- 1 Le terme de calcul réfléchi est utilisé dans le document d’accompagnement des programmes de 2002 (M (...)
1L’apprentissage de l’algèbre élémentaire dans le secondaire reste un passage délicat pour beaucoup d’élèves alors que c’est un moment décisif de leur cursus scolaire. De nombreux travaux montrent les liens entre les difficultés constatées des élèves en algèbre élémentaire et un enseignement privilégiant un rapport institutionnel formel à l’algèbre (Chevallard, 1984, 1989) qui n’accompagne pas adéquatement la transition entre l’arithmétique et l’algèbre. Cette transition met en jeu la négociation de ruptures d’ordre épistémologique (Vergnaud et al., 1987 ; Vergnaud, 1988) ce qui a déjà fait l’objet de nombreuses recherches. Le caractère pré-algébrique de certaines activités mathématiques du primaire et du début du secondaire – « activité » est pris au sens de la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1999) –, est d’ailleurs pointé dans plusieurs recherches autour de l’enseignement des fractions (Chevallard, 1984), de la résolution de problèmes des champs additifs et multiplicatifs (Vergnaud, 1988, 1990), du calcul réfléchi1 (Butlen et Pézard, 2000 ; Butlen, 2007 ; Carraher et Schliemann, 2007), de la distributivité (Constantin et Coulange, 2017), des travaux relevant de l’Early Algebra et du développement de la « pensée algébrique » (Radford, 2013 ; Kieran et al., 2016 ; Kieran, 2018). Dans quelle mesure ce caractère pré-algébrique pourrait-il être un levier pour négocier la transition entre l’arithmétique et de l’algèbre ?
2Dans cet article, nous contribuons à explorer la transition entre l’arithmétique et l’algèbre en France au début de collège (11-12 ans) en postulant que certains objets mathématiques comme les nombres, les expressions numériques, l’égalité, les équations relèvent de l’arithmétique et de l’algèbre mais avec des usages différents. Selon nous, les institutions scolaires sensibilisent peu les élèves à ces différences ce qui peut provoquer pour certains élèves une perte de repère probablement en partie responsable des difficultés rencontrées en algèbre. Cela est certainement d’autant plus accentué par le fait qu’il y a une « fausse continuité » (Kieran, 1992) dans les usages de l’égalité, des opérateurs, des symboles alpha-numériques. Comment amener les élèves à négocier le passage d’un rapport personnel à ces objets mathématiques communs construits au primaire et relevant de l’arithmétique, à un rapport personnel qui soit compatible avec celui attendu pour l’algèbre scolaire du secondaire puis du supérieur ?
3Nous faisons l’hypothèse que différents aspects épistémologiques d’objets mathématiques tels l’égalité ou les expressions numériques présentés dans cet article, sont accessibles aux élèves de primaire avant l’introduction du symbolisme alpha-numérique et peuvent être développés au sein d’une activité mathématique, que nous présentons sous l’appellation d’activité « numérico-algébrique ». Cette activité permettrait de préparer et de négocier la transition entre l’activité arithmétique et l’activité algébrique (cf. figure 1). La développer favoriserait la construction de rapports idoines à des objets mathématiques communs et compatibles en arithmétique et en algèbre. À travers la résolution de tâches relevant de types de tâches que nous allons définir, elle pourrait faire vivre des aspects épistémologiques nécessaires à l’activité algébrique, sous-estimés ou laissés implicites à l’école primaire.
- 2 La notion de praxéologie est décrite par quatre éléments : un type de tâche, une technique, une tec (...)
4Pour ce faire, nous prenons en compte le fait que l’élève, au cours de sa scolarité, étudie dans plusieurs institutions dans lesquelles des décalages entre les rapports aux objets mathématiques qu’elles développent peuvent exister. Nous nous situons d’abord principalement dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique (TAD) qui permet de questionner le savoir mathématique et sa transposition didactique dans les institutions scolaires à travers l’activité mathématique qu’elles visent (Chevallard, 1999). Ici, nous décrivons l’activité numérico-algébrique au moyen de la notion de praxéologie2 qui propose une modélisation de l’activité mathématique et des savoirs qu’elle utilise et engendre. Nous prenons en compte les élèves à la fois, comme des sujets assujettis aux institutions dans lesquelles ils apprennent ou ont appris et construisent leurs praxéologies apprises mais aussi comme des sujets cognitifs confrontés à la négociation des ruptures d’ordre épistémologique, ici entre l’arithmétique et l’algèbre (Grugeon, 1997). Ce deuxième point de vue nous conduit à considérer des travaux didactiques afin de considérer les processus cognitifs dans la conceptualisation des concepts communs à l’arithmétique et à l’algèbre. Nous commençons par situer l’activité numérico-algébrique dans une réflexion plus large sur l’élaboration d’un modèle épistémologique de référence étendu de l’algèbre élémentaire (Grugeon, 1997), qui trouve son origine dans le processus d’algébrisation des programmes de calculs (Ruiz-Munzón et al., 2020). Nous caractérisons ensuite les aspects didactiques et épistémologiques mis en jeu à partir d’une synthèse de travaux. Puis nous décrivons les principales praxéologies dans lesquelles elle se construit. Ces outils d’analyse nous permettent enfin d’étudier les potentialités des programmes scolaires français pour développer cette activité.
5Nous proposons de situer l’activité numérico-algébrique au regard des travaux de didactique sur la conception de modèles épistémologiques de référence (MER) à l’algèbre afin de décrire les objets mathématiques qu’elle concerne et ce qui la caractérise.
6Gascón (1994) soutient que le didacticien doit prendre du recul vis-à-vis du modèle épistémologique dominant de l’institution étudiée pour en analyser le processus de transposition didactique. Cela se caractérise en TAD par l’élaboration de modèles épistémologiques de référence du contenu étudié. Un MER est un découpage possible du savoir à enseigner propre au didacticien qui « représente aussi une tentative de réponse à des questions de recherche à propos de la structure et de la dynamique du domaine considéré, ainsi que sur les rapports entre ce domaine et d’autres contenus d’enseignement » (Ruiz-Munzón et al., 2020, p. 127). En TAD, ce découpage peut s’appuyer sur la notion de praxéologie et donner lieu à un modèle praxéologique de référence, sans toutefois qu’il soit totalement formalisé. Des modèles de référence ont été élaborés par des didacticiens pour l’algèbre élémentaire (par exemple, Chevallard, 1984, 1989 ; Gascón, 1994 ; Ruiz-Munzón et al., 2012). Ils s’appuient sur des analyses successives des processus de transposition didactique de l’algèbre dans différentes institutions depuis le xixe siècle.
