Un « ouvrage accompli de la statuaire grecque »
Résumés
Aujourd’hui peu étudié, le mathématicien français Georges-Henri Halphen (1844-1889) était pourtant de son vivant une figure majeure du renouveau des méthodes algébriques en géométrie. Nous étudions ici la genèse d’un mémoire présenté à la Société Mathématique de France en 1873, l’une des premières publications importantes d’Halphen, dont plusieurs versions préliminaires se trouvent dans le fonds Halphen de l’Institut de France. Nous décrivons les efforts d’Halphen pour constituer l’objet de son mémoire et positionner sa contribution dans un milieu savant particulier, ainsi que sa construction progressive de nouvelles conceptualisations et notations. Ce faisant, nous montrons que ce qui pourrait être perçu comme un simple travail d’exposition n’est pas séparable de l’évolution du contenu mathématique même du mémoire.
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Mots-clés :
Georges-Henri Halphen, Michel Chasles, manuscrits scientifiques, critique génétique, histoire des mathématiques.Plan
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1. Introduction1
- 1 Nous sommes redevables à un évaluateur anonyme, ainsi qu’à Frédéric Brechenmacher, Daniel Ferrer et (...)
- 2 Henri Poincaré, « Notice sur Halphen » Journal de l’École Polytechnique, lxᵉ cahier, 1890, p. 137-1 (...)
Avouerai-je que je l’ai souvent envié ? Je n’ai jamais terminé un travail sans regretter la façon dont je l’avais rédigé ou le plan que j’avais adopté. Voilà une impression qu’Halphen n’a jamais connue.
Henri Poincaré2
- 3 Voir notamment Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Saint-Denis, Presses uni (...)
- 4 Il en va de même en mathématiques, ici, qu’en littérature ; cf. Almuth Grésillon, Éléments de criti (...)
- 5 La reprise pour l’étude des textes scientifiques de ce concept, due au philosophe John Langsahw Aus (...)
1Quel est le sujet d’un texte mathématique ? Quelles en sont les idées centrales ? Plus généralement, quels aspects en constituent le contenu mathématique essentiel, et lesquels ne relèvent que de détails contingents de mise en forme pour une communication à un public particulier ? L’historiographie récente a généralement abordé ces questions par l’aval, en montrant qu’elles n’ont de sens que relativement à des lectures particulières et que les textes mathématiques, au même titre que les textes littéraires, sont ouverts sur de multiples lectures différentes et même incompatibles : identifier une certaine idée ou contribution comme étant la principale dans un article de mathématique, ou tracer une ligne particulière de partage entre le contenu mathématique et la forme de sa présentation, revient en fait à suivre une voie exégétique particulière parmi nombre d’autres possibles3. C’est à l’inverse par l’amont qu’une démarche génétique nous invite à aborder ces mêmes questions. L’étude des brouillons nous permet, voire nous contraint, à nous confronter aux efforts de l’auteur pour construire et cadrer l’objet de son propos, et pour le mettre en forme en direction d’un certain public4. Si l’on considère les publications scientifiques comme les réalisations concrètes d’« actes de communication5 », il paraît en effet essentiel de mesurer le travail effectué par leur(s) auteur(s) afin d’en délimiter le public visé (référence à des savoirs partagés, usage de normes d’écriture identifiables, etc.) et de contrôler l’acte accompli auprès dudit public (positionnement vis-à-vis d’un champ, circulation de résultats clés, etc.). Pour autant, l’approche génétique révèle les voies escarpées et les rebroussements suivis par l’auteur au fil des rédactions en vue d’exercer ce contrôle sur son propos, et crucialement leurs effets sur le contenu du texte publié. En conduisant une telle étude, nous nous proposons ainsi de montrer que du point de vue d’une analyse génétique, une distinction nette entre contenu préexistant et travail d’exposition est tout aussi difficile à maintenir.
- 6 Georges-Henri Halphen, « Mémoire sur la détermination des coniques et des surfaces du second ordre (...)
- 7 Sur l’histoire et le contenu du fonds Halphen de l’Institut de France, voir notre second article da (...)
- 8 Un autre élément décisif dans la réception de ce mémoire sera la répudiation en 1876 par Halphen lu (...)
2Notre étude porte sur la genèse de la première publication majeure du mathématicien Georges-Henri Halphen (1844-1889)6, un mémoire dont une série de brouillons successifs est conservée à la bibliothèque de l’Institut de France7. Ce mémoire, qui fut présenté à, puis publié par la Société Mathématique de France (ci-après SMF) en 1873, a généralement été lu par référence à des publications postérieures, dont notamment le Kalkül der abzählenden Geometrie (1879) de Hermann Schubert8. Cet effet de réception conduit naturellement à rattacher le mémoire d’Halphen à un champ qui n’est pas encore reconnu en tant que tel au début des années 1870, celui de la « géométrie énumérative », et à identifier sa contribution essentielle comme une certaine notation symbolique, introduite incidemment par Halphen mais dont Schubert fera (après l’avoir réinterprétée) la pierre angulaire de son ouvrage. À rebours de ces lectures rétrospectives, les avant-textes du mémoire d’Halphen, qui témoignent de nombreuses phases de rédaction successives, reflètent des revirements majeurs concernant l’organisation générale du propos d’Halphen, la manière dont il délimite son objet et le positionne dans le champ mathématique, ainsi que les ressources explicatives et notationnelles qui y sont déployées. Or ces efforts de mise en forme, comme nous le montrerons, rejaillissent avec force sur la substance même du mémoire.
3Nous avons choisi d’examiner ici trois aspects de la genèse du mémoire d’Halphen qui nous permettent d’illustrer la complexité des liens entre contenu mathématique et travail d’exposition. Après avoir donné quelques éléments de contexte (section 2), puis avoir présenté les avant-textes du mémoire (sections 3-4), nous nous penchons tout d’abord sur l’introduction du texte, qui subit des transformations majeures au fil des rédactions ; nous montrons que les efforts d’Halphen pour délimiter son propos et positionner sa contribution vis-à-vis des attentes d’un public spécifique (nouveauté, exhaustivité, rigueur, etc.) ont partie liée avec une réflexion de fond sur l’objet de sa contribution (section 5). Nous illustrons ensuite le travail de mise en forme d’Halphen au moyen de deux exemples. Nous montrons, à travers l’évolution de la définition d’une notion technique du mémoire, qu’une partie du travail de réécriture consiste en un effort de sélection, qui efface une partie de la genèse du texte à des fins d’économie déductive (section 6). Par contraste avec cet exemple simple, nous montrons, en nous intéressant à la genèse de la notation symbolique qui est souvent considérée comme un aspect clé du mémoire en question, que le travail sur les formes d’expression qu’implique l’exposition n’est pas toujours nettement séparable du travail de recherche lui-même (section 7).
2. Éléments de contexte
- 9 Georges-Henri Halphen, « Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques », Journal d (...)
- 10 Hélène Gispert, « La France mathématique. La Société mathématique de France, 1872-1914 », Cahiers d (...)
