1. Introduction

2Les outils d’analyse logique du langage que nous avons développés permettent de rendre compte des articulations entre ces trois dimensions, ce qui permet d’interpréter de manière fine les productions langagières des élèves considérés comme des sujets rationnels, et d’identifier les éventuelles divergences d’interprétation entre enseignants et élèves, et entre élèves (Barrier et al., 2019, Chellougui, 2020). Ceci permet également d’interroger les pratiques enseignantes en ce qui concerne les liens entre logique, langage et raisonnement dans la classe de mathématiques (Durand-Guerrier, 2005). Ceci est particulièrement important dans le cas des contextes plurilingues, notamment en raison des variations grammaticales dans différentes langues (Edmonds-Wathen et al., 2016).

3Dans cet article, nous nous proposons de rendre compte des apports d’une perspective sémantique pour la prise en compte des questions de grammaire dans les études didactiques en mathématiques. Nous présentons tout d’abord un exemple emblématique pour illustrer la fécondité des analyses didactiques en termes des articulations entre syntaxe, sémantique et pragmatique. Dans la section suivante, nous illustrons, sur l’exemple des usages de l’article un, l’importance de la prise en compte des questions de grammaire dans la classe de mathématiques. Nous présentons ensuite quelques usages problématiques de la négation des énoncés quantifiés. Une dernière section est consacrée aux phénomènes d’anaphore en lien avec la quantification implicite. Nous concluons sur les apports potentiels de ces outils pour des études croisées en didactique des mathématiques, en linguistique, et en ethnomathématiques.

2. Un exemple emblématique – le cas de l’expression « deux à deux »

Définition : un polyèdre régulier est un polyèdre convexe dont les faces sont des polygones réguliers deux à deux superposables, et tels qu’à chaque sommet corresponde un même nombre de faces.

6Les participants ont à leur disposition du matériel de construction : pièces en plastique pleines qui peuvent s’articuler et permettent de construire des solides ; papier, ciseaux, compas, règles et équerres. Ils travaillent en groupe de 4 en autonomie. Au bout d’un certain temps, nous observons un groupe qui semble en difficulté pour avancer dans la recherche et nous nous en approchons. Le problème sémantique est le suivant : ils n’arrivent pas à se mettre d’accord sur le sens qu’il faut donner à l’expression « deux à deux ». Faut-il considérer qu’à chaque fois que je prends deux faces, elles sont superposables (Première interprétation) ; ou bien faut-il considérer que lorsque je considère une face, je peux en trouver une différente que je peux superposer (Deuxième interprétation). Le contexte ici ne permet pas à lui seul de trancher entre les deux interprétations. En effet, il est possible de réaliser des polyèdres avec la première interprétation, ce sont les cinq solides de Platon : le tétraèdre régulier, le cube, le dodécaèdre régulier (Figure 1), l’octaèdre régulier et l’icosaèdre régulier. Il est aussi possible de réaliser des polyèdres semi-réguliers avec la seconde interprétation, tels que l’icosaèdre tronqué (Figure 2) qui comporte 20 faces hexagonales régulières et 12 faces pentagonales régulières, 90 arêtes et 60 sommets de degré 3 (c’est-à-dire qu’il y a trois faces à chaque sommet). Suivant la deuxième interprétation de l’expression « deux à deux », ce polyèdre, qui est la forme de base du ballon de football classique, respecte tous les critères de la définition.

7La formalisation dans le calcul des prédicats permet de dégager deux formes syntaxiques cohérentes avec les deux interprétations. S est une lettre de prédicat interprétée par la relation binaire « être superposable »
Première interprétation : ∀x∀y S (x, y)
Deuxième interprétation : ∀x∃y (y ≠ x ∧ S (x, y))

8Comme on l’a vu, la référence aux objets satisfaisant la définition ne permet pas de trancher entre les deux interprétations, et il n’y a pas d’argument syntaxique pour choisir une forme plutôt que l’autre. Ceci nous conduit donc à nous intéresser à la dimension pragmatique. Dans le cas qui nous intéresse, nous, les chercheurs, connaissions les cinq solides de Platon, et nous n’avions pas du tout envisagé dans notre analyse a priori la possibilité d’une interprétation autre que la première interprétation. Pour les membres de ce groupe, les connaissances étaient plus ou moins lointaines comme ceci apparaissait dans leurs réponses à une question que nous leur avions posée sur leurs connaissances des polyèdres réguliers après la présentation du problème et un temps de réflexion individuel, en amont du travail de groupe. Ils n’avaient donc pas les moyens de trancher collectivement. Nous leur avons alors dit que, dans ce cas, il fallait retenir la première interprétation.

