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2021
966

Un état de l’art sur l’imprécision spatiale et sa modélisation

A Review of Spatial Imprecision Modelisation Methods
Estado del arte sobre imprecisión espacial y su modelación
Mattia Bunel

Résumés

L’objectif de cet article est de présenter et définir la notion d’imprécision spatiale, terme qualifiant toutes les situations où un objet spatial, quelle que soit sa nature, voit ses limites difficilement identifiables. Nous présentons cette notion ainsi que les concepts qui y sont apparentés, en prenant soin de clarifier un vocabulaire confus et des définitions contradictoires. Cet article recense également les différentes théories et leurs implémentations, permettant de modéliser l’imprécision spatiale. L’ensemble de ce programme s’appuiera sur un exemple filé, permettant d’expliciter concepts et modélisations.

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Texte intégral

L’auteur de cet article tient à remercier Mmes Ana-Maria Olteanu-Raimond et Cécile Duchêne pour leurs conseils et leurs relectures assidues.

Introduction

  • 1 Néologisme de Frank Lloyd Wright. Qualifie des petites maisons individuelles en harmonie avec leur (...)

1Lorsque George Perec relate sa visite d’une maison usonienne1 du Michigan, il en décrit le délicat cheminement vers l’intérieur :

"On commençait par suivre un sentier […]. Peu à peu, […] sans qu’à aucun instant on ait été en droit d’affirmer avoir perçu quelque chose comme une transition […], le sentier devenait […] une allée […]. Puis apparaissait […] une toiture […] pratiquement indissociable de la végétation […]. Mais en fait, il était déjà trop tard pour savoir si l’on était dehors ou dedans" (Perec, 1974, p.52-53).

2Les jeux avec l’environnement et les matériaux, relevés par l’écrivain, sont les éléments d’un parcours savamment orchestré par l’architecte pour fondre la construction dans son environnement, trompant le visiteur et l’empêchant d’identifier une délimitation claire entre dehors et dedans ; deux espaces tacitement considérés comme immiscibles. Ainsi, en lieu et place d’une rupture franche, c’est une transition progressive qui les sépare, rendant la définition d’une limite, autre qu’arbitraire, impossible.

3Or, la délimitation d’espaces cohérents est centrale dans la réflexion géographique et l’existence d’objets spatiaux difficilement délimitables ne va pas sans soulever des questions techniques et épistémologiques (Burrough, Couclelis, 1996), auxquelles de nombreux travaux, comme ceux cherchant à délimiter des espaces à partir de ressentis (Arabacioglu, 2010), de descriptions de positions (Jones et al., 2007 ; Wolter, Yousaf, 2018 ; Bunel et al., 2019) ou de cartes mentales (Dutozia et al., 2014), ont été confrontés. Ces différents travaux ont pour point commun d’avoir nécessité l’emploi de modèles avancés, permettant la représentation d’objets spatiaux aux frontières mal délimitées. Mais le grand nombre de modèles de ce type et l’absence de consensus pour l’un d’eux rendent délicat leur recensement et leur analyse en vue d’une application originale.

4C’est ce travail de recensement et de classification que nous souhaitons entreprendre ici, en espérant qu’il puisse servir de point d’entrée à toute personne amenée à manipuler des objets spatiaux difficilement délimitables ou souhaitant se familiariser avec ces notions et leur modélisation. Nous présentons avant tout une catégorisation des différents modèles proposés dans la littérature, mais nous présenterons également le cadre conceptuel auquel ils se rattachent et notamment la notion d’imprécision au centre de ces questions. Les différentes implémentations des modèles présentés seront également abordées. Notre ambition est de traiter tous les aspects du problème, en partant des aspects les plus théoriques et conceptuels (définition des termes et présentation des théories de rattachement), avant d’aborder des points plus techniques (implémentations), en passant par la présentation des différentes modélisations proposées dans la littérature.

5Nous ne souhaitons cependant pas proposer une typologie originale des différents concepts, la question ayant déjà été largement traitée (Bouchon-Meunier, 1995 ; Fisher et al., 2006 ; Devilliers et al., 2019). Nous présenterons également les différentes théories mathématiques permettant la modélisation de l’imprécision, comme l’ont récemment proposé Batton-Hubert et Pinet (2019), ainsi que les implémentations de modèles proposées.

6Nous commencerons par présenter plus abondamment ces notions et définir les différents concepts, tels que le vague ou l’imprécision, nécessaires à leur compréhension (partie 2). Puis nous énumérerons les différentes théories mathématiques permettant de modéliser l’imprécision (partie 3). Enfin nous présenterons les différentes modélisations de l’imprécision spatiale proposées dans la littérature (partie 4).

Les concepts de vague et d’imprécision spatiale

7Pour commencer, nous allons définir les notions d’imprécision et de vague et présenter leurs spécificités lorsqu’elles sont appliquées au contexte spatial. Nous présenterons d’abord les notions dans leur ensemble, avant de nous concentrer sur les liens entre imprécision et géographie ; puis, nous définirons l’imprécision spatiale, concept qui sera utilisé tout au long de cet état de l’art.

  • 2 Y compris le terme "vague", lui-même (Russell, 1923), on parle alors d’imprécision d’ordre supérieu (...)

8L’exercice de définition d’un concept équivoque, tel que le vague, n’est pas une tâche aisée, car l’on est rapidement confronté à l’imprécision sémantique du langage naturel. C’est, en partie, ce constat qui conduisit les philosophes Gottlob Frege (1848–1925) et Bertrand Russell (1872–1970) à travailler sur une formalisation mathématique de la logique, à même d’affranchir le processus de réflexion des ambiguïtés du langage naturel (Williamson, 1994). La réflexion contemporaine sur les notions de précision, de vague et d’imprécision remonte, selon Williamson (1994), aux travaux de Russell et plus spécifiquement à la publication, en 1923, de son article Vagueness (Russell, 1923). Pour Russell, le vague est l’opposé de la précision. Les deux concepts ont pour domaine tout système de signes et ne se limitent donc pas au langage naturel. Ils concernent tout type de représentation (e.g. cartes, photographies, mots) et n’ont donc de sens que pour qualifier une relation entre deux systèmes de signes, définie comme précise si, bijective, i.e. pour un système de signes donné, quel que soit le signe considéré, il ne partage sa signification qu’avec un et un seul signe d’un second système de signes. À l’inverse, la relation entre deux systèmes de signes est vague si une représentation a plus d’un (ou aucun) équivalent dans le second système, laissant dès lors place à l’interprétation. Pour illustrer le concept de vague, Russell prend l’exemple du mot "rouge" décrivant une teinte tacitement connue de tous, mais dont on ne peut qu’arbitrairement fixer les limites. De la même manière, les concepts de "lac" et "île" ne sont pas suffisamment précis pour que leur dénombrement soit trivial (Sarjakoski, 1996). On pourrait multiplier les exemples à loisir, car, dans la conception russellienne, aucun domaine n’échappe au vague ; toute représentation l’est2, à des degrés divers, et la précision n’est qu’un idéal, hors d’atteinte.

  • 3 Ou fuzzy dans les publications anglophones.

9Dans la littérature, le terme imprécis est régulièrement utilisé comme synonyme de vague, notamment par Zadeh (1965) et dans une grande partie des travaux se rattachant à la logique floue. Par métonymie, le terme flou3 est également employé dans le sens de vague, imprécis. C’est, par exemple, le cas lorsque Lagacherie et al. (1996) parlent de fuzziness ou encore quand Brunet et al. (1992, p.218) définissent le flou comme : "la partie d’un système ou d’un espace dont les contours et les limites sont, soit imparfaitement connus ou connaissables, soit instables, soit imprécis […]". De nombreux autres termes sont ponctuellement utilisés, rendant la terminologie confuse (Tableau 1). Pour rendre notre propos le plus clair possible, nous n’emploierons le terme flou que pour qualifier des formalisations fondées sur la théorie des sous-ensembles flous de Zadeh. De plus, pour rester le plus proche possible du vocabulaire utilisé en géomatique, nous préférerons le terme imprécis à celui de vague.

Tableau 1 : Termes utilisés dans la littérature comme synonymes de précis et d’imprécis

Précis

Imprécis

Anglophone

Crisp ; Sharp ; Well defined ; Fiat boundaries

Fuzzy ; Indeterminate ; Undefined ; Uncertain ; Ill-Defined ; Unclear ; Vagueness ; Bona fide boundaries

Francophone

Net

Flou ; Incertain ; Vague

Mattia Bunel, 2020

10La notion d’imprécision peut être associée à d’autres concepts, comme l’exactitude chez Russell (1923), que l’on retrouve chez Bouchon-Meunier (1995, 2007) sous le nom d’incertitude. Ici, l’incertitude est entendue comme le doute que l’on peut avoir sur la validité d’une connaissance (Bouchon-Meunier, 1995). L’imprécision et l’incertitude sont foncièrement liées et varient généralement en sens inverse (Russell, 1923). Ainsi, si la proposition (1) : "la distance de la Terre à la Lune est de 384 397 km" est plus précise que la proposition (2) : "la distance de la Terre à la Lune est d’environ 384 000 km", mais la seconde proposition est plus certaine car, son cadre de validité (la plage de valeurs de la distance Terre-Lune) est plus large. On peut, en effet, considérer que la proposition (2) reste vraie pour une distance réelle de 383 500 ou 384 999 km alors que la moindre variation de l’ordre d’un kilomètre suffit à invalider la première proposition (1). Dans certains cas, et notamment lorsque ces notions sont appliquées à des objets spatiaux, il peut être délicat de distinguer ces deux concepts. Cependant, ils sont fondamentalement différents : l’imprécision est une caractéristique invariable, alors que l’incertitude est contextuelle. Pour reprendre l’exemple précédent, la proposition (2) est imprécise et le restera quel que soit le contexte, alors que sa certitude dépend des connaissances de l’observateur. La véracité des propositions (1) et (2) est, toutes choses égales par ailleurs, invariable, mais la certitude de cette véracité est contextuelle.

