1Dans son petit ouvrage « The self-Organizing Economy », l’économiste américain Paul Krugman, prix Nobel d’économie 2008, propose un modèle mathématique de l’émergence d’aires urbaines polycentriques. Plus précisément, il se focalise sur la manière dont les centres de bureaux (ce qu’il appelle les « edge cities » en référence à l’ouvrage de J. Garreau) peuvent apparaître dans une aire métropolitaine. Son modèle, inspiré des équations de réaction-diffusion, permet de faire émerger différentes structures spatiales périodiques à partir d’une situation initiale homogène. Ce faisant, Paul Krugman prend ses distances de manière quelque peu ostentatoire avec les travaux classiques menés en géographie autour des lieux centraux (notamment par Christaller et Lösch), qu’il considère comme étant de nature davantage descriptive qu’explicative. Pour un économiste nous dit-il, un modèle est considéré comme explicatif s’il parvient à mettre en relation des structures d’ordre macroscopique avec des comportements d’ordre microscopique. Or, selon lui, dans ses travaux sur la hiérarchie urbaine, Christaller ne tiendrait pas compte de la manière dont les comportements individuels seraient susceptibles de produire la régularité urbaine observée, à la fois en termes de localisation et de hiérarchie. De même, toujours selon Paul Krugman, si Lösch a montré qu’une structure hexagonale des aires de marché était efficiente, il n’a pas montré qu’elle tendait à émerger d’un processus décentralisé.

• L’espace géographique est homogène (isotrope) ;

• La population et les ressources sont uniformément distribuées ;

• Les consommateurs sont identiques et maximisateurs ;

• Les prix sont fixés et aucun producteur ne peut réaliser de marge excédentaire (concurrence parfaite) ;

• Les coûts de transport des biens urbains sont à charge du consommateur rural ;

• Les producteurs de services de portée équivalente se regroupent dans les mêmes centres ;

• • 3 Cette redondance entre les biens produits par des centres de niveau différent est une caractéristiq (...)

  Un lieu central de niveau t produit également des biens de niveau inférieur (dans un système de profondeur 3 (k = 3): les lieux de niveau 1 produiront ainsi des biens de niveau 1, 2 et 3, tandis que les lieux de niveaux 2 ne produiront que des biens de niveau 2 et 3 et les lieux à la base de la hiérarchie ne produiront que des biens de niveau 3)3.

3Ces hypothèses simples ont des conséquences directes importantes lorsqu’on les combine. Ainsi, les hypothèses 3, 4 et 5 impliquent que les consommateurs vont minimiser les coûts de transport et donc privilégier le lieu central le plus proche (implication 1).

4En ajoutant le principe 6 (regroupement des producteurs de services de portée équivalente dans les mêmes centres), on obtient un nombre limité de centres de production ravitaillant les consommateurs les plus proches (implication 2). L’ajout des principes 1 et 2 entraîne alors logiquement que ces producteurs seront régulièrement espacés (implication 3 et conséquence finale).

6A l’initialisation, les consommateurs sont répartis de manière régulière (hypothèses 1 et 2). Puis, de la même façon que Christaller fixe un nombre de lieux centraux N_t et de niveaux hiérarchiques K, selon une progression géométrique N_t = K^t, le modèle génère 3 lieux centraux de niveaux 1, 9 lieux centraux de niveau 2 et 27 lieux centraux de niveau 3. Ces lieux centraux, que nous nommons « centres de production » ou par souci de simplification « centres » dans notre modèle, sont tous positionnés aléatoirement au moment de leur création. En accord avec l’hypothèse 7, un centre produit des biens de son niveau et des biens de tous les niveaux inférieurs (au niveau 1, les centres produisent des biens de niveau 1 ; au niveau t, les centres produisent des biens de tous les niveaux 1 à K).

7Une itération du modèle se compose alors de deux étapes. Premièrement, chaque consommateur choisit, pour chacune des 3 catégories de biens disponibles, le centre de production qui se trouve le plus proche (implication 1). A l’issue de cette phase d’affectation, chaque centre détermine s’il est satisfait de sa localisation ou non. En cas d’insatisfaction, le centre de production se déplace. La simulation prend fin lorsque tous les centres de production sont satisfaits (équilibre).

