Jean Buridan sur la nature du nombre
Résumés
La conception opératoire des mathématiques défendue par Buridan fait passer au second plan les interrogations sur le statut ontologique des objets mathématiques. Cependant, Buridan ne peut ignorer un certain nombre de questions débattues par ses prédécesseurs et contemporains. Dans les textes de la maturité, les passages sur la nature du nombre sont réduits au minimum. Mais on trouve un texte de jeunesse où il polémique avec un autre maître sur le statut ontologique du nombre. Il y critique l’idée selon laquelle le nombre aurait une consistance propre, distincte de l’âme qui nombre et des choses nombrées. Les choses singulières énumérées ne sont pas des parties formelles du nombre mais le nombre lui-même dans son versant matériel. Le nombre est d’un côté une manière de concevoir des choses disposées de telle ou telle façon ; de l’autre, il est ces choses elles-mêmes conçues au moyen d’un concept « discret », selon lequel elles sont appréhendées séparément les unes des autres et indépendamment de toute autre détermination que leur unité. Tout repose sur l’intellect et ses modes de conception, tandis que le nombre nombré, ou le nombre sous son aspect matériel, est réductible à des collections d’unités. Cette approche du nombre est parfaitement cohérente avec la théorie des universaux développée par Buridan à la même période.
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- 1 Jean Celeyrette, « La Questio de puncto de Michel de Montecalario en réponse à Jean Buridan », Arch (...)
1Jean Buridan n’a pas pour les mathématiques le même intérêt que son contemporain Nicole Oresme. Il ne peut toutefois éluder les débats sur leur place au sein des sciences théorétiques, leur rapport à la physique et généralement à la philosophie naturelle, et même le statut de leurs objets. Quand il examine les relations entre mathématiques et physique, Buridan privilégie une conception opératoire, qui traite les mathématiques comme un instrument de calcul, de mesure et de mise en rapport, dont les propositions (principes ou théorèmes) doivent s’ajuster approximativement aux phénomènes naturels afin de rendre intelligibles certaines de leurs propriétés. Une telle approche n’implique pas nécessairement que l’on s’attarde sur le statut des objets mathématiques, d’autant que Buridan insiste moins sur l’abstraction qui serait à l’origine des concepts mathématiques que sur la place et le fonctionnement de ces derniers au sein d’un langage (y compris conceptuel). C’est principalement de cette manière qu’il examine le statut du point, principe en géométrie, comme on le constate dans sa controverse avec Jean de Montecalerio, qui a été étudiée par Jean Celeyrette1.
2Buridan réinterprète ainsi à sa manière l’idée, devenue classique mais protéiforme, de l’« imagination mathématique ». Certains concepts quantitatifs (ou qui, en un certain sens, peuvent être tenus pour quantitatifs) n’ont pas de corrélat réel ; c’est notamment le cas de l’infini, du moins l’infini en acte, qui est longuement analysé dans la Physique, ou encore du point ou de l’instant, puisque ceux-ci n’ont pas d’existence à titre d’indivisible qui existerait réellement dans la nature : réellement, le point est une petite partie de la ligne, l’instant ou le « maintenant » une partie du temps. Mais si l’imagination peut désigner un écart entre les mathématiques et la perception du monde naturel, le propos ne renvoie ni à l’imagination comme puissance de l’âme, ni à un statut intermédiaire entre les idées et les choses comme chez les platoniciens ; le cadre est une conception de la science comme disposition mentale s’adressant en premier lieu à un langage : comme toute science théorétique, la mathématique traite en premier lieu de termes et de propositions, dont il importe d’analyser les modes de référence.
3Une telle approche, qui privilégie l’analyse logico-linguistique des discours scientifiques, fait passer au second plan les interrogations sur le statut ontologique des objets mathématiques, et surtout du nombre. Ces interrogations ne sont cependant pas tout-à-fait absentes de l’œuvre de Buridan, qui ne peut ignorer la tradition commentariste aristotélicienne. Or celle-ci s’est trouvée confrontée à la fois à la critique du platonisme telle qu’elle est menée par Aristote dans la Métaphysique, et à un certain nombre de questions sur le statut des objets mathématiques, que ce soit dans le domaine de la grandeur étendue ou du nombre, notamment dans la Physique.
- 2 Voir Cecilia Trifogli, Oxford Physics in the Thirteenth Century (ca. 1250-1270). Motion, Infinity, (...)
- 3 Voir Averroès, De physico auditu, dans Aristotelis opera cum Averrois commentariis, vol. IV, Veneti (...)
- 4 Thomas d’Aquin, Commentaria in octo libros Physicorum Aristotelis, II, lect. 3, n 5, Opera omnia iu (...)
- 5 Thomas d’Aquin, Super librum De Trinitate, qu. 5, art. 1, Opera omnia, vol. 50, Roma-Paris, Commiss (...)
- 6 Thomas d’Aquin, Scriptum super librum Sententiarum, I, dist. 24, qu. 1, art. 2 (Corpus thomisticum) (...)
- 7 Voir Maria Sorokina, « Numbering the Divine persons… », p. 419-420 (même si l’article est davantage (...)
- 8 Albertus Magnus, Physica, IV, tr. iii, c. 16, éd. P. H. Hossfeld, Opera omnia, t. IV, pars I, Monas (...)
4En ce qui concerne le nombre, non seulement la position platonicienne qui en fait une réalité séparée n’a pas totalement disparu de l’horizon car elle a eu des échos dans l’augustinisme, chez les Chartrains ou encore chez Scot Érigène, mais au sein même de l’aristotélisme la question se pose de savoir si le nombre est réductible à la collection de choses dénombrées. Cecilia Trifogli a montré que dans de nombreux commentaires anglais du xiiie siècle, les débats sont vifs à ce sujet, et que ce qui domine c’est un certain refus de réduire le nombre aux choses nombrées2. Les discussions surgissent notamment à propos de l’infinité des parties du continu : si ces parties sont potentiellement infinies, y a-t-il un nombre qui leur corresponde ? De même, si le temps est le nombre du mouvement, peut-on réduire le nombre soit au mouvement lui-même soit à l’âme qui nombre ? A côté des débats qui vont se multiplier sur la nature du continu, l’interrogation se déplace ainsi vers le statut du nombre. A Paris, les commentaires qui font autorité pour Buridan sont ceux de Thomas d’Aquin et de Gilles de Rome, et ils restent proches d’Averroès, qui posait que le nombre existe potentiellement dans la chose extra-mentale et en acte dans l’âme3. Pour Thomas d’Aquin, la quantité est une forme accidentelle inhérente à la substance. Abstraire la quantité requiert cependant une opération de l’âme, qui fait abstraction de la matière sensible4. Thomas précise sa position dans d’autres textes. Le commentaire sur le De Trinitate développe surtout les différentes modalités d’abstraction afin de préciser laquelle produit les objets mathématiques5. Le commentaire des Sentences distingue le nombre pris absolument, simpliciter, qui a une existence réelle, et le nombre pris relativement, secundum quid ou secundum rationem, qui n’existe que par l’esprit qui considère certaines propriétés des choses6. Tout cela incline à tenir les mathématiques pour une science dont les objets sont matériellement indépendants de l’esprit7. Albert le Grand quant à lui, dans le passage de son commentaire sur la Physique qui concerne le temps comme nombre du mouvement, critiquait Averroès, et distinguait trois éléments requis pour l’acte de nombrer : la matière nombrée, le nombre formel, et l’âme qui nombre de manière efficiente mais non formelle (efficienter et non formaliter). Le nombre existe donc indépendamment de l’âme, et pas seulement en puissance : s’il n’y avait pas d’âme, le nombre existerait selon son être formel et selon le nombre nombré8. Cela revient à conférer au nombre, grâce à la notion de « nombre formel », une manière d’être qui ne se réduit pas à la collection des choses nombrées. Mais s’agit-il d’une forme séparée ou d’un accident réel comme Albert le suggère en parlant d’habitualis forma discretionis ? La question reste ouverte. Le problème de savoir si le nombre a un être spécifique ou bien s’il est réductible aux choses nombrées, s’il est produit par l’âme intellective et imaginative ou si c’est accident des choses, ne disparaît pas de l’horizon interprétatif dans les commentaires d’Aristote. Ces questions affleurent à l’occasion des questions sur les livres III et IV de la Physique, ou encore sur le livre X de la Métaphysique, qui conduisent à réfléchir sur le statut du nombre et de l’unité, et non pas seulement sur la grandeur continue.
- 9 Voir Maria Sorokina, « Henri de Harclay sur l’ontologie des nombres : à propos d’un désaccord entre (...)
