Navigation – Plan du site

AccueilNuméros45Sur le solide spiral de Pascal

Sur le solide spiral de Pascal

Thierry Lambre
p. 91-120

Entrées d’index

Haut de page

Texte intégral

Des amarantes qui ne flétriront jamais

1À propos des « idées infinitésimales » qui circulent au xviie siècle, Nicolas Bourbaki s’exprime en ces termes :

  • 1 Nicolas Bourbaki, Éléments d’histoire des mathématiques, Paris, Hermann, 1974, p. 215.

C’est bien au déroulement graduel et inévitable d’une symphonie, où le « Zeitgeist » à la fois compositeur et chef d’orchestre, tiendrait le bâton, que fait penser le développement du calcul infinitésimal au xviie siècle : chacun y exécute sa partie avec son timbre propre, mais nul n’est maître des thèmes qu’il fait entendre, thèmes qu’un contrepoint savant a presque inextricablement enchevêtrés1.

  • 2 Blaise Pascal, Œuvres complètes, éd. Jean Mesnard, vol. IV, (en abrégé OC, IV), Paris, Desclée de (...)

Dans un texte d’une grande concision, intitulé « Dimension d’un solide formé par le moyen d’une spirale autour d’un cône », extrait de la Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Sluze2, Blaise Pascal se propose de calculer le volume d’un étrange solide spiral.

  • 3 OC, IV, p. 409-522.
  • 4 OC, IV, p. 537-539.

2Le vaste traité de « calcul par les indivisibles » que constitue la Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcacy3 est accompagné de trois autres lettres de taille et de contenu beaucoup plus modestes. La Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Sluze4 pourrait apparaître comme un texte mineur, constitué de trois parties faites de bric et de broc et composées chacune d’environ deux pages : l’une traitant de la dimension et le centre de gravité de l’escalier, une seconde sur la dimension et le centre de gravité des triangles cylindriques et une dernière sur dimension d’un solide formé par le moyen d’une spirale autour d’un cône, qui nous intéresse ici.

3À première lecture, ce dernier texte est déconcertant : il contient une description très concise du solide, une description très fragmentaire du calcul de son volume, et un résultat à peine énoncé, « le solide proposé est en raison donnée de la sphère », parfaitement exact et assez imprévisible.

Fig. 1 : « figure 45 »

Fig. 1 : « figure 45 »

OC, IV, p. 565.

Bibliothèque du Patrimoine de Clermont-Ferrand

4La « figure 45 » ci-dessus5, extraite de l’exemplaire de Clermont-Ferrand6 que nous solliciterons abondamment et qui accompagne le texte de Pascal est elle aussi, un modèle d’économie de moyens. Cette illustration7 comporte la description du solide spiral et, simultanément, par la présence de deux rectangles cylindriques perpendiculaires au plan de la spirale, elle suggère également la description de la méthode de démonstration. Cette figure silencieuse contient presque à elle seule à la fois l’énoncé et la démonstration, à la manière des tablettes sacrées Sangaku japonaises, pour lesquelles un problème géométrique est posé par une simple figure sans aucun texte. Sans un mot, la figure montre le sentier géométrique inattendu choisi par Pascal pour établir son résultat.

Figure porte absence et présence, plaisir et déplaisir. (Laf. 265, Sel. 296)

5Publier simultanément sous forme épistolaire et sous un pseudonyme ses propres découvertes mathématiques est un choix rarissime dans l’histoire des mathématiques du xviie siècle. Il s’agit là d’un fait qui mérite sans doute d’être interrogé.

  • 8 On songe à la lettre à Auguste Chevalier d’Évariste Galois, écrite à la veille d’un duel fatal, ou (...)
  • 9 Exemples : correspondance de Pascal et Fermat, correspondance de Hermite, correspondance de Serre (...)
  • 10 Dominique Descotes, Blaise Pascal, Littérature et Géométrie, Clermont-Ferrand, Presses universitai (...)

6Les rares exemples de mémoires scientifiques publiés sous forme de lettres sont souvent de la part de leurs auteurs le résultat d’une décision prise sous l’effet d’une forte contrainte et d’une urgence absolue8. Pascal n’est ici soumis à aucun impératif de ce type. Si les correspondances scientifiques sont courantes dans l’histoire des mathématiques9, la forme choisie par Pascal dans cette lettre à M. de Sluze possède un caractère littéraire qui a peu à voir avec une correspondance scientifique usuelle. Dans ses Lettres de A. Dettonville, Pascal inaugure un genre littéraire : la littérature épistolaire scientifique. Dominique Descotes souligne que Sainte-Beuve se posait déjà la question : « Pascal géomètre garde-t-il, en quelques manières, du cachet de l’écrivain ?10 ».

  • 11 Le pseudonyme M. Le Blanc utilisé par Sophie Germain (1776-1831), dans sa correspondance avec Lagr (...)

7Il est encore plus exceptionnel pour un scientifique de publier ou d’annoncer ses résultats sous pseudonyme11. Les innombrables querelles de priorité montrent combien les scientifiques sont jaloux de leurs découvertes. Chez Pascal, ce recours au pseudonyme doit lui aussi être interprété comme une figure de style, car contrairement aux Provinciales, pour lesquelles l’anonymat était une mesure de prudence indispensable, il n’y a aucun danger à publier une démonstration de mathématique.

8Les Lettres de A. Dettonville qui, à bien des égards, peuvent apparaître comme le texte mathématique majeur de Pascal, sont donc une œuvre plusieurs fois masquée : texte faussement épistolaire d’un faux auteur, qui se dénomme L’anonyme, puis qui se démasque sous le faux nom A. Dettonville. Démarche singulière que l’on peut interpréter sous la forme d’une délégation, par Pascal, de la paternité de ses résultats mathématiques à un pseudonyme, et volonté de mise à distance de l’auteur vis-à-vis de l’homme que cet auteur est. Il y a presque chez Pascal une forme de dégoût du statut de l’auteur.

Il faut qu’on n’en puisse [dire] ni il est mathématicien, ni prédicateur, ni éloquent, mais il est honnête homme. Cette qualité universelle me plaît seule. Quand en voyant un homme on se souvient de son livre, c’est mauvais signe. (Laf. 647, Sel. 532)

Pour Pascal, ces deux contraintes (littérature épistolaire et sous pseudonyme), dans le champ scientifique sont une façon pour lui de mettre en scène de manière discrète les incessantes interactions qu’il pratique entre science et littérature.

  • 12 OC, IV, p. 410-522.
  • 13 Nicolas Bourbaki, Éléments d’histoire des mathématiques, op. cit., p. 215.
  • 14 Ibid., p. 238.
  • 15 Dominique Descotes, Blaise Pascal, Littérature et Géométrie, op. cit.

9On trouve en Nicolas Bourbaki un grand admirateur du style des œuvres de calcul différentiel de Pascal. À propos de la lettre à M. de Carcavy12, celui-ci écrit13 : « On notera que grâce au prestige d’une langue incomparable, Pascal arrive à créer l’illusion de la parfaite clarté » ; ou encore14 : « Le langage de Pascal est particulièrement clair et précis ; et, si l’on ne comprend pas pourquoi il s’est refusé l’usage des notations algébriques, non seulement de Descartes, mais même de Viète, on ne peut qu’admirer le tour de force qu’il accomplit, et dont sa maîtrise de la langue l’a rendu capable. » Bourbaki (en 1969) rejoint donc par anticipation Domnique Descotes qui, en 2001, a montré15 combien il est nécessaire et fécond de lire les textes mathématiques de Pascal autant du point de vue littéraire que mathématique.

10Outre le refus de toute utilisation de notations algébriques, une autre caractéristique du style de cette lettre à Monsieur de Sluze est sa très grande concision. Pascal a sans doute estimé que, pour donner à sa démonstration tout le rythme nécessaire, celle-ci se devait d’être brève. Peut-être veut-il aussi montrer combien les indivisibles permettent des démonstrations fécondes et économes.

