Pascal et Roberval : collaboration par intermittences, indifférence savante et joie dans la découverte mathématique
Résumés
Le présent travail est centré sur ce que l’on sait des relations entre Pascal et Roberval et d’une collaboration scientifique qui fut par intermittences, mais particulièrement intense au cours de l’année 1658 au cours de laquelle la méthode des indivisibles recevait une transformation radicale. Elle aboutit l’année suivante aux Lettres de A. Dettonville dans lesquelles Roberval apparaît finalement comme un témoin parmi quelques rares autres dont Huygens, certes loin de l’indifférence officiellement manifestée à propos de la roulette pour les avancées d’un John Wallis qui mettait Christopher Wren en évidence. Comme Roberval avait une expérience personnelle d’un combat avec un féru des indivisibles comme Torricelli moins de vingt années plus tôt, et conscience de vivre avec Pascal un moment propice à l’innovation mathématique, je cherche dans ces courtes années finales qui sont aussi de rédaction des Pensées, à dégager comment se manifestent à la fois une indifférence pour des résultats au fond techniques et une joie dans la découverte mathématique. Sans doute parce qu’elle est partagée par une communauté restreinte, sinon amicale du moins conviviale par solidarité active en vue du progrès, qui sera décrite comme faisant le fond des futures Académies des sciences.
Entrées d’index
Mots-clés :
Pascal, Roberval, convivialité savante, défis mathématiques, indivisibles, la courbe cycloïde, joie de la découverte partagéeKeywords:
Pascal, Roberval, conviviality among scientists, mathematical challenges, indisibles, the curve cycloid, joy of shared discoveryPlan
Haut de pageTexte intégral
1À l’occasion du tricentenaire de Pascal en 1923, le brillant mathématicien Arnauld Denjoy assurait que la « froide majesté de la science ne saurait retenir Pascal, ce génie brûlant d’humanité ». Pour le quadricentenaire, je tente un commentaire critique de cette affirmation en focalisant sur les liens entretenus entre Roberval et Pascal ; selon Denjoy, ils ne pouvaient pas qu’être de froide et majestueuse nature scientifique tant le « brûlant » des affaires de religion les séparait. Je refuse cette froideur en évoquant la joie éprouvée par les deux hommes à trouver du nouveau en mathématiques, plus qu’à résoudre des énigmes ou surtout se faire connaître qui serait une erreur, sinon un péché chez Pascal, et ne correspondrait pas à la façon repliée dont Roberval a vécu. Les quelques récits des relations entre ces deux figures du xviie siècle orientent malheureusement dans un seul sens, faisant de Pascal celui qui voit ou verrait mieux, et saurait diriger son aîné, voire le libérer de doutes sur sa créativité.
2On n’a guère le moyen aujourd’hui de saisir la nature privée, comme le rôle des échanges intellectuels entre deux hommes qui, habitant Paris tous les deux, n’eurent pas souvent l’occasion de s’écrire. Nous disposons a minima des documents mathématiques, et on peut parler de leur « brûlant », même si cela est bien peu fait. Je focaliserai sur la seule année 1658, et les premiers mois de l’année suivante, avec comme corpus les neuf opuscules dont les Traités de la roulette, et les différentes Lettres de A. Dettonville qui sortirent chez Guillaume Desprez début 1659.
3Si je cherche à redonner une certaine bilatéralité à ces échanges de Pascal et Roberval, en usant notamment d’une traduction systématique des textes latins et de la correspondance de Roberval, je tente aussi de répondre aux interrogations sur la place du génie, disons des conducteurs de nouvelles idées, dans des réseaux et collectivités en voie de formation comme l’Académie des sciences qui comportent forcément aussi des « besogneux », ainsi qu’on a qualifié Roberval dont le nom est symboliquement associé à une balance robuste. Je m’interroge ainsi sur la psychologie du savant, son besoin de publier pour la gloire avant d’en avoir vraiment terminé avec ce qu’il pense être une théorie ; je fais encore jouer la fondamentale vanité des sciences dites humaines que prononce Pascal tout en se livrant, par moments avec une rare intensité en faveur de celles-ci ; c’est donc aussi discuter la place du nouveau et de la continuité qui allait faire une partie de la querelle des anciens et des modernes, fondatrice d’un nouveau régime du savoir et de sa représentation ; c’est enfin questionner moins l’invention que l’analyse de ce qui constitue la nature de l’invention dans l’invention même et la conscience qu’un auteur en prend. Discerner, valeur d’Ignace de Loyola, est tout autant valeur chez Blaise Pascal, et j’entends montrer qu’en mathématiques elle peut provoquer un sentiment de joie, certes pas la « joie parfaite », sans devoir pour autant se parer d’une justification par réciprocité d’intérêts.
Comprendre ou qualifier la nature de relations savantes
4Si je me porte vers une courbe mécanique, la roulette et ses généralisations dont les particularités ne nous intéressent plus guère compte tenu de la mise au point dans le dernier quart du xviie siècle du Calcul que j’écris avec une majuscule pour désigner le calcul différentiel et intégral, la question demeure de ce que put signifier une telle courbe aux yeux des acteurs de la révolution scientifique. Cette révolution peut justement se discuter sur cette seule courbe à partir du couple Roberval/Pascal, bien peu symétrique, mais qui inaugura une forme de liaison savante par laquelle les deux interviennent sans connivence ni convivialité.
- 1 Jacques Derrida, Foi et savoir, texte extrait d’un volume intitulé, La religion, séminaire de Capri(...)
- 2 Pierre Costabel, Essai sur les secrets des Traités de la roulette, in L’Œuvre scientifique de Pasca (...)
