Annexe 1 : présentation de la théorie des nombres

Pour présenter ce qu'on appelle indifféremment l'Arithmétique ou la Théorie des nombres (nous nous en expliquerons plus loin), il est éclairant de remonter aux origines. À une époque reculée que nous ne pouvons pas situer, Homo sapiens a imaginé les entiers naturels (comprendre : positifs), pour énumérer et compter, les fractions, pour commencer à mesurer, quelques objets géométriques comme les cercles et les carrés, pour commencer à domestiquer l'espace. On oublie souvent de mentionner la notion de périodicité, archaïque (le jour et la nuit, la Lune, les saisons), et dont la connexion avec les mathématiques est manifeste.

On ne détaillera pas ici la postérité des branches primitives des mathématiques naissantes. Au début de la « proto-histoire », vers – 4000 ans, les mathématiques étaient une science utilitaire qui visait à compter, élaborer un calendrier, prédire les événements astronomiques, mesurer les longueurs et les aires. À un certain moment, les mathématiciens (en fait les astronomes et les philosophes) se sont intéressés aux nombres premiers13 – lesquels ont probablement été découverts en manipulant les fractions. On peut penser que la fascination a été immédiate... en tout cas, les Babyloniens, les Égyptiens, les Chinois, les Grecs, les Mayas, les Indiens..., s'y sont intéressés.

Avec les nombres premiers s'amorce une bifurcation essentielle de la postérité des nombres entiers. Il y aura d'une part les ensembles de nombres qui étendent les nombres entiers (nombres réels alias nombres « à virgule », nombres complexes qu'on a longtemps appelés « imaginaires », vecteurs qui sont des extensions « pluridimensionnelles » des nombres), qui ouvrent dans un premier temps sur le calcul avancé et sur la théorie des fonctions, puis sur le calcul « différentiel et intégral ».

Et d'autre part la lignée issue de la singularité multiplicative des nombres premiers, nombres premiers eux-mêmes (c'est une sorte de noyau dur de la théorie, avec des questions difficiles encore irrésolues), approximations rationnelles des nombres réels, équations à résoudre en nombres entiers.

Cette lignée issue des nombres premiers s'appelle Théorie des nombres – mais les profanes imaginent parfois et à tort qu'elle traite des ensembles de nombres – ou bien Arithmétique – mais les profanes ont alors du mal à imaginer que cela aille au-delà des « quatre opérations » élémentaires. Quoi qu'il en soit, cette nouvelle branche des mathématiques va assez rapidement s'évader du domaine des mathématiques utilitaires pour devenir un bouillonnement intellectuel d'apparence à la fois ludique et abstraite, avec des théorèmes aussi simples à énoncer que difficiles à prouver. Nous allons en donner quelques exemples ci-dessous, mais nous annonçons dès maintenant le coup de tonnerre : en 1978, la théorie des nombres (re)devient une branche des mathématiques utilitaires, avec la publication du « système cryptographique » RSA (Rivest Shamir Adleman). Mais dans les mathématiques d'aujourd'hui, même les plus « pures », qu'est-ce qui n'est pas utilisé ou utilisable ?

La recherche des « triplets pythagoriciens » est peut-être le plus ancien problème de théorie des nombres : il s'agit de chercher les solutions en nombres entiers de la relation de Pythagore14 a² + b² = c², comme 3² +4² = 5² ou 5² + 12² = 13².

Les nombres premiers interviennent dans la théorie de la divisibilité et l'étude des fractions, et la démonstration, vers –550, que √2 n'est pas un nombre fractionnaire, a fortement bousculé les mathématiciens.

Autre théorème fort, vers –200 : il y a une infinité de nombres premiers, démonstration écrite par Euclide en utilisant le crible d'Ératosthène.

La théorie des nombres peine ensuite un peu, faute de méthodes innovantes, jusqu'au xvii^e siècle, avec Marin de Mersenne (1588‑1648) et Pierre de Fermat (1801‑1865). On peut citer, parmi les productions célèbres, les nombres de Mersenne : M_n = 2ⁿ – 1, qui ne peut être premier que si l'exposant n est premier (ces nombres, dont certains seulement sont premiers, fournissent aujourd'hui les records de nombres premiers explicites, le dernier découvert (octobre 2024) est M_{136 279 841}, qui s'écrit avec 41 024 320 chiffres en base 10 ; le merveilleux « petit » théorème de Fermat : si a n'est pas divisible par un nombre premier p, alors a^p–1 – 1 est divisible par p ; et le « grand » théorème de Fermat : si n ≥ 3, l'équation aⁿ + bⁿ = cⁿ est impossible à résoudre en nombres entiers (sauf solutions « triviales » avec des « 0 » et des « 1 »), qui ne deviendra réellement un théorème que 350 ans plus tard avec la démonstration de Wiles (1995). En ce même xvii^e siècle, le théorème des quatre carrés (tout nombre entier positif peut être écrit comme somme de quatre carrés (d'entiers)) est conjecturé, mais sa démonstration attendra Lagrange en 1770. Ce théorème inaugure la théorie additive des nombres : conjecture de Goldbach, problème de Waring...

