Nous remercions Yves Guermont de nous avoir fait connaître l’article du logicien J.-Y. Béziau sur le « Pouvoir de l’hexagone », ainsi que François Nicolas, pour la rapidité et l’efficacité de ses réponses à nos diverses questions. Nous remercions de même les lecteurs de l’article dont les remarques et les suggestions constructives nous ont permis d’améliorer et d’enrichir cet essai.

Introduction

3De ce fait, il est indispensable de bien préciser notre but et notre démarche. Pour ce faire, nous allons revisiter le concept de système urbain. En effet, si nous savons tous ce dont il s’agit géographiquement, nous n’en effleurons qu’à peine les bases logiques, même sous la forme d’un simple schéma ; nous n’avons aucune représentation qui exprime sa résilience, c’est-à-dire la structure processuelle indispensable à sa genèse, son déploiement et ses limites.

5Le pouvoir heuristique de l’hexagone sagittal (les sommets représentant les concepts et les arêtes les liaisons entre eux) réside dans le fait que le raisonnement qu’il propose s’appuie davantage sur l’analyse des conditions obligatoires du maintien diachronique d’un ensemble structurel précis de flux localisés que sur celle des nœuds qui les supportent : dans l’urbanisation actuelle, c’est le flux qui fait la force du nœud, non le nœud qui fait la force du flux, comme l’exprime W. Tobler dans un article de 1987 "Geographical Movement is critically important. This is because much change in the world is due to geographical movement". Ceci veut dire, non que le nœud n’y participe pas, bien au contraire, mais qu’il n’est pas premier dans le maintien du déploiement de la cohésion hexagonale de flux indispensable à l’essor d’une agglomération quelconque : si les mouvements, sources des flots nourriciers, se tarissent, l’ensemble nodal - admission, transformation, émission - se tarit lui aussi.

6Il faut, si les idées ci-dessus s’avèrent recevables, améliorer la définition fondamentale de B.J.L. Berry [1964] "La ville est un système dans un système de villes", et dire pour la compléter provisoirement : « Un système urbain est une nodalité à structure hexagonale de flux, localisée dans un système de flux à nodalités réticulées ». Le plan adopté explicite cette proposition.

1. Construction et lecture géographiques d’un schéma hexagonal sagittal des flux constitutifs d’un géo-anthroposystème urbain.

2. Hexagone sagittal des logiciens et des mathématiciens : conditions à respecter dans l’élaboration d’un schéma archétypal d’un géo-anthroposystème urbain.

3. Proposition d’un archétype géo-anthroposystémique urbain : une association de la structure logique hexagonale d’Y. Béziau et de la logique processuelle ternaire de S. Lupasco.

1. Construction et lecture géographique d’un schéma hexagonal sagittal des flux constitutifs d’un géo-anthroposystème urbain

7Nous partirons, pour expliquer la construction hexagonale d’un géo-anthroposystème urbain, de concepts géographiques connus à des degrés divers ; certains d’entre eux seront directement affectés aux sommets de l’hexagone : le site, la situation, la population, la forme, la surface et le volume. D’autres seront induits par les interrelations apparaissant entre les sommets, comme la densité, le débit et l’arrangement. Au fur et à mesure du développement du texte, nous préciserons l’utilisation de ces termes et les notions qu’ils recouvrent lorsqu’on leur intègre le temps, associant le processus à la structure.

8L’idée avancée au départ de cette réflexion est la suivante : la disposition de ces concepts aux six sommets de l’hexagone, telle qu’elle est représentée sur la figure 1, est obligatoire : nous la retrouvons dans toute trajectance urbaine médiale, au sens d’A. Berque [1990] ; et, de ce fait, elle traduit la résilience spatio-temporelle du déploiement de n’importe quelle ville, dans n’importe quel champ urbain, faisant penser à un archétype.

9La disposition hexagonale géographique (figure 1), proposée pour clarifier et conforter ce qui vient d’être avancé, s’appuie sur l’hexagone théorique conçu en logique par R. Blanché [1966], analysé quant à son pouvoir homologique par J.-Y. Béziau [2012].

10En effectuant ces choix, nous sommes amenés à nous poser deux questions :

• Que signifie géographiquement cette disposition des 6 concepts aux 6 sommets de l’hexagone ?

• Qu’apporte la construction de cet hexagone géographique à la compréhension du système-ville ?

11C’est à ces deux interrogations que nous allons tenter de répondre.

1.1. Construction d’un hexagone urbain géographique

12Élaborons maintenant pas à pas un hexagone urbain géographique correspondant au schéma proposé par les logiciens mais sans faire appel, à ce stade, à la réflexion purement logique dont il est issu. Nous utiliserons pour cela la figure 1 et le codage géographique, en partant d’une des observations de base la plus concrète et la plus générale pour tous les spécialistes de la discipline : la population urbaine, PU.

1.1.1. Population et situation : la demande urbaine spatio-volumique

1.1.1.1. La population et ses demandes d’espaces volumiques et surfaciques

1.1.1.2. La situation et ses demandes d’espaces volumiques et surfaciques

17En effet, la croissance de la population d’une ville quelconque, nous le savons depuis B.J.L. Berry [1964], provient du fait qu’elle se comporte comme un système dans un système de villes ; sa population, pour croître, a besoin d’échanger avec l’ensemble du système urbain, c’est-à-dire d’utiliser au mieux sa situation ST dans le champ urbain auquel elle appartient. Cette situation ST représente donc une des ouvertures spatio-temporelles du système-ville dans le réseau urbain.

19On constate donc qu’il existe une imbrication physique inévitable entre le site et la situation (ce qui induit qu’on ne peut les traiter séparément), pouvant se schématiser de la même manière que les effets des accroissements de la population (figure 3).

20Ce deuxième schéma « cause ST → effets VO et SF », divergeant à partir de ST, dit simplement que VO, volume généré par ST, implique qu’il occupe la surface correspondante SF. Ceci découle, comme le schéma des effets de la population PU sur le site SP, d'une simple réflexion géographique, qui ne réclame aucun recours à une logique extérieure à la discipline. La jonction volume-surface est ainsi, également, générée par une dynamique observable externe que résume le concept de situation.

1.1.1.3. Schéma global de la demande surfaço-volumique

21Les deux schémas réunis, celui de la population et celui de la situation, autorisent une avancée qui ouvre sur le fonctionnement spécifique interne de l’hexagone géographique urbain : l’un et l’autre fabriquent différemment, mais ensemble, le volume total réclamé par le processus spatio-temporel du déploiement urbain, ce qu’exprime la figure 4.

22Cette figure représente la genèse des deux volumes. On remarque, cependant, que le site, SP, et la surface, SF, alors qu’elles s’associent au même type de demande spatio-volumique, VO, ne sont pas prises en compte comme telles par cette schématisation ; il est donc nécessaire de proposer une disposition qui traduise cette totalité volumique demandée (figure 5).

1.1.2. Site et surface : l’offre urbaine périsurfacique

24La mise en correspondance de l’offre des surfaces-plans SF, prises sur le site périsurfacique SP, s’effectue par un nouvel intermédiaire conceptuel, la forme FO, ici la forme urbaine, évoluant en fonction des demandes spatio-temporelles successives de PU et ST, réunies dans VO comme cela a été montré (figure 5). On comprend l’introduction de ce concept si l’on considère qu’une forme urbaine est caractérisée par les contours dynamiques surfaço-volumiques du géo-anthroposystème urbain dont la croissance, aux limites écologiques floues, est générée par des forces intérieures sociétales structuro-processuelles. Cette définition de la forme urbaine, interne et externe, correspond ainsi à une synthèse des travaux de W. d’Arcy Thompson [1917, 1948], J.-P. Gibbs [1961], K. Lynch [1954], et F.P. Medda et al. [1998]. Le concept de géo-anthroposystème [Reymond, 2011] que nous y introduisons précise que la forme (morpho, μορφο−) provient d’une action humaine (anthropo, ανθρωπο−) au choix plus ou moins contraint parce qu’impérativement liée à l‘offre physique terrestre (gé, γη). Nous pouvons ainsi qualifier la forme urbaine de système géo-anthropomorphologique dynamique.

