- 1 Ce projet a fait l’objet de présentations lors des colloques, ICME15 à Sydney (Australie) en juille (...)
1Cet article est issu d’un projet de recherche conduit par une équipe pluridisciplinaire associant des chercheurs et des chercheuses en didactique des mathématiques et en didactique des langues. L’objectif principal du projet est l’étude de l’impact potentiel du plurilinguisme et du multiculturalisme sur l’interprétation d’énoncés mathématiques en situation scolaire, y compris dans les évaluations locales, nationales ou internationales. Dans cet article, nous rendons compte de nos motivations, de nos outils d’analyse, ainsi que des premiers résultats d’une étude exploratoire sur un énoncé issu d’un item public du PISA 20221.
2L’évaluation internationale PISA (Programme International pour le Suivi des Acquis des élèves) évalue les compétences des élèves de 15 ans révolus en culture mathématique, en compréhension de l’écrit, et en culture scientifique. Les dernières évaluations de 2022 se sont focalisées sur la culture mathématique. Les items du PISA sont proposés en anglais ou en français, puis traduits dans les différentes langues des pays participant au programme. S’agissant des mathématiques, le guide de traduction mentionne des recommandations concernant le lexique et les contextes. Cependant, un certain nombre de recherches mettent en évidence l’importance de prendre en compte les questions d’articulation entre syntaxe et sémantique notamment dans les contextes plurilingues en mathématiques (Auger & Chesnais, 2022 ; Barrier et al., 2019 ; Durand-Guerrier, 2026 ; Edmonds-Wathen et al., 2016 ; Nguala, 2005, 2023 ; Salone & Dureysseix, 2022).
- 2 « Mathematical and scientific language is far less ‘universal’ than it is often said to be. » (OECD (...)
- 3 Pour des exemples sur la prise en compte en classe des phénomènes liés à l’indétermination de la tr (...)
3Les recommandations à destination des traductrices et traducteurs des Items PISA soulignent le fait que « la langue mathématique et scientifique est bien moins universelle qu’on ne veut bien souvent le dire2 ». Des instructions strictes et une méthodologie de traduction devraient ainsi éviter toute forme de biais, d’ambiguïté, ou tout autre défaut d’adaptation qui nuirait à la compréhension de l’exercice et à la comparabilité internationale des résultats. Pour autant, des marges de progression existent, pour PISA comme pour d’autres programmes similaires (Grisay et al., 2007 ; Liçi, 2021). Dans cet article, nous nous appuyons sur l’hypothèse selon laquelle la forme même de la langue n’est pas neutre : aucune langue ne réfère à une réalité déjà donnée, elle la construit en partie. Dans toutes les langues naturelles, les phonèmes se regroupent en unités significatives, elles-mêmes forment des signes linguistiques, puis des énoncés et des discours. Produire du sens en discours, revient donc à produire des signes : le signifiant est un moyen pratique d’accéder au réel (Lafont, 1978) sédimenté par les activités et les pratiques humaines. Le langage participe ainsi directement aux fondements de la cognition et à sa structuration, en étant ancré dans des réalités et des pratiques sociales qui expliquent la relativité linguistique par laquelle les langues et cultures appréhendent le monde (Sapir, 1921 ; Whorf, 1954). Par exemple, lorsqu’en français un nombre est multiplié par deux, en allemand ou en anglais, il est doublé (doubled/verdoppelt) : le français fait appel à un vocabulaire technique, mathématique dans ce cas, tandis que l’anglais et l’allemand recourent à un vocabulaire courant. Nous faisons l’hypothèse que cette différence peut infléchir la compréhension de l’énoncé, et est susceptible de transformer la consigne lors de la traduction d’une langue source à une langue cible. En ce qui concerne l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques, l’idée d’une transparence du langage est le plus souvent implicitement à l’œuvre dans les pratiques enseignantes. Or comme le souligne Quine (1960) l’indétermination de la traduction s’applique non seulement en présence de la langue d’un natif non maîtrisée par l’interlocuteur (que Quine illustre sur le cas du terme Gavagaï), mais également à l’interprétation faite par les locuteurs de leur propre langue : deux locuteurs communiquant dans la même langue avec les mêmes mots et les mêmes comportements pourraient signifier des choses radicalement différentes3.
4Nous considérons que l’interprétation des énoncés est un enjeu crucial pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques tant pour pouvoir se prononcer sur la valeur de vérité des énoncés qui circulent dans la classe que pour pouvoir s’engager dans l’argumentation et la résolution de problème. Nous mettons cela en lumière à partir d’un item du PISA en proposant une analyse a priori mettant en valeur les impacts possibles des contextes linguistiques et socioculturels. Dans la suite de l’article, nous rendons compte des premières expérimentations conduites en Guyane française, à Mayotte et en Occitanie. Notre choix d’associer territoires ultra-marins et territoires hexagonaux s’appuie sur le constat que la question du plurilinguisme se pose de manière cruciale pour l’ensemble du système éducatif français (Hache & Mendoça Dias, 2022). Nous présentons brièvement ces trois terrains de recherche avant de décrire le protocole expérimental retenu, les classes observées, le recueil des données ainsi que la méthodologie d’analyse adoptée. Ensuite, nous présentons et analysons les résultats selon différentes dimensions : mathématique, discursive et contextuelle, et argumentative. Nous terminons par quelques éléments de discussion ainsi que par nos premières conclusions et perspectives de recherche.
5Dans cette partie, nous présentons l’item du PISA retenu pour cette recherche ainsi que, parmi les énoncés de cet item, celui qui fait l’objet de nos analyses dans cet article. Nous faisons une analyse a priori de cet énoncé et nous en proposons une reformulation.
6Nous avons choisi de mener notre recherche à partir de l’item « toujours parfois jamais », qui figure parmi les sept items proposés dans le « cadre pour les mathématiques du PISA 2022 » (OECD, 2022). Cet item se compose de onze énoncés pour lesquels les élèves doivent choisir entre les réponses « toujours vrai » (TV), « parfois vrai » (PV) ou « jamais vrai » (JV). L’introduction de l’item donne des instructions pratiques et illustre à travers trois exemples la signification de ces trois catégories de réponses. Le choix de cet item est motivé par l’ouverture qu’il offre sur des énoncés contingents, c’est-à-dire des énoncés dont la valeur de vérité n’est pas exclusivement binaire (vrai ou faux), mais peut dépendre des conditions d’énonciation (Durand-Guerrier, 1999).
7Nous avons retenu pour notre expérimentation les quatre énoncés suivants :
Énoncé 1 : une fille de 14 ans mesurait au moins une fois dans sa vie la moitié de sa taille actuelle.
Énoncé 2 : lorsqu’un nombre entier est multiplié par lui-même, le nombre qui en résulte est pair.
Énoncé 3 : doubler un nombre entier donne un nombre pair.
Énoncé 4 : diviser en deux un nombre entier impair produit un nombre entier.
8Dans cet article, nous nous focalisons sur l’énoncé 1, que nous désignons par énoncé (ou formulation) PISA source.
- 4 Pour différentes pratiques de mesurage de la taille, voir par exemple Tersigni (2015).
9L’analyse de l’énoncé PISA source soulève une première question, celle de la modélisation de la croissance (c’est-à-dire de l’évolution de la taille d’un individu en fonction de son âge) selon que l’on adopte un cadre continu ou discret. Ce choix de modélisation peut être lié à des pratiques sociales de référence, historiques et culturelles (Martinand, 1989, Tersigni, 2015) : d’une part, celles des professionnels de santé, qui conduisent généralement aujourd’hui à la réalisation d’une courbe de croissance continue ; d’autre part, celles des familles qui consistent, par exemple, à placer des marques sur un support ou à comparer des tailles au sein de la fratrie4, ce qui conduit à une liste de valeurs discrètes.
- 5 Notons que cette interprétation n’est pas possible lorsque le sujet du verbe mesurer n’est pas un ê (...)
10En outre, le verbe mesurer peut avoir deux statuts logiques conduisant potentiellement l’élève confronté à ce mot à des interprétations distinctes. En effet, si l’élève interprète le verbe mesurer comme un appel à une action de mesure alors il est conduit à envisager une opération de mesurage impliquant un processus et l’usage potentiel d’instruments de mesure, ceci pouvant être renforcé par le fait que le sujet du verbe mesurer est ici un être humain (une fille), si bien que la phrase pourrait être comprise comme indiquant que la fille se mesure elle-même5. En revanche, si l’élève comprend le verbe mesurer comme une simple description d’une propriété d’une personne ou d’un objet alors il peut faire de mesurer une lecture statique qui renvoie à un état ou à une caractéristique de la personne ou de l’objet. Ainsi, le verbe mesurer peut être interprété en termes d’action de mesurage, mais également comme une propriété individuelle des êtres humains, de la personne, ou des choses, ce qui peut ainsi induire un point de vue discret ou un point de vue continu. Pour éviter cette ambiguïté, nous avons choisi de remplacer l’expression mesurait par l’expression a fait, qui est une manière plus familière de renvoyer à la propriété.