8Afin d’évaluer la satisfaction des centres, nous suivons à la lettre l’hypothèse 4 : les prix sont fixes et aucun producteur ne réalise de marge excédentaire. Les centres de production sont donc satisfaits dès lors qu’ils ont une part de marché au moins équivalente à celle des autres centres de même niveau. Ainsi, dans le cas où dix centres de production se partageraient un marché de consommation, chacun d’entre eux devrait attirer au moins 10% de la clientèle pour être satisfait. Le seuil de satisfaction S est donc défini par S = (1 / P_i + a), avec P_i le nombre total de centres producteurs du bien i et a une variable d’ajustement. La part de marché d’un producteur est définie par  m_i = c_i / C, avec c_i le nombre de consommateurs du producteur i et C le nombre total de consommateurs. L’ajout du paramètre a permet, en relâchant légèrement la contrainte d’équi-répartition des consommateurs, d’accélérer la convergence vers un équilibre.

9Il a également fallu définir une stratégie de re-localisation des centres de production insatisfaits, stratégie absente du modèle initial, fondamentalement statique.

10Dans notre modèle, chaque centre insatisfait se déplace suivant la règle suivante : si le centre ne se trouve pas déjà au barycentre de son aire de marché (moyenne en x et y des coordonnées des consommateurs correspondant à son bien de plus haut niveau), il se déplace vers celui celui-ci afin de se rapprocher de ses consommateurs. S’il se trouve déjà sur celui-ci, il se déplace en direction du centre de production de même niveau qui possède le plus de consommateurs, afin de lui « prendre » des consommateurs. Cette dernière règle permet de sortir d’optimums locaux qui peuvent apparaître lorsque tous les centres se trouvent au barycentre de leur clientèle. Le modèle se stabilise lorsque tous les centres de production sont satisfaits.

11Une des premières leçons à tirer de l’implémentation informatique distribuée de ce modèle est que l’équilibre est impossible à trouver pour une valeur nulle du paramètre a. Une seconde leçon est toutefois que l’organisation spatiale des centres de production la plus stable est bien de nature christallérienne (figure 1). Cette structure s’avère être extrêmement robuste.

12Il est important de se rappeler que, conformément à l’hypothèse 7, chaque centre de niveau supérieur produit également tous les biens de niveau inférieur, ce qui est illustré par la figure 2. Les centres de niveau 2 (en jaune) possèdent ainsi 2 aires de marché, tandis que les centres de niveau 1 (en vert) en possèdent 3.

13Cette mise en concurrence entre les centres de production de niveaux différents explique les formes obtenues à l’issue des simulations. En effet, pour que les centres soient satisfaits, ces derniers doivent être séparés par une distance suffisante, leur permettant ainsi de disposer d’une aire de marché convenable. En conséquence, plus la part de marché demandée aux centres est faible, plus les distances entre les centres peuvent être réduites. Concernant les centres de production de niveau supérieur, ceux-ci doivent trouver une localisation leur assurant une part de marché acceptable pour tous les niveaux de biens. Ils doivent donc trouver une localisation suffisamment éloignée des autres centres de même niveau mais qui peut être plus proche des centres de niveau inférieur. Cette règle de fonctionnement (hypothèse 7) joue un rôle décisif dans l’émergence des structures spatiales issues du modèle LivingChristaller.

14On notera que ce modèle ne reproduit pas exactement les structures hexagonales parfaites prédites par Walter Christaller. Toutefois, il permet de démontrer que le comportement des consommateurs et des producteurs, tel qu’il est décrit par Christaller dès les années 30, tend à auto-organiser l’espace de manière régulière et hiérarchisée. Le modèle de Christaller ne peut donc plus être considéré comme une description géométrique simpliste de l’espace géographique. Bien au contraire, les hypothèses formulées par Christaller suffisent à faire émerger des structures spatiales régulières à partir d’interactions individuelles non coordonnées mais interdépendantes. En ce sens, le modèle de Christaller est bien un modèle explicatif…et il reste d’actualité.