Une « philosophie de la priorité » : l’évaluation de la validité des solutions mathématiques dans le concours sur la roulette lancé par Blaise Pascal en 1658
Résumés
Blaise Pascal aborda la question de la généralité en mathématiques dans un contexte très précis : le concours mathématique sur la cycloïde (ou roulette), qu’il lança anonymement en 1658. Après avoir jugé les réponses soumises au concours (principalement par le père Antoine de Lalouvère et par John Wallis), il proposa lui-même une solution par le moyen d’une « méthode générale pour les centres de gravité », signée du nom de plume A. Dettonville. Nous examinons les critères établis par Pascal pour considérer une réponse au concours comme une solution valable, du point de vue de sa « généralité ». Pour ce faire, nous reprenons le contexte historique du concours en analysant les trois « lettres » (ou « écrits ») de Pascal qui en définissent les conditions, afin d’évaluer sa « philosophie de la priorité » – expression que nous empruntons à Pierre Costabel pour désigner plus largement les critères présents dans l’ensemble des conditions que Pascal a fixées pour le concours.
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Pascal (Blaise), Dettonville, priorité, histoire des mathématiques, roulette, cycloïde, généralité, paradigmeKeywords:
Pascal (Blaise), Dettonville, priority, history of mathematics, roulette, cycloid, generality, paradigmPlan
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Introduction : comment juger la résolution d’un problème ?
- 1 Je remercie Alain Cantillon et Anne Régent-Susini d’avoir accepté la présentation de ce travail lor (...)
1La généralité est un aspect crucial des mathématiques, au xvviie siècle comme aujourd’hui1. Mais que signifie résoudre un problème de manière générale et donc satisfaisante ? Qu’est-ce qui donne à une preuve la qualité d’être une démonstration valable, et comment la communauté mathématique influence-t-elle l’évaluation des critères pour juger une preuve comme acceptable ou non ?
2Blaise Pascal, dont nous avons célébré en 2023 le quadricentenaire de la naissance, s’est exprimé sur la question dans un contexte aux enjeux très précis : le concours mathématique sur la cycloïde (ou roulette), lancé par lui anonymement en 1658. Après avoir jugé les réponses envoyées au concours (principalement par le père Antoine de Lalouvère et par John Wallis), il proposa lui-même une solution par le moyen d’une « méthode générale pour les centres de gravité », signée par le nom de plume A. Dettonville.
3Nous nous demanderons ici quels sont les critères énoncés par Pascal pour considérer qu’une réponse au concours est une solution valable. Pour ce faire, nous reprendrons le contexte historique du concours en analysant les trois « lettres » (ou « écrits ») de Pascal qui en énoncent les conditions.
4Dans un article devenu célèbre publié lors du tricentenaire de la mort de Pascal, Pierre Costabel discutait la manière dont Pascal évaluait les réponses du concours. Vis-à-vis des critiques présentées contre l’organisation de celui-ci, il remarquait :
- 2 Pierre Costabel, « Essai sur les secrets des Traités de la Roulette », Revue d’histoire des science (...)
[…] c’est l’occasion pour Pascal d’exposer de manière magistrale comment juge le vrai mathématicien. Sans doute les délais de l’épreuve sont courts, mais l’exactitude du résultat pour les cas les plus difficiles permet à un concurrent de prendre date avec un préjugé favorable, et l’adjonction de la démonstration abrégée d’un seul de ces cas suffit pour faire foi. Engagé dans cette philosophie de la priorité, Pascal ne descend pas jusqu’au détail des questions posées2.
5Dans la réflexion sur les conditions posées par Pascal pour qu’une réponse au concours soit considérée comme valable, Costabel remarque notamment le fait que, étant donné l’urgence de la réponse, Pascal accepte une partie de résolution (ou plutôt une résolution abrégée) dès que celle-ci montre au juge du concours que le candidat en question possède la capacité de résoudre le problème, dans sa totalité.
- 3 Pour une introduction au sujet, voir par exemple Kevin C. Elliot, Values in Science, Cambridge Elem (...)
- 4 Ces deux exemples de valeurs épistémiques viennent de Thomas Kuhn, qui présente également la précis (...)
6Il faudra ici analyser en détail les critères de cette « philosophie de la priorité » (pour amplifier la formule de Costabel). En particulier, puisque Pascal ne demande pas que les problèmes soient complètement résolus pour que celui qui envoie la réponse soit considéré vainqueur, il importe de discuter comment l’évaluation d’une résolution mathématique relève non seulement de critères objectifs, mais serait aussi à rapprocher de ce que la littérature contemporaine en philosophie des sciences appelle des valeurs « épistémiques » ou « cognitives »3, telles que la portée ou la fertilité d’une théorie4. On peut ainsi discuter le jugement sur la généralité d’une proposition mathématique en considérant à la fois le contexte social de dispute de priorité et des aspects épistémiques. Il s’agira notamment de considérer comment on peut trouver la généralité par moyen du singulier, en analysant les conditions posées par Pascal pour les réponses au concours.
Le contexte
- 5 Pour une description précise du développement du concours, on consultera Jean Mesnard, dans son édi (...)