  • 16 Claude Merker, « Pascal et la Dimension d’un solide formé par le moyen d’une spirale autour d’un c (...)

11Le solide spiral a pu être qualifié de baroque16. La méthode proposée par Pascal pour le calcul du volume du solide spiral pourrait, elle aussi, être qualifiée de baroque, car éloignée de ce tout ce qu’on aurait pu attendre : au lieu d’un calcul par tranches planes, on ne trouve aucune section plane dans la résolution de Pascal, mais un découpage constitué de rectangles cylindriques, du jamais vu dans un calcul de volume par découpages en tranches.

  • 17 OC, IV, p. 121.

12Dans cet écrit, virtuosité et rhétorique font bon ménage avec les mathématiques. L’extrême concision des arguments mathématiques, le refus des sections planes au profit de sections par des rectangles cylindriques sont des marqueurs du timbre proprement singulier de la méthode pascalienne au sein de la symphonie infinitésimale en cours au xviie siècle évoquée par Bourbaki. Dans une lettre à Pascal du 6 avril 1668, Sluze le dit aussi à sa manière : vos « solutions ne sont pas des fleurs printanières sujettes au changement des saisons, mais, étant cueillies dans les plus beaux parterres de la géométrie, ce sont plutôt des amarantes qui ne flétriront jamais17. »

13La forme du discours choisi par Pascal est très proche des exigences actuelles de rédaction d’un article scientifique soumis à une revue professionnelle à comité de lecture : très grande concision, motivations absentes, aucun commentaire au lecteur, qui ne pourra reconstruire le cheminement de la pensée de l’auteur qu’au prix d’une lecture serrée, le crayon à la main. Ce choix de rédaction est très éloigné du style requis dans un chapitre d’ouvrage, où l’auteur peut parfois commenter son propre contenu scientifique. Rien de cela n’est présent dans cette lettre, qui doit être considérée comme un article scientifique à part entière.

14Pour dégager l’architecture des raisonnements et expliquer les choix opérés par Pascal dans le cheminement de sa démonstration, nous proposons une transcription juxtalinéaire ligne à ligne la plus naïve possible de l’intégralité de ce texte bref, en usant du vocabulaire mathématique d’aujourd’hui, sans se préoccuper des anachronismes que cette démarche engendre, et sans véritablement étudier l’usage des indivisibles, si présents dans ce texte.

Le solide spiral selon Pascal

Dimension d’un solide spiral formé par le moyen d’une spirale autour d’un cône
« Soit un cercle donné ABCD, dont A soit le centre, et AB un demi-diamètre ; soit BG perpendiculaire au plan du cercle de quelque grandeur que ce soit, par exemple égale à AB, et soit entendu, en un même temps, la ligne AB, se tourner uniformément à l’entour du centre A, et la ligne BG se porter en même temps et par un mouvement uniforme le long du demi-diamètre B A ; et soit encore entendu en même temps le point B monter uniformément vers G ; en sorte qu’en un même temps le point B, arrive à l’extrémité de la ligne BG, la ligne BG au centre A, et le demi-diamètre AB au point B d’où il était parti.
Par ces mouvements la ligne BG décrira une spirale BIHA dans le plan du cercle ; et le point B, en montant décrira une espèce de spirale en l’air, ou autour d’un cône BFE, qui se terminera au point E, d’où la perpendiculaire AE est égale à BG. »

Description du solide spiral

15Le solide spiral imaginé par Pascal ne comporte pas de symétries apparentes. Sa construction est néanmoins bien installée dans la tradition des objets mathématiques de référence de l’époque : spirale, cône, cylindre et sphère.

  • 18 Roberval, Observations sur la composition des mouvements et sur le moyen de trouver les touchantes (...)

16Au xviie siècle, les courbes construites cinématiquement par des mouvements composés ont fait l’objet d’études poussées, pour lesquelles Roberval, parmi d’autres, a proposé la construction de touchantes (= tangentes) par décomposition de ces mouvements composés18.

  • 19 Voir par exemple : Thierry Lambre, Pascal, Roberval et la quadrature de la cycloïde [En ligne] URL (...)

17La plus célèbre de ces courbes mécaniques est la cycloïde, courbe plane qui résulte de la composition d’un mouvement rectiligne uniforme et d’un mouvement circulaire uniforme. Pour cette Belle Hélène des Mathématiques, comme elle fut nommée, l’Europe mathématique entière du xviie siècle a dépensé autant d’énergie à comprendre cette courbe qu’à polémiquer entre savants19.

18La spirale d’Archimède est elle aussi une courbe plane construite par mouvements composés, car elle résulte de la composition d’un mouvement rectiligne uniforme sur une demi-droite mue d’un mouvement circulaire uniforme. Cette spirale plane est ici génératrice du socle du solide spiral.

  • 20 Une courbe est gauche si elle n’est pas contenue dans un plan.

19La courbe que Pascal désigne par « une espèce de spirale en l’air », nécessite la composition d’un troisième mouvement rectiligne uniforme, de direction perpendiculaire au plan de la spirale d’Archimède. La courbe gauche20 qui en résulte, génératrice du solide spiral, est inscrite dans un cône.

Par ces mouvements, la ligne BG décrira une spirale BIHA dans le plan du cercle ; et le point B en montant décrira une espèce de spirale en l’air, ou autour d’un cône BFE, qui se terminera au point E, d’où la perpendiculaire AE est égale à BG.

Fig. 2 : « espèce de spirale en l’air autour d’un cône ».

Fig. 2 : « espèce de spirale en l’air autour d’un cône ».

20Reprenons sous forme visuelle la description proposée par Pascal des différents éléments de ce solide spiral.

Fig. 3 : « La portion de surface conique bordée par la droite BE ».

Fig. 3 : « La portion de surface conique bordée par la droite BE ».

Fig. 4 :« Le triangle rectiligne BAE ».

Fig. 4 :« Le triangle rectiligne BAE ».

Fig. 5 : « la surface cylindracée ».

Fig. 5 : « la surface cylindracée ».

Fig. 6 : Vue sous deux angles distincts du solide spiral complet.

Fig. 6 : Vue sous deux angles distincts du solide spiral complet.

La question posée par Pascal

21La question posée par Pascal concernant son solide spiral est fort brève :

  • 21 Déterminer la proportion de la sphère signifie décider si le rapport entre le volume du solide spi (...)

« On demande la proportion de la sphère21, dont le cercle donné est un grand cercle avec le solide spiral décrit par ces mouvements et terminé par quatre surfaces, savoir : la spirale BIHA décrite dans le plan du cercle, la portion de surface conique bornée par la droite BE et par l’espèce de spirale BFE, le triangle rectiligne BAE, et la surface cylindracée décrite par BG portée autour de la spirale BHA. »

Une analyse pas-à-pas du texte intégral de Pascal

  • 22 L’absence d’emploi de formules algébriques dans la résolution proposée par Pascal a été soulignée (...)

22Dans sa solution, qui ne comporte aucun usage de l’algèbre22, Pascal utilise des rectangles cylindriques inscrits à l’intérieur de son solide spiral. Cette partition du solide spiral par Pascal au moyen de rectangles cylindriques, inattendue dans un calcul de volume, est proche de ce qu’on nomme aujourd’hui un feuilletage d’une variété. Nous aurons à expliciter pourquoi Pascal privilégie ce découpage « curviligne ».

23Gardons toutes les notations du paragraphe précédent, reprenons partiellement le raisonnement de Pascal, et suivant la suggestion de Bourbaki, juxtaposons sans crime de lèse-majesté au texte de Pascal (« en italique » et entre guillemets), une transcription libre (en caractère droit) sans nous priver du vocabulaire algébrique commode des formules de calcul intégral.

24Une transcription en langage mathématique d’aujourd’hui présente un défaut épistémologique, souligné par Alexandre Koyré :

  • 23 Alexandre Koyré, « Pascal savant », Études d’histoire de la pensée scientifique, Paris, Gallimard, (...)