11L’imprécision et l’incertitude sont également associées à la notion d’incomplétude, qui désigne une connaissance partielle. Ceci est dû au fait qu’un manque de connaissances peut entraîner des incertitudes, mais également des imprécisions (Bouchon-Meunier, 1995, 2007). Pour Bouchon-Meunier et plus généralement pour la communauté de chercheurs en intelligence artificielle, la composition de ces trois concepts définit la notion d’imperfection (Bouchon-Meunier, 1995). Dans la suite de ce document, nous travaillerons à partir de cette typologie, même si de nombreuses autres typologies de concepts ont cependant été proposées, que ce soit dans le domaine de l’intelligence artificielle ou de la géomatique (Fisher et al., 2006).

Imprécision et géographie

  • 4 Friche urbaine ou industrielle.

12Les objets et les concepts géographiques n’échappent évidemment pas à l’imprécision. Ainsi, Russell (1923) mentionnait déjà l’existence d’objets dont la délimitation spatiale est imprécise, tel que le système solaire. De nombreux autres objets spatiaux imprécis ont été identifiés, comme l’illustre l’exercice de définition du Brownfield4, entrepris par Alker et al. (2000) et relevé par Bennett (2001), qui y voit un bon exemple de la difficulté d’identifier une délimitation satisfaisante d’espaces naturels. Le Brownfield, tout comme les forêts (Bennett, 2001 ; Dilo, 2006 ; Fisher et al., 2006), les montagnes (Varzi, 2001, 2015 ; Fisher et al., 2006 ; Chaudhry, Mackaness, 2008), les vallées (Schneider, 2003) ou même le Soleil (Simons, 1999), appartiennent à cette catégorie d’objets spatiaux dont on ne peut fixer une limite. Cette énumération pourrait laisser penser que l’imprécision ne concerne pas les artefacts, pourtant l’expérience de Perec citée en introduction nuance cette affirmation. Comme l’indique Campari (1996), l’identification des frontières d’un artefact n’est pas aisée puisque dépendante du contexte d’observation. Ainsi, la limite d’une ville ou d’un village est tout aussi vague que celle d’une zone frontalière (Varzi, 2001 ; Fisher et al., 2006), comme l’illustre la grande variabilité des définitions du concept de ville (Brunet et al., 1992 ; Lévy, Lussault, 2013).

  • 5 "La realta ci mostra quanto sia problematico e spesso arbitrario tracciare dei confini […]" (Odd Am (...)

13Tous ces objets géographiques, généralement qualifiés de vagues (Erwig, 1997), imprécis (Winter, 2000), flous (Lagacherie et al., 1996) ou d’objets aux frontières indéterminées (Burrough, 1996), s’opposent aux objets dits nets (Schneider, 2001) ou précis. Smith et Varzi (1995, 1997, 2000) font usage d’un vocabulaire très différent en opposant les fiat boundaries, i.e. les frontières précises qu’ils estiment profondément liées à un processus cognitif, aux bona fide boundaries, caractérisant les objets spatiaux dont la délimitation est univoque (Varzi, 2015). Pour Couclelis (1996), les objets géographiques nets sont d’avantage l’exception que la norme. Ce constat est corollaire de l’avis d’Odd Ambrosetti (1987, p.200) pour qui "[…] il est problématique et généralement arbitraire de tracer des limites […]"5, limites qui, selon Brunet (2001, p.106), sont "[…] indécises, fuyant sans cesse devant l’analyse, et même, localement indécidables". Dutozia et al. (1994) considèrent, quant à eux, que "[…] l’espace géographique est par essence flou […]".

14Ainsi, si les concepts présentés jusqu’ici nous semblent actuellement peu utilisés en géographie, de nombreuses notions et objets entrant dans le champ d’étude de la discipline y sont fondamentalement liés. C’est notamment le cas des différents maillages administratifs, comme les régions (Brennetot et al., 2014), mais également les frontières (Brunet et al., 1992), les seuils (Brunet et al., 1992 ; Lévy, Lussault, 2013), les discontinuités (Brunet et al., 1992, 1997), les franges (Brunet et al., 1992), les confins (Brunet et al., 1997) ou encore les fronts pionniers (Brunet et al., 1992), qui, comme tous les concepts dérivant de la notion de limite, sont généralement définis comme pouvant être graduels ou progressifs (Brunet et al., 1992 ; Lévy, Lussault, 2013), c’est-à-dire foncièrement imprécis.

15La question de la formalisation des objets spatiaux imprécis a cependant été abordée en géographie, avant même le développement des systèmes d’information géographiques (Robinson, 2003). Dans les années 1970 où, à la suite de l’élaboration de la théorie des sous-ensembles flous (Zadeh, 1965), plusieurs géographes, rattachés au courant béhavioriste, tels que Gale (1972, 1976), Pipkin (1978) ou Leung (1979, 1987) ont identifié les problèmes que l’existence d’objets géographiques aux limites imprécises pouvaient poser à la géographie. Parmi ces problèmes, Gale (1976) a identifié la question de la régionalisation. Cette problématique a été également abordée par Rolland-May (1996, 1999) lors de ses travaux sur la définition de territoires de cohérence. Les travaux béhavioristes ont abouti à la formalisation du concept d’objet géographique imprécis à l’aide de la théorie des sous-ensembles flous (Leung, 1987). Ces travaux n’ont, semble-t-il, pas suffi à inscrire durablement le concept d’imprécision dans le champ de la géographie, puisque des publications ré-introduisant ce concept en géographie apparaissent régulièrement. C’est notamment le cas de Fisher et Wood (1998), Collins et De Varzi (2000), qui se fondent indépendamment sur l’exemple de la définition d’une montagne pour introduire cette notion.

16Parallèlement, Christiane Rolland-May (1984, 1987) se fonde notamment sur les travaux de Gale et Leung pour développer le concept d’espace géographique flou. Cette dénomination qualifie la formalisation, à l’aide de la théorie des sous-ensembles flous, de l’espace tel que conceptualisé en géographie. Ce travail a permis à Rolland-May de proposer une définition formelle de notions courantes utilisées en géographie, telles que les franges (Rolland-May, 1987), définies comme la limite floue d’un espace géographique, ou les discontinuités, décrites comme une configuration particulière d’ensemble flou (Rolland-May, 2003). Les différents travaux de Rolland-May autour de la question de l’imprécision en géographie ont permis à différents chercheurs d’aborder différemment des questions géographiques (Dutozia et al., 2014), comme, par exemple, de Ruffray et Hamez (2004), qui font usage des concepts développés par Rolland-May pour quantifier la cohérence de territoires, ou Didelon et al. (2011) qui emploient la logique floue pour exploiter des cartes mentales.

L’imprécision spatiale

17Nous proposons d’utiliser le terme d’imprécision spatiale pour décrire l’application du concept d’imprécision aux objets spatiaux. Par ce terme, nous entendons qualifier toutes les situations où un objet spatial, quelle que soit sa nature, voit ses limites difficilement identifiables. Il s’agit donc d’un concept ne portant que sur la dimension spatiale et non sur les autres aspects. Par exemple, la difficulté de délimitation spatiale d’un objet géographique tel que la forêt entre dans le cadre de l’imprécision spatiale. Ce n’est cependant pas le cas de la difficulté de définition du concept en lui-même, il s’agit dans ce cas d’imprécision sémantique. Ainsi, l’imprécision spatiale n’est qu’un cas spécifique du concept général d’imprécision, précédemment présenté, mais son cadre d’application et les spécificités de la question spatiale justifient la définition d’un nouveau concept.

18Pour illustrer ce concept, nous allons nous appuyer sur l’exemple de la définition des rives d’un lac artificiel. La figure 1 est une orthophotographie de la partie ouest du lac du Chambon (Isère) sur laquelle a été dessinée la limite de l’eau. On peut cependant se demander si la limite que nous avons tracée est une délimitation satisfaisante de l’objet "lac". En effet, le niveau de l’eau est amené à changer au cours du temps. L’orthophotographie permet d’identifier ces zones, dépourvues de végétation et situées au-delà de la limite représentée sur la figure 1. On peut donc tracer une seconde limite, celle de la zone atteignable par les eaux (figure 2), et considérer que c’est ce nouveau tracé qui délimite l’objet "lac".

Figure 1 : Saisie manuelle de la limite du lac du Chambon

Figure 1 : Saisie manuelle de la limite du lac du Chambon

Mattia Bunel, 2020

Figure 2 : Saisie manuelle d’une limite alternative

Figure 2 : Saisie manuelle d’une limite alternative

Mattia Bunel, 2020

  • 6 Si l’on passe outre l’imprécision liée à la saisie manuelle.

