Cette recherche a bénéficié du soutien financier de la Chaire de recherche du Canada sur l’équité environnementale et la ville (950-230813).

Introduction

1Il existe une multitude de méthodes de classification visant à regrouper les observations d’un jeu de données en plusieurs classes sur la base de plusieurs variables (Theodoridis et al., 2010). On établit habituellement une distinction entre les méthodes de classification non supervisées et les méthodes supervisées (figure 1). Les premières relèvent de la statistique exploratoire multidimensionnelle et permettent de classifier automatiquement les observations sans connaissance a priori sur la nature des classes présentes dans le jeu de données (Lebart et al., 1995) ; les plus connues sont sans conteste les algorithmes de classification ascendante hiérarchique (CAH) et k-means (k-moyennes). Quant aux secondes, elles permettent d’affecter des observations à partir d’un échantillon déjà classifié, souvent dénommé classes d’entraînement ; les plus connues sont les forêts d’arbres décisionnels, les réseaux de neurones artificiels ou encore l’analyse factorielle discriminante (figure 1). Aussi, on distingue habituellement les méthodes dites strictes (ou de partition) des méthodes dites floues (hard versus soft clustering en anglais) (figure 1). Succinctement, dans une classification stricte, chaque observation appartient à une seule classe : mathématiquement parlant, l’appartenance à une classe donnée est binaire (0 ou 1) tandis que dans une classification floue, chaque observation a une probabilité d’appartenance variant de 0 à 1 à chacune des classes.

2Depuis une cinquantaine d’années, les méthodes de classification sont largement utilisées par les géographes francophones, surtout la CAH et l’algorithme k-means. En France, dès 1976, Denise Pumain proposait une typologie socioprofessionnelle des villes françaises à partir d’une analyse factorielle des correspondances (AFC) et d’une CAH (Pumain, 1976). La même année, au Canada, Antoine Bailly et Michel Beaudry (1976) proposaient une typologie des espaces socio-résidentiels à Edmonton, à partir d’une analyse en composantes principales (ACP) et d’une CAH. Dans une perspective historique, signalons que ces deux articles ont été publiés trois ans après la parution des deux tomes de L’analyse des données du mathématicien Jean-Paul Benzécri (1973), dans lesquels il décrivait la CAH (Tome 1. La taxinomie), formulait l’AFC (Tome 2. L’analyse des correspondances) et proposait des codes FORTRAN pour mettre en œuvre ces deux méthodes. Cela souligne la rapidité avec laquelle les géographes francophones de cette époque ont acquis une solide expertise dans les méthodes factorielles et de classification. On peut alors s’étonner que les méthodes de classification floues soient moins connues et, surtout, moins utilisées par les géographes.

3Autre source d’étonnement, les principaux algorithmes de classification utilisés en géographie (CAH, k-means et analyse factorielle discriminante, entre autres) n’intègrent pas de dimension spatiale dans le processus de classification. Autrement dit, l’affectation des observations à chacune des classes n’est réalisée que sur la base des caractéristiques sémantiques des entités géographiques, sans égard à des phénomènes bien connus des géographes comme la contiguïté, la proximité et l’autocorrélation spatiale. Pourtant, des extensions spatiales de la CAH et du k‑means ont été proposées récemment, telles la méthode ClustGeo (Chavent et al., 2018) et une version spatiale de l’algorithme en logique floue (spatial fuzzy c-means – SFCM) (Cai et al., 2007). Or, ces deux méthodes demeurent elles aussi peu connues et utilisées par les géographes.

4Pourtant, ne pas tenir compte de la dimension spatiale dans les exercices de classification peut conduire à des situations où les classes obtenues sont peu cohérentes sur le plan spatial. En d’autres termes, des effets de mitage peuvent être observés, soit des observations isolées appartenant à des classes différentes de celles de leurs voisines. Il est alors difficile de transposer les classes produites dans la pratique afin de faciliter l’élaboration de politiques publiques territorialisées. Cet effet de mitage est d’autant plus marqué dans le cas des classifications strictes, qui doivent nécessairement attribuer une classe à chaque observation. Les classifications floues évitent, au moins en partie, cet écueil, en attribuant uniquement une probabilité d’appartenance aux différentes classes. Il est également possible de décrire ce problème en termes de surinterprétation (overfitting) : le mitage est alors perçu comme du bruit dans les données, provoqué par des variations d’échantillonnage. Les algorithmes de classification a-spatiaux trouvent des solutions optimales d’un point de vue sémantique, mais trop complexes d’un point de vue spatial. Introduire l’espace dans ces algorithmes a alors pour objectif de lisser spatialement les résultats pour limiter le bruit dans la classification finale (Oliver, Webster, 1989). Cette logique repose sur l’idée que deux observations proches spatialement tendent à être similaires. Ainsi, les méthodes de classification spatiales ne visent pas à proposer des solutions radicalement différentes de leurs contreparties a-spatiales, mais à lisser leurs résultats en tenant compte des relations de proximité/contiguïté entre les observations.

5L’objectif de cet article est avant tout méthodologique : décrire en détail la méthode SFCM que nous avons implémentée dans un paquet R dénommé geocmeans, ainsi qu’un ensemble de fonctions facilitant l’interprétation des résultats. Plus spécifiquement, il vise à répondre à la question suivante : quels sont les apports de la méthode SFCM (floue, spatiale) comparativement aux méthodes CAH (stricte, a-spatiale), c-means (floue, a-spatiale) et ClustGeo (stricte, spatiale), en termes de qualité de classification sur les plans sémantique, spatial et de l’interprétation ? Pour ce faire, l’article est organisé comme suit. Dans un premier temps, nous ferons un bref retour sur les principales méthodes de classification non supervisées dites classiques, qu’elles soient strictes (CAH et k-means) ou floues (fuzzy c-means). Dans un deuxième temps, nous décrirons deux principales méthodes non supervisées intégrant une dimension spatiale (ClustGeo et SFCM), en prenant soin de les distinguer préalablement des méthodes de classification par agrégation spatiale intégrant une contrainte spatiale (par exemple AZP, SKATER et AMOEBA) (Aldstadt, Getis, 2006 ; Assunção et al., 2006 ; Openshaw, 1977). Puis, afin d’illustrer l’apport de cette méthode en géographie, nous proposons de comparer les résultats de quatre méthodes de classification non supervisées : une CAH classique (a-spatiale et stricte), un FCM classique (a-spatial et flou), la méthode ClustGeo (spatiale et stricte) et la méthode SFCM (spatiale et floue), et ce, en mobilisant un jeu de données sur des variables socio-économiques et environnementales de l’agglomération de Lyon au niveau des îlots regroupés pour l’information statistique (IRIS). De cette façon, il sera possible de distinguer les apports respectifs des méthodes de classification floue/exclusive et spatiale/a-spatiale.