5Assurément la religion sépare les deux hommes. Cherchant à qualifier les relations « professionnelles » du long terme entre Pascal et Roberval sur un point devenu bien mineur, je dois préciser que je vais en parler à la façon, non dénuée d’humour, dont Derrida parle de Foi et Savoir1 en 1996. Il risquait, dit-il, de rompre avec la tradition philosophique. Pour moi, j’ajoute au mot « savoir » l’adjectif « mathématique », et risque de rompre avec une tradition laïque de l’histoire des sciences, fort respectée par un religieux comme Pierre Costabel dans sa belle étude, non dénuée d’ironie, sur les « secrets de la roulette »2. À qualifier d’amitié intellectuelle le lien avec Pascal au sens que ce dernier pouvait entendre à la fin de sa courte vie, ne devrait-on pas s’attendre à trouver des traces d’un essai de conversion dudit professeur royal, ou au moins de vive discussion : il n’y en a pas. Il y a certes une sorte d’interdit fait à Roberval de parler théologie, ce qui semble avoir bien convenu à ce dernier, qui n’aimait pas évoquer ce qui ne l’intéressait pas. Tout ne l’intéressait pas plus dans ce que Pascal présentait en 1658, notamment la question de centres de gravité liés à la roulette, et Roberval reprochait déjà à Torricelli de l’avoir entraîné, dans les années 1640, sur un tel sujet alors que le devenu Parisien visait surtout volumes et surfaces. Si une tendance est de séparer le Pascal scientifique de l’auteur des Pensées, c’est pourtant à une conjonction des deux pôles que les circonstances mettent Roberval en nouvelles relations avec Pascal, en 1658, l’époque à laquelle commence la rédaction des fameuses liasses de l’ouvrage apologétique.
- 3 Pierre Humbert, L’œuvre scientifique de Blaise Pascal, Paris, 1947.
6Mathématiquement parlant, on ne peut oublier que le contenu des Lettres de A. Dettonville doive beaucoup à Roberval, qui y est toutefois cité parmi d’autres et en toute fin comme nous allons l’analyser. À ce point qu’un biographe de profession scientifique comme Pierre Humbert pouvait, en 1947, affirmer que Pascal n’innovait génialement en sciences qu’à partir de choses pré-élaborées par un autre, éventuellement cet autre pouvant être Roberval, travailleur infatigable mais qui revenait sans cesse sur ses idées3. Comment chercher dans cette relation de plus ou moins bonne coopération entre deux tempéraments opposés, ce qui les conduit à tant miser sur une courbe comme la roulette, alors que l’un et l’autre sont plutôt des sceptiques sur les pouvoirs de la raison, notamment quand il s’agit d’innover. Je ne fais pas une quête sub specie æternitatis, la situant quelques années avant la création des académies des sciences, donc à ce moment où il fut pensé indispensable de faire surgir un groupe d’hommes se réunissant régulièrement en dehors de motivations politiques ou religieuses pour faire connaître et évaluer un savoir de type particulier, le savoir scientifique, et donnant un style neuf de présentation à ses objets aussi futiles qu’ils puissent paraître aux yeux du monde comme à ceux de la métaphysique.
Un cadre de bonne entente entre scientifiques avait été élaboré par Roberval
7À la suite de circonstances des années 1640 trop hâtivement décrites en 1658 par Pascal dans l’Histoire de la roulette, Roberval envisageait ce que pouvait ou devait être une relation scientifique fructueuse ; il l’associait à une collaboration par regroupement des forces dont il reconnaissait le caractère nécessaire en cette période de changement épistémologique. Se cherchait en effet ce qui allait prendre forme dans la vie des académies des sciences, Londres et Paris d’abord, mais après que l’Accademia dei Lincei avait montré ses limites en raison de la férule ecclésiale. Roberval s’adressait donc à Torricelli en 1647, un rival dans la découverte mathématique, et après l’avoir tancé sur certaines pratiques de communication qu’il jugeait déloyales, il dressait une sorte d’ethos du savant, ayant longuement donné sa version des faits de la roulette, n’omettant pas le partage de la gloire, et allant jusqu’à évoquer le plaisir.
- 4 Extrait ici traduit (J.D.) d’une lettre de Roberval à Torricelli. : Divers ouvrages de mathématique (...)
Chaque fois que, par plaisir, j’aurai le loisir d’envoyer la démonstration de quelque énoncé, je l’enverrai. Selon ce que tu désires, je ne l’enverrai pas, ou je l’enverrai le plus vite possible. Tu peux accepter ces règles ou les rejeter ; en effet, si tu préfères les rejeter et en introduire d’autres, bien plus soulever d’autres questions ou en retenir, tu en as la permission. Tu te souviendras cependant qu’il est odieux et indigne d’un ami d’agiter ces questions par plaisir ; de plus, tous nous ne pouvons tout. Il convient encore de plaire à un ami et non de le torturer. Si nous observons cela, alors notre amitié durera sans doute aucun ; et elle nous éduquera ainsi tous les deux, l’un par l’autre tour à tour. Nous possèderons tous les deux la science des deux, en préservant cependant la gloire de l’invention4.
8Le projet collaboratif ainsi proposé ne pourra se réaliser : l’Italien meurt subitement cette année de la fièvre typhoïde. Le mot « plaisir » apparu dès le début, est repris une seconde fois en un tout autre sens ; il n’est pas opposé à la recherche de gloire car est au final souligné l’enrichissement réciproque, et donc un contentement des deux parties, qui dépasse le juridique. Ce que l’on peut appeler progrès en ce temps de bouleversement scientifique reconnu par tous, ne serait pas le fruit de la seule émulation concurrentielle, celle à l’origine de la querelle de priorité entre Torricelli et Roberval : il s’agirait de franchir des frontières bien anciennes sur l’infiniment petit pour lesquelles la force, et surtout la conviction d’un seul ne suffisent pas, puisqu’il faut de la militance, celle justement dont Koyré parle en mentionnant une révolution scientifique qui requiert un bouleversement des mentalités, et une union qui n’a pas encore trouvé son lieu possible, l’affaire Galilée taraudant les esprits. De telles bases d’amitié évoquées par Roberval en 1647 ne furent pas celles retenues par les statuts de l’Académie des sciences, fixés juste avant 1700, mais elles ont justement pu les préparer.
- 5 Mémoire sur Pascal et sa famille, in Blaise Pascal, Œuvres complètes, texte établi, présenté et ann (...)
- 6 Aristote, Métaphysique, livre K, 1, 1059b.
