Les lettres dans le Triangle arithmétique

3Ce Triangle arithmétique est construit sur la règle suivante : « le nombre de chaque cellule est égal à celui de la cellule qui la précède dans son rang perpendiculaire, plus à celui de la cellule qui la précède dans son rang parallèle ». Cette règle si claire en apparence comporte des éléments de nature et de fonctions différentes.

4Première opération, d’ordre purement géométrique : la construction d’ensemble du tableau comporte deux divisions : la zone des cellules et celle des exposants. La figure du tableau est limitée en haut et à gauche par deux droites cadres, ZL horizontale et ZT verticale. Ces droites sont divisées en portions égales en des points notés par les nombres d’une suite de nombres entiers successifs, marqués 1, 2, 3, etc. De ces points naissent des perpendiculaires à ZL et à ZT, qui engendrent des cellules carrées, vides à ce stade initial, toutes identiques entre elles, et par suite indiscernables les unes des autres.

5Il faut cependant noter que la forme graphique de ces cellules est déjà grosse de conséquences implicites. Car une cellule peut être voisine d’une autre par l’un de ses quatre côtés. C, par exemple, est voisine de θ, , F et B : elle amorce dans ce cas une démonstration relative aux relations d’ordres parallèles ou perpendiculaires.

6La même cellule C en touche d’autres par ses angles de coins : R et E d’une part, auquel cas elle se prête à une Conséquence relative aux bases du Triangle arithmétique, mais aussi ψ et  d’autre part, auquel cas elle peut participer à une Conséquence relative à la dividente et ses parallèles.

7Deuxième opération : le triangle devient arithmétique lorsque Pascal assigne aux divisions égales de ZL et ZT des nombres exposants qui forment une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 1. À l’aide d’un système de doubles références prises sur les droites ZL et ZT, ces nombres permettent d’individualiser les cellules, en déterminant leur exposant du rang parallèle et leur rang perpendiculaire (leur racine, dit parfois Pascal). Comme par construction il n’y a pas deux paires d’exposants identiques, ils constituent des couples univoques analogues à nos doubles indices, qui permettent de caractériser sans hésitation une cellule. Il arrive bien que deux exposants a et b soient identiques ; mais il s’agit toujours de couples inverses, où a est exposé du rang et b est racine, différent de a racine et b exposant du rang.

8Troisième opération, proprement littérale : Pascal assigne à chaque cellule un caractère tiré de l’alphabet romain et du grec. La construction du Triangle arithmétique s’est attirée de vifs reproches du côté des historiens des mathématiques. Henri Bosmans ne mâchait pas ses mots au vu de la distribution anarchique des lettres représentant tantôt les exposants des cases, tantôt des nombres et tantôt des cellules :

• 4 Henri Bosmans, « Sur l’œuvre mathématique de Blaise Pascal », Revue des questions scientifiques, 8 (...)

Ici, on ne reconnaît plus Pascal. Le choix des lettres est fait sans règle, ni goût. Majuscules latines, minuscules grecques sont mêlées au hasard. Pour suivre les démonstrations, il faut avoir constamment la figure du triangle sous les yeux4.

11En fait, quoique Pascal n’envisage de travailler que sur un corpus relativement modeste de 29 cellules pourvues de lettre et de nombre, il a dû constater que le maigre nombre de caractères que fournissait l’alphabet ordinaire pouvait le gêner pour construire des exemples convaincants.

12Ont été supprimées les lettres susceptibles de présenter des ressemblances capables de faire double emploi dans l’alphabet romain : le I et le J sont identiques et ressemblent trop à 1 ; U doublerait V ; O peut doubler Q ; le W n’est pas en grand usage à l’époque (il n’y a que deux entrées dans Furetière et aucune dans le Dictionnaire de l’Académie). Notons au passage que le Y n’est pas éliminé. Restaient donc :

A B C D E F G H K L M N P Q R S T V Y Z

13Le recours à l’alphabet grec en complément du latin laissait les mains plus libres à Pascal. Mais un second travail d’élimination ne laissait subsister que les caractères suivants : δ ζ θ λ μ ξ π ρ σ φ ψ ω.