7Il importe ici de rappeler de manière très brève le contexte du concours lancé par Pascal5. L’an 1658 est postérieur aux travaux de jeunesse sur les coniques, ainsi qu’à ceux sur le triangle arithmétique et la règle des partis. Postérieur également à la « seconde conversion » de Pascal, le Mémorial portant la date du 23 novembre 1654.
8Pascal propose aux géomètres d’Europe un concours mathématique sur la cycloïde (ou roulette) : la courbe décrite par le
- 6 Id., vol. IV, p. 214. Nous citons ici et par la suite la traduction de Jean Mesnard, sauf mention c (...)
[…] chemin que fait en l’air le clou d’une roue, quand elle roule de son mouvement ordinaire, depuis que ce clou commence à s’élever de terre, jusqu’à ce que le roulement continu de la roue l’ait rapporté à terre, après un tour entier achevé ; supposant que la roue soit un cercle parfait, le clou un point dans sa circonférence, et la terre parfaitement plane6. [voir figure 1]
- 7 Id.., vol. IV, p. 190.
Figure 1. La cycloïde, dans un dessin probablement de la main de Pascal7.
©Bibliothèque Clermont Auvergne Métropole
- 8 Sur l’aspect mathématique de ces problèmes sur la cycloïde et sur la méthode pascalienne des indivi (...)
9En tant qu’Anonyme, Pascal propose des problèmes rapportés à cette courbe, à savoir trouver la dimension (l’aire) de l’espace sous la demi-cycloïde et son centre de gravité ; le centre de gravité de la courbe elle-même ; le volume et le centre de gravité des solides de révolution tant autour de la base qu’autour de l’axe ; ainsi que la surface de chacun de ces solides, et les centres de gravité de chacun d’eux. Des problèmes en effet difficiles, posés autant en juin, au début du concours, que dans un supplément en octobre 1658, dans deux documents parmi d’autres que Pascal publie à l’occasion8.
- 9 C’est Brunschvicg qui parle dans son édition (Blaise Pascal, Œuvres complètes, coll. Les Grands écr (...)
- 10 Voir P. Costabel, art. cit., p. 326.
- 11 Rappelons que les Lettres de A. Dettonville sont composées par quatre lettres. La principale est la (...)
- 12 Comme indiqué par Mesnard, dans ses commentaires dans Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vo (...)
10Reprenons cet ensemble de documents. À la fin du mois de juin 1658, Pascal lance une première lettre circulaire relative au concours9. Une deuxième lettre circulaire paraît mi-juillet, après que Carcavy (« garant » du concours) a mis Pascal au courant des travaux de Roberval10. La prochaine étape est constituée par l’arrivée des solutions du père Antoine de Lalouvère et de John Wallis (ainsi que par des contributions de Huygens, Sluse, Ricci et Wren, le dernier notamment présentant la rectification de la cycloïde – à savoir, donner sa longueur, question qui n’était pas au concours). La première date limite du concours se terminant le 1er octobre, Pascal publie (toujours en Anonyme) une troisième lettre circulaire, dans des versions distinctes en français et en latin, les 7 et 9 octobre 1658. Le 10 octobre 1658 paraît l’Histoire de la roulette (texte en français et en latin), qui présente en outre de nouveaux problèmes sur la cycloïde (les « problèmes d’octobre »). Le jugement du concours ayant lieu le 25 novembre, les Lettres de A. Dettonville sont publiées avec la date de 1659, la première (la « Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy »)11 portant la date de 1658 – on peut dire que la publication de ces lettres est réalisée entre décembre 1658 et février 165912. Finalement, une « Suite de l’histoire de la roulette » porte la date du 12 décembre 1658, et un « Appendice à la Suite de l’histoire de la roulette » est publié le 20 janvier 1659.
Les conditions posées par Pascal
11Dans le premier « écrit » (ou « lettre circulaire ») du concours, Pascal présente ce qui peut être considéré comme une concession à ce qui serait acceptable comme une réponse aux défis posés :
- 13 Id., vol. IV, p. 190-191. Nous citons pour ce passage la traduction présentée par Sébastien Maronne(...)
La démonstration de ce qui est demandé pourrait se révéler si longue qu’il serait difficile, dans le temps imparti, de la mener convenablement à terme : par égard pour le génie et pour le repos des savants géomètres, nous leur demandons seulement de démontrer […] que tout ce qui est demandé est donné : en sorte que l’on puisse facilement, d’après de ce qui a été démontré, trouver l’un quelconque des points demandés en partant de ce qui a été donné dans les hypothèses.
[...] la question aura été poussée jusqu’au point où il ne reste rien d’autre que le calcul, qui ne requiert ni pénétration d’esprit, ni habileté d’exécution. Voilà pourquoi nous n’exigeons pas ce calcul : à quoi bon en effet s’y attarder ? Mais nous demandons seulement de démontrer que ce qui est proposé est donné13.
- 14 Pour cette appropriation, voir S. Maronne, « Dettonville et les données », art. cit., et Sébastien (...)
12Dans un exemple présenté juste avant le dernier passage cité, Pascal indique que même si un calcul n’est pas fait jusqu’à son terme, le problème sera considéré comme « satisfait » si, en ayant un élément donné (comme le centre de gravité d’une figure), est également donné ce qui est cherché (le centre de gravité d’une deuxième figure). La structure des Données d’Euclide est reprise ici, quoique dans le contexte du xviie siècle et lors orientée par une appropriation particulière par Pascal, qui déclare employer les termes « donné » et « connu » comme des synonymes14.