19Toutefois, aucune de ces délimitations n’est réellement satisfaisante. Peut-on considérer qu’une zone pouvant être découverte appartient autant à l’objet "lac" qu’une zone qui est toujours recouverte d’eau ? À l’inverse, peut-on considérer qu’une zone intermittemment située sous l’eau n’appartient pas au lac de la même manière que la forêt située à plusieurs dizaines de mètres de là ? Cette difficulté de délimitation est liée, comme nous l’expliquions précédemment, à l’imprécision de l’objet "lac". On ne peut en définir une limite précise autrement qu’arbitrairement. Nous avons cependant pu tracer deux limites précises6, celle de la zone recouverte d’eau (figure 1) et celle de l’étendue maximale du lac (figure 2). Ces deux frontières délimitent une aire de transition, entre le lac et son extérieur (figure 3), c’est-à-dire la frontière du lac.

Figure 3 : Mise en évidence de la limite imprécise du lac

Figure 3 : Mise en évidence de la limite imprécise du lac

Mattia Bunel, 2020

20De même que pour l’imprécision, le concept d’incertitude ne voit pas sa définition générale impactée par la prise en compte de la dimension spatiale. Cependant, la multiplicité des termes utilisés dans la littérature, les contradictions entre auteurs et les représentations graphiques utilisées pour présenter les concepts sont sources de nombreuses confusions entre les concepts d’imprécision et d’incertitude spatiale.

  • 7 Freksa et Barkowsky (1996) utilisent le terme d’incertitude pour qualifier aussi bien ce que nous d (...)

21Comme expliqué précédemment, l’incertitude qualifie le doute que l’on peut avoir sur une connaissance. On peut donc définir l’incertitude spatiale comme le doute sur la position d’un objet. Ce concept peut être, tout du moins selon Tøssebro et Nygård (2002), décomposé en deux éléments : l’incertitude positionnelle et l’incertitude morphologique. L’incertitude positionnelle qualifie un doute sur la position d’un objet spatial. Tøssebro et Nygård (2008) prennent comme exemple l’estimation par sonar de la position d’un sous-marin. Ce cas offre une bonne opportunité pour distinguer imprécision et incertitude spatiale. L’objet sous-marin est, de par sa nature d’artefact, net ; l’identification de ses frontières, à une échelle donnée, ne pose pas de problème. Cependant, sa position est mal connue, puisqu’estimée à l’aide d’un outil peu précis qui ne peut qu’estimer une zone de présence. La position de l’objet est donc incertaine. L’incertitude morphologique qualifie, quant à elle, un doute sur la forme de l’objet, c’est-à-dire sur la position de sa frontière. C’est pourquoi on peut considérer que l’incertitude morphologique correspond à une incertitude positionnelle portant uniquement sur la frontière de l’objet. On peut prendre comme exemple une nappe phréatique, dont l’étendue ne peut être qu’estimée par des relevés de terrain. Il est donc possible de savoir si la nappe est présente ou non en un point de mesure, mais non d’en définir la frontière, ce qui se traduit par une incertitude sur la position de la frontière, une incertitude morphologique telle que définie par Tøssebro et Nygård. La proximité des concepts d’incertitude morphologique et positionnelle peut expliquer pourquoi les autres définitions de l’incertitude spatiale, notamment issues des travaux de Clementini (2008), Lagacherie et al. (1996), Freksa et Barkowsky7 (1996) ou Schneider (1999) fusionnent ces deux notions. Dutton (1992), quant à lui, inclut ces deux notions dans sa définition de l’incertitude positionnelle.

  • 8 Nous aurions également pu faire les mêmes remarques pour le tracé de la limite de l’eau (figure 1). (...)

22On peut illustrer la notion d’incertitude spatiale en réutilisant l’exemple de la délimitation du lac du Chambon (figures 1 et 2). Lorsque nous avons tracé la limite du niveau maximal de l’eau (figure 2), nous nous sommes appuyés sur l’emplacement de la végétation. Cependant, dans certains cas, notamment pour la rive sud du lac, il s’est avéré difficile d’identifier la bonne limite et ce à cause de la présence de certaines poches de végétation. Ainsi, la frontière sud de l’étendue maximale du lac est incertaine, son tracé est contestable, mais uniquement à cause de notre manque de connaissances. Il ne s’agit pas d’imprécision. La figure 4 représente une zone au sein de laquelle le tracé exact de la frontière est incertain, c’est-à-dire qu’au sein de cette zone, tous les tracés sont envisageables8. Ainsi, le lac du Chambon entre dans la catégorie des objets spatiaux à la fois imprécis et incertains.

Figure 4 : Mise en évidence de l’incertitude pour la limite des hautes eaux

Figure 4 : Mise en évidence de l’incertitude pour la limite des hautes eaux

Mattia Bunel, 2020

23L’incertitude et l’imprécision spatiales peuvent cohabiter, comme dans le cas du lac du Chambon. La figure 5 donne un aperçu plus théorique de la différence qu’il peut y avoir entre ces deux notions. L’incertitude spatiale est représentée par plusieurs frontières, illustrant le doute sur la position de la limite de l’objet. L’imprécision spatiale est, quant à elle, représentée par une bande, marque d’une frontière progressive, non réductible à une ligne.

Figure 5 : Distinction entre les notions d’imprécision et d'incertitude spatiale

Figure 5 : Distinction entre les notions d’imprécision et d'incertitude spatiale

Pour des raisons de lisibilité seule la frontière de l’objet spatial est représentée.

Mattia Bunel, 2020

24De façon similaire à ce qui a été décrit précédemment, l’incertitude et l’imprécision spatiales sont liées. Par exemple, le fait qu’un objet géographique soit imprécis complexifie l’identification de sa frontière, ce qui se traduit par une incertitude morphologique (Lagacherie et al., 1996). De plus, la précision et la certitude des attributs d’un objet géographique sont fortement liées à la précision et à la certitude spatiale de ce même objet et inversement (Mark, Csillag, 1989). Ainsi, la définition d’un objet géographique à partir de données imprécises le sera elle-même, et le recueil d’informations au sein d’un objet géographique dont la frontière est incertaine ne pourra qu’être une opération qui l’est tout autant.

25Différents auteurs ont listé des facteurs expliquant l’apparition de l’imprécision et de l’incertitude spatiales, comme Freksa et Barkowsky (1996) ou Dutton (1992), qui identifient quelques facteurs explicatifs. D’autres travaux (Hadzilacos, 1996 ; Evans, Waters, 2008) vont plus loin dans le détail en proposant une typologie plus poussée de ces différents facteurs. Enfin, des typologies d’objets spatiaux imprécis, comme celle proposée par Liu et al. (2019), permettent d’identifier d’autres causes, inhérentes au processus de construction des objets spatiaux.

  • 9 Désaccord sur la définition (traduction de l’auteur).

26Une première cause de l’imprécision spatiale, correspondant par ailleurs à la majorité des exemples précédents, est liée à l’imprécision de la définition. Par exemple, l’objet géographique "montagne", n’est pas (seulement) imprécis à cause d’une quelconque difficulté technique limitant la précision des mesures, il l’est car le concept montagne n’est pas suffisamment clair pour permettre la délimitation précise d’une portion d’espace. C’est généralement l’imprécision du concept qui rend l’objet géographique imprécis (Freksa, Barkowsky, 1996). L’imprécision du concept est à distinguer des définitions concurrentes, ce qu’Evans et Waters (2008) nomment definitional disagreement9. C’est, par exemple, le cas des frontières contestées, nécessairement mutuellement exclusives ; qui, même si définies aussi précisément que possible, ne permettent pas de construire une frontière unique, sinon en admettant une part d’incertitude spatiale. Par conséquent, le definitional disagreement, et plus généralement, l’existence de géométries concurrentes pour un même individu (Hadzilacos, 1996), sont une source d’incertitude, inhérente au choix d’une possibilité parmi l’ensemble des possibles.

  • 10 Frontières dont la précision du tracé importe peu (traduction de l’auteur).

27Cependant, l’imprécision d’une définition peut être souhaitée, Hadzilacos (1996) parle alors de don't care [boundaries]10. C’est, par exemple, un cas que l’on retrouve fréquemment lors de la description en langage naturel d’une position. Un exemple de Bateman et al. (2010) illustre bien cette situation ; si pour décrire sa position, une personne dit : "Je suis à la Poste", on ne peut pas en conclure qu’elle est située à l’intérieur d’une agence postale. En effet, si la file d’attente sort du bâtiment, cette description sera toujours valable. La limite de "la Poste" est donc peu précise, mais dans ce contexte, il n’est pas nécessaire qu’elle le soit davantage. L’information que le locuteur cherche à communiquer est sa proximité et son interaction avec une agence postale, et non sa présence au sein du bâtiment.

  • 11 Frontières variables dans le temps (traduction de l’auteur).
  • 12 Objets aux frontières dynamiques (traduction de l’auteur).

28La dimension temporelle peut également être une source d’imprécision. Hadzilacos (1996) et Liu et al. (2019) mentionnent respectivement l’existence de time-varying [boundaries]11 et de dynamic boundary objects12 pour qualifier des objets géographiques dont la frontière varie dans le temps. C’est, par exemple, le cas d’un front de mer. Pour ce type d’objets, définir une frontière nécessite de "synthétiser" les différentes évolutions temporelles, ce qui conduit nécessairement à une frontière imprécise. Dans ce cas l’imprécision spatiale est un artefact, né de la modélisation atemporelle d’un objet qui ne l’est pas.