4Lorsqu’il présente ses travaux à la SMF le 19 mars 1873, Halphen est un jeune polytechnicien, connu à la fois pour ses faits d’armes comme capitaine d’artillerie durant la défaite de 1870 et comme l’auteur d’un mémoire brillant sur les courbes gauches récemment déposé à l’Académie des sciences (mais dont la publication ne se concrétisera qu’une dizaine d’années plus tard)9. Revenu à Paris et à la science après la guerre, il travaille depuis peu comme répétiteur à l’École polytechnique et cherche à s’intégrer à une communauté mathématique en pleine reconfiguration. La SMF est alors une institution toute neuve. Prima facie, sa création n’est que l’effet retardé d’une requête du célèbre géomètre Michel Chasles (1793-1880), et vise à combler une lacune dont les mathématiques françaises étaient supposées souffrir, par comparaison avec les pays voisins et avec d’autres sciences en France : l’absence d’une société savante dédiée munie d’un organe de diffusion propre. En 1872, tandis que grandit le sentiment d’une crise généralisée des sciences françaises, présentée comme un facteur majeur de la déroute militaire face à la Prusse, les critiques émises par Chasles trouvent un nouvel écho : c’est alors que la SMF voit le jour10.
- 11 Voir par exemple la lettre de Darboux à Jules Houël retranscrite dans Hélène Gispert, « La correspo (...)
- 12 Il ne nous est pas possible de décrire dans cette courte note exploratoire les reconfigurations dis (...)
5Chasles est le premier président de la SMF ; c’est aussi lui qui préside la séance durant laquelle Halphen présente le mémoire qui nous intéresse ici. Toutefois, bien qu’à l’origine de la SMF et encore investi d’un fort pouvoir institutionnel (notamment en tant que membre de l’Académie des sciences), Chasles représente dès 1870 une espèce de géomètre en déclin. Son manque de connaissance et de goût des approches algébriques modernes (les théories des invariants et des substitutions, notamment), ou encore des géométries non euclidiennes, en font une figure embarrassante pour la jeune garde, à l’instar de Gaston Darboux (1842-1917), un jeune prodige dont l’ascension fulgurante fut grandement facilitée par Chasles, mais qui en privé regrette la désaffection de celui-ci pour des sujets qu’il juge bien plus pertinents11. Halphen, comme Darboux avant lui, avait développé une maîtrise experte des méthodes algébriques modernes que Chasles ignorait, et partageait peu le goût de ce dernier pour la géométrie pure12. Pourtant, c’est en reprenant un énoncé central de la « théorie des caractéristiques » du vieux géomètre qu’il s’apprête à discourir devant la jeune SMF, et à marquer son entrée véritable dans la communauté mathématique parisienne.
- 13 Il faudrait, pour être parfaitement rigoureux, préciser certaines conditions dites de généricité su (...)
6La théorie dont il s’agit consiste, essentiellement, en une méthode pour compter le nombre de sections coniques (ellipses, paraboles, hyperboles) dans le plan qui satisfont cinq conditions géométriques données. Pourquoi cinq conditions ? Un rapide croquis suffit à montrer que trois points suffisent à déterminer un unique cercle qui les rencontre tous ; une conique, quant à elle, requiert cinq points pour être déterminée de manière unique13. Lorsque l’on remplace les conditions « passer par un point donné » par d’autres conditions plus élaborées (telles que « être tangente à un cercle donné »), il existe toujours le même nombre fini de solutions, quelles que soient les positions des objets donnés dans l’énoncé desdites conditions (par exemple, le cercle donné ci-dessus). Le calcul de ce nombre, qui peut être très grand, pose cependant d’immenses difficultés.
- 14 Michel Chasles, « Considérations sur la méthode générale exposée dans la séance du 15 février 1864 (...)
- 15 Sur la théorie des caractéristiques et sa relation au programme de recherche géométrique de Chasles (...)
- 16 Outre Halphen lui-même, les géomètres allemands Alfred Clebsch, Ferdinand von Lindemann, Hermann Sc (...)
7La théorie de Chasles fournit un algorithme permettant de résoudre ce problème sans calculs algébriques complexes14. À la faveur d’une méthode subtile mais très générale, développée tout au long d’une carrière entièrement consacrée à la géométrie pure, Chasles était en mesure d’associer à chaque condition particulière une expression symbolique de la forme « αμ + βν », où α et β sont deux nombres caractérisant la condition. Une série d’opérations arithmétiques sur ces nombres, sans grande difficulté, suffisait alors à résoudre le problème pour ces conditions. La simplicité, la systématicité et la généralité de cette méthode en faisaient, aux yeux de Chasles, le point culminant et la juste récompense d’un projet scientifique patiemment mené depuis les années 183015. Pour une nouvelle génération de mathématiciens toutefois, la production de Chasles sur ce sujet consistait principalement en une prolifération insatisfaisante d’exemples et d’applications : il n’avait pas démontré qu’à toute condition imaginable on pouvait associer une forme « αμ + βν », mais s’était contenté d’obtenir une telle forme dans d’innombrables exemples particuliers, puis de calculer des nombres de coniques satisfaisant ces conditions. Étendre de telles méthodes sans en justifier le nœud théorique ne les intéressait guère16. C’est d’abord comme une démonstration rigoureuse de l’existence de la forme générale αμ + βν qu’Halphen envisageait le mémoire qu’il allait présenter à la SMF. Ainsi que nous allons le voir, ce projet allait connaître de nombreux remaniements au cours des rédactions successives, alors qu’Halphen cherchait à construire autour de ce noyau un propos véritablement nouveau.
3. Les avant-textes du mémoire de 1873
- 17 Georges Halphen, [Notes mathématiques], Bibliothèque de l’Institut, Ms 5621. Cette liasse se trouve (...)
8Le mémoire qui nous intéresse ici est le « Mémoire sur la détermination des coniques et des surfaces du second ordre » publié par Halphen en 1873 en trois parties dans le Bulletin de la Société Mathématique de France. Nous disposons, dans le fonds Georges-Henri Halphen de la Bibliothèque de l’Institut de France, de plusieurs rédactions partielles et préliminaires de ce mémoire, rassemblées en une même liasse17. Commençons par la présenter.
- 18 En 1900, les manuscrits d’Halphen ont été examinés par plusieurs experts, dont Lucien Lévy, à la re (...)
9Notons tout d’abord, quoique l’histoire du fonds rende hasardeuse toute conclusion ferme, qu’il y a des raisons de croire que les manuscrits en question ont été conservés ensemble par Halphen lui-même, plutôt que rassemblés a posteriori. Notre liasse est entourée d’une note de la main de Lucien Lévy (l’un des experts ayant examiné les papiers d’Halphen en 1900), témoignant des efforts d’un lecteur mathématicien pour situer les manuscrits relativement aux travaux d’Halphen sur le sujet18. Cette note commence par donner une liste de références bibliographiques à différents articles d’Halphen, dont le mémoire de 1873, mais aussi d’autres qui lui sont postérieurs. Elle indique ensuite : « Dans ces feuilles, se trouve la démonstration du th. de Chasles (αμ + βν) […] Il y a plusieurs rédactions du même sujet. » Cela suggère que le lecteur mathématicien n’a pas constitué cette liasse en regroupant des manuscrits qui lui semblaient se rapporter à un certain mémoire, mais l’a plutôt abordée comme un donné et a tenté de comprendre exactement à quels travaux d’Halphen elle se rapportait.
- 19 Le groupe B utilise des feuilles d’environ 18×23 cm, alors que les autres manuscrits utilisent des (...)