5Les réflexions sur le statut ontologique du nombre ne sont pas propres aux commentaires d’Aristote. Elles se déploient également dans les textes théologiques, commentaires sur le Livre des Sentences ou questions quodlibétiques. Les théologiens s’affrontent sur la nature du nombre, à propos de la question de savoir s’il y a une pluralité numérique dans les choses divines, en particulièrement dans la Trinité9. Les positions et les types d’arguments sont similaires, mais il est difficile de savoir dans quelle mesure ces débats sont intégrés dans les textes issus de la faculté des arts. Buridan, on le sait, se garde d’intervenir autant que possible dans les débats théologiques.
- 10 On trouvera aussi quelques extraits d’autres passages dans les notes de cette introduction.
6Le principal texte où le maître picard se penche sur le sujet est une œuvre de jeunesse que l’on désigne habituellement sous le titre De natura numeri et unitatum. Avant de présenter et d’analyser ce texte, je me propose dans un premier temps de rappeler les quelques brèves indications que Buridan donne sur la nature et le statut du nombre dans ses œuvres de maturité que sont les dernières lectures de la Physique et de la Métaphysique. En complément, je proposerai à la fin de cette contribution l’édition des premières pages de cette détermination sur la nature du nombre, qui énumèrent les thèses de Buridan aussi bien que celles de son adversaire10.
Aperçus sur le nombre dans la Physique et la Métaphysique
- 11 John Buridan, Quaestiones super octo libros Physicorum (secundum ultimam lecturam) [dorénav. Qu. Ph (...)
- 12 Voir les chapitres consacrés à Buridan dans Joël Biard et Jean Celeyrette, De la théologie aux math (...)
- 13 Jean Buridan, Qu. Phys., III, qu. 17, p. 153-165 : « Utrum omni numero sit numerus maior ».
- 14 Qu. Phys., III, qu. 17, p. 155 : « quandocumque in ista quaestione loquemur de numero, sive univers (...)
7Dans ses Questions sur la Physique, Buridan est conduit à étudier certains domaines à la frontière des mathématiques et de la physique. C’est notamment le cas du continu, qui donne lieu à une analyse détaillée du concept d’infini dans les questions 14 à 19 sur le livre III 11. Il confère une importance sans précédent à la distinction de l’infini au sens catégorématique et de l’infini au sens syncatégorématique, et l’applique notamment aux parties du continu. Depuis plus d’un demi-siècle, les débats sur la composition du continu ont pris de l’ampleur. Buridan adopte une position résolument anti-indivisibiliste et récuse toute composition du continu à partir de points ; réciproquement, il admet que toute partie du continu est infiniment divisible12. Sans que cela soit vraiment surprenant dans un ouvrage sur la physique, c’est par conséquent la grandeur continue qui est privilégiée sur la grandeur discrète, à tel point que dans la seule question qui concerne explicitement le nombre13, Buridan déclare rapidement qu’il ne va considérer que des grandeurs étendues ou les parties du continu14. Nous pouvons cependant trouver quelques indications.
- 15 Le terme se trouve notamment chez des théologiens comme Jean Duns Scot, Henry de Harclay, Thomas Wy (...)
8La première, dans la question 17, est une reformulation de la distinction aristotélicienne entre nombre nombrant et nombre nombré. Loin d’en faire les deux faces d’une même réalité, la formulation buridanienne écartèle le nombre entre d’une part la ratio discretiva qui relève de l’âme et d’autre part les choses nombrées. Par la ratio discretiva « nous nombrons d’autres choses, en comprenant combien (quot) elle sont » ; quant aux choses nombrées elles-mêmes, si ce sont par exemple quatre hommes, ceux-ci forment un quaternarius, un nombre quarternaire, un nombre ou une collection de quatre unités. Caractériser le nombre, du moins le nombre nombrant, par la discretio est classique pour marquer la distinction entre choses nombrées15. Mais ici la discretio n’est pas tant la forme propre au nombre qu’une ratio, qui relève de l’activité psychique.
- 16 Par exemple « binarius est centenario maior vel ternario aequalis » (p. 155), « omnis numerus est p (...)
9Dans la même question, nous trouvons une série d’interrogations concernant l’unité et l’indivisibilité. La première série est formée de conclusions formulées implicitement d’un point de vue physique ou naturel et qui peuvent sembler absurdes16. Mais on peut aussi entendre ces concepts, ainsi que les principes et conclusions qui les mettent en œuvre, d’un point de vue arithmétique, et c’est ce qu’il convient d’expliciter.
- 17 Qu. Phys., III, qu. 17, p. 159.
- 18 Aristote, Métaphysique, V, 6, 1016 b 23-27.
- 19 Qu. Phys., III, qu. 17, p. 160.
10En premier lieu, l’arithméticien suppose que l’unité est indivisible17. On peut renvoyer pour cela renvoie au livre ∆ de la Métaphysique qui pose que du point de vue du quantum le point et l’unité sont absolument indivisibles18. Ensuite, après avoir rappelé quelques principes, tels que la distinction du pair et de l’impair, Buridan se tourne vers l’analyse sémantique générale du terme « nombre » confirmant ainsi que les mathématiques sont elles aussi soumises à la reformulation logico-linguistique. Ce qui est fondamental, c’est qu’en toute rigueur le nombre n’est pas un objet qui aurait un statut particulier, mais un terme. Mais en tant que terme, il a une supposition : « il suppose pour plusieurs choses distinctes l’une de l’autre » – à la différence de la grandeur continue. Qu’il ne s’agisse pas d’un objet ayant quelque forme de réalité est souligné par la précision « etiam licet sumeretur cum pronomine demonstrativo, ut “iste numerus” »19. Le nombre n’est pas quelque chose qu’on pourrait montrer, serait-ce à l’intellect. Cependant, ce terme a aussi une connotation, ou signification seconde et indirecte, qui fait sa spécificité : il se réfère à des choses en connotant qu’elles sont nombrées ou nombrables. Dire qu’elles sont nombrables (car toutes ne sont pas actuellement comptées ou nombrées) signifie qu’elles sont conçues par un certain type de concept, ou de raison : un concept qui comprend ces choses comme plusieurs, distinctes l’une de l’autre – c’est précisément cela la ratio discretiva. C’est cette raison, c’est-à-dire ce mode d’intelliger, qui permet de répondre à la question « combien ? ».
- 20 Qu. Phys., III, 17, p. 164.
11Le nombre repose ainsi sur un mode d’intelliger. Non pas certes que ces hommes ne soient pas deux si nous ne les comptons pas ; mais ils sont seulement « nombrables ». De même, chacun de ces modes d’intellection est un acte singulier, de sorte que si à ces deux hommes nous en ajoutons un troisième, le nombre deux et le nombre trois n’en seront pas moins totalement distincts. Les actes de compter, mais aussi de diviser ou de rapporter l’un à l’autre peuvent ainsi être multipliés envers une seule et même chose naturelle, comme envers différents groupes de choses. Aucune voie n’est laissée ouverte vers le platonisme, mais pas non plus vers un abstractionnisme qui ferait reposer le nombre « en puissance » dans les choses. Ce qui importe est l’opération – qui sera le cas échéant investie en philosophie naturelle. « Dicendum est quod scientia numerandi, scilicet arithmetica, inventa est principaliter et finaliter ad mensurandum motus et magnitudines et tempora »20.
12Tout cela esquisse une vision claire et cohérente, mais en vérité assez rapidement expédiée, si ce n’est que Buridan consacre plusieurs pages à expliquer comment une même chose continue peut être divisée et nombrée selon différents critères.
- 21 Voir In Metaphysicen Aristotelis questiones argutissime magistri Iohannis Buridani, Venetiis, MDXVI (...)
- 22 In Metaph., IV, 7, fos XVIIvb-XVIIIva : « Utrum isti termini “ens” et “unum” convertantur quantum a (...)
13On n’en trouvera guère plus dans la dernière lecture de la Métaphysique, dont un certain nombre de passages conduisent à s’interroger sur le terme « un ». Parmi les différentes significations du terme « un », à savoir un en nombre, un en espèce, un en genre et un par analogie21, c’est seulement le premier qui nous intéresse. On trouve à son sujet quelques précisions intéressantes. Ainsi, dans la question 7 sur le livre IV22, nous pouvons lire premièrement que le terme « un » se différencie du terme « étant » (ens) en ce qu’il apporte une connotation supplémentaire : l’absence, ou plutôt le manque (carentia) de division. Nous avons toujours affaire à une dualité entre le terme (car seul un terme connote) et la chose (car « un » désigne la même chose que « étant »). Buridan précise qu’il ne s’agit pas seulement d’un mode de signifier grammatical, car de ce point de vue, aussi bien unum que ens sont singuliers, mais bien de deux modes de signification « principale », entendons ici que cela concerne le concept qui est immédiatement signifié par le terme.
- 23 In Metaph., X, 1, fos LXva-LXIva : « Utrum omne mensurabile mensuratur (em. 1518 mensuretur) uno ».
- 24 Ibid., fo LXva : « Descendo ad numerum ».
- 25 Ibid., fo LXIra.