Un bref retour sur les principales méthodes de classification non supervisées classiques

6La classification ascendante hiérarchique (CAH) est sans aucun doute la méthode de classification non supervisée la plus utilisée en géographie. À la fin des années 1980, l’excellent travail de vulgarisation de cette méthode réalisé par Lena Sanders (1989), dans son ouvrage L’analyse statistique des données en géographie, a certainement contribué à la popularité croissante de la CAH auprès des géographes francophones durant les décennies 1990 et 2000. Cette méthode repose en effet sur un principe très simple : elle consiste à agréger progressivement les observations en fonction de leur degré de ressemblance jusqu’à l’obtention d’une seule classe. Pour n individus, on obtient ainsi une hiérarchie de partitions : une première partition avec n-1 classes, puis n-2 classes et ainsi de suite jusqu’à une partition regroupant tous les individus. Une fois la hiérarchie de partitions obtenue, l’analyse de l’arbre de classification – appelé dendrogramme – permet de déterminer le ou les niveaux de coupure optimale ; autrement dit de choisir le nombre de classes optimal dans le jeu de données. Pour calculer une CAH, il convient alors de spécifier la métrique pour évaluer la ressemblance entre les observations et un critère d’agrégation pour définir la stratégie de regroupement entre un groupe déjà formé et une observation (Lebart et al., 1995). Concernant la métrique, la distance euclidienne, ou mise au carré, est habituellement utilisée pour les variables continues, tandis que l’utilisation de la distance du khi² est préconisée pour des variables d’effectifs. Il existe plusieurs critères d’agrégation largement détaillés dans la littérature (Everitt et al., 2011 ; Sanders, 1989), notamment les sauts minimal, maximal, moyen, médian et celui de Ward (1963). Ce dernier critère est le plus utilisé, car il permet de minimiser la variance intraclasse (soit rendre les groupes les plus homogènes possible) et maximiser la variance interclasse (soit rendre les groupes les plus dissemblables possible entre eux) (Everitt et al., 2011). L’avantage de la CAH est qu’elle permet d’obtenir une hiérarchie de partitions et ainsi de choisir le nombre de classes optimal. Par contre, elle n’est pas adaptée à des tableaux de données volumineux (comprenant plusieurs milliers d’observations) puisqu’elle nécessite de calculer n-1 partitions. Bien entendu, dresser une liste exhaustive des articles en géographie mobilisant la CAH serait une tâche ardue, voire impossible. Mentionnons toutefois que cette méthode a été largement appliquée à des données spatiales, notamment pour identifier les types d’espaces socio-résidentiels dans les grandes villes françaises (Tabard, 1993), à Besançon et Metz (Sahraoui et al., 2014), à Montréal au Québec (Apparicio, Séguin, 2006), à Puebla au Mexique (Bélanger, 2006), à Dakar au Sénégal (Ndiaye, 2015) ou encore à Nabeul en Tunisie (Saad, 1982). Elle a aussi été utilisée dans des études en géographie de la santé pour repérer les déserts alimentaires à Montréal (Apparicio et al., 2007) ou pour obtenir une typologie des territoires de santé au Québec (Fleuret, Apparicio, 2011).

7L’algorithme du k-means, proposé par MacQueen (1967), est une technique d’agrégation autour des centres mobiles, aussi connue sous le terme "nuées dynamiques" en français (Diday, 1971). Contrairement à la CAH, le k-means nécessite de fixer au préalable le nombre de classes désirées et d’itérations. La première étape de l’algorithme consiste à tirer au hasard ou à sélectionner k observations qui serviront de centres de classes initiaux. À la première itération, chaque observation du jeu de données est affectée au centre de classe le plus proche (à partir d’une métrique euclidienne ou encore du khi²). Puis, on recalcule les centres de classes (les valeurs moyennes des groupes ainsi formés) et on réaffecte chaque observation à ces nouveaux centres de classes les plus proches. Le processus est donc itératif jusqu’à ce que la classification soit stable. Contrairement à la CAH, le k-means est une méthode heuristique, puisque les résultats varient sensiblement dépendamment du tirage ou de la sélection des centres de classes initiaux et, surtout, en fonction du nombre d’itérations. Comparativement à la CAH, le k-means est tout à fait adapté à la partition de vastes jeux de données, l’inconvénient étant que l’on doive connaître au préalable le nombre de classes. Toutefois, pour pallier cet inconvénient, il est tout à fait possible de réaliser plusieurs k‑means (de k=3 à k=15 par exemple), puis d’analyser des mesures de qualité de classification afin de sélectionner le nombre de classes optimal. Aussi, plusieurs variantes du k-means ont été proposées, notamment le k-médianes (Jain, Dubes, 1988) ou encore le k-médoïdes (Kaufman, Rousseeuw, 1987). Finalement, des auteurs comme Wong (1982) et Lebart et al. (1995, sect. 2.3) ont proposé une méthode de classification mixte, combinant à la fois les algorithmes d’agrégation autour des centres mobiles et de la CAH. En géographie, le k‑means a été largement appliqué à des données spatiales, notamment dans des études à Lille sur l’accessibilité aux transports collectifs dans cette ville (Richer, Palmier, 2012) et, au Québec, dans des études sur les trajectoires de concentration de la pauvreté (Apparicio et al., 2015), sur la définition de zones homogènes pour la marchabilité à Montréal (Riva et al., 2008) et sur la géographie du don de sang au Québec (Cloutier et al., 2011). Quant à la classification mixte, elle a aussi été utilisée pour qualifier les types d’espaces ruraux en Europe méditerranéenne (Chevalier et al., 2010) ou classifier des images Landsat (Apparicio, 2002).

8Le fuzzy c-means (FCM), aussi appelé fuzzy k-means, a été originalement proposé par Dunn (1973). Il s’agit d’une méthode en logique floue, c’est-à-dire que pour chaque observation, la probabilité d’appartenance aux c groupes est évaluée et présentée sous forme d’une matrice d’appartenance u de taille n par c, où u_ik est la probabilité de l’observation k d’appartenir au groupe i. La somme de chaque ligne u est égale à 1. Comme pour le k-means, le FCM nécessite de fixer au préalable le nombre de classes et le nombre d’itérations ; les centres de classes initiaux sont aussi soit tirés au hasard, soit spécifiés par l’utilisateur. Ensuite, de façon itérative, le centre des classes (v) est mis à jour avec la matrice u, puis les probabilités d’appartenance sont réévaluées avec les nouveaux centres de classes. Ce processus est répété jusqu’à ce que le nombre d’itérations fixé soit atteint ou jusqu’à ce qu’un critère de convergence soit satisfait. La mise à jour des classes et de u est calculée avec la formule suivante :

où k et i sont respectivement une observation et une classe.

9Le paramètre m est le principal ajout à la méthode FCM. Il permet de contrôler le degré de flou de la classification. Si m=1, la classification obtenue sera stricte (la matrice u sera uniquement remplie de 0 et de 1) ; avec un m plus grand, les valeurs de la matrice u diminuent jusqu’à être parfaitement homogènes. Comme pour le k-means classique, différents types de distances peuvent être utilisés (euclidienne, khi², de Mahalanobis, etc.) et le choix des centres de classes initiaux tout comme le nombre d’itérations peuvent potentiellement affecter les résultats de la classification. Il est habituel de tester plusieurs valeurs pour le nombre de classes jusqu’à trouver la combinaison idéale entre le c et le m. La méthode FCM a été largement utilisée pour l’identification des utilisations du sol à partir d’images satellitaires (Fisher, Pathirana, 1990), mais aussi dans l’analyse du marché immobilier (Hwang, Thill, 2009), ou encore des activités quotidiennes des citadins (Hafezi et al., 2017). Une solution de rechange aux approches de logique floue a également été proposée : les approches par recouvrement, lesquelles autorisent des observations à appartenir à plusieurs classes dans une classification stricte (Baadel et al., 2016).