13Pour ce qui nous concerne, il est intéressant de voir quelles sont les qualités dont Pascal indique qu’elles méritent l’attention lors du jugement du concours : le génie (genius) et la pénétration d’esprit (ingenium) d’une part, l’habileté d’exécution (peritia artificis) d’autre part – le calcul ne concernant aucune des deux, Pascal déclare que démontrer que ce qui est « proposé » est « donné » suffit.
- 15 Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 192-193.
14Les réponses doivent être envoyées « à l’illustre Monsieur de Carcavy, […] qui les délivrera aussitôt que les démonstrations qui lui seront envoyées seront jugées vraies et géométriques par des hommes qu’il aura choisis à cette fin »15.
15Pascal demande « soit une construction complète, soit un calcul complet de deux propositions ou de deux cas », correspondant respectivement à la cycloïde entière et à une portion de cycloïde. Une autre concession le conduira par la suite du concours à apporter quelques précisions face aux réponses reçues :
- 16 Ibid.
Que si quelque erreur de calcul se glisse dans ces deux cas, nous l’excusons volontiers : on obtiendra facilement le pardon que nous demanderions pour nous-mêmes16.
16Ce « pardon » (veniam) concédé à des erreurs de calcul sera un sujet auquel Pascal sera obligé de revenir dans les documents suivants du concours, pour corriger selon lui une interprétation absurde de cette condition, comme nous le verrons.
Par la suite, dans le deuxième écrit du concours, Pascal écrivait :
- 17 Id., vol. IV, p. 196.
Ce qui nous reste, nous semble-t-il, c’est seulement à inviter les savants géomètres à traiter nos problèmes avec le souci de la commodité et de l’agrément : qu’ils écartent tout ce qui n’a rien à voir avec la pénétration de l’esprit, seule qualité dont nous faisons grand cas et que nous nous sommes proposé d’éprouver et de couronner : qu’ils écartent tant le calcul entier des nombreux cas demandés que la rédaction complète des solutions, toutes choses qui ne dépendent pas de la force de l’esprit, mais de circonstances étrangères. Aussi nous proposons-nous désormais de faire en sorte que seule reste à vaincre la difficulté des problèmes17.
- 18 À savoir, le calcul du centre de gravité d’un demi-solide de révolution de la demi-cycloïde autour (...)
- 19 Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 196.
17Pascal renforce la recommandation pour que les géomètres ne gaspillent pas leur temps, en ayant égard à l’essentiel ; il précise par la suite qu’on peut présenter soit une démonstration aussi abrégée que l’on veut (demonstrationem quantumvis compendiosam), soit, au moins (saltem) le calcul d’un cas particulier indiqué18. Pascal présente donc une sorte de concession en faveur des réponses potentielles – une démonstration abrégée suffit, ou sinon la résolution d’un cas – dès qu’on peut voir par là que la personne qui l’envoie possède l’intégralité de la démonstration ; néanmoins, le candidat doit se déclarer prêt « à fournir l’absolue totalité des démonstrations au premier signe de M. de Carcavy »19.
- 20 Id., vol. IV, p. 193.
18Le rôle de garant, pour ainsi dire, de Carcavy, « illustre conseiller », « probe et grand ami des mathématiques »20, n’est pas à négliger ici, car la réponse abrégée permet de préserver le temps des géomètres ; mais au cas où le pouvoir de la démonstration ne serait pas clair, l’intégralité de la démonstration doit lui être envoyée : on comprend bien que le caractère abrégé de la réponse est un type de concession, qui peut être mis en question. Cela posé, c’est pour la « commodité » (commodius) et pour « agrément » (libentius) des géomètres (pour ne pas parler des délais du concours !) que l’arrangement de la réponse abrégée est concédé.
19Il faut encore remarquer que, dans la deuxième lettre, Pascal précise qui sera considéré comme le vainqueur du concours :
- 21 Id., vol. IV, p. 196 ; c’est nous qui soulignons.
[…] celui qui, par acte public, dans le temps prescrit, aura signifié à l’illustre M. de Carcavy qu’il possède la démonstration des questions posées, et, ou bien lui aura envoyé la démonstration elle-même, aussi abrégée qu’il le voudra, ou bien, si le loisir ne lui a pas encore été donné de la consigner sur le papier, au moins, pour prouver la vérité de son assertion, aura donné le calcul d’un cas que nous indiquerons plus bas, en se déclarant prêt à fournir l’absolue totalité des démonstrations au premier signe de M. de Carcavy, celui-là, nous déclarons qu’il aura donné satisfaction […]21.
20Il faut donc pouvoir montrer en quelque sorte qu’on possède la démonstration : il est nécessaire de le donner à entendre (significaverit) à M. de Carcavy. Apparaît ici l’autre côté de l’interprétation sur la validité d’une réponse : pour le candidat, il faut pouvoir indiquer au juge que la réponse est valable. Savoir ce qui caractérise une réponse adéquate (même abrégée) est œuvre de bon mathématicien.
- 22 Rappelons que les versions française et latine de cette lettre sont différentes : si dans la premiè (...)
- 23 La troisième lettre pose encore d’autres questions sur la « philosophie de la priorité » – Pascal (...)