- 7 Benjamin Fondane, La Conscience malheureuse, nouvelle édition présentée et annotée par Olivier Sala (...)
9Ainsi, quand bien même je m’appliquerais prosaïquement à la seule fabrication de « choses mathématiques » – et puisqu’elle est reprise par Marguerite Périer5, j’adopte une expression d’Aristote qui évite d’avoir à se prononcer sur le rapport à la réalité et sur leur utilité6 –, je ne veux ni ne peux esquiver la question de la « conscience malheureuse ». C’est celle de mal dire ce que l’on se doit entre amis, lorsqu’il s’agit de l’usage de la raison dans la découverte qui peut bouleverser des croyances anciennes comme les mouvements de la Terre, et du comment cette découverte se fait et se défend. Intervient aussi l’ironie, jeu du scepticisme, qui doit accompagner celui qui parle jusqu’à abandonner la raison. Je reprends le titre d’un livre de 1936 de Benjamin Fondane7, fort inspiré par Léon Chestov qui prit tellement au sérieux le Pascal défenseur d’une attitude humaine sur la foi chrétienne dans La Nuit de Gethsémani : Essai sur la philosophie de Pascal, paru chez Grasset en 1923 l’année du tricentenaire de Pascal. Le plaisir de faire de la science, ou de la partager, qu’évoquait Roberval dans la lettre à Torricelli est loin de ce qui se pensait avec Pascal comme une « recherche en gémissant » ! Et pourtant, le récit de la roulette unit les deux attitudes. J’appose ici une autre phrase du même Pascal ; elle porte sur l’amitié dont Pascal estime ne pas mériter personnellement la manifestation, tant il est obsédé par une autre fin.
- 8 Pensées, Lafuma, 396 ; Sellier, 15.
Il est injuste qu’on s’attache à moi quoiqu’on le fasse avec plaisir et volontairement. Je tromperais ceux à qui j’en ferais naître le désir, car je ne suis pas la fin de personne et n’ai de quoi les satisfaire8.
10La seule mathématique pourrait-elle être une fin ? Quelle injustice, ou tromperie, y aurait-il à ce que Roberval se sentît « attaché » à Pascal ? La recherche de la vérité, en science, ne doit-elle pas se faire à plusieurs, en économisant ainsi les efforts, et au-delà des « mensonges » quelquefois nécessaires de l’amitié, pour corriger impitoyablement les préjugés, surtout sur les choses non encore vraiment pensées ? Je cite à nouveau le texte de Benjamin Fondane, qui refusait le découpage « romantique » de la pensée. Il n’autorisait pas une dissection analytique de la seule part scientifique des relations.
- 9 Benjamin Fondane, Faux traité d’esthétique, Paris, texte paru en 1938, présenté par Ann Van Sevenan (...)
Tout art est romantique, qui ne veut prendre conscience de l’homme qu’à travers un homme pourvu d’une seule de ses facultés, dissociée arbitrairement de l’unité initiale et inextricable de toutes les formes du penser. Tout ce qui, au grand siècle, s’exprimait ensemble, s’est décollé peu à peu aux siècles suivants : le xviiie siècle fut le grand siècle de l’intelligence : il manqua de cœur ; le xixe siècle fut celui du déluge du cœur : il manqua de tête ; le xxe siècle sera, probablement le grand siècle de la logique : il manquera de jambes9.
11Cœur, raison, corps : les trois ordres de Pascal sont alternativement et séculairement dits manquants par Fondane ! Me limitant à des documents essentiellement mathématiques et très datés, je dois maintenant citer, pour la contredire, une déclaration étonnante, un mythe que la plupart des critiques ont repris pour expliquer le travail de Pascal sur la roulette en 1658.
Les vrais et les mythiques « miracles » de la roulette
- 10 Mémoire sur Pascal et sa famille, Pascal, OC, Mesnard, op. cit., vol. I, p. 1103-4.
12Dans un récit tardif10, habilement composé, Marguerite Périer, nièce de Pascal, parlait d’un « très grand mal de dents », d’un effort voulu de Pascal contre les athées, passait sans hiatus à une « chose » mathématique mais non précisée sur la roulette, qui serait « trouvée » et même démontrée ( ?) par le seul Pascal. Un ami d’enfance, le duc de Roannez chez qui Pascal dispose à volonté d’une chambre dans le Marais, lui conseille d’en faire un défi qui devrait servir à « confondre » les athées dont il était d’emblée question. L’analyste avisé Jean Steinmann assure une logique de continuité intellectuelle à la roulette, sans miracle : rien de « fortuit », mais une « intuition », celle d’une marche à suivre sur la bien pesante question du centre de gravité de la surface engendrée par ladite courbe, et retour inattendu au divertissement par l’évocation d’autres soucis, domestiques cette fois, à moins qu’ils ne soient théologiques avec les Provinciales ou métaphysiques avec les Pensées. La courbe est effectivement et matériellement décrite par Steinmann avec les mots mêmes de Pascal, mots physiques débarrassés de leur abstraction mathématique, et renforcés dans leur présence mondaine par l’idée utilitaire plutôt qu’esthétique, voire religieuse puisque de pont il s’agirait. Écoutons Jean Steinmann revisitant « scientifiquement » la scène préparée par Marguerite Périer :
- 11 Citation de Blaise Pascal dans l’Histoire de la roulette, appelée autrement la trochoïde ou la cycl (...)
- 12 Jean Steinmann, Pascal, Paris, Desclée de Brouwer, 1962, p. 165.
Or, une nuit, peut-être en mai 1658, Pascal, atteint d’une forte rage de dents, ne pouvait dormir. Pour distraire sa douleur il se mit à réfléchir aux solutions apportées par Sluse aux problèmes des aires et des centres de gravité de certaines courbes. Il les appliqua à une courbe dont Mersenne lui avait parlé, qu’on appelait la roulette ou cycloïde. Elle n’est autre que le chemin « que fait en l’air le clou d’une roue quand elle roule de son mouvement ordinaire »11 et décrivant la forme de l’arche d’un pont. C’est la moitié de l’ellipse tracée par les planètes autour du Soleil. Pascal eut l’intuition de la marche à suivre pour en découvrir le centre de gravité. Ce n’était pas là un accident fortuit, mais le résultat d’une vieille recherche dont l’avaient détourné de plus urgents soucis12.