Les méthodes de classification non supervisées dites spatiales

10Les méthodes de classification présentées ci-dessus n’ont pas été élaborées pour des données présentant une dimension spatiale. En effet, la ressemblance des observations n’est basée que sur leurs caractéristiques sémantiques. Dans ce contexte, les appliquer à des jeux de données spatialisées pose deux problèmes majeurs.

11Premièrement, une partie de l’information propre aux données, à savoir leur localisation, n’est pas prise en compte dans le processus de classification. Or, la dimension géographique est souvent très structurante ; par conséquent, l’occulter revient à perdre une quantité non négligeable d’information. Il convient toutefois de nuancer quelque peu ce propos. Généralement, la cartographie des méthodes de classification non supervisées a-spatiales (CAH et k-means) révèlent des effets de voisinage, d’autant plus que les variables introduites dans la classification sont fortement autocorrélées positivement.

12Deuxièmement, dans un contexte d’autocorrélation spatiale positive, des observations proches spatialement devraient plus vraisemblablement appartenir au même groupe. Avec les méthodes de classification a-spatiales, il est fréquent d’observer des phénomènes de mitage, c’est-à-dire des observations appartenant à un groupe b et isolées au milieu d’un ensemble d’observations appartenant au groupe a. Ce phénomène peut s’expliquer par la présence ici et là d’autocorrélation spatiale locale négative, c’est-à-dire des observations dont les caractéristiques sémantiques diffèrent de leurs voisines. Souvent, la dissimilarité sémantique entre ces observations est négligeable et ne justifie pas cette rupture spatiale. Notons que ce problème se pose moins pour les méthodes de classification floues, puisque l’analyse des probabilités d’appartenance à chacune des classes permet justement de limiter ces problèmes de mitage.

13Le besoin de méthodes de classification produisant des résultats plus cohérents spatialement n’est pas nouveau : il a émergé dès les années 1980, avec les travaux précurseurs en économie régionale de Fischer (1980) sur l’identification de régions homogènes, soit des ensembles d’entités spatiales contiguës ayant un fort degré de similarité par rapport à un ensemble d’attributs. Cet exercice a une application directe dans diverses disciplines : géographie, économie régionale, écologie, études urbaines, transport, etc.

14Les premières approches proposées historiquement imposent une contrainte spatiale de contiguïté. Nous les qualifions ici de méthodes par agrégation spatiale. Elles se distinguent par leur façon de construire des groupes : k entités spatiales sont d’abord sélectionnées au hasard ou par l’utilisateur, puis leurs voisines respectives sont agrégées à ces premières entités pour former des régions, en cherchant à maximiser la variance interrégionale et à minimiser la variance intrarégionale. Le résultat de ce processus est la création de régions très cohérentes spatialement, c’est-à-dire avec une absence de mitage. Autrement dit, avec ces méthodes, il n’est pas possible d’identifier de groupes qui seraient spatialement discontinus, c’est-à-dire composés de plusieurs ensembles régionaux séparés. L’impossibilité d’obtenir du mitage au sein des différentes régions peut masquer la présence de valeurs fortement dissemblables localement, malgré la prise en compte de l’espace. Or, ces observations systématiquement différentes de leurs voisines doivent faire l’objet d’une attention particulière dans les exercices de classification intégrant l’espace, ce que ne permettent pas ces méthodes d’agrégation spatiale. Parmi elles, les plus connues sont l’AZP (Openshaw, 1977 ; Openshaw, Rao, 1995), la méthode SKATER (Assunção et al., 2006) et l’AMOEBA (Aldstadt, Getis, 2006). Les limites de ces méthodes, particulièrement celles relatives au mitage, ont conduit plus récemment à la mise au point de nouvelles méthodes incluant l’espace dans le processus de classification, sans imposer une contrainte de contiguïté. Plus spécifiquement, ces nouvelles méthodes sont des modifications des algorithmes classiques, tels que la CAH ou le FCM, pour intégrer la dimension spatiale en parallèle à la dimension sémantique des données. En d’autres termes, l’espace n’est plus intégré comme une contrainte dans les algorithmes de classification, mais plutôt comme une donnée supplémentaire.

Classification ascendante hiérarchique spatiale : la méthode ClustGeo

15La méthode ClustGeo, proposée récemment, constitue une version modifiée de la CAH incluant la dimension spatiale des données (Chavent et al., 2018). Elle est basée sur le critère d’agrégation de Ward (1963) et introduit deux matrices de dissimilarité entre les observations : une matrice sémantique (D₀) et une matrice spatiale (D₁). La première comprend les distances entre les observations pour les valeurs des variables, tandis que la seconde contient les distances géographiques entre les observations. Un paramètre 𝛼 permet de définir le poids de D₁ comparativement à D₀ : avec 𝛼=0, aucun poids n’est accordé à D₁ et l’on obtient alors une CAH classique ; avec 𝛼=1, tout le poids est accordé à D₁ et produit une classification purement spatiale. L’enjeu principal est donc de fixer la valeur du paramètre 𝛼, considérant qu’une augmentation de 𝛼 revient à améliorer l’inertie expliquée de la matrice spatiale, au détriment d’une perte de l’inertie expliquée sur le plan sémantique. Puisque la méthode ClustGeo est une extension de la CAH, il s’agit également d’une méthode de classification stricte. Bien que récente, la méthode a déjà été utilisée par exemple à Bandung (Indonésie), pour l’analyse de cas de diarrhée (Jaya et al., 2019), et dans l’Indiana (États-Unis) pour la délimitation de régions de gestion de la population des cerfs de Virginie (Swihart et al., 2020).

Spatial fuzzy c-means (SFCM)

16Jusqu’à présent, les méthodes de classification floues incluant une dimension spatiale ont peu fait l’objet d’applications empiriques en géographie, malgré leur intérêt non négligeable face aux méthodes strictes. Pourtant, ces méthodes existent et sont notamment mises à profit dans le domaine de l’imagerie par résonance magnétique (IRM). En effet, l’utilisation de méthodes de classification floues, avec notamment le FCM, est une pratique courante pour segmenter des images médicales, notamment des IRM du cerveau. Cependant, la présence de bruit dans ces images rend le processus de classification plus compliqué, ce qui a conduit à l’introduction d’une dimension spatiale dans l’algorithme classique FCM (Adhikari et al., 2015 ; Cai et al., 2007 ; Chuang et al., 2006). Plus spécifiquement, nous avons retenu ici la méthode SFCM (Cai et al., 2007) pour sa rapidité d’exécution et parce qu’elle n’introduit qu’un seul paramètre supplémentaire dans l’algorithme. Comme pour la méthode ClustGeo, ce paramètre 𝛼 vient contrôler le poids de la dimension spatiale par rapport à la dimension sémantique.