10La liasse est formée de 175 feuillets ; un examen du papier utilisé, de la mise en page, des titres et de l’écriture (parfois avec pleins et déliés soignés, parfois hâtive et abrégée) permet de la décomposer en six ensembles successifs, que nous appellerons les rédactions A (12 feuillets), B (27 petits feuillets19), C (44 feuillets), D (44 feuillets), E (16 feuillets) et F (32 feuillets) (insistons sur le fait que ces lettres ne reflètent que l’ordre des feuillets dans la liasse, et ne correspondent aucunement à l’ordre de rédaction, qu’il nous faudra reconstituer). À quelques exceptions près, sur lesquelles nous reviendrons, chacun des six ensembles forme un tout dans lequel les feuillets s’enchaînent dans l’ordre, comme s’il s’agissait de six tas séparés qui auraient été empilés.
- 20 Contrairement aux éditeurs d’ouvrages et de manuels, les journaux scientifiques tels que le BSMF, l (...)
11D’emblée, les manuscrits de notre liasse frappent par leur forme. En parcourant l’ensemble du fonds, on observe qu’Halphen rédige souvent ses textes en pleine page, ménageant seulement, à gauche du texte, une marge de taille modeste (de 10 à 15% de la largeur totale). Les manuscrits qui nous intéressent ici ont une organisation différente, qui reflète peut-être leur caractère préliminaire ou encore l’ampleur et la technicité du mémoire. Les feuillets ont préalablement été pliés, le pli séparant la page en deux colonnes : une colonne de droite, destinée à la rédaction principale, et une colonne de gauche servant aux corrections et insertions, ainsi que parfois aux figures (qui, dans ce contexte, n’ont pas vocation à être publiées20). Dans la rédaction C (dont nous verrons qu’il s’agit de la plus ancienne), les deux colonnes sont de taille égale, comme si Halphen anticipait de nombreuses corrections ; dans les rédactions A, D, E et F, la colonne de gauche occupe environ un tiers de la largeur de la page, et dans la rédaction B (vraisemblablement la plus tardive), elle se réduit à un peu moins d’un quart. Cette organisation en colonnes concerne la quasi-totalité de nos feuillets (165 sur 175). Dans les groupes C, D et F se trouvent cependant un total de 10 feuillets intercalés qui rompent avec cette mise en page, et contiennent soit des calculs en désordre, soit des rédactions en pleine page qui interrompent provisoirement le cours de la rédaction principale. Des 165 feuillets qui respectent l’organisation majoritaire, la plupart ne sont rédigés qu’au recto, mais dans 16 cas les corrections et insertions débordent au verso, ou alors celui-ci est utilisé comme brouillon non rédigé (c’est-à-dire pour des calculs ou figures en désordre).
12Notons que les feuillets de la rédaction C sont « numérotés » par des lettres minuscules, de a à z (sauf o) puis de aʹ à jʹ ; on trouve ensuite des feuillets lourdement raturés lʹ, mʹ, et qʹ (il semble donc manquer des pages) entrecoupés de brouillons désordonnés et non rédigés, après quoi la rédaction s’interrompt. Les feuillets de la rédaction E (dont nous verrons qu’elle correspond à une étape de réélaboration profonde des visées et du plan d’ensemble du mémoire) sont en grand désordre. On y trouve un feuillet qui appartient manifestement à la rédaction F, où il est aisé de restituer sa position initiale, et un autre feuillet apparemment intrusif dont nous n’avons pas retrouvé le contexte d’origine.
4. L’ordre des rédactions
13Si l’on croise les indices formels précédents avec une lecture même rapide du contenu de ces rédactions, une image plausible de leur ordre d’écriture se dégage. Nos conclusions sont présentées dans le tableau ci-dessous ; résumons rapidement les étapes qui seront essentielles pour notre analyse.
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Ordre reconstitué |
Rédaction |
Mise en page et écriture |
Titres présents dans la rédaction |
Parties correspondantes |
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1 |
C |
colonnes de taille égale, brouillonnes |
sans titre, puis « 1èʳᵉ Partie » au cours d’une insertion |
introduction, première partie et début de deuxième partie |
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2 |
F |
colonnes 1/3-2/3, propres puis brouillonnes |
« Ièʳᵉ Partie » en trois chapitres |
première partie |
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3 |
E |
colonnes 1/3-2/3, brouillonnes |
« Introduction », et par la suite des chiffres romains « i. », « ii. » |
introduction et |
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4 |
D |
colonnes 1/3-2/3, propres par endroits, brouillonnes à d’autres |
« 2èᵐᵉ partie », cinq versions |
deuxième partie et un fragment de la troisième partie |
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5 |
A |
colonnes 1/3-2/3, propres |
« Mémoire sur la détermination des coniques & des surfaces |
deuxième partie |
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6 |
B |
colonnes 1/4-3/4, propres, feuillets plus petits |
« 3èᵐᵉ partie » |
troisième partie |
14La rédaction C (dont les feuillets sont divisés en deux colonnes égales) démarre in medias res dans la colonne de droite de sa première page (« numérotée » a) : Halphen définit de but en blanc ce qui sera l’un des concepts importants de son mémoire, le concept d’« indicatrice » (voir section 6 infra), puis poursuit sur cette base sans expliciter ses buts. À un moment difficile à déterminer, il revient en arrière, comme en témoigne l’usage de la colonne de gauche (et du verso, une fois celle-ci pleine) : il insère, d’abord dans la colonne de gauche de la page a, puis en deux colonnes au verso, et enfin dans la colonne de gauche de la page b, une introduction suivie de quelques paragraphes de préliminaires (fig. 1).
Fig. 1.
Irruption de la première version de l’introduction dans la colonne de gauche de la première page de la rédaction C.
Bibliothèque de l’Institut
15En suivant le devenir des passages raturés et corrigés, il est facile de voir que la rédaction F est une version reprise au propre d’un long morceau de la rédaction C (commençant par les préliminaires insérés en cours de route, mais sans l’introduction qui les précède), désormais intitulé « iʳᵉ partie » et soigneusement organisé en trois chapitres. Sur le plan du contenu, cette rédaction F se distingue toutefois nettement de la première partie du mémoire publié (en particulier, la définition de l’indicatrice utilisée est différente, un point que nous examinerons dans la section 6), et Halphen semble l’avoir abandonnée.
- 21 Il est vraisemblable que le désordre, déjà signalé, des feuillets de cette rédaction E vienne du tr (...)
- 22 L’une des rédactions de chapitres de la partie 2 qui forment la rédaction D contient une « Démonstr (...)
16La rédaction E présente un retour à une écriture plus brouillonne. Elle commence, dans la colonne de droite, par une introduction issue de celle qui avait été insérée dans la rédaction C. Le texte qui suit, en revanche, ne descend pas directement des rédactions C ou F : l’indicatrice est cette fois définie comme dans le mémoire publié, la différence principale avec ce dernier étant que certains résultats intervenant ici au fil de l’exposition seront ensuite déplacés dans une section de préliminaires21. Le phénomène le plus frappant est que l’introduction venue de la rédaction C est lourdement raturée et réécrite, reflétant une refonte profonde, qui nous intéressera tout particulièrement, des objectifs et de l’organisation d’ensemble du mémoire. C’est en aval de cette refonte que se situent les rédactions D, puis A et enfin B22.
5. Délimitation et exposition : un changement de focale
17Commençons notre analyse génétique en nous penchant sur l’introduction, qui subit un remaniement radical dans la rédaction E, et nous met directement face aux efforts d’Halphen pour positionner son mémoire et en construire le propos.
- 23 Nous transcrivons dans ce paragraphe la version de la rédaction C (feuillet a, recto et verso, colo (...)
- 24 En 1873, Halphen parle de conditions « indépendantes » plutôt que « séparables », mais il reconcept (...)