29On peut également relever des aspects plus techniques, comme l’imprécision liée aux instruments de mesure ou au producteur de données (Follin et al., 2019) et plus généralement au processus de production de données (Dutton, 1992 ; Evans, Waters, 2008 ; Follin et al., 2019). D’autres points plus spécifiques peuvent également être identifiés, comme les limites des modèles de représentation des données (Dutton, 1992 ; Follin et al., 2019), il est par exemple impossible de représenter tous les nombres réels informatiquement à cause de la précision finie des nombres flottants utilisés pour les figurer.

  • 13 Objet composé.
  • 14 Objet dérivé.

30Enfin, il convient de noter que l’imprécision et l’incertitude peuvent se transmettre lors de la définition de nouveaux objets à partir de mesures (Dutton, 1992) ou d’objets géographiques imprécis (Liu et al., 2019 ; Follin et al., 2019). On peut, dans ce cas, parler d’imprécision et d’incertitude de second ordre. C’est ce phénomène que décrivent Liu et al. (2019) lorsqu’ils définissent les element-clustering objects13, des objets spatiaux imprécis construits par l’agrégation d’autres objets (flous ou nets), et les object-referenced objects14, qui sont construits par subdivision d’objets spatiaux imprécis.

La modélisation de l’imprécision spatiale

31La question de la modélisation de l’imprécision a conduit au développement de plusieurs théories mathématiques, dont la plus connue est la théorie des sous-ensembles flous (Zadeh, 1965). Nous avons choisi de nous centrer sur la présentation de cette théorie, car nous n’avons pas identifié dans la littérature des utilisations de théories alternatives comme la théorie des fonctions de croyances. Quant aux travaux fondés sur la théorie des probabilités (Tøssebro, Nygård 2002, 2008), ceux-ci traitent de la modélisation de l’incertitude, c’est pourquoi nous ne les incluons pas dans cet article.

  • 15 "crisp sets", par opposition aux "fuzzy sets", en version originale.

32La théorie des sous-ensembles flous, ou, par abus de langage, théorie des ensembles flous (Bouchon-Meunier, 2007), proposée par Zadeh en 1965, vise à proposer un cadre théorique permettant de modéliser des appartenances partielles à une classe d’objets. Bouchon-Meunier (1995) présente les sous-ensembles flous comme un "assouplissement" des ensembles "classiques", ici qualifiés de "nets"15 (Smithson, Verkuilen, 2006). La possibilité de modéliser des appartenances partielles permet à la théorie des sous-ensembles flous de modéliser l’imprécision des connaissances, ce qui en fait un candidat idéal pour la modélisation d’objets spatiaux imprécis.

33Un ensemble flou A est défini comme un couple composé d’un ensemble net X et d’une fonction fA nommée fonction d’appartenance (Zadeh, 1965) :

A = (X, fA)

34La fonction fA associe à chaque élément de X une valeur comprise dans l’intervalle [0,1], nommée degré d’appartenance. Cette valeur peut être interprétée comme une mesure de l’appartenance d’un élément à X. Par exemple, si l’on définit X comme l’ensemble des personnes de grande taille, le degré d’appartenance qualifie l’appartenance d’une personne à cet ensemble. Une personne mesurant 2,10 m aura un degré d’appartenance de 1, i.e. qu’elle est considérée comme grande. À l’inverse, une personne mesurant 1,75 m aura un degré d’appartenance compris entre 0 et 1 (0,6 par exemple), traduisant une appartenance partielle à l’ensemble des personnes de grande taille, ce qui revient à dire qu’il s’agit d’une personne grande, mais pas totalement.

35De la même manière, le degré d’appartenance peut illustrer l’appartenance d’une position à un objet spatial. Par exemple, la figure 6 illustre la représentation du lac du Chambon à l’aide d’un sous-ensemble flou, les positions situées dans la zone d’imprécision (figure 3) se voient attribuer un degré d’appartenance inférieur à 1. Ce degré devient nul au-delà de la seconde frontière (figure 2).

Figure 6 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon à l’aide de la théorie des sous-ensembles flous

Figure 6 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon à l’aide de la théorie des sous-ensembles flous

Mattia Bunel, 2020

36L’ensemble des éléments ayant un degré d’appartenance non nul permet de définir le support S de l’ensemble :

S(A) = {xX | fA (x) > 0}

37Avec X un ensemble net, x un élément de l’ensemble X. Le noyau N de l’ensemble correspond, quant à lui, à l’ensemble des éléments ayant un degré d’appartenance égal à 1 :

N(A) = {xX | fA(x) = 1}

38Si A et B deux sous-ensembles flous d’un même ensemble X, A et B sont égaux, si et seulement si, pour tout élément de X, le degré d’appartenance aux sous-ensembles A et B est égal, soit :

A = B ssixX, fA(x) = fB(x)

39Un sous-ensemble flou A de X est inclus dans un sous-ensemble flou B de X si et seulement si, pour tout élément x appartenant à X, le degré d’appartenance de x à A est inférieur ou égal à son degré d’appartenance à B :

AB ssixX, fA(x) ≤ fB(x)

40Le complément Ac d’un sous-ensemble flou A de X a pour fonction d’appartenance :

xX, fAc(x) = 1 − fA(x)

41Ainsi, pour reprendre l’exemple précédent, on peut construire le complément de l’ensemble des personnes de grande taille, l’ensemble des personnes qui ne sont pas de grande taille. Une personne de 2,10 m aura un degré d’appartenance nul à ce second ensemble, et une personne de 1,75 m de 0,4.

42Zadeh (1965) définit l’intersection de deux sous-ensembles flous A et B de X comme le sous-ensemble flou C de X, dont la fonction d’appartenance est la suivante :

xX, fC(x) = min(fA(x), fB(x))

43De manière analogue, l’union de deux sous-ensembles flous A et B de X est un sous-ensemble C ∈ F(X), dont la fonction d’appartenance est :

xX, fC(x) = max(fA(x), fB(x))

44Par exemple, l’ensemble des personnes grandes et âgées peut être construit en intersectant l’ensemble des personnes âgées avec celui des personnes de grande taille. En utilisant les opérateurs proposés par Zadeh (1965), une personne dont le degré d’appartenance à ces deux ensembles est respectivement de 0,8 et 0,5, aura un degré d’appartenance à l’ensemble des personnes grandes et âgées de 0,5.

  • 16 Le lecteur pourra se référer aux ouvrages de Klir et Yyan (1995) ou de Bouchon-Meunier (1995, 2007) (...)

45On notera cependant que les opérateurs d’union et d’intersection proposés par Zadeh (1965) ne sont pas les seuls à avoir été envisagés et d’autres opérateurs, aux caractéristiques diverses, ont été proposés dans la littérature16. Cependant, la proposition de Zadeh, permettant de conserver "presque toute la structure de la théorie classique des ensembles" (Bouchon-Meunier, 2007), fait office de standard.

Modélisations et implémentations

46Comme l’indiquait Burrough (1996, p.15), "les objets inexacts requièrent des modèles de données inexacts". L’objectif de cette partie est de présenter les différents modèles proposés dans la littérature pour modéliser les objets spatiaux flous. Nous traiterons aussi bien de modèles uniquement théoriques que de leurs implémentations, voire de leurs applications.

47Pour présenter ces différents modèles, nous proposons une classification ad hoc, distinguant les modèles définis en extension de ceux définis en intension. Nous commencerons par expliciter cette classification, tout en la confrontant aux catégorisations présentes dans la littérature, avant de présenter les différents modèles.

Critères de classification

48Un grand nombre de modèles ont été proposés pour permettre la manipulation d’objets spatiaux imprécis. Ils se distinguent par leur théorie de rattachement, par la nature des objets spatiaux modélisables (e.g. points, lignes, surfaces) ou leur implémentation (e.g. raster, vecteur, ad hoc ou inexistante).

  • 17 Le modèle simple features (norme ISO 19125) est le modèle standard de représentation vectorielle de (...)

49Chacun de ces points peut être utilisé comme critère de classement, mais à notre connaissance, toutes les catégorisations proposées dans la littérature se fondent sur le critère de la théorie de rattachement. Clementini (2008) ou Erwig et Schneider (1997), par exemple, identifient trois catégories : les modèles probabilistes, les modèles flous et les modèles exacts, qui étendent le modèle simple features17 aux objets spatiaux imprécis. Certains auteurs (Schneider, 2001 ; Schneider, 2008 ; Carniel et al., 2016) y ajoutent la catégorie des modèles approximatifs, fondés sur la théorie des ensembles du même nom, moins populaire que les précédentes. Enfin, Fisher (Fisher, 2003 ; Fisher et al., 2005, 2006) propose une typologie des théories combinant la modélisation de l’incertitude spatiale à celle de l’imprécision spatiale et distinguant les modèles en fonction de quatre théories de rattachement : probabilités, sous-ensembles flous, fonctions de croyance et approbation. Bien qu’elle soit explicite et permette une bonne appréhension de la différence de popularité entre les différentes théories, cette catégorisation est critiquable, car elle passe outre un critère qui nous semble fondamental : la nature du processus de construction.

  • 18 Ou point set topology.
  • 19 Ou, récursivement, un ensemble d’ensemble de positions, si l’on souhaite définir un objet spatial à (...)
  • 20 Zone tampon.