Lorsque nous entreprenons l’étude des géomètres du xviie siècle, Pascal entre autres, que faisons-nous ? Nous traduisons les raisonnements pascaliens en notre langage à nous, nous écrivons quelques formules algébriques, une intégrale ou deux – opération à laquelle Pascal se prête particulièrement bien ainsi que l’a remarqué Nicolas Bourbaki qui, à son génie mathématique, joint une connaissance très profonde de l’histoire de cette science – et nous avons l’impression de comprendre. En fait, il n’en est rien, car en traduisant Pascal en formules, nous déformons et même nous dénaturons profondément sa pensée, pensée qui se caractérise essentiellement par le refus des formules ; refus que Pascal paya assez cher en manquant de faire lui-même les deux grandes découvertes, celle de la formule du binôme qu’il laissa à Newton, et celle de la différentielle qu’il laissa à Leibniz, découvertes qu’ils firent ainsi après lui et sans doute grâce à lui23.

Conscients des réels défauts de cette méthode anachronique, si fermement décriée par Alexandre Koyré, nous pensons néanmoins que pour un texte aussi énigmatique que la spirale autour d’un cône, la traduction pas à pas ci-dessous permet de mieux comprendre l’architecture du raisonnement de Pascal.

Étape 1

Solution
« Soit coupée BA en un nombre indéfini de parties égales aux points O ; et soit le point T celui du milieu, d’où soit mené le demi-cercle TH, qui comme il est aisé de l’entendre, coupera le diamètre prolongé en H au même point où arrive la spirale. »

  • 24 Ce choix subtil entre pluriel et singulier sera de nouveau présent, sous une autre forme, à l’étap (...)

Tout, ou presque, dans cette phrase mérite d’être interrogé : « en un nombre indéfini », et non pas en un nombre infini ; « aux points O », et non pas24 « au point O »… Et comment un nombre indéfini de parties peuvent-elles être égales aux points O ?…

  • 25 OC, IV, p. 440.

25La réponse se trouve dans la Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy25 : « Il me reste encore à vous dire que, dans la suite de ce discours, je me servirai souvent de cette expression, “une multitude indéfinie”, ou “un nombre indéfini” de grandeurs, ou de parties, etc., par où je n’entends autre chose, sinon une multitude ou un nombre plus grand qu’un nombre donné. »

26Les indivisibles sont ici incontestablement présents, et plutôt de manière souterraine. Nous ne rentrerons pas dans ces débats historiques délicats concernant les indivisibles, pour lesquels nous renvoyons à l’ouvrage de Dominique Descotes et l’article de Claude Merker déjà cités. Dans l’ouvrage de Dominique Descotes (chapitre III, p. 139-162), on trouvera une analyse fouillée de la rhétorique des indivisibles au sein des Lettres de A. Dettonville ainsi qu’une rapide description du raisonnement tenu par Pascal (p. 317-322) dans cette Lettre à Monsieur de Sluze qui nous occupe ici. Pour une description plus détaillée de l’emploi des indivisibles dans ce texte, nous renvoyons à l’article de Claude Merker.

27Il est aujourd’hui commode, mais sans doute historiquement un peu cavalier, de comprendre la première phrase de la solution,

« Soit coupée BA en un nombre indéfini de parties égales aux points O »,

comme le choix d’une variable réelle x, abscisse du point O avec x ∈ [−r,0] où r est le rayon du cercle générateur du cône circonscrit.

Étape 2

« Soit sur ce demi-cercle élevée la surface cylindrique TPFH, qui coupe les surfaces qui bornent le solide, et y donnent pour communes sections TPFH qui sera composée de quatre lignes, savoir : la ligne TP, qui se trouvera dans le plan BAE ; la ligne FH, dans la surface cylindracée égale à TP ; le demi-cercle PF dans la surface supérieure ; et le demi-cercle de la base TH, égal au précédent PF, comme tout cela est évident ; et ainsi la figure TPFH sera un rectangle cylindrique. »

Pascal considère le rectangle cylindrique construit au milieu du rayon [BA] du cercle générateur de la spirale. Ce demi-cylindre fixe PHF, en noir sur la figure ci-dessus, est en quelque sorte le rectangle cylindrique de référence, par rapport auquel Pascal va effectuer toutes ses proportions.

Étape 3

« Soit maintenant d’un des points O mené l’arc OI à l’entour du centre A, qui coupe la spirale en I, et soit élevé de même le rectangle cylindrique OYSI. Je dis (et cela sera incontinent démontré) que ce rectangle cylindrique OYSI, sera au premier PTHF, comme BO quarré en OA, à BT quarré en TA. »

À partir d’un arc de cercle Image (construit à partir d’un point indéfini O sur le segment [BA] (en rouge) et d’un point I sur la spirale d’Archimède (en rouge), le tout situé dans le plan du disque de base (en pointillés), le rectangle cylindrique OYSI, ici dessiné en bleu, est élevé dans le plan perpendiculaire au disque de base. Ce rectangle cylindrique sera bientôt mobile puisque le point O est indéterminé sur le segment [BA].

Étape 3.a

« Je dis que ce rectangle cylindrique OYSI sera au premier PTFH, comme BO quarré en OA, à BT quarré en TA. »

Pascal exprime le facteur de proportionnalité existant entre l’aire A(x) du rectangle cylindrique « mobile » OYSL, en bleu sur la figure et l’aire A constante du rectangle cylindrique « de référence » TPFH, en noir sur la figure et qui lui, reste fixe.

28La relation énoncée par Pascal s’écrit :

Image

ce qu’on préfère écrire aujourd’hui sous la forme équivalente :

Image

Étape 3.b

29Afin de ne pas parasiter le fil du subtil raisonnement par indivisibles en cours pour le calcul de volume, Pascal prend soin de renvoyer en fin de texte ce calcul auxiliaire et plus classique du facteur de proportionnalité ci-dessus entre les aires des différents rectangles cylindriques (« et cela sera incontinent démontré »).

30Pascal poursuit son raisonnement de sommation en quelques lignes exceptionnellement denses.

  • 26 La terminologie « perle » est bien due à A. Dettonville. Dans une lettre à Huygens du 15 juillet 1 (...)

« Ce qui étant toujours véritable en quelque lieu que soit le point O, il s’ensuit que tous les rectangles cylindriques ensembles (c’est-à-dire le solide proposé) sera à celui du milieu PTFH pris autant de fois (c’est-à-dire au demi-cylindre qui a le cercle donné pour base, et pour hauteur TP, qui est la moitié du demi-diamètre) comme tous les BO quarré en OA, ensemble à BT quarré en TA, ou à BT cube pris autant de fois, c’est-à-dire comme la perle26 du troisième ordre au rectangle de l’axe et de l’ordonnée du milieu, laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée, non seulement dans la perle du 3e ordre, mais encore dans celle de tous les ordres, où cette raison est toujours comme nombre donné à nombre donné. »

Étape 4

« Ce qui étant toujours véritable en quelque lieu que soit le point O ».

31En termes anachroniques, Pascal assimile l’abscisse du point O à une variable. Lorsque le point O varie de B en A sur le segment [BA], son abscisse x ∈ [−r,0] est une variable réelle de la fonction réelle A(x) de x

A : [−r, 0] → R,

où A(x) est l’aire du rectangle cylindrique bleu OYSI, qui devient ainsi mobile en fonction de l’abscisse du point O.

Étape 5

« il s’ensuit que tous les rectangles cylindriques ensemble (c’est-à-dire le solide proposé) »

Fig. 11 : Le feuilletage de Pascal

Fig. 11 : Le feuilletage de Pascal
  • 27 Dominique Descotes, Blaise Pascal, Littérature et Géométrie, op. cit., p. 145.
  • 28 Ibid., p. 142-148.