18La première mouture de l’introduction, qui apparaît sous forme d’insertion dans la rédaction C, puis sert, quasiment telle quelle, de version initiale dans la rédaction E, exprime un dessein d’ensemble limpide23. Le problème général que présente Halphen est celui de compter les coniques satisfaisant à cinq conditions. Ces conditions peuvent être séparables ou non les unes des autres. Par exemple, les conditions, pour une conique, de « passer par un point A » et d’« être tangente à une droite D » sont généralement séparables24. Mais si l’on impose à la conique d’être tangente à la droite D en un point A précis de cette droite, on établit un lien entre deux conditions de ce type, produisant ce qu’Halphen appelle souvent (à la suite de Chasles) une « condition double » qui n’est pas décomposable en deux conditions simples (et l’on pourrait ainsi former des conditions triples ou quadruples). Si les cinq conditions de notre problème général peuvent être séparées en deux groupes, l’un constitué d’une condition et l’autre de quatre conditions (que ces dernières soient ou non séparables les unes des autres par ailleurs, par exemple en formant une condition quadruple), le problème est résolu par le théorème αμ + βν de Chasles. Mais celui-ci, écrit Halphen, « <que Mr Chasles a> découvert par l’induction, n’a pas encore été démontré », et le premier objectif du mémoire est de fournir cette démonstration manquante. Si les conditions peuvent être séparées en deux groupes, l’un constitué de trois conditions et l’autre de deux, le problème est résolu par un théorème qu’Halphen énonce, et qui, écrit-il, « est nouveau ». La combinaison des deux contributions du mémoire (la démonstration du théorème de Chasles, l’énoncé et la démonstration d’un théorème complémentaire nouveau sur la décomposition 3 + 2) offre alors « la solution complète du problème proposé. de la recherche du nombre des coniques satisfaisant à cinq conditions formant plusieurs groupes indépendants. »
- 25 « Discours prononcé par M. Hermite aux obsèques de G.-H. Halphen », CRAS, t. cviii, nᵒ 21, p. 1079- (...)
- 26 H. Poincaré, « Notice sur Halphen », art. cit., p. 142, rééd. p. xxii-xxiii.
19Deux traits de cette première introduction méritent d’être relevés. Tout d’abord, Halphen prend soin de construire un problème de manière à en proposer une solution complète et définitive : il fait apparaître le cas de cinq conditions séparables en un groupe de deux et un groupe de trois comme le complément nécessaire de la formule αμ + βν bien connue de Chasles, et leur conjonction comme l’achèvement d’une ligne d’investigation. Ce type de dispositif est récurrent chez Halphen, et son succès se reflète dans les hommages qui ont été rendus à ses œuvres. Dans le discours qu’il prononce aux obsèques d’Halphen, Charles Hermite relève « le mérite qui se retrouve dans tous ses travaux de ne rien laisser d’incomplet et d’inachevé, et de donner, au prix d’efforts persévérants, la solution définitive de toutes les questions qu’il aborde25. » Dans sa notice nécrologique pour Halphen, Poincaré (s’inspirant de la notice d’Émile Picard) distingue entre les mathématiciens qui, « uniquement curieux d’étendre toujours plus loin les frontières de la Science, s’empressent, pour courir à de nouvelles conquêtes, de laisser là un problème dès qu’ils sont sûrs de pouvoir le résoudre » et ceux qui « se préoccupent d’en trouver effectivement la solution et ne l’abandonnent jamais sans en avoir tiré toutes les conséquences » ; Halphen, écrit Poincaré, « a préféré la seconde [voie], et c’est ce qui donne à son œuvre son remarquable caractère d’absolue perfection. Tout ce qu’il a touché est maintenant achevé et il n’y a plus à y revenir26. » Les manuscrits donnent ainsi à voir la construction active par Halphen de l’identité stylistique, voire méthodologique, de ses travaux, construction réussie et qui en marquera fortement la réception.
- 27 Ibid., p. 144, rééd. p. xxiv.
- 28 Dans son analyse des pratiques éditoriales du Journal de mathématiques pures et appliquées sous la (...)
20Par ailleurs, il est crucial de remarquer qu’Halphen souligne (au propre comme au figuré) la nouveauté de l’un des résultats présentés. Le risque pour lui était que la simple démonstration soignée d’un théorème déjà connu puisse paraître une contribution intéressante mais secondaire. Les éloges de Poincaré dans sa notice déjà citée ont toujours, juste sous la surface, l’implicite que les œuvres achevées et parfaites d’un simple consolidateur du savoir gardent une infériorité irréductible par rapport aux fulgurances du mathématicien novateur. Poincaré prend d’ailleurs soin de souligner que son insistance sur la perfection des œuvres d’Halphen n’est pas (tout à fait) de ces compliments qui rabaissent : « Je vais analyser les ouvrages d’Halphen et le lecteur verra à quel point, en étant complet et parfait, on peut rester original et pénétrant27. » Dans notre cas, nous l’avons dit, Chasles tenait sa formule αμ + βν pour hors de doute, et insistait sur ses applications ; la recherche d’une démonstration ne semble pas l’avoir intéressé. D’autres mathématiciens auraient sans doute été davantage enclins à reconnaître la nécessité de démontrer ce théorème, sans pour autant en faire une question prioritaire. Halphen sait qu’ajouter à cette démonstration un résultat nouveau est essentiel pour positionner son mémoire comme une contribution d’importance28.
Fig. 2.
Le remaniement de l’introduction au début de la rédaction E. Recto des deux premières pages (les insertions sur la première page se poursuivent au verso).
Bibliothèque de l’Institut
- 29 Les appels de note (1) et (2) renvoient aux références bibliographiques des deux notes : CRAS, t. l (...)
21Le beau dessein d’Halphen vole en éclats dans la rédaction E : l’introduction initialement copiée de la rédaction C est lourdement raturée, et ses morceaux sont réinsérés dans un autre cadre (fig. 2). Que s’est-il passé ? L’une des nombreuses corrections nous fournit un indice capital. Le théorème résolvant le problème du dénombrement des coniques lorsque les cinq conditions sont divisées en un groupe de deux et un groupe de trois était présenté comme « nouveau » ; ce mot est raturé, et au-dessus on lit : « dû à Mʳ Crémona », mots qui semblent même suivis d’un point d’exclamation. Pire, comme l’indique une insertion marginale, Cremona attribuait déjà ce théorème à Chasles lui-même : « <L’énoncé de> C<c>e théorème est contenu implicitement dans une communication <note> de Mʳ Chasles (1), ainsi que l’a fait remarquer Mʳ Crémona en l’énonçant explicitement (2)29. » Halphen, qui ne fait pas partie des proches collaborateurs de Chasles, et a au moins un pied dans des mathématiques toutes différentes, ignorait que son « nouveau » théorème avait été énoncé près de dix ans plus tôt. Certes, ajoute-t-il dans la marge, la démonstration en manque encore :
Ce théorème n’a point encore reçu, de *même* que le précédent, *de démonstration*. n’a pas encore été démontré.Si la condition double se compose de 2 conditions séparées,il<ce th.> découle facilement du premier. Mais, s’il n’en est pas ainsi, il contient un *th* <2ᵉ> théorème <bien> distinct, non encore démontré et dont on n’a même presque *pas tenté de* <fait aucune> vérification. On démontre ce 2ᵉ th. et…
22En cela, toutefois, il ne diffère guère du théorème αμ + βν, et c’est bien la prétention du mémoire à l’originalité qui s’effondre.