13Si on peut les appeler ainsi, les divers miracles de la roulette n’apparaissent en aucune façon dans les Lettres de A. Dettonville. Pascal évoque une recherche collective dans laquelle Roberval intervient, tout en indiquant, mais en pointillés, une voie à poursuivre, qui n’est pas celle de Roberval. En revanche, Pascal parle longuement de Roberval dans le récit d’octobre 1658, l’Histoire de la roulette.
- 13 Pascal, OC, Mesnard, vol. IV, p. 185.
- 14 Bonaventura Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota..., Bologn (...)
14Bien sûr, on constate l’effacement du sujet religieux évoqué par Marguerite Périer, et on reconnaît ce qu’en l’occurrence on peut appeler une « laïcité » de Pascal en matière de science. À l’opposé de Jean Mesnard qui, avec précision, scrute lettres et dates dans sa longue étude du concours de la roulette, évoque la plus ou moins grande « difficulté » des problèmes indépendamment de toute idée de méthode, et affirme avec une constance que l’on peut dire têtue « le dessein religieux » qui inspirerait le défi, pour conclure sur le fait que chez Pascal « le savant et le chrétien sont parallèlement engagés dans cette histoire »13. Il n’est pas le seul à agir ainsi. Léon Brunschvicg n’avalise pas le récit du mal de dents dans ses Étapes de la philosophie mathématique en 1912 ; il use de la rhétorique acidulée à la façon du Pascal des Provinciales, afin de pourvoir la preuve d’un caractère naturel en faisant jouer la méthode par les indivisibles de Cavalieri14. Celle-ci datait de 1635 et renouvelait radicalement la méthode d’exhaustion des anciens en ce qu’elle était directe, et non fruit d’un raisonnement par l’absurde : après celui de Sluse, un nouveau nom de mathématicien apparaît chez Brunschvicg, celui de Roberval auquel Pascal devrait beaucoup, venant à égalité de nouveauté avec Cavalieri :
- 15 Léon Brunschvicg, Les Étapes de la philosophie mathématique, à partir de l’édition en 1912, Paris, (...)
Cette substitution, scandaleuse pour ceux qui sont profanes ou hérétiques en matière de géométrie, paraît toute simple et naturelle à ceux qui ont l’intelligence de la géométrie ; ils n’aperçoivent entre la méthode des anciens et la méthode de Cavalieri (ou de Roberval) d’autre différence que la façon de parler. La première représente et exprime complètement la chose ; la seconde use de sous-entendus15.
15Le débat, car c’en est un, est axé sur l’innovation, que l’on pourrait dire révolutionnaire. Dans la déclaration de Brunschvicg, le recours analogique au religieux se déploie sans fard. Parlant de fait pour le début du xxe siècle, Brunschvicg entend manier l’ironie pour se moquer doublement de tendances de sa propre époque, scientisme et bergsonisme étant en ligne de mire ; il actualise du point de vue de la philosophie des sciences le rôle de l’intuitionisme propre à Brouwer, ce qui est sa façon de lutter contre la logique telle que déployée par Russell. Il n’en énonce pas moins :
- 16 Id., p. 169.
Seule une expérience spécifique, comparable à l’œuvre expérimentale du physicien ou encore au sentiment du chrétien sous l’action de la grâce, permet de rétablir les vrais principes de la science dans une sphère supérieure au domaine de la raison. Et de là, dans la philosophie mathématique de Pascal, l’alliance d’un certain positivisme et d’un certain mysticisme, qui a séduit plus d’un de nos contemporains16.
16Ayant mentionné successivement Jean Mesnard et Léon Brunschvicg, qui luttent chacun à sa manière contre la séparation chez Pascal de l’ordre de la science des autres ordres, à la suite d’ailleurs de Marguerite Périer, je ne peux qu’avancer lentement dans ce récit sur la roulette, constatant la distinction effective dans le corpus que j’étudie, et pouvant la prendre – c’est une hypothèse que je vais critiquer – pour une influence « amicale » de Roberval sur la pensée mathématique de Pascal.
Les rôles connus de Roberval
17Rien ne confirme Marguerite Périer lorsqu’elle assure que la roulette était dans l’actualité des conversations savantes. Était certes connu l’appendice sur cette courbe dans le livre de Torricelli de 1644, mais il n’était pas particulièrement repris dans les mois qui précédèrent le défi de Pascal. C’est le lancement du défi qui remit les choses de la roulette sur le devant de la scène, en France et en Angleterre. Dans sa première rédaction du défi en juin 1658, Pascal parle de sa propre approche via les centres de gravité, et son « nous » est d’autant plus certainement un « je » qu’il y a indéniable originalité chez Pascal à faire intervenir les sommes triangulaires.
- 17 Problèmes sur la cycloïde, proposés en juin 1658, Pascal, OC, Lafuma, p. 105.
Nous étant occupé, il y a quelques mois de diverses questions touchant la cycloïde et son centre de gravité, plusieurs problèmes dont la résolution nous semble devoir exiger quelques efforts, vinrent se présenter à notre esprit17.
- 18 Pour ce débat, voir Jean Dhombres, « Retrouver la première analyse de la cycloïde. En vue d’une his (...)
18Vers 1645, l’actualité de la roulette avait pu être la question des centres de gravité de diverses surfaces générées par la courbe. Cette question avait engendré une querelle avec Roberval, ce dernier contestant à juste titre un résultat de Torricelli. Du coup, Roberval en avait déduit que Torricelli ne disposait pas de méthode sûre dans son investigation qui faisait surtout une propagande des indivisibles. L’enjeu était une correction d’ampleur sur ces indivisibles. En avait-il parlé à Pascal ? Avant l’énoncé en juin 1658 du défi par Pascal, ce dernier ne semble pas au courant de la dispute avec Torricelli. Il y eut donc ensuite une rencontre nouvelle qui a dû donner lieu à une mise au point pour faire comprendre au jeune Blaise qu’il ignorait beaucoup trop les circonstances de l’invention même de la roulette et le débat18 qui avait eu lieu à distance avec Torricelli à partir de 1640, Mersenne servant alors d’intermédiaire, peut-être malhabile.