21Dans la troisième lettre, Pascal présente des critiques contre des erreurs de calcul (la réponse du père Lalouvère) et des sophismes présents dans les démonstrations (la réponse de Wallis)22. Il indique ainsi qu’il est possible de présenter soit une démonstration abrégée sans sophisme, soit, au moins, le calcul d’un cas particulier sans erreur. C’est-à-dire que des aspects partiels de la solution peuvent être présentés, mais doivent être représentatifs, pour ainsi dire23.
22Par ailleurs, Pascal précise que ces envois ne peuvent tenir lieu de solution que provisoirement ; il faudra par la suite envoyer une démonstration complète :
- 24 Id., vol. IV, p. 201.
En me contentant ou d’une démonstration abrégée ou au moins du calcul d’un seul cas pour donner date, en attendant qu’on envoyât la démonstration entière avec plus de loisir, j’ai soulagé les géomètres autant qu’il était possible de le faire, puisqu’on ne pouvait pas leur moins demander, et que néanmoins ce que j’ai demandé est à peu près suffisant, ce calcul étant si difficile et dépendant tellement du fond de la question qu’on peut juger que qui l’aura trouvé a tout résolu en soi-même, et ne manque plus que de loisir pour l’écrire et l’achever24.
- 25 Ibid.
23Demander l’intégralité de la démonstration serait trop en si peu de temps, déclare Pascal ; néanmoins, il faudrait avoir « des preuves certaines » que le problème est résolu – de sorte que les deux conditions sont observées, dit Pascal, par l’exigence du « véritable calcul » du cas demandé par lui25.
- 26 Ibid.
24La troisième lettre porte également sur ce qui ne peut pas constituer une marque de primauté, car hors les conditions énoncées. Pascal critique le calcul envoyé par Lalouvère, qui comporte des erreurs, et déclare qu’il n’avait excusé des erreurs de calcul que « quand la démonstration entière et géométrique est envoyée en même temps »26. Or Pascal indique qu’il serait absurde de considérer comme étant la première arrivée une réponse présentant simplement un calcul faux, comme si cela suffisait pour résoudre les problèmes.
25De sorte que Pascal reproche, autant à Wallis qu’à Lalouvère, d’avoir mal interprété ses paroles par des « interprétations ridicules ». Il s’agit bien, déclare Pascal, soit d’envoyer une résolution vraie du cas indiqué, soit d’envoyer une démonstration (même abrégée), les erreurs de calcul n’étant pardonnées que dans le deuxième cas. Car, dit Pascal, si l’on accepte un calcul faux tout court comme une réponse valable, les premières réponses envoyées donneraient priorité, indépendamment d’être des vraies solutions, ce qui est évidemment absurde.
- 27 Id., vol. IV, p. 202. La version latine de la lettre est plus précise : « Quod enim paralogismus es (...)
- 28 Id., vol. IV, p. 202.
26Le même problème apparaît pour une fausse démonstration, comme celle proposée par Wallis : « car ce que les paralogismes sont en démonstration, les erreurs de calcul le sont quand le calcul est seul »27. Pour « montrer qu’on a résolu des questions » il n’y a donc que « deux manières » : « savoir de donner, ou la solution sans paralogisme, ou le calcul sans erreur »28.
27Finalement, dans l’Histoire de la roulette, publiée le 10 octobre 1658, qui donne le contexte de l’histoire de l’étude de cette courbe, Pascal reprend les conditions pour la satisfaction du concours. Il en énumère quatre :
1. La solution devra parvenir à Carcavy avant le 1er octobre ;
2. Elle doit être accompagnée d’un acte public ;
- 29 Id., vol. IV, p. 222.
3. Elle doit contenir, soit une démonstration abrégée, soit le calcul du cas demandé, « pour reconnaître, par la qualité de ce calcul, si celui qui l’envoie avait en effet dès lors la solution nette et parfaite des problèmes, […] ce qui paraîtrait être vrai ou faux, selon que le calcul serait vrai ou faux »29 ;
- 30 Ibid.
4. « Ensuite et à loisir », le candidat devra envoyer « l’entière démonstration de tous les autres cas proposés »30. Et dans le cas où cette démonstration serait jugée « vraie et géométrique en toutes ses parties », les erreurs de calcul seront pardonnées.
28L’on voit donc que Pascal explicite encore ici la condition d’envoyer la démonstration complète à la suite d’une première réponse. On pourrait penser que la condition d’accepter une démonstration abrégée ou le calcul d’un cas est le signe d’une concession provisoire, et non pas définitive – ce qui ne saurait empêcher la puissance de la réponse envoyée, puisque Pascal juge qu’elle donne quand même la possibilité de voir qui serait en capacité de donner une réponse complète (et mérite donc la priorité), ce qui indique bien la puissance de généralisation d’un cas. Nous y reviendrons lors de nos conclusions.
- 31 Id., vol. IV, p. 236.