50On peut, suivant la logique du paradigme des ensembles de points18 (Egenhofer, Herring, 1990), concevoir l’espace comme un ensemble infini de points, représentant autant de positions. Les objets spatiauxnécessairement inclus dans cet espace — peuvent dès lors être conceptualisés comme un ensemble de positions19. Par extension, un objet spatial imprécis peut être conceptualisé comme un ensemble de positions dont certaines ont une appartenance partielle à l’ensemble. La nature du processus de construction décrit la méthode utilisée pour décider de l’appartenance d’une de ces positions à l’objet spatial et par extension pour construire un objet spatial. Nous distinguons deux approches : la construction en intension et celle en extension. Nous parlons de construction en extension lorsque l’objet spatial traité est construit par la sélection d’autres objets spatiaux (e.g. construction d’un département par l’union des communes le composant). La construction en intension désigne les cas où un objet spatial est construit par la délimitation d’un espace (e.g. construction de buffers20).

51Cette distinction ne doit pas être confondue avec celle, faite en mathématiques, entre la définition en intension et la définition en extension, deux concepts qui qualifient la façon dont le contenu d’un ensemble est exprimé. Il s’agit de deux notions orthogonales, un objet spatial défini en intension pouvant être construit en extension et inversement (tableau 2). La définition en intension consiste à fixer une ou plusieurs règles décrivant l’appartenance d’un élément à un ensemble. Par exemple, l’ensemble des géographes anarchistes peut être définit comme : tous les êtres humains, étudiant la géographie et favorables à l’anarchisme. De la même manière, on peut définir un objet géographique en intension. Par exemple, une zone économique exclusive (ZEE) est définie comme la zone située à moins de 200 miles marins des côtes d’un pays (Brunet et al., 1992). À l’inverse, la définition d’un ensemble en extension consiste à lister les différents éléments y appartenant. Pour reprendre l’exemple précédent, la définition en extension de l’ensemble géographes anarchistes serait : Élisée Reclus ; Pierre Kropotkine ; Léon Metchnikoff ; Simon Springer. Pour un objet spatial, sa construction en extension se résume à lister les positions ou les objets géographiques appartenant à l’ensemble, par exemple l’ensemble des régions ultramarines françaises est : La Guadeloupe ; La Guyane ; La Martinique ; La Réunion ; Mayotte.

52La distinction que nous faisons entre construction en extension et construction en intension peut sembler équivalente à celle qui a été faite entre les implémentations raster et vecteur, ou plus généralement, entre les modèles champs et objets tels que définis par Couclelis (1992) et Goodchild (1992). En effet, l’utilisation d’un modèle de type champ nécessite de renseigner, pour chaque élément, par exemple des pixels dans le cas d’une implémentation raster, son appartenance à l’objet spatial, ce qui équivaut à une construction en extension. Inversement, la construction d’un objet vectoriel est assimilable à une construction en intension. Cependant, le champ des possibles ne se limite pas à ces deux cas, laissant supposer une équivalence entre les deux catégorisations. Par exemple, la définition d’un objet spatial à partir de la sélection d’objets préexistants (e.g. on souhaite sélectionner les hôtels proches d’une station de métro donnée), entre dans le cadre du modèle objet tel que défini par Couclelis (1992), mais impose une construction en extension, i.e. la sélection d’objets spatiaux à partir d’un ensemble.

Tableau 2 : Comparaison entre la nature de construction et la nature de définition

Construction en intension

Construction en extension

Définition en intension

Construction d’objets vectoriels à partir de règles (e.g. buffer, isolignes)

Construction d’un raster à partir de règles (e.g buffer, seuil de valeur)

Définition en extension

Construction d’objets vectoriels à partir d’une liste d’individus

Construction d’un raster à partir d’une liste d’individus

Mattia Bunel, 2020

Modèles fondés sur une construction en intension

53Parmi les modèles construits en intension, on retrouve des propositions fondées sur la théorie des sous-ensembles flous, présentée précédemment. Cependant, il existe une autre catégorie de modèles, fréquemment décrits comme "exacts" dans la littérature (Schneider, 2003 ; Bejaoui et al., 2009).

Les modèles "exacts"

54Les modèles "exacts" ont tous pour caractéristique d’être une extension du modèle vectoriel généralement utilisé pour représenter les objets spatiaux. Ils restent donc fondés sur la théorie des ensembles. Les modèles de cette catégorie ont pour ambition de modéliser l’imprécision spatiale à l’aide d’un modèle permettant la définition d’objets ayant deux frontières : une marquant la limite de l’objet et l’autre la limite de la zone précisément définie (figure 7). Les différents modèles exacts se distinguent par la nature des objets qu’ils proposent de modéliser, mais aussi par leur théorie de rattachement.

55En 1996, Cohn et Gotts ont proposé le modèle egg-yolk, qui demeure aujourd’hui la plus connue des solutions de modélisation de l’imprécision spatiale. Les auteurs proposent de modéliser des étendues imprécises à l’aide de régions délimitées par deux frontières. Par analogie avec un œuf au plat, la zone délimitée par la seconde frontière est baptisée "white" et celle délimitée par la première frontière, incluse dans "le blanc de l’œuf", est baptisée "yolk". Pour poursuivre avec cette analogie, la partie du "blanc" non incluse dans le "jaune" correspond alors à la partie imprécise, i.e. dont l’appartenance à la région est contestable, contrairement à la zone appartenant au "jaune". Dans le cas où ces deux zones sont confondues, le modèle egg-yolk est équivalent au modèle simple features et aucune imprécision n’est modélisée.

  • 21 Region connection calculus. Il s’agit d’une théorie de modélisation des relations topologiques entr (...)

56Parallèlement à ces travaux, Clementini et Di Felice (1996) ont proposé une modélisation des surfaces imprécises, qui sera par la suite étendue pour permettre la modélisation de tout type d’objet spatial imprécis. De la même façon que précédemment, une région vague possède deux frontières, dont la sémantique est identique à celle du modèle egg-yolk. Cependant, les propositions de Cohns et Gotts (1996) et de Clementini et Di Felice (1996) se distinguent par leur modélisation des relations topologiques (Cohn, Gotts, 1996). Le modèle egg-yolk est fondé sur la théorie RCC21 proposée par Randell et Cohn (1989) alors que le modèle proposé par Clementini et Di Felice (1996) est fondé sur la topologie des ensembles de points (Egenhofer, Herring, 1990) tout comme le modèle, similaire, qui sera proposé par Erwig et Schneider en 1997 (Erwig, 1997). En découle une modélisation différente des relations topologiques entre deux régions vagues. Pour Clementini et Di Felice (1996), le modèle egg-yolk se distingue par son approche topologique du problème, là où eux ont privilégié une approche géométrique. Clementini a proposé ultérieurement une extension de ce modèle en vue d’y intégrer la modélisation des points et des polylignes (Clementini, 2005 ; Clementini, 2008), contrairement au modèle d’Erwig et Schneider (1997), limité aux régions imprécises.

  • 22 Schneider (1996) parle d’objets vagues.

57Schneider a proposé une modélisation exacte des objets imprécis22 en 1996. Contrairement aux modèles présentés précédemment, ce dernier offre, dès sa première itération (Schneider, 1996), la possibilité de modéliser des points, des lignes et des régions imprécises qui peuvent être à trous ou composées de plusieurs noyaux. Cette proposition est fondée sur le modèle Realm/Rose de Güting et Schneider (1995), qui propose de définir des objets spatiaux à partir d’une grille régulière de points. Chaque objet, quel que soit son type, est construit à partir d’un ou de plusieurs de ces points, ce qui s’apparente à une version discrète du paradigme des ensembles de points.

  • 23 Bejaoui et al. (Bejaoui et al., 2009 ; Bejaoui 2009) parlent d’objets vagues, partiellement vagues (...)

58Les modèles précédents ont pour point commun de ne pas permettre la modélisation des objets partiellement imprécis23, tel que l’on pourrait conceptualiser le lac du Chambon, dont la limite est précise par endroits, notamment le long du barrage (figure 3). Bejaoui et al. (Bejaoui 2009 ; Bejaoui et al., 2009) proposent donc d’étendre le modèle egg-yolk à ce type d’objet tout en permettant la modélisation de points et de lignes imprécises. Pour ce faire, les auteurs proposent de re-formaliser le modèle à l’aide du paradigme des ensembles de points, abandonnant le modèle RCC initialement utilisé par Cohn et Gotts (1996). Mais la principale différence avec les propositions précédentes n’est pas due aux types d’objets modélisables ou à la théorie de rattachement, mais au raffinement de la sémantique des objets imprécis. Ainsi, les lignes imprécises, constituant un seul type d’objet dans le modèle de Clementini (2005) sont ici décomposées en neufs classes, en fonction de la nature (imprécise, partiellement imprécise ou précise) de leur intérieur et de leur frontière. Pour les régions imprécises, trois catégories sont proposées : les régions précises, les régions partiellement imprécises, dont certaines parties sont précises et d’autres non et les régions imprécises. Ce modèle offre donc une finesse dans la modélisation d’objets spatiaux imprécis qui était jusqu’ici inaccessible aux modèles exacts, mais au prix d’une importante complexification du modèle.

Figure 7 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle exact tel que proposé par Bejaoui et al. (2009)

Figure 7 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle exact tel que proposé par Bejaoui et al. (2009)

Comme pour tous les modèles "exacts" la zone d’appartenance totale est incluse dans la zone d’appartenance au moins partielle.

Mattia Bunel, 2020

Modèles et implémentations flous

59Définir un objet spatial imprécis à l’aide de la théorie des sous-ensembles flous nécessite au préalable d’en élaborer un modèle de représentation. C’est un travail qui, à notre connaissance, n’a été entrepris que par Schneider (1999, 2001, 2004) qui a formalisé une version floue du modèle simple features.