7Partant d’un grand nombre de recherches antérieures dans le cadre de la TAD, Ruiz-Munzón et al. (2012) définissent un MER de l’algèbre élémentaire dans lequel ils interprètent ce domaine comme un processus d’algébrisation de praxéologies mathématiques et non mathématiques. Concernant l’introduction à l’algèbre élémentaire dans l’enseignement secondaire, ce processus est initié par l’étude des programmes de calcul, notés PC :
Un PC est formé par une suite d’opérations avec des quantités ou des nombres pouvant s’effectuer l’une après l’autre et qui finit toujours par un résultat numérique concret. On peut les désigner par l’expression PC (a1, a2, …, an) où a1, a2,…, an sont les quantités à opérer (ou « arguments » du PC). (Ruiz-Munzón et al., 2020, p. 130)
8L’étude des PC est suffisamment riche pour rencontrer la raison d’être de l’algèbre, à savoir qu’elle permet de modéliser des problèmes mathématiques. Le processus d’algébrisation relatif aux PC est scindé en plusieurs étapes (Ruiz-Munzón et al., 2012, 2020) : la première porte sur les expressions algébriques, la seconde sur les équations et la troisième sur les formules. À chaque étape, le système atteint des limites pour traiter de nouveaux problèmes sur les PC ce qui engendre le besoin de nouvelles techniques et de nouveaux ingrédients technologico-théoriques et donc d’une nouvelle étape. Comme nous nous intéressons aux prémices de l’introduction à l’algèbre, nous développons uniquement le système initial du processus et sa première étape. Pour Ruiz-Munzón et al. (2020), le système initial est « formé par les problèmes arithmétiques définis comme ceux qui peuvent se résoudre à partir de l’exécution d’un PC » (p. 130). Une technique possible est « basée sur la méthode d’analyse-synthèse » (Gascón, 1994) qui permet d’obtenir la valeur d’un argument inconnu d’un PC à partir de son résultat final, par exemple en remontant le PC par les opérations inverses. Le système rencontre ses limites lorsque le patron d’analyse-synthèse ne suffit plus ou est trop coûteux (par exemple avec des verbalisations orales). C’est la première étape du processus d’algébrisation. Il devient nécessaire de considérer le PC du point de vue de sa structure, comme un tout, et, non de le traiter, comme un processus, pas à pas. Cette étape va conduire à introduire la notion d’expression algébrique et les priorités qui permettent de les transformer même si, comme le soulignent les auteurs, l’utilisation des lettres peut être reportée :
Cela ne comporte pas nécessairement l’utilisation de lettres pour indiquer les nombres ou grandeurs qui interviennent dans le PC (ses « arguments ») ; mais cela demande toutefois de pouvoir écrire la suite d’opérations sans les effectuer, d’expliciter sa structure et de prendre en compte l’ordre et la hiérarchie des opérations à effectuer (les « règles des parenthèses »). Il faut aussi pouvoir déterminer si deux PC sont ou non équivalents, de les simplifier, voire de les comparer pour savoir si l’un est toujours plus grand ou plus petit qu’un autre. (Ruiz-Munzón et al., 2020, p. 131)
9Nous faisons l’hypothèse que l’introduction et le développement d’une activité numérico-algébrique pourrait éclairer cette période transitoire entre le début de la première étape du processus et l’utilisation des symboles alpha-numériques.
10L’élargissement du système initial vers la première étape du processus d’algébrisation joue un rôle déterminant pour la suite du processus. Pourtant, comme le soulignent Ruiz-Munzón et al. (2020), ce passage n’est « ni immédiat, ni spontané » :
Nous avons déjà indiqué que le recours non formel à l’outil algébrique demande de se situer dans la première étape du processus d’algébrisation. Or, le passage du travail arithmétique à cette première étape n’est ni immédiat ni spontané. Pour cela, S [le système initial formé par les problèmes arithmétiques] constitue un point de départ suffisamment riche pour développer au départ un travail « arithmétique » d’exécution de PC d’une manière relativement économique et faire surgir des limitations qui motivent le passage à la première puis à la deuxième étape du processus d’algébrisation. (ibid., p. 137)
11En effet, ils développent le problème suivant comme exemple de la première étape du processus d’algébrisation : « Gabriel pense à un nombre, il ajoute 20, divise le résultat par 5, ajoute 2, multiplie le tout par 3 et soustrait la moitié du nombre pensé. Si à la fin il obtient 24, à quel nombre a pensé Gabriel ? » (ibid., p. 11). Ils en proposent une résolution algébrique suivante :
[(n + 20)/5 + 2] × 3 – n/2
[(n + 20 +10)/5] × 3 – n/2
(3n + 90)/5 – n/2
3n/5 + 18 – n/2
n/10 + 18.
À partir de ce point, par le biais de la technique inverse et sachant que le résultat final est 24, on arrive à la solution n = 60. (p. 132).
12Au début du secondaire, il semble peu envisageable d’attendre des élèves la production d’une telle expression algébrique sans un travail préalable sur les écritures numériques et leurs propriétés. Quelles sont alors les étapes intermédiaires ? Comment préparer les élèves à produire des expressions numériques parenthésées « en ligne » dont il faut analyser la structure pour pouvoir les simplifier ? En définissant l’activité numérico-algébrique nous cherchons à caractériser cette richesse en identifiant l’équipement praxéologique nécessaire pour permettre aux élèves d’aborder dans des conditions optimales la première étape du processus d’algébrisation.
13L’activité numérico-algébrique intervient dans des praxis (types de tâches et techniques) qui relèvent du système initial. Certaines sont justifiées par des logos (discours descriptif, explicatif, justificatif et organisateur de la praxis) qui reposent sur des savoirs qui sont peu à peu formalisés et élargis pour les besoins du processus d’algébrisation. Comme nous le développons dans la partie suivante, ces savoirs concernent l’équivalence de l’égalité, les expressions numériques, les relations entre données connues et inconnues dans une équation, les propriétés des opérations. Nous faisons l’hypothèse qu’ils peuvent être rencontrés par les élèves du primaire, à travers la résolution de nouveaux problèmes relatifs aux PC qui nécessitent d’enrichir le niveau technologico-théorique. Mais, comme l’institution scolaire, tout au moins en France, ne les spécifie pas comme nécessaires pour la suite des apprentissages en algèbre, ils sont certainement laissés implicites et c’est à la charge des élèves de les identifier. L’absence de ces besoins d’apprentissage ignorés par l’institution primaire (Castela, 2008) sera d’autant plus marquée qu’elle intervient au moment de la transition institutionnelle primaire-secondaire.
14Nous définissons maintenant les aspects épistémologiques de l’activité numérico-algébrique afin de caractériser les principales praxéologies qui la sollicitent.
15Nous proposons dans ce qui suit une synthèse d’un ensemble de travaux portant sur l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre et plus particulièrement ceux qui concernent la transition de l’arithmétique vers l’algèbre issus de diverses approches théoriques.
16Vergnaud (1988) évoque une double rupture entre l’arithmétique et l’algèbre. La première rupture porte sur la nature des raisonnements mis en jeu dans la résolution de problèmes de chaque domaine. La deuxième rupture porte sur le statut des objets comme l’égalité, les lettres et les opérations. Cette double rupture concerne le passage du système initial à la première étape du processus d’algébrique. Elle porte, au niveau technologico-théorique sur le statut des objets et le raisonnement, et, elle impacte les techniques. Nous y revenons dans les paragraphes suivants. Partant de cette double rupture, nous organisons notre synthèse en deux entrées. Nous considérons d’abord des types de problèmes qui peuvent mettre en jeu l’activité numérico-algébrique pour ensuite décrire les objets mathématiques mobilisés, leurs propriétés et les registres de représentation mis en jeu dans la résolution.