11Aussi objective puisse-t-elle sembler, la notion même de mesure de la taille est une construction culturelle, susceptible de varier d’une langue à l’autre. En français, le verbe mesurer est dérivé du substantif mesure, ce qui laisse entendre que la mesure est première : la mesure est un objet du monde, elle existe ex ante, et l’action de mesurer constitue une forme de confirmation. En allemand, à l’inverse, le verbe mesurer, messen, est premier, et le substantif das Maß en est dérivé : la mesure apparaît alors comme le résultat d’une action de mesurage. Ce terme exprime aussi bien la taille, comme ce qui est mesuré, que l’échelle utilisée. En français, la mesure de la taille préexiste à sa mise en œuvre, tandis qu’en allemand, elle en résulte. Par ailleurs, des études similaires et approfondies sur l’orientation en allemand et en français aboutissent aux mêmes conclusions (Farge, 2016). Indéniablement, la langue est en elle-même porteuse de certaines pratiques et manières de construire le monde, et ce facteur tend à ne pas être pris en compte dans les traductions des items du PISA.
- 6 Pour un exemple soutenant cette hypothèse, voir Durand-Guerrier (1999).
12Le choix de l’expression une fille dans l’énoncé PISA source soulève des questions de quantification compte tenu de la pluralité des statuts logiques possibles du déterminant « une » en français : générique, marqueur de quantification universelle, marqueur de quantification existentielle ou dénotant un élément singulier. En ce sens, on a affaire ici à un « indéfini de choix libre en français » (Corblin et al., 2010), qui ouvre à plusieurs interprétations possibles selon le contexte d’énonciation. En ce qui concerne cet énoncé, le contexte d’énonciation n’est pas explicité, et aucune de ces interprétations ne peut être exclue a priori6. Nous avons choisi de conserver sur ce point la version source, qui correspond à une pratique langagière habituelle en classe de mathématiques.
13Nous avons également remplacé l’expression au moins une fois par l’expression à un moment, considérant que la première expression est généralement source de difficulté pour les élèves. Nous avons finalement proposé la reformulation suivante dénommée par la suite énoncé (ou formulation) PISA reformulé :
Une fille de 14 ans a fait à un moment de sa vie la moitié de sa taille actuelle.
14Nous étudions dans ce texte l’impact ou l’absence d’impact de cette formulation sur les réponses des élèves, mais comme on le verra plus loin, ce n’est pas la seule question mise à l’étude.
15Dans nos analyses, nous nous appuyons en arrière-plan sur les articulations entre la sémantique (le signe est conçu dans sa relation à ce qu’il signifie), la syntaxe (le signe est abordé comme un élément inséré dans des séquences de signes selon certaines règles de combinaison) et la pragmatique (le signe est perçu en fonction de ses origines, des effets qu’il a sur ses destinataires, et des usages qu’en font ces derniers selon les contextes d’interprétation), en référence à Eco (1980, p.41) qui présente cette classification et indique qu’elle a été largement reçue dans le monde scientifique. Ces articulations sont à l’œuvre dans les différents aspects de l’activité et du discours mathématiques (Durand-Guerrier, ce volume), notamment dans les trois dimensions d’analyse que nous avons retenues : une dimension mathématique, une dimension discursive et contextuelle, et une dimension argumentative.
16Notre premier focus mathématique concerne la topologie des ensembles de valeurs dans lesquels on distinguera les ensembles discrets et continus. Un ensemble peut en outre être ou ne pas être dense dans lui-même, c’est-à-dire qu’entre deux nombres de cet ensemble on peut toujours en intercaler un autre. Par exemple, l’ensemble des nombres décimaux est dense en lui-même. Généralement, ces caractères discret, dense ou continu sont implicites (Durand-Guerrier, 2016).
- 7 Si f est une fonction définie et continue sur un intervalle [a ; b] de l’ensemble des nombres réels (...)
17Si on considère la fonction « taille en fonction du temps » comme une fonction continue représentée par exemple par une courbe dans un carnet de santé, alors on peut estimer qu’un individu de 14 ans a au moins une fois dans sa vie fait la moitié de sa taille actuelle. Ceci correspond à une utilisation en acte (au sens de Vergnaud, 1990) du théorème des valeurs intermédiaires7. En revanche, si on considère qu’il s’agit d’une fonction discrète dont les valeurs sont obtenues à chaque fois que l’on fait l’action de mesurer alors on n’est pas certain d’avoir mesuré sa taille au moment particulier où celle-ci était la moitié de sa taille actuelle. Dans les pratiques sociales de mesurage, les décimaux utilisés n’ont que deux chiffres après la virgule, si bien que la propriété de densité de l’ensemble des décimaux est perdue : l’ensemble des valeurs obtenues est discret et même fini. En revanche, lorsque cet ensemble de valeurs est associé à une propriété des personnes, cet ensemble peut être perçu comme un intervalle décimal dense dans lui-même.
18Notre deuxième focus mathématique concerne la modélisation de la croissance (c’est-à-dire l’évolution de la taille en fonction du temps). Il s’agit d’une relation fonctionnelle non linéaire. On peut s’attendre à ce que certains élèves mobilisent cependant le modèle proportionnel, compte tenu de sa prééminence curriculaire.
19La seconde dimension de nos analyses s’intéressera d’abord à l’aspect dialogique des items soumis aux élèves : nous entendons par là que ces énoncés ne renvoient pas simplement à une situation concrète et univoque, qui pourrait se traduire en problème mathématique, mais entrent en résonance, en dialogue, avec des pratiques sociales et culturelles (Paveau, 2009, 2017) de connaissances propres à chacun, qui influent sur la compréhension de l’exercice.
20Selon Brès (2017) :
Le dialogisme est un principe qui gouverne toute pratique sémiotique humaine […] au niveau langagier, ce principe consiste en l’orientation de tout discours – orientation constitutive et au principe de sa production comme de son interprétation – vers d’autres discours, et se réalise sous forme de dialogue interne avec ceux-ci. […] Elle permet d’analyser certains aspects des discours tant des enseignants que des élèves, et parfois même de comprendre certains énoncés des jeunes apprenants de français langue maternelle comme de français langue seconde qui, sans cela, restent obscurs parce que n’a pas été prise en compte l’interaction dont ils procèdent (Brès, 2017, p. 2)
21La dimension discursive est complétée par une dimension contextuelle qui renvoie aux pratiques sociales de référence :
L’un des aspects importants de la culture mathématique réside dans l’utilisation des mathématiques pour résoudre des problèmes en contexte. Par contexte, on entend la place des problèmes dans le monde des individus. Le choix de représentations et de stratégies mathématiques appropriées dépend souvent du contexte dans lequel un problème se pose. Pour le PISA, il est important d’utiliser une grande diversité de contextes (OECD, 2022).
22La situation concrète de la mesure de la taille, présentée comme une situation univoque de la vie quotidienne, répond, comme nous le verrons, à des pratiques sociales de référence et à des pratiques langagières qui conduisent à des interférences et des ambiguïtés pouvant faire obstacle à la reconnaissance par les élèves des enjeux mathématiques sous-jacents.
23Dans cet item, les énoncés sur lesquels les élèves doivent se prononcer sont des phrases isolées, la phrase est un objet grammatical détaché de son contexte d’énonciation. Or, tout énoncé mathématique, a fortiori s’il renvoie à une situation concrète de la vie quotidienne, s’inscrit dans un réseau de pratiques sociales et de discours qui influent sur sa compréhension. La perspective privilégiée par les consignes PISA postule, de manière plus ou moins assumée, le caractère univoque, l’évidente transparence des situations mathématiques proposées, et échoue par là même à prendre en compte les dimensions praxiques des énoncés : forme de la langue (comme on l’a vu avec multiplier par deux vs to double/verdoppeln, usage des indéfinis tels que un, une) et pratiques quotidiennes (comme la mesure de la taille).
24Par ailleurs, dans le cadre mathématique PISA 2022, le contexte est défini comme « L’aspect du monde de l’individu dans lequel les problèmes se posent ». Résoudre des problèmes dits « contextualisés » est vu comme faisant partie de la culture mathématique. Quatre dimensions contextuelles sont précisées : personnelle, professionnelle, sociétale et scientifique. Les problèmes issus du contexte personnel concernent « les activités de la personne » en lien avec l’environnement proche (les courses, les déplacements, le sport…). Les problèmes du contexte professionnel se rapportent au monde du travail (estimation de coûts, bon de commande, architecture…). Les problèmes du contexte sociétal se situent quant à eux dans une perspective communautaire du point de vue local, national ou mondial (aspects politiques, démographiques, statistiques…). Le dernier type de problème est dit « scientifique » dans la mesure où il concerne « l’application des mathématiques au monde naturel et [traite] les questions et sujets liés aux sciences et aux technologies » (OECD, 20222). En plus de ces quatre contextes de problèmes contextuelles, nous avons ajouté le contexte mathématique afin de rendre compte du fait que les réponses attendues relèvent, selon notre hypothèse, d’un traitement mathématique.
25Pour la dimension argumentative, deux entrées ont été retenues. La première est relative à la nature de la quantification (universelle ou existentielle, ou absence de quantification, l’énoncé étant interprété dans ce cas comme énoncé singulier). La seconde concerne la valeur de vérité de l’énoncé : « toujours vrai » (TV), « jamais vrai » (JV) et « parfois vrai » (PV). En outre, nous considérons que la valeur de vérité « parfois vrai » peut recouvrir plusieurs valeurs épistémiques : elle peut renvoyer à un énoncé généralement vrai (« plutôt vrai »), généralement faux (« plutôt faux »), ou encore à une situation véritablement contingente, où l’énoncé est tantôt vrai, tantôt faux selon les cas.