Le modèle de Schneider (1999)

60Le modèle de Schneider (1999) définit trois types de géométries floues : le fpoint, la fline et la fregion, équivalents flous des types point, line et region du modèle simple features. Comme pour ce modèle, la proposition de Schneider se base sur le paradigme des ensembles de points.

  • 24 Les points flous sont définis comme le couple composé d’une position, i.e. un point non flou, et un (...)

61Les fpoints sont définis comme une union de points flous24, i.e. un ensemble de positions disjointes, deux à deux, auxquelles est associée une valeur, le degré d’appartenance de la position au fpoint. Ainsi, contrairement à un point, un fpoint peut occuper plus d’une position (figure 8), ce que l’auteur qualifie de "cas complexe". La définition des flines est nettement plus complexe. En simplifiant au maximum la définition, on peut voir les flines comme des regroupements de lignes floues, qui sont elles-mêmes un ensemble de points flous alignés. Comme pour les fpoints une fline peut être composée de plusieurs géométries.

  • 25 Les points flous situés aux extrémités des deux lignes floues unies doivent donc être équivalents, (...)

62Les lignes floues (à ne pas confondre avec les flines) sont également définies comme un ensemble de points flous. Cependant, contrairement au fpoint, la construction de cet ensemble est contrainte et les points flous appartenant à une ligne floue doivent se trouver sur une même courbe continue. De plus, chaque point flou doit avoir un degré d’appartenance unique, strictement croissant (ou décroissant) dans le sens de la courbe. Les deux points flous situés aux extrémités d’une ligne floue ont donc, respectivement, le degré d’appartenance maximal et minimal à la ligne floue. Les blocs flous sont définis comme l’union d’un nombre fini de lignes floues, ne pouvant être connectées que par leurs extrémités25 et les flines comme une union de blocs flous disjoints. Cette construction permet aux flines de représenter des objets linéaires complexes et composés de plusieurs géométries distinctes qui ne seraient pas représentables par le type line du modèle simple features (figure 8).

63Enfin, les fregions sont définies comme étant un ensemble de points flous ne comportant pas d’anomalies géométriques (e.g. superpositions, croisements). Comme pour les fpoints et les flines, les fregions peuvent modéliser des géométries plus complexes que le type region du modèle simple features, une fregion pouvant être composée de plusieurs polygones disjoints (figure 8).

Figure 8 : Les trois types géométriques flous proposés par Schneider (1999)

Figure 8 : Les trois types géométriques flous proposés par Schneider (1999)

Mattia Bunel, 2020, d’après Schneider (1999).

64Parmi les trois types géométriques proposés par ce modèle (fpoints, flines et fregions), seules les fregions nous semblent avoir une réelle utilité applicative. En effet, il est difficile d’envisager un cas d’application pertinent pour les types fline et surtout fpoint, d’autant plus que Schneider (1999) ne propose pas d’exemples d’utilisation. Par ailleurs, les différentes implémentations de ce modèle qui ont été proposées dans la littérature se concentrent généralement sur ce type géométrique, délaissant les fpoints et les flines, jugés moins utiles.

Implémentations de modèles flous

65Plusieurs implémentations de ce modèle ont été proposées, notamment par Kanjilal et al. (2010) ou par Dilo et al. (Dilo, 2006 ; Dilo et al., 2007). Cependant, d’autres travaux ont également proposé des modélisations floues d’objets spatiaux imprécis, sans rattachement ou définition explicite d’un modèle théorique. C’est notamment le cas de Zoghalmi ou de Runz qui proposent une approche fondée sur les alpha-cuts pour modéliser des objets spatiaux pour des applications archéologiques (de Runz, 2008 ; de Runz et al., 2008 ; Zoghlami, 2013 ; Zoghlami et al., 2016) ou de Carniel et al. (2016) qui proposent une extension de la base PostgreSQL et de sa cartouche spatiale PostGIS, permettant la manipulation d’objets géographiques imprécis.

  • 26 Tels que définis dans le modèle simple features.
  • 27 Par exemple, une alpha-cut dont le seuil est de 1 est équivalente au noyau du sous-ensemble flou.
  • 28 Chaque alpha-cut est donc incluse dans la suivante.

66Kanjinal et al. (2010) proposent d’implémenter le type fregion défini par Schneider (1999) à l’aide de "région[s] plateau", définies comme un ensemble non nul et fini de polygones26 (ou multi-polygones) nets, représentant une plage de valeurs de degré d’appartenance. Cette implémentation est semblable à l’approche par alpha-cuts proposée par de Runz (2008) ou Zoghalmi (2013, 2016). Dans la théorie des sous-ensembles flous, une alpha-cut est définie comme l’ensemble des éléments d’un sous-ensemble flou ayant un degré d’appartenance supérieur à un seuil fixé27 (Bouchon-Meunier, 2007). Si les éléments du sous-ensemble flou sont des positions, une alpha-cut permet de définir une aire, modélisable par un polygone. Ainsi, les implémentations proposées par Kanjinal et al. (2010), Zoghalmi (2013, 2016) ou de Runz (2008) ont pour point commun de représenter un sous-ensemble flou en le discrétisant à l’aide de polygones. Mais ces approches ont une différence majeure : les contraintes de construction des polygones. L’approche de Kanjinal et al. (2010) impose aux polygones constitutifs d’une région plateau d’être disjoints ou adjacents deux à deux, une même position ne peut donc appartenir qu’à un seul polygone, ce qui n’est pas le cas pour les implémentations proposées par Zoghalmi (2013, 2016) ou de Runz (2008), où une position appartient, par définition, à toutes les alpha-cuts construites à partir d’un seuil inférieur à son degré d’appartenance. Cette distinction n’est pas visible sur la figure 9, les deux approches donnant, pour le même nombre de polygones, des résultats visuellement équivalents. Cependant, les trois polygones représentés sur la figure 9 ont une sémantique différente selon l’implémentation choisie. Dans l’implémentation de Kanjinal et al. (2010), les trois polygones sont disjoints. Le premier délimite le noyau, le second l’aire ayant un degré d’appartenance compris entre 1 et 0,25 (exclus) et le dernier polygone délimitant l’aire dont le degré d’appartenance est strictement supérieur à 0 et inférieur à 0,25. Avec l’implémentation par alpha-cuts, les polygones sont superposés, et si le premier polygone délimite toujours le noyau, le second délimite l’aire dont le degré d’appartenance est supérieur à 0,25 et le troisième l’aire dont le degré d’appartenance est non nul28. Par conséquent, si l’on ne construit que les alpha-cuts du noyau et du support, le résultat de l’implémentation proposée par Zoghalmi (2013, 2016) ou de Runz (2008) est identique à celui des modèles de Cohn et Gotts (1996) ou de Clementini et di Felice (1996) présentés précédemment et qui superposent également la zone d’appartenance à la zone d’appartenance partielle ; ce qui n’est pas le cas pour l’implémentation de Kanjinal et al. (2010), car les polygones définissant une région plateau y sont, par définition, disjoints.

Figure 9 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle flou discrétisé par un ensemble de polygones

Figure 9 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle flou discrétisé par un ensemble de polygones

Mattia Bunel, 2020

67Comme pour les implémentations précédentes, l’approche proposée par Dilo et al. (2007) ne s’applique qu’au cas des régions floues. Les auteurs proposent d’implémenter ces dernières à l’aide de deux linéaires, représentant les frontières du support et du noyau et d’un maillage, servant de support à une interpolation. Les modèles précédemment présentés imposent un échantillonnage des degrés d’appartenance, dont la précision varie en fonction du nombre de régions nettes (Kanjilal et al., 2010) ou d’alpha-cuts utilisées (Zoghlami et al., 2016). L’implémentation proposée par Dilo et al. vise à contourner ce problème en offrant la possibilité de calculer le degré d’appartenance en tout point de la région floue par interpolation (de manière similaire à la proposition de Tøssebro et Nygård, 2002). Ils proposent pour cela de définir un maillage à l’aide d’une triangulation de Delaunay contrainte aux frontières du noyau et du support, cette dernière devant être post-traitée pour supprimer les triangles créés dans les trous ou concavités. Le degré d’appartenance au sous-ensemble flou des points appartenant aux frontières étant connu, il est ainsi possible de calculer le degré d’appartenance en tout point à l’aide d’une interpolation triangulaire (figure 10). La précision de l’estimation peut être améliorée par l’ajout de points intermédiaires dont le degré d’appartenance à l’ensemble est connu, ce qui peut être le cas lorsque, comme proposé par Dilo et al. (2007), la région floue est définie à partir d’un ensemble de points (les frontières sont alors définies à l’aide d’enveloppes concaves). Le principal problème de cette approche est qu’elle conduit à une importante complexification des opérations inter-ensembles. Là où les précédents modèles recouraient uniquement à des opérations géométriques quelconques et à une sélection du plus grand (ou plus petit, en fonction de l’opération concernée) degré d’appartenance, ce modèle impose la reconstruction du maillage et son post-traitement, ce qui peut rendre les opérations inter-ensembles (unions, intersections) coûteuses.