17Comparativement au FCM classique, le SFCM introduit dans son calcul, en plus du jeu de données original (D_o), une version spatialement décalée (D_s) de ce dernier (Cai et al., 2007). En analyse d’image, cela revient à calculer D_s en appliquant un filtre moyen ou médian à D_o (la médiane étant moins sensible aux valeurs extrêmes locales). Ce processus peut facilement s’appliquer à des entités géographiques vectorielles, en créant une matrice de pondération spatiale W_kl (l étant les voisins de k et la diagonale de cette matrice valant 0) (Getis, 2009) et en utilisant les poids de cette matrice dans le calcul d’une moyenne ou d’une médiane pondérée locale. La fonction objectif du SFCM est la suivante :

• v est l’ensemble des centres de gravité des groupes, c le nombre de groupes, m le paramètre de logique floue, k une observation et N le nombre d’observations ;

• correspond à la distance euclidienne entre l’observation k et le groupe v_i ;

• correspond à la distance euclidienne entre la version spatialement décalée de k et le groupe v_i ;

• u est la matrice d’appartenance et u_ik la probabilité pour l’observation k d’appartenir au groupe i ;

• 𝛼 est la pondération accordée à la version spatialement décalée du jeu de données sémantiques initial. Si 𝛼=0, alors le SFCM est réduit à un simple FCM. Si 𝛼=2, alors la version spatialement décalée aura deux fois plus de poids dans la classification que le jeu de données original.

18Par extension, u_ik et v_i peuvent être calculés grâce aux équations suivantes :

19La méthode SFCM présente des similarités avec la méthode ClustGeo, notamment la recherche d’un compromis entre la dimension sémantique du jeu de données et la dimension spatiale avec le paramètre 𝛼. On distingue toutefois deux différences notables. Dans le SFCM, l’espace est introduit au moyen d’une version spatialement décalée du jeu de données initial, alors que dans ClustGeo, il s’agit simplement d’une matrice de distances. Autrement dit, ClustGeo inclut l’agencement spatial des observations tandis que le SFCM inclut une information sémantique localisée dans l’environnement immédiat. Deuxièmement, pour le SFCM, 𝛼 correspond au poids relatif de la dimension spatiale (valeurs comprises entre 0 et +∞) alors que pour ClustGeo, il s’agit de la proportion du poids total à répartir entre la dimension spatiale et la dimension sémantique (valeurs comprises entre 0 et 1).

20L’intérêt d’utiliser une matrice spatiale W dans le SFCM est de laisser à l’utilisateur la possibilité de définir le degré de lissage spatial introduit dans la classification. En effet, une matrice donnant du poids à des observations lointaines contribuera à produire des résultats plus lissés spatialement qu’une matrice plus restrictive. Notons ici un autre développement intéressant proposé par Guo et al. (2015), à savoir un FCM spatial basé non pas sur les valeurs de voisins, mais sur la distance spatiale entre les observations.

La question de l’inertie sémantique et de la cohérence spatiale

21Tel que souligné précédemment, l’enjeu d’une classification spatiale est de parvenir à trouver un équilibre entre la dimension spatiale et la dimension sémantique des données. Ainsi, la modification d’ordre spatial de la fonction objectif des algorithmes FCM et CAH s’accompagne à la fois d’un inconvénient et d’un avantage. D’un côté, la prise en compte de la dimension spatiale génère inévitablement une perte de la qualité d’ajustement du point de vue sémantique. Autrement dit, l’inertie expliquée par les méthodes de classification spatiales sera inévitablement moins grande que celle expliquée par des méthodes a-spatiales. En revanche, elle permet un gain de cohérence spatiale, en augmentant la probabilité que des observations voisines ou proches les unes des autres appartiennent au même groupe.

Degré d’incohérence purement spatiale

22Dans le cas de la méthode ClustGeo, il est possible de calculer la part de l’inertie spatiale expliquée, puisque la méthode repose sur une matrice de distance spatiale en plus de la matrice de distance sémantique. Par contre, cette méthode ne peut pas être appliquée au SFCM. Pour y remédier, nous proposons de quantifier le degré d’incohérence spatiale (le degré de dissimilarité entre des observations proches) comme étant la somme des écarts au carré entre les observations et leurs voisines sur la matrice d’appartenance u. Cette information peut être vue comme une quantité au même titre que l’inertie : elle est maximale lorsque, dans une classification, chaque observation appartient systématiquement à un groupe différent de ses voisines (autocorrélation spatiale négative parfaite) et minimale lorsqu’au contraire, les observations appartiennent systématiquement au même groupe (autocorrélation spatiale positive parfaite). Nommons cette somme de l’incohérence spatiale S_cr calculée comme suit :

où W_kl est la pondération spatiale entre les observations voisines k et l, et ‖u_k – u_l‖² est la distance euclidienne entre les probabilités d’appartenance sur la matrice u entre l’observation k et sa voisine l.

23Pour standardiser cette somme, il serait possible de la diviser par la plus grande incohérence spatiale possible produite par une classification spatiale, avec une autocorrélation spatiale négative parfaite. Cependant, cette approche rendrait la comparaison de deux matrices u plus difficile, car le dénominateur serait arbitrairement trop grand. En effet, une classification spatiale tend à produire des résultats spatialement autocorrélés. Il serait donc plus judicieux de comparer la valeur de S_cr à l’incohérence spatiale obtenue sous l’hypothèse d’une répartition spatiale aléatoire des données (S_ca). Pour estimer S_ca, il est possible de recourir aux méthodes de Monte-Carlo, c’est-à-dire de permuter les observations dans la matrice u_ik un grand nombre de fois (habituellement 999), afin de simuler la distribution de S_ca. Nous pouvons ensuite comparer la valeur de S_cr avec la moyenne de S_ca, reporter un intervalle de confiance à 95 %, ou encore considérer la distribution du ratio S_cr/S_ca dans son ensemble. Il est donc attendu que le ratio S_cr/S_ca soit compris entre 0 (cohérence spatiale parfaite, atteinte dans le cas où toutes les observations appartiennent au même groupe) et 1 (incohérence spatiale équivalente à celle attendue si les observations étaient aléatoirement réparties dans l’espace). Il est mathématiquement possible que ce ratio soit supérieur à 1, ce qui signifierait que la classification est marquée par une forme d’autocorrélation spatiale négative. Ce cas de figure est cependant peu probable, considérant que l’objectif même du SFCM est de produire une classification marquée par de l’autocorrélation spatiale positive. La figure 2 présente les valeurs de l’indicateur d’incohérence spatiale obtenues pour des résultats fictifs de trois classifications. Sans surprise, plus l’autocorrélation spatiale positive est importante pour les probabilités d’appartenance de trois classes, plus la valeur de l’indicateur d’incohérence spatiale sera proche de 0.

24Il est intéressant de noter que cette approche peut également être appliquée aux méthodes de classification strictes, à la seule différence que ces dernières ont des matrices d’appartenance u binaires (uniquement avec des valeurs de 0 et de 1). D’autres indicateurs peuvent aider à quantifier le degré de cohérence spatiale, comme l’indice de Moran, calculé sur chacune des colonnes de la matrice d’appartenance u, ou encore les joint count statistics, calculées sur les classes de la classification après avoir définitivement arrêté les classes de chaque observation.

Degré d’incohérence sémantico-spatiale

25L’indice S_cr permet de quantifier le degré d’incohérence spatiale d’une classification floue. Il est calculé uniquement à partir de la matrice d’appartenance et ne dépend donc pas des données originalement utilisées dans la classification. Une de ses caractéristiques est d’augmenter avec le nombre de groupes, car un plus grand nombre de frontières diminue la cohérence spatiale. Cette caractéristique n’est pas nécessairement désirable ; en effet, une frontière nette entre des observations très différentes sur le plan sémantique ne devrait pas pénaliser l’indicateur final. Pour cela, nous proposons un second indicateur d’incohérence sémantico-spatiale S_mcr, pondérant les différences observées entre voisins dans la matrice d’appartenance u par l’inverse de la distance sémantique entre ces observations. La formule est identique à l’équation [3], la seule différence résidant dans la matrice spatiale W, calculée comme suit :

où W_kl est la pondération entre l’observation k et sa voisine l, et ‖k – l‖² est la distance euclidienne sur le plan sémantique entre k et l.