26Nous avons synthétisé nos trois dimensions d’analyse, mathématique, discursive et contextuelle, et argumentative, dans le tableau 1 ci-dessous.
Tableau 1 : Les trois dimensions retenues pour les analyses
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Dimension mathématique
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Topologie
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1. Discrète
2. Continue
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Mesure
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1. Action de mesurage
2. Propriété de la personne
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Modélisation
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1. Proportionnalité
2. Affine
3. Autre modèle
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Dimension discursive et contextuelle
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Contexte
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1. Mathématique
2. Personnel
3. Professionnel
4. Sociétal
5. Scientifique
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Dialogique
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1. Dialogique
2. Non dialogique
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Dimension argumentative
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Quantification
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1. Universelle
2. Existentielle
3. Absente
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Valeur de vérité
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1. Toujours vrai (TV)
2. Parfois vrai (PV)
2. Parfois vrai/plutôt vrai
3. Parfois vrai/plutôt faux
4. Parfois vrai/parfois faux
5. Jamais vrai (JV)
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27Nous formulons l’hypothèse selon laquelle des variations grammaticales et lexicales même relativement minimes ont un impact sur l’interprétation et la compréhension des énoncés par les élèves en fonction de leurs connaissances mathématiques ainsi que des contextes linguistique et culturel. Dans nos premières expérimentations, les énoncés ont été donnés en langue française, qui est la langue d’instruction dans chacun des contextes considérés. Pour conduire nos analyses, nous nous appuyons sur quatre hypothèses (notés H1, H2, H3 et H4) se référant aux valeurs de vérité attendues.
H1 : Si la croissance est modélisée par une situation de proportionnalité, alors la valeur de vérité « jamais vrai » peut être donnée.
H2 : Si la taille est modélisée comme une grandeur continue, le théorème des valeurs intermédiaire est susceptible d’être mobilisé en acte et peut induire la valeur de vérité « toujours vrai ».
H3 : Si la mesure est associée à une propriété de la personne alors l’ensemble de valeurs peut être discret ou continu et toutes les valeurs de vérité sont possibles.
H4 : Si la mesure est le résultat d’une action de mesurage alors on a une liste de valeurs dans un ensemble discret qui peut induire la valeur de vérité « parfois vrai ».
28Par ailleurs, nous menons également nos analyses en nous appuyant d’une part sur des hypothèses concernant la dimension interprétative des réponses sur la valeur de vérité « parfois vrai » (Hypothèse H5) et d’autre part sur les interprétations possibles en termes de quantification de l’expression linguistique une fille de 14 ans – (Hypothèse H6).
29Comme déjà mentionné plus haut (2. Analyse a priori et reformulation), nous pensons que la valeur de vérité « parfois vrai » pourrait avoir une valeur épistémique « vrai » élevée (c’est-à-dire plus souvent « vrai » que « faux ») et être potentiellement associée à des contre-exemples (Hypothèse H5a), mais aussi avoir une valeur épistémique « faux » élevée (plus souvent « faux » que « vrai ») et être potentiellement associée à des exemples (Hypothèse H5b).
30Par ailleurs, l’expression une fille de 14 ans pourrait être interprétée de différentes manières du point de vue de la quantification (Hypothèse H6), ce qui pourrait avoir un impact sur les valeurs de vérité. Cette hypothèse se décline en quatre cas, interprétation de une fille comme : toutes les filles (quantification universelle implicite, Hypothèse H6a), comme n’importe quelle fille (élément générique, Hypothèse H6b), comme au moins une fille (quantification existentielle, Hypothèse H6c) ou comme une fille en particulier (énoncé singulier, Hypothèse H6d).
31Dans cette section, nous commençons par présenter quelques caractéristiques générales des trois territoires où se sont déroulées les expérimentations : Guyane française, Mayotte et Occitanie. Nous décrivons ensuite le protocole expérimental ainsi que les classes observées, le recueil de données et les modalités d’analyse de ces données.
32La Guyane française est une collectivité territoriale plurilingue, où plus de 40 langues cohabitent et dont la population scolarisée représente 40 % de celle du territoire. Cependant, avant d’être scolarisés, trois quarts des enfants ne parlent pas le français (Léglise, 2007 ; Léglise et al., 2013). Les problématiques liées à l’étendue du territoire, au plurilinguisme et à la diversité culturelle orientent la politique académique. Il s’agit notamment de construire des parcours de langue de la maternelle au lycée, de soutenir le développement d’une pluralité de langues à travers, par exemple, le déploiement, des intervenants en Langues maternelles et des classes bilingues (Académie de Guyane, 2024 ; Robo, 2021).
33Mayotte est un département français de l’archipel des Comores dans l’Océan indien, particulièrement touché par les inégalités scolaires ; il possède également une grande diversité culturelle et linguistique (INSEE, 2026). Les deux premières langues de socialisation sont le shimaoré qui est la langue majoritaire pratiquée par plus des deux tiers de la population et le kibushi (Salone & Dureysseix, 2022). Le français est très peu parlé en dehors de l’école, ce qui se manifeste notamment dans les évaluations nationales.
34L’Occitanie est une région de France hexagonale dans laquelle on trouve un nombre significatif d’élèves pour lesquels la première langue de socialisation n’est pas le français. C’est une des régions qui reçoit le plus d’élèves allophones nouvellement arrivés en France. Ceci conduit dans certaines classes à une très grande hétérogénéité linguistique et des « différences en termes de niveau de maîtrise du français, langue de scolarisation » (David & Zakhartchouk, 2024, p. 69).
35Nous avons présenté, des territoires de la République française, qui ont en commun la langue de scolarisation, le français, mais où d’autres langues cohabitent parfois de manière dominante en dehors de la salle de classe et notamment au sein de la famille. Il nous semble que ces contextes linguistiques particuliers placent certains élèves dans une position « non égalitaire » vis-à-vis de la langue par rapport aux élèves pour lesquels le français est la langue parlée au sein de la famille. La maîtrise de la langue est un élément central pour interpréter un énoncé, comme dans le cas des évaluations PISA, et pour pouvoir résoudre un problème mathématique selon les attendus de la discipline.
36L’expérimentation menée porte sur l’énoncé, que nous avons analysé ci-dessus, issu de l’item « toujours parfois jamais » du PISA 2022. Nous présentons dans ce qui suit le protocole qui a été mis en place lors des expérimentations menées.
37La page « introduction » de l’item « toujours parfois jamais » est remise aux élèves pour lecture (5 minutes). La classe est ensuite partagée en deux groupes de niveau hétérogène et de même effectif. Pendant une dizaine de minutes, les élèves travaillent individuellement sur une feuille comprenant soit la version PISA source, soit sur la version PISA reformulé selon leur groupe. Les documents PISA source et PISA reformulé distribués comprennent l’énoncé du problème (suivant la formulation) et trois cases à cocher suivant la réponse choisie « toujours vrai », « parfois vrai » et « jamais vrai ». Un espace est laissé à disposition des élèves avec la consigne : « Tu peux écrire en dessous les recherches que tu as faite pour répondre » et sur la version PISA reformulée, un espace supplémentaire est laissé pour la phase suivante (en binôme).
38Dans un deuxième temps, nous constituons des binômes avec un élève de chacun des deux groupes. Les élèves sont alors invités à discuter de leurs réponses aux énoncés et éventuellement à les modifier. Ils sont incités à laisser une trace écrite de leur discussion ou argumentaire sur un même document partagé par le binôme. Nous faisons l’hypothèse que cette phase de discussion du binôme autour des deux versions de l’énoncé (source et reformulé) et de leurs réponses est de nature à favoriser la dévolution du problème. Les questions qui peuvent permettre d’engager les discussions dans les binômes sont à la charge des chercheurs et sont formulées au moment de la constitution des binômes et rappelées durant le travail en binôme ; ce sont par exemple : « Que pensez-vous de ce qui vous a été proposé ? Qu’est-ce que cela a changé pour vous ? Est-ce plus facile ? Plus compliqué ? Quels sont les avantages/les inconvénients d’une version par rapport à l’autre ?... »
39Le troisième temps, orchestré par les chercheurs, est un moment de discussion collective au cours duquel on revient sur les questions précédentes. En particulier, les chercheurs amènent les élèves à expliciter et argumenter leurs choix, notamment lorsque les réponses des élèves s’opposent ou sont les mêmes, mais avec des argumentaires différents. L’objectif ici étant de compléter les traces écrites issues des phases individuelles et en binômes.
40Les expérimentations ont été menées dans quatre classes de 3e de France hexagonale et de l’Outre-mer français. Cela a concerné : 46 élèves répartis sur deux classes en Occitanie (Carcassonne) ; 10 élèves en Guyane (Cayenne), une demi-classe ; 30 élèves à Mayotte (périphérie de Mamoudzou). Ces expérimentations ont été menées entre octobre et décembre 2024.
41Les deux classes d’Occitanie sont dans un établissement de centre-ville ne relevant pas du réseau d’éducation prioritaire (REP). L’enseignant de ces classes les décrit comme des classes ordinaires avec des élèves ayant un niveau correct en mathématiques. La classe de Guyane est située dans un établissement de centre-ville, classé en zone d’éducation prioritaire renforcée (REP+) comme tous les collèges du territoire à une exception près. L’enseignant déclare que ses élèves ont des difficultés, notamment dans la résolution de problèmes. Quant à la classe de Mayotte, elle est également située en REP+ comme presque tous les collèges urbains de ce département.
