• 1 Núria Planas, « Language as resource: A key notion for understanding the complexity of mathematics (...)
• 2 Luis Radford et Richard Barwell, « Language in mathematics education research », in Ángel Gutiérrez (...)

1Le langage est devenu une thématique active dans le champ de la didactique des mathématiques1. Ainsi que le soulignent Radford et Barwell2, la question du langage a d’abord émergé à travers les dimensions culturelles et interactives de l’apprentissage, l’étude des discours respectifs des enseignants et de leurs élèves, et des interactions langagières dans la classe de mathématiques. Dans les dernières décennies, les aspects sémiotiques ont pris une importance croissante, notamment grâce aux travaux menés dans le paradigme socio-culturel, fondé sur les travaux de Vygotsky et de Bakhtine. Dans ces recherches, le langage est abordé pour son rôle dans le développement de la pensée, la conceptualisation mathématique et le développement d’un raisonnement mathématique. Le but de ce texte est de présenter quelques-uns des enjeux sémiotiques dans l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques et d’illustrer brièvement l’utilisation de modèles sémiotiques pour comprendre les processus de formation des connaissances mathématiques.

• 3 Isabelle Bloch, « La sémiotique de CS Peirce et la didactique des mathématiques : Vers une analyse (...)
• 4 François Conne, « Savoir et connaissance dans la perspective de la transposition didactique », Rech (...)
• 5 Marianna Bosch, Yves Chevallard. « La sensibilité de l’activité mathématique aux ostensifs : objet (...)

2Le travail mathématique repose sur un dispositif de signes qui permet de raisonner, de généraliser, « d’opérer, de déduire des grandeurs à partir de données, de construire de nouveaux énoncés »3. Ce niveau, très pragmatique, de manipulation de symboles est parfois désigné comme celui des savoirs énoncés4. Les signes manipulés ici renvoient à des objets à l’intérieur d’une théorie dans laquelle ils sont définis de façon abstraite, formelle et très précise. Ces objets peuvent être considérés comme des objets idéaux. L’exemple souvent cité est celui des figures géométriques. Un dessin en géométrie, par exemple un cercle, est toujours la matérialisation imparfaite d’une idée théorique générale, ici le concept de cercle, défini comme une ligne courbe fermée dont tous les points sont situés à égale distance d’un point donné appelé le centre du cercle. Cette distinction est aussi capturée par la distinction entre ostensifs et non-ostensifs introduite par Bosch et Chevallard5. Le non ostensif est l’objet mathématique idéal, le concept ; l’ostensif est le signe qui permet d’y accéder. Ainsi dans la formule ci-dessous :

• 6 Isabelle Bloch, « La sémiotique de CS Peirce et la didactique des mathématiques : Vers une analyse (...)

3Le signe ∫ est un ostensif, qui renvoie à la notion d’intégrale, opération mathématique abstraite6. La formule complète est un ostensif qui renvoie en fait au nombre -2, en tant que résultat de cette opération (intégrale) sur la fonction désignée dans l’intervalle indiqué.

• 7 Wolff-Michael Roth, Geometry as Objective Science in Elementary School Classrooms: Mathematics in t (...)
• 8 Anna Sfard, « Symbolizing mathematical reality into being – or how mathematical discourse and mathe (...)
• 9 Isabelle Bloch, « La sémiotique de CS Peirce et la didactique des mathématiques : vers une analyse (...)

4La didactique des mathématiques ne s’intéresse pas seulement au fonctionnement des signes mathématiques, et au formalisme logique qui en assure le bon usage. Elle cherche également à comprendre le travail mathématique de l’apprenant, et la façon dont s’opèrent les passages incessants des objets mathématiques matériels, utilisés en classe, aux concepts mathématiques auxquels ils renvoient7. L’apprentissage des mathématiques implique autant l’appropriation de symboles que la construction de significations pour ces symboles, et met en jeu des processus de négociation à travers le discours8. Certains auteurs considèrent cette négociation précisément comme une activité de sémiosis, au sens de Peirce. La sémiotique peut être convoquée comme un outil puissant pour mieux comprendre la construction du sens par un apprenant mathématique. Un enjeu fort est de mieux comprendre « comment des signes particuliers et non usuels construits par les élèves dans la recherche, peuvent évoluer jusqu’à des signes reconnaissables par le professeur, et qu’il pourra institutionnaliser comme le savoir mathématique visé »9.