26Cette matrice W est standardisée globalement, et non en ligne, afin de donner plus de poids aux écarts sémantiques importants dans toute la zone d’étude, et pas seulement localement. Les deux indicateurs S_cr et S_mcr peuvent être utilisés conjointement pour déterminer le meilleur équilibrage entre l’inertie sémantique expliquée par la classification et sa cohérence spatiale.

Territoire d’étude, entités spatiales et variables retenues

27Le cas d’étude que nous proposons ici est une analyse exploratoire d’un ensemble de données socio-économiques et environnementales de l’agglomération lyonnaise au niveau des IRIS, qui regroupent entre 1800 et 500 habitants dans le cas des IRIS d’habitation (INSEE, 2016). Le jeu de données comprend dix variables (figure 3). Les trois premières sont relatives à la distribution des nuisances urbaines, à savoir les pollutions sonores et atmosphériques : le bruit routier moyen durant la journée (L_den en 2010) ainsi que les valeurs moyennes annuelles de concentration de dioxyde d’azote (NO₂ en μg/m³ en 2015) et de particules fines (PM_2,5 en μg/m³ en 2015). Quant à la quatrième variable environnementale, elle renvoie à un élément positif du cadre de vie urbain, soit la végétation mesurée comme étant le pourcentage de la surface de chaque IRIS couverte par de la végétation haute (canopée plus de trois mètres, selon des données LiDAR de 2015, avec une résolution de 30 cm). Suivent ensuite six variables socio-économiques (en bleu sur la figure 3), soit les pourcentages de jeunes de moins de 15 ans, de personnes de 65 ans et plus et d’immigrants, le taux de chômage, le pourcentage de personnes de 15 ans et plus faiblement scolarisées (ayant obtenu au plus le brevet des collèges) et finalement, la médiane du niveau de vie (en €), soit le revenu disponible du ménage divisé par le nombre d’unités de consommation. Les données socio-économiques proviennent du recensement de 2015. Les données environnementales sont accessibles sur le site des données ouvertes du Grand Lyon (Métropole de Lyon) et de l’Atmo Auvergne-Rhône-Alpes (2019).

28Sans surprise, l’analyse cartographique de ces variables et de leurs valeurs respectives de l’indice de Moran révèle une forte autocorrélation spatiale positive des indicateurs environnementaux, surtout ceux de la pollution de l’air. En effet, les IRIS localisés dans les arrondissements de la Ville de Lyon présentent des niveaux de pollution bien plus élevés comparativement à ceux des communes périphériques de l’agglomération. Notons aussi la forte autocorrélation spatiale de la médiane du niveau de vie : les IRIS localisés dans les 4^e, 2^e et 6^e arrondissements de la Ville de Lyon et dans les communes à l’ouest de la Saône présentent les valeurs les plus fortes, tandis que ceux du 9^e arrondissement et des communes de Vaulx-en-Velin, Villeurbanne, Saint-Fons, Vénissieux et Givors affichent les revenus médians les plus faibles. Il est à noter que toutes ces variables sont préalablement centrées réduites (moyenne = 0 et écart-type = 1), afin de réaliser les classifications.

Les résultats : application empirique au jeu de données de Lyon

Sélection des paramètres k et m pour les méthodes non spatiales

29Pour déterminer le nombre optimal de classes à retenir (k) ainsi que le paramètre m de logique floue, nous réalisons dans un premier temps un FCM classique. Pour ce FCM, nous avons calculé pour chaque valeur de k entre 2 et 9 et chaque valeur de m entre 1 et 3 (avec un saut de 0,1) cinq mesures permettant d’évaluer la qualité des classifications.

30La première, sans aucun doute la plus utilisée, est la part de l’inertie expliquée variant de 0 à 100 %. La deuxième, l’indice de Xie et Beni (1991), correspond au ratio de la compacité et de la séparation d’une classification floue : une plus grande séparation entre les groupes formés est souhaitable, au même titre qu’une petite compacité ; une valeur faible de l’indice de Xie et Beni indique donc une meilleure classification. La troisième, le critère de silhouette ajusté aux classifications floues (Campello, Hruschka, 2006), permet de mesurer la qualité d’une classification en comparant les distances entre chaque observation et leurs deux centres de groupes les plus proches, pondérées par les probabilités d’appartenance à ces groupes : une valeur plus élevée indique une meilleure classification, c’est-à-dire une faible superposition des groupes. La quatrième, le coefficient de partition (Oliver, Webster, 1989), permet de quantifier l’intensité du floutage d’une classification floue comparativement à une classification stricte, mais ne rend pas compte de la qualité de la prédiction en tant que telle : ce coefficient varie de 0 (complètement flou) à 1 (séparation stricte). La cinquième, l’indice de Fukuyama et Sugeno (1989), combine à la fois la compacité des groupes, la séparation entre les groupes et le degré de flou dans la classification : une augmentation de la compacité et une augmentation de la séparation entraînent une diminution de l’indice, une valeur plus faible indiquant donc une meilleure classification.

31Les résultats de ces indicateurs sont présentés à la figure 4. Sans surprise, plus grand est le nombre de groupes, plus importante est la valeur de l’inertie expliquée ; k semble optimal avec des valeurs de 3 ou 4 (le gain d’inertie étant limité au-delà de 4, figure 4a). Concernant le paramètre m (degré de flou), l’indice de silhouette est maximal quand m est proche de 1,5 (figure 4c). L’intensité du floutage augmente rapidement avec m (figure 4b), mais n’atteint que 60 % lorsque m=1,5 et k=4, indiquant ainsi une distinction encore relativement nette entre les groupes. Enfin, les indices de Fukuyama et Sugeno et de Xie et Beni indiquent tous les deux une classification moins efficace, avec l’augmentation de m. Au-delà de m=1,5, la dégradation de la classification est particulièrement marquée. Il apparaît donc que m=1,5 donne les meilleurs résultats, considérant l’ensemble des indicateurs. Au final, avec k=4 et m=1,5, la classification obtenue permet d’expliquer 30 % de l’inertie totale. À des fins de comparaison, la CAH classique a également été calculée avec quatre classes (k=4), une métrique euclidienne au carré et le critère d’agrégation de Ward (1963).

Sélection des paramètres alpha pour les méthodes spatiales

32Pour la méthode ClustGeo (avec k=4), nous évaluons l’impact du paramètre α pour des valeurs de 0 à 1, avec un saut de 0,05. À la lecture de la figure 5, on observe qu’avec une pondération spatiale fixée à α=0,35, l’inertie de la matrice spatiale expliquée augmente de plus de 25 % pour une perte d’inertie expliquée dans la matrice de distance sémantique de seulement 2 %. Avec α=0,4, on observe une chute importante de l’inertie sémantique expliquée. Nous retenons donc une valeur de 𝛼=0,35 pour la méthode ClustGeo.