- 19 Les indivisibles indéfinis (indefinitis indivisibilia) apparaissent à plusieurs reprises chez Rober (...)
- 20 « Lettre de Sluse à Pascal du 23 juillet 1658 », Pascal, OC, Mesnard, tome IV, p. 268.
19S’il n’y avait pas eu de compromis public entre l’Italien et le Français, tous les deux à l’époque n’en décidèrent pas moins de maintenir l’appellation d’indivisibles. Or Roberval accola à ce mot le décisif « indéfinis »19. Il remplaçait la notion de Cavalieri de 1635, reprise et illustrée par Torricelli en 1644, par une autre faisant état d’une division d’une courbe en intervalles de longueurs égales, et cela permettait de « faire somme », à condition de rajouter une donnée supplémentaire afin d’avoir une « somme de », par exemple une « somme de sinus ». Le nombre n d’intervalles devient un indéfini, qui est une façon de passer à l’infini, non pas subrepticement, mais selon quelques règles ad hoc, permettant de négliger certaines expressions dans ces « sommes », quand on divise notamment par n. Discuta-t-il cette dénomination des « sommes de » avec Pascal lors de leur rencontre, située avant que ce dernier parle dans une lettre à Sluse des « inventions »20 de Roberval ? Ou se contenta-t-il de dire à Pascal que les quatre premières questions du défi de juin étaient déjà résolues, dont celles du centre de gravité d’une portion de cycloïde ? J’aurais tendance à penser que Roberval fut relativement précis, mais seulement après plusieurs discussions. Dans une lettre du 11 septembre 1658 à un candidat au défi qui devait se clore le 1er octobre, le jésuite la Louvère de Toulouse, Pascal s’étonnait en raillant du succès annoncé de ce dernier :
- 21 « Lettre de Pascal à La Louvère du 11 septembre 1658 », Id., p. 654-655.
Il est certain, mon Père, que c’est un grand problème, et je souhaiterais fort de savoir par où vous y êtes arrivé ; car enfin M. de Roberval qui est assurément fort habile, a été six ans à le trouver et vous avez la solution générale dont sa méthode ne donne qu’un cas qui est celui de la cycloïde entière21.
- 22 Sur cette généralité, voir dans le présent Dossier, l’article de João Cortese.
20Seul Roberval pouvait lui avoir fait part d’une telle persévérance avant 1637 sur la question de l’aire d’une arche de cycloïde, trois fois l’aire du cercle générateur, un résultat donné par Roberval à Mersenne cette année-là. Il était obtenu par une astuce très particulière de symétrie, et non par le procédé des nouvelles « sommes de ». Le problème vingt ans plus tard concernait des portions quelconques de cycloïdes, et donc relevait d’une méthode à caractère forcément général. Justement, dans cette même lettre de septembre 1658, Pascal doute que la méthode jusque-là suivie par Roberval ait eu la généralité22 de traiter ces portions quelconques, pour lesquelles on allait encore parler d’indéfini, mais en un autre sens que celui pour les divisions, car cette fois la variable elle-même était indéfinie. Un mois plus tard, Pascal reconnaissait à Roberval cette généralité dans son Histoire de la roulette, et l’invention des « sommes de ».
21Un événement extraordinaire a donc dû forcer Roberval à s’expliquer devant Pascal. Le 10 septembre 1658, on recevait en effet à Paris une lettre de Christopher Wren ; elle annonçait tout autre chose que des aires ou des centres de gravité. Le jeune Wren avait trouvé non seulement la longueur d’une arche, mais fourni l’équivalent géométrique sous forme de droite de la longueur d’un arc quelconque de roulette. Il réalisait un exploit par ce qu’on appelait une rectification. Un tel résultat n’était pas attendu par Pascal, qui reconnaît son étonnement ; en outre dans le cadre du défi, ce résultat seulement énoncé suggérait la possibilité de trouver aussi bien le centre de gravité d’un arc dont la longueur devenait ainsi connue. Cela devient une question du défi réaménagé.
22On a seulement une attestation indirecte d’une nouvelle rencontre de Pascal avec Roberval, puisque ce dernier, assure Pascal, avait de son côté apporté cette fois une preuve explicitée de cette rectification. Pascal écrit en effet le 10 octobre 1658, dans l’Histoire de la roulette, après avoir dit et admiré le résultat de Wren :
- 23 Histoire de la roulette, Pascal, OC, Lafuma, p. 121.
Je ne croirai pourtant lui rien ôter pour dire, ce qui est aussi véritable, que quelques géomètres de France auxquels cette énonciation a été communiquée en ont trouvé la démonstration sur le champ, et entre autres M. de Fermat, et je dirai de plus que M. de Roberval a témoigné que cette connaissance ne lui était pas nouvelle23.
23À ce point, on devrait conclure que Pascal s’est conduit comme un ami de Roberval puisqu’il témoigne de la réussite de ce dernier, et en homme de science indépendant puisqu’il fait valoir la nouveauté de ce travail devenu d’actualité savante dont témoigne le nom introduit de Fermat. Mais Pascal n’endosse pas l’intervention d’une vitesse dans un problème de géométrie, qui se trouve indispensable à la méthode des « sommes de » de Roberval. Il est possible que Pascal doute que Roberval ait vraiment pensé à la rectification de la cycloïde avant que l’on ait connu le résultat de Wren ; mais Pascal fait bien plus, et en un autre sens bien moins.
- 24 De longitudine trochoidis, in De Trochoide et ejusque spatio, dans Divers ouvrages de mathématiques (...)