14Enfin, la question 1 sur le livre X revient sur le lien entre nombre et mesure, et demande « Est-ce que tout mesurable est mesuré par “un” ? »23. Buridan a consacré à ce passage d’Aristote et surtout au commentaire qu’en donne Averroès de longues analyses dans son opuscule de jeunesse que nous allons étudier plus loin. La question examine diverses modalités de mesure, et un passage est explicitement consacré au nombre24. La première conclusion est que tout nombre (qu’il mesure une multitude ou une grandeur) doit être reconduit à des unités, ou à un autre nombre qui est lui-même reconductible à des unités. La seconde précision est qu’aucun nombre n’est suffisamment mesuré par un (per aliquod unum). En effet, pour appréhender combien il y a d’hommes dans une pièce, il faut non seulement appréhender distinctement un, mais encore deux, trois, etc. Buridan semble ici opter implicitement pour une procédure de sommation plus que de simple réitération – même si en vérité la distinction n’est pas toujours si claire. Cela implique aussi que l’unité est unité d’un certain point de vue, et que c’est de ce point de vue seulement qu’elle est indivisible, ainsi que ce sera rappelé peu après : « quelibet unitas dicitur indivisibilis tali modo »25 ; mais selon d’autres considérations elle pourrait être divisible, puisque cette unité peut être un homme, une aune, une pierre…
- 26 Les indications codicologiques données par Christoph Flüeler, « Two Manuscripts of Buridan on the M (...)
- 27 Je remercie Karil Majcherek d’avoir attiré mon attention sur ce texte, et Iacopo Costa pour ses inf (...)
15Dans ces remarques, toutes assez rapides, on trouve peu de choses sur le statut du nombre en tant que tel. Pour trouver une analyse un peu plus approfondie du statut ontologique du nombre, il faut se tourner vers des textes rédigés plus tôt dans la carrière de Buridan. On pourrait penser à une version des Questions sur la Métaphysique, dont nous avons une reportatio dans le manuscrit de la Bibliothèque nationale de France, codex 1613126. Cette lecture comprend une dizaine de questions qui touchent directement ou indirectement aux mathématiques, parmi lesquelles la question 38 : « Utrum numerus de genere quantitatis sit tantum ab anima »27. Je n’ai pas encore pu travailler suffisamment sur ce texte difficile, et je me tournerai vers un texte encore plus ancien, datant de la première période de l’œuvre buridannienne : le De natura numeri et unitatum. Ce texte ne sera pas contredit par ce qui en subsiste dans les ultimes versions de la Physique ou la Métaphysique, mais il est plus développé.
La Determinatio de natura numeri et unitatum
Contexte et sens général
- 28 Le texte n’a pas de titre, celui-ci est donné par Bernd Michael d’après la première phrase, par ana (...)
- 29 Voir Jean Celeyrette, « La Questio de puncto de Michel de Montecalario en réponse à Jean Buridan » (...)
- 30 Buridan, Due questiones de universali. Le texte a été édité par Sławomir Szyller sous le titre Trac (...)
16La Détermination sur la nature du nombre et des unités28 fait partie d’une série de traités écrits par Buridan dans les années 1330, communément désignés comme « traités polémiques ». La plupart de ces traités concernent des questions d’ontologie et de sémantique : statut des genres et des espèces, sens de la dépendance, de la convenance et de la diversité, problème des universaux. Le traité sur le nombre semble être tourné vers des objets de nature différente, et devoir plutôt être rapproché du traité De puncto, qui est daté de 1335 environ29 et qui est ainsi presque contemporain des questions sur l’universel, datées quant à elles de 1334. Il est difficile toutefois de situer chronologiquement le traité sur le nombre parmi les traités polémiques, de sorte que nous devons le placer entre 1332 et 1335, sans pouvoir davantage préciser. Le traité est anonyme, mais le seul manuscrit que l’on connaisse actuellement, le manuscrit de Klosterneuburg, Stiftsbibliothek codex 291, contient une série de traités dont l’authenticité buridanienne n’est pas sujette à caution. La Determinatio de natura numeri et unitatum est en effet précédée des Defensiones determinationis de diversitate generis ad speciem, et est suivi quasiment sans rupture, sur le même folio, par les Questiones de universali ; le tout est écrit de la même main, et aussi bien les Defensiones et les Questiones de universali lui sont explicitement attribuées dans ce manuscrit30. Nous aurons l’occasion de nous demander si les thèses soutenues dans cet opuscule sont bien cohérentes avec ce que défend Buridan, tant dans ses œuvres de jeunesse que dans les traités du milieu du siècle. La réflexion sur le nombre et l’unité n’est pas totalement absente d’autres textes de l’époque, mais n’y est pas développée. Ainsi, la seconde question sur l’universel semble bien recouper le problème de l’unité : « Est-ce que, en dehors de l’âme, l’universel est un, d’une autre unité que l’unité numérique ? ». Cependant l’angle d’attaque concerne l’unité supposée de l’espèce, et on trouve fort peu d’informations sur l’unité numérique en dehors de quelques remarques sur l’indivision (y compris l’indivision selon l’espèce) et sur la distinction. Cela ne nous apprend rien sur le nombre.
- 31 Voir Alice Lamy, « Les réductions ontologiques du nombre dans la continuité et la succession au xiv(...)
- 32 Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, III, Venetiis, 1501, fo 84va : « videtur (...)
- 33 Burley, Super artem veterem, Liber praedicamentorum, Venetiis, 1497 (repr. Minerva, Frankfurt, 1967 (...)
- 34 Voir Cecilia Trifogli and Lauge Nielsen, « Thomas Wylton’s Questions on Number, the Instant and Tim (...)
- 35 Voir Thomas Wylton, qu. 1, 3e opinion, éd. cit., en part. p. 79-82. Une notion centrale pour Wylton (...)
17La Détermination sur la nature du nombre et de l’unité s’insère toutefois bien dans la série des traités polémiques car Buridan, tout comme dans ses questions sur l’universel ou sur le point, met clairement en scène un débat avec un adversaire : « Doctor quidam reverendus determinavit de natura numeri et unitatum ». Malheureusement, je ne suis pas en mesure de discerner qui est cet adversaire dont Buridan donne les thèses. Le traité de Jean de Montecalerio édité par Jean Celeyrette ne porte pas sur le nombre mais seulement sur la grandeur continue. On pourrait penser à un autre adversaire, qui est nommément visé dans les questions sur l’universel, et dont les œuvres de philosophie naturelle auraient pu être l’occasion de mises au point sur le nombre : Gautier Burley. Mais les thèses de Burley ne correspondent pas à celles qui sont attribuées par Buridan à son adversaire31. Contrairement à celui-ci, Burley nie dans sa Physique que le nombre soit forme ou ait une forme32. Et dans son commentaire des Catégories il considère le nombre comme un accident qui est subjectivement dans les choses énumérées33. Je n’ai rien trouvé non plus d’équivalent dans la Physique de Jean de Jandun. Puisqu’il s’agit à l’évidence de polémiques au sein de la faculté des arts, où Buridan est encore au début de sa carrière, il me paraît peu probable que l’adversaire soit un théologien, même si la réalité extra-mentale des nombres a pu être soutenue par certains d’entre eux comme en témoigne Thomas Wylton dans une question quodlibétique34. Les arguments exposés par Wylton en faveur de l’existence et de l’unité du nombre indépendamment de l’âme ne recoupent que partiellement les thèses auxquelles Buridan s’oppose35. A ce jour, dans l’état de nos connaissances, l’adversaire de Buridan est probablement un maître, qui reste anonyme, de la faculté des arts de Paris au début des années 1330.
Les thèses de l’adversaire
- 36 Ms. K, fo 205vb : « Doctor quidam reverendus determinavit de natura numeri et unitatum, cuius sente (...)
- 37 Fo 210ra-va : « Ad cuius evidentiam repeto ea que dixi alias de continuitate magnitudinis, scilicet (...)
18Puisqu’il s’agit d’un texte polémique, il importe de préciser ce que soutient cet adversaire anonyme de Buridan. Celui-ci commence d’ailleurs par restituer les thèses de son adversaire36, avant d’énumérer les siennes propres puis de les faire suivre par de longues justifications et conclusions. Nous devons nous fier au compte rendu qu’en fait Buridan lui-même puisque c’est à ce jour notre seule source. Les thèses critiquées portent à la fois sur le continu et sur le nombre. Toute la détermination de Buridan se situe dans ce contexte généralement partagé, qui raisonne sur « le nombre des parties du continu ». De nombreux maîtres considéraient d’ailleurs simplement le nombre comme produit de la division du continu. Ce n’est pas le cas, nous le verrons, de Buridan. On trouve néanmoins dans cette question des développements sur la continuité, qui donnent lieu à des précisions distinguant deux sens de la continuité37. Mais par rapport aux débats récurrents sur la composition du continu, le centre de gravité de l’analyse buridanienne s’est, dans ce texte, déplacé vers le nombre.