1.1.3. Offre et demande : l’hexagone, une clôture opérationnelle

26L’offre urbaine périsurfacique, répondant aux demandes spatio-volumiques de PU, VO et ST, est donc composée de SP, FO et SF, qu’il convient de réunir rattachant demande et offre. La construction du contour de l’hexagone (figure 7) est désormais achevée et l’alternance du sens des flèches selon les sommets considérés apparaît clairement. Les indications sagittales traduisent une divergence à partir de PU, ST et FO, et une convergence vers SP, VO et SF. Ainsi, on constate que la forme FO, qui contient le bâti urbain, est obligatoirement un (des) morceau(x) de la surface SF du site SP d’extension, une combinaison de l’une et de l’autre conçue pour répartir en surface, au mieux de la population, le volume total VO, nécessaire à la cohabitation fonctionnelle de PU et de ST.

27L’hexagone géographique non seulement reproduit, au niveau de la ceinture sagittale, celui des logiciens (figure 1), mais il représente aussi ce que F. Varela [Maturana, Varela, 1994] désigne ainsi comme la clôture opérationnelle d’un système ouvert : PU, FO, ST, nous l’avons signalé, sont les portes spatio-temporelles, les ouvertures qui expliquent que cette ceinture hexagonale agit comme un filtre, protégeant, nourrissant et nettoyant en même temps le système-ville dans le système de villes.

28Nous allons examiner maintenant le fonctionnement interne de ce système-ville permis par le déploiement de cette ceinture opérationnelle, en introduisant les diagonales de l’hexagone, afin d’aborder tous les apports géographiques de cette disposition.

1.2. Apports géographiques de la disposition hexagonale

1.2.1. Clôture opérationnelle, diagonales et centre de gravité de l’hexagone

30Les trois diagonales précitées se coupent en un point unique, le centre de gravité de l’hexagone, et constituent ainsi trois axes de symétrie. Géographiquement, ces diagonales sont interprétables.

1.2.2. Clôture opérationnelle et triangles de la demande spatio-volumique et de l’offre périsurfacique

32D’autres caractéristiques, extrêmement importantes, se dégagent de l’examen des informations présentes dans l’hexagone ; l’une d’elles, en particulier, a trait aux jonctions suggérées par le tracé des liaisons population-situation et site-surface, qui deviennent les bases d’une part des triangles [PU-FO-ST] et [SP-VO-SF] (figure 8.2) qui sont imbriqués, d’autre part des triangles [PU-VO-ST] et [SP-FO-SF]. Ces jonctions indiquent que les flux liés de la population PU et de la situation ST entraînent un accroissement de la demande d’espace, c’est-à-dire de constructions volumiques VO, constituant le triangle de la demande [PU-VO-ST] ; ceci implique, dans la majorité des cas, une multiplication en hauteur VO, décidée par l’action humaine, FO, d’une partie des surfaces-plans SF du site périsurfacique SP sur lequel reposent ces volumes ; [SP-FO-SF] correspond au triangle de l’offre surfacique à dynamisme arithmétique.

33L’hexagone regroupe schématiquement les exigences des spécificités de ces deux dynamismes représentés par chacun des deux triangles : multiplicatif pour la demande virtuelle d’espace [PU-VO-ST], arithmétique pour l’offre surfacique [SP-FO-SF]. Cet ensemble doit être réglé au fur et à mesure de son déploiement pour permettre de réguler les débits de flux nécessaires au fonctionnement surfacique du triangle, celui de l’offre, c’est-à-dire les écoulements intra-urbains propres à la densité de la ville considérée (figure 8.2).

34Le périmètre de l’hexagone, sa forme schématique, interprété au sens de F. Varela [1994] comme on l’a indiqué, est la clôture opérationnelle de n’importe quelle ville, quelle que soit son échelle. Il s’agit en effet d’un système urbain spatio-temporel ouvert ; ouvert, c’est-à-dire augmentant son ordre en même temps que son empreinte écologique et sa structure dissipative. Les deux concepts de population urbaine PU et de situation ST représentent les ouvertures par lesquelles pénètrent et agissent séquentiellement les flux moteurs du système-ville : flux démographiques et flux économiques. Ces derniers entraînent l’action d’une troisième ouverture de l’hexagone urbain, celle de l’action humaine, créatrice plus ou moins avisée d’une forme FO, résultant d’une part de la répartition des flux moteurs sur le site, et d’autre part de la protection physique, homéostatique et homéorhésique, des populations face à l’environnement naturel spécifique de la ville considérée.

1.2.3. Clôture opérationnelle hexagonale et structure processuelle interne

36La structure processuelle interne du schéma géographique hexagonal fait donc apparaître l’agencement de tous les triangles qui sont à la fois supports et résultats des mouvements interactifs constitutifs du fonctionnement de l’hexagone ; ce que nous allons approfondir maintenant.

1.2.3.1. Les triangles imbriqués [demande – offre] et [possibilités – contraintes]

37Nous venons de voir que le volume VO résume le triangle de la demande virtuelle d’espace et la forme FO le triangle de l’offre physique. Mais ces deux triangles sont totalement imbriqués par leurs bases PU-ST au triangle des possibles et SP-ST au triangle des contraintes, comme nous l’avons déjà souligné. Or, si le triangle des possibles, triangle des flux, exprime les actions combinées de la matière vivante, le triangle des contraintes, lui, a trait à la matière inerte terrestre utilisée à partir du site SP et transformée en surfaces SF géométriques planes pour répondre à la demande spatio-volumique des constructions VO. Ce type de surfaces répond, en effet, à une nécessité incontournable : Homo geographicus, obligé de se déplacer pour vivre, est contraint – il n’a absolument pas d’autre choix – de se mouvoir et de construire contre la pesanteur et avec elle. Pour cela, le site SP, quels que soient son modelé et son adéquation géohistorique aux transformations de la situation ST, doit être débité en ces empilements plus ou moins importants de surfaces-plans SF qui, arrangées sur son étendue, inscrivent au sol cette matière inerte dure (black and mortar) que l’on appelle la ville. Cela est valable pour n’importe quelle agglomération urbaine de la planète.

38De ce fait, la diagonale |VO-FO|, qui lie la demande d’espace VO du processus urbain en cours à la forme FO qu’il faut sans cesse continuer à modifier pour y répondre, s’impose comme l’épine dorsale de l’hexagone. Elle associe donc le triangle des possibles [PU-FO-ST], résumant localement l’action de la ville dans le champ urbain, au triangle des contraintes [SP-VO-SF], celui de l’offre périsurfacique correspondante du site. Pour ce faire, l’arrangement du site périsurfacique SP en surfaces-plans SF doit être partagé entre les demandes spatio-volumiques de la population PU et celles de la situation ST ; ce qui nous amène à examiner le rôle médian du carré {PU, ST, SF, SP}.

1.2.3.2. Le carré du partage physique de l’offre surfacique par l’action humaine

39Dans ce but, trois schémas très simples mettent en relief l’ensemble {PU, ST, SF, SP} et permettent de montrer que la structure de l’hexagone géographique prend bien en compte cette incontournable imbrication des triangles (figure 9).

40Ils mettent, en effet, en évidence les informations apportées par les deux liaisons diagonales présentes à l’intérieur du carré {PU, ST, SF, SP}.

411. L’impossibilité de ne pas transformer les diagonales en liaisons sagittales : elles présentent, en les schématisant, l’action antagoniste partagée de PU (diagonale |PU-SF|) et de ST (diagonale |ST-SP|). Autant dire de suite que cette obligation concrète posera, comme nous le verrons, un problème de fond avec l’hexagone logique de R. Blanché et J.-Y. Béziau.

422. La cohésion générale du contenu intérieur de l’hexagone géographique : PU et ST, têtes des diagonales, sont, avec SP et SF, respectivement, les bases du triangle des possibles et de celui des contraintes. Nous retrouvons, à l’examen de la structure de ce quadrilatère, la même information que celle de la diagonale |VO-FO|. Associées, ces trois diagonales organisent théoriquement, autour du centre de gravité, l’ensemble des processus qui président au développement spiralaire [Moriconi-Ebrard, 1993 ; 1994 ; Pumain, 2009] de l’objet urbain en surfaces-plans périsurfaciques (surfaciques, aériennes, souterraines) de plus en plus étendues.

43Quelle que soit la forme spécifique de n’importe quelle agglomération, cette mise en place de combinaisons de surfaces-plans est obligatoire puisqu’elle est la réponse incontournable, la seule et unique réponse, qui nous soit permise, face à l’universalité et à l’ubiquité de la gravité terrestre. De ce fait, il s’agit en ce qui concerne l’édification des villes, par l’action humaine, d’une forme qui, comme l’écrivait W. d’Arcy Thompson [1917-1994] "exprime la structure d’un phénomène", ici du phénomène urbain qu’on peut déjà, puisqu’elle est partout inévitable, qualifier d’archétypale.