9Ce débat au sein du groupe nous a fait prendre conscience que, même en mathématiques, on pouvait rencontrer ces deux interprétations, la deuxième pouvant être rencontrée très tôt, notamment lors de la définition d’un parallélogramme :

1. Définition (Géométrie plane euclidienne) : Un parallélogramme (non dégénéré) est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
   En explorant un peu plus les usages en mathématiques de cette expression, il apparaît que les deux interprétations sont présentes également dans des domaines mathématiques autres que la géométrie. En voici deux exemples rencontrés en fin de lycée ou en début d’université.

2. Définition (Théorie des ensembles) : Une partition d’un ensemble E est un ensemble fini de parties non vides de E deux à deux disjointes dont la réunion est égale à E.

3. • 4 Étant donné un nombre complexe de la forme a + ib, avec a et b réels, le conjugué de z noté est le (...)

   Théorème (Nombres complexes) : Les racines complexes d’un polynôme à coefficients réels, lorsqu’il y en a, sont conjuguées4 deux à deux.

10La définition b) relève de la première interprétation comme celle des polyèdres réguliers ; la définition a) et le théorème c) relèvent de la deuxième interprétation. Ces exemples illustrent que l’interprétation adéquate en mathématiques de l’usage de cette expression dépend des objets mathématiques considérés, et partant du domaine mathématique dont ces objets relèvent. Il faut noter cependant que dans tous les cas que nous avons mentionnés, l’usage de l’expression « deux à deux » est liée à la présence d’une relation binaire.

11Lorsque nous en discutons informellement avec des collègues mathématiciens et que nous leur soumettons l’idée que l’usage de ces deux interprétations de l’expression « deux à deux » en mathématiques va à l’encontre de l’objectif d’univocité de notre discipline, la première réponse est le plus souvent qu’il n’y en a qu’une seule qui convient ; cependant, ce n’est pas nécessairement la même, certains collègues optant pour la première, d’autres pour la seconde. On voit donc ici à nouveau jouer la dimension pragmatique. On peut faire l’hypothèse que selon le domaine mathématique dans lequel ces collègues conduisent leurs recherches ou dans lequel ils enseignent, c’est l’une ou l’autre des deux interprétations qui est considérée comme la norme, ce qui peut conduire à ne pas envisager une interprétation alternative comme c’était notre cas dans l’épisode relaté ci-dessus. En situation de classe ordinaire, où les enseignants n’ont pas nécessairement le temps de discuter avec leurs élèves ou étudiants de ce que ceux-ci ne comprennent pas, la possibilité d’interprétations divergentes entre l’enseignant et les élèves/étudiants, ou entre les élèves/étudiants eux-mêmes, peut passer totalement inaperçue et par suite mettre les élèves/étudiants en difficulté. Ceci peut se manifester par exemple dans le cas des preuves, puisque la forme syntaxique de l’énoncé détermine la manière d’engager la preuve (Selden & Selden, 1995). Par exemple, pour prouver qu’une famille de parties d’un ensemble est une partition, vous devez établir que chaque partie est disjointe de toute autre partie, tandis que pour établir que deux triangles sont semblables, vous devez pour chacun des angles trouver un angle ayant la même mesure.

12Sur cet exemple, nous avons mis en lumière comment les analyses en termes d’articulations entre syntaxe, sémantique, et pragmatique permettent de prendre en compte des phénomènes d’ambiguïtés référentielles qui sont le plus souvent inaperçus dans la classe de mathématiques. Ceci permet d’enrichir les analyses a priori des situations d’enseignement et d’apprentissage, et contribue à sensibiliser les enseignants en formation à la nécessité de questionner l’illusion de transparence du langage mathématique, en leur proposant des outils méthodologiques pour cela.