23L’issue que choisit Halphen est d’adjoindre au contenu préexistant des résultats supplémentaires, comme en témoigne une insertion à la fin de l’introduction :
Dans la troisième partie, on
résoudra<traitera> tous les problèmes relatifs aux coniques dans l’espace et aux surfaces du second ordre. La solution de <plusieurs de> ces problèmes est donnée par des théorèmes nouveaux […].
24Les coniques dans l’espace et les surfaces du second ordre, toutefois, débordent le cadre initial, celui d’une solution exhaustive et rigoureuse des problèmes énumératifs pour les coniques du plan. C’est, par ricochet, tout l’objectif du mémoire qu’il lui faut reprendre.
25Pour ce faire, Halphen constitue une notion générale de problème énumératif, formulée en des termes assez abstraits et susceptible de fournir une nouvelle unité à son texte. Il mobilise à cette fin ses travaux antérieurs sur le nombre de droites de l’espace satisfaisant certaines conditions, et les relit de manière à y voir une première contribution, que son mémoire prolonge et (dans une certaine mesure) achève, à un problème de plus grande ampleur : celui de la détermination du nombre de figures (qu’il s’agisse de droites, de courbes ou de surfaces) satisfaisant à un nombre maximal de conditions (à cet égard, il est intéressant d’observer qu’un manuscrit relatif au travail d’Halphen sur les droites se trouve aujourd’hui juste avant la liasse qui nous occupe dans le dossier « Surfaces du 2ᵉ ordre » du fonds, alors même qu’il a encore moins de rapport que notre liasse avec les surfaces du second ordre ; il se peut que le rapprochement de ces manuscrits reflète le travail d’Halphen lui-même). La description du théorème de Chasles pour les coniques du plan, et son extension au cas de deux groupes de deux et trois conditions, est reprise de la version précédente de l’introduction, mais transformée en un cas particulier.
26Soulignons qu’il ne s’agit pas ici d’un simple travail d’« emballage », sans lien avec le fond mathématique du travail d’Halphen. Tout d’abord, le nouveau cadre construit par Halphen est une véritable reconceptualisation du problème qu’il cherche à résoudre. Certes, les parallèles qu’il pointe (en particulier entre le cas du dénombrement des droites et celui des coniques) préexistent partiellement à sa réécriture de l’introduction, dans la mesure où ses travaux antérieurs sur les droites étaient formulés dans le langage chaslien des caractéristiques. Pour autant, une conception aussi englobante des problèmes énumératifs (comprenant non seulement les cas des courbes et des surfaces de degré quelconque, mais aussi des droites et plus généralement des figures rectilignes : triangles, polygones, etc.), qui se généralisera plus tard à la suite des travaux de Hermann Schubert, est originale au début des années 1870.
- 30 Voir Notice rédigée par G.-H. Halphen sur ses travaux mathématiques, op. cit.
- 31 En particulier, il a probablement lu l’important article de Felix Klein, « Zur Theorie der Linienco (...)
27Ensuite, cette reconceptualisation du problème produit des effets substantiels sur l’économie de ce mémoire, et plus largement sur le travail d’Halphen. Pour le voir, il nous faut ici faire intervenir une autre évolution de ses recherches. Nous l’avons dit, ses premiers travaux sur le nombre de droites dans l’espace satisfaisant certaines conditions étaient formulés dans le langage de la théorie des caractéristiques. Cependant, lorsque quelques années plus tard, dans le contexte d’une candidature à l’Académie des sciences, Halphen écrit une notice sur ses travaux, il rattache également ses premiers articles au thème des « complexes et congruences de droites30 », c’est-à-dire à la géométrie de Julius Plücker, un objet dont il ne s’était jamais occupé en 1868-1869. En 1873, Halphen a pris connaissance de ces travaux31. Il est alors frappant de constater qu’en aval de la rédaction E, où apparaît le nouveau cadre du mémoire, la terminologie plückérienne de « complexe » fait massivement irruption dans les brouillons, où elle vient généraliser, et partiellement remplacer, la terminologie chaslienne de « système ». C’est sans doute un pont entre les méthodes géométriques de Chasles et de Plücker qu’Halphen a commencé à apercevoir, en même temps qu’il reconceptualisait une théorie encore en gestation, celle qu’on appellera plus tard « géométrie énumérative ». Ainsi, les efforts d’Halphen pour construire une identité théorique voire disciplinaire susceptible de caractériser sa contribution, dont les brouillons nous donnent plusieurs itérations, ont à la fois partie liée avec son entreprise de positionnement stratégique et avec un réel travail mathématique sur ce que constitue un problème énumératif en géométrie.
6. Économie déductive et effacement de la genèse : la définition de l’indicatrice
- 32 Pour une réévaluation de cette question à l’aune de la génétique, voir Emmylou Haffner, « Going to (...)
28Outre le positionnement du mémoire, ce sont les liens entre itinéraire de découverte et exposition, et plus largement entre forme et contenu, que les rédactions successives d’Halphen éclairent. Le premier point que nous voudrions relever est simple. C’est presque un lieu commun aujourd’hui, que la manière dont les mathématiques sont rédigées vise souvent la perfection déductive au détriment de l’itinéraire heuristique qui a conduit aux résultats32. Les rédactions dont nous disposons offrent un exemple limpide de ce phénomène, à savoir la manière dont évoluent la définition d’une notion auxiliaire, celle d’« indicatrice », et les démonstrations qui en font usage.
29La première partie du mémoire de 1873, nous l’avons dit, offre une démonstration de la formule αμ + βν de Chasles. Celle-ci permet de dénombrer les coniques (dans le plan) satisfaisant à cinq conditions données. Si l’on se donne quatre conditions et non cinq, il y a en général une infinité de coniques qui y satisfont ; elles forment ce que Chasles et Halphen appellent un « système » de coniques. Étant donné un tel système, Halphen lui associe une certaine courbe, qu’il nomme « indicatrice » du système, et dont les points peuvent être mis en correspondance avec les coniques du système. Cette indicatrice, qui joue un rôle essentiel dans la démonstration d’Halphen, est transformée de manière importante entre les rédactions F et E.
30Lorsqu’il introduit sa nouvelle indicatrice pour la première fois au brouillon, Halphen ressent le besoin de la motiver et de clarifier ses liens avec d’autres indicatrices possibles. Il donne plusieurs exemples de manières d’associer une telle courbe à un système, dont celui de sa définition initiale (qui ouvrait la rédaction C, et était reprise dans la version mise au propre formant la rédaction F), telle qu’à chaque conique du système correspondent généralement deux points de l’indicatrice, et inversement. Puis il commente :
- 33 Ici, « lignes » est synonyme de « courbes ».
Parmi ces lignes33 [c’est-à-dire, les indicatrices possibles], il en est qui sont telles qu’à chaque courbe ou surface du système répond un point unique.
31C’est le cas de sa nouvelle indicatrice, qu’il introduit alors, ajoutant qu’elle n’est « autre chose qu’une transformation » de l’ancienne indicatrice, qui était celle
que, pour suivre les traces
de Mʳ Chasles<du créateur> de la théorie des caractéristiques on est naturellement conduit à considérer. Aussi tous les raisonnements qui seront faits […] à l’aide de l’indicatrice choisie,pourraient<peuvent> être transformés de manière à être adaptés au choix de cette autre indicatrice. Mais on conçoit que, dans bien des cas,il soit plus simple de choisir la premièreles raisonnements soient plus simples sur la première.
32En d’autres termes, son indicatrice initiale, inspirée de Chasles, se présente plus « naturellement », mais est plus délicate à manier ; sa nouvelle indicatrice va moins de soi, mais conduit à des démonstrations « plus simples ».