• 10 David Kirshner, James Anthony Whitson, Situated Cognition Social, Semiotic, and Psychological Persp (...)
• 11 Raymond Duval, « Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée », (...)
• 12 Pascal Marquet, « e-Learning et conflit instrumental. Entre didactique, pédagogie et technique », R (...)
• 13 Mickael Fried, « Didactics and history of mathematics: Knowledge and self-knowledge », Educational (...)

5L’idée de s’intéresser aux signes en mathématiques a été amenée par Kirshner et Whitson10 dans le contexte d’un livre sur la cognition située. Whitson a amené dans la communauté mathématique l’idée saussurienne de l’interaction entre un signifiant et un signifié. Duval11 s’inspire des théories linguistiques pour caractériser le fonctionnement cognitif de la pensée mathématique. Il met l’accent sur le paradoxe cognitif de la pensée mathématique, qui tient, d’une part, au fait que les objets mathématiques ne sont pas directement accessibles par la perception, mais seulement à travers des représentations et, d’autre part, au fait que seule la distinction entre un objet mathématique et sa représentation peut garantir son appréhension qui ne peut être que conceptuelle. Il introduit les termes de sémiosis et de noésis pour désigner respectivement l’appréhension, ou la production, d’une représentation sémiotique et l’appréhension conceptuelle d’un objet. Il s’inspire pour cela des idées de Saussure. Noésis et sémiosis correspondent respectivement au signifié et au signifiant. Le signifié renvoie à une idée ou à un concept alors que le signifiant en est l’expression dans le code arbitraire de la langue écrite12. Pour Duval, « la noésis est inséparable de la sémiosis ». Il en ressort que tout enseignement mathématique doit être organisé de façon à prendre en compte cette forte liaison entre sémiosis et noésis, et en particulier, ne doit pas négliger la sémiosis, en tant qu’opération cognitive, par rapport à la noésis. D’autres aspects de la théorie de Saussure comme les notions de synchronicité et de diachronicité ont joué un rôle important dans la compréhension des différents processus dans la construction des connaissances mathématiques. Fried13 s’est appuyé sur cette distinction pour explorer les modes de connaissance respectifs de l’historien et du mathématicien de terrain. Il met en avant le rôle essentiel que l’histoire des mathématiques peut jouer dans l’enseignement des mathématiques, à la fois comme sujet et comme médiateur entre ces deux modes de connaissance complémentaires. En effet, la didactique des mathématiques ne s’intéresse pas seulement à ce qui est enseigné et appris dans une situation donnée, dans une conception synchronique des connaissances, mais à l’évolution des idées mathématiques au fil du temps et de la relation que l’étudiant entretient avec les objets mathématiques, dans un processus diachronique. Dans chacun de ces deux processus, diachronique et synchronique, les signes jouent un rôle significatif dans l’appréhension des objets mathématiques.

• 14 Norma Presmeg, « Research on visualization in learning and teaching mathematics: Emergence from psy (...)

6Presmeg14 a cherché à utiliser les chaînes sémiotiques introduites par Kirshner et Whitson pour favoriser la création d’activités pédagogiques mettant en relation les pratiques quotidiennes des apprenants et des concepts mathématiques canoniques. Elle fait l’hypothèse que donner aux enseignants des outils sémiotiques, comme les chaînes de significations, leur permet de construire des activités plus significatives pour les étudiants. Elle donne l’exemple d’un projet proposé par une future enseignante, Vivian, pour étudier les « mathématiques du vélo de montagne ». Le projet démarre par l’étude des propriétés géométriques du vélo pour se concentrer sur les 18 engrenages résultant de l’appariement des trois plateaux du pédalier avec les six pignons sur le dérailleur. Le diagramme produit peut être considéré comme le signifiant 1. Il représente les relations au sein du vélo lui-même.

