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Trois régimes de l’objet mathématique

Jean-Michel Salanskis
p. 75-98

Résumés

L’article décrit trois statuts que l’on peut envisager en philosophie pour l’objet mathématique : le statut de point d’appui pour un discours que l’on tient par avance pour vrai (l’objet enfant de la vérité), le statut d’objet qui se présente et que l’on connaît en tant qu’il se présente (l’objet se présentant), et finalement le statut métaphysique d’objet se répétant, donnant lieu à de la différence sans concept (l’objet idéal, faisant défaut à son identité). Les trois statuts sont pris au sérieux et considérés comme correspondant à des intérêts légitimes. Dans le cours de la discussion, on croise le dilemme de Benacerraf, le débat Brouwer-Hilbert et diverses conceptions kantiennes ou husserliennes.

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Texte intégral

1Le présent article réfléchit sur l’objectivité de l’objet mathématique : sur sa manière de valoir comme objet pour nous. Dans le langage commun, objectivité s’oppose à subjectivité : est « objectif » ce qui vaut pour tout sujet, s’impose à tout sujet. Mais depuis Kant et la phénoménologie, objectivité s’entend aussi comme désignant la façon de compter comme objet d’un objet, la manière particulière dont un objet acquiert le statut et la valeur d’objet pour nous : non pas sa force ontologique d’objet auprès de nous, mais la qualité de son statut et le droit s’attachant à cette qualité.

2Nous nous intéresserons surtout aux types d’objectivité pour l’objet mathématique ayant surgi de manière récente, formulés par les courants majeurs de la philosophie contemporaine.

L’objet enfant de la vérité

3Le premier régime considéré ici est celui selon lequel l’objet est « déduit » de la vérité. La philosophie analytique contemporaine manifeste une tendance repérable à envisager de cette façon l’objet en général, et l’objet mathématique en particulier.

4Partant de propositions supposées exprimer des vérités mathématiques, on en déduit ce qui compte comme objet. Si 7+5=12 fait partie du trésor de nos vérités, il faudra sans doute accorder le statut d’objets aux nombres entiers. Au vu du fait que la mathématique contemporaine nous fournit un corpus riche et diversifié de vérités, nous sommes conduits à valider comme objets les ensembles, dont elle traite officiellement. Si une partie du discours mathématique récent s’exprime en termes de catégories, alors il faut reconnaître aussi les catégories comme objets, en dépit des réticences connues de l’équipe Bourbaki.

5Il me semble que l’on peut saisir sur le vif cette attitude philosophique, consistant à déduire l’objet de la vérité, dans plusieurs démarches célèbres de la philosophie analytique contemporaine.

6L’argument originaire de Frege soutient que nous ne pouvons pas nous défausser d’une certaine adhésion au fait que les expressions nominales de la langue désignent. Ainsi qu’il le dit, lorsque nous déclarons que « La lune est plus petite que la terre », c’est de la lune et de la terre que nous parlons, et pas de représentations nôtres (si nous avions désiré une telle référence, nous nous serions exprimés autrement). Cet argument, il me semble, justifie l’introduction d’entités désignées par nos expressions nominales simplement pour constituer un monde répondant aux vérités communes partagées : aucune philosophie n’aurait le pouvoir de se mettre en travers de telles présomptions d’objets.

7Frege a-t-il appliqué une telle vue aux mathématiques ? Son intervention la plus célèbre est celle qui apporte une définition des nombres entiers, et prétend résorber les vérités arithmétiques dans le giron de la logique. Il n’est pas si facile de juger sa démarche du point de vue de l’objectivité de l’objet.

8D’un côté, on parle souvent, à tort ou à raison, d’un « platonisme frégéen » : les objets nommés par la logique et connus d’elle sont par force « abstraits » ; or cela ne semble pas gêner Frege de poser comme existants de tels objets en plus et à côté des objets ordinaires.