17Dès les années 2000, les travaux de l’Early Algebra (Kieran et al., 2016 ; Kieran, 2018) s’intéressent aux aspects de l’activité algébrique que les élèves (6 à 12 ans) pourraient développer avant qu’ils ne rencontrent le symbolisme algébrique. Pour Radford (2013), l’entrée dans ce qu’il appelle la « pensée algébrique » se caractérise par des formes de pensées spécifiques à l’algèbre et épistémologiquement différentes de celles de l’arithmétique. Il en donne trois caractéristiques :
(1) indeterminacy: the problem involves not-known numbers (unknowns, variables, parameters, etc.);
(2) denotation: the indeterminate numbers involved in the problem have to be named or symbolised. […]
(3) analyticity: the indeterminate quantities are treated as if they were known num- bers. That is, although the are not known, one starts from the indeterminate quantities and operates on them (i.e., adds, subtracts, multiplies, divides them) as if they were known. (p. 260)
18Concernant l’analycité, il écrit :
In order to operate on the unknown, or on indeterminate quantities in general (e.g., variables, parameters), one has to think analytically. That is, one has to consider the indeterminate quantities as if they were something known, as if they were specific numbers […]. From a genetic viewpoint, this way of thinking analytically—where unknown numbers are treated on a par with known numbers—distinguishes arithmetic from algebra. And it is so characteristic of algebra that French mathematician François Viète (one of the founders of modern symbolic algebra) identified algebra as an analytic art (Viète 1983). (p. 259)
19Ce caractère analytique de l’activité algébrique est déjà présent chez Vergnaud (1988) lorsqu’il définit la première rupture épistémologique. Alors que le raisonnement arithmétique consiste à déterminer les données cherchées en partant de celles connues dans un contexte particulier, le raisonnement algébrique conduit à modéliser le problème pour traiter simultanément données connues et inconnues en vue de le résoudre, et même de résoudre des problèmes équivalents ou de même classe. La puissance du raisonnement algébrique réside dans son caractère analytique qui permet de raisonner en traitant données connues et inconnues et en opérant sur les deux.
20Radford (2013) ne cherche pas à définir les conditions pour qu’un problème nécessite le raisonnement analytique mais cherche à caractériser ce qui relève de l’analycité dans un raisonnement mathématique, notamment ceux produits par les élèves lorsqu’ils généralisent des motifs géométriques.
21Nous retenons l’analycité comme une caractéristique de l’activité numérico-algébrique en ce sens qu’elle nécessite, au niveau technologico-théorique, non plus de traiter les données connues les unes après les autres mais de traiter globalement leurs relations avec les inconnues, et donc de développer de nouvelles techniques. Nous spécifions ci-dessous dans quels types de problèmes l’activité numérico-algébrique peut être travaillée avant que les élèves ne rencontrent les expressions algébriques.
- 3 Un exemple est le carré bordé, qui en France s’est largement répandu (Combier et al., 1995).
22Les problèmes de généralisation de motifs géométriques3 (« patterns ») sont souvent pris comme exemples dans les travaux de l’Early Algebra. Facilement accessibles à de jeunes élèves, ils conduisent à exprimer globalement des PC et à travailler le raisonnement analytique : « Failing to notice this central analytic characteristic of algebra may lead us to think that the production of formulas in patterns (regardless of how they were produced) is a symptom of algebraic thinking. » (ibid., p. 259). Leur implémentation dans les classes a permis de montrer que la pensée algébrique peut émerger de façon incarnée chez de jeunes élèves (« embodied forms of algebraic thinking », ibid., p. 258) à travers des gestes, des mots et leur rythme, ainsi que dans des modèles symboliques rudimentaires qui correspondent à de nouvelles techniques de production et de manipulation de PC. Toutefois, ces recherches s’intéressent en priorité à la première étape du processus d’algébrisation. Radford (2013) suit ainsi sur cinq ans un groupe d’élèves jusqu’à l’introduction des expressions algébriques. Mais il est rarement évoqué les conditions d’enseignement pour conduire les élèves jusqu’à la modélisation algébrique et le traitement des expressions algébriques et des équations dans les autres étapes du processus d’algébrisation.
23Existe-t-il d’autres problèmes que ceux de généralisation dans lesquels les élèves peuvent faire émerger une forme d’analycité ? Plusieurs travaux pointent le caractère pré-algébrique que peut prendre la résolution de problèmes arithmétiques élémentaires relevant des champs conceptuels additifs et multiplicatifs (Vergnaud, 1990). Nous citons ci-dessous Vergnaud (1988) :
Pourtant, certains modes de représentation et d’écriture comme les égalités à trous, utilisées dès les premières classes de l’école élémentaire, ressemblent étrangement à l’algèbre. Et si l’on considère comme étant de nature algébrique, la tâche qui consiste à mettre un problème en représentation, c’est-à-dire à extraire d’un problème ou d’une situation les relations pertinentes, à en fournir un modèle symbolique, puis à traiter les relations ainsi représentées à l’aide d’une syntaxe propre au système symbolique choisi, alors l’algèbre commence, ou peut commencer, dès l’école l’élémentaire. (p. 189)
24La représentation des relations du problème par une égalité à trous, même élémentaire (a+…=b ou a−…=b), peut être vue comme une des premières occasions d’exprimer par une équation l’égalité de deux PC (dont l’un est une constante) et de faire émerger un raisonnement analytique. Le traitement de ces relations s’appuie sur l’équivalence entre addition à trous (a+…=b) et soustraction (b−a=…), de même avec la multiplication et la division. Produire une telle relation nécessite de raisonner sur les quantités connues comme sur les quantités inconnues et donc de construire un modèle du problème.
25Des recherches (par exemple Bednarz et Dufour-Janvier, 1994 ; Adihou et al., 2015) ont montré les potentialités de certaines structures de problèmes additifs et/ou multiplicatifs, notamment celles de problèmes de comparaison déconnectés, pour faire émerger le raisonnement analytique.
26Nous présentons ici les aspects épistémologiques de l’équivalence de l’égalité, des propriétés des opérations, des expressions numériques exprimant le résultat de PC, des équations exprimant l’égalité de deux PC pour un même nombre à partir des relations entre données connues et inconnues.
27Les travaux de didactique des mathématiques développés sur la transition entre l’arithmétique et l’algèbre (Vergnaud, 1988 ; Kieran, 1992, 2007) mettent en évidence que l’égalité a majoritairement le statut d’annonce de résultat. Elle sert à désigner l’exécution pas à pas d’un PC pour un nombre donné. Les calculs, souvent écrits pas à pas, et lus de gauche à droite, sont effectués jusqu’à obtention d’un nombre, donc d’un résultat sans signe opératoire. Cette utilisation de l’égalité peut provoquer des écritures incorrectes pour réaliser une succession de calculs. Prenons l’exemple du PC « Prendre un nombre, lui additionner 3 et multiplier le résultat par 5 » à effectuer pour le nombre. Des élèves produisent souvent l’écriture incorrecte 7+3=10×5=250, certainement favorisée par l’usage privilégié du caractère procédural du PC. Au contraire, le résultat du PC peut s’exprimer par l’expression numérique (7+3)×5 qui contient des signes opératoires. Son évaluation repose sur le statut d’équivalence de l’égalité : (7+3)×5=10×5=50. Ce statut est aussi mis en jeu dans le cas général d’une expression algébrique, ici (x+3)×5, pour la transformer en une expression équivalente. Plusieurs recherches ont analysé cette rupture, entre pratiques arithmétiques et algébriques, comme le dilemme process-product (Davis, 1975 dans Kieran, 1992) ou l’acceptance of lack of closure (Collis, 1974 dans Kieran, 1992).