14La quatrième phase revient aux nombres inscrits dans les cellules. On connaît leur mode de genèse, que son caractère graphique rend vite familier. Chaque nombre est par convention toujours égal à la somme des cellules du rang précédent. Cette règle engendre ce que Pascal appelle les ordres numériques : par exemple dans le cas de la cellule F = 10 :

A + B + C = F 1 + 3 + 6 = 10

17Il ne semble pas y avoir de répartition significative stricte. Certains groupes ont été placés en évidence, comme ABCDEF, qui est situé de manière à être reconnu d’entrée, et volontairement placé à distance de G. On peut remarquer que, mise à part la cellule génératrice, presque toutes les lettres romaines sont dans la partie située sous la dividente GψC, et les lettres grecques au-dessus. Toujours exception faite de la génératrice, il n’y a que trois cellules bleues dans la partie supérieure, une rouge dans l’inférieure, et deux sur la dividente.

18L’étude des lettres dans les énoncés et la démonstration des Conséquences serait autrement délicate. Citons un exemple assez curieux : la Conséquence huitième, sur les sommes des cellules des bases qui sont liées à la progression double, ne contient aucune lettre. C’est pourtant une proposition qui met en rapport une progression arithmétique et une géométrique, selon la définition qui était donnée aux logarithmes. L’érudit Francis Maseres a qualifié Pascal de scriptor logarithmicus dans sa Collection of several curious tracts on the nature and construction of logarithms de 1791.

Usage des lettres et des nombres

20Première catégorie : les exposants inscrits dans les bords du tableau qui marquent les rangs parallèles et les rangs perpendiculaires du Triangle. Ils composent deux suites arithmétiques de premier terme 1 et de raison 1. Ils déterminent la position d’une cellule par la connaissance d’un nombre donné pris dans chacun des rangs parallèles et des rangs perpendiculaires. La cellule F, par exemple, a pour exposant de rang parallèle 4, et pour racine le rang perpendiculaire 3.

21Les nombres inscrits dans les cellules du Triangle arithmétique lui-même sont dits figurés en raison de leur propriété d’être représentables par des points disposés en forme géométrique. Ils résultent d’un mode de construction connu depuis l’Antiquité : tous ces nombres dépendent de la première cellule G, qui détermine par un procédé additionnel tous les nombres inscrits dans les autres cellules.

Le nombre de la première cellule qui est à l’angle droit est arbitraire ; mais, celui-là étant placé, tous les autres sont forcés ; et pour cette raison il s’appelle le générateur du triangle.

22Un même nombre peut apparaître plusieurs fois, à commencer par l’unité, qui apparaît un nombre de fois virtuellement infini. Le chiffre 2, lui, apparaît une fois ; 3 et 4 apparaissent deux fois ; 15 se trouve 4 fois, dont 2 seulement visibles sur la figure de Pascal. Le problème du nombre de fois où un nombre peut être trouvé semble encore à l’étude chez les mathématiciens. Noter que cette règle n’est pas réservée au cas de G = 1. Il est possible que G égale 2, 3, 4, et ainsi de suite, de sorte que l’on peut construire autant de triangles arithmétiques différents, mais de même structure.

23Ce changement de Générateur, qui modifie tous les nombres des cellules, n’en change aucun dans les exposants des rangs parallèles et perpendiculaires, et corrélativement, il ne provoque aucune modification dans les lettres comprises dans les cellules. Ce que la lettre fixe, c’est la position du nombre à l’égard de la cellule, c’est-à-dire le rapport du nombre avec ses exposants parallèle et perpendiculaire. La lettre est donc un élément qui complète la structure géométrique (toujours constante) par celle des exposants, sur toute la surface du Triangle arithmétique.

24Pascal signale une propriété importante du Triangle arithmétique.

25Dans les premières Conséquences, les exposants des rangs servent à repérer les nombres par une sorte de système de notation à double indice. Mais, à partir de la Conséquence douzième, ces nombres sont engagés dans le calcul des propositions de telle sorte que les propositions que Pascal démontre établissent des rapports entre nombres des cellules et exposants. Autrement dit, Pascal démontre une proportion dont les termes sont d’une part des nombres exposants, d’autre part des lettres, ce qui est tout autre chose que montrer une relation entre lettres et nombres des cellules. Par exemple :

• 10 Conséquence treizième. OC II, p. 1295. Proposition qui correspond, dans la version latine, au Cons (...)