32Pascal fait la « somme » des aires A (x) = A (OY SI) exprimées en fonction de l’abscisse x ∈ [−r,0] du point O, pour obtenir le volume du solide spiral. Il convient de souligner ici que pour Pascal, une somme d’aire constitue un volume. Ce que Dominique Descotes désigne comme une « synecdoque du genre de grandeur27 », qui semble rompre la règle d’homogénéité des dimensions pour laquelle Pascal a tant polémiqué, notamment avec le P. Lalouvère, est soigneusement analysée par Dominique Descotes28.

33Découpons cette phrase de l’étape 5 en deux temps :

Étape 5.a

« Tous les rectangles cylindriques ensemble »

se transcrit aujourd’hui sous l’expression

Image

qui représente la somme d’un nombre infini d’aires A (x) lorsque x varie de −r à 0 (−r ≤ x ≤ 0). Cette expression moderne contient dans sa notation même, héritée de l’histoire, la somme infinie, via le symbole f, et ne rompt pas la règle d’homogénéité, grâce à la multiplication de l’aire A (x) par l’élément différentiel dx.

Étape 5.b

« c’est-à-dire le solide proposé »

désigne l’inconnue V, volume recherché du solide spiral.

34La phrase complète de l’étape 5 se transcrit donc par l’égalité

Image

Étape 6

… « sera à celui du milieu PTFH pris autant de fois […] comme tous les BO carré en OA ensemble à BT carré en TA, »

Étape 6.a

« à celui du milieu »

A, qui est l’aire du rectangle cylindrique de référence PTFH ;

Étape 6.b

« pris autant de fois »

encore une apparition du symbole Image  ; « autant » signifie ici « une infinité » mais ce vocabulaire est délibérément proscrit.

Étape 6.c

« tous les BO carré en OA ensemble à BT carré en TA »

avec un bel aplomb pour l’anachronisme, la présence du « tous » s’interprète aujourd’hui comme une apparition du symbole

Image dx

35En résumé, la phrase (étapes 5 et 6)

« tous les rectangles cylindriques ensemble […] sera à celui du milieu PTFH pris autant de fois […] comme tous les BO carré en OA ensemble à BT carré en TA, »

se transcrit sous la forme mathématique actuelle suivante :

36Puisque

Image ,

on a

Image

Soulignons encore une conjugaison soigneusement choisie par Pascal. Non pas : « tous les rectangles seront » mais « tous les rectangles sera ». On peut y voir une volonté de Pascal, déjà observée à l’étape 1, de la distinction entre indéfini (au singulier) et infini (qui devrait être au pluriel). De manière assez discrète, avec cette occurrence du singulier là où le pluriel était attendu, Pascal montre qu’il refuse en quelques sortes de nommer la sommation d’une infinité de termes. Mais il ne refuse pas de le faire…

Étape 7 (incise aux étapes 4 et 5)

« (c’est-à-dire au demi-cylindre qui a le cercle donné pour base et pour hauteur TP, qui est la moitié du demi-diamètre) »

37L’aire A du demi-cylindre TPFH de référence est aisée à calculer : la hauteur TP est égale à r/2, la base TH est le demi-périmètre du cercle de rayon r/2, donc le demi-cylindre TPFH est d’aire = πr2/4.

Étape 8

« c’est-à-dire comme la perle du troisième ordre au rectangle de l’axe et de l’ordonnée du milieu ; »

Pour un lecteur d’aujourd’hui, un calcul algébrique est soigneusement caché dans cette affirmation de Pascal : puisque BO2 × OA = x(x + r)2 et BT2 × TA = r3/8, on obtient :

Image

38Dans la terminologie de Pascal, cette expression Image est une perle du troisième ordre. Pour les lecteurs d’aujourd’hui, il s’agit d’une fonction polynôme de degré 3.

Étape 9 (le coup de grâce)

Étape 9.a

« laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée »

Cette phrase se traduit aujourd’hui sous la forme :

39Sluze sait calculer l’intégrale

Image ,

qui a pour valeurImage Il s’agit là d’un calcul algébrique, nœud de la collaboration entre le « géomètre Pascal » et l’algébriste « de Sluze ».

  • 29 Pascal a tout fait, mais aussi tout caché, pour que cette perle (autrement dit que cette intégrale (...)

40Pascal a pu asséner ce coup de grâce qu’est cette intégration, car il a reconnu dans cette fonction une « ligne en perles », dont, grâce à Sluze, Pascal connaissait les primitives29. Sans cette égalité essentielle, il aurait été impossible d’achever la démonstration. Pascal se contente pourtant de l’énigmatique et lapidaire formule « laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée… ».

Étape 9.b

« c’est-à-dire comme la perle du troisième ordre au rectangle de l’axe et de l’ordonnée du milieu, laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée, non seulement la Perle du troisième ordre, »

Pascal donne ici quelques maigres informations supplémentaires sur cette perle de Sluze, dont il précise qu’elle est du troisième ordre, comme primitive d’une fonction polynôme de degré 3.

Étape 9.c

« mais encore dans celle de tous les ordres, où cette raison est toujours comme nombre donné à nombre donné. »

Cette phrase, qui n’est pas nécessaire au calcul du volume spiral, fait allusion à des calculs qu’il serait possible d’envisager en dimensions supérieures sur lesquels Pascal reviendra (voir le post-scriptum ci-dessous) sans jamais les détailler. Nous donnons plus bas d’autres détails sur ces calculs « en perles ». Nous ferons apparaître ces « perles » le plus explicitement possible, mais aussi le plus géométriquement possible également.

41Achevons auparavant la transcription de la solution de Pascal.

Étape 10 (Coda et tombée de rideau)

« Donc le solide proposé est au demi-cylindre du cercle donné et de la hauteur TP en raison donné ; donc il est aussi en raison donnée au cylindre entier de même base et de la hauteur quadruple, savoir du diamètre entier BD, et par conséquent à la sphère qui est les deux-tiers du cylindre. Ce qu’il fallait démontrer. »

  • 30 OC, IV, p. 440.

42L’expression « en raison donnée » qu’on trouve ici plusieurs fois est une expression aujourd’hui hors d’usage et dont le sens est précisé dans la Lettre à M. de… Carcavy30 : « Dans ce discours j’appelle un "espace donné" ou "connu", celui qui a raison donnée à un carré connu ; et de même j’appelle un "solide donné" ou "connu", celui qui a raison donnée à un parallélépipède connu. Et j’appelle "raison donnée" ou "connue" la raison de nombre connu à nombre connu. » Remarquons le souci, classique au xviie siècle, d’homogénéité des dimensions des grandeurs comparées (ici les volumes du solide spiral et de la sphère) déjà rencontré plus haut dans l’étape 5. Une traduction, possible en termes d’aujourd’hui des expressions « en raison donnée » et « raison de nombre connu à nombre connu », est la suivante : deux grandeurs de même nature et de mesures respectives V et V, sont en en raison donnée si le rapport V/V’, de ces deux grandeurs est un nombre rationnel : V/V’, = p/q ∈ Q, où les entiers p et q sont connus.

43Une fois que le solide spiral est en raison donnée du demi-cylindre, il est très facile de conclure. Pourtant, une petite rupture de ton apparaît. Pascal, d’ordinaire si économe de ses arguments subtils, se montre ici prolixe en multipliant a piacere les détails faciles sur les solides « usuels » successifs (dans l’ordre demi-cylindre, cylindre, sphère). Il y a dans cette chute de rideau une intention rhétorique où Pascal s’amuse un peu, sans doute grisé par sa propre virtuosité, petit péché d’orgueil si fréquent chez lui lorsqu’il se consacre aux mathématiques…

44Détaillons ces calculs faciles de compositions des raisons, dans l’ordre d’apparition choisi par Pascal : demi-cylindre, cylindre, sphère.