- 34 Notons toutefois qu’Halphen continuera à réfléchir aux différentes indicatrices possibles et à leur (...)
33La rédaction E est notre dernier avant-texte de la première partie du mémoire final. Dans la version publiée, ces éléments de motivation et de contexte disparaissent34, tels des étais que l’on retire une fois la rénovation achevée. Ils laissent derrière eux une définition complexe et ad hoc de l’indicatrice, qui intervient dans le mémoire comme un deus ex machina. L’économie et l’élégance de la démonstration publiée sont acquises au prix d’un effacement de sa genèse.
7. Découverte et exposition : la notation symbolique
34Le contraste que nous venons d’évoquer entre les itinéraires sinueux de la découverte et une exposition finale élégante mais opaque, s’il correspond à des phénomènes récurrents dans l’écriture des mathématiques, ne doit pas pour autant conduire à une opposition simpliste entre « contexte de découverte » et « contexte d’exposition », qui induirait une rupture nette entre le contenu scientifique et sa mise en forme. Élaboration du contenu scientifique et mise en forme pour la publication sont parfois intimement liés ; c’est par l’étude d’un tel phénomène que nous voudrions conclure.
- 35 Halphen en fera, en revanche, le sujet d’une brève communication à l’Académie des sciences, environ (...)
- 36 Voir Nicolas Michel, « Of Words and Numbers », op. cit., p. 281-334.
35Nous n’avons pas encore mentionné ce qui semblera, à beaucoup de lecteurs, la contribution essentielle du mémoire de 1873. À la fin de la partie 2, Halphen introduit, dans le contexte des coniques du plan, une écriture symbolique des conditions qui lui permet de résumer les théorèmes qu’il a démontrés jusqu’alors. Il utilise ensuite celle-ci de manière répétée dans la partie 3, qui concerne les coniques dans l’espace et les surfaces du second ordre. Dans l’économie du mémoire publié, cette notation n’est qu’un détail : elle n’est même pas mentionnée dans l’introduction35. Elle connaîtra cependant une postérité remarquable, en particulier au travers du « calcul énumératif » développé sur sa base par Hermann Schubert36.
36L’étude des avant-textes montre immédiatement que cette notation symbolique ne fait son apparition que très tard dans la genèse du texte. Elle est complètement absente des avant-textes de la partie 2 du mémoire final. C’est seulement dans la rédaction B (qui ne contient qu’un avant-texte à la partie 3), dernière rédaction dans l’ordre chronologique restitué ci-dessus, qu’Halphen fait ses premiers pas dans cette direction. Dans le cas des combinaisons complexes de conditions qui se présentent dans l’étude des coniques dans l’espace, employer les ressources expressives qu’Halphen avait mises en place lors de ses premières preuves du théorème de Chasles pour les coniques planes s’avère bien trop lourd, sinon impraticable, et c’est là qu’il introduit ces nouvelles formes de symbolisation. Bien que les détails techniques ne puissent être restitués ici, et qu’une partie de l’action se déroule hors de la scène des brouillons, on observe dans ces manuscrits l’introduction successive d’opérations symboliques inhabituelles : des symboles représentant des conditions géométriques (et non pas des nombres ou quantités) sont multipliés, et plus tard réinterprétés de manière numérique. Il s’agit là d’une étape cruciale vers la formation de la notation que, dans un second temps, Halphen explicitera dans une sous-section supplémentaire de la partie 2 dont nous n’avons pas de trace manuscrite (alors que, pour le reste, la rédaction A reflète largement le contenu final de la deuxième partie). Quoique ni la sémantique de ces calculs ni leur justification n’y soient encore couchées sur le papier, ces brouillons témoignent bien de la création par Halphen d’un nouvel appareil symbolique, qui se révélera extrêmement important pour certains de ses lecteurs.
Fig. 3.
Deux pages de la rédaction B dans lesquelles apparaît une première notation symbolique.
Bibliothèque de l’Institut
- 37 « Chasles’s enumerative theory of conics. A historical introduction », dans Abraham Seidenberg (dir (...)
- 38 La séquence complexe des notations employées dans ce contexte par Chasles, Halphen, puis Schubert, (...)
37Le traitement historique de référence de la théorie des caractéristiques de Steven Kleiman37 inverse l’ordre de cette genèse, et suggère que c’est en observant des régularités dans les formules de Chasles pour les coniques planes (correspondant aux parties 1 et 2 du mémoire final) – et remarquant qu’une notation habile permettait d’en simplifier l’exposition et l’usage – qu’Halphen est conduit à sa découverte, qui s’avère valoir également pour les surfaces du second ordre (traitées dans la partie 3). Cette déformation rétrospective du processus de genèse, qui prend la fonction d’exposition de cette notation pour son origine, est toutefois révélatrice. La notation qu’Halphen découvre est tout à la fois un outil de recherche, facilitant la combinaison de conditions dans les cas complexes qu’Halphen explore dans sa troisième partie, et un remarquable dispositif d’exposition, rendant bien plus maniables et synoptiques les résultats déjà acquis de la théorie chaslienne des caractéristiques, y compris ceux dont traitent les parties précédentes du mémoire. Le travail de rédaction n’est pas qu’un travail de mise en forme de résultats donnés par ailleurs, mais forme une partie intégrante du travail mathématique38.
8. Conclusions
- 39 « Rapport sur les papiers laissés par Halphen », commissaires MM. Darboux, Picard, Appell ; Poincar (...)
38Aux yeux de mathématicien de Poincaré, les rédactions préliminaires des mémoires publiés que contiennent les papiers d’Halphen ne diffèrent des versions finales « que par quelques détails insignifiants39 ». Pour l’historien·ne, ces documents sont au contraire d’une grande richesse.
- 40 H. Poincaré, « Notice sur Halphen », art. cit., p. 143-144, rééd. p. xxiv.
39Tout d’abord, ils témoignent du travail méticuleux de sélection, d’organisation et de hiérarchisation auquel se livre Halphen pour constituer son objet et positionner sa contribution. Si son travail a pu paraître « complet et parfait » tout autant qu’« original et pénétrant », au point que dans sa notice nécrologique, Poincaré écrira que c’est aux « ouvrages accomplis de la statuaire grecque […] que font penser les Mémoires d’Halphen, où il semble qu’on ne pourrait changer un seul mot sans en détruire l’harmonie40 », c’est aussi le résultat d’un effort attentif de construction que ses brouillons nous donnent à voir. Si l’on conçoit souvent l’écriture mathématique comme un effort de purification visant l’économie des preuves, quitte à effacer les détours contingents de la découverte, les avant-textes du mémoire d’Halphen montrent également l’importance du contrôle exercé sur le positionnement disciplinaire et théorique d’un texte scientifique, ainsi que sur l’identification des résultats clés qui y sont établis.
40Nul cependant n’est maître des lectures de ses œuvres. Du long mémoire dont nous avons esquissé la genèse, c’est finalement presque un détail, faisant irruption au détour d’une partie et que l’introduction soigneusement rédigée d’Halphen ne mentionne même pas, qui en sera souvent perçu comme la contribution principale. L’innovation notationnelle dont il s’agit ici n’est née qu’au cours de l’exploration d’un sujet complexe, avant d’être redéployée à des fins d’exposition dans des cas plus simples. L’analyse génétique de ce même mémoire souligne ainsi comment la notation d’Halphen n’est ni un pur dispositif d’exposition, ni un simple outil de travail, mais bien les deux simultanément. Qu’il s’agisse de dispositifs d’écriture, comme cette notation, ou de la reconceptualisation de l’objet même du mémoire, c’est plus largement toute frontière nette entre travail d’exposition et travail de recherche, et partant entre forme et contenu, qu’une étude des brouillons nous conduit à remettre en cause.