28Nous soutenons que l’équivalence de l’égalité peut aussi être travaillée dans le cadre de l’étude des propriétés des nombres et des opérations, notamment dans des tâches de calcul réfléchi. En effet, le calcul réfléchi est un calcul mental (Butlen et Pézard, 2000, 2007) ou écrit, dont la réalisation nécessite de mettre en œuvre une stratégie (Piolti-Lamorthe et Roubin, 2010), qui conduit à des calculs plus économiques. Ces stratégies consistent à utiliser les propriétés des nombres et des opérations pour produire un PC équivalent, plus économique à effectuer, dans un cas générique. Cela se traduit par la réécriture des expressions numériques en jeu. Par exemple, remplacer le PC « Multiplier un nombre donné par 99 », par le PC équivalent « Multiplier un nombre donné par 100 et soustraire le nombre donné au résultat », conduit à réécrire : 12×99=12×100-12 (numération décimale, distributivité). La réécriture du calcul tend à produire une expression numérique égale, mais de structure souvent plus complexe (plus de nombres, plus d’opérations, éventuellement présence de parenthèses). Cela va à l’encontre du principe d’achèvement des calculs, et, tend à considérer l’égalité comme une relation symétrique et équivalente.
29Dans l’arithmétique telle que la recherche en didactique des mathématiques de l’enseignement primaire la conçoit, les résultats d’un calcul sont des nombres et les expressions numériques ont un statut transitoire. Ces dernières permettent de désigner un calcul à effectuer. Dans l’algèbre telle qu’elle est construite en didactique des mathématiques, le résultat du calcul peut être un nombre, une expression algébrique ou une relation entre deux expressions algébriques. Cette différence est étayée par Chevallard (1984, p. 75) qui distingue l’« efficacité désignative » et la « valeur monstrative » des expressions numériques et algébriques. L’efficacité désignative repose sur le fait qu’un même nombre ou expression algébrique peut avoir plusieurs désignations : « 5+3 » et « 23 » désignent le même nombre, de même que « 5(x+2) » et « 5x+10 » sont deux expressions équivalentes. Mais chaque expression donne à voir une propriété ou une information différente, c’est sa valeur monstrative. Par exemple, « 5+3 » et « 23 » ne donnent pas les mêmes propriétés de l’entier « 8 ». L’appui sur la valeur monstrative sert en particulier à organiser l’heuristique de la réalisation d’une tâche de calcul : une réécriture devient nécessaire parce qu’elle permet de faire apparaître « l’information monstrative pertinente » au regard du but visé. Il peut par exemple être nécessaire de faire apparaître que tel nombre est une puissance de 2 mais aussi qu’il peut s’écrire sous la forme d’une somme particulière (deux entiers consécutifs, ou deux impairs, etc.). Nous faisons l’hypothèse que les pratiques arithmétiques du primaire, souvent centrées sur l’effectuation de PC, privilégient l’efficacité désignative des expressions et tendent à ignorer leur valeur monstrative. Pourtant, nous soutenons qu’elle peut être travaillée sur des expressions numériques dès l’école primaire notamment lors de tâches de calcul réfléchi : réécrire les expressions numériques pour transformer un calcul en un calcul plus économique met en avant leurs valeurs monstratives. Nous l’avons par exemple montré pour le calcul de 12×99 dont la réécriture s’appuie sur la valeur monstrative de 99 comme 100−1.
- 4 Soulignons que nous utilisons le terme « dénotation » dans le sens introduit par Drouhard (1992) et (...)
30La dénotation4 et le sens des expressions numériques et algébriques sont définis par Drouhard (1992) en référence à Frege (1971) en distinguant les aspects syntaxique et sémantique d’un objet mathématique. La dénotation exprime le fait que des expressions numériques et algébriques peuvent mettre en jeu des signes (nombres, opération, parenthèses) différents mais référer un même objet, leur dénotation. Par exemple, x2 + 2x + 1 et (x + 1)2. Elles ont des sens différents puisqu’elles ne donnent pas la même information au regard du but visé par le calcul. La recherche de PC équivalents, en jeu dans le calcul algébrique, mais aussi en calcul réfléchi, poussent à transformer les expressions tout en s’assurant de conserver leur dénotation via les propriétés des nombres et des opérations. Le choix des transformations est piloté par le sens des expressions à travers leur valeur monstrative. Sackur, Drouhard, Maurel et Pecal (1997) montrent lors d’entretien avec des élèves issus de l’enseignement secondaire français, que ceux-ci considèrent peu que les transformations d’une expression algébrique conservent sa dénotation, même lorsqu’ils la transforment correctement, l’aspect syntaxique restant toujours très prégnant. En particulier, ils ne considèrent pas comme moyen de contrôle de leur action le test de l’équivalence des expressions algébriques sur quelques valeurs numériques. C’est pourquoi nous considérons que la dénotation et le sens des expressions numériques sont des caractéristiques épistémologiques essentielles de l’activité numérico-algébrique qui doivent être travaillées pour préparer l’entrée dans l’algèbre.
31Le modèle de développement conceptuel proposé par Sfard (1991) repose sur l’idée d’une réification des concepts symboliques. La distinction entre les caractères structural et procédural des concepts mathématiques y est centrale. Sfard (1991) distingue concepts et conceptions. Les conceptions sont des représentations ou des associations évoquant des notions mathématiques abstraites qui sont perçues comme des processus (procédural) ou comme des objets (structural). Ces deux caractères cohabitent lors de l’activité mathématique. Par exemple, en ce qui concerne l’exécution du PC « Prendre un nombre, lui additionner 3 et multiplier le résultat par 5 » pour le nombre 7, au moins deux représentations du calcul sont envisageables, l’une qui privilégie le caractère procédural 7+3=10 et 10×5=50, l’autre le caractère structural du PC (7+3)×5=10×5=50. Le premier sollicite uniquement l’effectuation des calculs pas à pas. Le second nécessite d’appréhender l’expression dans sa globalité et de connaître les priorités opératoires et le rôle des parenthèses pour savoir représenter le PC. Selon Sfard (1991), dans l’apprentissage d’un concept, l’élève mobilise souvent en premier son caractère procédural avant son caractère structural. Le développement complémentaire des caractères procédural et structural des expressions numériques engage l’élève dans la réification du concept de PC en une expression numérique manipulable et est selon nous un facteur favorable au développement de l’activité numérico-algébrique. En particulier, le caractère structural contribue à travailler sur des expressions numériques en ligne (et non pas à pas sur le PC) comme ce qui sera attendu pour les expressions algébriques (Grugeon-Allys et Pilet, 2017).
32Les travaux de l’Early Algebra (Kieran et al., 2016) insistent sur le fait que l’enseignement de l’algèbre est basé sur la capacité à représenter des relations entre quantités. Ces relations sont rencontrées en particulier dans le cas de la résolution de problèmes arithmétiques élémentaires que nous pouvons assimiler à l’évaluation d’un PC ou la recherche d’un nombre pour lequel deux PC sont égaux. Par exemple, pour le premier cas, le problème 1 : « Pierre a 15 billes, il en gagne 5 au cours d’une partie. Combien de billes a-t-il à la fin ? », correspond au cas de l’évaluation du PC « Prendre le nombre 15 et lui ajouter 5. Quel est le résultat ? ». Pour le deuxième cas, le problème 2 : « Pierre a gagné 5 billes au cours d’une partie. Il en a maintenant 16. Combien en avait-il au départ ? », correspond à la recherche d’un nombre, pour lequel les deux PC suivants sont égaux : PC1 « Prendre un nombre, lui ajouter 5 », et le PC 2 constant, égal à 16. Toutefois, le contexte peut certainement masquer les PC en jeu.