24Moins en l’occurrence, car il fait preuve d’une indifférence ; elle sera même une forme d’autonomie revendiquée dans la démarche de chacun des deux savants. Roberval, dans sa lettre à Torricelli, parlait de quadratures, mais manifestait sa gêne, avec une franchise étonnante, tout en maintenant que sa méthode des « multiples quadratures », celle des divisions faisant les « sommes de », ouvrait un nouveau monde24. De ce monde Roberval constate, non sans mélancolie, ne pas avoir la clef, ni pouvoir donner une idée de ses contours. Est cependant remarquable l’indifférence du long terme de Roberval à donner une suite au travail de Pascal en 1659 qui aboutit à la longueur d’une ellipse, alors même que nous constatons que Roberval est revenu publiquement à l’Académie des sciences en 1670 sur son travail sur la longueur de la roulette. Parallèlement il y a une indifférence quasi immédiate de Pascal, non sur le rôle des divisions égales sur une courbe même réduite à un cercle qu’il tient de Roberval, mais à la voie que Roberval semble indiquer qui consiste à travailler les « sommes de » pour elles-mêmes et sans espoir de les réduire toutes à des choses connues. C’est pourtant un plus de Pascal car du coup Roberval devient un jalon remarquable, certes dépassé, dans un mouvement d’invention. Sans chaleur particulière donc, mais précisément, Pascal utilise la soi-disant convivance savante de la référence, qui va bientôt être tamisée par le jeu académique :
[…] c’est pourquoi je me suis senti obligé de rendre par celui-ci à Mr de Roberval ce qui lui appartient véritablement.
25Mais s’il liste des résultats de Roberval, s’il qualifie de « naturelle et belle » la méthode de ce dernier, Pascal ne se situe aucunement par rapport à elle : il l’endosse comme une évidence dans le jeu littéraire des avertissements de ce Traité. Une telle attitude relève pour moi de la « conscience malheureuse », et c’est peut-être là que se situe le nœud de l’affaire, ce qui figea définitivement leurs relations, au-delà même de l’indifférence savante. Pascal est persuadé que sa façon de procéder avec des sommations, bien plus rapide que celle de Roberval, outrepasse cette dernière, quoique pouvant en un sens lui avoir servi d’inspiration alors même qu’il n’en prit directe connaissance qu’en septembre 1658. Un déplacement a été effectué des sommations et de leurs techniques avec l’entier n qui donne le nombre de divisions égales à ce qui est sommé, à ce que l’on somme et qui ne sera nommé fonction que bien plus tard, mais déjà relevé en particulier comme « somme de sinus ». La situation mathématique atteinte par ce déplacement s’éclaircit brutalement pour Pascal sous l’effet de Christiaan Huygens. L’intervention de ce dernier marque dès lors une forme de rupture dans les relations de Pascal avec Roberval comme nous allons le mieux voir, une indifférence positive.
L’intervention, ironique, de cet autre « ami » et futur académicien : Christian Huygens
26Huygens reproche fort poliment à Pascal son attitude sur le plan de la recherche et de l’horizon de celle-ci. Il l’engage à poursuivre son travail, c’est-à-dire à manifester le lieu où il est arrivé, et surtout ce qui devient ainsi possible. On peut préciser la chronologie. Une lettre de Huygens est du 5 février 1659, en réponse à une lettre de Pascal qui le félicitait d’avoir construit la fameuse Horloge qui utilise doublement la roulette. Si se donne à voir chez Huygens une humilité de façade de physicien et mécanicien par rapport à un mathématicien, il faut en plus déceler une forme de pression sur le savant Pascal, ouvrant une réflexion à faire sur l’intérêt même des problèmes de la roulette.
- 25 « Lettre de Huygens à Pascal du 5 février 1659 », Œuvres de Huygens, op. cit., vol. II, p. 340-341, (...)
Il y a beaucoup d’hasard à rencontrer des inventions semblables et fort peu de science ou de subtilité. Aussi ne sont-elles propres que pour acquérir du crédit aux Mathématiques parmi le commun des hommes au lieu que de telles comme vous nous allez produire, causent avec raison l’admiration et de l’étonnement des plus savants. Je ne suis pas de ce nombre, mais j’ai un désir incroyable de voir le commencement, et d’autant plus, que ce commencement me fait espérer que nous verrons les choses les plus sublimes traitées avec toute la clarté et évidence possible25.
27Cette raillerie déférente, cette graduation établie dans les niveaux d’invention, vient au cœur de mon propos ; elle est d’autant plus pressante d’une théorie à expliquer, sinon à trouver, qu’elle répondait à une lettre très contournée de Pascal d’un mois plus tôt, le 6 janvier 1659, écrite directement à Huygens en faisant moins état d’une amitié scientifique que d’une forme de relation mondaine. L’humilité dite par Pascal ne relève pas en ce premier message de la pratique de science ; il y a recherche d’une amitié épistolaire, quoique non placée sur le principe de réciprocité que Roberval avait formulé à l’intention de Torricelli. Jean Mesnard veut voir dans la gradation entre mémoire, estime, amitié, une structure en analogie avec les trois ordres pascaliens. J’y vois plutôt, sinon surtout, la perception chez Pascal de ce qu’un regard extérieur, et non concurrent mais scientifiquement curieux, suscitait chez lui, et que l’attitude réservée de Roberval sur ses propres résultats ne générait pas. Et voilà que le mot « joie » survient chez Pascal.
- 26 « Lettre de Pascal à Huygens » du 6 janvier 1659, Œuvres de Huygens, tome II, n° 562, p. 309-310 ; (...)
Je vous assure Monsieur que j’en ai eu une surprise et une joie extrêmes, car je ne pensais pas seulement que mon nom fût venu jusqu’à vous, et j’aurais borné mon ambition à avoir une place dans votre mémoire. Cependant on me veut faire croire que j’en ai même dans votre estime26.
- 27 « Lettre de A. Dettonville à M. Huygens de Zulichem en lui envoyant la dimension des lignes de tout (...)