Notes
1 Nous sommes redevables à un évaluateur anonyme, ainsi qu’à Frédéric Brechenmacher, Daniel Ferrer et Emmylou Haffner.
2 Henri Poincaré, « Notice sur Halphen » Journal de l’École Polytechnique, lxᵉ cahier, 1890, p. 137-161, cit. p. 144 ; rééd. dans Œuvres de G.-H. Halphen, Paris, Gauthier-Villars, t. i, 1916, p. xvii-xliii, cit. p. xxiv.
3 Voir notamment Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Saint-Denis, Presses universitaires de Vincennes, 1995 et Caroline Ehrhardt, Itinéraires d’un texte mathématique. Les réélaborations d’un mémoire de Galois au xixᵉ siècle, Paris, Hermann, 2012.
4 Il en va de même en mathématiques, ici, qu’en littérature ; cf. Almuth Grésillon, Éléments de critique génétique : lire les manuscrits modernes, Paris, CNRS Éditions, 2016, p. 32.
5 La reprise pour l’étude des textes scientifiques de ce concept, due au philosophe John Langsahw Austin, fait notamment l’objet de Karine Chemla et Jacques Virbel (dir.), Texts, Textual Acts, and the History of Science, Cham, Springer, 2015.
6 Georges-Henri Halphen, « Mémoire sur la détermination des coniques et des surfaces du second ordre », Bulletin de la Société mathématique de France, t. 1, 1872-1873, p. 130-142, p. 226-240, t. 2, 1873-1874, p. 11-33 ; rééd. dans Œuvres de G.-H. Halphen, op. cit., t. 1, p. 98-157.
7 Sur l’histoire et le contenu du fonds Halphen de l’Institut de France, voir notre second article dans le présent numéro.
8 Un autre élément décisif dans la réception de ce mémoire sera la répudiation en 1876 par Halphen lui-même du théorème central de ce mémoire, qui a fortement contribué à orienter d’ultérieures lectures mathématiques.
9 Georges-Henri Halphen, « Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques », Journal de l’École polytechnique, 52ᵉ cahier, 1882, p. 1-200 ; rééd. dans Œuvres de G.-H. Halphen, op. cit., t. iii, 1921, p. 261-456. Des éléments d’une biographie d’Halphen peuvent être glanés dans les diverses notices écrites après sa mort et republiées en tête des divers volumes de ses Œuvres ; voir notamment t. i, p. vii-xliii.
10 Hélène Gispert, « La France mathématique. La Société mathématique de France, 1872-1914 », Cahiers d’histoire et de philosophie des sciences, nouv. sér., nᵒ 34, 1991, p. 11-180 (en particulier p. 14-17).
11 Voir par exemple la lettre de Darboux à Jules Houël retranscrite dans Hélène Gispert, « La correspondance de G. Darboux avec J. Houël. Chronique d’un rédacteur (déc. 1869-nov. 1871) », Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, t. 8, 1987, p. 67-202 : « M. Chasles vient de m’envoyer son rapport sur la Géométrie, il n’y dit pas un mot de Lobatchefsky ni de la géométrie non euclidienne. En revanche on y parle très longuement d’une foule de choses. Mais, c’est égal, nous avons singulièrement besoin de nous refaire tous » (p. 160).
12 Il ne nous est pas possible de décrire dans cette courte note exploratoire les reconfigurations disciplinaires de l’algèbre et de la géométrie dans la France des années 1860-1870, ni de situer avec précision Chasles et Halphen par rapport à ces dernières. Notons toutefois que Chasles se réclamait d’une géométrie pure (c’est-à-dire exempte de recours au calcul algébrique et aux systèmes de coordonnées) sur la base d’une épistémologie des mathématiques sophistiquée. Halphen, au contraire, voyait dans « la théorie des fonctions algébriques » un savoir sans lequel toute recherche géométrique se verrait condamnée à des « incertitudes, [des] tâtonnements, [des] fautes même » ; voir Notice rédigée par G.-H. Halphen sur ses travaux mathématiques à l’occasion de sa candidature à l’Académie des sciences, Paris, Gauthier-Villars, 1885, rééd. dans Œuvres de G.-H. Halphen, op. cit., t. i, p. 1-47 (p. 12), et Nicolas Michel, « Mathematical Selves and the Shaping of Mathematical Modernism: Conflicting Epistemic Ideals in the Emergence of Enumerative Geometry (1864-1893) », Isis, t. 112, nᵒ 1, p. 68-92.
13 Il faudrait, pour être parfaitement rigoureux, préciser certaines conditions dites de généricité sur la position relative de ces points, mais cela nous emmènerait trop loin.
14 Michel Chasles, « Considérations sur la méthode générale exposée dans la séance du 15 février 1864 etc. », Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences (ci-après CRAS), t. lviii, 1864, p. 1167-1175 : « les opérations à effectuer dans chaque question […] sont d’une facilité extraordinaire car […] elles se réduisent presque toujours à de simples additions de deux nombres : ce qui contraste singulièrement avec les calculs actuels de la méthode analytique [c’est-à-dire, ici, algébrique] » (ici p. 1169).
15 Sur la théorie des caractéristiques et sa relation au programme de recherche géométrique de Chasles, voir Nicolas Michel, « Of Words & Numbers. The Writing of Generality in the Emergence of Enumerative Geometry (1852-1893) », thèse de doctorat, université Paris-Cité, 2020, p. 127-184 [en ligne sur HAL thèses].
16 Outre Halphen lui-même, les géomètres allemands Alfred Clebsch, Ferdinand von Lindemann, Hermann Schubert et Adolf Hurwitz proposeront tous d’autres démonstrations de ce résultat entre 1872 et 1876. Par ailleurs, de nombreux géomètres italiens commenceront à émettre de sérieuses critiques à l’égard de la géométrie de Chasles, qu’ils jugent trop « monotone », et seulement apte à générer mécaniquement des résultats sans intérêt, au détriment de théorèmes plus profonds et originaux tels que ceux d’Halphen. Voir Nicolas Michel, « Tic-tac geometry: A theorem in full swing », Nieuw Archief voor Wiskunde, sér. 5, t. 22, 2021, p. 170-178 (en particulier p. 176-177).
17 Georges Halphen, [Notes mathématiques], Bibliothèque de l’Institut, Ms 5621. Cette liasse se trouve dans le dossier « Surfaces du 2ᵉ ordre », en deuxième position après un bref manuscrit formé de trois feuillets volants. Aucune archive des premières années de la SMF n’a été conservée ; la ou les versions envoyées à la SMF sont donc perdues (voir H. Gispert, « La France mathématique », art. cit., p. 13).
18 En 1900, les manuscrits d’Halphen ont été examinés par plusieurs experts, dont Lucien Lévy, à la recherche d’inédits. Ces experts ont souvent laissé des notes dans le fonds ; sur ce point, voir notre autre article dans le présent numéro.
19 Le groupe B utilise des feuilles d’environ 18×23 cm, alors que les autres manuscrits utilisent des feuilles d’environ 21×27 cm.