9De l’autre côté, on peut observer que Frege sait d’avance quelles vérités de l’arithmétique il doit « retrouver » dans sa reconstruction logique. Il paraît donc estimer que sa « définition » des nombres entiers est la plus claire et la plus rigoureuse qui s’accorde avec le corpus des vérités arithmétiques élémentaires : n’est-ce pas dire que les objets, en l’espèce, ont été déduits de la vérité ?

  • 1 Cf. Boolos, « The Standard of Equality of Numbers », Meaning and method : Essays in Honor of Hila (...)
  • 2 Cela dit, la notion ici présentée de l’objet enfant de la vérité semble très proche de ce qui s’a (...)

10Notons cependant qu’ils l’ont été de manière plus détournée et difficile que par le simple acte de position dans l’être des référents des expressions nominales. Comme l’explique aujourd’hui le néo-logicisme, il y va dans cette approche de la détermination d’une théorie au second ordre, dont on démontre qu’elle entretient un rapport d’interprétabilité avec la théorie de Peano au second ordre PA2, souvent regardée comme formalisant les vérités de l’arithmétique1. Frege pense, au fond, identifier par leur juste catégorie ontologique les nombres entiers en se fondant sur sa connaissance des vérités arithmétiques : il les détermine comme éléments finis parmi les classes d’équinuméricité de concepts. Les objets sont peut-être, dans cette démarche, interprétés à partir de la vérité plutôt que déduits d’elle2.

  • 3 Cf. L. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, 2.15/3.032, trad. franç. P. Klossowski, Pari (...)
  • 4 Cf. B. Russell, The Philosophy of Logical Atomism, dans Marsh R.C. (éd.), Logic and Knowledge, Lo (...)

11Lorsque Russell expose sa philosophie de l’atomisme logique, il paraît lui aussi partir des propositions atomiques auxquelles correspondent des faits atomiques. Ces derniers mettent en jeu des objets dont ils sont la configuration, qu’ils présentent dans une certaine connexion (ainsi que l’explicite sans doute le mieux Wittgenstein3). De nouveau, on a l’impression que l’analyse décrite par l’atomisme logique a mis au jour les vérités les plus élémentaires de notre connaissance, puis en a déduit les objets de base de celle-ci, simplement en introduisant dans l’être les dénotés des termes t1, …, tn intervenant dans les propositions atomiques de la forme R(t1, …, tn)4.

12Si nous examinons maintenant l’argument d’indispensabilité de Quine, il affiche la même structure : les théories physiques sont regardées comme revendiquant la vérité et nous persuadant sans peine de la leur accorder ; dès lors, si les théories mathématiques leur sont indispensables, on devra faire crédit aux objets nommés dans ces théories, en tant qu’ils sont « déjà » mobilisés par l’énoncé de la vérité physique. Dans ce raisonnement de nouveau, les objets sont enfants de la vérité.

13Il faut aussi évoquer, dans l’affaire ici discutée, le dilemme de Benacerraf. Dans un article ayant fait date, Benacerraf observe d’un côté que nous voudrions aligner la vérité mathématique sur la forme sémantique classique systématisée au début du xxe siècle par Tarski, et donc regarder le discours mathématique comme disant le vrai à propos de certains objets. Mais, remarque-t-il de l’autre côté, de tels objets ne sauraient avoir aucune inscription dans l’espace et le temps : comme ils échappent à toute saisie sensible, nous ne comprenons pas vraiment comment nous pourrions avoir avec eux une accointance nous rendant capable de dire le vrai à leur sujet. Ce dilemme a pris une fonction organisatrice dans l’histoire récente de la philosophie analytique des mathématiques : on classe les diverses propositions comme autant de réponses au dilemme.

14Le dilemme, comme tel, détermine-t-il l’objet comme enfant de la vérité ? On peut soutenir qu’au contraire il avoue expressément le besoin nôtre d’un objet « antérieur » à la vérité mathématique (dictant celle-ci à la limite). Pourtant, le mouvement de réflexion du dilemme part de la vérité mathématique, paraissant découvrir ex-post qu’elle « devrait » être commandée par un objet. Et finalement, le dilemme met en lumière la difficulté qui est la nôtre pour désigner et caractériser un objet mathématique remplissant sa fonction d’antériorité régulatrice pour la vérité. Comment le dilemme joue par rapport à la figure de l’objet comme enfant de la vérité, c’est peut-être ce dont nous pouvons mieux juger en regardant les réponses apportées au dilemme.