Le siècle suivant est dominé par Euler (1707‑1783) qui, le premier, utilise pour la théorie des nombres les méthodes de l'analyse mathématique, notamment les séries infinies. Dans le but de vulgariser la théorie des nombres et non pas d'en faire l'historique, on se contentera de signaler qu'Euler établit le premier résultat sur la raréfaction des nombres premiers (1737) : la somme des inverses des nombres premiers est une série divergente. La somme des inverses de tous les nombres entiers étant elle-même divergente, le théorème d'Euler signifie que, d'une certaine manière, il y a beaucoup de nombres premiers. Et pourtant ils se raréfient ! Legendre démontrera en 1808 que, lorsque x tend vers l'infini, la proportion par rapport à x de nombres premiers inférieurs à x tend vers 0. Mais lentement... Ce résultat sera affiné en 1896 par le très célèbre « théorème des nombres premiers ».

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) écrit en 1798 ses Disquisitiones Arithmeticae, qui démontrent plusieurs résultats essentiels et jettent les bases de la future et féconde théorie algébrique des nombres, utilisatrice notamment de la théorie des groupes et de la théorie de Galois. Cependant qu'en 1859, Bernhard Riemann (1826‑1866) utilise la « fonction zêta » (qui sera ensuite dite « de Riemann ») dans le cadre de l'analyse complexe15 pour étudier les « fonctions arithmétiques », ouvrant une voie royale à la démonstration du théorème des nombres premiers.

Nous arrivons au milieu du xix^e siècle. La théorie des nombres est reconnue comme une véritable sous-discipline des mathématiques (vous avez dit algèbre, analyse16, géométrie ?). Elle se subdivise en première approximation en théorie algébrique des nombres et théorie analytique des nombres. Mais elle va exploser au fil du siècle et demi qui suit, ses objets et encore plus ses méthodes vont emprunter à tous les chapitres des mathématiques, elle devient extrêmement transversale et ses sous-variétés très nombreuses. On trouve aujourd'hui une théorie des nombres algébrique, algorithmique, analytique, combinatoire, diophantienne, géométrique, probabiliste... (par ordre alphabétique). Mais la diversité est toujours une richesse.

Nous avions signalé plus haut le « système cryptographique » RSA17, qui consiste à utiliser les nombres premiers pour faire un chiffrement « asymétrique »18. L'idée de base repose sur le constat qu'on sait aujourd'hui fabriquer en une fraction de seconde un nombre premier de 60 chiffres (et qu'on sait bien sûr en multiplier deux), tandis qu'il faudrait des milliards d'années pour décomposer un nombre de 120 chiffres produit de deux nombres premiers de 60 chiffres.

Mais les ordinateurs sont aussi utilisés en recherche fondamentale et les rapports de la théorie des nombres avec l'informatique demandent un commentaire. Il est assez fréquent que les méthodes utilisées pour effectuer les calculs « à la main » ne procurent que des améliorations médiocres lorsqu'on les transpose sur ordinateur, et que pour donner sa pleine efficacité à ce dernier il faille utiliser des méthodes nouvelles – qui auraient été catastrophiques utilisées à la main. Ces méthodes nouvelles sont elles-mêmes issues de théorèmes inédits élaborés dans le cadre d'une sous-discipline nouvelle appelée algorithmique arithmétique.

Annexe 2 : quelques coopérations internationales du laboratoire

Un bon indicateur du succès et de la qualité de la théorie des nombres à Bordeaux dont cet article décrit les origines, peut être de regarder les premiers résultats obtenus par le jeune laboratoire qui s'est formé et de se concentrer sur les collaborations internationales très vite amorcées.

C'est ce que nous faisons ci-dessous, en y ajoutant une présentation du logiciel de calcul formel PARI/GP utilisé dans le monde entier, qui atteste du rayonnement rapide du nouveau laboratoire de Bordeaux. Nous présenterons ces travaux et réalisations par ordre chronologique. Toutes les collaborations ainsi initiées ont eu une suite au sein du laboratoire, qu'il n'est bien sûr pas possible de décrire ici.