Partie 1 : conclusion

44L’ensemble hexagonal, clôture opérationnelle et imbrication des triangles des possibles et des contraintes, présente donc une cohésion non seulement structurelle, mais également processuelle.

46La structure processuelle des flux de l’hexagone archétypal urbain, que nous considérons maintenant davantage comme un axiome qu’un postulat, semble reproduire, l’hexagone de R. Blanché et J.-Y. Béziau (figure 1). Ceci nous conduit à l’interrogation suivante : avons-nous respecté les conditions imposées à la construction de ce schéma par les logiciens et les mathématiciens, conditions permettant de nous prévaloir des « pouvoirs de l’hexagone » ? C’est ce que nous allons examiner dans la deuxième partie.

2. L’hexagone sagittal des logiciens et des mathématiciens : des conditions à respecter dans l’élaboration d’un schéma archétypal urbain

47La disposition hexagonale des concepts du système-ville, qui vient d’être proposée, s’appuie, nous l’avons dit, sur le schéma logique de R. Blanché et J.-Y. Béziau. L’hexagone géographique, construit et interprété avec nos connaissances, semble tout à fait acceptable sur le plan disciplinaire. Peut-on considérer que les propriétés de l’hexagone logique peuvent être également des propriétés que l’hexagone construit possède et qu’apportent-elles de plus à notre compréhension géographique ? Pour répondre à cette double interrogation, il nous semble indispensable de connaître les caractéristiques de cet hexagone logique.

49Sur la figure 10.2, apparaît ainsi, en couleurs saturées, le classique carré logique avec ses dénominations usuelles : A, E, les contraires ; I, O, les subcontraires ; A, O et E, I les contradictoires et A, I et E, O les subalternes. Que signifient ces qualifications ? Comment s’insèrent-elles dans l’hexagone ? C’est ce que nous allons aborder progressivement en partant, comme R. Blanché et J.-Y. Béziau, de la notion d’opposition.

2.1. Triangles des oppositions : contraires et subcontraires

50Contraires et subcontraires, de même que les contradictoires, sont des termes qui expriment des oppositions qui peuvent s’exercer entre des propositions, des concepts… Le vocabulaire de base sur lequel nous nous appuyons est essentiellement établi pour le cas des propositions ; de ce fait, nous serons conduits à introduire des nuances d’importance inégale lors du transfert des notions de l’hexagone logique à l’hexagone géographique. Les trois types d’opposition cités ne possèdent pas les mêmes propriétés ni la même force ; aussi, dans un premier temps nous allons nous intéresser aux contraires et ensuite aux subcontraires qui leur sont directement liés.

2.1.1. Des oppositions fortes : le triangle des contraires

51En suivant R. Blanché et J.-Y. Béziau, la construction de l’hexagone débute par ce que ces auteurs appellent le triangle des contraires, formé par les lettres [A-E-Y]. Les sommets eux-mêmes sont dénommés les contraires, les liaisons les contrariétés. Les côtés (donc les liaisons) du triangle expriment des oppositions entre chaque paire de sommets ; en logique, les oppositions contraires sont caractérisées par la propriété d’incompatibilité (figure 11). Incompatible signifie que deux propositions attachées aux sommets ne peuvent être vraies en même temps, mais que deux propositions peuvent être fausses simultanément. Pour comprendre concrètement la signification de ce terme dans le triangle logique, prenons les propositions de l’exemple mathématique retenu.

Soit 2 nombres quelconques a et b. Pour les comparer, 3 propositions sont possibles : a < b ; a = b ; a > b. Affectons ces opérations respectivement aux sommets A, Y, E.

Comparons les propositions attachées aux sommets A et E : soit a < b et a > b ; les deux sont impossibles en même temps. Elles sont incompatibles. Mais les deux peuvent être fausses en même temps. En effet, si a = b en Y, alors A et E sont fausses simultanément. Les comparaisons peuvent être réitérées entre chaque paire de sommets du triangle, les conclusions seront identiques.

Cette position tierce apparaît clairement dans l’exemple mathématique : entre a < b (en A) et a > b (en E), il existe une proposition « intermédiaire » (en Y) : a = b. On conserve, cependant, le fait que les propositions des sommets sont incompatibles deux à deux, et donc ne peuvent être vraies en même temps.

54Ainsi, le triangle des contraires, avec une seule réponse positive possible entre deux propositions, mais deux solutions négatives envisageables en même temps, exprime une opposition forte. Précisons que nous avons utilisé jusqu’à présent les qualificatifs usuels de « vrai » ou « faux », car il s’agit de propositions. Mais comme l’écrivent les deux auteurs déjà cités, et comme nous l’avons signalé précédemment, dans l’hexagone, on peut aussi bien concevoir les oppositions comme des concepts, des actions, etc. Cependant, la notion d’opposition doit, alors, être repensée en réfléchissant à la jonction des concepts deux à deux.

55Le triangle des contraires correspond donc à des oppositions strictes. Il engendre, dans l’hexagone, d’autres oppositions, plus faibles, les « subcontraires ».

2.1.2 Des oppositions faibles : le triangle des subcontraires

56La notion de subcontraire est liée à la précédente. On construit un triangle dual du triangle primal des contraires, de taille égale, à partir des sommets de ce dernier. On obtient le triangle [IOU] qui permet d’identifier désormais tous les sommets de l’hexagone. Le terme de subcontraire qualifie les sommets, celui de subcontrariété, les liaisons (figure 12).

57Comme pour le triangle des contraires, les jonctions (côtés du triangle) expriment des oppositions entre deux sommets mais, en logique, la propriété qui les caractérise est la coexistence, ce qui signifie que les propositions des deux sommets peuvent être vraies en même temps. La coexistence est donc une compatibilité deux à deux et se traduit par le fait que, de deux choses, l’une au moins est vraie ; mais elles ne peuvent être fausses ensemble. On considère alors que la coexistence exprime une opposition faible.

Reprenons l’exemple des propositions numériques avec deux nombres quelconques a et b. On affecte chacun des sommets du triangle dual des opérations intermédiaires de celles des sommets du triangle primal, définissant ainsi trois nouvelles propositions, soit : en I a ≤ b, en O a ≥ b, et en U a ≠ b.

Si on compare les propositions attachées aux sommets I et O, on voit que les propositions, a ≤ b et a ≥ b, peuvent être « vraies » en même temps puisqu’on a la possibilité d’avoir a = b. Mais elles ne peuvent être fausses simultanément ; une des propositions ne peut être fausse si l’autre est déjà fausse.

59Le troisième sommet U se présente en solution tierce, comme Y dans le triangle primal. Il possède les mêmes caractéristiques que les deux autres sommets du triangle dual, I et O.

60Disposant désormais des deux triangles, un primal et un dual, avec leurs propriétés, il importe maintenant d’analyser leurs interrelations, ce qui va nous conduire à reconstituer le carré classique comme l’a fait R. Blanché, et à achever le tracé de l’hexagone.

2.2. L’hexagone logique : triangles, carrés et contradictoires

61La construction des deux triangles aboutit à ce stade à connaître les 6 sommets de l’hexagone et par suite le carré logique.

2.2.1. La reconstruction du carré logique d’Apulée

64La table de vérité associée à cet opérateur logique montre, par un zéro, que seule l’option où p est vraie et q est fausse est impossible, ce qui se traduit de manière claire sur le diagramme de Venn associé (figure 13).

2.2.2. Du carré logique à l’hexagone de R. Blanché et J.-Y. Béziau

65Complétons maintenant la construction du pourtour de l’hexagone en joignant les différents sommets par des traits.

66Chacun de ces traits constitue une subalternité comme A-I et E-O dans le carré logique et exprime une implication : ils sont donc orientés. On voit ainsi que A implique U et que E implique également U.

Soit, dans l’exemple, a < b en A, implique a ≠ b en U, et a > b en E implique aussi a ≠ b en U.

En Y, a = b implique a ≤ b (en I) et a ≥ b (en O).

68On constate que le rôle des sommets de la ceinture hexagonale alterne : à un sommet subalternant, aux flèches divergentes, succède un sommet subalterné, avec flèches convergentes. Les sommets subalternants constituent les sommets du triangle des contraires, les sommets subalternés ceux du triangle des subcontraires. Divergence et convergence possèdent des propriétés logico-mathématiques.

69= La divergence montre qu’un sommet possède, en même temps, une caractéristique spécifique des deux sommets voisins : elle correspond donc à la conjonction en logique ou encore à l’intersection en mathématique (figure 15).