- 38 On trouvera l’énoncé des thèses de Buridan, comme celles de son adversaire, dans l’extrait publié e (...)
- 39 Ibid.
- 40 Buridan revient à la fin de sa détermination (fo 215ra-b) sur cette notion en discutant un passage (...)
19Le sens général de la théorie critiquée est l’affirmation de la réalité extra-mentale aussi bien du nombre que de l’unité. La première thèse porte sur l’unité, considérée dans le continu : elle est en dehors de l’âme, elle est indivisible, et elle est ajoutée au continu lui-même. La thèse est générale et sert en vérité à préparer la thèse suivante sur le nombre. L’affirmation capitale est que le nombre est « en dehors de l’âme une chose distincte des choses nombrées et des unités »38. Suivent deux précisions : cette chose qu’est le nombre est « fondée subjectivement » dans les unités ; ce sont donc ces unités qui sont le sujet ou la matière du nombre. Mais cette chose qu’est le nombre doit aussi avoir une certaine unité (en un autre sens) puisqu’elle doit être « une par soi d’une unité propre qui ne convient pas aux unités elles-mêmes »39 ; en effet, chaque nombre est distinct d’un autre nombre, il a donc une « forme ». Le nombre est ainsi « forme numérique », et cette forme numérique a des parties extérieures les unes aux autres, car la distinction (ou discrétion) des parties est ce qui caractérise le nombre en tant que multitudo et le différencie de la grandeur continue. On retrouve donc l’idée de « nombre formel » ou du nombre comme forme, rencontrée plus haut avec Albert le Grand. Cette idée est courante car elle se fonde sur la dualité des choses nombrées comme matière du nombre, et du nombre nombrant (ou du nombre tout simplement) comme forme40.
20En ce point, la théorie de l’adversaire introduit une certaine complexité, sinon une certaine confusion, car cette forme numérique est aussi dite fondée subjectivement dans les unités ; par exemple un ternarius, un (nombre) ternaire, une collection de trois, est fondé subjectivement dans trois unités, si bien que « dans n’importe laquelle de ces unités il y a une partie de la forme ». Ces parties sont par conséquent appelées « parties formelles », et elles sont indivisibles. A ce stade on pourrait penser que les unités et les parties sont la même chose. Mais l’adversaire distingue les deux – au moins dans le cas du continu, mais on peut sans doute généraliser – grâce à un certain étagement ontologique. Les unités se fondent en effet dans le continu subjectivement et les parties du nombre se fondent subjectivement de manière immédiate dans les unités. Il faut faire une différence entre parties et unités, car les parties du nombre, en tant que parties formelles, disparaissent si le nombre disparaît et réciproquement, alors que les unités peuvent subsister. Par exemple, le nombre deux formé par Socrate et Platon disparait si Socrate disparaît, et réciproquement la partie formelle n’est plus si le nombre deux n’est plus ; en revanche, Socrate en tant qu’unité de ce nombre ne disparaît pas. Ainsi, le nombre est composé formellement et quiditativement de ses parties formelles et non de ses unités. Il semble donc que l’on puisse dire, même si ce n’est pas formulé comme tel, que les unités sont comme les parties matérielles, dont la nature spécifique ne varie pas en fonction de leur dénombrement ou de la mesure, tandis que les parties formelles de tel nombre (binarius) sont distinctes spécifiquement des parties formelles de tel autre (ternarius).
21Cela renvoie dès lors à une différence qui concerne les nombres eux-mêmes. Les nombres plus grands ou plus petits les uns que les autres se distinguent spécifiquement, mais non les nombres égaux entre eux. Autrement dit, il y a entre les nombres des identités et des différences spécifiques, qui semblent devoir être des différences réelles : le nombre 3 de trois chevaux est de même espèce que le nombre 3 de trois hommes, mais d’espèce différente du nombre 4 de quatre chevaux.
Les thèses de Jean Buridan
22Buridan, va s’opposer à tous les aspects de cette théorie, par une série de onze thèses que nous allons tenter de résumer synthétiquement. L’orientation générale consiste à limiter la prolifération de distinctions et d’entités réelles, ce qui aboutira (dans la thèse 5) à un certain réductionnisme.
- 41 Fo 207ra : « nulla est ratio propter quam plura abstracta distincta loco et subiecto nullum habenti (...)
- 42 Fo 206vb : « per eandem rupturam festuce, tot alie realitates abstracte generarentur in Sor et tot (...)
23En premier lieu, Buridan déconstruit dans les trois premières thèses la notion de « partie formelle » du nombre telle que nous venons de la restituer. Les parties d’un nombre n’ont pas de connexion nécessaire l’une avec l’autre (thèse 2), ce qui contredit l’idée d’une partie formelle dont la nature et l’être seraient liés à la forme même du nombre. Parmi les nombreuses explications données plus avant dans la question, la première permet d’esquisser ce que Buridan entend par « parties du nombre ». Ces parties sont traitées comme des éléments abstraits – sans doute relativement à la totalité mesurée ou comptée. Elles sont distinctes « par le lieu et le sujet », elles n’ont entre elles aucun ordre nécessaire, ni relation de causalité, ni de dépendance. Or il n’y a aucune raison pour qu’entre de tels éléments, il y ait une connexion telle que la génération de l’un implique la génération de l’autre, et la corruption de l’un la corruption de l’autre41. Les parties ainsi conçues n’ont plus d’existence formelle, qui se situerait entre mon âme et les choses nombrées. En effet (thèse 1) si Socrate et moi sommes deux, en dehors de l’âme, c’est-à-dire réellement, la partie de ce duo (binarius) que je forme avec Socrate n’est pas différente de la partie d’un autre duo que je forme avec Platon. Buridan donnera plusieurs raisons en faveur de cette thèse. L’une d’elle souligne que si ces parties formelles étaient quelque chose en moi, de surcroît distinctes entre elles, alors on pourrait obtenir une infinité de parties en fonction des relations que je puis avoir avec d’autres étants dans le monde42.
- 43 Plus loin, Buridan se réfère à Aristote et à Averroès pour confirmer qu’« une multitude d’unités n’ (...)
24Cela conduit à mettre en cause la distinction réelle entre unité et partie du nombre. N’importe quelle partie indivisible du nombre est la même chose que l’unité (thèse 3), ce qui est justifié rapidement par le principe d’économie. Ces unités ont une existence réelle, et sont prises comme unité de mesure. « Le nombre est composé d’unités et est mesuré intrinsèquement par les unités » (thèse 4)43. Mais c’est bien l’âme qui prend ces unités comme moyen de mesure ou de dénombrement. Quant au nombre « il n’est rien d’autre en dehors de l’âme que les unités » – ce qui contredit frontalement la thèse, défendue par l’adversaire, d’un être extra-mental du nombre distingué de ses unités.
- 44 Fo 213ra : « per additionem unitatis fit apud animam alia natura individualis numeri, sed non alia (...)
- 45 Fo 213rb : « Item contra decimam conclusionem potest adduci auctoritas Commentatoris IV° Physicorum(...)
25Les thèses suivantes remettent en cause l’idée du nombre comme espèce telle que la soutenait son adversaire – et par là ce texte recoupe maintenant l’attention portée par Buridan au statut des genres et des espèces dans ses premiers écrits polémiques. Contrairement à ce qu’affirmait l’adversaire, les nombres plus ou moins grands l’un que l’autre ne constituent pas des espèces distinctes de nombres44. La raison en est que leurs unités ou parties sont de même raison et non pas d’espèces différentes. Averroès sera appelé à la rescousse : le Commentateur présente bien les nombres comme des espèces, mais il faut préciser qu’il entendait par là un « mode », et il faut comprendre par là un mode d’intelliger45. Corrélativement il n’y a pas sous chaque nombre des individus-nombres réels (le 2 de deux hommes, le 2 de deux ânes, etc.) qui seraient rassemblés en un nombre 2 distinct spécifiquement du nombre 3, etc.
26Au cours de son argumentation ultérieure, Buridan ne nie pas que le nombre puisse être présenté comme une espèce dans le genre de la quantité – de même que le « un » dans le genre de la quantité doit être distingué du « un » transcendantal. Mais quels sont les individus de cette espèce ? « J’entends par individu de nombre ce nombre binaire, à savoir par lequel Socrate et Platon sont dits 2, ou ce nombre ternaire par lequel Socrate, Platon et Robert sont dits 3, etc. » (thèse 7). Or, contrairement aux individus-nombres de l’adversaire, ce binarius ou ce ternarius ne sont rien de réel en dehors des unités ainsi comptées. Donc pour autant qu’il existe indépendamment de l’âme, le nombre n’a pas d’individus, puisqu’il n’est rien d’autre que ces unités plurielles, distinctes par le lieu et le sujet. C’est seulement dans la mesure où il est par l’âme qu’il est une espèce de la quantité ayant pour individus les différents nombres tels que 2, 3, etc.