  • Le demi-cylindre de base le cercle de rayon B A = r et de hauteur TP = r/2 est de volume V ,1 πr 3 = 2 × 2, ce qui montre que le volume V = πr 3 6du solide spiral est en raison donnée du volume de ce demi-cylindre : V/V’, = 2/3. La raison donnée vaut ici 2/3 : comme annoncé par Pascal, le solide spiral est en raison 2/3 du demi-cylindre.
  • Le cylindre entier de base le cercle de rayon BA = r et de hauteur BD = 2r est de volume VC=2πr3. Le volume spiral est également raison donnée du volume de ce cylindre : V VC = 1/12. La raison donnée vaut ici 1/12. Le solide spiral est en raison 1/12 du cylindre.
  • Pascal rappelle que le volume VS = 4πr3 de la sphère de rayon r est les deux-tiers du volume VC du cylindre ci-dessus : VS/VC = 2/3.
  • Le volume V du solide spiral est donc en raison donnée du volume de la sphère :

Image

La raison donnée vaut ici 1/8.

45Au-delà de ces digressions presque espiègles, la seule conclusion qui importe est finalement :

« Donc le solide proposé… est en raison donnée… à la sphère. Ce qu’il fallait démontrer. »

46Ce qu’on pourrait transcrire sous la forme suivante : puisque le volume V du solide spiral S est égal à Image (étape 10), ce volume est le huitième du volume de Image de la sphère circonscrite, ce qu’a affirmé Pascal sans qu’il ait trouvé nécessaire de préciser ni la valeur de ce volume, ni ce stupéfiant rapport d’un huitième.

Fig. 12.

Fig. 12.

Le solide spiral occupe un huitième du volume de la sphère circonscrite.

Aparté à l’étape 3

  • 31 D’autres chemins sont possibles pour calculer l’aire d’un rectangle cylindrique sans passer par l’ (...)

47Nous avons signalé plus haut que, pour la clarté de sa démonstration, Pascal a rejeté en fin de texte (« et cela sera incontinent démontré ») la détermination du facteur de proportionnalité « BO quarré en OA, à BT quarré en TA », Image détaillé dans l’étape 3.a lui permettant d’exprimer l’aire d’un rectangle cylindrique OYSL en fonction du rectangle cylindrique de référence TPFH. Ce calcul de rapport d’aires ne présente ni difficulté majeure de compréhension, ni idée vraiment novatrice31. Ce paragraphe du texte de Pascal, depuis « Or que le rectangle cylindrique… » jusqu’à « …Donc, etc. ce qu’il fallait démontrer » ne nécessite aucun commentaire de notre part. Il n’en est pas de même des deux dernières lignes du texte de Pascal :

Post-scriptum

« Les solides des autres spirales des ordres supérieurs se trouveront de même par le moyen des lignes en perle des ordres supérieurs. »

48Pascal nous laisse entendre qu’il dispose d’un calcul plus général, sans doute en dimension n > 3. Dans la terminologie d’aujourd’hui, les perles d’ordres supérieurs de Pascal et de Sluze sont les intégrales

Image

que Sluze sait calculer :

Image

49Pascal affirme disposer d’une interprétation géométrique de ces intégrales de perles, sous la forme de solides spirals de dimensions supérieures. Mais n’ayant pas une idée précise de ce que Pascal entend par solides des autres spirales des ordres supérieurs, il me semble prudent d’arrêter là cette lecture guidée. Ce texte nous réserve encore bien des surprises !

Les lignes en perles de Pascal

  • 32 Ce découpage d’un solide en section par des surfaces gauches (c’est-à-dire non planes, ici des rec (...)
  • 33 OC, IV, p. 89-129.

50Une question reste en suspens : d’où sort cette solution si imprévisible, avec sa sommation d’aires de rectangles cylindriques32 ? La réponse à cette question se trouve dans la correspondance Sluze-Pascal33.

51Avant d’entrer dans cette correspondance, il nous faut comprendre ce que sont ces perles auxquelles Pascal fait allusion dans l’étape essentielle de sa solution.

L’analyse spécieuse des perles

52L’analyse spécieuse est la terminologie consacrée au xviie siècle pour ce que nous nommons aujourd’hui l’algèbre.

  • 34 OC, IV, p. 119. On a déjà souligné qu’on ne trouve aucune trace d’utilisation de notation algébriq (...)

53Pour n ≥ 1 entier, une ligne en perle de degré n + 1 est la courbe d’équation y = kxn(b±x)/bn, où k et b sont deux constantes réelles34. Pour obtenir la demi-perle, on considère la restriction de cette courbe à l’intervalle compris entre les deux racines x = 0 et x = ∓b. L’aire de cette demi-perle est l’aire déterminée par la courbe et l’axe des abscisses. Par goût de symétrie, sans doute, on introduit la figure complétée par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, qui explique le nom « perle », mais dans ses démonstrations, Sluze raisonne toujours sur la « demi-perle ».

54Pascal s’intéresse à ces lignes en perles car il sait en trouver des primitives en tous degrés (en degré 2 ou 3, cela revient à calculer des aires ou des volumes).

La perle utilisée y = − Image dans la solution de Pascal.

55Ces perles étant définies, on ne voit absolument pas leur signification géométrique dans le solide spiral. Pour un lecteur d’aujourd’hui, cette perle apparaît à l’étape 9, à la suite de divers tours de passe-passe algébriques.

Interprétation géométrique des lignes en perles de Pascal

  • 35 OC, IV, p. 124-125.

56Pour comprendre combien a posteriori les rectangles cylindriques sont naturels dans la démarche de Pascal, plusieurs arguments essentiels sont très explicitement énoncés dans une lettre de Sluze à Pascal du 29 juin 165835.

Rectification d’un arc de cercle inscrit dans la spirale

57En premier lieu, Pascal et Sluze transforment des segments inscrits dans une parabole en arcs de cercle isométriques inscrits dans la spirale.

« J’avais bien remarqué que des perles on en pouvait faire des spirales en tournant leurs appliquées en arc de cercle. » (Sluze à Pascal, 29 juin 1658)

58En langage d’aujourd’hui, la remarque de Sluze consiste à dire que les segments rectilignes inscrits dans la perle (i. e. la parabole) sont de même longueur que les arcs de cercle de même origine inscrits dans la spirale. Dans la figure ci-dessous, le segment vert [OJ] et l’arc de cercle bleu Image de même origine O sont isométriques. Autrement dit, on a rectifié chaque arc de cercle bleu inscrit à l’intérieur de la spirale en un segment rectiligne vert inscrit à l’intérieur de la parabole.

  • 36 Mais quand même, quelle hardiesse dans ce raisonnement, implicitement présent dans le texte de Pas (...)

59Par sommation de lignes de longueurs égales (les arcs de cercle bleus et les segments verts de la figure ci-dessus), un argument d’indivisible conduit à une égalité d’aire : l’aire de la spirale coïncide avec l’aire de la portion de parabole. Ce résultat est exact mais sans grand intérêt, car on sait calculer ces deux aires depuis Archimède par une tout autre méthode, la méthode d’exhaustion36.

60Étant donnée la spirale, il est facile de déterminer l’équation de la portion de parabole qui satisfait ces conditions. Gardons les notations déjà introduites. Soit x l’abscisse du point O situé sur le rayon [B A], avec x ∈ [−r,0]. La longueur y de l’arc Image est y=-Image , le point J est donc de coordonnées (x, y), ce qui montre que l’arc de parabole est la restriction au segment [−r,0] de la parabole d’équation y = − 2π x(x +r). Lorsque le point O varie de B à A sur le segment [B A], le point I varie sur l’arc de spirale Image (en rouge sur la figure), le point J varie sur l’arc de parabole Image (en vert sur la figure), la longueur du segment [OJ] étant égale à la longueur de l’arc de cercle Image .

61Sluze énonce son résultat dans le sens de l’enroulement d’une parabole en spirale alors que Pascal dans sa solution va procéder à rebours en déroulant une spirale en parabole. Nous commençons enfin à voir l’envers du décor : Pascal a construit son solide spiral à partir de ses perles pour que le calcul du volume de ce solide nécessite l’intervention de ces perles.