Marius van der Put (né en 1941) est un mathématicien néerlandais, spécialiste de géométrie et d'analyse p-adiques.

De la même manière qu'on peut « compléter » le corps des nombres rationnels en utilisant la valeur absolue ordinaire, pour obtenir les nombres réels, on peut le compléter en utilisant d'autres valeurs absolues, dites p-adiques, pour obtenir les nombres « p-adiques ». Ce qu'on appelle géométrie rigide (fondée par Tate en 1961) est l'analogue p-adique de la géométrie analytique complexe, et est devenue, au fil des ans, un outil indispensable dans un grand nombre de questions de géométrie arithmétique. Fresnel et van der Put ont écrit en 1981 un ouvrage Géométrie analytique rigide et applications, qui expose à l'intention des chercheurs les fondements et les résultats essentiels de cette discipline nouvelle.

Henryk Iwaniec (né en 1947) est un mathématicien polonais et états-unien, spécialiste de théorie analytique des nombres, récipiendaire de nombreux prix, dont le prix Shaw. Il sera été fait docteur honoris causa de l’Université de Bordeaux en 2006.

Pendant l’année 1979‑1980 où il était invité à l’université de Bordeaux, Il a développé, en collaboration avec Deshouillers, l’étude en moyennes de sommes de Kloosterman (sommes trigonométriques très particulières, imaginées en 1926, qui possèdent de nombreuses applications à des problèmes fondamentaux dans la théorie analytique classique et les formes modulaires). Les premiers résultats ont été publiés en 1982 dans la revue Inventiones Mathematicae. Iwaniec a par ailleurs développé une collaboration avec Dress et Tenenbaum (alors chargé de recherche au CNRS à Bordeaux) ainsi qu'avec Fouvry (alors maître de conférences à Bordeaux).

Hendrik Lenstra (né en 1949) est un mathématicien néerlandais, spécialiste de la théorie algorithmique des nombres (computational number theory).

Ce qu'on appelle aujourd'hui les conjectures de C-L-M (Cohen-Lenstra-Martinet heuristics) concerne la distribution des groupes de classes des corps de nombres quadratiques réels (groupes des classes d'idéaux, dans la ligne des travaux initiés au XIX^e siècle par Galois, Gauss, Kummer...). Dit sommairement, les « entiers » des « corps de nombres » ne satisfont pas toujours la factorisation unique des entiers ordinaires et les groupes de classes mesurent en quelque sorte le défaut de factorisation. Les conjectures de C‑L‑M ont entraîné à leur suite de nombreux travaux, d'une part pour les confronter à des investigations numériques, d'autre part pour les relier à d'autres conjectures. Le « coup d'envoi » est un article de 1983 de Cohen et Lenstra, suivi d'un article de 1987 de Cohen et Martinet.

Quoiqu'étant un outil forgé par une équipe exclusivement bordelaise, le logiciel PARI/GP possède un impact international suffisamment étendu pour être inclus dans la présente liste.

PARI/GP est un système de calcul formel orienté arithmétique, composé d'une bibliothèque écrite en langage C utilisable dans les langages tels que C++ ou Python, et d'une interface en ligne qui fonctionne comme une calculatrice programmable sophistiquée. Il a été développé à Bordeaux (et continue à l'être) par une équipe créée et animée par Henri Cohen. C'est un logiciel libre, distribué à partir de 1985 dans toutes les universités scientifiques du monde. Sa précision est arbitraire (jusqu'à plusieurs millions de chiffres), il manipule les nombres et les objets algébriques indispensables, il peut calculer toutes les fonctions arithmétiques, tester les propriétés, effectuer des opérations avancées en théorie algébrique des nombres. Avec une rapidité de calcul particulièrement performante.

Ramachandran Balasubramanian (né en 1951) est un mathématicien indien, spécialiste de la théorie additive des nombres et de la théorie combinatoire des nombres.

Le théorème des quatre carrés, conjecturé depuis longtemps, a été démontré par Lagrange en 1770. La même année le mathématicien britannique Waring conjecture que, pour tout degré k, il existe s tel que tout entier positif puisse s'écrire comme une somme de s puissances k‑ièmes. On note g(k) la valeur minimale de s. Au fil des années, divers majorants de g ont été trouvés, puis les valeurs exactes, avec des techniques de démonstration de plus en plus sophistiquées. Seul g(4) résistait. Une série d'articles de 1986 de Balasubramanian, Deshouillers et Dress a démontré g(4) = 19, en combinant des résultats théoriques très poussés et des résultats numériques indirects à la limite des ordinateurs de l'époque.