42Les séances ont été enregistrées (Guyane et Occitanie), filmées (Occitanie) et partiellement transcrites (en fonction de points particuliers identifiés) en particulier pour la phase collective d’échanges entre les élèves et avec le chercheur, constituant une partie de notre corpus de données. Les traces écrites des élèves recueillies à l’issu des phases individuelles et en binôme (pour les trois territoires) ont complété notre corpus.
43Dans cet article, nous nous concentrons sur les réponses (individuelles et en binôme) qui concernent l’énoncé 1 et sur la transcription d’une discussion collective (en Occitanie) afin d’illustrer de manière précise nos propos.
44Un objectif des analyses est de tester les six hypothèses formulées précédemment en confrontant nos analyses a priori avec les analyses des productions des élèves.
45La description et l’étude des échanges entre les élèves lors de la phase d’argumentation pourraient nous conduire à repérer dans quelle mesure les contextes viennent interférer dans la résolution des exercices suivant les deux versions de l’énoncé (Robo et al., 2022), notamment par l’émergence d’effets de contexte (Forissier, 2019). Les outils d’analyse logique du langage permettent d’analyser les relations entre syntaxe, sémantique et pragmatique, cruciales en contexte éducatif, notamment dans les contextes de diversité culturelle et linguistique (Auger & Chesnais, 2022 ; Barrier et al., 2019 ; Durand-Guerrier et al., 2006b ; Nguala, 2005, 2023).
46Nous rappelons que, dans cet article, nous nous focalisons sur les données relatives au premier énoncé de l’item du PISA « Toujours, Parfois, Jamais », sous les formes PISA source et PISA reformulé :
Énoncé PISA source : Une fille de 14 ans mesurait au moins une fois dans sa vie la moitié de sa taille actuelle.
Énoncé PISA reformulé : Une fille de 14 ans a fait à un moment de sa vie la moitié de sa taille actuelle.
47Dans cette partie, nous considérons qu’une absence de réponse est aussi une réponse. Ceci nous permet de considérer quatre types de réponses possibles : toujours vrai (TV), parfois vrai (PV), jamais vrai (JV), pas de réponse.
48En Guyane, nous avons répertorié 10 réponses, cinq pour la version PISA source et cinq pour la version PISA reformulé. Sur les cinq réponses PISA source, deux sont de type « pas de réponse », deux « toujours vrai » et une « parfois vrai ». Concernant la version PISA reformulé nous avons répertorié une réponse « toujours vrai » et quatre « parfois vrai ». Le nombre faible des réponses formulées ne nous permet pas de faire ressortir une tendance particulière des réponses en fonction des formulations PISA source ou PISA reformulé, nous constatons cependant que la version PISA reformulé aboutit majoritairement à la réponse « parfois vrai » et à aucune absence de réponse. Nous avons synthétisé ces résultats dans le tableau 2.
Tableau 2 : Nombre de réponses des élèves de Guyane à l’énoncé en fonction des formulations
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Formulations
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PISA
Source
|
PISA reformulé
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Total
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Toujours vrai
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2
|
1
|
3
|
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Parfois vrai
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1
|
4
|
5
|
|
Jamais vrai
|
0
|
0
|
0
|
|
Pas de réponse
|
2
|
0
|
2
|
|
Nombre total de réponses
|
5
|
5
|
10
|
49À Mayotte, nous avons répertorié 30 réponses également réparties entre les versions PISA source et PISA reformulé. Sur les 15 réponses PISA source, deux sont « toujours vrai », six « parfois vrai », une « jamais vrai » et six « pas de réponse ». Concernant la version PISA reformulé, nous avons répertorié quatre réponses « toujours vrai », huit « parfois vrai », une « jamais vrai » et deux « pas de réponse ». Ceci nous permet de totaliser six réponses « toujours vrai », quatorze « parfois vrai », deux « jamais vrai » et huit « pas de réponse. Nous avons synthétisé ces résultats dans le tableau 3 ci-dessous.
Tableau 3 : Nombre de réponses des élèves de Mayotte à l’énoncé en fonction des formulations
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Formulations
|
PISA
Source
|
PISA reformulé
|
TOTAL
|
|
Toujours vrai
|
2
|
4
|
6
|
|
Parfois vrai
|
6
|
8
|
14
|
|
Jamais vrai
|
1
|
1
|
2
|
|
Pas de réponse
|
6
|
2
|
8
|
|
Nombre total de réponses
|
15
|
15
|
30
|
50En Occitanie, 46 élèves répartis en deux classes ont donné des réponses aux énoncés. Sur ces deux classes, nous avons eu 24 réponses pour la version PISA source et 22 réponses pour la version PISA reformulé. Pour la version PISA source, 15 ont donné la réponse « toujours vrai », neuf « parfois vrai » et aucun pour les réponses « jamais vrai » et « pas de réponse ». Relativement à la version PISA reformulé nous avons recueilli 13 réponses « toujours vrai », 8 « parfois vrai », une « jamais vrai » et aucune « pas de réponse ». Ceci nous permet de constater que, dans ces deux classes d’Occitanie, nous avons 28 réponses « toujours vrai », 17 « parfois vrai », une « jamais vrai » et aucune « pas de réponse ». L’ensemble de ces résultats sont synthétisés dans le tableau 4.
Tableau 4 : Nombre de réponses des élèves d’Occitanie à l’énoncé en fonction des formulations
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Classe 1
|
Classe 2
|
TOTAL
|
|
Formulations/
Type de réponse
|
PISA
Source
|
PISA
reformulé
|
PISA source
|
PISA reformulé
|
PISA source
|
PISA reformulé
|
Général
|
|
Toujours vrai
|
6
|
6
|
9
|
7
|
15
|
13
|
28
|
|
Parfois vrai
|
6
|
6
|
3
|
2
|
9
|
8
|
17
|
|
Jamais vrai
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
|
Pas de réponse
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
Nombre total de réponses
|
12
|
13
|
12
|
9
|
24
|
22
|
46
|
51En considérant l’ensemble des 86 réponses (44 PISA source et 42 PISA reformulé), de Guyane, de Mayotte et d’Occitanie, nous faisons plusieurs constats sur, d’une part la comparaison des réponses en fonction des formulations PISA source ou PISA reformulé, et d’autre part sur les valeurs de vérité attribuées aux énoncés.
52En premier lieu, sur les 10 « pas de réponse », huit relèvent de la version PISA source. Ceci pourrait aller dans le sens de notre analyse a priori de l’énoncé étudié : la version PISA source que nous jugeons moins familière que sa version PISA reformulé pourrait moins facilement engager les élèves dans la tâche, en particulier dans le cas de publics plurilingues comme la Guyane et Mayotte, puisque ces réponses sont issues de ces territoires. En effet, la classe d’Occitanie n’est pas en REP et est décrite comme « ordinaire » par l’enseignant et tous les élèves donnent l’une des trois valeurs de vérité TV, PV ou JF en réponse à l’énoncé PISA source ou PISA reformulé et sont donc entrés dans la tâche. Par ailleurs, nous avons identifié pratiquement autant de réponses TV, PV, JV, que ce soit pour la version PISA source que PISA reformulé : TV, 19 PISA source et 18 PISA reformulé ; PV, 16 PISA source et 20 PISA reformulé ; JV, un PISA source et deux PISA reformulé. Ceci ne nous permet pas de repérer une influence de la forme grammaticale des énoncés sur les réponses des élèves.
53En second lieu, indépendamment des formulations, il y a pratiquement autant de réponses TV (37) que de réponses PV (36) et la réponse JV est quant à elle marginale (3). Cette quasi-égalité du nombre de réponses entre les valeurs de vérité TV et PV, nous laissent penser que les ambiguïtés soulevées dans l’analyse a priori ne permettraient probablement pas d’avoir une seule réponse et corroborent dans une certaine mesure nos hypothèses : toutes les valeurs de vérité seraient possibles suivant les différentes interprétations que l’on peut faire de l’énoncé et ceci, quelle que soit la formulation.
54Nous avons synthétisé dans le tableau 5, pour les trois territoires, le nombre de réponses des élèves en fonction des formulations PISA source ou PISA reformulé, et des valeurs de vérité TV, PV et JV.
Tableau 5 : Synthèse des réponses des élèves à l’énoncé en fonction des formulations
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Formulations
|
PISA
source
|
PISA reformulé
|
Total
|
|
Toujours vrai
|
19
|
18
|
37
|
|
Parfois vrai
|
16
|
20
|
36
|
|
Jamais vrai
|
1
|
2
|
3
|
|
Pas de réponse
|
8
|
2
|
10
|
|
Nombre total de réponses
|
44
|
42
|
86
|
55Ces premiers résultats chiffrés ne nous permettent pas d’identifier de manière précise ce qui relève de l’impact de la reformulation dans la répartition des réponses. Dans la section suivante, nous présentons l’analyse qualitative que nous avons conduite sur ces données.