62Comme nous allons le voir, l’intérêt du déroulement de la spirale en parabole n’est pas pour les aires mais pour les volumes.

La rectification d’un rectangle cylindrique

63Pour obtenir la perle d’ordre 3, il faut passer du plan à l’espace. On se souvient que le solide spiral est construit par trois mouvements composés. Il est temps d’exploiter le troisième mouvement de l’espère de spirale en l’air. Sluze reconnaît là qu’il s’agit d’une idée due à Pascal.

Mais je n’avais jamais eu la pensée d’y joindre un troisième mouvement perpendiculaire pour composer le solide dont vous avez si doctement démontré la mesure. (Sluze à Pascal, 29 juin 1658)

64Dans ce troisième mouvement composé, le rectangle cylindrique OY SI (bleu sur la figure) se redresse en un rectangle plan OY JJ (vert sur la figure) du plan OY Y, comme on peut le comprendre à l’aide la figure suivante :

65- L’arc de cercle Image étant isométrique au segment [OJ], les aires du rectangle cylindrique bleu OY SI et du rectangle plan vert sont égales. Le découpage par rectangles cylindriques est donc enfin réduit à un découpage par rectangles plans verticaux.

La rectification du solide spiral

66La rectification de tous les rectangles cylindriques conduit à la construction d’un autre solide de même volume que le solide spiral. Ce solide, Pascal l’ignore délibérément car une fois arrivé à la perle de degré trois, il ne raisonne plus géométriquement mais algébriquement puisqu’il sait intégrer les perles de Sluze, donc trouver algébriquement le volume du solide spiral, qu’il exprime en rai- son du volume de la sphère.

67Pour la curiosité du lecteur, voici l’allure de ce solide dont Pascal n’a pas eu besoin. Sa base est bien sûr la parabole du second degré de Sluze, il est ensuite construit par élévation dans l’axe Oz le long de cette parabole de manière rigoureusement analogue à la construction de l’espèce de spirale en l’air qui engendre le solide spiral construit par Pascal à partir de la spirale plane d’Archimède.

68Le volume de cet étrange solide parabolique, qui est celui du solide spiral, est donné par une primitive de la parabole cubique de Sluze rencontrée plus haut et d’équation

Image .

69Voici donc enfin complètement détaillée l’énigmatique étape 10 : laquelle raison Monsieur de Sluze a donnée.

La solution de Pascal dans le vocabulaire d’aujourd’hui

70Gardons les notations de la figure de Pascal : A est le centre du cercle générateur et B l’extrémité d’un rayon de ce cercle. Gardons aussi l’idée de Pascal de calculer l’aire du rectangle cylindrique OY SI puis d’en faire la somme pour obtenir le volume V du solide spiral. En termes d’aujourd’hui, la solution de Pascal se résume aux trois égalités ci-dessous.

Image .

  • L’égalité =(1) résulte des indivisibles, découpage du solide spiral en une infinité de rectangles cylindriques. C’est une utilisation d’un théorème à la Fubini avant l’heure (étape 5 ci-dessus).
  • L’égalité =(2) est un simple calcul de proportionnalité (addentum à l’étape 3 ci-dessus) joint à la linéarité de l’intégrale, car pour Pascal, l’aire A(x) d’un rectangle cylindrique OYSI s’exprime à partir de l’aire A du rectangle cylindrique de base TPFH :

Image .

71� Aujourd’hui, le calcul serait plutôt le suivant : l’aire A(x) est le produit de la longueur L de la base Image du rectangle par sa hauteur h =OY.

Or on a Image et Image d’où Image

72L’égalité =(3) provient du fait que la fonction aire Image Image est une fonction polynôme de degré 3 en la variable x, que Pascal sait intégrer grâce aux perles de Sluze.

Conclusion

  • 37 Dans l’introduction à la lettre complète à M. de Sluze, Pascal précise : « C’est une solution que (...)

73La remarque de Sluze déjà citée « des perles on en pouvait faire de spirales » montre bien que ce n’est pas le calcul d’un volume au moyen de perles qui a motivé Pascal en rédigeant ce texte mais comment construire un solide nécessitant l’intervention des perles pour déterminer son volume. Voulant montrer l’intérêt de ses perles37, Pascal les a enroulées sur des spirales, puis compris comment à partir de ces enroulements sur des spirales, à l’aide d’un troisième mouvement composé, construire son solide spiral dont le calcul du volume nécessitera miraculeusement ce deus ex machina que constitue le déroulement des spirales du solide en perles de Sluze. Le faussaire est enfin démasqué, mais quelle virtuosité ! Chapeau bas.

Appendice : une symétrie cachée débusquée par l’algèbre

74Quittons à présent Pascal, ses enroulements de perles et son texte, mais non son solide. La méthode de Pascal, par découpages en rectangles cylindriques, n’appartient qu’à lui. Nous avons expliqué plus haut pourquoi des sections planes n’ont pas été choisies par Pascal pour ce solide spiral. Les calculs qui suivent montrent que des sections planes horizontales permettent de mener à son terme le calcul du volume spiral. Ces sections planes fournissent de plus une belle symétrie inattendue que l’algèbre révèle aisément.

Calcul par tranches

  • 38 C’est un cas particulier d’un théorème de Fubini.

75Nous disposons aujourd’hui d’un théorème de calcul par tranche38 dont l’énoncé peut prendre la forme suivante :

Soit C un volume de l’espace compris entre les plans d’équation z = a et z = b avec a < b. On suppose que la section Ct de C par le plan Pt d’équation z =t est d’aire f (t) où f : [a, b] → R est une fonction continue. Alors le solide C a pour volume :

Image

Coloriage des tranches du solide spiral

76Dans les images ci-dessous, dont on ne trouvera nulle trace dans le texte de Pascal, nous allons faire émerger deux parties de même volume à l’aide de sections du solide spiral par des plans perpendiculaires à l’axe du cône. Ainsi, au sein de ce solide sans symétrie apparente, ces calculs mettent en évidence une symétrie cachée.

77Si l’on peint le chapeau conique du solide spiral en rouge et les bords de la surface cylindracée en bleu, on voit apparaître un découpage du bord du solide spiral en deux parties. Prolongeons ce coloriage à l’intérieur du solide spiral à l’aide de sections planes.

Section du solide spiral par un plan perpendiculaire à l’axe du cône

78La section du solide spiral de Pascal S par un plan P perpendiculaire à l’axe du cône circonscrit est assez facile à décrire géométriquement.

79Les figures ci-dessous montrent que la section S ∩ P du solide spiral par ce plan se découpe en deux parties : un secteur circulaire (rouge) et un secteur de spirale d’Archimède (bleu).

Fig. 19 : Section par un plan P vue en perspective…

Fig. 19 : Section par un plan P vue en perspective…

Fig. 20 :… et vue de dessus.

Fig. 20 :… et vue de dessus.

Une infinité de tranches

80Imaginons un instant qu’on rassemble les différents secteurs circulaires rouges dans un mille-feuille dont chaque feuille serait parallèle au plan de coupe.

81Par un passage à la limite, on obtient alors la « calotte conique » C1 ci-dessous.

Fig. 21 : la calotte conique C1.

Fig. 21 : la calotte conique C1.

82Imaginons de manière analogue qu’on rassemble les différents secteurs spiralés bleus dans un mille-feuille dont chaque feuille serait parallèle au plan de coupe.

83Par le même passage à la limite, on obtient alors le « toboggan spiral » C2 ci-dessous.

Fig. 22 : Le toboggan spiral C2.

Fig. 22 : Le toboggan spiral C2.

84La réunion C1 Image  C2 de ces deux solides est un découpage du solide spiral S de Pascal. Si l’on désigne par V le volume du solide spiral de Pascal, et par V1 et V2 les volumes des solides C1 (rouge) et C2 (bleu), on a V = V1 +V2.