68Schneider (2003) a également proposé une implémentation de son propre modèle. Contrairement aux implémentations précédemment citées, celle-ci aborde tous les types formalisés dans le modèle théorique (fpoint, fline et fregion). Ce travail est assez proche de ce qu’avait proposé le même auteur avec sa proposition de modèle exact fondé sur l’approche Realm/Rose (Schneider, 1996) (voir ci-dessus), puisque l’auteur propose d’implémenter les types spatiaux flous à l’aide d’un ensemble fini de points répartis régulièrement. L’implémentation du type fpoint ne présente pas de particularités, il s’agit d’un point appartenant à l’ensemble des positions possibles et ayant un degré d’appartenance. De la même manière, l’implémentation du type fline est proche de la formalisation, la principale différence étant que les points composant cette dernière doivent nécessairement appartenir à l’ensemble des positions possibles. Pour le type fregion, ce dernier est composé d’un ensemble de cellules auxquelles est attribué un degré d’appartenance à la région floue. Les règles présentées dans le modèle théorique s’appliquent toujours, ainsi les régions avec des anomalies géométriques ne peuvent pas être modélisées. On peut noter que cette implémentation des fregions est assez semblable à celle qui sera proposée plus tardivement par Kanjinal et al. (2010), avec une région floue modélisée comme un ensemble de polygones nets.

Figure 10 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle flou tel qu’implémenté par Dilo et al. (2007)

Figure 10 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle flou tel qu’implémenté par Dilo et al. (2007)

Mattia Bunel, 2020

69Pour finir, on peut également citer l’implémentation proposée par Carniel et al. (2016). Ces derniers ne proposent qu’une implémentation des lignes et des points flous, délaissant le cas des régions floues. Cinq types sont définis et implémentés dans PostGIS par les auteurs. Le premier d’entre eux est le type générique FuzzyGeometry, qui se spécialise en FuzzyPoint, FuzzyLine et leurs équivalents complexes, FuzzyMultiPoint et FuzzyMultiLine. On notera que cette organisation reprend celle du modèle simple feature. Cette ressemblance ne se limite pas à cet élément, puisque les types complexes sont également définis comme des ensembles de types simples. Les différences avec le modèle simple feature apparaissent lors de la définition du type FuzzyPoint. Ce dernier est défini comme un triplet composé de deux coordonnées x, y et d’un degré d’appartenance. Par extension, le type FuzzyLine est défini comme un ensemble de FuzzyPoint, ainsi le degré d’appartenance d’une FuzzyLine est défini par les points qui la composent.

Modèles fondés sur une construction en extension

70Notre présentation des modèles fondés sur une construction en extension est organisée selon une classification ad hoc, fondée sur la nature des objets sélectionnés et distinguant les modèles fondés sur une construction en extension du premier ordre de ceux fondés sur une construction en extension d’ordre supérieur.

Critères de classement

71Comme nous l’expliquions précédemment, toute définition d’un objet spatial par la sélection d’un ou plusieurs objets géographiques est une construction en extension. On peut distinguer ces modèles selon la nature des objets spatiaux sélectionnés.

72Une première possibilité consiste à définir un objet spatial par la sélection des positions qu’il occupe. La délimitation d’une zone à partir d’un ensemble de pixels est un exemple concret de ce type d’approche, notamment proposée par Zhan (1997). Cet exemple ne doit cependant pas laisser croire que la catégorisation proposée ici est fondée sur la nature de l’implémentation, mais bien sur la sélection de positions dont l’infinité ne peut qu’être approximée par des modèles champs, quelle que soit la nature de leur implémentation. Toutefois, l’ensemble des travaux que nous présenterons s’appuie sur une approche raster.

73À l’inverse, on peut imaginer construire des objets spatiaux à partir d’une sélection d’objets, d’"agrégats" (Charre, 1995) de positions. Cette approche définit des objets spatiaux de manière semblable aux Elements-Clustering Objects de Liu et al. (2019), précédemment présentés. Dans ce cas, le sous-ensemble spatialisé peut être défini à partir d’un groupe d’éléments ne couvrant pas l’intégralité de l’espace (e.g. sélection à partir d’un réseau routier). Nous qualifions ce second type de sélection d’ordre supérieur, car elle s’opère sur des objets complexes, eux-mêmes composés de positions, et non directement de positions comme c’est le cas pour une sélection directe de positions, que nous qualifions de sélection de premier ordre.

Construction en extension du premier ordre

74On peut présenter la définition en extension du premier ordre d’un sous-ensemble flou spatialisé à l’aide de l’exercice de définition d’une limite pour le lac du Chambon. La figure 11 se distingue des exemples précédents par son découpage en pixels (dont la taille a volontairement été exagérée). Chacun se voit attribuer un degré d’appartenance, défini indépendamment. La tâche principale consiste donc à définir une méthode permettant de calculer le degré d’appartenance pour chaque pixel. Pour cet exemple, nous avons adopté une approche simple : le degré d’appartenance décroit avec la distance au rivage. Le degré d’appartenance est donc de 1 pour les pixels situés à l’intérieur du lac, puis il décroit en fonction de la distance du centroïde du pixel au point du rivage le plus proche. Ces règles peuvent être raffinées autant que nécessaire.

75Les travaux de Vanegas et al. (2011) et Takemura et al. (2012), par exemple, s’intéressent à la modélisation de relations spatiales, respectivement "entouré de" et "le long de". L’objectif est de délimiter la zone validant la relation spatiale considérée, c’est-à-dire de construire un "paysage flou" selon la terminologie proposée par Bloch (1996). Ce type de modélisation est nécessairement impacté par l’imprécision du langage naturel. Une description de position est nécessairement imprécise, une même relation spatiale pouvant prendre un sens différent en fonction de l’objet de référence, du locuteur, etc. (Vandeloise, 1986 ; Borillo, 1998 ; Bateman, 2010), écueil justifiant le recours à la théorie des sous-ensembles flous. Ces deux travaux sont fondés sur une méthodologie similaire. Ils définissent tous deux un ensemble de métriques et de fonctions permettant de calculer, pour chaque pixel d’un raster, un degré d’appartenance quantifiant la validité de la relation spatiale modélisée pour la position considérée.

Figure 11 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon par un modèle flou et une implémentation raster (i.e. construction en extension de premier ordre)

Figure 11 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon par un modèle flou et une implémentation raster (i.e. construction en extension de premier ordre)

Mattia Bunel, 2020

76Si ces travaux proposent avant tout une réflexion théorique, d’autres auteurs utilisent cette même approche pour répondre à des problématiques plus appliquées. C’est notamment le cas d’Arabacioglu (2010) qui propose une application de la théorie des sous-ensembles flous à l’architecture, ou Kurtener et Badenko (2000), Makropoulos et al. (2003) et Girot (2007) qui se sont penchés sur des questions de prise de décision appliquées à la gestion du territoire. Girot (2007), par exemple, calcule un indice de vulnérabilité du territoire aux "risques liés au transport de matières dangereuses". Comme précédemment, ces travaux utilisent un raster et calculent, pour chaque pixel, un degré d’appartenance à une zone, dont la sémantique varie en fonction de la problématique.

77Cependant, le calcul du degré d’appartenance dans les travaux de Griot (2007), Makropoulos et al. (2003) et Arabacioglu (2010) est réalisé à l’aide d’un système d’inférence flou et non directement comme dans les travaux de Vanegas et al. (2011) et de Takemura et al. (2012). Les systèmes d’inférence flous, pendant flou des systèmes experts, permettent également de calculer un degré d’appartenance pour chaque individu (quelle que soit sa nature), mais à partir de règles logiques formulées en langage naturel. Leur utilisation permet donc de prendre en compte l’imprécision, ici liée à l’expression orale (Makropoulos et al., 2003 ; Griot, 2007), ou à la quantification de ressentis (Arabacioglu, 2010), mais également de formaliser des connaissances expertes.

78La définition en extension du premier ordre d’un sous-ensemble spatialisé est courante dans la littérature, et les publications présentées ici l’appliquent à des thématiques diverses, comme l’interprétation d’images aériennes (Brandtberg, 2002 ; Fonte, Lodwick, 2005), la gestion du territoire (Griot, 2007 ; Makropoulos et al., 2003), la qualification de ressentis (Arabacioglu, 2010) ou la modélisation de relations spatiales floues (Takemura et al., 2012 ; Vanegas et al., 2011).

Construction en extension d’ordre supérieur

  • 29 Discrétisé pour la représentation, mais il s’agit d’une valeur continue comme pour les exemples pré (...)

79La construction en extension d’ordre supérieur d’un sous-ensemble flou spatialisé est probablement l’approche qui nécessite le plus de s’appuyer sur un exemple concret (figure 12). Comme nous l’expliquions précédemment, cette approche nécessite d’attribuer des degrés d’appartenance à des objets, des agrégats de position. Elle se distingue donc de la construction en extension du premier ordre, qui nécessite d’attribuer un degré d’appartenance à des positions (cas théorique) ou à un pavage régulier, une discrétisation de l’ensemble des positions (cas pratique, cf. figure 11). La figure 12 représente à la fois l’occupation du sol de la zone traitée et le degré d’appartenance29 de l’objet à la zone modélisée. Ainsi, on considère que le polygone du lac appartient totalement au sous-ensemble flou "lac", que les berges y appartiennent moyennement et qu’une partie des forêts y appartient faiblement. Quant aux autres éléments, on considère qu’ils n’appartiennent pas à la zone modélisée.