33Comme nous l’avons déjà souligné, dans le cadre de la résolution de problèmes arithmétiques élémentaires, les élèves peuvent, très tôt, être amenés à produire des équations, sous la forme d’égalités à trous, et à raisonner sur des relations équivalentes, notamment entre l’addition à trous et la soustraction. Les relations peuvent être exprimées par des représentations en cours de formalisation (par exemple en utilisant des symboles « ? » ou « … » pour désigner l’inconnue) et à partir de différentes représentations connues des élèves en primaire comme la droite graduée (Elia, 2011) ou des schémas.
34De plus, exprimer des relations entre quantités repose sur des conversions entre registres de représentations sémiotiques (Duval, 1993) qui peuvent être travaillés dès l’école primaire à l’occasion de la résolution de problèmes. Les relations exprimées dans la langue naturelle, utilisées pour énoncer un problème, qui ne sont pas congruentes sémantiquement (Duval, 1993) avec le calcul (par exemple le problème 2:16−5) mais le sont avec l’égalité à trous (…+5=16), sont particulièrement intéressantes pour le développement de l’activité numérico-algébrique. Le problème 2 nécessite de réinterpréter la formulation « a gagné » pour analyser l’ordre de grandeur du nombre de billes de départ qui est inférieur à 16 et écrire la relation entre données et inconnue éventuellement par l’intermédiaire d’une autre représentation en particulier graphique ou schématique (Fagnant, 2019). Or, la formulation « a gagné » peut suggérer une opération d’addition pour des élèves qui associent la présence de certains mots clefs à des opérations (Verschaffel et De Corte, 2008).
35En conclusion, cette synthèse permet de mettre en valeur les aspects épistémologiques de l’activité numérico-algébrique : l’analycité, la représentation des relations entre les données connues et inconnue(s) d’un problème par un modèle symbolique, le calcul s’appuyant sur des propriétés des nombres et des opérations et sur l’égalité comme relation d’équivalence, la dénotation et le sens des expressions numériques, les caractères structural et procédural d’un concept. Au-delà de leur caractère indispensable au développement d’un rapport adapté à l’algèbre (Pilet, 2012, 2015), nous faisons l’hypothèse que ceux-ci peuvent être développés avant l’entrée dans le symbolisme en arithmétique dès l’école primaire dans le cadre de l’étude de PC : exprimer par un PC la généralisation d’un motif, traduire l’effectuation d’un PC pour un nombre donné par une expression numérique, traduire l’égalité de deux PC égaux pour un même nombre (souvent pour résoudre des problèmes numériques) par une équation (égalité à trous en primaire) pour exprimer les relations entre connues et inconnues, ou encore produire un PC équivalent afin de se ramener à des calculs plus économiques. Aussi, nous décrivons des praxéologies relatives aux expressions numériques, qui peuvent permettre de négocier les ruptures d’ordre épistémologiques pointées par Vergnaud (1988). Ces praxéologies participent au système initial du processus d’algébrisation des PC décrit par Ruiz-Munzón et al. (2020).
- 5 Gantois et Schneider (2012) définissent « […] des praxéologies “modélisation” dans lesquelles les t (...)
36De plus, cette synthèse fait ressortir que l’activité numérico-algébrique met en jeu différentes praxéologies locales : d’une part, des praxéologies de modélisation5 (Gantois et Schneider, 2012) relatives à des problèmes arithmétiques verbaux des champs additifs et multiplicatifs ou des problèmes de généralisation et, d’autre part, des praxéologies de calcul. Nous décrivons plus en détail ces praxéologies dans la section suivante.
37Selon Ruiz-Munzón et al. (2020), un MER d’un domaine mathématique décrit des « organisations mathématiques relativement larges et interconnectées » (p. 6) afin de rendre visibles leurs raisons d’être. L’activité numérico-algébrique mettant en jeu des objets mathématiques communs à l’arithmétique et à l’algèbre, nous faisons le choix d’étendre le modèle praxéologique de l’algèbre élémentaire déjà existant pour l’intégrer. Ce choix repose sur le fait que nous l’étudions relativement à l’activité algébrique qui sera attendue des élèves par la suite dans l’enseignement secondaire.
38Partant du MER de Ruiz-Munzón et al. (2012), nous avons élaboré un modèle praxéologique de référence de l’algèbre élémentaire permettant d’analyser les phénomènes didactiques de l’enseignement de ce domaine dans l’institution scolaire française secondaire et de concevoir des parcours d’étude et de recherche (Grugeon-Allys et al., 2012). Ces recherches visaient à utiliser la praxéologie de référence pour mettre en relation des praxéologies à enseigner attendues en fin de collège avec celles apprises de collégiens français, voire pointer l’incomplétude des praxéologies à enseigner et la mettre en relation avec celle des praxéologies apprises ou leur incorrection. Pour cela, nous avions déjà pris en compte le point de vue de l’élève avec des travaux issus d’une approche cognitive (Vergnaud, 1988 ; Sfard, 1991 ; Duval, 1986). Pour cette étude nous avons décrit des praxéologies des deux premières étapes du processus d’algébrisation, sur les expressions algébriques (Pilet, 2015) et les équations du premier degré (Sirejacob, 2017).
- 6 Chevallard définit les niveaux de codétermination didactique pour analyser les conditions et contra (...)
39Le découpage en praxéologies que nous avons proposé repose sur le fait que, dans une institution, les praxéologies sont rarement isolées les unes des autres. Elles s’agrègent suivant l’échelle des niveaux de codétermination6 : les praxéologies ponctuelles (sujet d’étude) s’agrègent en praxéologies locales (thème d’étude) centrées sur une technologie, puis en praxéologies régionales (secteur d’étude) formées autour d’une théorie, et enfin globales (domaine d’étude) autour de plusieurs théories.
40Le modèle praxéologique de référence du domaine de l’algèbre élémentaire est découpé en trois praxéologies régionales (cf. figure 1) : une relative aux expressions algébriques (première étape du processus), une relative aux équations (deuxième étape du processus) et une relative aux formules (troisième étape du processus). Nous l’étendons pour considérer l’activité numérico-algébrique et faire des ponts avec l’arithmétique. Cette extension se traduit par une quatrième praxéologie régionale relative aux expressions numériques et qui se situe avant l’introduction du symbolisme algébrique formel.
Figure 1. Extension de la praxéologie de référence du domaine de l’algèbre
41Prenant en considération les aspects épistémologiques et des raisons d’être de l’activité numérico-algébrique décrits plus haut, nous structurons la praxéologie régionale sur les expressions numériques en trois praxéologies locales. Pour ceci, nous utilisons les PC afin de spécifier les différentes praxéologies locales de la praxéologie régionale « expression numérique » ou praxéologie numérico-algébrique. Les PC permettent de modéliser différents types de problèmes, mais contrairement au travail développé dans l’arithmétique scolaire de cycle 3, l’activité numérico-algébrique visée concerne les PC réifiés en tant qu’expressions numériques, nouvelles entités mathématiques que l’on peut manipuler.