  • 5 Cf. M. Panza et A. Sereni, Introduction à la philosophie des mathématiques, Paris, Flammarion, 20 (...)

15Sans prétendre le moins du monde procéder en l’espèce à une enquête exhaustive, qui passe largement mes compétences, il me semble pertinent d’évoquer ici la démarche de Linsky et Zalta. Ces derniers prétendent répondre au dilemme en comprenant les mathématiques comme connaissance d’objets abstraits, et en jetant les bases d’une « ontologie des objets abstraits », abordés par eux à travers ce qu’ils appellent l’Object Theory. Je tire mes informations sur leur travail exclusivement de l’ouvrage récemment paru de Panza et Sereni5.

16Ce qui nous intéresse est d’abord le fait que, sur la voie d’une détermination de principe de l’objet mathématique, ils prennent pour notion première celle de proposition mathématique : ils la considèrent comme donnée (dans l’histoire, a-t-on envie de dire). Que la proposition mathématique vienne ainsi avant l’objet mathématique place déjà les éléments portant la vérité des mathématiques comme premiers par rapport à ce dont ils diraient la vérité. Pour aller un peu plus avant, disons que Linsky et Zalta définissent ensuite la notion de théorie mathématique, puis enfin identifient les objets d’une telle théorie. L’ouvrage de Panza et Sereni montre leur manière de faire sur l’exemple de la théorie PA2, mentionnée plus haut.

17Rappelons rapidement que, dans l’approche de Linsky et Zalta, les objets abstraits codent des faisceaux de proposition, et qu’à toute proposition est associée une propriété, celle en substance d’être membre d’un monde satisfaisant la proposition. En telle sorte que la multiplicité usuellement envisagée comme ce qui satisfait une théorie devient chez eux la collection des objets possédant les propriétés associées aux axiomes de la théorie en cause : cette manière de dire ne met pas en scène l’intuition ou la référence atteignant de tels objets, elle insiste plutôt sur les propriétés qu’ils satisfont. Panza et Sereni décrivent leur manière d’introduire les objets mathématiques, en l’espèce les nombres entiers naturels à partir de PA2, dans les termes suivants :

  • 6 Ibid., p. 348.

[…] les nombres naturels définis dans PA2 sont identifiés dans l’Object Theory aux objets abstraits dont chacun code toutes et seulement les propriétés propositionnelles construites à partir de la reformulation, dans ce langage, des théorèmes de PA2 qui concernent cet objet6.

18De tels objets sont donc assimilés à la vérité théorique ayant cours à leur sujet : ils codent les propriétés associées aux propositions déployant cette vérité. Il n’est dès lors pas surprenant que le dilemme de Benacerraf se dissolve :

  • 7 Ibid., p. 350.

[…] le dilemme de Benacerraf se dissout tout simplement. Il a pour réponse triviale que nous connaissons les objets mathématiques dans la mesure exacte où nous les définissons7.

19Certes : la connaissance des objets est incluse dans leur définition et mobilisée par elle. Mais cela revient à dire que l’on accepte que la vérité dispensée sur les objets soit première, et que les objets eux-mêmes en dérivent, par le détour logico-métaphysique subtil que trace l’Object Theory. Dans ce cas au moins, la volonté de répondre au dilemme de Benacerraf n’a pas conduit à une vue philosophique fondamentale de l’objet autre que celle dont traite la présente section.

L’objet se présentant

20Les approches que nous venons d’examiner fournissent une exposition organisée des vérités mathématiques, mais elles ne nous permettent pas de les justifier comme vraies suivant notre notion la plus générale et la plus spontanée de la vérité.