27Les dernières thèses rassemblent ces résultats en opérant un partage clair de ce qui revient à l’âme en ses opérations et de ce qui revient au réel extra-mental, partage qui reformule en la renouvelant la distinction du nombre nombrant et du nombre nombré. Cela se fait en distinguant le nombre pro formali suo et le nombre pro materiali suo. Le nombre, pour ce qu’il a de formel en lui (et qui en fait une espèce de quantité), est par l’âme. Ainsi, en premier lieu, la notion de nombre formel ou de nombre comme forme est vidée de toute consistance spécifique. En second lieu est affirmée clairement la dimension conceptuelle du nombre. Enfin le nombre, pour ce qu’il a de matériel en lui, n’est autre que les unités elles-mêmes.
- 46 Fo 211rb : « Ad hoc dico quod licet unum et ens sint idem essentialiter et convertibiliter in rebus (...)
28Cette bipartition entre le côté matériel et le côté formel, faisant en dernier ressort reposer le nombre sur l’activité de l’âme, se retrouve tout au long des discussions qui suivent l’énoncé des thèses. C’est ce qui conduit par exemple à préciser le rapport entre les termes « étant » et « un ». Dans les choses extramentales dont ces termes sont dits, l’étant et l’un sont essentiellement la même chose et sont convertibles. Mais ils se distinguent par un certain mode, qui toutefois n’a rien d’une disposition surajoutée dans les choses ; il n’est que par l’intellect46. L’unité a ainsi elle-même un aspect matériel et un aspect formel. L’aspect matériel est la chose elle-même qui est dite une pour autant qu’elle conçue comme indivise ; mais l’aspect formel dépend de l’âme et c’est par lui qu’il est différent de dire qu’un homme est un, et de dire qu’un homme est un homme. C’est cet un qui est principe du nombre, comme le point est principe de la ligne.
- 47 Fo 214rb-va : « si loquimur de mensura qua comprehendimus multitudinem determinatam entium seu qua (...)
29La même partition vaut pour la notion fondamentale de mesure. Une fois mise à l’écart l’idée de Dieu comme mesure première de toutes choses, la mesure par laquelle nous comprenons un nombre déterminé d’étants peut être considérée selon deux aspects. Selon son être formel, elle dépend de l’âme (est ab anima) ; cependant selon « son être objectal, ou matériel, ou fondamental », elle n’est autre que les choses mêmes, indivises, quelles qu’elle soient47.
30Buridan considère donc le nombre comme produit d’opérations de l’âme :
- 48 Fo 211rb-va.
sicut alia est comprehensio qua anima comprehendit subiectum propositionis et alia qua comprehendit predicatum, et tertia qua comprehendit unionem predicati ad subiectum, seu qua unit predicatum cum subiecto vel dividit, ita alia est operatio anime qua ipsa unitatem attribuit Sorti et alia qua attribuit unitatem Platoni et alia qua attribuit eis binarium numerando eos secundum eorum multitudinem48.
31Le nombre ainsi attribué est indivisible, alors même que les unités ou les choses nombrées sont séparées ou séparables.
32Cette approche du nombre comme opération conceptuelle permet pour finir, dans la 11e thèse, d’unifier les nombres en un degré d’abstraction supérieur à ce qu’aurait permis la doctrine de l’adversaire. Buridan semble estimer qu’il outrepasse la présentation usuelle, et que c’est inhabituel voire osé :
- 49 Fo 206va ; cf. dans la preuve de la dernière thèse, fo 210vb: « […] numero continuorum et numero in (...)
si auderem propter inconsuetudinem, ego libenter dicerem quod numerus pro suo formali est eiusdem rationis in continuis et non continuis, in materialibus et abstractis, in divisibilibus et indivisibilibus, et universaliter in quibus anima potest percipere quod [em. et] hoc est unum et illud est aliud49.
- 50 Cf. Maria Sorokina, « Numbering divine persons…», art. cit. supra n. 6.
33En fait, Buridan réitère peut-être par d’autres voies le geste de théologiens comme Henri de Harclay ou Pierre d’Auriole50, qui cherchaient à émanciper le nombre des choses matérielles et continues, afin de pouvoir l’utiliser pour penser non seulement les choses immatérielles mais même les personnes ou les relations divines. Mais Buridan n’évoque jamais ce champ, et ce n’est pas l’enjeu de ce débat. Cependant indépendamment de toute préoccupation concernant les choses divines, il propose une conception générale et abstraite du nombre bien au-delà du continu et de ses parties.
Conclusion
- 51 Voir Due questiones de universali, e.g. ms. K 228vb : « quelibet res, sive preter animam existens s (...)
34Dans cet opuscule polémique de jeunesse, à la différence des textes de philosophie naturelle écrits au cours de la période de maturité, Jean Buridan aborde de front les questions posées au sujet du statut ontologique du nombre, et il s’attaque à l’idée d’une subsistance séparée du nombre, ou plus largement à la thèse selon laquelle le nombre serait différent non seulement de l’âme qui nombre, mais aussi des choses nombrées et ajoutées à elles. Ce faisant, il doit aussi préciser comment il conçoit la « partie » d’un nombre, l’unité, la mesure. Pour résumer sa position, on pourra dire qu’il prône une stricte bipartition entre l’âme et les choses nombrées. Mais il ne le fait pas dans une perspective abstractionniste, comme Averroès ou les commentateurs du siècle précédent. Il ne fait pas du nombre quelque chose qui serait en puissance dans la matière et serait posé en acte par l’intellect par la médiation de l’imagination. Buridan défend dès cette époque une conception stricte de la singularité de tout étant51. Les choses singulières sont appréhendées comme collections d’unités, lesquelles ne sont aucunement des parties formelles du nombre mais constituent le nombre lui-même en son versant matériel, ou objectal. Les choses sont disposées de telle ou telle manière sans que je les compte. Mais le nombre est une manière de les concevoir. C’est pourquoi il est aussi les choses conçues de telle ou telle manière, selon une ratio discretiva ou selon une mesure de grandeur.
- 52 Voir Maria Sorokina, « Henry of Harclay…», p. 36-37; et les travaux de Karil Majcherek, e.g. « Can (...)
- 53 Voir Hans Thijssen, art. cit., p. 73-74.
- 54 Voir Buridan, Qu. Phys., III, qu. 17, éd. cit., en part. p. 162-163.
35Le nombre repose donc, en son côté formel, sur une opération de l’âme qui appréhende les choses en les classant ou en les ordonnant par la réitération de l’unité. Si l’on voulait utiliser des étiquettes usuelles, on pourrait donc parler de « conceptualisme ». Plusieurs études récentes classent en effet les théories du nombre en réalistes, conceptualistes et réductionnistes selon le statut du nombre nombrant52. Ce schéma peut donner des indications utiles. Cependant chacune de ces options doit immédiatement être diversifiée. L’idée même de conceptualisme est équivoque en ce sens que le nombre, ou le nombre nombrant comme forme du nombre, une fois considéré comme concept, peut être séparé ou non de l’opération de l’intellect qui nombre, si bien que cette désignation se trouve appliquée à des auteurs dont les théories divergent en bien des points. C’est pourquoi, comme naguère H. Thijssen, je préfère éviter ce terme53. D’ailleurs, on pourrait aussi bien parler de « réductionnisme » puisque face à l’opération de dénombrement, il n’y a que les choses nombrées. Selon Buridan, le nombre en tant que concept n’est pas le produit d’une abstraction, encore moins un objet de pensée ou d’imagination, ni un nombre formel situé entre l’âme qui dénombre et les choses dénombrées, il est un terme qui suppose pour des choses distinctes et connote que ces choses sont plurielles ou nombrables. Qu’est-ce que cela peut vouloir dire sans tautologie ? Il connote une activité possible de l’âme par laquelle on peut savoir combien elles sont au moyen d’un concept « discret », selon lequel elles sont appréhendées séparément les unes des autres et indépendamment de toute autre détermination que leur unité54. Pour l’arithmétique, rien de plus n’est requis : on peut nombrer des choses de nature totalement différente. Quant à l’unité de mesure, elle est prise comme indivisible. Tout repose donc de fait sur l’intellect et ses modes de conception, tandis que le nombre nombré, ou sous son aspect matériel, est réductible à des collections d’unités.
36Cette approche du nombre est parfaitement cohérente avec la théorie des universaux développée par Buridan à la même période, récusant toute réalité extra-mentale de l’universel et faisant celui-ci un mode d’intellection, ou une manière de concevoir les choses individuelles. L’universel pris pour la forme, c’est-à-dire ce qui me permet dire que « homme » ou « cheval » est un universel, ne renvoie, indépendamment de l’âme, qu’au sujet dénommé et dans l’âme à un mode d’intellection.