3. La grammaire, un enjeu crucial en classe de mathématiques – le cas de l’article un

13Les variations grammaticales entre différentes langues sont des phénomènes bien connus (Edmonds-Wathen et al., 2016). À ces variations entre langues, s’ajoutent des ambiguïtés grammaticales à l’intérieur même d’une langue donnée, ou plus précisément dans les pratiques langagières au sein d’une langue donnée selon les contextes (pour le français, voir par exemple Fuchs, 1996). Nous avons montré l’intérêt de la formalisation logique des énoncés comme outil pour rendre visibles différentes interprétations possibles d’un énoncé, que ce soit en français (Barrier et al., 2019) ou en contexte plurilingue (Durand-Guerrier, 2020 ; Durand-Guerrier et al., 2006). La formalisation logique permet en effet d’expliciter les quantificateurs, de préciser leur nature et leur portée respectives relativement aux connecteurs logiques, comme dans l’exemple ci-dessous.

3.1. Différentes interprétations de l’article un

14Dans la section 3.2 nous allons traiter en détail un exemple en mathématiques, mais la question de l’interprétation de l’article un se pose aussi en contexte non scolaire.

15Imaginez par exemple que quelqu’un dise « un chat ronronne ». Que veut-il dire ? Tous les chats ronronnent ? N’importe quel chat ronronne ? Il y a un chat qui ronronne ? L’interprétation retenue dépend du contexte d’énonciation : à l’école, la première interprétation est la plus vraisemblable ; la seconde correspond à la réponse que le propriétaire d’un chat pourrait faire à quelqu’un qui se plaindrait que le ronronnement du chat le dérange ; la troisième peut être énoncée par quelqu’un qui entend un chat ronronner dans une pièce de la maison. Notons qu’on pourrait aussi bien utiliser « le chat ronronne » pour la première interprétation. Dans ce cas, l’usage de l’article défini « le » pourrait conduire à une interprétation « singulière » : le chat (celui de la maison) est en train de ronronner. Et il est tout à fait possible que l’interprétation du récepteur ne corresponde pas à la signification de l’énoncé pour le locuteur.

3.2. Un exemple avec un énoncé conditionnel en mathématiques

16On considère l’énoncé suivant pour lequel on se demande quelle est sa valeur de vérité (aspect sémantique)

Un nombre entier naturel divisible par 4 se termine par 4

17Ici, l’article indéfini un peut correspondre à différents types de quantification, ce qui conduit à des reformulations distinctes :

a) Une quantification existentielle : Il existe un nombre entier naturel divisible par 4 qui se termine par 4

b) Une quantification universelle : Tous les nombres entiers naturels divisibles par 4 se terminent par 4

c) Un élément générique : N’importe quel nombre entier naturel divisible par 4 se termine par 4

18D’un point de vue syntaxique, chacune de ces reformulations est cohérente avec l’énoncé initial en français. D’un point de vue sémantique, les énoncés reformulés sont interprétés différemment :

L’énoncé a) est vrai : le nombre 24 est un entier naturel divisible par 4, et il se termine par 4.

L’énoncé b) est faux ; il admet des contre-exemples. Par exemple, 36 est un nombre entier naturel divisible par 4 et 36 ne se termine pas par 4.

L’énoncé c) est contingent ; si on considère un entier naturel générique qui est divisible par 4 (on n’a aucune autre hypothèse sur ce nombre mis à part le fait que ce soit un entier naturel divisible par 4), alors on ne peut pas savoir s’il se termine, ou non, par 4. C’est pour cette raison que cet énoncé, contrairement à ce qui pourrait apparaître à première vue, est différent de l’énoncé b) qui est un énoncé faux.

19D’un point de vue pragmatique, un enseignant de mathématiques aura tendance à considérer que l’interprétation correcte est l’énoncé b), qu’il reformulera éventuellement sous la forme

Si un nombre est divisible par 4, alors il se termine par 4.

20D’un point de vue syntaxique, les reformulations a, b et c) deviendraient alors

a’) s’il existe un nombre entier naturel divisible par 4, alors il se termine par 4.

b’) si tous les nombres entiers naturels sont divisibles par 4, alors ils se terminent par

c’) si n’importe quel nombre entier naturel est divisible par 4, alors il se termine par 4

22Du point de vue de la sémantique, compte tenu de la définition de l’implication, l’énoncé b’ est vrai, car son antécédent est faux.

23Pour ce qui concerne l’énoncé a’, l’antécédent est vrai, mais en raison du phénomène d’anaphore, on ne peut pas attribuer de valeur de vérité au conséquent.

24En fait, ce que l’enseignant a en tête c’est la reformulation de l’énoncé avec un quantificateur universel, non pas dans l’antécédent, mais placé en tête de l’énoncé conditionnel, avec l’introduction d’une lettre de variable :

b’’) Pour tout nombre entier naturel n, si n est divisible par 4, alors n se termine par 4.