En tout Triangle arithmétique, deux cellules continues étant dans un même rang perpendiculaire, l’inférieure est à la supérieure comme l’exposant de la base de cette supérieure à l’exposant de son rang parallèle10. 

Soient deux cellules quelconques dans un même rang perpendiculaire, F, C ; Je dis que :

F est à C comme 5 à 3
l’inférieure, la supérieure, exposant de exposant du rang
la base de C, parallèle de C.
Car E est à C comme 2 à 3.
Donc E + C est à C comme 2 + 3 à 3
F est à C comme 5 à 3.

26En d’autres termes, les exposants, qui n’avaient au début pour charge que de coter les nombres du Triangle arithmétique, se révèlent porteurs d’une propriété qui n’était pas visible dans leur première présentation, l’établissement des rapports de proportionnalité entre les nombres des cellules.

Interprétation

27Il faut ajouter que les mêmes pages effectuent, comme ce sera le cas quelques années plus tard dans les Lettres de A. Dettonville, un travail sur le langage mathématique.

28Pascal est sensible à la cohérence et à l’exactitude de son vocabulaire technique. Or, si l’on peut additionner, sommer ou égaler des nombres, il faut user d’un peu de précautions sur les lettres. Pascal emploie un mot qui permet de parler des nombres et des lettres dans les mêmes termes. La base des démonstrations du Triangle arithmétique réside dans l’opération qui consiste à calculer le nombre d’une cellule en additionnant les nombres des deux cellules voisines en haut et à gauche :

29E = D + B 4 = 1 + 3

30Pascal est donc conduit à emprunter le terme qui exprime clairement la nature de cette substitution d’une lettre à d’autres : l’interprétation des lettres par d’autres lettres. Ainsi dans la Conséquence seconde du traité français :

• 11 Conséquence seconde, OC II, p. 1290. Pascal parle ici en termes mathématiques d’égalité de lettres (...)

En tout Triangle arithmétique, chaque cellule est égale à la somme de toutes celles du rang parallèle précédent comprises depuis son rang perpendiculaire jusques au premier inclusivement11.

En tout Triangle arithmétique, chaque cellule est égale à la somme de toutes celles du rang parallèle précédent comprises depuis son rang perpendiculaire jusques au premier inclusivement.

Soit une cellule quelconque ω : je dis qu’elle est égale à R + θ + ψ + φ, qui sont celles du rang parallèle supérieur depuis le rang perpendiculaire de ω jusques au premier rang perpendiculaire.

Cela est évident par la seule interprétation des cellules par celles d’où elles sont formées.

Car ω, égale R + C.

θ + B

ψ + A

φ car A et φ sont égaux entre eux par la précédente.

Donc ω égale R + θ + ψ + φ.

ABFE = CDGH

On a par définition ABFE égal à AB² et CDGH à CD² :

ABFE = AB²

CDGH = CD²

Par conséquent :

AB² = CD²

32L’interprétation applique dans le Triangle arithmétique la règle génétique des cellules en substituant aux lettres de deux cellules une troisième supposée leur être équivalente, ou inversement. Si l’on voulait être complet, on devrait dire, par exemple, que la cellule (F) de racine 3 et d’exposant 4 est égale à la cellule (C) d’exposant 3 et de racine 3, plus la cellule (E) de racine 2 et d’exposant 4.

34On retrouve du reste des exigences analogues à celles de la méthode d’interprétation classique, notamment celle de l’univocité des termes. Mais l’interprétation est multiple. On peut trouver le nombre d’une cellule de différentes manières, selon les Conséquences qu’on y emploie :

soit en additionnant les deux cellules voisines :

F = C + E

soit en additionnant les cellules du rang horizontal précédent :

F = A + B + C

soit en se servant de la réciproque :

F = 10 = ω Etc.