Fig. 23 : Le solide spiral découpé en deux morceaux C1 et C2 de même volume.

Fig. 23 : Le solide spiral découpé en deux morceaux C1 et C2 de même volume.

Calcul du volume de chacun des solides C1 et C2

85Après ces nombreuses images, qui montrent plus qu’elles ne démontrent, il est temps de faire quelques calculs. Les volumes V1 et V2 de la calotte conique C1 et du toboggan spiral C2 sont aisés à obtenir. Il faut pour cela quelques notations anachroniques, mais familières aux lycéens d’aujourd’hui.

86La projection sur le plan d’équation = 0 de la section plane du solide spiralé par le plan de cote z se découpe en deux parts, le secteur circulaire Image (en rouge), le secteur de spirale d’Archimède d’arête AI (en bleu).

87Le secteur circulaire Image en rouge est l’intersection du plan avec la calotte conique C1 et le secteur de spirale d’Archimède d’arête AI (en bleu) est l’intersection du plan avec le toboggan spiral.

88Le disque de base du cône circonscrit aux deux solides C1 et C2 est situé dans le plan (xOy) de cote z = 0. Soit r > 0 un réel et soient A et B les points de coordonnées respectives (0,0), (−r, 0). La distance AB = r est le rayon du disque de base du solide spiralé de Pascal. Désignons par x l’abscisse du point O, avec −r ≤ x ≤ 0.

  • Soit z la cote du plan de coupe P avec 0 ≤ z ≤ r. L’aire de la section SP représentée ci-dessus, s’exprime en fonction de z sous la forme A (z) = A1 (z) +A2 (z) A1(z) désigne l’aire de la partie circulaire rouge, tandis que A2 (z) désigne l’aire de la partir spiralée bleue. Le volume V du solide spiralé de Pascal est donc

Image

89Pour exprimer ces aires en fonction de z, on remarque que l’on a la relation z = r + x, 0zr. L’angle orienté de vecteurs

Image est égal à

Image

tandis que le rayon du cercle considéré est OA = r − z.

Calcul du volume V1 de la calotte conique C1

90Pour 0 ≤ z ≤ r, le secteur circulaire Image z, en rouge sur la figure ci-contre, d’angle θ = Image et de rayon AO = −x = rz a pour aire :

Image

91Le volume V1 de la calotte conique C1 est donc :

Image .

Calcul du volume V2 du toboggan spiral C2

92On sait depuis Archimède que l’aire d’un secteur de spirale est le tiers du secteur circulaire contenant cette spirale. Ce secteur est représenté en noir sur la figure ci-contre.

93L’angle orienté de vecteurs

Image est égal à Image .

94Le rayon du secteur circulaire contenant ce morceau de spirale est AI = AO = −x = r z.

95Par conséquent

Image

96Le volume V2 du toboggan cylindrique C2 est donc

Image

97Les deux volumes V1 et V2 ont été calculés à l’aide du théorème de calcul de volume par tranches. Nous devons également remarquer que pour achever le calcul du solide spiral, il nous a fallu, tout comme Pascal avec ses rectangles cylindriques et ses perles, savoir calculer des primitives de fonctions polynomiales de degré 3.

98Le volume V du solide spiral de Pascal est donc

Image

c’est-à-dire le huitième du volume de la sphère de même rayon, résultat déjà trouvé par Pascal à l’aide de sa méthode des rectangles cylindriques.

99Mais ici, les calculs ci-dessus fournissent de plus Image =Image =Image . Le découpage en deux parties Image Image (rouge et bleue sur les figures, calotte conique et toboggan spiral) du solide spiral S de Pascal, est tel que ces deux parties sont de même volume, chacune ayant pour volume un seizième du volume de la sphère de même rayon. Cette égalité de volume, aussi peu prévisible que le rapport d’un huitième établi par Pascal montre une nouvelle et étonnante symétrie cachée du solide spiral de Pascal.

  • 39 L’auteur de ces lignes reconnaît bien volontiers qu’il n’avait pas anticipé cette égalité avant d’ (...)
  • 40 Sauf pour z = r/4 : le rapport A1(z)/A2(z) est égal à 3z/(r – z), l’une des aires croît tandis que (...)

100C’est bien l’algèbre, si absente du texte de Pascal, qui fournit cette symétrie inattendue et imprévisible39. En effet, les surfaces rouges et bleues Image (z) et Image (z), découpage de l’intersection du plan de cote z avec le solide spiral ne sont jamais égales40, mais les intégrales de ces aires respectives coïncident.

  • 41 Dans son introduction à la lettre à M. de Sluze, Pascal nous apprend que Roberval revendiquait de (...)

101Dans son texte, Pascal ne fait nulle part allusion à cette symétrie. Cela ne signifie pas qu’il l’ignorait41. Pascal a-t-il réalisé le calcul du volume par tranches planes ci-dessus ? Rien ne permet de l’affirmer à la lecture du texte mais rien ne permet non plus de réfuter cette hypothèse. Aurait-il fait ces calculs et découvert cette symétrie, il aurait pu délibérément ne pas signaler cette symétrie un peu hors de propos pour lui, car la méthode qu’il a choisie, le calcul par tranches de rectangles cylindriques, avait des vertus autrement plus importantes que cette symétrie : montrer la puissance de la méthode des indivisibles, rendre hommage à Sluze en utilisant des enroulements de perles de Sluze et utiliser les formules d’intégration des perles de Sluze.

Haut de page

Notes

1 Nicolas Bourbaki, Éléments d’histoire des mathématiques, Paris, Hermann, 1974, p. 215.

2 Blaise Pascal, Œuvres complètes, éd. Jean Mesnard, vol. IV, (en abrégé OC, IV), Paris, Desclée de Brouwer, 1992, p. 531-539.

3 OC, IV, p. 409-522.

4 OC, IV, p. 537-539.

5 OC, IV, p. 565.

6 https://overnia.bibliotheques-clermontmetropole.eu/ Onglets successifs : Un provincial nommé Blaise Pascal, Œuvres de Blaise Pascal, Écrits scientifiques, Mathématiques, Géométrie, Cycloïde, texte 10/10.

7 Toutes les lettres utilisées dans ce texte pour désigner des points se réfèrent à cette Figure 45 reproduite ci-dessus. Pour une meilleure lisibilité, nous utiliserons des lettres majuscules là où Pascal sur sa figure utilise des lettres minuscules (par exemple PTHF au lieu de pthf).

8 On songe à la lettre à Auguste Chevalier d’Évariste Galois, écrite à la veille d’un duel fatal, ou au pli cacheté envoyé à l’Académie des Sciences par Wolfgang Döblin, soldat durant la drôle de guerre, peu avant sa mort au combat.

9 Exemples : correspondance de Pascal et Fermat, correspondance de Hermite, correspondance de Serre et Grothendieck.

10 Dominique Descotes, Blaise Pascal, Littérature et Géométrie, Clermont-Ferrand, Presses universitaires Blaise-Pascal, 2001, p. 9.

11 Le pseudonyme M. Le Blanc utilisé par Sophie Germain (1776-1831), dans sa correspondance avec Lagrange ou Gauss, s’explique par l’interdiction faite aux femmes d’étudier les mathématiques. Le cas plus récent de Bourbaki est d’une autre nature : œuvre essentiellement collective et consacrée à de grandes réorganisations encyclopédiques de travaux déjà établis par d’autres.

12 OC, IV, p. 410-522.

13 Nicolas Bourbaki, Éléments d’histoire des mathématiques, op. cit., p. 215.

14 Ibid., p. 238.

15 Dominique Descotes, Blaise Pascal, Littérature et Géométrie, op. cit.

16 Claude Merker, « Pascal et la Dimension d’un solide formé par le moyen d’une spirale autour d’un cône », Courrier du Centre International Blaise Pascal, no 31, 2009, p. 1 [En ligne] DOI : https://doi.org/10.4000/ccibp.478.