33Pour le SFCM (avec k=4 et m=1,5), nous avons calculé toutes les valeurs du paramètre 𝛼 entre 0 et 2, avec un saut de 0,05. Lorsque 𝛼 augmente, la part de l’inertie sémantique expliquée diminue (figure 6.a). En revanche, le critère de silhouette augmente avec 𝛼, atteignant un palier lorsque 𝛼=1 (figure 6.c). Par contre, l’indice de silhouette et le coefficient de partition indiquent une situation optimale quand 𝛼 varie entre 0,45 et 0,55 (figure 6.b). Les indices de Fukuyama et Sugeno et de Xie et Beni (figures 6.d et 6.e) augmentent tous les deux avec alpha, mais cette augmentation est minime lorsqu’on la compare à celles observées dans les graphiques des figures 4.d et 4.e.

34Par conséquent, pour la classification finale, nous avons fixé 𝛼=0,7, soit une valeur mitoyenne présentant le meilleur équilibre entre les différents indicateurs. Nous avons aussi comparé les résultats obtenus si la valeur médiane des voisins était retenue au détriment de la valeur moyenne. L’utilisation de la médiane a été écartée, car si les solutions obtenues améliorent très légèrement la cohérence spatiale, c’est au détriment d’une forte perte de l’inertie sémantique expliquée. De même, nous avons comparé les résultats obtenus en utilisant plusieurs matrices de pondération spatiale, à savoir des matrices de contiguïté selon le partage d’un nœud ou d’une frontière (Queen et Rook) et des matrices de plus proches voisins allant de 5 à 10. Les différences étant anecdotiques, nous retenons la matrice classique, c’est-à-dire la plus souvent utilisée, soit la matrice de contiguïté selon le partage d’un nœud standardisée en ligne.

Comparaison des résultats des quatre classifications

35Afin de comparer les résultats des quatre classifications, nous avons calculé plusieurs mesures de qualité d’une partition reportées au tableau 1. L’analyse des valeurs de ces indicateurs permet d’avancer trois constats intéressants. Premièrement, les méthodes de classification strictes (CAH et ClustGeo) parviennent à expliquer une plus grande partie de l’inertie sémantique que les méthodes de classification floues. Par exemple, le pourcentage d’inertie expliquée est de 0,447 pour la CAH contre 0,302 pour le FCM. Deuxièmement, les méthodes de classification floues obtiennent de meilleurs indices de silhouette, reflétant des groupes plus homogènes. Troisièmement, les méthodes spatiales obtiennent des inerties expliquées légèrement plus faibles que leur contrepartie a-spatiale, mais un indice de silhouette plus haut dans le cas du SFCM.

Tableau 1 : Indicateurs de qualité des quatre classifications

Type de classification	A-spatiale			Spatiale
Indicateur	CAHa	FCMb		ClustGeoc	SFCMd
Critère de silhouette	0,308	0,363		0,261	0,370
Coefficient de partition	1,000	0,606		1,000	0,592
Inertie expliquée	0,447	0,302		0,422	0,274
Indice de Fukuyama et Sugeno	342,45	911,55		694,45	1100,08

^a Classification ascendante hiérarchique classique. ^b Classification c-means classique. ^c Classification ascendante hiérarchique spatiale. ^d Classification c-means spatiale.

Conception et réalisation : Gelb et Apparicio, 2020.

36Pour que ce diagnostic soit complet, il convient d’évaluer le rôle joué par la dimension spatiale dans les quatre classifications (tableau 2). Pour ce faire, nous avons calculé le I de Moran sur les colonnes de la matrice d’appartenance, ainsi que les indices d’incohérence spatiale présentés précédemment (équation 3). Il est intéressant de constater que les méthodes introduisant l’espace parviennent à augmenter significativement l’autocorrélation spatiale dans les résultats et d’améliorer nettement la cohérence spatiale. Le SFCM produit d’ailleurs les résultats les plus cohérents spatialement, et ce, pour les deux indicateurs S_cr et S_mcr (la moyenne ainsi que le 5^e et 95^e percentiles des 999 permutations sont reportés).

Tableau 2 : Indicateurs de cohérence spatiale des quatre classifications

	I de Moran sur l’appartenance aux groupese					Indice d’incohérence	Indice d’incohérence
Classification	A	B	C	D		spatiale (Scr)f	sémantico-spatiale (Smcr)f
CAHa	0,489	0,699	0,647	0,231		0,415 (0,404-0,429)	0,304 (0,294-0,315)
FCMb	0,548	0,835	0,724	0,388		0,334 (0,325-0,343)	0,229 (0,222-0,236)
ClustGeoc	0,498	0,779	0,809	0,784		0,267 (0,261-0,275)	0,173 (0,168-0,179)
SFCMd	0,749	0,908	0,860	0,645		0,183 (0,178-0,189)	0,129 (0,125-0,134)

^a Classification ascendante hiérarchique classique. ^b Classification c-means classique. ^c Classification ascendante hiérarchique spatiale. ^d Classification c-means spatiale. ^e I de Moran calculé avec une matrice de contiguïté selon le partage d’un nœud ; plus sa valeur est élevée, plus la classe est cohérente spatialement. ^f À titre de rappel, une valeur proche de 0 traduit une forte cohérence spatiale de la classification, tandis qu’une valeur proche de 1 signale une forte incohérence spatiale.

Conception et réalisation : Gelb et Apparicio, 2020.

37Il apparaît donc clairement que dans le cas qui nous intéresse, les méthodes de classification strictes obtiennent de meilleurs résultats d’un point de vue de l’inertie expliquée. Cependant, l’indicateur de silhouette tend à indiquer que les groupes sont plus homogènes pour les méthodes floues. L’ajout de la dimension spatiale réduit nécessairement la qualité de la classification, mais cette réduction est minime et se fait au profit d’un gain de cohérence spatiale conséquent.

38La figure 7 permet de comparer les quatre groupes obtenus en fonction des quatre algorithmes de classification. Du point de vue de leur distribution spatiale au sein de l’agglomération lyonnaise, le premier groupe (A) regroupe des IRIS localisés dans les espaces périphériques à la Ville de Lyon correspondant à des banlieues. Le deuxième groupe (B) rassemble des IRIS des arrondissements de la Ville de Lyon situés au centre de l’agglomération. Le troisième groupe (C) fait moins consensus entre les quatre méthodes. La CAH classique y inclut tous les secteurs périphériques, alors que le FCM classique et les classifications spatiales l’associent essentiellement aux secteurs périphériques à l’ouest. Par extension, les IRIS du quatrième groupe (D) se situent davantage dans les périphéries de l’est pour le FCM classique et les classifications spatiales. Pour la CAH classique, le quatrième groupe englobe des secteurs entourant directement le centre.

39L’analyse des centres de gravité des classes – valeurs moyennes des observations appartenant à chacun des quatre algorithmes pour les dix variables (tableau 3) – nous permet de classifier les groupes A à D.

40Le groupe A est très similaire pour les quatre algorithmes. Il est caractérisé par des niveaux sonores moyennement élevés (entre 56 et 57 dB) ainsi que par des niveaux de concentration de NO₂ (26 ug/m³) et de PM_2,5 relativement faibles (16 ug/m³) comparativement aux autres groupes. Il présente en revanche des valeurs moyennes très faibles pour la médiane du niveau de vie (autour de 16 000 euros) et, inversement, très fortes pour les pourcentages d’immigrants (autour de 26 %), de jeunes de moins de 15 ans (autour de 25 %), de personnes de 15 à 64 ans faiblement scolarisées (ayant obtenu au plus le brevet des collèges, 39 %) et le taux de chômage (autour de 24 %). En croisant ces résultats avec les cartes précédentes, il apparaît clairement que ce groupe décrit les banlieues socialement défavorisées de Lyon (communes de Vaulx-en-Velin, Saint-Fons et Vénissieux, entre autres). Il est intéressant de noter que la défavorisation sociale ne semble pas se coupler avec une surexposition aux pollutions atmosphériques et sonores.