En A, la proposition a < b est bien la conjonction (ou intersection) des propositions a ≤ b en I et a ≠ b en U.

71Les sommets du triangle des contraires sont donc caractérisés par une conjonction de leurs voisins et correspondent à un produit logique.

74À ce stade, tous les sommets, toutes les liaisons périphériques de l’hexagone ainsi que les triangles sont identifiés et caractérisés. Cependant, rien n’a été précisé au sujet des diagonales de l’hexagone.

2.2.3. Diagonales et contradictoires : un blocage logique

75Jusqu’à présent, en effet, les diagonales n’ont pas été utilisées. On constate que chaque diagonale associe à ses extrémités un produit et une somme, donc une conjonction et une disjonction inclusive. Or, en logique classique, une conjonction et une disjonction ne peuvent être « vraies » en même temps. Les deux sommets sont les contradictoires et sont liés par une relation de contradiction, c’est-à-dire que les deux composantes de la liaison ne peuvent être vraies en même temps et que, de plus, elles ne peuvent être fausses en même temps. C’est obligatoirement l’une ou l’autre. La relation de contradiction (figure 16) correspond directement à une alternative stricte, c’est-à-dire à une disjonction exclusive qui signifie « soit l’un, soit l’autre, mais jamais les deux ensemble », comme nous l’avons signalé plus haut.

Dans l’exemple mathématique, en comparant les propositions de A et de O, on voit qu’il est effectivement impossible que l’on ait en même temps a < b (en A) et a ≥ b (en O). Il faut nécessairement qu’on ait l’un ou l’autre : A et O sont bien des contradictoires.

77La contradiction est une opposition diamétrale et aucune position tierce n’y est possible dans le cadre d’une logique binaire. Dans la théorie classique, comme dans travaux de R. Blanché et de J.-Y. Béziau, les contradictoires ne permettent pas d’aller plus loin, même avec une pensée ternaire trichotomique. Or, la logique suggérée par la ceinture hexagonale invite à donner aux contradictoires une signification différente : les trois disjonctions qu’elle supporte sont inclusives. Un examen des tables de vérité montre alors qu’une liaison en tiers inclus est logiquement possible entre conjonction et disjonction (car inclusive).

Partie 2 : conclusion

78La jonction entre le carré logique d’Apulée, bien connu, et l’hexagone logique de R. Blanché et J.-Y. Béziau est maintenant achevée et chaque terme est explicité, accompagné de ses propriétés, comme nous venons de le voir à propos des ouvertures non abouties qu’il comporte. La construction de l’hexagone met en évidence des propriétés non présentes dans le carré, en particulier pour la ceinture hexagonale avec l’alternance de convergences et de divergences. Elle permet d’aller au-delà de la dichotomie en introduisant la notion de solution « tierce », et donc une tripartition. Cependant, si cet hexagone dégage les interrelations entre les sommets et donc la structure de l’ensemble, la logique reste une logique binaire. De plus, même si les spécificités de chaque type de liaison sont relativement aisées à établir pour des propositions, en ce qui concerne les concepts, les actions, etc. dans le cas d’une application concrète à un problème donné – ici, un problème géographique – le transfert homologique est loin d’être évident, plus spécifiquement pour les contradictoires qui constituent un blocage logique comme nous venons de le souligner.

79Avant de procéder à un transfert de la logique hexagonale à la géographie, et en particulier à la géographie urbaine, il faut bien se rappeler que les définitions et caractéristiques logiques que nous venons de présenter portent sur des propositions, et des propositions abordées sur le plan théorique. En suivant R. Blanché et J.-Y. Béziau, il semble que ces caractéristiques soient également acceptables pour des concepts ou des actions mais, comme nous l’avons signalé au début de cette partie, sans doute en introduisant des nuances, peut-être même des modifications partielles. De plus, notre domaine pour le transfert est concret, empirique, voire expérimental ; il faudra donc s’interroger sur les possibilités d’utiliser des notions énoncées sur le plan théorique pour traduire des concepts empiriques et concrets.

80Dans tous les cas, ceci nous amène nécessairement à repenser les termes que nous avons retenus pour identifier les différents sommets dans la première partie, en cherchant le critère sous-jacent, comme le conseillent J.-Y. Béziau [2012] et F. Nicolas [2015], qui justifiera l’association des concepts dans un hexagone logico-géographique, et par suite la confrontation de la géographie et de cette logique.

81Enfin, soulignons encore que cette réflexion sur le type de transfert n’est nullement destinée à trouver des solutions miracles explicatives ; elle a simplement – et surtout – pour but de permettre de mieux organiser notre pensée et de mettre en évidence d’éventuelles pistes d’analyse, car ainsi que l’écrit J.-Y. Béziau [2012] : "The hexagon can be used not only to organize our thought but to create meaning".

3. L’union de la trichotomie de J.-Y. Béziau et de la ternarité processuelle de S. Lupasco : un archétype urbain hexagonal à mémoire33

3.1. À la recherche de concepts logico-géographiques

83Il faut d’abord, pour suivre rigoureusement les logiques exposées, rappeler, en le précisant, le domaine dont nous pensons qu’elles permettent de mieux comprendre la structure : il s’agit ici de celui de la géographie urbaine, plus exactement de ce géo-anthroposystème urbain complexe qu’on appelle ville. Ceci impose de construire, au-delà des définitions initiales classiques, des définitions géographico-logiques strictes des concepts qui doivent autoriser la comparaison et dire si celle-ci constitue une homologie acceptable ou une hétérologie absolue.

84Le premier concept doit, et indiquer une appartenance indiscutable au domaine, et conduire la construction de l’hexagone ; sans lui, l’hexagone ne peut exister. Cette obligation explique que le A logique corresponde au PU, c’est-à-dire à la population urbaine en géographie, et non la simple population, concept statistique qui, comme tel, peut s’appliquer à n’importe quelle zone peuplée de la planète. PU, entrée géographique et logique de l’hexagone urbain, doit obligatoirement posséder une correspondance géographico-logique avec les cinq autres concepts présentés dans la première partie. J.-Y. Béziau et F. Nicolas insistent tous les deux sur ce point précis qu’ils considèrent comme essentiel.

85Pour qu’une formalisation réunissant les deux disciplines soit possible, il est, en effet, indispensable que cette correspondance soit également cohérente terme à terme (figures 17.1 et 17.2, hexagone logique et hexagone géographique).

ST, la situation, qui permet à PU de vivre et de se développer grâce au bilan économique de ses échanges avec les réseaux du champ urbain, correspond au E logique ; ce qui nécessite donc de savoir si ses liaisons géographiques concordent avec les fonctions logiques qu’on attribue à ce sommet.

Nous savons que PU et ST réclament une série de surfaces-plans SF, sommet logique O, pour s’installer, cela d’une manière séparée qui les associe obligatoirement, spatialement et localement, les unes aux autres, comme nous l’avons expliqué en première partie. Ces surfaces dont on parle sont nécessairement des surfaces-plans, absolument indispensables sous cette forme aux déplacements humains, et ne peuvent qu’être prises et installées sur les modelés géophysiques du site périsurfacique SP, sommet logique I.

Cet aménagement de SP et de SF doit répondre au déploiement spatio-volumique de PU et de ST (A et E en logique) que nous dénommons VO (soit le sommet U de l’hexagone logique) qui correspond à la demande en constructions résidentielles et non résidentielles ainsi qu’aux voies de service et de circulation.

86L’ensemble des dénominations avancées jusque-là pour vérifier la validité de l’homologie de l’hexagone géographico-logique en construction apparaît bien correspondre aux exigences du domaine étudié, c’est-à-dire que chacune peut être considérée comme une extension de l’entrée compréhensive fondamentale de l’hexagone : PU.

• 34 Insistons sur le choix du concept FO qui est un excellent exemple du respect fondamental de l’oblig (...)

Cela ressort d’autant plus que toute modification du géo-anthroposystème urbain repose sur l’action humaine, vecteur des transformations de l’offre périsurfacique en surfaces-plans, indispensables à l’agencement des constructions. Ce qui se traduit au fur et à mesure du déploiement urbain par une succession adaptée d’enveloppes morphologiques dont découlent les formes spatio-temporelles de la ville, FO correspondant au Y logique34.

87Les six sommets de l’hexagone urbain sont identifiés avec leur signification logico-géographique ; en simplifiant un texte de R. Blanché [1966, p. 11], nous pouvons écrire que chaque concept, appartenant au domaine étudié, se trouve ainsi rattaché à un groupe bien défini de cinq autres concepts, par des liens très serrés, formant alors un ensemble cohérent.