56Au-delà de ces résultats globaux, nous rendons compte de l’analyse qualitative d’une partie du corpus recueilli. Ces analyses seront illustrées par des extraits de productions d’élèves. Nous avons fait des choix de productions, celles assez explicites pour être interprétées. Nous conduisons cette analyse avec comme grille de lecture les hypothèses élaborées ainsi que les dimensions mathématique, discursive et contextuelle, et argumentative (Tableau 1). Nous traiterons quelques exemples de travaux d’élèves avec les réponses « toujours vrai » et « parfois vrai » et un exemple de verbatim recueilli lors d’une phase de débat. Nous ne traitons pas la réponse « jamais vrai » car aucune des trois réponses de ce type n’est accompagnée de justification. Nous ne sommes donc pas en mesure d’évaluer notre hypothèse H1.
57Dans plusieurs productions d’élèves, la réponse « toujours vrai » est justifiée avec une formulation s’appuyant sur des expressions renvoyant à une forme de nécessité avec l’usage de forcément, ou se référant à une obligation, ou avec l’usage de toujours : « on a forcément mesuré au moins », « nous sommes forcément passé par là » ; « c’est obligé qu’on est déjà passé… », « il y a obligatoirement un moment » ; « il y aura toujours un moment », qui marque une quantification universelle sur le temps et ceci indépendamment des versions, PISA reformulée (Production 1) ou PISA source (Production 2). Nous faisons l’hypothèse que ces expressions témoignent de la vision du caractère continu de la fonction « taille en fonction du temps ». Comme nous l’avons mentionné dans notre analyse a priori une interprétation possible de ce type de réponse pourrait être une application en acte du théorème des valeurs intermédiaires : si la taille est modélisée comme une grandeur continue, le théorème des valeurs intermédiaires est susceptible d’être mobilisé en acte et peut induire la valeur de vérité « toujours vraie » (Hypothèse H2).
58Par ailleurs, parmi les justifications données, il y a la mention de la durée pendant laquelle la taille peut être la moitié de la taille actuelle, même si cette période n’est pas forcément perçue, car courte : « c’est toujours vrai car même si ça a été pendant 2 jours il y a obligatoirement un moment où elle faisait la moitié de sa taille (sauf maladie) » (Production 1).
Production 1 : Justification Toujours vrai – obligatoirement (Occitanie, PISA reformulé)
59Dans cette réponse (Production 1), on voit une référence au contexte de la vie courante avec l’introduction d’une première clause restrictive (pendant deux jours) qui renforce l’hypothèse que cet élève est dans un point de vue continu ; la deuxième clause restrictive (sauf maladie) aurait pu conduire à la réponse PV, mais comme dans d’autres copies, c’est la réponse TV qui est retenue. Même en l’absence du verbe mesurer dans cette version (PISA reformulé), nous supposons que l’expression a fait dans la version PISA reformulée renvoie à la « mesure comme une propriété de la personne » qui conduit dans ce cas à la valeur de vérité PV (H3 : si la mesure est associée à une propriété de la personne alors l’ensemble de valeurs peut être discret ou continu et toutes les valeurs de vérité sont possibles). Par ailleurs, le choix du pronom elle peut indiquer une interprétation en termes de personne singulière (H6d).
60Certains écrits expriment également que la taille augmente à partir d’une (très) petite valeur initiale. Dans la Production 2, la réponse « toujours vrai » semble relever de l’application en acte du théorème des valeurs intermédiaires avec une dimension dynamique (H2). Dans cette réponse, on peut noter que l’élève mentionne le modèle proportionnel, mais le rejette comme modèle général et le choix du pronom « on » peut indiquer une interprétation en termes d’élément générique (H6b).
Production 2 : Justification Toujours vrai – forcément (Occitanie, PISA source)
61Dans la Production 3, la réponse semble également s’appuyer sur la mobilisation en acte du théorème des valeurs intermédiaires, sans mention d’un point de départ avec la présence de la dimension générique de une fille de 14 ans (H6b), qui est prise en compte explicitement par la reformulation pour n’importe qui. On notera également l’expression à un âge plus petit, que nous interprétons ici comme « elle est plus jeune » et donc l’adjectif petit ne se rapporte pas à la grandeur taille.
Production 3 : Justification de Toujours vrai – à un âge plus petit (Occitanie, PISA reformulé)
62Ainsi la Production 2 et la Production 3, relevant respectivement des formulations PISA source et PISA reformulé, semblent toutes deux mobiliser en acte le théorème des valeurs intermédiaires (H2) comme c’est également le cas de la Production 4.
Production 4 : Justification Toujours vrai – on ne se mesure pas (Occitanie, PISA reformulé)
63Dans ce cas, la distinction entre le fait de grandir régulièrement et le fait de se mesurer occasionnellement est explicitée, ceci bien que le verbe mesurer n’apparaisse pas dans l’énoncé reformulé. L’élève semble interpréter la question comme portant sur la grandeur taille et non sur les valeurs des mesures. En outre, l’usage du pronom on semble indiquer une interprétation générique de l’expression une fille de 14 ans (H6b).
- 8 L’énoncé à une valeur de vérité, mais celui qui doit répondre à la question n’a pas les moyens de c (...)
64Dans la Production 5, l’élève se réfère à sa propre expérience pour laquelle il affirme avoir mesuré à un certain moment la moitié de sa taille actuelle. On peut penser que ceci ne fait pas référence à une mesure qui aurait été réalisée, mais plutôt à l’application en acte du théorème des valeurs intermédiaires (H2). Dans la deuxième partie de la phrase, il utilise l’article la. Ceci semble indiquer qu’il a interprété l’expression une fille comme désignant une fille en particulier (élément singulier, H6d), et déduit que son cas personnel peut s’appliquer à celle-ci. On pourrait interpréter la première partie de l’argument comme une justification de ce que l’énoncé existentiel est vrai. Pour la seconde partie de l’argument, nous avons fait l’hypothèse que l’énoncé est interprété comme un énoncé singulier. Dans ce cas, l’énoncé proposé est une proposition (au sens logique du terme) qui est soit vraie, soit fausse, selon que ce qu’elle exprime est conforme ou non à ce qui est ; on ne dit pas d’une proposition singulière qu’elle est toujours vrai, jamais vrai ou parfois vrai. On pourrait éventuellement répondre dans ce cas « on ne peut pas savoir »8. Cependant, si l’on considère que l’énoncé général associé est toujours vrai (application en acte du théorème des valeurs intermédiaires), alors chaque énoncé singulier, instance de l’énoncé général, est vrai. Toutefois, comme l’élève utilise le terme possible, on pourrait également interpréter l’argument de la manière suivante : puisque c’est vrai pour moi, cela peut être vrai pour la fille en question. En l’absence d’entretien avec l’élève, nous n’avons pas les moyens de trancher entre ces deux interprétations. Nous constatons aussi dans ce cas que la justification contient le verbe mesurer, alors qu’il s’agit de la version PISA reformulé (sans le verbe mesurer).
Production 5 : Justification Toujours vrai – Je mesure (Occitanie, PISA reformulé)
65Dans la Production 6, avec la formulation PISA source, il est question de liste exhaustive en considérant les arrondis au cm. Dans cette production, sur le plan linguistique, il est difficile d’interpréter l’expression elle a dû passer. Cela pourrait être un marqueur de ce que l’élève n’est pas certain, mais qu’il pense que c’est probable. Ce pourrait aussi être interprété comme le marqueur d’une injonction. On peut noter qu’en Allemand, cette ambiguïté n’est pas présente ; on utilise deux verbes différents (sollen et müssen). Sur le plan mathématique, l’idée qu’elle grandit de cm en cm peut renvoyer au fait que les mesures de taille sont toujours arrondies au cm. Ceci peut permettre d’avoir une liste exhaustive des tailles possibles exprimées par un décimal ayant deux chiffres après la virgule ; moyennant l’arrondi (par excès ou par défaut), la moitié de la mesure de la taille actuelle se trouve dans la liste ; en parcourant la liste, on va passer par cette valeur. Nous pouvons penser que le verbe mesurer présent dans cette formulation ait pu influer sur la présence de l’expression « de centimètre en centimètre » comme une référence potentielle à un instrument de mesure.
Production 6 : Justification Toujours vrai – centimètre en centimètre (Occitanie, PISA source)
66La référence aux unités de mesure apparaît également dans la Production 7, elle aussi sur la base de la formulation PISA source. C’est la seule de notre corpus qui comporte un schéma. Au niveau considéré, ce type de schéma (qui relève plus du dessin) n’est plus attendu dans la classe de mathématiques, ce qui pourrait renvoyer à un point de vue quotidien, avec une mesure approximative de la taille. La partie droite de la réponse renvoie à l’interprétation mathématique de la moitié de sa taille comme la moitié de la mesure de sa taille, ce qui est cohérent avec la formulation de l’énoncé source. Notons que l’élève ne fait pas d’arrondi. Le fait de ne pas avoir de marque sur le schéma de gauche ne permet pas de savoir si cet élève fait le lien entre le résultat du calcul et l’abscisse du milieu du segment qu’il a dessiné. L’absence de marque sur le schéma pourrait conforter l’hypothèse que le schéma ne joue pas ici un rôle mathématique. Cette production ne nous permet pas clairement de valider une de nos hypothèses, mais nous semble intéressante pour la mobilisation d’une unité de mesure.