• 15 Norma Presmeg, « Ethnomathematics in teacher education », Journal of Mathematics Teacher Education, (...)

9La conclusion de Presmeg est que le recours au modèle de Saussure a permis à Vivian de concevoir une activité mettant en relation des préoccupations quotidiennes et des concepts mathématiques. La dynamique d’évolution des représentations tout au long du projet est modélisée dans la figure 5 ci-dessous. Cependant, le modèle ne permet pas de capturer le processus d’interprétation mis en place par Vivian tout au long de cette dynamique, et qui conduit à une interprétation erronée de la relation entre le rapport de vitesse et le développement. Presmeg analyse cette carence du modèle comme une incapacité à rendre compte des phénomènes de métonymie qui se sont mis en place au long du processus. La métonymie est ici définie ici comme un phénomène utilisant un élément saillant d’un objet pour renvoyer à un autre élément de l’objet ou à l’objet tout entier15. Le diagramme de la figure 1 constitue une métonymie car la relation entre le nombre de dents sur les chaînes et sur les pignons qu’établit Vivian repose sur un élément saillant : le fait que 48 est le plus grand nombre apparaissant dans son diagramme. Cela la conduit à conceptualiser les rapports de vitesses subséquents uniquement comme des diviseurs successifs de 48. Pour pouvoir prendre en compte les interprétations qui ont lieu à chaque étape de la chaîne, Presmeg propose d’adopter un modèle triadique de la signification, comme celui proposé par Peirce.

• 19 Norma Presmeg, « Research on visualization in learning and teaching mathematics: Emergence from psy (...)

14Presmeg19 propose une nouvelle modélisation du projet « Mathématiques du vélo de montagne » à l’aide de cette imbrication d’interprétation. Ce modèle permet à chaque étape de la chaîne de prendre en compte les interprétations subjectives. Le vélo et sa structure comprenant 18 engrenages constituent l’objet 1 (O1). L’interprétation du diagramme d’engrenage (R1, figure 1) comme des rapports de nombres permet la formation du premier signe (O1, R1 et I1). Ce premier signe est ensuite réifié. Il devient l’objet 2 (O2), dont le signe véhicule (R2) est le tableau de valeur (figure 2). Son interprétation accompagne la formation du deuxième signe (O2, R2, I2), qui est à son tour réifié et représenté dans le graphique (R3, figure 3). Ce graphique est lui-même interprété par Vivian comme une « belle courbe ».

• 21 Luis Radford, « On heroes and the collapse of narratives: a contribution to the study of symbolic t (...)

15Pour Presmeg, ce modèle imbriqué indique plus clairement le rôle des processus interprétatifs présidant à la création de chaque signe et à sa signification, pour chaque participant. Cet exemple, souligne le potentiel des chaînes sémiotiques, en particulier dans un modèle imbriqué, pour faciliter les processus de connexion dans les classes de mathématiques à tous les niveaux. En fait, la réification continue dont ce modèle rend compte entre en résonnance avec la réification mathématique décrite par de nombreux didacticiens21 et qui est à l’origine de nombreuses ruptures dans les apprentissages en mathématiques.

• 22 Gottlob Frege, « Über begriff und gegenstand. Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie (...)

16Frege22 propose également une version triadique du signe qui a séduit certains didacticiens. Il établit une la différence entre dénotation et sens. La dénotation (Bedeutung) d’un signe est la portion de réalité à laquelle renvoie ce signe. L’exemple que donne Frege pour illustrer cette notion est le suivant : l’étoile du matin et l’étoile du soir sont deux expressions distinctes, mais qui ont la même dénotation, car elles désignent le même objet céleste, à savoir la planète Vénus. Ce qui distingue les expressions « l’étoile du matin » et « l’étoile du soir », en particulier quant à leurs comportements au sein des énoncés, c’est leurs sens. Frege le montre au moyen du test dit de substitution :

• 23 Ferdinando Arzarello, Luciana Bazzini, and Giampaolo Chiappini, « The construction of algebraic kno (...)