88Il convient maintenant d’étudier si le transfert homologique est réellement possible entre l’hexagone logique de R. Blanché et J.-Y. Béziau et l’hexagone géographique présenté en première partie, précisé désormais au niveau de ses dénominations.

3.2. Le transfert logique-géographie : une homologie partielle

90La question qui se pose est de savoir s’il existe une homologie, et, par suite, si cet assemblage logico-géographique dans sa suite ordonnée hexagonale apporte des connaissances supplémentaires à notre discipline.

91Pour répondre, il est nécessaire d’effectuer des comparaisons par types de liaisons, donc par étapes, en commençant par l'enveloppe, comme nous l’avons fait en construisant l’hexagone géographique en première partie. Débutons donc avec l’entrée A-PU et demandons-nous si les flèches de la ceinture périphérique, exprimant une implication en logique, ont également cette même signification en géographie.

3.2.1. La ceinture hexagonale : une homologie logico-géographique périphérique

92La question de l’homologie entre la ceinture logique trichotomique de J.-Y. Béziau et la ceinture logico-géographique requiert d’abord qu’on examine si celle-ci joue le même rôle dans les deux disciplines. Ensuite, on s'interrogera d’une manière identique sur la correspondance logique des concepts de divergence et de convergence ; comme tels, ils constituent des nouveautés en géographie urbaine et il est nécessaire de bien réfléchir à leur signification logico-géographique.

3.2.1.1. Disposition globale de la ceinture : une homologie de forme et de structure

94On sait qu’en logique une liaison sagittale entre deux sommets indique que le sommet de départ de la flèche commande le sommet d’arrivée de sa pointe. Le vocabulaire logique parle d’implication, c’est-à-dire d’une conséquence inéluctable qui s’exprime, nous le rappelons, comme suit : Si… ce sommet est là … Alors celui qui le suit immédiatement en est obligatoirement le résultat. Son existence est enveloppée dans les plis (in plicare) du premier.

95Ainsi dans la ceinture hexagonale, trois sommets en commandent trois autres : A, E, Y sont des « subalternantes » (« Si … ») qui impliquent I, O, U, les « subalternées » (« Alors »).

96L’examen de l’hexagone logico-géographique confirme bien les orientations des flèches des deux ceintures hexagonales (logique et géographique) : on peut donc supposer que leurs sommets commandent les mêmes implications que les concepts logiques associés. On peut les lire comme des sommets subalternants et subalternés. En utilisant les équivalences de concepts, il est clair que, d’une part, A et PU, E et ST, Y et FO présentent la même homologie de sommets subalternants (qui commandent), à flèches divergentes ; et, d’autre part, I et SP, O et SF, U et VO montrent l’homologie correspondante de sommets subalternés (qui sont commandés) à flèches convergentes.

97Il existe, nous l’avons vu, un rapport d’implication entre subalternantes et subalternées, ce qui veut dire que A-PU, E-ST, Y-FO dans le cadre des géo-anthroposystèmes urbains impliquent nécessairement, logiquement et géographiquement, une jonction inévitable avec I-SP, O-SF, U-VO.

98La logique confirme bien, en ce qui concerne la ceinture hexagonale, l’idée de clôture opérationnelle proposée par F. Varela, indiquée en première partie, comme filtre entre un organisme – ici la ville – et son environnement – ici, le champ urbain.

Il y a donc effectivement une homologie de forme et de structure entre la logique et la géographie en ce qui concerne la disposition des sommets et des orientations (figure 17).

99Peut-on prolonger cette analyse ? Nous n’avons, en effet, encore rien dit sur la signification logique de la divergence et de la convergence sagittales, hormis leur nécessaire coordination formelle (Si … Alors). Examinons leur contenu logique.

3.2.1.2. Du constat à la signification logico-géographique des divergences-convergences

100En logique, des flèches divergentes expriment, schématiquement, une conjonction (ou intersection en mathématique), celle qui existe entre les parties des deux sommets qu’elle met en rapport. Les sommets avec flèches divergentes possèdent en même temps une caractéristique de chacun de ses deux voisins. Cette dernière possède donc la propriété de les joindre en un produit logique qui les associe l’un à l’autre. La forme, Y-FO, ajoute, au fur et à mesure que ses enveloppes se succèdent, les parties du site périsurfacique, I-SP, qui sont transformées en surfaces-plans, O-SF, étalées ou superposées, pour construire un géo-anthroposystème urbain. La forme Y-FO est donc à la fois cause et résultat des transformations imposées à la nature par les hommes. En suivant A. Berque [1990], on peut écrire que c’est une perpétuelle suite de médiances interagissant suivant une trajectance géohistorique propre à chaque ville.

101Les flèches convergentes correspondent, elles, à une disjonction inclusive et par suite à une somme logique : le sommet d’arrivée possède à tout moment l’une ou l’autre des propriétés de ses voisins ou l’une et l’autre en même temps. Seul un arrêt total des deux origines sagittales peut interrompre, comme l’indique bien la table de vérité (figure 12), la succession des associations nourrissant la somme du sommet terminal (inclusion). Cette somme logique caractéristique de la disjonction inclusive se retrouve dans la somme géographique définie en première partie. Précisons ces concepts logico-géographiques : présentent-ils des contradictions ou le transfert homologique demeure-t-il valable ?

102A-PU et E-ST, sommets en conjonction logique, sont les origines qui participent en disjonction inclusive à la somme logique constitutive de U-VO. Or, nous savons que VO représente le volume total issu de celui nécessaire à l’ensemble de la population urbaine ajoutée à celui de la somme réclamée par la localisation de la situation. La parenté homologique A-PU, E-ST, U-VO logico-géographique s’avère donc parfaitement acceptable, elle n’introduit jusque-là aucune contradiction. De ce fait, la logique apporte un plus à la géographie :

On peut dire maintenant que le constat géographique de liaisons orientées des sommets PU, ST, FO vers SP, SF et VO correspond bien à une implication et, insistons, que cette liaison est inhérente, impérative et inévitable.

103Cependant, si l’analyse de la ceinture entre voisins montre bien qu’il existe une homologie, lorsqu’on s’intéresse aux sommets proches de deuxième ou troisième ordre, on ne peut rien dire à ce stade en logique. Or, on sait, en géographie, que des liens existent entre ces sommets, comme le montre par exemple A-PU et E-ST. Dans leur rôle de subalternantes, ils s’imposent à I-SP et O-SF, c’est-à-dire qu’ils transmettent chacun de leur côté une partie de la somme logique U-VO qu’ils représentent : géographiquement les volumes de constructions nécessaires. Si l’on suit les indications de la ceinture opérationnelle, en simple voisinage, la population urbaine ne serait liée qu’au site périsurfacique, I-SP, la situation ne réclamerait que des surfaces, O-SF.

104Pour comprendre ces constats, nous devons pousser plus loin le décalque homologique et nous demander si les liaisons internes qui joignent les sommets de la ceinture périphérique permettent d’exprimer, par exemple, que situation et population urbaine demandent, et l’une et l’autre, que des surfaces-plans soient aménagées sur le site périsurfacique. Nous allons donc analyser successivement les différentes formes géométriques internes, à savoir les triangles, le carré et les diagonales principales (figure 18).

3.2.2. Les triangles imbriqués : une homologie logico-géographique structurelle

105On retrouve facilement les oppositions (contraires et subcontraires) de R. Blanché et J.-Y. Béziau, avec les triangles géographiques [PU, ST, FO] et [SP, SF, VO]. Ils renforcent l’idée de la validité d’un transfert homologique logico-géographique. En effet, selon la logique développée par ces auteurs, le triangle des contraires [A, E, Y] associe les sommets subalternants, ces trois « commandes » de l’ensemble des conjonctions de la périphérie hexagonale. Le triangle [I, O, U], triangle des subcontraires, réunit, quant à lui, les sommets subalternés, c’est-à-dire dépendant du triangle précédent, en disjonction inclusive. Cette imbrication triangulaire logique « commandant-commandé » correspond bien à l’imbrication des triangles logico-géographiques ; mais cette imbrication correspond encore mieux au concept de médiance, proposé par A. Berque :

• 37 Antagoniste : « forces opposées », la terre ne se laisse pas faire facilement par l’homme.

Elle exprime l’indiscutable liaison antagoniste37 de l’homme à la terre, celle qui, dans notre cas, élabore le géo-anthroposystème urbain : une systémogénèse.
Nous sommes en présence d’une homologie profonde logico-géographique.