20 Contrairement aux éditeurs d’ouvrages et de manuels, les journaux scientifiques tels que le BSMF, les CRAS, les Proceedings of the London Mathematical Society, ou encore les Mathematische Annalen (publiant tous des articles d’Halphen sur ce sujet) imprimaient rarement les figures en accompagnement d’articles mathématiques. Une exception notable est le Journal de Crelle, dans lequel Halphen ne publiera jamais.
21 Il est vraisemblable que le désordre, déjà signalé, des feuillets de cette rédaction E vienne du travail de réécriture d’Halphen, qui a pu réutiliser ces feuillets de manière non linéaire pour préparer la version suivante. C’est la dernière version manuscrite de la partie 1 dont nous disposons.
22 L’une des rédactions de chapitres de la partie 2 qui forment la rédaction D contient une « Démonstration du théorème de Mʳ Crémona » ; une autre porte sur les « coniques dans l’espace ». La rédaction D semble donc témoigner d’un état intermédiaire, postérieur à la transition décrite plus haut, pour des raisons exposées dans la section 5, mais antérieur au moment où Halphen décide de consacrer une troisième partie séparée aux cas des coniques dans l’espace et des surfaces du second ordre. La rédaction A est assez proche de la version finale de la deuxième partie, à une importante exception près (sur laquelle nous reviendrons plus loin) : il manque la dernière sous-section, dont nous soutiendrons qu’elle sera introduite à la suite du travail d’Halphen sur la troisième partie. La rédaction B, partielle, porte uniquement sur la troisième partie.
23 Nous transcrivons dans ce paragraphe la version de la rédaction C (feuillet a, recto et verso, colonne de gauche).
24 En 1873, Halphen parle de conditions « indépendantes » plutôt que « séparables », mais il reconceptualisera ce premier terme en profondeur par la suite, et son emploi pourrait donc prêter à confusion.
25 « Discours prononcé par M. Hermite aux obsèques de G.-H. Halphen », CRAS, t. cviii, nᵒ 21, p. 1079-1081 (séance du 27 mai 1889), ici p. 1080 ; rééd. dans Œuvres de G.-H. Halphen, op. cit., t. ii, 1918, p. v-vii, ici p. vi.
26 H. Poincaré, « Notice sur Halphen », art. cit., p. 142, rééd. p. xxii-xxiii.
27 Ibid., p. 144, rééd. p. xxiv.
28 Dans son analyse des pratiques éditoriales du Journal de mathématiques pures et appliquées sous la direction de Camille Jordan, c’est-à-dire à l’époque nous concernant, Frédéric Brechenmacher souligne que « la valeur d’une contribution est systématiquement qualifiée [par leurs auteurs, au sein de lettres jointes à un manuscrit soumis] par deux caractères complémentaires : la nouveauté des résultats et l’intérêt de la méthode ». Voir Frédéric Brechenmacher, « Un journal de “rang élevé” : le Journal de mathématiques pures et appliquées sous la direction de Camille Jordan », dans P. Nabonnand, J. Peiffer et H. Gispert (dir.), Circulation des mathématiques dans et par les journaux, à paraître [en ligne sur HAL].
29 Les appels de note (1) et (2) renvoient aux références bibliographiques des deux notes : CRAS, t. lix, 1864, p. 345 et 776, respectivement.
30 Voir Notice rédigée par G.-H. Halphen sur ses travaux mathématiques, op. cit.
31 En particulier, il a probablement lu l’important article de Felix Klein, « Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades », Mathematische Annalen, t. 2, nᵒ 2, 1870, p. 198-226.
32 Pour une réévaluation de cette question à l’aune de la génétique, voir Emmylou Haffner, « Going to the Source(s) of Sources in Mathematicians’ Drafts », dans Maria Zack et David Waszek (dir.), Research in History and Philosophy of Mathematics. The CSHPM 2022 Volume, Cham, Birkhäuser, 2024, p. 83-110.
33 Ici, « lignes » est synonyme de « courbes ».
34 Notons toutefois qu’Halphen continuera à réfléchir aux différentes indicatrices possibles et à leurs propriétés, et qu’une discussion de ce type se retrouve par exemple dans un mémoire ultérieur (qui revient en profondeur sur les conclusions du mémoire présentement étudié) : voir G.-H. Halphen, « Sur les caractéristiques des systèmes de coniques et de surfaces du second ordre », Journal de l’École Polytechnique, 45ᵉ cahier, 1878, p. 38-41, rééd. dans Œuvres de G.-H. Halphen, op. cit., t. ii, p. 1-57.
35 Halphen en fera, en revanche, le sujet d’une brève communication à l’Académie des sciences, environ un mois après la présentation de son mémoire à la SMF ; voir CRAS, t. lxxvi, 1873, p. 1074-1077 (séance du 28 avril 1873), rééd. dans Œuvres de G.-H. Halphen, op. cit., t. i, p. 159-162.
36 Voir Nicolas Michel, « Of Words and Numbers », op. cit., p. 281-334.
37 « Chasles’s enumerative theory of conics. A historical introduction », dans Abraham Seidenberg (dir.), Studies in Algebraic Geometry (MAA Studies in Math), nᵒ 20, 1980, p. 117-138. Voir en particulier p. 121.
38 La séquence complexe des notations employées dans ce contexte par Chasles, Halphen, puis Schubert, est d’une grande richesse historique et mathématique. Nous y reviendrons de manière détaillée dans un article à venir.
39 « Rapport sur les papiers laissés par Halphen », commissaires MM. Darboux, Picard, Appell ; Poincaré, rapporteur, CRAS, t. cxxxiii, nᵒ 19, 1901, p. 722-724. Réimprimé dans Œuvres de G.-H. Halphen, op. cit., t. iv, 1924, p. 467-469, ici p. 467.
40 H. Poincaré, « Notice sur Halphen », art. cit., p. 143-144, rééd. p. xxiv.
Haut de pageTable des illustrations
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|---|---|
| Titre | Fig. 1. |
| Légende | Irruption de la première version de l’introduction dans la colonne de gauche de la première page de la rédaction C. |
| Crédits | Bibliothèque de l’Institut |
| URL | http://journals.openedition.org/genesis/docannexe/image/10479/img-1.png |
| Fichier | image/png, 3,6M |
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| Titre | Fig. 2. |
| Légende | Le remaniement de l’introduction au début de la rédaction E. Recto des deux premières pages (les insertions sur la première page se poursuivent au verso). |
| Crédits | Bibliothèque de l’Institut |
| URL | http://journals.openedition.org/genesis/docannexe/image/10479/img-2.png |
| Fichier | image/png, 4,4M |
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| Titre | Fig. 3. |
| Légende | Deux pages de la rédaction B dans lesquelles apparaît une première notation symbolique. |
| Crédits | Bibliothèque de l’Institut |
| URL | http://journals.openedition.org/genesis/docannexe/image/10479/img-3.png |
| Fichier | image/png, 4,5M |
Pour citer cet article
Référence papier
Nicolas Michel et David Waszek, « Un « ouvrage accompli de la statuaire grecque » », Genesis, 60 | 2025, 85-101.
Référence électronique
Nicolas Michel et David Waszek, « Un « ouvrage accompli de la statuaire grecque » », Genesis [En ligne], 60 | 2025, mis en ligne le 13 mai 2026, consulté le 13 juin 2026. URL : http://journals.openedition.org/genesis/10479 ; DOI : https://doi.org/10.4000/13xlq
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Le texte seul est utilisable sous licence CC BY-NC-ND 4.0. Les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés) sont susceptibles d’être soumis à des autorisations d’usage spécifiques.
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