17En termes de dénotations, ces deux phrases sont équivalentes. Pourtant, la première est une phrase informative alors que la seconde est une tautologie. Frege définit alors le sens (Sinn) d’une expression comme étant « le mode de donation » de la dénotation de cette expression. Le sens est ainsi ce qui fait le lien entre l’univers des signes et l’univers des choses extralinguistiques. Pour Frege, cependant, le sens d’une expression est objectif et ne dépend pas du sujet. Le sens est conventionnel et partagé par la communauté de locuteurs. La relation entre l’expression et son sens est pratiquement automatique pour ceux qui comprennent le langage. La force du modèle de Frege réside dans sa capacité à décrire le processus de pensée qui lie le sens d’une expression à l’objet dénoté. C’est pour cela que des travaux précurseurs l’ont utilisé dans les années 90, pour analyser la relation sens-dénotation et les processus mentaux qui lui sont reliées en Algèbre23. Ces travaux s’inscrivent dans un courant de réflexion visant à mieux comprendre les difficultés qu’ont les élèves à acquérir l’usage du symbolisme en algèbre. Une des difficultés fréquemment rencontrées est justement liée à la différence entre sens et dénotation. En effet, deux expressions mathématiques peuvent dénoter le même objet mais en donner des représentations différentes et donc renvoyer à des sens différents. Par exemple, les expressions 10-9 et 100÷100 représentent toutes deux le nombre 1, mais mettent l’emphase sur deux propriétés différentes de ce nombre. La première, 10-9, l’évoque en tant que complément à 10 du nombre 9, tandis que la deuxième l’évoque en tant que quotient du nombre 100 par lui-même. Ce phénomène est à la base de toutes les manipulations algébriques. Pour résoudre un problème algébrique, on transforme une expression algébrique en une expression équivalente. Par exemple les expressions x(x+1) et x²+x sont équivalentes, c’est-à-dire qu’elles prennent la même valeur, ou représentent le même nombre, pour toute valeur donnée à la variable x. Elles possèdent cependant des sens différents, c’est-à-dire qu’elles renvoient à des programmes de calcul différents. En effet, x(x+1) renvoie au produit de deux nombres différents de la valeur 1, tandis que x²+x évoque le produit d’un nombre par lui-même, suivi de l’addition du nombre de départ.

• 24 Carolyn Kieran, « The learning and teaching of school algebra », in Douglas A. Grouws, Handbook of (...)

19Une telle chaîne peut être construite de façon syntaxique, en utilisant des règles de transformations algébriques. Cette approche purement syntaxique est adoptée par certains élèves qui perdent alors l’accès à la sémantique de l’algèbre et sont rapidement mis en difficultés dans leurs apprentissages24.

• 25 Ferdinando Arzarello, Luciana Bazzini, and Giampaolo Chiappini, « The construction of algebraic kno (...)

21C’est dans cette perspective que des chercheurs comme25 ont investigué la relation sens-dénotation des expressions algébriques pour analyser la pensée algébrique mise en œuvre par des apprenants face à un problème un peu plus complexe que celui de la figure 9.

• 26 L. Bazzini, La didattica dell’Algebra nella scuola secondaria, Pavie, ISDAF, 1997 ; L. Bazzini, M. (...)

24D’autres travaux ont suivi cette première étude26. Ils ont montré l’importance d’identifier les relations mutuelles entre les trois sommets du triangle signe-sens-dénotation. Le modèle de Frege est très puissant pour décrire le comportement de l’étudiante et expliquer la dynamique des processus impliqués dans l’utilisation du langage symbolique. Cependant ce modèle ne permet pas d’expliquer ou d’endiguer les difficultés de compréhension de la relation sens/dénotation qui se manifestent dans le comportement des élèves. De plus, l’arrivée massive des outils informatiques dans les classes a amené les chercheurs à porter leur attention sur les fonctions sémiotiques des représentations et des visualisations. La nécessité d’intégrer différentes ressources sémiotiques a mené au développement de théories sémiotiques propre à la didactique des mathématiques, comme la Théorie de la Médiation Sémiotique (TMS).