29Dans le Récit de l’examen et du jugement des Écrits…, daté du 25 novembre 1658, Pascal relève à partir de l’envoi de Lalouvère une différence entre des erreurs « de calcul » (cas qui peut être excusé, quand le calcul accompagne une démonstration) et « de méthode » pour la résolution des problèmes (ce dernier cas ne pouvant pas être excusé). En jugeant la réponse envoyée par Wallis, Pascal y voit des erreurs qui « n’étaient point de calcul, mais de méthode, et proprement des paralogismes »31. Il est intéressant de voir que Pascal qualifie une erreur non excusable d’erreur « de méthode » – ainsi, semble-t-il, dans le cas du calcul vrai du cas indiqué, le « simple » calcul devrait déjà contenir une puissance de généralisation, raison pour laquelle il serait accepté comme réponse au concours.
La priorité en mathématiques : le jugement sur la généralité d’une solution dans le concours sur la roulette
- 32 Il faut dire que la littérature sur les valeurs en sciences se concentre sur des valeurs épistémiqu (...)
30Nous croyons pouvoir rapprocher ce débat d’une discussion actuelle sur les sciences : si des valeurs sociales, économiques, religieuses, etc., interviennent lors de la pratique scientifique, on y retrouve aussi des valeurs dites « épistémiques » ou « cognitives », comme la généralité, la simplicité, l’économie conceptuelle… On peut alors s’interroger sur la relation entre les valeurs sociales et les valeurs épistémiques : dans le cas du concours, quels enjeux apparaissent dans l’évaluation pascalienne des envois de Wallis et Lalouvère ? La réponse relève d’une analyse à la fois des aspects mathématiques et des aspects sociaux32.
- 33 Le mot latin paradigma avec le sens d’exemple, est utilisé par Pascal dans le Traité du Triangle Ar (...)
31On peut donc voir que, du fait de l’urgence de la réponse au concours, Pascal accepte une partie de résolution (ou plutôt une résolution abrégée) qui montre suffisamment au juge du concours que le candidat en question possède le pouvoir de résoudre le problème entièrement. L’autre possibilité serait d’envoyer le calcul d’un cas particulier. Cette dernière possibilité suggère une conception selon laquelle le paradigme (en tant qu’exemple) jouerait un rôle de généralité33.
- 34 C’est ce que propose par exemple Karine Chemla pour les mathématiques chinoises dans « Generality a (...)
32En effet, apparaît ici la possibilité de considérer la généralité en mathématiques à partir non seulement de l’abstraction, mais encore de paradigmes : des exemples particuliers qui donnent lieu à une généralisation34.
- 35 Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 195.
- 36 Ce que Pascal fera en effet dans la Lettre à Huygens, une des Lettres de A. Dettonville (voir Blais (...)
33Un autre aspect de généralisation se manifeste aussi dans le concours. Dans la première lettre, Pascal écrit que les solutions doivent faire référence à « toute cycloïde » (in quacumque cycloide) ; dans la deuxième lettre, il est précisé qu’il s’agit de la « cycloïde simple, naturelle et primaire » (simplicem, naturalem ac primariam cycloidem), car « comme il est facile d’étendre les solutions obtenues pour celle-ci à toutes les autres espèces, quiconque aura résolu nos problèmes pour elle seule aura fait de quoi nous donner toute satisfaction »35. Pascal opère donc une sorte de réduction au nécessaire, possible parce qu’on peut « étendre » (protrahere) les résultats obtenus pour la cycloïde simple aux cycloïdes de forme « allongée » et « raccourcie »36.
- 37 Nous nous permettons de renvoyer à João F. N. B. Cortese, Infini et disproportion chez Pascal, Pari (...)
34Remarquons par ailleurs que, dans la méthode des indivisibles par le moyen d’une balance présentée dans les Lettres de A. Dettonville, on peut observer un usage par Pascal lui-même d’un type de raisonnement qui part d’un exemple singulier pour être ensuite généralisé au cas indéfini37.
35Si l’on assume cette interprétation pour les Lettres de A. Dettonville, il faut conclure que Pascal est d’une certaine manière cohérent dans les règles de son concours et dans sa pratique elle-même, ce qui est une marque propre :
- 38 S. Maronne, « Dettonville et les données », art. cit., p. 249-250. La référence donnée est à John W (...)
[…] ce rejet des calculs, typique d’un Pascal ou d’un Descartes, est loin d’être unanime et de faire consensus dans la communauté mathématique qui s’applique aux problèmes de la roulette. Wallis, dont Pascal/Dettonville critiqua la solution et ses “paralogismes” dans le “Récit de l’examen et du jugement des écrits…”, procure ainsi tous les calculs des problèmes du concours de la roulette, au moyen de sa méthode, dans la pars secunda de sa Mechanica parue en 167038.
- 39 S. Maronne, « Dettonville et les données », art. cit., p. 231 : « Ce terme de l’époque désigne la s (...)
- 40 Id ., p. 247.
- 41 Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 413.
36Sébastien Maronne remarque que, dans les Lettres de A. Dettonville, Pascal « suit scrupuleusement » les principes édictés par lui pour résoudre les problèmes du concours de la roulette, « et ne présente en effet aucun calcul numérique entièrement développé mais seulement le résultat ou facit39 d’un des problèmes »40, au début de la « Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur de Carcavy »41.
- 42 Comme nous l’avons dit, il faut consulter à ce propos les travaux de Sébastien Maronne déjà cités.
37Le vocabulaire des « données » est ici remarquable dans la structure de l’enchaînement des connaissances présentes dans les Lettres de A. Dettonville42.
Comme le remarque Dominique Descotes,
- 43 Dominique Descotes, Blaise Pascal : littérature et géométrie, Clermont-Ferrand, Presses Universitai (...)