106Le triangle homologique [A-PU, Y-FO, E-ST] rassemble et équilibre trois circuits spatio-temporels opposés : le flux démographique A-PU, le flux économique E-ST, le flux d’équilibrage Y-FO. Les deux premiers ne réclament pas d'explication, le troisième, si : il exprime par la forme de la ville l’action humaine comme nous l’avons vu ; ce flux socio-technico-culturel, Y-FO, représente le potentiel d’intervention acquis par l’intelligence anthropique selon des solutions qu’elle est capable et de mettre en œuvre et d’inventer si besoin est. La présence fondamentale de l’action humaine conduit, dans le cadre logico-géographique, à confirmer la dénomination donnée à ce triangle : triangle des possibles, partie humaine, anthropique de la médiance.

107Le deuxième triangle logico-géographique [I-SP, U-VO, O-SF] résume non seulement l’indispensable présence de « gé » dans toute construction humaine, mais aussi son obligatoire imbrication dans l’œuvre de l’homme : le volume U-VO, pris au site périsurfacique I-SP, pour en édifier le géo-anthroposystème ville. Ce deuxième triangle, celui des subcontraires logiques, est pour le géographe celui de la matière inerte, celui de la transformation perpétuelle de « gé » par « anthropos », celui des contraintes, ce qui confirme jusque-là le caractère homologique du transfert, ici nettement structurel.

108Cependant, pour comprendre le mécanisme imbriqué de ces deux triangles et le fonctionnement complet de l’hexagone sur le plan géographique, on a besoin de faire appel à d’autres éléments contenus dans l’hexagone, comme le carré et les diagonales qui vont faire apparaître des discordances dans l’homologie constatée jusqu’à présent.

3.2.3. Le carré logique d’Apulée et les diagonales : une hétérologie interne

PU et SF sont en géographie, empiriquement, expérimentalement, logiquement, deux concepts partout générateurs d’un troisième : la densité.

A et O sont en logique binaire classique ou trichotomique de R. Blanché et J.-⁠Y. Béziau, des contradictoires, interrompant la progression logique hexagonale.

110Donc les logiques classiques et trichotomiques récusent absolument ce que la géographie extrait de l’examen de la réalité. Devant cette antinomie, il serait erroné de forcer l’association des sommets en une impossible et inconséquente homologie. Nous sommes devant un choix crucial : ou l’on admet que notre recherche ne peut aboutir complètement et l’on s‘arrête ; ou l’on cherche, dans l’éventail des logiques existantes, une autre logique : E. Morin [1991] écrit à ce sujet que "le principe du tiers exclu peut se trouver suspendu là où la pensée rencontre les nécessités rationnelles d’associer deux propositions contraires". Il nomme dialogique cette manière de structurer la pensée et précise : "la dialogique, c’est justement le tiers inclus : deux propositions contraires sont nécessairement liées tout en s’opposant". Cette approche logique, celle de la pensée complexe, ouvre vers une nouvelle compréhension des diagonales : elle conduit à aborder autrement l’exemple exposé en permettant d’associer, sans contradiction interne, les sommets et les diagonales de l’hexagone. Il nous a semblé que, parmi d’autres, la logique ternaire antagoniste contradictoire de S. Lupasco, qui intègre trichotomie structurelle et ternarité processuelle, correspondait à notre recherche (figure 19), ce qui sera explicité dans la suite du texte.

On peut, à ce stade, dire que la logique hexagonale est intéressante pour mettre en avant les structures exprimant le fonctionnement du système, mais qu’elle ne permet pas, semble-t-il, d’aborder les processus.

111La nouvelle logique choisie, permet-elle par sa conception d’approcher ces processus et d’aboutir à une meilleure compréhension d’un géo-anthroposystème urbain en évolution ?

3.3. Les contradictoires révisés à la lueur de la logique lupascienne

112À ce stade, nous nous trouvons en présence de deux constructions logiques quant à la pensée ternaire : la binarité trichotomique de J.-Y. Béziau et la ternarité antagoniste contradictoire de S. Lupasco. Cette dualité d’interprétation existe aussi en géographie ; la première expression, à notre connaissance, de la ternarité dans notre discipline, celle de M.A. Lefèvre [1925], se rapproche, comme nous allons le voir, en une forme très élémentaire et très simple de celle de J.-Y. Béziau : elle utilise, sans le savoir, des contraires et des subcontraires qui ouvrent sur un possible tiers inclus. Comme nous l’avons signalé en introduction, d’autres approches liées aux rapports de la logique et de la géographie sont apparues bien plus tard qui mériteraient également d’être approfondies comme une réfutation de la logique du tiers exclu. Cependant, compte tenu de l’orientation prise dans cet article et des travaux de M.A. Lefèvre, la nouvelle ligne ternaire proposée par F. Moriconi-Ebrard [2000] avec son modèle des 3A et par C. Chatel dans sa thèse de doctorat [2012] paraît plus proche de notre propos. Les deux pratiquent à leur manière une logique « lupascienne », c’est-à-dire une logique du tiers inclus ; pour F. Moriconi-Ebrard, elle sous-entend les pouvoirs de l’hexagone, mais ne s’appuie pas sur les travaux de J.-Y. Béziau puisque l’article auquel nous nous référons est paru en 2012, bien après le modèle des 3A.

Ce que nous voulons souligner ici, c’est l’émergence disciplinaire d’une pensée ternaire contemporaine, propre à la géographie urbaine.

113Aussi allons-nous, dans cette section, expliquer à quel point une ouverture mieux renseignée sur cette logique est importante.

3.3.1. L’émergence de l’idée de ternarité

114La logique binaire se fonde sur le principe de séparer les constituants « liés » qui font le monde pour bien « distinguer une chose non l’autre » quant à leurs identités spécifiques : A. Demangeon [1947] applique bien ce principe dans sa remarquable étude sur l’habitat rural dont "la diversité se ramène", écrit-il, "à deux concepts universels abstraits quant à la compréhension ultime des identités : l’habitat rural concentré en « villages » et l’habitat dispersé en « fermes »". Empiriquement, il existe des variétés d’organisations rurales qui particularisent des types de villages et des types de fermes, que la logique permet de classer en deux arbres d’extension, dont les branches se rattachent pour l’un à la concentration, pour l’autre à la dispersion. On retrouve ainsi le carré d’Apulée et son rôle fondamental dans la logique binaire (figure 20).

115Cette illustration pourrait paraître superflue par rapport à l’évidence du texte d’A. Demangeon si l’on n’avait pas tracé les diagonales du carré qu’on appelle en logique classique les contradictoires : on ne peut absolument pas rattacher le particulier « ferme » à l’universel « concentration », ni l’universel « dispersion » au particulier « village ». Ces contradictoires achèvent le carré, assurent sa solidité logique et confirment, de ce fait, les classifications en extension.

118M.A. Lefèvre ne parle pas de logique, et ne semble pas avoir eu connaissance sur ce point des travaux de J. Lukasiewicz [1920] ; cependant, la classification ternaire qu’elle défend rejoignait, à travers son analyse géographique, l’existence nécessaire d’un tiers inclus logique face au tiers exclu du carré traditionnel. On voit bien, ainsi, que l’idée d’une organisation ternaire du monde émerge non seulement de la réflexion en logique, mais tout autant de celle d’autres disciplines comme la géographie. On constate alors qu’accepter le tiers inclus transforme le carré en hexagone (figure 21).

120Or, avec la notion de tiers inclus, on peut passer de la structure au processus, de ce qui est à ce qui devient, soit l’actuel que l’on constate. On a pour cela besoin d’une autre logique, comme nous l’avons déjà souligné, une logique qui se construit au départ, non sur les obligations de l’exclusion, mais sur celles de la liaison : nous observons, non pas des « éléments », du fixe, du stable comme en logique binaire, mais du mouvant, de l’instable, des « événements » qui se développent selon des échelles spatio-temporelles spécifiques, ou, autrement dit, selon un dimensionnement fractal que nos mesures saisissent plus ou moins correctement, que nos reconstitutions simulent ou modélisent plus ou moins approximativement, pour les regrouper en systèmes.