25Cet énoncé est faux, puisqu’il a au moins un contre-exemple (en fait de très nombreux contre-exemples).

26Pour ce qui est de c’), une reformulation prenant en compte le statut d’élément générique nécessiterait d’introduire un élément générique par l’expression classique en mathématiques :

Soit a un nombre entier naturel, puis de reformuler l’énoncé en

• 6 Notons que ceci est proche d’une manière classique d’énoncer un théorème. Par exemple, plutôt que d (...)

c’’) Si a est divisible par 4, alors a se termine par 4. Cet énoncé est contingent. Il est vrai lorsque le nombre a est divisible par 4 et se termine par 4 (par exemple 24) ; et lorsque le nombre a n’est pas divisible par 4 (par exemple 25) ; il est faux lorsque a est divisible par 4 et ne se termine pas par 4 (par exemple 32)6.

4. Négation et quantification

28La négation est souvent considérée comme une notion non problématique, allant de soi, et ne fait en général pas l’objet d’un enseignement explicite en mathématiques. Cependant, certains des usages de la négation en français sont problématiques (Ben Kilani, 2005 ; Durand-Guerrier, 2016). Nous les rapportons brièvement dans ce qui suit et nous renvoyons aux références citées ci-dessus pour une étude plus approfondie.

4.1. La négation en français – des usages problématiques

29Les usages de la négation, qui relèvent de la pragmatique, mettent en jeu les articulations entre sémantique et syntaxe. Sur le versant sémantique, la négation échange les valeurs de vérité des propositions, ou échange les objets qui satisfont les phrases ouvertes. Dans ce dernier cas, la nature des objets en jeu doit être prise en compte. Par exemple, la négation de la propriété « être pair » est la propriété « être impair » lorsque l’on travaille avec des entiers naturels. Ce n’est pas le cas lorsque l’on travaille avec des fonctions : en effet, une fonction peut être ni paire ni impaire. Sur le versant syntaxique, la construction de la négation d’un énoncé suit des règles grammaticales qui varient selon les langues ; dans le calcul des prédicats du premier ordre, la négation obéit à des règles précises telles que l’échange des quantificateurs en tête de formule, lorsqu’il y en a, ou la règle selon laquelle la négation d’un énoncé de la forme « si A alors B » est l’énoncé « A et non B ».

31Comme le souligne Fuchs (1996) et comme nous avons pu l’observer à maintes reprises, cette interprétation des énoncés de la forme « tous, ne pas » en énoncés de la forme « aucun » se rencontre également dans les usages ordinaires en dehors de la classe de mathématiques. Par exemple, pendant l’épidémie de grippe H1N1 en 2009, un journaliste affirmait à la radio « Lors de l’épidémie de grippe espagnole, toutes les victimes n’avaient pas été vaccinées », ceci en mettant fortement l’accent sur le quantificateur. On retrouve ici à nouveau la dimension pragmatique : le contexte favorise l’interprétation de l’énoncé comme signifiant « aucune victime n’avait été vaccinée », ce qui encourage à se faire vacciner, bien que cet énoncé ne dise rien sur l’existence ou non de victimes vaccinées.

32Au fait que la négation d’un énoncé universel de la forme « Tous les A sont B » soit un énoncé de la forme « Tous les A ne sont pas B » est associé un autre phénomène d’ambiguïté référentielle : la substitution d’une propriété C équivalente à la propriété « ne pas être B » conduit à un énoncé de la forme « Tous les A sont C », dans lequel il n’y a plus d’opérateur de négation, ce qui peut conduire à des conflits de signification comme dans les deux exemples ci-dessous, l’un en mathématiques, l’autre en sciences de la vie.

34Ceci n’est pas spécifique aux mathématiques comme le montre l’exemple suivant. L’énoncé « Tous les animaux ayant des ailes sont des vertébrés » est faux (les insectes ont des ailes et ne sont pas des vertébrés). Par conséquent sa négation « Tous les animaux ayant des ailes ne sont pas des vertébrés » est un énoncé vrai. Par contre, l’énoncé « Tous les animaux ayant des ailes sont des invertébrés », obtenu par substitution de l’expression équivalente « sont des invertébrés » à l’expression « ne sont pas des vertébrés », est un énoncé faux. Ce n’est donc pas la négation du premier énoncé et à nouveau, le principe de substitution de termes équivalents préservant la vérité n’est pas respecté.