17 OC, IV, p. 121.

18 Roberval, Observations sur la composition des mouvements et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes, 1693, in Divers ouvrages de M. de Roberval, publiés par l’Académie royale des sciences, Gallica, règle générale, p. 80 [En ligne] URL : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k862896/f15.item.

19 Voir par exemple : Thierry Lambre, Pascal, Roberval et la quadrature de la cycloïde [En ligne] URL : https://www.youtube.com/watch?v=g-FUyJYDXQU.

20 Une courbe est gauche si elle n’est pas contenue dans un plan.

21 Déterminer la proportion de la sphère signifie décider si le rapport entre le volume du solide spiral à sa sphère circonscrite est un nombre rationnel.

22 L’absence d’emploi de formules algébriques dans la résolution proposée par Pascal a été soulignée par Bourbaki : « Wallis en 1655, et Pascal en 1658, se forgent, chacun à son usage, des langages de caractère algébrique, dans lesquels, sans écrire aucune formule, ils rédigent des énoncés qu’on peut immédiatement transcrire en formules de calcul intégral dès qu’on en a compris le mécanisme » (op. cit., p. 238).

23 Alexandre Koyré, « Pascal savant », Études d’histoire de la pensée scientifique, Paris, Gallimard, 1973, p. 362-389, p. 364 ; repris de Blaise Pascal : L’homme et l’œuvre, Paris, Éditions de Minuit, 1956, « Cahiers de Royaumont. Philosophie », no 1, p. 273-278. Nous remercions João Cortese pour cette référence.

24 Ce choix subtil entre pluriel et singulier sera de nouveau présent, sous une autre forme, à l’étape 6.

25 OC, IV, p. 440.

26 La terminologie « perle » est bien due à A. Dettonville. Dans une lettre à Huygens du 15 juillet 1659 (OC, IV, p. 647), Sluze précise : « J’ai aussi fait quelques inventions à propos des ellipsoïdes (Dettonville les appelle perles) ». Quant à Huygens, il les désigne sous le terme « linea pyriformis », lignes piriformes, en forme de poire (OC, IV, p. 118).

27 Dominique Descotes, Blaise Pascal, Littérature et Géométrie, op. cit., p. 145.

28 Ibid., p. 142-148.

29 Pascal a tout fait, mais aussi tout caché, pour que cette perle (autrement dit que cette intégrale) apparaisse.

30 OC, IV, p. 440.

31 D’autres chemins sont possibles pour calculer l’aire d’un rectangle cylindrique sans passer par l’aire du rectangle cylindrique de référence (voir paragraphe 7).

32 Ce découpage d’un solide en section par des surfaces gauches (c’est-à-dire non planes, ici des rectangles cylindriques) rappelle les feuilletages de variétés différentiables, introduits au xxe siècle.

33 OC, IV, p. 89-129.

34 OC, IV, p. 119. On a déjà souligné qu’on ne trouve aucune trace d’utilisation de notation algébrique dans le texte de Pascal consacré au solide spiral.

35 OC, IV, p. 124-125.

36 Mais quand même, quelle hardiesse dans ce raisonnement, implicitement présent dans le texte de Pascal : une famille infinie d’arcs de cercle recouvre la spirale d’Archimède ; connaissant la longueur de chacun de ces arcs de cercle, on fait une somme de longueurs de lignes courbes qui devient l’aire de la spirale. Pour ne pas rompre l’homogénéité des dimensions, il ne manque que l’élément différentiel dx cher à Leibniz, et qui occupera longuement Pascal-Dettonville dans la lettre à Carcavy.

37 Dans l’introduction à la lettre complète à M. de Sluze, Pascal précise : « C’est une solution que j’aime, parce que j’y suis arrivé par le moyen de vos lignes en perle » (OC, IV, p. 532).

38 C’est un cas particulier d’un théorème de Fubini.

39 L’auteur de ces lignes reconnaît bien volontiers qu’il n’avait pas anticipé cette égalité avant d’entamer ses calculs !

40 Sauf pour z = r/4 : le rapport A1(z)/A2(z) est égal à 3z/(r – z), l’une des aires croît tandis que l’autre décroît et les deux aires coïncident uniquement pour z = r/4, c’est-à-dire au quart inférieur du solide spiral.

41 Dans son introduction à la lettre à M. de Sluze, Pascal nous apprend que Roberval revendiquait de savoir calculer ce volume. On ignore tout des méthodes de Roberval, qui ne les a pas communiquées. Il est tout aussi impossible de décider si Roberval avait repéré cette symétrie.

Haut de page

Table des illustrations

Titre Fig. 1 : « figure 45 »
Légende OC, IV, p. 565.
Crédits Bibliothèque du Patrimoine de Clermont-Ferrand
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-1.jpg
Fichier image/jpeg, 144k
Titre Fig. 2 : « espèce de spirale en l’air autour d’un cône ».
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-2.png
Fichier image/png, 60k
Titre Fig. 3 : « La portion de surface conique bordée par la droite BE ».
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-3.png
Fichier image/png, 43k
Titre Fig. 4 :« Le triangle rectiligne BAE ».
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-4.png
Fichier image/png, 34k
Titre Fig. 5 : « la surface cylindracée ».
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-5.png
Fichier image/png, 31k
Titre Fig. 6 : Vue sous deux angles distincts du solide spiral complet.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-6.png
Fichier image/png, 56k
Titre Fig. 7.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-7.png
Fichier image/png, 110k
Titre Fig. 8.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-8.png
Fichier image/png, 53k
Titre Fig. 9.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-9.png
Fichier image/png, 79k
Titre Fig. 10.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-11.png
Fichier image/png, 83k
Titre Fig. 11 : Le feuilletage de Pascal
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-14.png
Fichier image/png, 185k
Titre Fig. 12.
Légende Le solide spiral occupe un huitième du volume de la sphère circonscrite.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-28.png
Fichier image/png, 115k
Titre Fig. 13.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-32.png
Fichier image/png, 172k
Titre Fig. 14.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-35.png
Fichier image/png, 80k
Titre Fig. 15.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-41.png
Fichier image/png, 53k
Titre Fig. 16.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-43.png
Fichier image/png, 75k
Titre Fig. 17.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-45.png
Fichier image/png, 95k
Titre Fig. 18.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-55.png
Fichier image/png, 57k
Titre Fig. 19 : Section par un plan P vue en perspective…
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-56.png
Fichier image/png, 107k
Titre Fig. 20 :… et vue de dessus.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-57.png
Fichier image/png, 66k
Titre Fig. 21 : la calotte conique C1.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-58.png
Fichier image/png, 145k
Titre Fig. 22 : Le toboggan spiral C2.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-59.png
Fichier image/png, 137k
Titre Fig. 23 : Le solide spiral découpé en deux morceaux C1 et C2 de même volume.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-61.png
Fichier image/png, 166k
Titre Fig. 24.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-63.png
Fichier image/png, 44k
Titre Fig. 25.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-68.png
Fichier image/png, 75k
Titre Fig. 26.
URL http://journals.openedition.org/cbp/docannexe/image/1070/img-73.png
Fichier image/png, 79k
Haut de page

Pour citer cet article

Référence papier

Thierry Lambre, « Sur le solide spiral de Pascal »Courrier Blaise Pascal, 45 | 2023, 91-120.

Référence électronique

Thierry Lambre, « Sur le solide spiral de Pascal »Courrier Blaise Pascal [En ligne], 45 | 2023, mis en ligne le 01 décembre 2024, consulté le 19 mars 2025. URL : http://journals.openedition.org/cbp/1070 ; DOI : https://doi.org/10.4000/cbp.1070

Haut de page

Auteur

Thierry Lambre

Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal, Université Clermont Auvergne, UMR 6620, CNRS

Haut de page

Droits d’auteur

CC-BY-4.0

Le texte seul est utilisable sous licence CC BY 4.0. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.

Haut de page
Rechercher dans OpenEdition Search

Vous allez être redirigé vers OpenEdition Search