3.3.2. La mise en œuvre de l’idée de ternarité

121Les concepts d’événements et de systèmes sont fondamentaux pour comprendre la logique ternaire de S. Lupasco sur laquelle nous allons nous appuyer. Qu’entend-on tout d’abord par « systèmes » ? Des ensembles structurés processuels résilients, capables de s’organiser et de durer malgré la prégnance des mobilités événementielles dans le temps long. Comprendre la genèse de ces entités résilientes (les villes par exemple) qu’on appelle systèmes complexes paraît impossible avec la logique binaire, même en faisant appel à la cybernétique, et donc aux effets de rétroaction. Seule, à notre connaissance, l’équation logique événementielle de S. Lupasco ouvre une voie dans cette direction. La genèse de ces systèmes peut, en effet, être expliquée par cette ‘équation’ qui construit une appréhension qualitative des phénomènes observés, les événements, dans notre cas, ceux qui constituent les sommets de l’hexagone.

3.3.2.1. Approche théorique : le postulat logique événementiel de S. Lupasco

125Chaque e, chaque ē, doivent leur existence, leur actualisation, à l’opposition permanente de trois interactions que nous résumons brièvement.

= Tout système observable obéit à un équilibre spatio-temporel variable attraction-répulsion. Il résulte de forces antagonistes dynamiques.

= Tout système implique à la fois l’homogénéité et l’hétérogénéité de ses constituants, c’est-à-dire de e et de ē. L’élément insécable dans son homogénéité est remplacé par l’événement, entité logique hétérogène-homogène ; il faut bien le postuler : sinon, sans cela, comment une relation pourrait-elle prendre corps entre e et ē ? Tout système observable possède donc des constituants contradictoires en eux-mêmes, associant identité et non-identité. Nous sommes loin de l’identité entièrement homogène du constituant indépassable de la logique classique.

= Tout système, enfin, requiert de l’énergie pour fonctionner ; elle seule commande les relations dynamiques entre e et ē qui sont donc des relations énergétiques. Ces événements impliquent ainsi, chacun, un passage spatio-temporel d’un état potentiel à un état actuel, passage dont l’actualisation des potentiels les oppose sans arrêt l’un à l’autre sans qu’ils se détruisent, constituant ainsi un système permanent : chaque hétérogène est lié à l’autre par leur partie commune, homogène, qui les conduit à rester ensemble pour se perpétuer comme système.

3.3.2.2. De la théorie à l’observation empirique et à l’expérimentation49

De l’écriture classique aux homogènes-hétérogènes

129Partons pour ce faire de la correspondance entre l’’équation’ théorique de S. Lupasco (‘équation’ 1) et l’’équation’ empirique du cas étudié (‘équation’ 7), soit :

131PU et SF, qui sont en interaction au fur et à mesure que la population urbaine augmente, ne possèdent pas la même actualisation de leurs potentiels énergétiques : on sait que PU se déploie selon une expansion géométrique et SF selon un étalement arithmétique. L’’équation’ indique par les indices p (potentiel) et a (actuel) que l’on prend bien en compte leurs interactions : le potentiel dynamique de SF s’oppose à l’actualisation observable de PU, comme le potentiel dynamique de PU à l’actualisation observable de SF.

132D’où une formulation plus complète et de l’’équation’ théorique et de l’’équation’ empirique du cas qui nous intéresse (‘équations’ 8 et 9) :

134De même, VO le volume de constructions nécessaire à l’ensemble des activités de la ville (PO et ST) doit être pris en compte par l’action humaine correspondant au domaine étudié, la ville, quant à l’arrangement permanent de la structure processuelle de l’hexagone urbain matérialisé dans la forme FO.

L’hexagone urbain apparaît donc comme un système en déséquilibre au déploiement contrôlé dans le temps – une systémogénèse – composé de l’ensemble opérationnel trichotomique et des trois diagonales fonctionnant en équilibre selon la logique ternaire antagoniste contradictoire de S. Lupasco.

135Complétons l’établissement de la correspondance entre l’équation théorique et l’équation empirique, en précisant comment est exprimée l’union entre les cellules logiques et la nécessité de bien vérifier si, ainsi écrite, l’équation canonique de S. Lupasco traduit le fonctionnement connu d’une systémogénèse.

Disjonction inclusive et union des cellules implicatives

136Comme on le constate, dans les ‘équations’, les cellules sont toujours liées par le signe de la disjonction inclusive. Comprendre sa signification logique est essentiel et indispensable ; c’est cette disjonction logique qui traduit le fait que l’équation générale rassemble les cellules logiques en une structure processuelle spatio-temporelle permanente dans son déploiement, quelle que soit la forme variable qu’elles puissent prendre. Reprenons l’exemple du rapport <population surface>. En quoi ces cellules, parce qu’on postule qu’elles sont associées en disjonction inclusive, forment-elles un sous-système de l’hexagone ?

137Disjonction parce que, comme il est évident, PU et SF sont empiriquement différents et spatialement séparés dans leur fonctionnalité géographique. Ce sont, de ce fait en logique lupascienne, deux <hétérogènes homogènes> dont il faut préciser le caractère de l’association. On dit pour ce faire que la disjonction est inclusive. Inclusive ? Cette séparation spatio-temporelle n’est ni une exclusion logique, chaque sommet évoluant chacun de son côté sans relation aucune avec l’autre, ni une barrière spatiale observable. La séparation doit être telle qu’une liaison permanente soit assurée entre les deux termes PU et SF ; cette liaison est réalisée, en ce qui concerne la ville, grâce à l’organisation du contact entre les deux homogènes, à savoir les surfaces de base des constructions volumiques de l’ensemble urbain et la surface sommitale du site périsurfacique.

138Empiriquement donc, les termes séparation et association correspondent bien aux termes logiques : disjonction et inclusion. Logiquement cette dernière dénomination, inclusion, est fondamentale dans l’équation théorique de S. Lupasco : elle indique qu’il n’existe pas d’extériorité fonctionnelle entre les trois cellules : elles sont incluses dans un dynamisme énergétique qui assure un déploiement spatio-temporel strictement et absolument interne pour n’importe quel type de système.

139Rappelons à ce propos la différence entre interaction et couplage, telle que la congruence de l’équation logique de S. Lupasco et le modèle mathématique de Lotka-Volterra nous avaient permis de l’expliquer [Reymond, Cauvin, 2013]. Comme dans cet exemple, mais d’une manière fondamentalement théorique, les cellules logiques expriment les interactions, les signes des disjonctions inclusives, le couplage interne qui assure la cohésion fonctionnelle de l’ensemble en le détachant de l’environnement dans lequel, grâce à l’action humaine, il puise et organise la circulation de l’énergie. Raisonnement logique et raisonnement géographique apparaissent couplés, enclenchant ainsi une systémogénèse à déploiement spiralaire irrégulier. Cependant toute systémogénèse entraîne obligatoirement des pertes d’énergie, ce que l’équation ne dit pas.

Systémogénèse et structure dissipative : une expression logique

140S’il s’agit, comme le souligne S. Lupasco, d’une équation logique exprimant une systémogénèse, alors logiquement et empiriquement, l’équation est incomplète dans son expression, car il n’existe pas de création d’ordre, de conservation de système, sans dissipation d’énergie. Nous savons effectivement que la ville, par exemple, est une structure dissipative. Le contenu fonctionnel explicite de l’équation canonique tient compte de l’énergie employée, donc de l’énergie déjà importée (les potentiels-actuels) : il n’y a aucun besoin de l’exprimer en « entrée ». Par contre, l’obligatoire énergie dissipée n’est mentionnée nulle part. Il ne nous semble pas superflu de la rajouter en « sortie » à l’équation générale, pour qu’elle exprime bien cette expression processuelle négative caractéristique de toute systémogénèse : la perte d’énergie, -E ; ce qui modifie légèrement mais inévitablement l’écriture de l’équation canonique (équation 10).

3.4. L’archétype urbain en question : une structure processuelle logico-géographique

141Le pouvoir de l’hexagone, tel qu’il est conceptualisé par R. Blanché et J.-Y. Béziau, ne permet pas, seul, de générer, nous venons de le voir, un processus homologique de construction d’un archétype logico-géographique urbain. Ce pouvoir d’association entre les disciplines humaines, quelles qu’elles soient, et les logiques binaires trichotomiques, s’arrête au niveau des contradictoires, lesquelles, conservées dans leur signification classique non sagittale, évacuent tout rapport de liaison interactive de sommet à sommet. Le blocage provient donc de la base de la logique binaire : la trichotomie, comme le terme l’indique, est obtenue par une partition, un découpage plus ou moins fin des oppositions binaires. Il s’agit donc non pas à proprement parler d’une logique ternaire, mais d’une pensée ternaire. Deux problèmes logico-géographiques en résultent.