35Ces deux exemples illustrent le fait que le non-respect du principe de substitution respectant la vérité tient à la forme grammaticale en français de la négation des énoncés de la forme « tous les A sont B ». Il s’agit d’une question de syntaxe, comme le montre la formalisation logique des énoncés de ce type dans le calcul des prédicats du premier ordre.

36Pour formaliser dans le calcul des prédicats du premier ordre un énoncé de la forme « tous les A sont B », on commence par le paraphraser sous la forme d’un énoncé conditionnel, en introduisant une lettre de variable :

Pour tout x, si x est un A, alors x est un B (1)

37Si on procède de la même manière, un énoncé de la forme « tous les A ne sont pas B » devrait être paraphrasé sous la forme :

Pour tout x, si x est un A, alors x n’est pas un B (2)

38Ce deuxième énoncé ne respecte pas la syntaxe logique de la négation de l’énoncé original. Cette négation est l’énoncé existentiel ci-dessous :

Il existe un x tel que x est un A et x n’est pas un B (3)

39Cet énoncé s’interprète dans tout univers de discours non vide comme exprimant l’existence d’un contre-exemple à l’énoncé initial (point de vue sémantique).

40D’un point de vue pragmatique, il est assez naturel de faire la substitution par une expression équivalente lorsque la langue nous en fournit une (par exemple rationnel/irrationnel ; obéissant/désobéissant ; capable/incapable, etc.). Ceci renforce l’interprétation de « tous ne pas » en « aucun », et par conséquent engendre des malentendus entre interlocuteurs, et ceci pas seulement en ce qui concerne les aspects strictement mathématiques. Par exemple, comment interpréter l’énoncé « Tous les élèves français de 15 ans ne sont pas capables d’additionner deux fractions ».

4.2. À propos de contraposée

42La contraposée d’un énoncé de la forme

Pour tout x, si A(x), alors B(x)

est l’énoncé

Pour tout x, si non B(x), alors non A(x).

43En logique classique du premier ordre, les paires d’énoncés de ce type sont logiquement équivalents en raison de leurs formes respectives (point de vue syntaxique). Dans une interprétation donnée, ils ont toujours la même valeur de vérité, et, lorsqu’ils sont faux, ils ont exactement les mêmes contre-exemples (point de vue sémantique).

44Le fait que la contraposée d’un énoncé universel est également un énoncé universel n’est pas toujours clair pour les étudiants en début d’université. Ceci est en effet masqué par la pratique de la quantification universelle implicite très répandue dans le secondaire et encore assez fréquente à l’université. Considérons à nouveau l’énoncé rencontré dans la section 3.2 :

Si un nombre entier est divisible par 4, alors il se termine par 4

et l’énoncé contraposé :

Si un nombre entier ne se termine pas par 4, alors il n’est pas divisible par 4

5. Quantifications implicites et anaphores

46Nous avons déjà mentionné ce phénomène d’anaphore en lien avec la reprise de pronom dans la section 3.2. Nous y revenons ici avec un autre exemple pour mettre en lumière l’importance de la prise en compte de ces phénomènes dans l’enseignement des mathématiques. Ce phénomène d’anaphore a été mis en évidence par Kamp (1981) sur l’exemple connu sous le nom de Donkey sentences, et repris et discuté par d’autres auteurs en linguistique (par exemple Corblin, 1995, 2002 ; Sandu, 1997). Rappelons brièvement de quoi il s’agit. Dans certaines phrases, il y a des reprises de pronom qui, comme nous l’avons vu en 3.2, peuvent conduire à différentes interprétations, notamment en raison de choix de quantificateurs ou de portées respectives des quantificateurs et des connecteurs logiques. La formalisation logique consiste à restituer les quantifications implicites en introduisant des lettres de variables et en respectant les règles de la syntaxe, notamment en ce qui concerne le statut logique des lettres : variables liées (dans le champ d’un quantificateur) ou variables libres (marques-places permettant de faire des substitutions). Nous présentons tout d’abord l’exemple des Donkey sentences, puis nous donnons un exemple mathématique relevant de l’arithmétique du collège.

5.1. Les Donkey sentences

47Nous donnons et analysons brièvement ci-dessous la traduction française de l’exemple initial de Kamp.

Si un fermier possède un âne, il le bat.