42Les trois praxéologies locales se distinguent par leur environnement technologico-théorique. La première praxéologie locale concerne la modélisation de problèmes de généralisation et le raisonnement analytique qui contribue à initier la première étape du processus d’algébrisation. Les nombres inconnus y ont un statut variable au sens de nombre généralisé. La deuxième concerne la modélisation de problèmes verbaux arithmétiques via des représentations de relations entre données connues et inconnues. Elle contribue à initier la deuxième étape du processus d’algébrisation. La troisième concerne le calcul d’expressions numériques issues de PC.
43Nous décrivons chaque praxéologie locale en précisant leur praxis et logos (Chevallard, 1999).
- 7 Larguier (2015) indique des critères pour identifier un « type de pensée » entre l’arithmétique et (...)
44Cette praxéologie repose, au niveau technologico-théorique, sur le développement du raisonnement analytique et le concept de variable au sens de nombre généralisé. Elle met en jeu la modélisation de problèmes de généralisation sans utilisation d’un symbolisme formel. Cela peut conduire les élèves à considérer les nombres généralisés comme des exemples génériques (au sens de Balacheff, 1987) et à initier un raisonnement analytique7.
45Le principal type de tâches qui génère la praxéologie locale 1 est T1 : Modéliser la relation générale entre un nombre générique et le résultat d’un PC dans un contexte intra ou extra-mathématique. Nous distinguons deux cas : celui qui consiste uniquement à exprimer cette généralisation et celui qui conduit à prouver une assertion.
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T1.1 : Étant donnée un motif numérique ou géométrique (« pattern »), généré par un programme de calcul PCn et décrit à partir de ses premiers termes PC1, PC2, PC3, etc., calculer PCn à une étape n donnée (pour n entier, n étant un grand nombre).
Prenons par exemple le motif géométrique présenté en figure 2.
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Trouver le nombre de carreaux grisés qui composent un patron d’un « grand » numéro par exemple 99) nécessite de généraliser le pattern. La généralisation conduit les élèves à exprimer un programme de calcul PCn qui donne le nombre de carreaux pour un numéro n de patron : ajouter 3 fois n carreaux au carreau central. Comme l’analyse Radford, cette généralisation relève d’un raisonnement analytique. La formulation produite par les élèves peut se présenter sous plusieurs formes, verbales, gestuelles mais aussi par des signes conventionnels ou non. Par exemple, 1+1+1+1 ; 1+2+2+2 ; … ; 1+99+99+99, etc. Nous ajoutons que cette généralisation conduit à considérer le numéro du patron comme un exemple générique. Bronner (2015) pour un problème de généralisation proche (« les chaines du joaillier ») repère des techniques relevant de plusieurs technologies : des technologies de généralisation explicite, des technologies de généralisation implicite, technologies de généralisation par investigation et induction.
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- 8 Une autre réécriture possible est : 42+(42−1)+(42+1).
T1.2 : Exprimer les propriétés arithmétiques d’une expression numérique (parité, multiple, diviseur, etc.) obtenue par un PCn formulé en langage naturel ou donné par ses premiers termes.
Par exemple : exprimer le fait que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3 à partir d’un ou des cas particuliers. Dans ce cas, le PCn est : prendre un nombre n, lui ajouter son prédécesseur et son suivant. Par exemple pour 42, l’écriture numérique donne : 42+41+43=42+41+(1+42)=42+(41+1)+42=3×428. Le nombre 2 peut jouer le rôle d’exemple générique pour exprimer que la somme de trois nombres consécutifs « semble » être un multiple de 3. On peut recommencer pour plusieurs nombres qui jouent aussi le rôle de nombres génériques. L’expression numérique 2+1+3 est transformée par des réécritures successives (cf. praxéologie locale 3) portant sur les propriétés des opérations. Faire apparaître ces réécritures renforce la valeur monstrative des expressions numériques.
Figure 2. Un pattern géométrique
46Les problèmes considérés ici sont ceux des problèmes élémentaires des champs conceptuels additifs et multiplicatifs (Vergnaud, 1990). Suivant les valeurs des variables didactiques (structure, non-congruence sémantique, choix des nombres, etc.), leur résolution peut conduire à modéliser des relations entre les quantités données et les inconnues par un modèle symbolique comme des égalités à trous ou des signes non conventionnels (gestes, flèches, etc.) et à opérer sur les inconnues (par exemple équivalence entre addition à trous et soustraction). Cette modélisation met en jeu des expressions numériques. Le statut du signe d’égalité, la dénotation et le sens des expressions numériques et leurs caractères procédural et structural, la congruence ou non congruence de la conversion entre registres de représentation et l’analycité sont les principaux ingrédients technologico-théoriques.
47Le type de tâche principal de la praxéologie locale 2 est : T2 Résoudre un problème relevant des champs additifs et multiplicatifs, c’est-à-dire évaluer un PC ou rechercher un nombre pour lequel deux PC sont égaux. Nous distinguons deux types de tâches selon que la modélisation soit à la charge ou non de l’élève. Nous considérons également la congruence sémantique entre registres de représentation (Duval, 1993).
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T2.1 : Résoudre un problème relevant des champs additifs et multiplicatifs sans congruence sémantique pour déterminer le(s) nombre(s) inconnue(s). Par exemple, résoudre « Pierre a gagné 5 billes au cours d’une partie. Il en a maintenant 16. Combien en avait-il au départ ? » ;
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T2.2 : Associer et traiter des représentations de relations entre différents registres de représentation. Par exemple, associer l’égalité « 76=45+? » à l’énoncé de problème « Paola a 76 ans, elle a 45 ans de plus que Marc. Quel est l’âge de Marc ? ».
48Cette praxéologie locale vise à réifier les PC à travers l’expression numérique de leur résultat (structural) et non à travers les étapes intermédiaires du PC (procédural). Le bloc technologico-théorique contient en particulier le statut d’équivalence du signe d’égalité, la dénotation des expressions numériques, le caractère structural des expressions lors de la réécriture, la prise en compte des propriétés des opérations et des nombres, en particulier de la distributivité en acte de la multiplication par rapport à l’addition.
49Les types de tâches principaux de la praxéologie locale 3 sont au nombre de quatre :
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T3.1 : Évaluer (pour un nombre donné) un PC par une expression numérique ;
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T3.2 : Effectuer un calcul réfléchi appuyé sur l’usage des propriétés des nombres et des opérations (par exemple 11×8, 57+13, 405 :5) ;
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T3.3 : Calculer une expression numérique mettant en jeu des priorités opératoires ou l’utilisation de parenthèses (par exemple calculer 5× (7+3)) ;
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T3.4 : Associer des nombres, des expressions numériques ou des PC égaux mais de structures différentes. Par exemple, associer 40 + 41+ 42 avec 3×41 et 123, prendre un nombre (41), lui ajouter son précédent (40) et son successeur (42).
50Ces praxéologies relatives à l’activité numérico-algébrique sont un levier pour négocier le passage de l’arithmétique à l’algèbre au début du processus d’algébrisation. Etudions ce qu’il en est dans les programmes français de fin de primaire et de début de collège actuellement en vigueur.