21Les conceptions faisant de l’objet l’enfant de la vérité inversent en effet le circuit métaphysique fondamental, selon lequel le discours vrai doit venir après l’objet dont il traite. De la sorte, elles passent par-dessus un « moment » dont on peut prétendre qu’il compte évidemment dans la pratique mathématique : celui où l’on « présente » l’objet. Les mathématiciens, qui ne sont en général pas d’abord philosophes, demandent à comprendre le jeu auquel on les invite, et cela comporte le fait d’avoir reçu et accepté une « présentation » de l’objet dont on va traiter.

22En d’autres termes : si l’on veut « justifier » la vérité mathématique au-delà de la forme théorique et de sa rectitude, il faut que l’on se soit mis d’accord sur un moment de l’accès à l’objet. Il faut que soit claire la manière dont on accède à cet objet, afin de pouvoir le prendre comme support d’assertions donnant lieu à vérification. Est-il permis de rappeler que donner comme condition à toute réflexion sur l’objet une compréhension de notre accès à lui correspond au programme phénoménologique lui-même ? Je le mentionne pour celles et ceux que cela pourrait éclairer.

23Ce qui me fait redouter l’impact d’une telle observation est le fait que l’esprit analytique contemporain a guerroyé avec intensité et sous toutes les latitudes contre la part phénoménologique de la pensée, la réduisant à la relativité de la conscience privée, où à un mythe insaisissable. Il me semble pourtant bien difficile de l’évincer pour de bon, du moins si nous tenons à la justification du savoir (à la justification de la vérité).

24Qu’est-ce qu’une justification, en effet, sinon un ensemble de raisons susceptible de me rallier à une vérité en tant que mienne ? Qui peut être juge du caractère bien fondé et bien assis de mon discours de connaissance, sinon moi-même, au nom de ce que j’éprouve ? Pouvons-nous concevoir une justification objective ? Celle-ci devrait dire « Notre énoncé P est vrai du réel R en raison de telle configuration objective C mettant en rapport P et R » ; mais elle prendrait donc l’énoncé de C comme vrai par-delà toute justification, d’où une régression infinie. La théorie philosophique de la vérité doit forcément se donner un point d’arrêt subjectif contingent, en se référant à un éprouver subjectivement présumé intersubjectivement constant : celui-ci garantit pour nous la connaissance, au sens où nous ne concevons pas celle-ci indépendamment de l’accès indiqué par cet éprouver et du type de certitude inclus en lui.

25Si, donc, on exige que l’objet mathématique nous ait été présenté, pour jouer ensuite le jeu de sa détermination mathématique, quelles figures de l’objet mathématique sont-elles disponibles ?

L’objectivité constructive

26La première de ces figures est celle de l’objet constructif. J’entends par là l’objet membre d’une classe définie par une clause récursive : nous sont donnés des éléments primitifs de la classe et des règles de fabrication permettant de « construire » un nouvel élément à partir d’un certain nombre d’éléments donnés de la classe. On considère – c’est attesté comme jeu joué par les mathématicien(ne)s les un(e)s avec les autres – que dans ces conditions nous accédons à l’horizon des objets se laissant construire suivant cette clause. Nous appliquons les règles de fabrication indéfiniment, aux éléments primitifs en premier lieu, puis au fur et à mesure à ce qui a déjà été construit : nous comprenons suffisamment la notion de « tout ce qui se laisse ainsi construire ».

27Il faut ajouter à ce qui précède, il est vrai, une clause de finitude : une règle de fabrication est supposée agir sur un nombre fini d’éléments donnés, et ce que nous appelons objet construit selon la clause est dans notre esprit un objet obtenu à l’issue d’un nombre fini d’applications des règles de fabrication.

28Y a-t-il, en l’espèce, un cercle vicieux ? Comme la présentation des objets constructifs possède une prétention fondationnelle, on peut avoir le sentiment qu’elle ne devrait pas présupposer le fini. Après tout, la logique et les mathématiques contemporaines ont mis au jour une certaine relativité du fini, voire dégagé une énigme du fini : on pense ici, au moins, au théorème de Löwenheim-Skolem et aux modèles non standard de l’arithmétique, incluant des entiers « finis » du point de vue de leur rôle mais infiniment grands du point de vue d’un regard externe.