28Pourtant, peut-on dire, un mois plus tard, vient une nouvelle lettre de Pascal, avec un texte sur « la dimension des lignes courbes de toutes les roulettes », qui est la rectification de toutes les roulettes. Alors que Huygens ne considérait que la seule roulette ordinaire. Publié dans les Lettres de A. Dettonville27, ce document répond à la demande de Huygens d’aller plus loin. Pascal en effet n’obtient pas un résultat numérique pour la longueur d’un arc quelconque de roulette généralisée, ou un équivalent de longueur droite, mais l’étonnante égalité avec la longueur d’un arc d’ellipse dûment précisée, alors même que le calcul de cette longueur demeure une énigme. Nous dirions aujourd’hui que la longueur est donnée sous une forme d’intégrale elliptique, qui ne correspond pas à une fonction élémentaire ; Pascal parle quant à lui d’une « somme de droites ». Sur le plan épistémologique, la nature de l’ambition mathématique est formidablement changée, et Pascal a trouvé la force de ne plus chercher des quadratures à l’ancienne. La raillerie de Huygens a eu de l’effet, et Pascal peut dès lors, fort de son succès avec l’ellipse, parler en égal. Ce qui fait de Roberval un moment certes, mais un moment dépassé. Ce fait acquis, je peux citer Pascal qui écrivait à la même époque un texte qui fait le Pascal catholique :
- 28 Il y a une majuscule à Éléments dans ce qui nous est transmis en reste de Pascal, qu’il est aisé de (...)
- 29 Pensées, édition Lafuma, fragment 449, dans la série des papiers non classés, p. 558.
Le Dieu des chrétiens ne consiste pas en un Dieu simplement auteur des vérités géométriques et de l’ordre des Eléments28 ; c’est la part des païens et des épicuriens. Il ne consiste pas seulement en un Dieu qui exerce sa providence sur la vie et sur les biens des hommes, pour donner une heureuse suite d’années à ceux qui l’adorent ; c’est la portion des Juifs. Mais le Dieu d’Abraham, le Dieu d’Isaac, le Dieu de Jacob, le Dieu des chrétiens, est un Dieu d’amour et de consolation […]29.
- 30 Pour la rupture de style qu’est l’intervention d’un « avertissement » dans un texte mathématique, v (...)
29Car face à la fixité invoquée de l’ordre des Éléments d’Euclide, l’invention mathématique pascalienne innove, même par rapport à Roberval, et cela explique que le nom de ce dernier, sans disparaître chez Pascal, ne soit devenu qu’un parmi d’autres. Je devrais marquer ici techniquement en quoi Pascal modifie ainsi l’ordre mathématique, abandonnant sans éclat la théorie des proportions, l’établissement de rapports, au profit d’égalités. Dans un avertissement30, mode peu euclidien, Pascal indique qu’il s’évite la différence entre quantité « connue » ou « donnée ». Les proportions, dans la théorie d’Euclide, permettaient la comparaison entre elles de différentes grandeurs selon ce que l’on peut appeler une sorte d’algèbre avant celle des Modernes, et elle était un carcan dont se débarrasse allégrement Pascal en numérisant aussi bien les grandeurs que leurs rapports.
30Pascal se sent embrigadé à égalité dans une cohorte de savants, presqu’une académie à laquelle Roberval est associé ; Pascal peut exciper de sa valeur, et tout aussi bien dire autrement ce qu’apportent les « sommes de droite », un nouvel objet pour les mathématiques, ou encore le monde de l’intégrale pouvant dire des égalités. Ce n’est pas le résultat « sublime » que Huygens faisait semblant d’attendre, voire attendait, mais c’est une avancée notable sur les Anciens, et elle est collective, quand bien même le ton de Pascal et sa réflexion propre le distinguent un peu des autres. Il serait erroné de n’y voir que le plaisir, pour reprendre le mot de Roberval, d’être provisoirement meilleur que les autres, ou d’avoir la brillance dont Huygens disait ne pas se soucier.
Conclusion
31Mon propos par sa minutie même sur une seule courbe et deux auteurs essentiels, avec l’intervention d’un tiers comme Huygens, n’était pas de délivrer des palmes à l’invention, mais de m’approcher de ce qu’est une rencontre scientifique entre deux personnages qui l’un et l’autre ne voulurent pas abdiquer leur singularité, ni reconnaître une influence mutuelle qui ne s’inscrirait pas dans une avancée collective. Elle relève certes de la « conscience malheureuse », mais assez loin des objectifs envisagés par Marguerite Périer ; elle décrit ce que l’on pourrait désigner comme « l’homme scientifique » du xviie siècle, à la manière de L’uomo del rinascimento d’Eugenio Garin. Pascal est tout à la joie – comment dire autrement et ne pas reprendre son mot ? – de se trouver en compagnie intellectuelle de bien d’autres, dont Roberval. Il est passé du « plaisir » dit par Roberval à la joie d’un collectif qui trouve. Pascal ne fait pas semblant de penser une unanimité de méthodes ; il ne modifie donc pas le sens des quelques lignes que Roberval écrivait à Torricelli en 1647 et qui peuvent servir de conclusion. Car elles indiquent que l’aventure mathématique est toute humaine, singulière et collective.
[…] tu parles, homme très illustre d’après ton génie. Nous, nous avons écrit d’après notre propre génie !
Notes
1 Jacques Derrida, Foi et savoir, texte extrait d’un volume intitulé, La religion, séminaire de Capri, Paris, Le Seuil, 1996.
2 Pierre Costabel, Essai sur les secrets des Traités de la roulette, in L’Œuvre scientifique de Pascal, PUF, Paris, 1964, chapitre X, p. 169-206.
3 Pierre Humbert, L’œuvre scientifique de Blaise Pascal, Paris, 1947.
4 Extrait ici traduit (J.D.) d’une lettre de Roberval à Torricelli. : Divers ouvrages de mathématiques et de physique par MMrs les savants de l’Académie Royale des Sciences, Imprimerie royale, Paris, 1693, p. 284-302. Une traduction française est à paraître, Jean Dhombres, Vers les fonctions du Calcul, Garnier classique, séquence n° 10.
5 Mémoire sur Pascal et sa famille, in Blaise Pascal, Œuvres complètes, texte établi, présenté et annoté par Jean Mesnard (ci-dessous Pascal, OC, Mesnard), Desclée de Brouwer, 1964, vol. I, p. 1103.