La structure des Propositions dans Dettonville ne vise-t-elle pas toujours à obtenir un résultat complet : elle établit que, lorsque l’on possède une connaissance, on en possède du même coup une autre : c’est l’enchaînement du donné au connu qui en est proprement l’objet43.
38Si un travail plus ambitieux sur cette « généralité paradigmatique » chez Pascal serait à développer, prenant en compte à la fois les écrits sur le concours, les Lettres de A. Dettonville et même le Traité du Triangle Arithmétique, nous espérons au moins avoir montré ici l’intérêt de la question, ainsi que des signes que ce type de raisonnement est bien présent dans l’œuvre pascalienne.
Conclusion
39Nous avons vu que, dans le concours sur la cycloïde proposé par Pascal, les délais pour l’envoi des réponses, les règles pour juger des solutions, la nature des réponses reçues, et même le manque de connaissances historiques adéquates sur la cycloïde au début du concours, incitent Pascal à développer une « philosophie de la priorité » – expression que nous avons reprise de Costabel pour signifier de manière plus ample les critères qu’on peut retrouver dans l’ensemble des conditions posées par Pascal pour le concours.
40Dans la mesure où toutes ces dimensions ont eu des implications sur la manière dont les résultats sur la cycloïde ont été présentés, et même développés, on peut dire que le fait que ce chapitre de l’histoire de la cycloïde se soit développé dans les conditions d’un concours a eu des influences sur la manière dont furent menés à bien ces accomplissements mathématiques.
41L’un des intérêts d’un tel débat est qu’il permet de montrer les liens entre le contexte social (notamment la priorité dans l’envoi des réponses au concours) et des enjeux épistémiques des mathématiques (à quelles conditions la réponse à un problème contient-elle suffisamment de signes de sa généralité ?). Par ailleurs, nous pouvons même y voir une dimension rhétorique : on accepte qu’une démonstration mathématique ne montre pas toutes ses étapes, à condition qu’elle synthétise ce qui serait évident à un bon lecteur, ou qu’elle indique a fortiori son pouvoir de résolution générale en traitant la partie la plus difficile du problème. Pour avoir la priorité, la philosophie de Pascal indique un chemin : il suffit, par moyen du particulier, d’indiquer la possibilité de résolution générale.
42Nous pouvons conclure en indiquant qu’au moins trois aspects pertinents apparaissent dans la philosophie pascalienne de la priorité lors du concours.
43Tout d’abord, la généralisation « paradigmatique » apparaît par le moyen de ce que nous pouvons appeler un sous-cas représentatif (car il ne s’agit pas d’un cas quelconque, et Pascal indique bien quel cas il faut résoudre). Dans ce sens, résoudre ce cas implique en quelque sorte atteindre le général au moyen du singulier, dans un bon compromis entre l’urgence recherchée pour le concours et la généralisation visée en mathématiques.
44En deuxième lieu, nous pouvons observer ce qu’on peut appeler la condition du cas le plus difficile, qui soulève une question pour ainsi dire plus « sociale » : répondre à un cas difficile permet de savoir qui a le pouvoir de répondre à toutes les questions du concours (même si la réponse particulière ne le fait pas). Cet aspect concerne non pas la généralité mathématique elle-même, mais plutôt l’estimation du génie de celui qui peut résoudre le problème.
45Troisièmement, quand Pascal parle d’une « démonstration abrégée », cela peut être compris comme donnant la possibilité de présenter une réponse valable. La logique est similaire à celle du sous-cas représentatif (car la démonstration abrégée doit indiquer partiellement comment la démonstration complète serait faite), donnant à voir le général ; mais se révèle également ici un aspect « social » semblable à celui du cas le plus difficile, car une telle démonstration donne à voir le pouvoir de réponse complète.
- 44 S. Maronne, « Dettonville et les données », art. cit., p. 255, emploie la notion de « parcimonie dé (...)
46Nous pouvons donc voir une « concession » faite par Pascal autant dans la notion du cas le plus difficile que dans la « démonstration abrégée ». Pascal jugerait ici une solution comme valable pour le concours de manière pragmatique, sans que cela implique un engagement particulier envers la solution44.
- 45 Il faut dire qu’on ne juge pas ici de la « généralité » d’une simple proposition mathématique, mais (...)
47En lien avec la discussion actuelle en philosophie des sciences sur les valeurs « épistémiques », on pourrait s’interroger sur la compatibilité de valeurs telles que la généralité et l’économie conceptuelle – notamment, laquelle de ces deux valeurs est privilégiée pour une réponse au concours ? D’une part ces deux valeurs semblent être concurrentes, l’économie conceptuelle (la démonstration abrégée, le calcul d’un seul cas) risquant de compromettre une partie de la généralité ; mais si le paradigme joue son rôle généralisateur, pourrait-on trouver un bon compromis entre ces deux valeurs ? Cela relèverait d’un rôle de « généralisation paradigmatique », à situer comme nous l’avons dit dans une réflexion d’ensemble sur la généralité dans les mathématiques pascaliennes que nous aimerions mener dans le futur45, et qui montre que même en jugeant un concours en urgence, Pascal n’abandonne pas pour cela la rigueur mathématique et la recherche de la généralité.
