payer 1 000 euros pour jouer à ce jeu ?

112

113Le gain espéré est donc infini ! Maintenant, combien seriez-vous prêt à payer pour jouer à un tel jeu ? Il semble peu raisonnable de penser que la pièce tombera sur face plus de quelques fois, disons 3 ou 4, ou par extraordinaire, une dizaine de fois, avant que sorte le premier pile, et donc il paraît peu raisonnable de miser plus d’une dizaine d’euros. Pourtant, l’espérance de gain est infinie !

114Il nous semble que Pascal aurait aimé connaître cet exemple. Du point de vue mathématique, il cache une fonction harmonique, valant 2 ⁿ pour un joueur étant arrivé jusqu’au n + 1-ème coup sans sortir du jeu. La différence 2ⁿ − 2ⁿ⁻¹ = 2^n− 1 entre deux termes consécutifs est précisément ce que le joueur devrait miser pour avoir le droit de jouer le n-ème coup, c’est-à-dire, dans les termes de Pascal évoqués dans sa résolution du problème des partis, la valeur du n-ème coup. L’explication est simple : le premier coup permet de gagner 2 avec probabilité 1/2, son espérance est donc 1, qui est donc le juste prix pour jouer ce coup. De même, le n-ème coup permet de gagner 2 ⁿ avec probabilité 1/2 et sa valeur est donc 2 ^n− 1. Notons d’ailleurs qu’un joueur misant systématiquement ces valeurs gagnerait nécessairement 1 euro à l’issue du jeu : la somme de ses mises 1 + 2 + · · · + 2ⁿ⁻¹ avant de gagner au n-ème coup différant de son gain 2ⁿ par une unité.

Conclusion