Figure 12 : Illustration de la définition du lac du Chambon par sélection floue d’objets géographiques (i.e. construction en extension d’ordre supérieur)

Figure 12 : Illustration de la définition du lac du Chambon par sélection floue d’objets géographiques (i.e. construction en extension d’ordre supérieur)

Mattia Bunel, 2020

80Ce processus de construction, pendant spatial de la réflexion sur les requêtes floues (Wang, 1994 ; Moreau et al., 2018), est utilisé par Duračiová et Chalachanová (2017) qui illustrent leur méthodologie par la sélection floue "[des] grands parkings proches du stade et ayant été rénovés il y a environ deux ans". Leur démarche est fortement similaire à celle de l’exemple précédent (figure 12). Les autrices définissent des règles permettant de quantifier l’appartenance des objets spatiaux candidats à l’ensemble flou correspondant à la description. Là où nous n’utilisions qu’un seul critère, la proximité, ce nouvel exemple nécessite de prendre en compte la proximité mais aussi la date de la dernière rénovation. Chacun de ces critères permet de construire un sous-ensemble flou spatialisé (celui des parkings proches du stade et celui des parkings rénovés il y a environ deux ans) et l’intersection de ces deux ensembles, réalisée à l’aide des opérateurs flous présentés précédemment (partie précédente), permet de construire le sous-ensemble flou désiré. Un processus similaire est utilisé par Bard et al. (2003) dans le cadre de l’évaluation de la généralisation cartographique. Les objets spatiaux sont ici classés dans des sous-ensembles flous figurant une description de la qualité de la généralisation. Cross et Firat (2000) utilisent, quant à eux, une approche similaire pour ajouter la prise en compte de l’imprécision aux modèles objets des systèmes d’information géographiques. Dans tous les cas, le sous-ensemble flou construit est spatialisé, mais cette spatialisation est exogène, puisque dépendante de la géométrie des objets spatiaux sélectionnés.

Conclusion

81Dans cet état de l’art, nous avons souhaité présenter les différents concepts permettant de décrire les objets géographiques dont la délimitation précise est impossible. Les différentes théories et implémentations recensées offrent de nombreuses possibilités pour modéliser l’imprécision spatiale. Nous nous sommes particulièrement penchés sur les différentes implémentations que nous avons catégorisées selon leur méthode de construction. Ainsi, nous distinguons les implémentations fondées sur une construction en intension et les implémentations fondées sur une construction en extension.

  • 30 Le GML (Geography Markup Language) est un langage normalisé permettant la représentation de données (...)

82La modélisation de l’imprécision spatiale est donc un champ de recherche riche, qui offre aux géographes de nombreux outils théoriques permettant de travailler efficacement avec les nombreux objets spatiaux aux frontières imprécises auxquels nous sommes régulièrement confrontés. Bien que la considération de l’imprécision des objets spatiaux soit assez ancienne, la formalisation de modèles et encore plus leur implémentation, est un champ de recherche encore actif comme le montre, par exemple, la récente réflexion autour de l’expression de l’imprécision spatiale au sein du format GML30 (Wei et al., 2017).

83Toutefois, l’application de ces différents modèles à une problématique concrète impose de sélectionner une implémentation avec laquelle travailler. Dans le cadre de notre travail de recherche, nous avons été amenés à confronter certaines de ces implémentations en vue de spatialiser une position décrite en langage naturel, et donc, foncièrement imprécise. Nous avons adopté une démarche fondée sur un principe de décomposition et de spatialisation indépendante des différentes relations spatiales utilisées pour exprimer une position (Bunel, 2019). Les contraintes liées à cette démarche, comme la nécessité de combiner les résultats de différentes spatialisations, nous ont amené à adopter une approche similaire à celle de Vanegas et al. (2011) et de Takemura et al. (2012), i.e. une modélisation fondée sur la théorie des sous-ensembles flous et implémentée à l’aide de rasters. Cette solution nous paraît être le meilleur compromis entre minimisation des contraintes techniques et finesse de modélisation (Bunel, 2019).

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Notes

1 Néologisme de Frank Lloyd Wright. Qualifie des petites maisons individuelles en harmonie avec leur environnement, lesquelles sont une part importante de son œuvre construit.

2 Y compris le terme "vague", lui-même (Russell, 1923), on parle alors d’imprécision d’ordre supérieur ou higher-order vagueness (Williamson, 1994).

3 Ou fuzzy dans les publications anglophones.

4 Friche urbaine ou industrielle.

5 "La realta ci mostra quanto sia problematico e spesso arbitrario tracciare dei confini […]" (Odd Ambrosetti, 1987, p.200), traduction de l’auteur.

6 Si l’on passe outre l’imprécision liée à la saisie manuelle.

7 Freksa et Barkowsky (1996) utilisent le terme d’incertitude pour qualifier aussi bien ce que nous définissons comme l’incertitude spatiale, que ce que nous définissons comme l’imprécision spatiale.

8 Nous aurions également pu faire les mêmes remarques pour le tracé de la limite de l’eau (figure 1). Mais pour éviter les confusions nous avons choisi de nous limiter à l’exemple de la frontière extérieure.

9 Désaccord sur la définition (traduction de l’auteur).

10 Frontières dont la précision du tracé importe peu (traduction de l’auteur).

11 Frontières variables dans le temps (traduction de l’auteur).

12 Objets aux frontières dynamiques (traduction de l’auteur).

13 Objet composé.

14 Objet dérivé.

15 "crisp sets", par opposition aux "fuzzy sets", en version originale.

16 Le lecteur pourra se référer aux ouvrages de Klir et Yyan (1995) ou de Bouchon-Meunier (1995, 2007) pour plus de détails à ce sujet.

17 Le modèle simple features (norme ISO 19125) est le modèle standard de représentation vectorielle des géométries des objets spatiaux.

18 Ou point set topology.

19 Ou, récursivement, un ensemble d’ensemble de positions, si l’on souhaite définir un objet spatial à partir d’un autre objet spatial.

20 Zone tampon.

21 Region connection calculus. Il s’agit d’une théorie de modélisation des relations topologiques entre objets spatiaux proposée.

22 Schneider (1996) parle d’objets vagues.

23 Bejaoui et al. (Bejaoui et al., 2009 ; Bejaoui 2009) parlent d’objets vagues, partiellement vagues et nets.

24 Les points flous sont définis comme le couple composé d’une position, i.e. un point non flou, et un degré d’appartenance.

25 Les points flous situés aux extrémités des deux lignes floues unies doivent donc être équivalents, i.e. qu’ils partagent leurs coordonnées, ainsi que la valeur de leur degré d’appartenance.

26 Tels que définis dans le modèle simple features.

27 Par exemple, une alpha-cut dont le seuil est de 1 est équivalente au noyau du sous-ensemble flou.

28 Chaque alpha-cut est donc incluse dans la suivante.

29 Discrétisé pour la représentation, mais il s’agit d’une valeur continue comme pour les exemples précédents.

30 Le GML (Geography Markup Language) est un langage normalisé permettant la représentation de données géographiques.

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Table des illustrations

Titre Figure 1 : Saisie manuelle de la limite du lac du Chambon
Crédits Mattia Bunel, 2020
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Fichier image/jpeg, 216k
Titre Figure 2 : Saisie manuelle d’une limite alternative
Crédits Mattia Bunel, 2020
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Fichier image/jpeg, 220k
Titre Figure 3 : Mise en évidence de la limite imprécise du lac
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-3.jpg
Fichier image/jpeg, 220k
Titre Figure 4 : Mise en évidence de l’incertitude pour la limite des hautes eaux
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-4.jpg
Fichier image/jpeg, 228k
Titre Figure 5 : Distinction entre les notions d’imprécision et d'incertitude spatiale
Légende Pour des raisons de lisibilité seule la frontière de l’objet spatial est représentée.
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-5.png
Fichier image/png, 85k
Titre Figure 6 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon à l’aide de la théorie des sous-ensembles flous
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-6.jpg
Fichier image/jpeg, 52k
Titre Figure 7 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle exact tel que proposé par Bejaoui et al. (2009)
Légende Comme pour tous les modèles "exacts" la zone d’appartenance totale est incluse dans la zone d’appartenance au moins partielle.
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-7.png
Fichier image/png, 76k
Titre Figure 8 : Les trois types géométriques flous proposés par Schneider (1999)
Crédits Mattia Bunel, 2020, d’après Schneider (1999).
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-8.png
Fichier image/png, 33k
Titre Figure 9 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle flou discrétisé par un ensemble de polygones
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-9.png
Fichier image/png, 25k
Titre Figure 10 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon avec un modèle flou tel qu’implémenté par Dilo et al. (2007)
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-10.png
Fichier image/png, 79k
Titre Figure 11 : Illustration de la modélisation du lac du Chambon par un modèle flou et une implémentation raster (i.e. construction en extension de premier ordre)
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-11.png
Fichier image/png, 13k
Titre Figure 12 : Illustration de la définition du lac du Chambon par sélection floue d’objets géographiques (i.e. construction en extension d’ordre supérieur)
Crédits Mattia Bunel, 2020
URL http://journals.openedition.org/cybergeo/docannexe/image/36126/img-12.png
Fichier image/png, 143k
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Pour citer cet article

Référence électronique

Mattia Bunel, « Un état de l’art sur l’imprécision spatiale et sa modélisation », Cybergeo : European Journal of Geography [En ligne], Cartographie, Imagerie, SIG, document 966, mis en ligne le 11 février 2021, consulté le 09 mars 2021. URL : http://journals.openedition.org/cybergeo/36126 ; DOI : https://doi.org/10.4000/cybergeo.36126

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Auteur

Mattia Bunel

Université Paris-Est, LASTIG MEIG, IGN, ENSG, F-94160 Saint-Mandé, France. Mattia.bunel@ign.fr

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