Notes
1 Je remercie Alain Cantillon et Anne Régent-Susini d’avoir accepté la présentation de ce travail lors du colloque « Blaise Pascal en ses époques, 2023-1623 », à l’Université Sorbonne nouvelle, ainsi que pour leur lecture de l’article. Je remercie les participants à la discussion qui s’est suivie, en particulier Thibaut Bagory, Jean Dhombres et Vincent Jullien. Je remercie également Pedro Bravo, Karine Chemla, Mourtaza Chopra, Philippe Debroise, Catherine Goldstein, Sébastien Maronne et David Rabouin pour des échanges sur ce sujet.
2 Pierre Costabel, « Essai sur les secrets des Traités de la Roulette », Revue d’histoire des sciences et de leurs applications, n° 15/3-4, 1962, p. 321-350, ici p. 322-324.
3 Pour une introduction au sujet, voir par exemple Kevin C. Elliot, Values in Science, Cambridge Elements, Cambridge University Press, 2022.
4 Ces deux exemples de valeurs épistémiques viennent de Thomas Kuhn, qui présente également la précision, la simplicité, et la cohérence comme des valeurs épistémiques (« Objectivity, Value Judgement, and Theory Choice », dans The Essential Tension, Chicago, University of Chicago Press, 1977, p. 320–9).
5 Pour une description précise du développement du concours, on consultera Jean Mesnard, dans son édition des Œuvres complètes de Blaise Pascal, vol. IV, Paris, Desclée de Brouwer, 1992, p. 147-188 ; quant à la composition des Lettres de A. Dettonville, voir p. 367-406.
6 Id., vol. IV, p. 214. Nous citons ici et par la suite la traduction de Jean Mesnard, sauf mention contraire.
7 Id.., vol. IV, p. 190.
8 Sur l’aspect mathématique de ces problèmes sur la cycloïde et sur la méthode pascalienne des indivisibles, voir Claude Merker, Le Chant du cygne des indivisibles : Le calcul intégral dans la dernière œuvre scientifique de Pascal, Besançon, Presses universitaires de Franche-Comté, 2001, ainsi que Dominique Descotes, « Pascal’s indivisibles », dans Vincent Jullien (ed.), Seventeenth-century indivisibles revisited, Cham, Birkhäuser, 2015, p. 211-248.
9 C’est Brunschvicg qui parle dans son édition (Blaise Pascal, Œuvres complètes, coll. Les Grands écrivains de la France, éd. Brunschvicg, Boutroux et Gazier, 1914) de « lettres circulaires » pour ces documents ; Mesnard choisit de suivre Pascal de plus près, n’employant qu’« écrits » pour les désigner.
10 Voir P. Costabel, art. cit., p. 326.
11 Rappelons que les Lettres de A. Dettonville sont composées par quatre lettres. La principale est la « Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy », qui comprend sept pièces : la « Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur de Carcavy », le « Traité des trilignes rectangles et de leurs onglets », le traité « Propriétés des sommes simples, triangulaires et pyramidales », le « Traité des sinus du quart de cercle », le « Traité des arcs de cercle », le « Petit traité des solides circulaires » et le « Traité général de la roulette ». Trois lettres plus courtes suivent, présentant des résultats ayant un rapport à ceux du concours sur la cycloïde : la lettre à Huygens, la lettre à Sluse et la lettre à « Monsieur A.D.D.S. ».
12 Comme indiqué par Mesnard, dans ses commentaires dans Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 367 sq.
13 Id., vol. IV, p. 190-191. Nous citons pour ce passage la traduction présentée par Sébastien Maronne, « Dettonville et les données », Revue d’Histoire des Sciences, 2023, 76/2, p. 225-266, ici p. 247-248, qui propose des altérations à celle de Mesnard. Pour notre part, nous changeons seulement la traduction de doctrinam indivisibilium, en optant pour « doctrine des indivisibles » au lieu de « théorie des indivisibles » comme le font Mesnard et Maronne.
14 Pour cette appropriation, voir S. Maronne, « Dettonville et les données », art. cit., et Sébastien Maronne, « Pascal, Torricelli et les Données : sur le premier écrit du concours de la roulette », dans A. Cousson (dir.), Passions géométriques, mélanges en l’honneur de Dominique Descotes, Paris, Honoré Champion, 2019, p. 441-459.
15 Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 192-193.
16 Ibid.
17 Id., vol. IV, p. 196.
18 À savoir, le calcul du centre de gravité d’un demi-solide de révolution de la demi-cycloïde autour de la base.
19 Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 196.
20 Id., vol. IV, p. 193.
21 Id., vol. IV, p. 196 ; c’est nous qui soulignons.
22 Rappelons que les versions française et latine de cette lettre sont différentes : si dans la première Pascal critique à la fois Wallis et Lalouvère, dans la seconde il ne critique que Lalouvère. Nous suivons ici principalement la première, c’est-à-dire la version française.
23 La troisième lettre pose encore d’autres questions sur la « philosophie de la priorité » – Pascal parle de « disputes sur la primauté » (Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 200). L’un des problèmes touche au temps nécessaire pour que les lettres arrivent « de pays fort éloignés » (Pascal faisant allusion à Wallis en Angleterre). Nous n’approfondirons pas cet aspect de la priorité ici – soulignons simplement que Pascal pose (de manière forte ironique) que la date considérée sera celle de l’arrivée des lettres (et non pas de l’envoi), indépendamment de la distance à Paris, ne faisant aucune exception pour des réponses venant « de quelque ville à peine connue du fond de la Moscovie, de la Tartarie, de la Cochinchine ou du Japon » (p. 199).