29À vrai dire, on se contente, lorsqu’on évoque la finitude des constructions, de la compréhension commune du fini : sont finies les collections que nous savons superviser, et une procédure que nous savons achever possède un nombre fini d’étapes. Au-delà, nous idéalisons, en parlant d’une collection qu’un agent idéal prolongeant nos pouvoirs saurait embrasser, ou d’une procédure dont nous anticipons l’achèvement par la même sorte d’agent. Cette définition croise en fait le mode inductif de raisonnement (on pense le fini universellement à partir de ses exemples) et le mode idéalisant reçu en héritage de Platon (on pense le fini comme une catégorie une et invariante dont chaque cas est une occurrence, c’est-à-dire comme une idée).

30Quelque part, cette conception du fini enveloppe aussi quelque chose comme le schématisme kantien : nous acceptons comme objet de la classe définie par clause récursive un objet que nous ne savons pas vraiment expliciter, au sens où nous ne savons pas former l’arbre racontant sa construction, mais dont nous « voyons a priori » la construction comme allant à son terme dans le respect des règles. C’est-à-dire que nous subsumons de manière anticipative sa construction sous le « schème de la fabrication ». La formulation par le schème correspond ainsi à une tentative de dire « par en bas » ce que dans la formulation par l’idée nous disons « par en haut ».

31Libre à tout esprit de ne pas se satisfaire de cette détermination embarrassée du fini. Reste que, de toute manière en quelque sorte, nous avons à en passer par elle. Ce que nous appelons démonstration dans un système formel relève en effet de la notion de construction gouvernée par cette notion du fini. Les disciplines formelles contemporaines acceptent comme arbitre ultime la notion de preuve formelle : on estime avoir dit quelque chose d’intersubjectivement stable et vérifiable lorsque l’on affirme que X a été déduit dans le système T (|–X). Or cela veut dire que X a été obtenu comme théorème dans le système T, c’est-à-dire qu’il est un membre licite de la classe constructive des théorèmes : la classe des formules engendrées à partir des axiomes au moyen des règles d’inférence. On ne peut pas supposer ici le concept de fini régulant la notion de construction spécifié par une théorie supplémentaire externe à ce dont on parle, sauf à abandonner la valeur fondationnelle de la notion de preuve formelle, ce que, selon ce que j’observe, personne ne souhaite. Par suite, une preuve formelle doit être en général quelque chose que nous pouvons reconnaître comme élément de la classe constructive des preuves, c’est-à-dire que nous devons savoir « partager » la conviction de sa finitude.

32L’acquis des disciplines formelles contemporaines paraît alors le suivant : les entités intervenant dans les systèmes formels d’un côté, l’objet élémentaire de l’arithmétique de l’autre côté relèvent ou peuvent relever de cette notion d’objet constructif.

33La notion de terme d’un langage formel est introduite par une clause récursive [(i) une variable ou une constante du langage est un terme ; (ii) si t1,…,tn sont des termes et si f est un symbole fonctionnel à n arguments, f(t1,…,tn) est un terme]. De même la notion de formule, et celle de preuve comme nous venons de le dire.

34Un nombre entier naturel se laisse définir par la clause récursive suivante, plutôt fameuse :

(i) l’inscription vide est un entier naturel.

(ii) si A est un assemblage symbolique comptant comme entier naturel, alors l’assemblage | est à nouveau un assemblage symbolique comptant comme entier naturel.

35L’intérêt philosophique de cette notion de la présentation de l’objet mathématique est alors pluriel.

  • 8 Cf. E. Husserl, Idées directrices pour une phénoménologie, trad. franç. Paul Ricœur, Paris, Galli (...)