35Cette variété dans les voies ouvre des possibilités : grâce à elle, on tire des conséquences sur l’égalité de certaines sommes de cellules. Par exemple, on démontre dans la Proposition I-3, II-4, que sont équivalentes les sommes de cellules suivantes :

ξ = λ + R + ω = φ + ψ + θ + R + S = G + σ + π + λ + φ + ψ + θ + R + 1 = S + ω

36Connaissant une cellule, on a le choix entre différentes façons de la rapporter à d’autres qui lui servent d’ancêtres.

37Mais l’interprétation est plus riche dans les nombres, que l’on peut décomposer en parties. Connaissant un nombre, on ne peut pas savoir dans quelle cellule il se trouve, car certains nombres sont contenus dans plusieurs cellules : si l’on a 6, si c’est N, C ou Q.

38Cellule N : 6 = 1 + 2 + 3

39Cellule C : 6 =1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

40Cellule Q : 6 = 1 + 5

41Pascal s’estime en droit d’écrire sur le Triangle arithmétique :

j’en laisse bien plus que je n’en donne ; c’est une chose étrange combien il est fertile en propriétés, chacun peut s’y exercer.

42De ce qui précède, on comprend que le signe de l’accolade horizontale, introduit par Pascal dans la deuxième impression du Triangle arithmétique pour signifier l’équivalence, n’est pas un simple signe algébrique pour exprimer une opération ou une grandeur. C’est une notation qui permet, à l’aide des lettres représentatives des nombres figurés, d’ouvrir la voie au travail sur le tableau du Triangle.

43Le signe n’est pas une nouveauté. Pascal pouvait le trouver dans les œuvres de Maurolico, qui s’en sert d’ailleurs beaucoup moins sobrement que lui, usant des accolades verticales et horizontales en marge de ses spéculations sur les numeri figurati.

Il n’est pas permis d’attribuer à l’Écriture les sens qu’elle ne nous a pas révélé qu’elle a. Ainsi de dire que le ם d’Isaïe signifie 600 cela n’est pas révélé. Il n’est pas dit que les צ et les ה deficientes signifieraient des mystères. Il n’est donc pas permis de le dire.

47Quelques points encore sont là pour nous ôter de l’illusion que le Triangle arithmétique a épuisé ses secrets.

Y, l’isolée du Triangle arithmétique

48Le jugement quelque peu défavorable qui a pesé sur la répartition des lettres dans le Triangle arithmétique est peut-être la cause du peu d’intérêt suscité par un détail typographique à première vue bien inoffensif, à savoir la présence de la cellule nommée Y dans la huitième base, cas unique de cellule dotée d’une lettre, extérieure au septième triangle TVZ qui contient toutes les autres sous la septième base :

491, 7, 21, 35, 35 (Y), 21, 7, 1.

50La présence de cette lettre Y d’exposant 4 et de racine 5 est d’autant plus surprenante qu’elle ne sert apparemment à rien. Elle ne figure dans aucune des Conséquences du Traité : on chercherait en vain dans le Traité du triangle arithmétique, aussi bien que dans les tractaculi connexes, la plus petite apparition de cette lettre. La lettre Y subsiste isolée avec son nombre 35 à cette place, hors du Triangle exploité par Pascal, sans justification explicite.

53Lorsqu’ayant choisi deux nombres naturels inégaux a et b, on forme le produit de ces nombres et de tous les intermédiaires, l’ensemble forme un produit de tant de nombres continus :

54a . (a + 1) . (a + 2) . (a + 3) . (…) . (b – 1) . b

55Pascal énonce que si l’on forme un rapport dans lequel le numérateur est fait des produits d’un nombre donné de nombres continus, et le dénominateur du produit d’un nombre égal de nombres continus à commencer par 1, le résultat est un nombre figuré. Les formules ci-dessous illustrent la proposition :

56Le rapport avec le Triangle arithmétique apparaît dans le tableau suivant :

57Or, soit le nombre figuré de racine 5 et d’exposant d’ordre 4 :

58La Proposition 2 du De numerum continuorum productis va comme suit :

Omnis productus a quotlibet continuis, est multiplex producti a totidem numeris continuis quorum primus est unitas.

59Et la deuxième impression ajoute à la première :

Et quotiens est numerus figuratus.

60En bon français :

• 21 OC II, p. 1217.