Production 7 : Justification Toujours vrai – Dessin (Occitanie, PISA source)
67Dans la Production 8, l’élève se place sur un critère de comparaison de la grandeur taille, sans référence ni à la mesure ni à la moitié ; l’argument « toujours vrai » se fonde sur un raisonnement par disjonction des cas et, semble-t-il, sur un critère de nécessité marqué par l’emploi de « forcément » renvoyant, selon nous, à une modélisation de la taille comme une grandeur continue (H2), comme déjà explicité précédemment. Le choix de l’expression la fille de 14 ans semble indiquer l’interprétation en termes d’énoncé singulier. Dans ce cas, ne connaissant pas la fille en question, celui qui répond ne peut pas savoir si elle est grande ou petite, ce qui motive le raisonnement par disjonction des cas, qui permet à l’élève de conclure.
Production 8 : Justification Toujours vrai – disjonction de cas (Occitanie, PISA reformulé)
68La Production 9 (PISA source) présente explicitement la connaissance de l’ordre de grandeur d’un bébé et fait sans doute référence à l’expérience quotidienne. L’ajout du terme environ dans le début de la phrase semble indiquer que l’interprétation de une fille est celle d’un élément générique ; la seconde occurrence de ce terme semble plutôt renvoyer à l’idée qu’un ordre de grandeur de la moitié suffit pour justifier le fait que la taille initiale, celle du bébé est inférieure. Nous considérons ici également que c’est théorème des valeurs intermédiaire qui est mobilisé en acte (H2).
Production 9 : Justification Toujours vrai – environ (Occitanie, PISA source)
69Nous avons donné quelques exemples de productions d’élèves conduisant à la valeur de vérité « toujours vraie » dans deux cas. Le premier, lorsque nous supposons que certains mots exprimant une forme de nécessité sont le reflet d’une conception de la taille comme une grandeur continue et de la mobilisation en acte le théorème des valeurs intermédiaires (H2) et le deuxième cas, lorsque la mesure est associée à une propriété de la personne (H3). Par ailleurs, au-delà du fait qu’il y avait beaucoup plus de productions d’Occitanie dans notre corpus, la qualité linguistique et argumentative nous a conduits, dans le cas de la valeur de vérité, TV, a sélectionné les productions d’Occitanie afin d’illustrer nos hypothèses. Nous n’avons pas identifié de lien entre la formulation PISA source ou PISA reformulé et les hypothèses H2 et H3, l’une ou l’autre des formulations pouvant valider l’hypothèse 2 ou l’hypothèse 3. Cependant, la référence aux unités de mesure de la grandeur taille apparaît dans la formulation PISA source. Sans pouvoir tirer de conclusion générale, ces éléments nous semblent intéressants à souligner.
70Nous avons synthétisé dans le Tableau 6, les productions « Toujours vrai » choisies pour l’analyse, en fonction de la formulation PISA source ou PISA reformulé, de l’origine territoriale des productions, des hypothèses H2 et H3 et d’éléments remarquables des productions.
Tableau 6 : Productions « Toujours vrai » choisies pour l’analyse
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Formulations
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Origines des productions
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Hypothèses mobilisées
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Expressions particulières
Commentaires
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PISA source
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PISA reformulé
|
Guyane/
Mayotte/
Occitanie
|
H2
|
H3
|
|
Production 1
|
|
X
|
Occitanie
|
X
|
X
|
Obligatoirement
|
|
Production 2
|
X
|
|
Occitanie
|
X
|
|
Forcément
Proportionnel
|
|
Production 3
|
|
X
|
Occitanie
|
X
|
X
|
À un âge plus petit
|
|
Production 4
|
|
X
|
Occitanie
|
X
|
|
On ne se mesure pas
|
|
Production 5
|
|
X
|
Occitanie
|
X
|
|
Je mesure
|
|
Production 6
|
X
|
|
Occitanie
|
|
|
centimètre en centimètre
|
|
Production 7
|
X
|
|
Occitanie
|
|
|
Dessin ; cm
|
|
Production 8
|
|
X
|
Occitanie
|
X
|
|
Disjonction de cas
|
|
Production 9
|
X
|
|
Occitanie
|
|
|
Environ
|
71Dans cette partie, nous présentons des productions d’élèves où la valeur de vérité « parfois vraie » est donnée en réponse à l’énoncé traité. Nous analyserons quelques productions d’élèves en précisant les nuances éventuelles de la valeur de vérité « parfois vrai » : parfois vrai/plutôt vrai (PV/V), c’est-à-dire plus souvent vrai que faux ; parfois vrai/plutôt faux (PV/F), c’est-à-dire plus souvent faux que vrai).
72Les productions 10 et 11, se réfèrent à l’action de mesurer avec l’utilisation du verbe mesurer que celui-ci soit dans la formulation de l’énoncé ou pas. En effet la production 10 provient d’une réponse d’élève avec la formulation source alors que la production 11, correspond à la version PISA reformulé et pourtant dans les deux cas, il est fait référence à l’action de mesurer : « une fille se mesure tous les 1 an » ; « elle mesure tous les années pour savoir sa taille ». Ce dernier cas laisse entrevoir la possibilité que la valeur mesurée au moment précis de la réalisation de la mesure ne corresponde pas à la moitié de la taille de la fille à 14 ans. Par conséquent, on peut ne pas « tomber » sur la taille correspondant à la moitié de la taille de la fille à 14 ans. C’est aussi le cas pour la fille qui « se mesure tous les 1 an » (production 11). Ces deux productions illustrent le fait que si la mesure est le résultat d’une action de mesurage, alors on a une liste de valeurs dans un ensemble discret qui peut induire la valeur de vérité « parfois vraie (H4) et ceci aussi bien pour la formulation PISA source que PISA reformulé. Par ailleurs, dans le production 11, le choix de l’expression la fille reprise par le pronom « elle » semble indiquer une interprétation en termes d’énoncé singulier.
Production 10 : Justification « parfois vrai » (Guyane, PISA reformulé) : Parce « qu’une fille se mesure tous les 1 ans »
Production 11 : Justification Parfois vrais – elle mesure (Guyane, PISA source)
73Les productions 12 et 13, illustrent des cas de « parfois vrai » ayant une valeur épistémique « vrai » élevée c’est-à-dire que c’est le plus souvent vrai à quelques exceptions près qui sont clairement explicitées dans certaines productions d’élèves : « je suppose qu’il y a des exceptions » et de rajouter « même si c’est très rare » (production 12). Le cas du « nanisme » relève aussi de l’exception puisqu’il s’agit de « cas très rares, mais possibles » (production 13) jouant le rôle de possible contre-exemple à l’énoncé général. Ces deux productions montrent des raisonnements similaires, cependant avec des formulations différentes, PISA reformulé pour la production 12 et PISA source pour la production 13. Cependant, ces deux productions illustrent aussi une conception de la mesure comme une propriété de la personne (H3) puisqu’il est question de personnes ayant certaines propriétés, « nanisme » (production 13) ou parce que « quand on née on fait à peu près 50 cm » (production 12). Comme dans d’autres productions, l’usage de « on » pourrait être interprété comme un point de vue générique ; cependant la mention « d’exceptions » fait plutôt penser à une interprétation en termes de quantification universelle.
Production 12 : Justification Parfois vrai – des exceptions (Occitanie, PISA reformulé)
Production 13 : Justification Parfois vrai – nanisme (Occitanie, PISA source)
74La valeur de vérité PV peut aussi avoir une valeur épistémique faux élevée, c’est-à-dire que c’est parfois vrai, mais que c’est plus souvent faux dans le sens que « ce n’est pas souvent vrai » (production 14). Cette interprétation d’une valeur épistémique faux élevée peut être renforcée par un argumentaire qui peut mettre en doute la plausibilité de l’énoncé, pensé comme un énoncé singulier « si elle a fait la moitié de sa taille actuelle aujourd’hui elle doit être très grande » (production 14). Par ailleurs, la production 15, qui commence par « si » et utilise deux fois le pronom personnel « elle », fait penser que la condition qui suit « si » porte sur un cas particulier pris comme un exemple comme dans la production 14. Cependant, il nous semble difficile de savoir si ce cas donné d’un « exemple » est comme la production 14, associé à un PV/F. On peut voir en outre dans la production 15 un argument mobilisant le modèle proportionnel
75Par ailleurs, ces deux productions réalisées à partir de l’énoncé PISA reformulé montrent, selon nous, une conception de la mesure comme une propriété de la personne qui pourrait trouver son origine par l’usage de l’expression a fait dans la version PISA reformulé, qui est reprise dans ces deux productions.
Production 14 : Justification Parfois vrai – pas souvent vrai (Occitanie, PISA reformulé)
Production 15 : Justification Parfois vrai – 14 ÷ 2 (Guyane, PISA reformulé)
76Nous avons synthétisé dans le tableau 7, les productions « Parfois vrai » choisies pour l’analyse, en fonction de la formulation PISA source ou PISA reformulé, de l’origine territoriale des productions, des hypothèses H3 et H4, des valeurs épistémiques de PV et d’éléments remarquables des productions.