• 27 Maria G. Bartolini Bussi, Maria Alessandra Mariotti, « Semiotic mediation in the mathematics classr (...)

25La théorie de la médiation sémiotique est née d’un questionnement sur le rôle cognitif des représentations mais aussi et surtout des artefacts. Elle repose sur l’idée que toute représentation vient à la vie parce que la construction humaine la rend possible, en d’autres mots toute représentation est supportée par un artefact27. L’artefact désigne ici tout structure ou phénomène d’origine humaine, depuis le langage, jusqu’aux applications numériques, en passant par des objets à manipuler, ou le papier et le crayon.

• 28 Ibid.
• 29 Lev Semenovich Vygotsky, Michael Cole, Mind in Society: Development of Higher Psychological Process (...)
• 30 Lev Semenovich Vygotskiĭ, The Collected Works of LS Vygotsky: The History of the Development of Hig (...)
• 31 Jim Cummins, « Negotiating identities: Education for empowerment in a diverse society », (No Title) (...)

26La TMS s’inscrit dans une perspective vygostkienne, incluant une dimension développementale qui interprète le fonctionnement des artefacts cognitifs comme un élément principal de l’apprentissage. Elle reprend à son compte l’hypothèse fondamentale de Vygostky selon laquelle l’apprentissage met en jeu un processus d’internalisation essentiellement social et dirigé par un processus sémiotique28. Vygostky29 définit l’internalisation comme la reconstruction interne d’une opération externe. La construction des connaissances individuelles s’appuie sur des expériences socialement partagées au cours duquel les processus externes sont transformés en ce que Vygostky30 appelle des « fonctions mentales supérieures ». Étant de nature sociale, ce processus externe possède une dimension communicative qui implique la production et l’interprétation de signes (en premier lieu le langage naturel, mais aussi tout type de signes, depuis les gestes jusqu’aux systèmes sémiotiques mathématiques) dans l’espace interpersonnel31. De plus, dans le contexte particulier de l’apprentissage en classe, il convient de prendre en compte les positions asymétriques de l’enseignant et de l’apprenant dans ce processus socio-sémiotique. La fonction cognitive des signes change alors, selon la fonction qu’ils ont dans l’activité et la position occupée par le locuteur. Dès lors les signes peuvent être considérés comme des outils de médiation, permettant de soutenir la relation entre les élèves et le savoir, dans la réalisation d’une tâche. La médiation sémiotique est pensée autour de l’émergence de signes au cours de l’utilisation sociale d’un artefact pour résoudre une tâche mathématique. Elle désigne la double relation qui s’établit d’une part entre les signes générés et l’artefact dans l’accomplissement de la tâche, et d’autre part entre les signes et le contenu mathématique visé (médié) par la tâche. La TMS considère que dans ce processus deux systèmes parallèles de signes sont en jeu, les signes personnels d’une part, et les signes mathématiques, d’autre part. Les signes personnels émergent de l’utilisation de l’artefact. Ces signes sont contingents à la situation, ils renvoient à des significations personnelles. Les signes mathématiques expriment, quant à eux. la relation entre l’artefact et les contenus mathématiques en jeu. Ce sont des signes culturellement déterminés. Ils cristallisent les opérations menées avec l’artefact et renvoient aux significations mathématiques. Le rôle de l’enseignant est alors de favoriser la relation entre ces deux systèmes parallèles de signes, dès la conception de l’activité, en s’assurant du potentiel sémantique de l’artefact, c’est-à-dire de sa capacité à devenir un médiateur sémiotique, mais aussi durant l’activité en classe, en favorisant, par exemple au cours de discussions mathématiques collectives l’évolution des signes personnels vers les signes mathématiques attendus.

• 32 Maria G. Bartolini Bussi, Maria Alessandra Mariotti. « Semiotic mediation in the mathematics classr (...)