Chaque produit d’autant qu’on voudra de nombres continus est un multiple d’autant de nombres continus commençant par l’unité, et le quotient de l’un par l’autre est un nombre figuré21.

62Cette Proposition 2 du De numerorum continuorum productis formule plus explicitement une relation entre ordres numériques et produits de nombres continus : quotientem esse numerum figuratum. De sorte que ce traité conduit, par le biais d’un enchaînement de problèmes, au De numerorum continuorum productis.

63Ce faisant, il propose une définition nouvelle des ordres numériques en général : dans le traité des Numeri figurati, en effet, le nombre figuré inscrit dans une cellule du triangle arithmétique peut être engendré de deux manières, ou bien par l’addition continue des nombres de l’ordre immédiatement inférieur (un nombre triangulaire, par exemple, est la somme d’un nombre déterminé de nombres naturels), ou bien par l’addition de celui qui le précède dans son ordre et de celui qui est de même racine dans l’ordre précédent ; mais, dans un cas comme dans l’autre, la génération s’effectue par voie d’addition. En revanche, la Proposition 2 donne de ces mêmes nombres figurés un mode de génération non plus additif, mais multiplicatif, par produits de nombres entiers successifs.

64Comme cette définition nouvelle est valable quel que soit l’ordre numérique considéré, le triangle arithmétique apparaît par rétroaction, non plus comme une table de nombres figurés produits par voie additive, mais comme un tableau de rapports de produits de nombres continus. Il en résulte que, s’il éclaire les combinaisons et les partis, la réciproque est vraie aussi : les traductions produites par le Triangle arithmétique contribuent à la connaissance du triangle arithmétique lui-même.

65Mais si l’on prend une vue d’ensemble sur la démarche qui conduit du triangle arithmétique aux nombres figurés, et des nombres figurés aux produits faits de nombres continus, on remarque qu’en sortant du Triangle arithmétique, on a fait disparaître les lettres qui en avaient été l’un des éléments majeurs.

66Or, c’est précisément à ce moment que l’on retrouve la lettre Y, l’isolée du Triangle arithmétique de base 8, dont nous avons remarqué le caractère étrange, mais qui est sous-jacente à la démonstration. La Proposition 2 de ce traité pose trois nombres consécutifs 5, 6, 7, dont le produit est 210, que l’on divise par le produit d’autant de nombres continus à partir de 1, soit 1, 2 et 3, qui donne 6. Le quotient de la division de 210 par 6 est le nombre figuré 35.

67Or, 35 est précisément le nombre figuré contenu dans la cellule Y.

68Pascal a probablement pensé choisir cet exemple du rapport entre produits de nombres continus et ordres numériques, qui est un des aspects de la fécondité du Triangle arithmétique, sans effectuer la référence explicitement.

70Et en effet, si on additionne les nombres du 6^e ordre :

711 + 6 + 21 + 56 + 126 = 210

Cas des caractères δ, ζ, 8 et 3

72Une autre difficulté demande un éclaircissement.

73Outre la figure connue par l’impression française du Traité, il existe une figure tracée à la main, recueillie dans le recueil R 1037 de la Bibliothèque de Clermont-Ferrand, assez différente de celle qui est généralement connue.

74Quoique cette figure soit conservée dans le même recueil que l’impression latine du Triangulus arithmeticus, il est très douteux qu’elle lui appartienne. Car, à côté de la figure, les inscriptions Rangs parallèles, Rangs perpendiculaires et le titre Triangle arithmétique sont toutes en français, alors que, si elles avaient été destinées à illustrer la première impression, elles auraient dû être en latin. Il s’agit donc probablement d’un premier état de la figure de la deuxième impression, qui a été ensuite mise au net, soit par Pascal, soit par un dessinateur employé par l’imprimeur.

76On hésite aussi à attribuer ces bourdes à Périer. Tout au plus peut-on supposer que la figure du R 1037 a pu être réalisée par l’imprimeur ou l’un de ses employés, et que les fautes en ont été amendées dans la deuxième impression.

Cas des lettres T, Z et L

77Dans la construction géométrique initiale du Triangle arithmétique figurent trois lettres placées aux trois angles du triangle d’ordre 7 : l’angle droit en Z, T dans le premier rang perpendiculaire voisin de la cellule V, et L à l’extrémité supérieure de la base 7.