Tableau 7 : Productions « Parfois vrai » choisies pour l’analyse
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Formulations
|
Origines des productions
|
Hypothèses
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PV
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Expressions particulières
Commentaires
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PISA source
|
PISA
reformulé
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Guyane/Mayotte/Occitanie
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H3
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H4
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PV/V
|
PV/F
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Production 10
|
|
X
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Guyane
|
|
X
|
|
|
Se mesure tous les 1 an
|
|
Production 11
|
X
|
|
Guyane
|
|
X
|
|
|
Elle mesure tous les années
|
|
Production 12
|
|
X
|
Occitanie
|
X
|
|
X
|
|
Des exceptions
|
|
Production 13
|
X
|
|
Occitanie
|
X
|
|
X
|
|
Nanisme
|
|
Production 14
|
|
X
|
Occitanie
|
X
|
|
|
X
|
Pas souvent vrai
|
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Production 15
|
|
X
|
Guyane
|
X
|
|
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14 ÷ 2
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77Lors de la phase de discussion orchestrée par le chercheur dans une des deux classes d’Occitanie, une élève E2, entre en discussion avec plusieurs élèves de la classe sur le choix de sa réponse « parfois vrai ». Discussion que nous avons retranscrite et dont le verbatim est dans le Tableau 8 ci-dessous. Nous utilisons les notations suivantes : E1, E2, E3 et E4 désignent quatre élèves ; CHER désigne le chercheur ; COL désigne l’ensemble majoritaire des élèves de la classe.
Tableau 8 : Échange, moment de discussion orchestré par le chercheur (Occitanie)
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1
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E1
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Ben moi je pense qu’on est obligé de passer par un chiffre parce que quand on monte, peut-être qu’on ne s’arrête pas à ce chiffre, mais on est obligé de passer par ce chiffre donc voilà, et […]
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2
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Cher
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Du coup ta réponse, c’est quoi ?
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3
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E1
|
Bah que c’est toujours vrai
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4
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E2
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Ben non, moi je pense que c’est parfois vrai. Parce que des fois on grandit.
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5
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Enfin on s’arrête pas au chiffre exact de la moitié, ben je sais pas comment expliquer.
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6
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Ben ! Pour moi, on n’est pas obligé de passer par le chiffre exact de la moitié ! Enfin !
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7
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Imagine on fait 1m80. On n’est pas obligé de passer par 1m40 pile.
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8
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COL
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non, mais automatiquement
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9
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E3
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Automatiquement on y passe ! Mais non on y passe forcément !
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10
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E2
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Ben moi je pense pas !
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11
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E3
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Certes, mais tu vas faire 1m29, 1m30, 1m31…
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12
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E2
|
Ben moi je pense pas.
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13
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Cher
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Et donc toi ta réponse ce serait quoi ?
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14
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E2
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Parfois, vrai.
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15
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E3
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Moi c’est tout le temps vrai
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16
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E2
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Même sans problème de croissance tu peux ne pas avoir fait la moitié de ta taille
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17
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E4
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mais si parce que tu montes cm par cm
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18
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E2
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oui, mais t’es pas obligé de monter 1 cm par cm
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19
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parfois tu peux monter par 2 cm d’un coup
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20
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E4
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oui, mais tu passes par 1 t’es obligé
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78Cette discussion met en perspective plusieurs de nos hypothèses.
79Pour l’élève E1, la taille semble être modélisée comme une grandeur continue aux vues de son argument : « on est obligé de passer par un chiffre parce que quand on monte, peut-être qu’on ne s’arrête pas à ce chiffre, mais on est obligé de passer par ce chiffre » (ligne 1). Il nous semble que c’est le théorème des valeurs intermédiaires qui est ici mobilisé en acte et qui conduit à la réponse « toujours vraie » (H2).
80L’élève, E2, met en évidence une perception non continue de la fonction taille en fonction de l’âge. Pour elle, « c’est parfois vrai. Parce que des fois on grandit. Enfin on s’arrête pas au chiffre exact de la moitié » (lignes 4 et 5). Il y a ici l’idée de saut, qui est aussi exprimé par « on n’est pas obligé de passer par le chiffre exact de la moitié » (ligne 6), « On n’est pas obligé de passer par 1m40 pile » (ligne 7) et de manière plus explicite « t’es pas obligé de monter de 1 cm en 1 cm, parfois tu peux monter par 2 cm d’un coup » (lignes 18 et 19). Cependant, la mesure associée à la propriété de la personne peut aussi conduire à la réponse « toujours vraie » (H3). L’élève E3 évoque une liste exhaustive de valeurs arrondies au cm près, « tu vas faire 1m29, 1m30, 1m31… » (ligne 11) et qui donne la réponse « toujours vraie » parce que « on y passe forcément ! » (ligne 9). Ce argument suggère qu’une liste exhaustive peut être perçue comme un continuum. Cela semble aussi être la position de l’élève E4.
81On retrouve dans les échanges (Tableau 8) l’utilisation de mots exprimant l’obligation et la nécessité (automatiquement, forcément, obligé) que nous avions déjà associées au point de vue de la taille comme grandeur continue, avec mobilisation en acte du théorème des valeurs intermédiaires.
82Dans ces échanges, ce sont bien deux conceptions de la taille en fonction de l’âge qui sont en jeu. D’une part, le point de vue de la taille comme une grandeur continue sans nécessairement avoir recours à la mesure et d’autre part, la taille repérée par le résultat d’une mesure. Par ailleurs, un élève semble considérer la taille comme une grandeur non nécessairement continue, ce que nous n’avions pas anticipé.
- 9 Il s’agit d’une réponse que nous n’avons pas analysée.
83Dans notre analyse a priori, nous avions envisagé que différentes modélisations de la croissance ou différentes interprétations du verbe mesurer pouvaient conduire aussi bien à la réponse « toujours vrai », « parfois vrai », ou « jamais vrai ». Ceci se retrouve dans les productions que nous avons analysées avec, dans chacun des deux premiers cas, des arguments pertinents. Comme nous l’avons mentionné, nous n’avons pas eu accès aux arguments des trois élèves ayant répondu « jamais vrai », ces réponses n’ayant pas été argumentées. Notre hypothèse (H5) selon laquelle certaines réponses « parfois vrai » pouvaient avoir une valeur épistémique « toujours vrai », alors que d’autres pouvaient avoir une valeur épistémique « jamais vrai » est confirmée, certains élèves par ailleurs choisissant « toujours vrai » malgré la mention de possibles contre-exemples. Pour ce qui concerne le modèle proportionnel, dont nous avions fait l’hypothèse qu’il conduirait prioritairement à la valeur « jamais vrai » (Hypothèse H1), il apparaît au moins une fois explicitement dans la production 15 avec la réponse « parfois vrai » ayant une valeur épistémique faux élevée. Par ailleurs, une réponse « toujours vrai »9 est motivée par le seul argument « 14 est divisible par 2 ».
- 10 Durand-Guerrier (1999) avait déjà souligné un phénomène de ce type dans une tâche proposée dans le (...)
84De ce fait, quel que soit le choix des évaluateurs de l’étude internationale PISA pour choisir la réponse attendue entre « toujours vrai » et « parfois vrai », des réponses cohérentes sont susceptibles d’être rejetées, et des réponses reposant sur des arguments incorrects du point de vue mathématique sont susceptibles d’être acceptées10.
85Notons en outre que notre analyse qualitative ne nous permet pas d’identifier clairement un impact de la formulation de l’énoncé (PISA source ou PISA reformulé) sur les réponses des élèves, ce qui était déjà le cas de notre analyse quantitative. Ceci est une des limites de notre étude, due notamment à la taille de nos échantillons.
86Nous avons vu que conformément à nos hypothèses les valeurs de vérité « Toujours vraie », « Parfois vraie » et « Jamais vraie » sont apparues lors de nos expérimentations. Les résultats présentés mettent en évidence que l’énoncé étudié, en apparence simple, engage des dimensions mathématiques, linguistiques et culturelles profondément intriquées. Nous structurons cette discussion en revenant d’une part sur nos hypothèses et d’autre part sur les liens potentiels avec les recherches en ethnomathématiques.
87Nous envisageons un retour sur nos hypothèses autour de quatre axes : le verbe « mesurer », l’interprétation des énoncés, la proportionnalité et la quantification.
88L’un des résultats majeurs concerne l’ambiguïté du verbe mesurait dans l’énoncé source : « Une fille de 14 ans mesurait au moins une fois dans sa vie la moitié de sa taille actuelle ». Cette formulation autorise deux lectures distinctes. Soit la mesure est vue comme une propriété de la personne (Hypothèse H3), soit la mesure est vue comme le résultat d’une action de mesurer (Hypothèse H4). Ces deux interprétations ne sont pas équivalentes du point de vue mathématique. Dans le premier cas, si la croissance est modélisée comme une fonction continue du temps, alors l’argument mobilise le théorème des valeurs intermédiaires en acte (c’est notre hypothèse H2) : la moitié de la taille actuelle a nécessairement été atteinte à un moment donné. La réponse « toujours vrai » s’impose alors comme cohérente (les production 1 et production 2 en sont des exemples). Dans le second cas, la taille est appréhendée à travers une série de mesures effectives réalisées à des différents moments : visite médicale, marque sur une toise ou encore une mesure annuelle (production 4). L’ensemble des valeurs obtenues devient alors discret et potentiellement lacunaire (c’est le sens de nos hypothèses H3 et H4) : rien ne garantit que la valeur exacte correspondant à la moitié ait été relevée (points de vue de E2 dans les échanges : Tableau 8). La réponse « parfois vrai » devient alors pertinente (H3 et H4). Ce point est crucial : la variation de valeur de vérité ne relève pas d’une erreur logique, mais d’un changement de statut attribué à la mesure. Or cette distinction n’est pas explicitée dans l’énoncé. Elle dépend des pratiques sociales de référence mobilisées par les élèves (carnet de santé, mesure « au centimètre près », croissance « par paliers ») (propos de E2, ligne 19, Tableau 8), mais aussi de leur manière d’articuler grandeur et mesure. Nos données montrent en outre que la suppression du verbe mesurait dans la version reformulée ne supprime pas nécessairement l’interprétation en termes d’action de mesurage (production 4). Autrement dit, l’ambiguïté ne réside pas uniquement dans l’aspect lexical, mais est aussi lié au contexte des répondants. Cette observation confirme que la compréhension d’un énoncé mathématique contextualisé dépend fortement des pratiques culturelles associées aux grandeurs en jeu. La mesure n’est pas un concept neutre : elle articule une conception du monde, un rapport aux instruments et une modélisation implicite du réel.