27Si les travaux de Presmeg présentés dans les deux parties précédentes s’intéressaient aux chaînes sémiotiques comme outils pour construire des activités pédagogiques significatives, les travaux menés dans le cadre de la TMS mettent davantage l’accent sur l’évolution des signes tout au long de cette chaîne de significations, au cours de laquelle la référence externe s’efface peu à peu au profit de significations mathématiques, qui constituent les objectifs de l’enseignement. Des signes hybrides peuvent apparaître, utilisant leur polysémie comme un pivot facilitant le passage du personnel aux mathématiques. Leur signification est reliée au contexte de l’artefact mais prend en charge une première généralisation dans leur utilisation dans le langage naturel. Bussi et Mariotti32 citent par exemple une séquence d’activités menée avec un abaque, pour initier des élèves du primaire à la numération de position.

• 33 Ibid.

28L’abaque a été choisie pour son fort potentiel sémiotique. Son utilisation classique (un jeton représente une unité) est cohérente avec le système de numération additif mais également avec la stratégie de regroupement (regrouper dix éléments pour les traiter comme un tout,), sur laquelle repose le système positionnel décimal. Il n’y a cependant pas de cheminement naturel de l’utilisation de l’abaque selon le système additif vers une utilisation positionnelle. Les indications doivent provenir d’un expert. Le processus individuel de construction de schémas d’utilisation cohérents avec le système positionnel est entrelacé avec le processus sémiotique d’appropriation de la séquence numérique, et avec l’appropriation du schéma social « échange », dans lequel la valeur d’un jeton dépend du fil (donc de la position) sur laquelle il se trouve. Au début de la séquence d’activités menées avec l’abaque, les phrases prononcées par les élèves sont très proches des manipulations réelles sur l’artefact. Ils ne réfléchissent pas encore en termes de nombres. Ils utilisent de nombreux signes artefacts comme « bille », « fil » et « corde ». Ils emploient aussi des expressions comme « une ligne de 10 jetons » ou « une ligne de 10 » ou « une ligne pleine ». Puis, au fil des pratiques, et des discussions collectives, des expressions hybrides apparaissent, les liens avec la numération s’établissent à travers des expressions comme « un nombre avec des lignes de 10 ». Un texte collectif est rédigé, sous la direction de l’enseignant, pour synthétiser les connaissances partagées issues de l’utilisation de l’abaque. « Quand il y a des lignes de 10, le nombre a deux chiffres. Les lignes de 10 s’écrivent à gauche. » Dans ce texte, l’expression « lignes de 10 » a volontairement été utilisée par l’enseignant comme signe pivot vers l’écriture positionnelle, concept mathématique visé par l’activité. Bussi et Mariotti33 soulignent le rôle joué ici par la polysémie de ce signe qui réfère à la fois à l’abaque et au domaine numérique. Ces signes expriment un premier détachement de l’artefact tout en maintenant un lien de sens avec les manipulations effectuées. D’autres signes artefact comme « bille à gauche » et « bille à droite » font référence à la valeur des positions dans l’écriture des nombres, et pour cette raison, peuvent constituer des candidats à l’évolution vers des signes mathématiques. À la fin de la séquence d’activités avec l’abaque, les élèves sont capables d’écrire des phrases comme « À gauche, il a y a les dix et à droites les unités » ou « Je fais un échange : j’échange 10 unités avec un jeton de 10 » Ils sont alors prêts, conceptuellement, à intégrer les signes mathématiques propres à la numération de position (et leurs significations !) : unités, dizaines, échange de 10 unités contre une dizaine…

• 34 François Conne, « Savoir et connaissance dans la perspective de la transposition didactique », Rech (...)
• 35 Michael De Villiers, « To teach definitions in geometry or teach to define? », PME Conference, Vol. (...)
• 36 Alain Polguère, Lexicologie et sémantique lexicale : notions fondamentales, Montréal, Presses de l’ (...)
• 37 Denis Tanguay et Loïc Geeraerts, « D’une géométrie du perceptible à une géométrie déductive : à la (...)