1. Le carré géographique de la première partie, correspondant parfaitement au carré logique bien connu, oblige à indiquer que PU comme ST sont joints l’un et l’autre à SP et SF, imposant ainsi obligatoirement une orientation aux diagonales. Celles-ci réclament donc une relation entre les deux sommets, l’un induisant l’autre. De ce fait, elles ne peuvent plus être considérées comme des contradictoires puisque ces dernières ont comme propriété en logique classique, l’alternative ou disjonction exclusive. Les logiques trichotomiques étudiées ne rendent ainsi pas compte des réalités, ici géographiques ; cela parce qu’elles n’utilisent pas tout le pouvoir de l’hexagone comme nous allons le montrer en abordant la deuxième difficulté.

2. En effet, dans un hexagone, les diagonales, passant par le centre de gravité, définissent les six triangles équilatéraux constitutifs de l’hexagone. Or, ce centre de gravité n’est pas utilisé dans les logiques précitées, ce qui empêche la dynamique spatio-temporelle de l’hexagone [Nicolas, 2015]. Ceci pose un problème pour une logique de liaison complète. La logique de Lupasco semble, comme on l’a vu, passer au-delà de ce blocage puisque, en équilibre, elle s’appuie forcément sur le centre de gravité de l’hexagone où viennent s’opposer les deux <potentiels actuels> qui affrontent, en un état T, l’énergie des sommets opposés. Il faut admettre cependant, dans cette manière de penser, que, selon la variation des forces en présence, le centre de gravité puisse se déplacer : on entre, alors, dans une logique de liaison processuelle à mémoire.

142Les deux problèmes soulevés disparaissent et l’un et l’autre si la construction de l’hexagone logico-géographique les associe selon leurs propriétés spécifiques :

La ceinture opérationnelle, les triangles de la demande et de l’offre spatio-temporelles, ceux des possibles et des contraintes, appartiennent, nous l’avons longuement démontré, à la logique binaire trichotomique ; ils mettent en place la structure de l’hexagone logico-géographique. Elle accompagne ce dernier dans son déploiement spiralaire, mais ne le contrôle pas.

Les trois diagonales, qui coordonnent l’ensemble des sommets, fonctionnent selon la logique de la systémogénèse lupascienne : elles stabilisent le déploiement processuel spatio-temporel de la structure trichotomique de l’anthroposystème urbain dans son expansion spiralaire compacte ou étalée. On peut dire, dans une vision totalement théorique, que l’hexagone logico-géographique urbain est en équilibre autour de son centre de gravité ; ce dernier rassemble les trois points d’équilibre en réajustement spatio-temporel permanent : la densité-état T <surface population>, le débit-état T <situation site> et l’arrangement-état T <volume « forme-action humaine »>. Ce qui aboutit à la figure 22.

143Nous avons vu que, dans le schéma trichotomique, les triangles [PU, VO, ST] et [SP, FO, SF] exprimaient, le premier la demande spatio-temporelle de l’organisation urbaine en déploiement, le deuxième l’offre physique périsurfacique sur laquelle elle pouvait s’appuyer ; que toujours, dans le même cadre trichotomique logico-géographique, la réponse était fournie par l’imbrication du triangle des contraires [SP, VO, SF] et celui des possibles [PU, FO, ST]. Le schéma final proposé montre que la diagonale |FO-VO| ajuste ces deux variations antagonistes contradictoires. La logique utilisée, celle de S. Lupasco, indique que cette diagonale contrôle l’ensemble des triangles trichotomiques en mettant en bascule autour du centre de gravité, l’état T, les variations spatio-temporelles de la somme logique de la demande et celles du produit logique correspondant de la réponse. La même association des deux logiques se retrouve en |ST-SP| et |PU-SF|.

Partie 3. Conclusion

Conclusion générale

146Or, qui parle de logique, qu’il s’agisse d’une catégorie de la pensée ou de forces réelles qui s’imposent à l’observation, dit dans les deux cas que cela signifie qu’il ne peut en être autrement. Cependant, l’un et l’autre se réclament bien d’une approche structurelle ternaire qui explique d’une manière différente l’émergence de l’urbain. Ce qui conduit à la question suivante : existe-t-il, quel que soit le thème urbain de l’étude engagée – le déploiement d’une agglomération (F. Moriconi-Ebrard), la répartition d’échelle géohistorique des agglomérations (C. Chatel) – un substrat logique ternaire que l’on retrouve dans chaque agglomération, quel que soit le champ urbain d’échelle d’agglomérations dans lequel elle s’insère ? Brièvement exprimé, existe-t-il un substrat archétypal ternaire non visible que l’on retrouve partout ?

147La réponse proposée par le texte de l’article est oui. Elle confirme ce qui était avancé dans l’introduction : « Un système urbain est une nodalité à structure hexagonale de flux, localisée dans un système de flux à nodalités réticulées ». Si l’on compare la phrase d’introduction à celle de la conclusion, on constate que, de systèmes de flux à nodalités réticulés, on est passé à des systèmes de flux à nodalités hexagonales réticulées. Toutes les villes du champ urbain répondent, obligatoirement puisqu’il s’agit de logique, au même archétype hexagonal, plus ou moins déformé selon leur géohistoire, mais toujours constitué de deux logiques imbriquées : la logique trichotomique de R. Blanché et J.-Y. Béziau qui assure le déploiement structurel correspondant aux variations du champ urbain, la logique ternaire antagoniste contradictoire de S. Lupasco qui assure, elle, pendant ce même déploiement, l’équilibre interne de la ville (figure 22). Tel quel, cet archétype entre parfaitement dans les constructions ternaires de F. Moriconi-Ebrard et C. Chatel.

150C’est en effet l’action humaine, tout au long des géohistoires urbaines, qui a, peu à peu, d’échecs en réussites, extrait la résilience du géo-anthroposystème ville. La résilience ? C’est-à-dire l’ensemble coordonné de flux permanents et de sommets à fonctions spécifiques, obligatoirement assujettis au seul ordre logique qui les maintient tels dans le temps. L’archétype logique structuro-processuel hexagonal a toujours existé ; bien sûr, il n’a pas été matérialisé de la même manière à Sumer, à Jérusalem, à Rome – encore que la ville romaine en ait présenté une réalisation assez complète – en Chine à la même époque (Chang’an), au XXe siècle en Europe ; enfin, devenu objet technique, au XXIe siècle dans toutes les nouvelles constructions de la planète, il présente désormais un maximum de solidité et de confort, extrêmement énergivore. Selon les divers terrains, le géo-anthroposystème urbain, hexagone à logiques imbriquées, est présent de manière permanente, même si les concepteurs et les décisionnels n’en ont pas conscience : il est contenu et dissimulé dans leurs constructions urbaines très variées quant à la forme, mais toujours là dans son obligatoire invariance logique.

151À ce point et en utilisant les conclusions déjà avancées dans un article précédent [Reymond, Cauvin, 2013], nous pouvons énoncer deux axiomes qui, au-delà du postulat de départ et des apparences concrètes, proposent – l’un textuel, l’autre graphique, les deux géocartographiques – une ontologie [Nadeau, 1999] cachée dans le déploiement de n’importe quel système urbain.

152L’axiome textuel de 2013 s’énonçait ainsi : « Les populations des sociétés urbaines doivent résoudre la contradiction ontologique qui oppose physiquement d’une manière permanente leur développement géométrique au développement arithmétique des surfaces qu’elles mobilisent en élaborant des solutions médiales cartographiques ».

153L’axiome graphique auquel nous venons d’aboutir complète le précédent et se formule de la manière suivante : « Les solutions médiales géocartographiques réifiées en des formes urbaines localement très diverses résolvent toutes la contradiction ontologique qui les caractérisent en élaborant une réponse commune schématisable : le même géo-anthroposystème urbain hexagonal à logiques trichotomique et ternaire imbriquées ».

154Les deux axiomes décrivent bien le même système urbain à ontologie géocartographique. Les travaux ultérieurs seront, bien sûr, amenés à préciser les hypothèses qui leur correspondent, pour vérification et réfutation. Celles-ci devront essentiellement porter sur les couples <site situation> et <forme volume> de façon à les apprécier « autrement », en mettant l’accent, non sur leur identité spécifique, mais sur ce qui les a construits dans leur fonctionnement commun, donc leur liaison opérationnelle. On retrouve ici J.-Y. Béziau qui soulignait dans son article au sujet du pouvoir de l’hexagone : "The idea is to understand the meaning of concepts by relating them together". Cette citation traduit bien qu’un système complexe réclame, pour être compris, une logique complexe minimale : ici, celle de l’hexagone.