41À nouveau, le groupe B est très similaire pour les quatre algorithmes. Il est caractérisé par des niveaux de pollutions atmosphériques plus importants que les autres groupes (NO₂ : 35 ug/m³; PM_2,5 : 18,7 ug/m³) et par des niveaux de bruit moyennement élevés (autour de 56,5 dB). Il s’agit également d’un groupe ayant une médiane du niveau de vie élevée (environ 22 500 euros) ainsi qu’un taux de chômage, un pourcentage d’immigrants et un pourcentage de personnes ayant obtenu au plus le brevet des collèges relativement faibles (13,5 %, 12 % et 15,5 %). Si l’on se reporte aux cartes, ce groupe décrit les quartiers centraux de Lyon, marqués par une forte exposition aux différentes pollutions, mais dont la population est favorisée sur le plan socio-économique.

Tableau 3 : Comparaison des centres de gravité des classes pour les quatre classifications

Groupe	Méthode	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7	V8	V9	V10		N
A	CAHa	56,5	25,8	16,2	15,0	24,9	13,9	28,2	25,7	41,4	15 763	97
	FCMb	57,2	27,6	16,6	16,0	24,2	14,2	26,5	24,3	38,3	16 259	92
	ClustGeoc	57,2	27,0	16,5	16,0	25,0	13,6	28,0	25,9	41,2	15 862	92
	SFCMd	56,7	26,6	16,3	15,8	23,7	14,7	24,7	22,5	37,1	16 892	97
B	CAHa	56,3	34,9	18,8	15,5	14,8	14,0	11,9	13,1	14,7	23 196	185
	FCMb	56,7	34,8	18,6	15,1	15,0	14,1	12,4	13,5	16,3	22 940	171
	ClustGeoc	57,0	35,3	18,9	14,4	15,1	13,9	13,1	13,7	16,6	22 371	200
	SFCMd	56,2	34,7	18,6	15,1	14,9	14,1	12,1	13,5	15,8	23 289	132
C	CAHa	53,0	22,2	14,8	24,2	18,5	20,1	8,8	10,3	21,2	24 612	180
	FCMb	52,4	22,8	14,9	27,3	18,4	19,4	8,9	10,8	20,1	25 101	117
	ClustGeoc	53,4	24,2	15,0	29,3	18,0	20,6	8,6	10,6	19,0	25 464	125
	SFCMd	52,7	22,7	14,9	26,1	18,7	19,3	9,4	11,1	20,9	24 638	147
D	CAHa	61,4	35,4	18,0	18,4	19,7	15,2	18,3	17,3	30,2	17 785	44
	FCMb	56,1	27,8	16,6	17,3	18,6	17,2	13,6	13,6	24,6	21 399	126
	ClustGeoc	53,8	22,0	14,9	16,5	20,0	18,0	12,0	12,0	27,0	21 532	89
	SFCMd	57,1	30,1	17,2	17,2	18,2	16,4	14,8	14,6	24,4	20 930	130

^{a, b, c, d} : Voir tableau 2. V1 : Bruit routier (L_den). V2 : NO₂. V3 : PM_2,5. V4 : Végétation (%). V5 : Personnes de moins de 15 ans (%). V6 : Personnes de 65 ans et plus (%). V7 : Immigrants (%). V8 : Taux de chômage. V9 : Personnes de 15 à 64 ans faiblement scolarisées (%). V10 : Médiane du niveau de vie (euros).

Conception et réalisation : Gelb et Apparicio, 2020.

42Il apparaît donc clairement que dans le cas qui nous intéresse, les méthodes de classification strictes obtiennent de meilleurs résultats d’un point de vue de l’inertie expliquée. Cependant, l’indicateur de silhouette tend à indiquer que les groupes sont plus homogènes pour les méthodes floues. L’ajout de la dimension spatiale réduit nécessairement la qualité de la classification, mais cette réduction est minime et se fait au profit d’un gain de cohérence spatiale conséquent.

43Quant au troisième groupe (C), aussi très semblable selon les quatre algorithmes, il est caractérisé par un revenu médian ainsi qu’un indice de canopée très élevé comparativement aux autres groupes (respectivement 24 500 euros et 26 %). Il est aussi associé au pourcentage de population de 65 ans et plus le plus élevé (environ 20 %), au pourcentage d’immigrants le plus faible (environ 9 %), au taux de chômage le plus bas (environ 10,5 %) et à un faible pourcentage de personnes ayant obtenu au plus le brevet des collèges (20 %). Ce groupe combine également les niveaux de concentration de NO₂, de PM_2,5 et de bruit les plus faibles de tous les groupes. Il peut ainsi correspondre aux communes riches et vieillissantes sises dans un environnement de qualité à la périphérie ouest du Grand Lyon.

44Finalement, le quatrième groupe est certainement plus difficile à qualifier, car les algorithmes ont abouti à des solutions légèrement dissemblables. La CAH classique décrit un groupe avec des niveaux de bruit et de NO₂ relativement élevés (61,4 dB et 35,5 ug/m³), un pourcentage d’immigrants et un taux de chômage relativement élevés eux aussi (18,3 % et 17,3 %) ainsi qu’une médiane du niveau de vie plutôt basse (17 700 euros). À l’inverse, les trois autres algorithmes semblent refléter un groupe avec des distinctions bien moins tranchées, se distinguant seulement par sa tendance géographique vers l’est.

Résultats finaux du SFCM et analyse des observations incertaines

45Si l’on conserve uniquement les résultats du SFCM, la figure 8.b permet de résumer les différences entre les groupes. Ce graphique en radar est construit en calculant pour chaque groupe la moyenne se rapportant à chacune des variables originales (pondérée par les probabilités d’appartenance des observations) ; soit les valeurs des centres de gravité pour le SFCM présentées au tableau 3. Pour chaque variable, le groupe ayant obtenu la plus faible valeur est situé à l’origine de l’axe correspondant (au centre du graphique), alors que le groupe ayant obtenu la moyenne la plus forte se trouve à l’extrémité de l’axe. Les autres groupes sont ensuite localisés sur cette échelle linéaire entre la plus forte et la plus faible valeur. Cette figure permet donc d’obtenir un aperçu des différences relatives entre les groupes.

46L’un des intérêts non négligeables d’une classification en mode flou est la possibilité d’identifier des observations pour lesquelles l’attribution à un groupe est très incertaine. Nous définissons ici ces observations comme étant celles pour lesquelles la probabilité la plus haute d’appartenance à un groupe est inférieure à 40 %. En attribuant ensuite chaque observation à son groupe le plus vraisemblable, la cartographie des classes est réalisée à la figure 8.a. Ainsi, 20 observations ont une affectation incertaine (en noir) ; elles sont principalement localisées à l’est de la zone d’étude et majoritairement au sein du groupe D. On peut donc qualifier ce groupe de territoires interstitiels et hétérogènes séparant le centre, les banlieues et la périphérie riche.