51Les programmes français sont organisés en cycles de trois années scolaires pour en principe assurer une meilleure continuité des apprentissages. Depuis 2014, le cycle 3, « cycle de consolidation » (9-12 ans), recouvre les deux dernières années (CM1-CM2) de l’école primaire et la première année du collège (6e), début de l’enseignement secondaire. L’algèbre est introduite un an plus tard, en classe de cinquième (12-13 ans), au début du cycle 4 (12-15 ans). Cette période d’un an, durant la transition institutionnelle de l’enseignement primaire au secondaire, qui marque le passage de l’arithmétique à l’algèbre, peut-elle être utilisée comme un temps propice au développement de l’activité numérico-algébrique ? Nous analysons les programmes de cycle 3 pour apporter des éléments de réponse.
52Notre méthodologie consiste à utiliser la praxéologie épistémologique de référence relative aux expressions numériques comme unité d’analyse des programmes de cycle 3 pour éclairer la transposition didactique à l’œuvre. Nous interrogeons la complétude des praxéologies à enseigner. Quels sont les habitats et niches de l’activité numérico-algébrique ? Le découpage des programmes en domaines et thèmes d’étude laisse-t-il vivre cette activité ?
53Nous analysons les instructions officielles du cycle 3 (MEN, 2018), qui sont actuellement en vigueur en France, et les documents d’accompagnement aux programmes intitulés « Le calcul aux cycles 2 et 3 » (MEN, 2016a) et « Le calcul en ligne au cycle 3 » (MEN, 2016b) qui apportent des précisions théoriques et didactiques des notions concernées et donnent des exemples de situations d’enseignement. Nous situons cette analyse relativement à celle des programmes précédents (Pilet et Grugeon-Allys, 2020).
- 9 Précisons que les programmes français décrivent six compétences communes aux mathématiques sur les (...)
54Dans l’introduction des programmes de mathématiques du cycle 3, les enjeux du cycle sont mis en perspective de ceux visés par la suite en algèbre mais sans en préciser le contour : « Si la modélisation algébrique relève avant tout du cycle 4 et du lycée, la résolution de problèmes permet déjà de montrer comment des notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pour résoudre certaines situations. […] » (MEN, 2018, p. 100). Cette introduction est suivie de la présentation des six compétences spécifiques aux mathématiques pour le cycle 39. Pour la compétence « Modéliser », il est attendu de l’élève de « reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité ». Pour la compétence « Représenter », l’élève doit savoir « utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, etc. ». Pour la compétence « Calculer », il doit savoir « calculer avec des nombres décimaux et des fractions simples de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations) ». Nous faisons le lien entre la description de ces compétences et certains types de tâches (Winslow, 2005) des praxéologies locales 2 (pour modéliser et représenter) et 3 (pour calculer). Toutefois cette description reste trop imprécise pour retrouver les aspects épistémologiques de l’activité numérico-algébrique que nous avons définis. Dans ce contexte, dans quelle mesure les programmes de cycle 3 permettent-ils de négocier la transition entre arithmétique et algèbre ?
55Poursuivons l’investigation avec la description des « compétences et connaissances » pour les différents domaines des programmes. « Nombre et Calculs » et « Grandeurs et mesure » sont les deux des trois domaines des programmes qui présentent des habitats possibles de l’activité numérico-algébrique. Nous détaillons les praxéologies sous-jacentes qui peuvent leur être associées dans le tableau 1.
Tableau 1. Praxéologies sous-jacentes associées aux domaines « Nombres et calculs » et « Grandeurs et Mesure »
« Compétences et connaissances »
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Praxéologies sous-jacentes
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« Nombres et calculs » (MEN, 2018, p. 103-104)
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Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux
– Composer, décomposer les grands nombres entiers
– Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les nombres décimaux et les fractions, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée.
– Connaître diverses désignations des fractions et des nombres décimaux
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T3.4 : Associer des nombres, des expressions numériques ou des PC égaux mais de structures différentes
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Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux. Calcul mental ou en ligne :
– Connaître des propriétés de l’addition, de la soustraction et de la multiplication.
– Utiliser ces propriétés et procédures pour élaborer et mettre en œuvre des stratégies de calcul.
– Dans un calcul en ligne, utiliser des parenthèses pour indiquer ou respecter une chronologie dans les calculs.
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T3.2 : Effectuer un calcul réfléchi
T3.3 : Calculer une expression numérique mettant en jeu des priorités opératoires ou l’utilisation parenthèses
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Résoudre des problèmes en utilisant des fractions, des nombres décimaux et le calcul
– Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations : […] problèmes à une ou plusieurs étapes relevant des structures additive et/ou multiplicative.
– Reconnaître et résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée.
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T2.1 : Résoudre un problème relevant du champ additif ou multiplicatif sans congruence sémantique pour déterminer le(s) nombre(s) inconnue(s)
T2.2 : Associer et traiter des représentations de relations entre différents registres de représentation
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« Grandeurs et mesure » (MEN, 2018, p. 104)
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Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux
– Résoudre des problèmes de comparaison avec et sans recours à la mesure.
– Calculer des périmètres, des aires ou des volumes, en mobilisant ou non, selon les cas, des formules.
– Identifier une situation de proportionnalité entre deux grandeurs à partir du sens de la situation. Résoudre un problème de proportionnalité impliquant des grandeurs.
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T2.1 : Résoudre un problème relevant du champ additif ou multiplicatif pour déterminer le(s) nombre(s) inconnue(s)
T3.3 : Calculer une expression numérique mettant en jeu des priorités opératoires ou l’utilisation parenthèses (pour des expressions simples ici)
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56Le tableau 1 permet de montrer que la praxéologie mathématique locale 1 de modélisation des relations dans un problème de généralisation (T1) est absente au cycle 3. Les problèmes de généralisation ne sont pas mentionnés (T1.1). Le domaine « Nombre et Calculs » pourrait pourtant permettre d’aborder la généralisation des propriétés arithmétiques (T1.2).
57La praxéologie mathématique locale 2 de modélisation de relations dans des problèmes additifs ou multiplicatifs est partiellement présente. Nous retrouvons les types de tâches T2.1 et T2.2. Toutefois, d’une part, la question de la reformulation des relations dans le cas d’une non-congruence sémantique entre représentations n’est pas évoquée et, d’autre part, le niveau technologico-théorique attendu n’est pas explicité. En effet, même si les programmes font référence aux quatre opérations arithmétiques (« Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations », cf. Tableau 1), seule une référence à l’organisation des calculs est mentionnée au sujet de la représentation des problèmes, comme l’illustre l’extrait suivant : « L’organisation des calculs et leur réalisation contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s’agit de développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et des aptitudes de résolution de problèmes arithmétiques (le travail sur la technique et sur le sens devant se nourrir l’un l’autre) » (introduction au domaine « Nombres et calculs », MEN, 2018, p. 103). Dans cet extrait, le fait de mettre en relation des données connues et inconnues n’apparaît pas comme un moyen de représentation efficace à la modélisation et résolution de problèmes. C’est aussi le cas dans les quelques exemples donnés dans les documents d’accompagnement où la technologie de mise en relation des données connues et inconnues, notamment sous la forme d’une égalité à trous, n’est pas explicitée. Et pourtant le domaine « Nombre et Calculs » pourrait être une niche potentielle. La praxéologie locale 2 de modélisation est sur ce point incomplète et muette dans les programmes.