48Une première formalisation qui peut sembler ‘naturelle’ est la suivante

Pour tout x, si x est un fermier et il existe un âne y tel que x possède y, alors x bat y

∀x [(fermier (x) ∧ ∃y âne (y) ∧ possède (x,y)) ⇒ bat (x,y)] (1)

49Cette formulation est problématique puisqu’en effet, la lettre de variable y est muette dans l’antécédent et libre dans le conséquent. Autrement dit, la reprise de pronom n’est pas possible. Pour résoudre cette difficulté, le choix proposé par Kamp est de laisser la lettre y libre dans l’antécédent, en plaçant en tête de formule une quantification universelle sur y.

Pour tout x, pour tout y, si x est un fermier et y est un âne et x possède y, alors x bat y.

∀x ∀y [(fermier (x) ∧ âne (y) ∧ possède (x,y)) ⇒ bat (x,y)]" (2)

50On pourrait penser que cet exemple est isolé, mais ce n’est pas le cas. On a déjà vu un exemple dans le cas de l’article un. En voici un autre exemple en arithmétique élémentaire.

5.2. Un exemple en arithmétique au collège

51On considère l’énoncé suivant :

Si un nombre entier premier divise le carré d’un nombre entier, alors il divise ce nombre (1)

52L’énoncé comporte deux anaphores au sens précédent :

• Le pronom « Il » dans le conséquent renvoie à « un nombre entier premier » dans l’antécédent.

• L’expression « ce nombre », toujours dans le conséquent, renvoie à « nombre entier » dans l’expression « le carré d’un nombre entier » dans l’antécédent.

53Une première formalisation « naturelle » serait la suivante : (le domaine de quantification est l’ensemble des entiers naturels).

Si un nombre entier premier est tel qu’il existe un nombre entier dont il divise le carré, alors il divise ce nombre (2)

54En introduisant la quantification universelle sur l’énoncé conditionnel, on obtient :

Pour tout x, si x est premier et il existe un nombre entier y tel que x divise le carré de y, alors x divise y

Pour tout x, si x est premier et il existe y entier tel que x divise y², alors x divise y. (2)

55Comme dans le cas des Donkey sentences, cette formalisation ne convient pas, car la lettre de variable y est liée dans l’antécédent et libre dans le conséquent. La formalisation que l’on va retenir est donc

Pour tout x, pour tout y, si x est premier, y est un entier et x divise y², alors x divise y. (3)

Cet énoncé est correct sur le plan syntaxique et capture la signification de l’énoncé.

56On peut cependant préférer une formulation avec une quantification bornée sur x :

Pour tout entier y, pour tout entier premier x, si x divise y², alors x divise y. (4)

57Ceci met en lumière le fait que pour explorer cet énoncé, il est nécessaire de choisir un couple avec un entier naturel et un entier naturel premier. L’intérêt de ce travail de reformulation pour l’activité mathématique est triple.

1. Il permet de clarifier la signification mathématique de l’énoncé

2. Il facilite la mise en œuvre de la preuve du théorème en mettant en valeur le fait qu’il ne faut pas seulement introduire un entier naturel p premier comme on aurait pu le penser au départ, il faut introduire deux éléments : un entier naturel p premier et un entier naturel n pour lesquels on suppose que p divise n², ceci en cohérence avec le fait que l’on travaille avec la relation binaire « divise ».

3. Il facilite la formulation de la réciproque ou de la contraposée de l’énoncé.

58Nous avons montré par ailleurs sur un exemple en analyse en début d’université que la mise en évidence des phénomènes d’anaphore permet d’éclairer les inférences invalides faites par des étudiants à partir d’un énoncé dont ils savent qu’il est vrai (Durand-Guerrier et al., 2017).

6. Conclusion

59Les outils d’analyse du langage que nous avons développés et illustrés dans ce texte ne visent pas à imposer une norme linguistique. Il ne s’agit pas de dire que tel ou tel énoncé doit être interprété comme ceci ou comme cela. Bien au contraire, ces outils permettent de rendre compte de la diversité des interprétations possibles pour un énoncé donné dans une langue donnée. En effet, comme nous l’avons vu à plusieurs reprises, la formalisation dans le calcul des prédicats du premier ordre permet de rendre visible la diversité éventuelle des formes syntaxiques qui peuvent être associées à un énoncé donné, rendant compte ainsi de la variété de ses interprétations possibles par les locuteurs ou interlocuteurs.