78Ces trois lettres, parfaitement lisibles dans le Triangle arithmétique de 1665, ont donné lieu à une interprétation bizarre à propos du recueil R 1037.

79La situation est relativement complexe. Pour y voir clair, il faut distinguer nettement trois états du Triangle arithmétique.

80Primo, la figure qui a accompagné sans doute la rédaction latine, mais qui est perdue, et que nous ne connaîtrons jamais.

81Secundo, la figure du R 1037, que dans son édition, Jean Mesnard attribue à Périer, précisant qu’elle « a été dessinée au moment de la rédaction du traité latin ».

82Tertio, la figure imprimée dans l’impression bilingue de 1665 que reproduisent toutes les éditions modernes.

83Sur l’exemplaire R 1037, Jean Mesnard remarque que si la lettre Z est bien inscrite à sa place, les lettres L et T, qui marquent les angles du triangle arithmétique de base 7 ne sont pas sur la figure. Pourtant, dans le texte correspondant, les lettres L et T sont effectivement mentionnées comme points d’intersection de la base 7 avec les axes.

84Sur l’exemplaire de 1665, Jean Mesnard observe que si les points Z, L et T sont bien marqués sur la figure, ils ont disparu du texte, remplacés par les lettres G, V et ζ. Chose bizarre, peut-être même aberrante, alors que G n’avait jusque-là été employée que comme nom de la génératrice, c’est elle, et non plus Z, qui est supposée tenir lieu de point d’intersection des perpendiculaires. Quant aux deux cathètes du Triangle de base 7, ce ne sont plus ZL mais Gζ., et ZT mais GV. Modification qui semble peu pertinente, car Gζ et GV notaient tous deux des suites de cellules, et non pas des droites.

85Cependant, l’examen précis des deux figures du Triangle arithmétique conduit à des conclusions un peu plus cohérentes.

86C’est par erreur que l’on indique que, sur le recueil R 1037, les lettres L et T ont disparu. Il faut consulter l’original pour le vérifier.

88D’autre part, quoique plus difficile à détecter, la présence de la lettre T est certaine. On constate qu’à l’extrémité gauche de la droite horizontale qui souligne l’exposant 7, on distingue un point, qui est sans doute l’extrémité de la lettre T, détruite par le découpage imposé à l’ensemble des documents du recueil. Mutatis mutandis, la position relative de ce T serait analogue à celle de la lettre L.

89La différence entre les figures du R 1037 et de la seconde impression du Triangle arithmétique ne tient donc qu’au déplacement des lettres L et T à l’extrémité des axes parallèle et perpendiculaire. Ce déplacement peut-il être considéré comme significatif ? Faut-il prendre la substitution de GV à ZT et de Gζ à ZL pour l’amorce d’une nouvelle méthode des références dans le texte du Triangle arithmétique ? En tout état de cause, il oblige à revenir sur l’argument de Jean Mesnard, qui s’appuyait sur l’absence des lettres L et T dans la figure du R 1037.

Conclusion

90Cette brève enquête sur les lettres du Triangle arithmétique peut être poursuivie dans différentes directions : vers les nombres, les formes d’expression des propositions, les procédés techniques de démonstration. L’ensemble du Traité cache encore des secrets dans les pages qui traitent de combinaisons ou de puissances des binômes.

91Une étude esthétique même serait souhaitable : Pascal a toujours le souci de ménager l’agrément du lecteur qui entre dans une construction où nombres et lettres contribuent en alternance, à la découverte de l’architecture si complexe du Triangle arithmétique. Ce lecteur peut être sensible à l’alternance des passages sur les nombres et les lettres dans les Définitions. Le contraste du désordre apparent de la distribution des nombres et des lettres avec la rigueur mathématique des Conséquences témoigne que la mathématique aussi a inspiré Pascal lorsqu’il a écrit :

• 26 Laf. 532, Sel. 457.

J’écrirai ici mes pensées sans ordre et non pas peut-être dans une confusion sans dessein. C’est le véritable ordre et qui marquera toujours mon objet par le désordre même26.