58La praxéologie locale 3 de calcul des expressions numériques est présente. Le calcul d’expressions numériques et le calcul réfléchi relevant de T3.2 et T3.3 apparaissent mais T3.1., correspondant au calcul du résultat d’un PC par une expression numérique, est absent. Les tâches de composition, décomposition, comparaison sont des occasions de travailler la dénotation des nombres (T3.4) même si T3.4 est partiellement présent puisque l’association d’expressions numériques et de PC équivalents sont absents. Néanmoins les documents d’accompagnement révèlent d’autres aspects épistémologiques pris en compte sur les expressions numériques. Elles sont travaillées à travers un type de calcul appelé « calcul en ligne », qui participe à :
– à la compréhension des différentes écritures d’un même nombre […], en motivant leur utilisation ;
– à la compréhension progressive des propriétés des opérations en favorisant leur utilisation (il est attendu des élèves qu'ils manipulent ces propriétés en situation et qu'ils les explicitent avec leurs mots ; les dénominations données ci-dessous ne sont pas des objectifs d'apprentissage pour les élèves) […];
– à la connaissance de propriétés relatives aux opérations, pouvant faciliter le calcul mental ou en ligne en permettant de créer des étapes intermédiaires ; […]
– à la compréhension progressive de la signification du signe « = », à concevoir comme équivalence entre le membre écrit à gauche et le membre écrit à droite, et pas seulement pour donner le résultat d’un calcul ;
– à la compréhension progressive de la signification des parenthèses et de leur utilisation pour écrire un calcul complexe. (MEN, 2016b, p. 3)
59Ainsi les documents d’accompagnement sont riches quant aux aspects épistémologiques en jeu dans le calcul sur des expressions numériques. La dénotation des expressions numériques et le statut d’équivalence de l’égalité sont pris en compte. Il est mis en avant que les propriétés des opérations, comme la distributivité, ne sont pas explicitées aux élèves mais participent aux transformations opérées sur les expressions numériques. Il est souligné que les écritures en ligne des calculs préparent à l’algèbre :
Résumer en un seul calcul, écrit en ligne, les calculs séparés permettant la résolution d’un problème nécessitent la maîtrise de l’utilisation des parenthèses ; ceci est une étape importante de l’apprentissage, préparatoire à la production d’écritures algébriques, objectif essentiel du cycle 4. (MEN, 2016b, p. 8).
60Néanmoins, dans cet extrait, les expressions numériques sont présentes dans la résolution d’un problème uniquement pour « résumer un calcul » et passer ainsi du PC considéré pas à pas (procédure) au PC comme une entité (structure). Rien n’est dit sur leur rôle dans la modélisation et la représentation des relations du problème, limite que nous avons déjà soulignée au sujet des praxéologies locales 1 et 2.
61En conclusion, l’analyse écologique et praxéologique des textes officiels montre que l’activité numérico-algébrique trouve des niches et des habitats potentiels dans les textes officiels mais que les praxéologies locales de modélisation et de calcul sont incomplètes relativement à la référence. En effet, certains types de tâches sont potentiellement présents mais les rares éléments sur les techniques et technologies sous-jacents sont limités pour soutenir une activité numérico-algébrique adaptée à la négociation du passage de l’arithmétique à l’algèbre. En effet, concernant les praxéologies locales 1 et 2, l’analycité est absente, le rôle de la modélisation et de la représentation dans la résolution de problèmes est implicite, la mise en relation des données connues et inconnues n’est pas développée et la question de la congruence sémantique n’est pas abordée. Toutefois, l’ajout du « calcul en ligne » depuis les programmes de 2015 contribue à rendre plus visible la praxéologie locale 3. À ce sujet, les documents d’accompagnement de 2016, relatifs au calcul sur les expressions numériques, apportent un nouvel éclairage, compatible avec une partie de l’activité numérico-algébrique.
62Ainsi, nos analyses mettent en avant une potentialité curriculaire, certes limitée mais présente, au développement de l’activité numérico-algébrique au cycle 3. Il nous semble pourtant que cette potentialité reste fragile étant donné les contraintes institutionnelles fortes qui pèsent sur l’enseignement, et ceci à des niveaux de codétermination didactique supérieurs à celui du domaine d’étude notamment celui de l’école.
63Premièrement, les évolutions des programmes, notamment sur le calcul des expressions numériques, sont prises en compte de façon disparate par les auteurs des manuels (Pilet et Grugeon-Allys, 2020) ce qui modifie le processus de transposition didactique visé.
64Deuxièmement, en France, les enseignants de l’école primaire sont majoritairement issus d’études non scientifiques. Certainement par manque de formation, ils considèrent probablement que l’algèbre commence par le traitement des expressions algébriques et des équations et non sur celui des expressions numériques ou des équations à trous. En outre, même s’ils proposent des tâches relevant de l’activité numérico-algébrique, leur discours technologique peut rester majoritairement absent et contribuer à rendre la praxéologie régionale des expressions numériques incomplète, voire muette, au sens de Wozniak (2012).
65Troisièmement, malgré une volonté institutionnelle de favoriser la continuité de l’enseignement entre le primaire et le collège, les enseignants de cycle 3 du premier et du second degré se rencontrent peu pour échanger sur leurs pratiques et mettre en place des conditions pour favoriser le développement de l’activité numérico-algébrique.
66Nous avons fait l’hypothèse que développer l’activité numérico-algébrique peut permettre de négocier la transition entre l’arithmétique et l’algèbre. Pour la caractériser, nous avons montré que ces deux domaines partagent des objets mathématiques communs comme l’égalité et les expressions numériques. Leurs aspects épistémologiques sous-tendent l’activité numérico-algébrique. Nous retenons principalement : l’analycité, la représentation des relations entre les données connue(s) et inconnue(s) d’un problème par un modèle symbolique, le calcul s’appuyant sur l’égalité comme relation d’équivalence, la dénotation et le sens des expressions numériques, les caractères structural et procédural d’un concept.
67Nous avons montré que l’activité numérico-algébrique s’insère dans une réflexion plus globale sur la conception d’un modèle épistémologique de référence de l’algèbre s’appuyant sur les PC. Nous montrons qu’il est nécessaire de considérer des modèles épistémologiques de référence étendus, pour identifier des conditions didactiques favorables au développement de rapports institutionnels et personnels à des objets communs à l’arithmétique et à l’algèbre compatibles à l’activité algébrique. Nous avons défini une praxéologie régionale de référence des expressions numériques par trois praxéologies locales : Modéliser des relations dans un problème de généralisation (pattern, suite), Modéliser des relations entre les quantités connues et inconnues d’un problème additif et/ou multiplicatif, et, Calculer des expressions numériques.
68La conception de la praxéologie de référence nous a permis de structurer une analyse des programmes français de cycle 3. Nous avons montré que les programmes et leurs documents d’accompagnement ne développent pas la modélisation des relations dans un problème de généralisation mettant en jeu le raisonnement analytique. Ils ne développent que partiellement les praxéologies sur la modélisation dans des relations dans des problèmes additifs ou multiplicatifs et sur le calcul des expressions numériques. Ces potentialités sont nouvelles puisqu’elles ont émergé avec les évolutions récentes des programmes français. Une perspective serait de développer des parcours d’enseignement et d’apprentissage pour outiller les enseignants de cycle 3 afin de les accompagner à faire vivre l’activité numérico-algébrique dans leurs classes et à développer un discours technologique continu du cycle 3 au cycle 4. Pour avancer dans cette perspective, la praxéologie régionale que nous avons construite pourrait constituer une référence.