37Ce texte nous apprend qu’à l’époque où Buridan écrit ces traités polémiques, il y a un ou plusieurs maîtres qui défendent un certain réalisme du nombre, non pas certes en un sens platonicien, mais en accordant au nombre une réalité formelle distincte des choses nombrées et de l’âme en tant que nombrante, voire indépendante d’elles. Il nous montre aussi un Buridan déjà bien assuré des principes ontologiques et logiques qui vont guider toute son œuvre, quoique exprimés parfois de manière moins claire, et on le voit les appliquer au problème du statut ontologique du nombre. A notre connaissance, il n’y reviendra jamais de manière aussi longue et détaillée, mais il en restera des traces dans ses œuvres ultérieures.
Annexe
Le traité De la nature du nombre et des unités n’est actuellement connu que dans un seul manuscrit : Klosterneuburg, Stiftsbibliothek codex 291, qui date du xive siècle55. Le codex contient56 : le commentaire sur les livres I et III des Sentences d’Adam Wodeham, aux fos 1ra-106vb ; le commentaire sur les livres I et II des Sentences de Gérard Odon, sur deux parties séparées du codex, fos 107ra-161vb et 231ra-271ra ; le traité de Buridan (édité par D.‑J. Dekker), Determinatio de dependentiis, diversitatibus et convenientiis, aux fo 163ra-172ra ; le traité de Buridan (inédit) Defensiones determinationis de diversitate generis ad speciem, aux fos 172rb-205vb ; le traité Determinatio de natura numeri et unitatum aux fos 205vb-215rb ; le traité de Buridan Due questiones de universali, aux fos 215rb-229rb.
Nous proposons ici la transcription des premiers folios qui contiennent l’exposé par Buridan des thèses de son adversaire, et l’énumération de ses propres positions.
Bien que l’ensemble soit assez clairement écrit, le fait de ne disposer que d’un manuscrit conduit à un certain nombre de lectures conjecturales, en raison d’abréviations que nous n’avons pu interpréter, ou de mots mal écrits (surcharges, etc.). Il semble par ailleurs qu’en quelques passages (surtout au cours de la discussion qui suit les extraits édités), le texte soit incomplet ou corrompu. Nous n’avons pas indiqué les mots qui ont été rayés ou exponctués. Nous avons restitué l’orthographe classique sauf en ce qui concerne les diphtongues. Les paragraphes et la ponctuation sont de notre fait.
Sigles
<…> dictio quam addendam esse censemus
coniect. lectio coniecturalis
em. emendatio ab editore
De natura numeri et unitatum
(extrait)
|fo 205vb|
Doctor quidam reverendus determinavit de natura numeri et unitatum cuius sententia, si breviter recolligatur, est ista.
Primo, quod unitas est preter animam aliquid omnino indivisibile additum ipsi continuo.
Secundo, quod numerus etiam preter animam est forma distincta a rebus numeratis et ab unitatibus, fundata in ipsis unitatibus subiective, et una per se unitate propria, que non convenit unitatibus ipsis essentialiter.
Tertio quod talis forma numeri est divisibilis, habens partem extra partem, sic quod ternarius fundatur subiective in tribus unitatibus, et in qualibet unitate est una pars illius forme ternarii57, et huiusmodi partes ipse vocat partes formales numeri, et ille partes sunt indivisibiles, sicut et unitates in quibus fundantur. Tamen ille partes distinguuntur ab unitatibus multipliciter.
Primo quia unitates fundantur in continuo vel in continuis subiective, sed partes formales numeri fundantur immediate in unitatibus subiective.
Secundo distinguuntur quia unitates possunt simul58 <vel> invicem existere. Non enim corrumpitur unitas |206ra| in59 me si corrumpatur unitas Sortis. Sed partes formales numeri tantam habent connexionem necessariam quod oportet eas simul existere et simul corrumpi. Nam si ego et Sor facimus binarium, corrupto Sorte non solum corrumpitur illa pars huius binarii que erat in Sorte, sed etiam cum hoc corrumpitur necessario pars que erat in me, ita quod nihil remanet de forma illius binarii. Similiter, generato Sorte, generatur binarius in me et in Sorte ita quod illius binarii apud generationem Sortis non solum generatur pars una in Sorte sed cum hoc generatur alia pars in me. Sic autem non est de unitatibus, quia unitas in me nec generatur nec corrumpitur propter generationem vel corruptionem unitatis in Sorte.
Tertio distinguuntur quia numerus formaliter et quiditative componitur ex suis partibus formalibus, sed non ex unitatibus. Similiter numerus intrinsece et essentialiter mensuratur per suas partes formales, sed non per unitates nisi extrinsece et materialiter.
Quarto distinguuntur quia in uno supposito continuo est sola unitas, tamen in eo sunt bene plures partes numerorum formales. Verbi gratia ego cum Sorte facimus binarium cuius pars est in me, similiter ego cum Platone facimus alium binarium cuius pars est in me, et sic diversorum binariorum tot partes formales sunt in me quot60 sunt corpora in mundo cum quorum quolibet ego facio binarium. Item ego cum |K: 206rb| Sorte et Platone facimus ternarium cuius pars est in me, similiter ego cum Sorte et Roberto facimus alium ternarium cuius pars est in me, et sic combinando me cum quibuslibet aliis duobus entibus, et sic etiam de quaternario et quinario et aliis numeris.
Quinto distinguuntur quia omnes unitates sunt eiusdem rationis specifice seu quiditative, non sic autem de partibus formalibus numeri, ymmo partes binarii distinguuntur specifice a partibus ternarii vel quaternarii. Dicit tamen quod omnes partes omnium binariorum sunt inter se eiusdem rationis specifice, et similiter omnes partes omnium ternariorum insimul.
Unde dicit iste ultimo quod numeri maiores et minores distinguuntur specifice sed non numeri equales.
Hec est sententia doctoris huius, contra quam cum reverentia replicabo, ut huic inde visis rationibus possit tandem in huius proposito veritas apparere. Pono igitur 11 conclusiones.
Prima est quod in me pars binarii quo ego et Sor sumus duo et pars binarii quo ego et Plato sumus duo non sunt diverse res preter animam.
Secunda conclusio est quod partes numeri non habent necessariam connexionem adinvicem sic quod una generata, alia necessario generetur, et una corrupta alia necessario corrumpatur.
Tertia conclusio est quod quelibet pars indivisibilis numeri est idem quod unitas.
Quarta conclusio est quod numerus componitur ex unitatibus et mensuratur intrinsece per unitates.
Quinta conclusio est quod numerus nihil est preter animam |K : 206va| aliud ab unitatibus.
Sexta est quod numeri maiores et minores non distinguuntur specifice.
Septima est quod nullum individuum numeri est preter animam unum per se individualiter. Et intelligo per individuum numeri hunc binarium, scilicet quo Sor et Plato dicuntur duo, vel hoc ternarium quo Sor et Plato et Robertus dicuntur tres et huiusmodi.
Octava conclusio est quod numerus pro formali suo per quod constituit speciem in predicamento quantitatis est ab anima.
Nona conclusio est quod numerus pro suo materiali non est aliud quam ipse unitates.
Decima conclusio est quod unitas continui nihil est preter animam aliud quam ipsa continuitas.
Undecima, si auderem propter inconsuetudinem, ego libenter dicerem quod numerus pro suo formali est eiusdem rationis in continuis et non continuis, in materialibus et abstractis, in divisibilibus et indivisibilibus, et universaliter in quibus anima potest percipere quod61 hoc est unum et illud est aliud.
Notes
1 Jean Celeyrette, « La Questio de puncto de Michel de Montecalario en réponse à Jean Buridan », Archives d’histoire doctrinale et littéraire du Moyen Âge, 75 (2008), p. 369-449 – édition p. 377-427. Voir aussi Id., « La problématique du point chez Jean Buridan », Vivarium, 42 (2004), p. 86-108 ; Id. « An Indivisibilist Argumentation at Paris around 1335 : Michel of Montecalerio’s Question on Point and the Controversy with John Buridan », in Christophe Grellard et Aurélien Robert (éds), Atomism in Late Medieval Philosophy and Theology, Leiden, Brill, 2009, p. 163-182. Le texte de Buridan a été édité par Vassili Zoubov, « Jean Buridan et les concepts du point au xive siècle », Medieval and Renaissance Studies, 5 (1961), p. 43-95 – édition p. 63-95.
2 Voir Cecilia Trifogli, Oxford Physics in the Thirteenth Century (ca. 1250-1270). Motion, Infinity, Place and Time, Leiden-Boston-Köln, 2000.
3 Voir Averroès, De physico auditu, dans Aristotelis opera cum Averrois commentariis, vol. IV, Venetiis apud Junctas, 1562, comm. 131, fo 202ra-vb. Ce passage est largement cité et commenté par Buridan.
4 Thomas d’Aquin, Commentaria in octo libros Physicorum Aristotelis, II, lect. 3, n 5, Opera omnia iussu impensaque Leonis XIII P. M., t. 5, Romae ex typographia polyglotta, t. II, MDCCCLXXXIV, p. 62 ; cf. A. Maurer, « Thomists and Thomas Aquinas on the Foundation of Mathematics », The Review of Mathematics, 47 (1993), p. 43-61.