47Il est intéressant de noter que la classification proposée corrobore d’autres travaux décrivant les logiques sociale, urbaine et environnementale de la région du Grand Lyon. Le triptyque centre aisé, banlieue défavorisée et périphérie ouest aisée avait déjà été bien décrit par Ravalet (2007), dans une analyse des caractéristiques socio-économiques et des habitudes de déplacement dans la région. Dans leur monographie de la région du Grand Lyon, Authier et al. (2010) avaient également signalé que les populations étrangères et plus socialement défavorisées se concentrent essentiellement dans les grands ensembles d’habitat social édifiés dans les années 1960-1970, au sein des communes de l’Est lyonnais (Vénissieux, Saint-Fons et Vaulx-en-Velin). La commune même de Lyon regroupe une population très diplômée, composée majoritairement de cadres et de personnes exerçant des professions intellectuelles supérieures. L’urbanisation et l’industrialisation ont longtemps été ralenties par le relief à l’ouest de la commune de Lyon, ce qui explique notamment la forte valeur de l’indice de canopée du groupe C et de plus faibles niveaux de pollutions atmosphériques et sonores. Au fil du XXe siècle, les territoires à l’ouest ont été peu à peu développés par l’habitat pavillonnaire, occupé par des populations socialement favorisées. Tous ces points se retrouvent dans la description de la région par Charmes et Rousseau (2014). Ceux-ci soulignent également la grande diversité des couronnes périurbaines de Lyon, ce qui explique le mitage et les observations incertaines que nous avons constatés dans notre classification.

Discussion

Apport de la méthode SFCM

48Dans cet article, nous avons donc comparé les résultats produits par quatre approches ; CAH (a‑spatiale et stricte), FCM (a-spatiale et floue), ClustGeo (spatiale et stricte) et SFCM (spatiale et floue) ; sur un jeu de données combinant des indicateurs socio-économiques et environnementaux de l’agglomération de Lyon (France) concernant les IRIS. Nous avons notamment constaté que pour les deux premiers groupes identifiés, les quatre méthodes produisent des résultats similaires. En revanche, des différences plus marquées s’observent tant sur le plan spatial que sémantique pour les deux derniers groupes. Nos résultats indiquent clairement que les méthodes spatiales parviennent à augmenter nettement la cohérence spatiale des résultats obtenus, sans pour autant réduire fortement l’inertie sémantique expliquée, facilitant ainsi l’interprétation des résultats. De même, nous avons observé que les méthodes floues donnaient des indices de silhouette plus élevés, reflétant des groupes plus homogènes, et ce, alors que les méthodes strictes expliquent une plus grande part de l’inertie sémantique du jeu de données. Il est possible de voir dans cette distinction une forme de résistance des méthodes floues à la surinterprétation : elles "apprennent" les caractéristiques des classes sans avoir à nécessairement inclure les observations situées en limite de celles-ci. Ainsi, la méthode SFCM combine à la fois les avantages de l’approche floue sur l’approche stricte et les avantages de l’approche spatiale sur l’approche a-spatiale. Cependant, comparativement à un FCM classique, deux nouveaux paramètres doivent être fixés : 𝛼, représentant le poids accordé à la dimension spatiale, et W, la matrice de pondération spatiale contrôlant l’effet de floutage spatial. Dans le jeu de données étudié, nous avons pu constater que le rôle de W est mineur et qu’il est relativement facile de sélectionner une valeur optimale de 𝛼 une fois le nombre de classes (k) et la valeur du paramètre de logique floue (m) choisis. Avec un jeu de données de taille modeste ou suffisamment de puissance de calcul, il serait aussi possible de trouver la meilleure combinaison entre 𝛼, m, k, et W en testant toutes les combinaisons possibles. Pour répondre à la question posée en introduction, la méthode SFCM permet de bénéficier à la fois des avantages des méthodes de classification floues (analyse des observations incertaines et classes plus homogènes) et de l’apport de la dimension spatiale (réduction de l’incohérence spatiale). Sans surprise, dans l’exemple proposé, les différences entre les résultats des quatre méthodes de classification ne sont pas diamétralement opposées et n’ont pas vocation à l’être (bien que pour les classes les moins homogènes, la figure 7 ait montré des écarts notables). Autrement dit, l’ajout de l’espace dans l’exercice de classification ne devrait pas radicalement changer les résultats et prendre le pas sur la dimension sémantique des données. L’objectif est de lisser spatialement les classes produites, dans une logique de réduction du bruit. La méthode SFCM semble proposer le meilleur compromis entre qualité sémantique de classification, cohérence spatiale et interprétabilité des résultats. En effet, comparativement à la méthode ClustGeo, la méthode SFCM présente à la fois de meilleures cohérences spatiale et sémantico-spatiale (voir les résultats présentés au tableau 3) et un meilleur critère de silhouette (homogénéité des classes). Finalement, la cartographie des probabilités d’appartenance des classes permet d’identifier les observations incertaines et affine l’interprétation finale des résultats.

Description succincte du paquet R geocmeans

49L’ensemble des analyses présentées dans cet article peuvent être reproduites à l’aide du paquet R geocmeans. En effet, le jeu de données sur la région du Grand Lyon est fourni avec le paquet et une vignette présente la syntaxe R pour les quatre méthodes de classification (CAH, ClustGeo, FCM et SFCM). Le paquet peut actuellement être téléchargé en lançant les deux lignes de code suivantes dans R :

install.packages("devtools") et devtools::install_github("JeremyGelb/geocmeans").

50La fonction SFCMeans permet de réaliser la classification SFCM. La fonction select_parameters permet de comparer les résultats de plusieurs classifications en faisant varier les paramètres 𝛼, m, k et W ; l’utilisateur peut ainsi choisir les valeurs optimales pour la pondération spatiale (𝛼), le degré de flou (m) et le nombre de classes (k), mais aussi la matrice de pondération spatiale (W). D’autres fonctions – calcqualityIndexes et spatialDiag – permettent respectivement de calculer les indicateurs de qualité de la classification et de quantifier le degré de cohérence spatiale des classes. Enfin, les fonctions violinPlots, spiderPlots, summarizeClusters et mapClusters permettent de faciliter l’interprétation des classes obtenues.

Conclusion

51Nous avons illustré dans cet article la pertinence et l’efficacité de la méthode spatial fuzzy c‑means (SFCM), appliquée à des données socio-environnementales. Nous avons notamment souligné qu’elle combine à la fois les avantages des méthodes de classification floues et spatiales. Ces avantages en font une méthode particulièrement pertinente en géographie, où les phénomènes sont souvent caractérisés par une forte autocorrélation spatiale positive et où une approche stricte tend à masquer la complexité des phénomènes étudiés. Cette méthode présente trois avantages majeurs comparativement aux méthodes strictes a-spatiales (CAH ou k-means) : réduire les problèmes de mitage et améliorer à la fois la cohérence sémantico-spatiale et l’homogénéité des classes.

52Dans les dernières décennies, nous avons assisté au développement de nouvelles méthodes incluant explicitement l’espace dans les méthodes inférentielles (entre autres, les modèles autorégressifs et géographiquement pondérés) et exploratoires (analyses factorielles spatiales). Ces méthodes sont aujourd’hui largement mobilisées par les géographes. Nous espérons que cet exercice contribuera humblement à démocratiser l’intégration de la dimension spatiale dans les méthodes de classification, notamment avec le recours à la méthode SFCM.