24 Id., vol. IV, p. 201.
25 Ibid.
26 Ibid.
27 Id., vol. IV, p. 202. La version latine de la lettre est plus précise : « Quod enim paralogismus est in demonstratione, hoc error calculi est in calculo solo, et demonstratione destituto » (p. 209), indiquant que les paralogismes en démonstration sont équivalents à des erreurs de calcul, quand ceux-ci ne sont pas accompagnés d’une démonstration. Pascal reprend la question ailleurs comme nous verrons par la suite.
28 Id., vol. IV, p. 202.
29 Id., vol. IV, p. 222.
30 Ibid.
31 Id., vol. IV, p. 236.
32 Il faut dire que la littérature sur les valeurs en sciences se concentre sur des valeurs épistémiques dans le choix de théories (normalement, de théories de sciences naturelles) ; on ne fait ici que s’inspirer de certaines de ces catégories pour discuter un cas des mathématiques, et cela dans le contexte d’un concours. Il faut également rappeler que la division entre des valeurs épistémiques et non épistémiques a été durement critiquée, problématique que nous n’aborderons pas ici.
33 Le mot latin paradigma avec le sens d’exemple, est utilisé par Pascal dans le Traité du Triangle Arithmétique (Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol II, p. 1235 et 1266). Nous n’avons pas retrouvé d’usage du terme dans les documents du concours ou dans les Lettres de A. Dettonville.
34 C’est ce que propose par exemple Karine Chemla pour les mathématiques chinoises dans « Generality above abstraction : The general expressed in terms of the paradigmatic in mathematics in ancient China », Science in context, 2003, 16/3, p. 413-458. Il serait intéressant de considérer dans une occasion future le rôle de la généralité par des exemples paradigmatiques ailleurs dans l’histoire des mathématiques.
35 Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 195.
36 Ce que Pascal fera en effet dans la Lettre à Huygens, une des Lettres de A. Dettonville (voir Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 524-530). Voir aussi Claude Merker, « La Lettre à Huygens. Explication de texte », Courrier du Centre International Blaise-Pascal, 2016, 38, p. 21-38.
37 Nous nous permettons de renvoyer à João F. N. B. Cortese, Infini et disproportion chez Pascal, Paris, Honoré Champion, 2023, chapitre 8, pour ce qui est d’une présentation plus détaillée de ce modèle.
38 S. Maronne, « Dettonville et les données », art. cit., p. 249-250. La référence donnée est à John Wallis, Mechanica : Sive, De motu, tractatus geometricus, Pars secunda, Londini, Typis Gulielmi Godbid, 1670, chap. V, prop. 20-22 et scholium, 367-405.
39 S. Maronne, « Dettonville et les données », art. cit., p. 231 : « Ce terme de l’époque désigne la solution d’un problème quantitatif, géométrique ou arithmétique, dépourvu du calcul qui y conduit, autrement dit le résultat du calcul ».
40 Id ., p. 247.
41 Blaise Pascal, Œuvres complètes, op. cit., vol. IV, p. 413.
42 Comme nous l’avons dit, il faut consulter à ce propos les travaux de Sébastien Maronne déjà cités.
43 Dominique Descotes, Blaise Pascal : littérature et géométrie, Clermont-Ferrand, Presses Universitaires Blaise Pascal, 2001, p. 73.
44 S. Maronne, « Dettonville et les données », art. cit., p. 255, emploie la notion de « parcimonie déductive » à propos de certains aspects de la structure de la « Lettre de Monsieur Dettonville à Monsieur de Carcavy ».
45 Il faut dire qu’on ne juge pas ici de la « généralité » d’une simple proposition mathématique, mais de la capacité qu’elle donne à résoudre le problème de manière générale. Dans la « réponse » de Pascal qu’est la « Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy », on le voit par le moyen d’une « méthode générale pour les centres de gravité » – sur la généralité de cette méthode, nous nous permettons de renvoyer à João F. N. B. Cortese et David Rabouin, « ‘Il ne faut pas craindre l’incommensurabilité’ : sur la méthode générale pour les centres de gravité dans les Lettres de A. Dettonville », Revue d’Histoire des Sciences, 2023, 76/2, p. 267-301.
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| Légende | Figure 1. La cycloïde, dans un dessin probablement de la main de Pascal7.©Bibliothèque Clermont Auvergne Métropole |
| URL | http://journals.openedition.org/dossiersgrihl/docannexe/image/12184/img-1.jpg |
| Fichier | image/jpeg, 54k |
Pour citer cet article
Référence électronique
João Cortese, « Une « philosophie de la priorité » : l’évaluation de la validité des solutions mathématiques dans le concours sur la roulette lancé par Blaise Pascal en 1658 », Les Dossiers du Grihl [En ligne], 17-1/2 | 2026, mis en ligne le 21 janvier 2026, consulté le 08 mai 2026. URL : http://journals.openedition.org/dossiersgrihl/12184 ; DOI : https://doi.org/10.4000/15ztv
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