5 Thomas d’Aquin, Super librum De Trinitate, qu. 5, art. 1, Opera omnia, vol. 50, Roma-Paris, Commissio Leonina - Éditions du Cerf, 1992 ; voir aussi Summa theologiae, Ia pars, qu. 85, art. 1, ad. 2, Opera omnia iussu impensaque Leonis XIII P. M., t. 5, Romae ex typographia polyglotta, MDCCCXC, p. 331 : « Species autem mathematicae possunt abstrahi per intellectum a materia sensibili non solum individuali, sed etiam communi ; non tamen a materia intelligibili communi, sed solum individuali. Materia enim sensibilis dicitur materia corporalis secundum quod subiacet qualitatibus sensibilibus, scilicet calido et frigido, duro et molli, et huiusmodi. Materia vero intelligibilis dicitur substantia secundum quod subiacet quantitati. Manifestum est autem quod quantitas prius inest substantiae quam qualitates sensibiles. Unde quantitates, ut numeri et dimensiones et figurae, quae sunt terminationes quantitatum, possunt considerari absque qualitatibus sensibilibus, quod est eas abstrahi a materia sensibili ; non tamen possunt considerari sine intellectu substantiae quantitati subiectae, quod esset eas abstrahi a materia intelligibili communi » (c’est moi qui souligne).
6 Thomas d’Aquin, Scriptum super librum Sententiarum, I, dist. 24, qu. 1, art. 2 (Corpus thomisticum) ; voir Maria Sorokina, « Numbering the Divine Persons : Mental Existence of Numbers in Duns Scotus, Henry of Harclay and Peter Auriol », Recherches de théologie et de philosophie médiévales, 87 (2020), p. 417-439, qui cite ce texte n. 4 p. 419.
7 Voir Maria Sorokina, « Numbering the Divine persons… », p. 419-420 (même si l’article est davantage centré que les textes théologiques que sur les commentaires d’Aristote) : « Theories holding extramental being of numbers seem to be widespread in the thirteenth and at the beginning of the fourteenth century ».
8 Albertus Magnus, Physica, IV, tr. iii, c. 16, éd. P. H. Hossfeld, Opera omnia, t. IV, pars I, Monasteri Westphalorum, in aedibus Aschendorff, 1987, p. 289.
9 Voir Maria Sorokina, « Henri de Harclay sur l’ontologie des nombres : à propos d’un désaccord entre Pierre Auriol et Thomas Wylton », Archives d’histoire doctrinale et littéraire du Moyen Âge, 89 (2022), p. 35-94. Cette étude montre le rôle déterminant d’Henri de Harclay dans la formulation des problématiques qui s’affrontent en théologie à propos de la nature et du statut du nombre dans les premières décennies du xive siècle.
10 On trouvera aussi quelques extraits d’autres passages dans les notes de cette introduction.
11 John Buridan, Quaestiones super octo libros Physicorum (secundum ultimam lecturam) [dorénav. Qu. Phys.], ed. Michiel Streijger & Paul J. J. M. Bakker, vol. II, Leiden-Boston, Brill, 2016, III, qu. 13 à 18, p. 122-200.
12 Voir les chapitres consacrés à Buridan dans Joël Biard et Jean Celeyrette, De la théologie aux mathématiques. L’infini au xive siècle, Paris, Les Belles Lettres, 2005, p. 253-279.
13 Jean Buridan, Qu. Phys., III, qu. 17, p. 153-165 : « Utrum omni numero sit numerus maior ».
14 Qu. Phys., III, qu. 17, p. 155 : « quandocumque in ista quaestione loquemur de numero, sive universaliter sive particulariter, non intelligimus nisi de numero magnitudinum vel continuorum vel partium suarum ».
15 Le terme se trouve notamment chez des théologiens comme Jean Duns Scot, Henry de Harclay, Thomas Wylton… (voir Maria Sorokina, « Numbering the Divine Persons… »), mais aussi déjà chez Thomas d’Aquin, In Sent., loc. cit.
16 Par exemple « binarius est centenario maior vel ternario aequalis » (p. 155), « omnis numerus est par » (p. 156), etc. Voir Hans Thijssen, « Buridan on Mathematics », Vivarium XXIII (1985), p. 55-78.
17 Qu. Phys., III, qu. 17, p. 159.
18 Aristote, Métaphysique, V, 6, 1016 b 23-27.
19 Qu. Phys., III, qu. 17, p. 160.
20 Qu. Phys., III, 17, p. 164.
21 Voir In Metaphysicen Aristotelis questiones argutissime magistri Iohannis Buridani, Venetiis, MDXVIII, liber V, qu. 4, fos XXIXvb-XXXva : « Utrum unum bene dividatur in unum numero, in unum specie et in unum genere et in unum analogia ».
22 In Metaph., IV, 7, fos XVIIvb-XVIIIva : « Utrum isti termini “ens” et “unum” convertantur quantum ad significationes suas ».
23 In Metaph., X, 1, fos LXva-LXIva : « Utrum omne mensurabile mensuratur (em. 1518 mensuretur) uno ».
24 Ibid., fo LXva : « Descendo ad numerum ».
25 Ibid., fo LXIra.
26 Les indications codicologiques données par Christoph Flüeler, « Two Manuscripts of Buridan on the Metaphysics : Paris BN Lat. 16131 and Darmstadt, Hessische La&HB, Hs 516 », Cahiers de l’Institut du Moyen Âge grec et latin, 67 (1997), p. 79-92 situent l’écriture du manuscrit entre 1336 et 1342 ; cf. L. M. De Rijk, « Introduction » à Johannes Buridanus Lectura Erfordiensis in I-VI Metaphysicam together with the 15th-century Abbreviatio Caminensis, p. LXXV-LXXIX. Malgré quelques doutes, De Rijk conclut que l’attribution à Buridan, couramment admise, est plausible.
27 Je remercie Karil Majcherek d’avoir attiré mon attention sur ce texte, et Iacopo Costa pour ses informations sur le manuscrit.
28 Le texte n’a pas de titre, celui-ci est donné par Bernd Michael d’après la première phrase, par analogie avec les autres traités polémiques de cette époque. Voir Bernd Michael, Johannes Buridan. Studien zu seinem Leben, seinen Werken und zur Rezeption seiner Theorien im Europa des späten Mittelalters, 2 Bd., Berlin, 1985, p. 444 ; Miekzysław Markowski, « Beitrag zu den polemischen Schriften des Johannes Buridan », Archives d’histoire doctrinale et littéraire du Moyen Âge, 33 (1966), p. 295-297.
29 Voir Jean Celeyrette, « La Questio de puncto de Michel de Montecalario en réponse à Jean Buridan » ; Id., « La problématique du point chez Jean Buridan », p. 86-108 ; Id. « An Indivisibilist Argumentation at Paris around 1335 », p. 166.
30 Buridan, Due questiones de universali. Le texte a été édité par Sławomir Szyller sous le titre Tractatus de differentia universalis ad individuum, dans Przeglad Tomistyczny, III (1987), p. 135-178. Nous en préparons une traduction, à paraître en 2026, sur la base de l’édition revue et corrigée par nos soins. Le titre donné par Szyller est celui que l’on trouve dans le manuscrit de Klosterneuburg. Les Defensiones sont inédites.
31 Voir Alice Lamy, « Les réductions ontologiques du nombre dans la continuité et la succession au xive siècle : l’exemple de Gautier Burley (Exposition et questions sur la Physique, L. III, IV) », dans Christophe Grellard (dir.), Mélanges de l’amitié, Paris, Vrin, 2017, p. 135-152.
32 Burley, Expositio et quaestiones in Physicam Aristotelis, III, Venetiis, 1501, fo 84va : « videtur quod numerus non sit aliqua forma nec quod numerus habeat aliquam formam. […] ideo videtur quod Philosophus et etiam Commentator velint hinc quod numerus non est aliqua res una nec aliud quam res numerate ».
33 Burley, Super artem veterem, Liber praedicamentorum, Venetiis, 1497 (repr. Minerva, Frankfurt, 1967), sign. c3vb : « ad aliam difficultatem dico quod numerus est quantitas discreta et accidens et habet esse subiective in rebus numerate ». La suite introduit toutefois des distinctions : le nombre nombré est constitué par les choses nombrées elles-mêmes ; le nombre nombrant est l’âme ; et il y a le nombre par lequel nous nombrons, lui-même pouvant être entendu de deux façons. Il peut être « transcendant » et vaut aussi alors aussi bien pour les choses matérielles que pour celles qui sont séparées de la matière ; ou il est le nombre relevant du genre de la quantité et alors il est la même chose que le nombre des choses continues distinguées en acte l’une de l’autre (ibid.)