30La définition détermine l’issue de la chaîne. Les significations visées par l’activité pédagogique constituent ce qu’on appelle des savoirs énoncés34. Ces signes terminaux renvoient aux objets d’une théorie mathématique dans laquelle ils sont définis de façon abstraite, formelle et très précise. La définition marque donc l’aboutissement de la chaîne, dans une signification culturellement construite et ancrée dans une théorie acceptée par la communauté des experts. Il y aurait beaucoup à dire sur le rôle et la spécificité de la définition en mathématiques35. Retenons simplement que la définition mathématique ne répond que partiellement au canevas lexicologique classique, par genre prochain et différences spécifiques36. Elle est, certes, composée de deux parties, la première permettant d’inclure l’objet mathématique dans une classe plus grande d’objets mathématiques et la seconde de distinguer entre eux les différents objets relevant de cette classe, mais doit en plus répondre à des critères d’efficacité opératoire dans des déductions mathématiques. Par exemple, bien que le genre prochain du rectangle soit le parallélogramme (figure 10), on ne le définira pas comme un parallélogramme (genre prochain) ayant un angle droit (différences spécifiques). La caractéristique géométrique saillante du rectangle, celle qui est fréquemment mise en œuvre dans les démonstrations, est de posséder quatre angles droits. On pourrait alors définir le rectangle comme un parallélogramme ayant 4 angles droits. Cette définition ne serait pas fausse, mais considérée comme redondante, puisque si un parallélogramme possède un angle droit, alors il en possède nécessairement 4. Un critère d’efficacité s’applique aussi. Les définitions doivent être construites de façon à faciliter les démonstrations. Définir un rectangle comme un parallélogramme ayant un angle droit obligerait à devoir souvent déduire l’existence des autres angles droits, ce qui ajouterait une étape dans de nombreuses démonstrations. Ce ne serait pas efficace. Les manuels scolaires du primaire définissent donc le rectangle comme « un quadrilatère ayant 4 angles droits ». Mais, par ailleurs, on parlera de triangle rectangle ou de trapèze rectangle pour désigner des figures possédant un angle droit (et non pas quatre). Ces questions des caractéristiques de la définition mathématique par rapport aux définitions usuelles ont des incidences sur la façon dont les élèves traitent des preuves en géométrie37.

• 38 Anne-Cécile Mathé, « Jeux et enjeux de langage dans la construction d’un vocabulaire de géométrie s (...)
• 39 Émile Perray, Les difficultés de compréhension du sens géométrique des mots polysémiques : l’exempl (...)
• 40 Fabienne Venant, Ophélie Tremblay, Audrey-Anne Labrecque, « Le lexique au carrefour des mathématiqu (...)