89Le deuxième axe concerne les effets conceptuels liés à la langue, notamment en ce qui concerne les variations grammaticales. La comparaison entre la version française et ses équivalents en anglais et en allemand peut conduire à des différences d’interprétations. En français, l’usage de mesurait introduit une possible ambiguïté entre propriété et action alors que ce n’est pas le cas en anglais (was half her current height) et en allemand (war halb so groß), l’énoncé privilégie l’expression d’un état plutôt que l’acte de mesurer. Ceci pourrait orienter spontanément vers une lecture continue de la grandeur. Pour l’énoncé en français, nous avions fait l’hypothèse que l’ambiguïté du verbe mesurer pouvait faire émerger, outre l’interprétation continue (H2), une interprétation discrète liée à l’action de mesurer (H4). Ceci est confirmé dans notre corpus où les deux lectures, continue et discrète, apparaissent et sont débattues par les élèves (Tableau 8). Ainsi, la forme grammaticale peut orienter différemment l’interprétation de l’énoncé et par la même infléchir les choix implicites de modélisation mathématique. Cette observation interroge directement l’objectif de veiller à l’équivalence stricte dans les évaluations internationales : des réponses pertinentes du point de vue mathématique peuvent être rejetées parce qu’elles ne mobilisent pas le contenu mathématique visé.
90Nos analyses montrent également que, même au sein d’une même langue, l’interprétation varie selon les contextes sociolinguistiques (Occitanie, Guyane, Mayotte). Dans des contextes plurilingues, où le français est langue de scolarisation, mais pas nécessairement langue de première socialisation, la compréhension de l’énoncé engage des processus de reformulation interne et de traduction implicite. Notre protocole expérimental ne nous donne pas accès à ces processus internes, mais nous faisons l’hypothèse qu’ils sont effectivement mis en œuvre par certains élèves.
91Le troisième axe de discussion concerne la mobilisation du modèle proportionnel. Plusieurs productions d’élèves montrent que la croissance est pensée implicitement en termes de proportionnalité : la taille augmenterait « en proportion » de l’âge et ceci sans prise en compte de l’ordre de grandeur. Certains élèves se placent plutôt dans un modèle affine en prenant en compte la taille des bébés (Production 9).
92Ce qui frappe dans certaines copies, c’est l’absence de contrôle sémantique du modèle mobilisé. La proportionnalité apparaît comme un usage scolaire stabilisé, susceptible d’être activé indépendamment de la pertinence empirique du modèle pour décrire la croissance humaine (Production 5). Cette référence au modèle proportionnel nous amène à émettre l’hypothèse que « les modèles enseignés peuvent influencer l’interprétation des situations contextualisées ».
93Comme nous l’avions envisagé dans l’analyse a priori (Hypothèse H6), on peut identifier parmi les productions d’élèves plusieurs interprétations de l’expression une fille de 14 ans. Les deux plus répandues sont l’interprétation générique, marquée par l’utilisation du pronom « on », et, dans un cas, par l’usage de l’expression « pour n’importe qui », et l’interprétation singulière, marquée par l’usage du pronom elle ou de l’article la. Il n’y a pas de production avec des marqueurs explicites de quantification existentielle. Il n’y a pas non plus dans les productions de marqueurs explicites de quantification universelle ; nous avons cependant fait l’hypothèse que les marqueurs de nécessité (forcément, obligatoirement) ou l’usage du terme « exceptions » dans la Production 2 pouvaient renvoyer à cette interprétation.
94Les quatre axes discutés convergent vers un même constat : la langue, les pratiques sociales de référence et les modèles mathématiques implicites participent conjointement à la construction du sens de l’énoncé. Dans l’exemple que nous avons étudié, le contexte évoqué structure activement plusieurs interprétations possibles. Le problème ne révèle pas seulement des conceptions de la mesure, mais aussi des habitudes de modélisation dans le système scolaire.
95Ceci ouvre des espaces de tension : entre discret et continu ; entre expérience quotidienne et formalisation mathématique ; entre modèles scolaires et phénomènes réels. En outre, toutes les réponses analysées en termes de valeur de vérité (toujours vrai, parfois vrai) peuvent être cohérentes à l’intérieur d’un certain cadre interprétatif. De ce fait, l’item étudié ne teste pas uniquement la capacité à déterminer la valeur de vérité de l’énoncé. Il met en jeu : la sélection d’un modèle (continu, discret, proportionnel ou non) ; l’articulation entre grandeur et mesure ; la distinction entre propriété et action ; l’identification de la quantification ; la gestion d’ambiguïtés linguistiques. Cela interroge la nature même de la compétence mathématique évaluée : s’agit-il d’une compétence logique, d’une compétence de modélisation, d’une compétence linguistique, ou d’une combinaison de ces dimensions ? Cela invite également à considérer que l’évaluation des compétences mathématiques ne peut être dissociée d’une réflexion approfondie sur les formes linguistiques et les pratiques culturelles et scolaires qui structurent l’accès au sens, notamment dans des contextes plurilingues et multiculturels comme ceux de nos expérimentations.
96Les analyses qualitatives des productions d’élèves dont nous rendons compte dans cet article n’ont pas été conduites dans une perspective de recherche en ethnomathématiques. Elles s’inscrivent dans les nombreuses recherches actuelles qui s’intéressent aux phénomènes de contextualisation didactiques et aux effets des contextes socioculturels et linguistiques sur les apprentissages scolaires (Delcroix et al. 2013 ; Nguala, 2005, 2023 ; Robo, 2021 ; Salone, 2022 ; Léglise et al., 2024). Pour autant, nos résultats font écho à des travaux en ethnomathématiques comme ceux de Marcia Ascher dans lesquels les pratiques langagières occupent une place centrale :
The linguistic categories and structures are of paramount importance to the mathematical ideas of a people. Language is, after all, a mirror of culture and the medium through which concepts are expressed and transmitted (Ascher, 1991, p. 34)
97En outre, comme le souligne Ascher, ces pratiques langagières sont socialement situées et culturellement ancrées. Elles sont donc intrinsèquement contextualisées, renvoyant à des identités culturelles et des pratiques sociales pour partie partagées et pour partie singulières. Tersigni (2015) souligne la variété des pratiques de mesurage de la grandeur taille, tant historiquement que culturellement. Nous avons mentionné dans l’analyse a priori l’impact possible de la diversité de ces pratiques ; nous en avons des traces dans les analyses de productions et notamment dans le verbatim.
98Dans cet article, nous avons présenté les premiers résultats d’une recherche en cours sur l’impact des variations grammaticales et des contextes sur l’interprétation par les élèves des énoncés mathématiques. Notre questionnement initial portait sur les biais possibles que l’insuffisante identification de ces effets par les traducteurs et par les évaluateurs pourrait induire sur l’interprétation des résultats aux tests internationaux tels que PISA. Pour mettre à l’épreuve empiriquement cette hypothèse, nous avons choisi un énoncé issu d’un item public du PISA 2022 et nous avons mené des expérimentations à petite échelle (en Guyane, à Mayotte et en Occitanie). L’analyse a priori de cet énoncé, qui au premier abord peut apparaître simple tant du point de vue mathématique que linguistique, nous a permis de mettre en lumière le fait que l’identification des enjeux mathématiques n’allait pas de soi. Nous avons pointé notamment l’ambiguïté dans cet énoncé du verbe mesurer tant du point de vue linguistique, que du point de vue des pratiques sociales de référence. Les résultats des expérimentations dont nous rendons compte dans cet article confirment que ces ambiguïtés ont un impact sur les réponses des élèves. Une conséquence étant qu’il n’y a pas une seule réponse correcte à cette question, ce qui va à l’encontre de l’objectif du PISA d’évaluer la capacité des élèves à mobiliser les compétences mathématiques pour résoudre des problèmes en lien avec la vie quotidienne. Ceci invite les enseignants, les formateurs, les chercheurs, les institutions à être très vigilants sur ce point lors de l’élaboration des évaluations locales, nationales et internationales, ainsi que lors de l’interprétation de leurs résultats. Nous ajoutons que ceci est particulièrement nécessaire dans le cadre des contextes plurilingues et multiculturels. En effet, les pratiques langagières peuvent renvoyer à des pratiques impliquant des activités que l’on peut reconnaître comme mathématiques, bien qu’elles puissent être différentes des savoirs reconnus au sein des institutions académiques ou scolaires notamment dans des contextes plurilingues et multiculturels. L’exemple du suivi de la taille des enfants illustre précisément cette articulation entre pratiques ordinaires et construction du sens mathématique. Selon nous, les questions soulevées par notre étude illustrent clairement la pertinence d’un croisement des recherches en didactique des mathématiques, en linguistique et en ethnomathématiques.
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