34 Voir Cecilia Trifogli and Lauge Nielsen, « Thomas Wylton’s Questions on Number, the Instant and Time », Documenti e studi sulla tradizione filosofica medievale, 16 (2005), p. 57-117 ; Maria Sorokina, « Henri de Harclay sur l’ontologie des nombres ». Wylton fut actif à Paris de 1304 environ à 1322 (voir C. Trifogli, « Thomas Wylton », in Encyclopedia of Medieval Philosophy, Philosophy between 500 and 1500, ed. Henrik Lagerlund, Dordrecht-Heidelberg-Leiden-New York, Springer, 2011, p. 1300-1302). Le Quodlibet dont sont extraites les questions sur le nombre date de 1315.
35 Voir Thomas Wylton, qu. 1, 3e opinion, éd. cit., en part. p. 79-82. Une notion centrale pour Wylton est celle de mode réel (modus realis) dont on ne trouve pas d’équivalent, ni chez Buridan ni chez son adversaire : voir qu. 4, p. 117.
36 Ms. K, fo 205vb : « Doctor quidam reverendus determinavit de natura numeri et unitatum, cuius sententia, si breviter recolligatur, est ista ».
37 Fo 210ra-va : « Ad cuius evidentiam repeto ea que dixi alias de continuitate magnitudinis, scilicet quod duplex est eius continuitas : uno modo idem est quod extensio rei qua res secundum se totam et secundum quamlibet partem sui habet partem extra partem, et talis continuitas non aufertur a magnitudine quantumcumque dividatur, quia quantumcumque linea bipe|dalis dividatur, tanta restat extensio precise in partibus diversis quanta erat in tota linea bipedali. Et hec continuitas est essentialis magnitudini. […] Et sic credo quod unitas magnitudinis sumpta secundum huiusmodi continuitate nichil dicit in re additum magnitudini. […] Alio modo continuitas in magnitudine est idem quod copulatio partium magnitudinis ad terminum communem, vel alio modo loquendo est idem quod carentia terminorum propriorum in partibus ipsius magnitudinis, vel etiam alio modo loquendo est idem quod indivisio magnitudinis opposita divisioni que est realis separatio partis a parte. […] et sic patet quod illa continuitas accidit magnitudini nec est de essentia eius. Tamen bene fundatur in magnitudine sicut in subiecto proprio ».
38 On trouvera l’énoncé des thèses de Buridan, comme celles de son adversaire, dans l’extrait publié en annexe.
39 Ibid.
40 Buridan revient à la fin de sa détermination (fo 215ra-b) sur cette notion en discutant un passage d’Averroès, In Metaphysicam, comm. 38, ed. iunt. vol. VIII, fo 22v IK, où celui-ci distingue trois sortes de nombres : le nombre mathématique, le nombre formel et le nombre comme choses nombrées. Mais Buridan semble alors soucieux d’atténuer voire d’écarter l’idée d’une tripartition du nombre. Une première interprétation admet les trois formes mais tire le nombre formel vers l’âme : « Prima est […] quod numerus mathematicus est numerus apud animam nulli determinate rei extra applicatus, sed abstracte consideratus, sicut etiam magnitudo in geometria non consideratur ut applicata alique determinate rei naturali. […] sed numerus formalis est existens apud animam, applicatus tamen determinatis rebus, ymmo sumptus ab anima ex determinatis rebus istis vel illis. Et iste numerus dicitur formalis quia fundatur super res illas, et iste multiplicatur secundum multitudinem rerum ex quibus sumitur. Tertius est numerus pro ipsis rebus extra numeratis ab anima per huiusmodi numerum formalem ». Selon une autre exposition possible, Averroès rapporterait simplement la critique aristotélicienne des nombres comme idées séparées.
41 Fo 207ra : « nulla est ratio propter quam plura abstracta distincta loco et subiecto nullum habentia inter se ordinem nec unum habet causalitatem super alterum nec dependentiam ab altero possint tantam habere connexionem adinvicem quod uno generato alterum necessario generetur, et corrupto corrumpatur. Sed partes numeri sunt huiusmodi, igitur ».
42 Fo 206vb : « per eandem rupturam festuce, tot alie realitates abstracte generarentur in Sor et tot in Platone, et sicut de quolibet alio corpore mundi, et tunc apparet quantam multitudinem realitatum abstractarum ego possem generare quando velle in sole vel in luna etc. » Même si cet argument n’est pas propre à Buridan, on voit que sa théorie du nombre n’est pas sans rapport avec sa conception de la relation développée dans le De dependentiis, diversitatibus et convenientiis, éd. Dirk‑Jan Dekker, Vivarium 42 (2004), p. 109-149 – comme probablement dans le traité inédit De relationibus.
43 Plus loin, Buridan se réfère à Aristote et à Averroès pour confirmer qu’« une multitude d’unités n’est autre chose qu’un nombre » (fo 208va).
44 Fo 213ra : « per additionem unitatis fit apud animam alia natura individualis numeri, sed non alia natura specifica ».
45 Fo 213rb : « Item contra decimam conclusionem potest adduci auctoritas Commentatoris IV° Physicorum, ultimo commento, ubi dicit quod numerus, si fuerit equalis, est idem secundum speciem et non diversificatur per res numeratas sicut numerus diversificatur ex suis differentiis, scilicet par et impar et aliis differentiis. Ex quo innuit quod numeri maiores et minores differunt specie per suas differentias. Ad hoc dico quod ibi debemus intelligere per speciem modum, non speciem proprie dictam. Nam numeri maiores et minores sunt diversorum modorum propter additionem vel subtractionem unitatum cum aliis unitatibus, que omnes sunt eiusdem rationis, propter quod non diversificatur inde numerus secundum speciem proprie, sed secundum modum ».
46 Fo 211rb : « Ad hoc dico quod licet unum et ens sint idem essentialiter et convertibiliter in rebus de quibus dicuntur, tamen distinguuntur secundum modum ut dicit Commentator IV° Metaphysice et X°, et ille modus non est aliqua dispositio addita in re, ut ibidem dicitur. Ideo oportet quod sit per intellectum ».
47 Fo 214rb-va : « si loquimur de mensura qua comprehendimus multitudinem determinatam entium seu qua eam mensuramus, illa est ab anima pro suo esse formali. Tamen pro suo esse obiectali vel materiali vel fundamentali vel quo placet unicuique loqui, ipsa potest esse preter animam et tunc non est aliud quam res ipse indivise quecumque sint ille res, sive magnitudines sive puncta sive intelligentie »
48 Fo 211rb-va.
49 Fo 206va ; cf. dans la preuve de la dernière thèse, fo 210vb: « […] numero continuorum et numero intelligentiarum et punctorum et hominum eedem proprietates attribuuntur, scilicet par et impar, duplum et dimidium, et excedens et excessum, et huiusmodi, ergo etc.»
50 Cf. Maria Sorokina, « Numbering divine persons…», art. cit. supra n. 6.
51 Voir Due questiones de universali, e.g. ms. K 228vb : « quelibet res, sive preter animam existens sive ab anima, existit singulariter, quia non est aliqua aliarum rerum, sive ille res alie sint sue speciei sive alterius » (éd. Szyller p. 170 ; éd. révisée et trad. par J. Biard, à paraître, Vrin, 2026).
52 Voir Maria Sorokina, « Henry of Harclay…», p. 36-37; et les travaux de Karil Majcherek, e.g. « Can an Accident Inhere in More than One Subject ? A Problem for Medieval Realism about Number », à paraître; « The Form of Number : Bernard of Auvergne and His Critics », à paraître dans les Actes du colloque organisé par Clelia Crialesi, Carole Hofstetter et Maria Sorokina « Quid sit numerus ? Théories et conceptualisations du nombre au Moyen Âge et à la Renaissance », Paris, 28-29 juin 2023 (mentionné ici d’après le compte rendu par Maria Sorokina dans le Bulletin de philosophie médiévale (SIEPM), 65 (2023), p. 520-527).
53 Voir Hans Thijssen, art. cit., p. 73-74.
54 Voir Buridan, Qu. Phys., III, qu. 17, éd. cit., en part. p. 162-163.
55 Voir Hermann Pfeiffer et Berthold Černík, Catalogus codicum manu scriptorum latinorum qui bibliotheca canonicorum regularium S. Augustini Claustroneoburgi asservantur atque universitatis Pragensis asservantur, vol. II, Claustroneoburgi, MCMXXXI, p. 47-48 (reprint Forgotten books, 2019).
56 Voir https://manuscripta.at (Mittlalterliche Handschriften in Österreich).
57 ternarii] em. trianguli
58 simul] coniect.
59 in me] coniect.
60 quot] em. quod
61 quod] em. et
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Référence électronique
Joël Biard, « Jean Buridan sur la nature du nombre », Methodos [En ligne], 25 | 2025, mis en ligne le 01 novembre 2025, consulté le 08 mars 2026. URL : http://journals.openedition.org/methodos/12337 ; DOI : https://doi.org/10.4000/15c9e
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