6 Aristote, Métaphysique, livre K, 1, 1059b.
7 Benjamin Fondane, La Conscience malheureuse, nouvelle édition présentée et annotée par Olivier Salazar-Ferrer, avec la participation de Nicolas Monseu, Verdier/Non Lieu, 2013.
8 Pensées, Lafuma, 396 ; Sellier, 15.
9 Benjamin Fondane, Faux traité d’esthétique, Paris, texte paru en 1938, présenté par Ann Van Sevenant, Paris Méditerrannée, 1998.
10 Mémoire sur Pascal et sa famille, Pascal, OC, Mesnard, op. cit., vol. I, p. 1103-4.
11 Citation de Blaise Pascal dans l’Histoire de la roulette, appelée autrement la trochoïde ou la cycloïde, où l’on rapporte par quels degrez on est arrivé à la connaissance de la nature de cette ligne, texte daté du 10 octobre 1658, Œuvres de Pascal, éditées par Jean Lafuma (ci-dessous Pascal, OC, Lafuma), Le Seuil, coll. L’Intégrale, Paris, 1963, p. 117 et suivantes.
12 Jean Steinmann, Pascal, Paris, Desclée de Brouwer, 1962, p. 165.
13 Pascal, OC, Mesnard, vol. IV, p. 185.
14 Bonaventura Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota..., Bologne, Clemente Ferroni, 1635, in-4°. Le livre de Torricelli de 1644 a fait l’objet d’une édition récente en anglais : Raffaele Pisano, Jean Dhombres, Patricia Radelet-de Grave, Paolo Bussotti, Homage to Evangelista Torricelli’s Opera geometrica 1644-2024, Texts, transcription, commentaries and Selected Essays as New Historical Insights, Springer Verlag, 2024. Pour une étude des indivisibles, voir Vincent Jullien (ed.), Seventeenth-Century indivisibles revisited, Science Networks, Historical Studies, 49, 2015.
15 Léon Brunschvicg, Les Étapes de la philosophie mathématique, à partir de l’édition en 1912, Paris, A. Blanchard, 1972, p. 170.
16 Id., p. 169.
17 Problèmes sur la cycloïde, proposés en juin 1658, Pascal, OC, Lafuma, p. 105.
18 Pour ce débat, voir Jean Dhombres, « Retrouver la première analyse de la cycloïde. En vue d’une histoire des fonctions d’une variable, à partir des échanges entre Roberval et Torricelli », Revue des Questions Scientifiques, 190, 3-4, 33, 2019, p. 261-348.
19 Les indivisibles indéfinis (indefinitis indivisibilia) apparaissent à plusieurs reprises chez Roberval, notamment avec explicitation dans la lettre de Roberval à Torricelli, folios 28r-39v <https://gallica.bnf.fr/ark :/12148/btv1b10036793c/f57.item>. Voir Jean Dhombres, « L’indéfini dans les “Traités de le roulette” de Pascal, son ontologie, ses sources, et sa postérité », Revue d’Histoire des sciences, tome 76-2, 2024, p. 303-340.
20 « Lettre de Sluse à Pascal du 23 juillet 1658 », Pascal, OC, Mesnard, tome IV, p. 268.
21 « Lettre de Pascal à La Louvère du 11 septembre 1658 », Id., p. 654-655.
22 Sur cette généralité, voir dans le présent Dossier, l’article de João Cortese.
23 Histoire de la roulette, Pascal, OC, Lafuma, p. 121.
24 De longitudine trochoidis, in De Trochoide et ejusque spatio, dans Divers ouvrages de mathématiques et de physique par MMrs les savants de l’Académie Royale des Sciences, 1693, p. 277.
25 « Lettre de Huygens à Pascal du 5 février 1659 », Œuvres de Huygens, op. cit., vol. II, p. 340-341, Pascal, OC, Mesnard, vol. IV, p. 341-342.
26 « Lettre de Pascal à Huygens » du 6 janvier 1659, Œuvres de Huygens, tome II, n° 562, p. 309-310 ; Pascal, OC, Lafuma, p. 281-282, Pascal, OC, Mesnard, t. IV, p. 338-339.
27 « Lettre de A. Dettonville à M. Huygens de Zulichem en lui envoyant la dimension des lignes de toutes sortes de roulette, lesquelles il montre être égales à des lignes elliptiques », Pascal, OC, Mesnard, t. IV, 1972, p. 523-529. La description du travail de Pascal se trouve dans Jean Dhombres, « Sur les interprétations de “tout un autre côté” de Pascal », Journal of Early Modern Studies 13, 2024, p. 157-191.
28 Il y a une majuscule à Éléments dans ce qui nous est transmis en reste de Pascal, qu’il est aisé de consulter grâce au splendide site de Clermont-Ferrand, majuscule oubliée par bien des éditeurs dont Lafuma (fr. 449) et Sellier (fr. 690). L’allusion est aux « Éléments d’Euclide ».
29 Pensées, édition Lafuma, fragment 449, dans la série des papiers non classés, p. 558.
30 Pour la rupture de style qu’est l’intervention d’un « avertissement » dans un texte mathématique, voir Dominique Descotes, « Les aspects littéraires et rhétoriques des Avertissements dans les Lettres de A Dettonville de Pascal », La Marge, Clermont‐Ferrand, 1988, p. 109‐132.
Haut de pagePour citer cet article
Référence électronique
Jean Dhombres, « Pascal et Roberval : collaboration par intermittences, indifférence savante et joie dans la découverte mathématique », Les Dossiers du Grihl [En ligne], 17-1/2 | 2026, mis en ligne le 22 janvier 2026, consulté le 08 mai 2026. URL : http://journals.openedition.org/dossiersgrihl/12198 ; DOI : https://doi.org/10.4000/15ztw
Haut de pageDroits d’auteur
Le texte seul est utilisable sous licence CC BY-SA 4.0. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont susceptibles d’être soumis à des autorisations d’usage spécifiques.
Haut de page