31La polysémie assure la fluidité dans l’évolution des significations. Elle permet la construction des significations mathématiques à partir de significations émergeant du contexte quotidien puis évoluant vers les significations savantes visées. On considère souvent que les mathématiques, en tant que langage de spécialité, ne sont pas concernées par la polysémie. Pourtant, des travaux, comme ceux de Mathé38 ou Perray39 détaillent des situations dans laquelle la polysémie, et, plus particulièrement, la prégnance des sens courants, fait obstacle au travail collectif en provoquant des incompréhensions que le professeur lui-même n’est pas capable de lever, car il n’est pas conscient des différents statuts des signes en jeu. Mathé décrit par exemple une situation dans laquelle des élèves doivent classer des emballages selon les formes géométriques de leurs faces. Le but de l’activité est de faire émerger le concept de polygone, en tant que « forme plane à plusieurs côtés », à partir des connaissances des élèves relatives à la signification des signes en jeu (« forme », « côté »). Au cours de la discussion collective, une expression émerge, celle de « forme polygonale ». L’émergence de ce signe repose sur des ambiguïtés qui ne sont pas perçues par l’enseignant et qui conduisent à des interprétations contradictoires par les élèves. Pour correspondre au concept mathématique de polygone, le terme « forme » doit référer à une figure plane, et non pas à un solide. Or, les discours des élèves mêlent des expressions comme « classer les solides selon leurs formes géométriques » ou « la forme des emballages » dans lesquelles « forme » renvoie à aux objets solides eux-mêmes, puis « formes carrées », « formes rondes » ou encore « formes plates », qui réfèrent aux faces des solides, qui sont des figures planes. Les élèves attribuent également différentes références au terme « côté », renvoyant tantôt à une face de solide, conformément à un usage de la langue naturelle (le côté d’un dé par exemple), tantôt à un segment délimitant une figure plane, conformément à sa signification mathématique. La polysémie de ces expressions n’est pas exploitée par l’enseignant pour en faire des signes pivots, et fait finalement obstacle à la construction du concept de polygone, tel qu’il est défini en fin d’activité comme une « forme à plusieurs côtés ». Pour certains élèves, l’ambiguïté demeure jusqu’à la fin de l’activité. Pour eux, « forme » peut désigner aussi bien le solide dans son ensemble que l’une de ses faces. La spécialisation de la signification mathématique du mot « forme », désignant uniquement une figure plane, n’est pas atteinte. Il apparaît, dans de telles situations, que les représentations initiales des élèves sont naturellement ancrées dans le sens courant et que la mise en contexte mathématique n’est pas suffisante pour sélectionner ou construire le sens mathématique pertinent. Une prise de conscience, au moins par l’enseignant, des enjeux sémiotiques et sémantiques, comme la polysémie, la définition ou les liens lexicaux (synonymie, antonymie, hyperonymie) pourrait permettre de favoriser l’évolution des signes personnels vers les signes mathématiques40. Plus précisément, le travail sémantique peut accompagner le travail de l’enseignant dans :

• 41 Hans Freudenthal, Mathematics as an Educational Task, Springer Science & Business Media, 2012.
• 42 Cécile Ouvrier-Buffet, « Construction de définitions/construction de concept : vers une situation f (...)

33L’importance de la sémiotique pour la didactique des mathématiques repose sur l’omniprésence des signes dans toutes les branches des mathématiques. Les objets mathématiques sont des idéaux et le recours à des signes véhicule est nécessaire pour les représenter et pouvoir les utiliser. Les analyses sémiotiques permettent d’accéder aux enjeux langagiers présents dans l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques, notamment dans la construction des significations mathématiques. Les exemples présentés dans ce texte illustrent l’intérêt de réfléchir à la construction des significations mathématiques en termes de chaînes sémiotiques dynamiques. Des phénomènes comme la métonymie et la polysémie peuvent constituer des obstacles pour les apprenants. Cependant, un enseignant conscient de ces enjeux sémantiques peut aussi les utiliser comme leviers, ou pivots, dans une médiation sémiotique vers des signes mathématiques. Cette approche questionne cependant le statut de la définition en mathématique. L’issue d’une chaîne sémiotique issue des pratiques quotidiennes est souvent une définition formelle imposée par l’enseignant, sur des critères opératoires. Selon Freudenthal41, ces définitions peuvent dégrader l’image des mathématiques qu’a l’élève car elles apparaissent gouvernées par des règles arbitraires. Ces définitions sont pensées pour s’inscrire dans des chaînes déductives qui peuvent entrer en conflit avec les chaînes sémiotiques. Ouvrier-Buffet42 a proposé́ un modèle épistémologique prenant en compte plusieurs conceptions complémentaires (celles d’Aristote, Popper, et Lakatos) permettant de décrire une activité de définition suivant des aspects logiques, langagiers, heuristiques, et axiomatiques. L’activité de définition y est caractérisée notamment par plusieurs opérateurs permettant de faire évoluer les définitions : raisons liées à l’élaboration d’une théorie (conception poppérienne), réponses à des critères logiques (conception aristotélicienne) ou la génération d’une preuve (conception lakatosienne). Nous pourrions ajouter un opérateur sémiotique permettant de prendre en compte également l’évolution des significations dans l’acquisition du lexique. Il s’agit, autrement dit, de repenser le rôle de la définition dans la construction du sens mathématique à la lumière des analyses sémiotiques et sémantiques.