361) La figure de l’objet constructif établit un pont entre la mathématique et la branche phénoménologique de la philosophie. Un objet constructif, en tant que membre d’une classe définie par une clause récursive, renvoie à un parcours existentiel de construction : un agent a dû conduire la construction en sélectionnant les objets primitifs qu’il mobilisait, et les règles de fabrication qu’il faisait jouer. L’historique de ce jeu libre dans le cadre de la clause récursive est récapitulé par l’arbre de construction de l’objet. L’objet apparaît, selon ce récit, comme ce qu’un parcours d’existence a mis au jour : il serait ce qui est visé comme tel dans la structure exhibée par son arbre de construction. L’objet est ainsi pris en charge par une intuition qui accueille « l’objet-se-présentant », tout en étant pour une part active puisqu’elle configure l’accueil en cause. Une telle conception de l’intuition est de tradition kantienne, et nous en avons une formulation importante interne à la phénoménologie avec les structures noético-noématiques au sens de Husserl8. Je pense qu’on trouve au moins des tentatives pour penser une intuition active configurante dans d’autres démarches, philosophiques ou extra-philosophiques, mais je ne me sens pas tenu de les évoquer et les examiner ici. Ce qui m’importait était de noter qu’une telle sorte d’intuition, connue de la phénioménologie, était impliquée dans la pensée de la présentation constructive.

  • 9 Cf. par exemple L.E.J. Brouwer, « Conscience, philosophie et mathématiques », trad. franç. Jean L (...)

37Il se trouve cela dit que Brouwer, dans ses discours fondateurs « inventant » la présentation constructive en quelque sorte, souligne le rôle de la conscience : elle est pour lui le terrain originaire et l’acteur originaire de la construction, au titre de ce qu’il appelle attitude temporelle. La règle de fabrication, dans sa vision, est unique, elle est celle de la division d’un moment en un avant et un après, de la bifurcation du présent produisant une dyade. L’objet primitif pourrait être le moi reposant en lui-même dans son moment clos. Selon une telle clause, la conscience élabore en elle-même les objets mathématiques originaires, arbres temporels procédant de la dyade et de sa réitération9. Les objets mathématiques sont ainsi abordés comme les noèmes d’une noèse « constructive ».

  • 10 Cf. J.-MSalanskis, Modèles et pensées de l’action, Paris, L’Harmattan, 2000, p. 195-200.

38Comme nous le disions déjà un peu plus haut, l’intuition de ces objets est action en même temps qu’intuition, c’est d’ailleurs ce qu’avoue le substantif construction. Je construis un objet membre d’une classe introduite par une clause récursive lorsque mon existence épouse l’arbre de sa construction, gagnant l’intuition de cet objet dans sa structure. Réciproquement, intuitionner un tel objet c’est activer en soi le parcours de sa construction. Je construis en tant que j’intuitionne et j’intuitionne en tant que je construis. Les adversaires philosophiques de la notion d’intuition entendent le plus souvent celle-ci comme la réception passive par la conscience d’un donné externe faisant leçon, et trouvent donc que l’intuition du constructivisme déroge à un tel modèle, étant intuition/action. Mais la phénoménologie transcendantale de Husserl juge que toute catégorie objective correspond à un « protocole intentionnel » déterminant un mode actif de l’intuition : l’objet constructif peut donc être intuitif en un sens husserlien10, comme nous le suggérions tout à l’heure.

39On peut d’ailleurs ajouter que l’objet constructif détermine le type du savoir mathématique le concernant, conformément au motif transcendantal de la phénoménologie. Selon cette dernière en effet, rappelons-le, à toute espèce d’objet correspond une manière de connaître pré-tracée ou guidée par le mode fondamental de donation correspondant. Or justement, la connaissance constructive – à laquelle Brouwer a pu vouloir limiter la mathématique – est censée être une connaissance des objets mathématiques en tant que constructions : elle procède soit en raisonnant par récurrence sur la construction des objets, soit en se référant au schème d’une construction générale pour conclure à partir de notre vision d’un tel schème.

40Notons – pour conclure ce point 1) – que la notion d’objet de présentant de façon constructive a été étudiée ici indépendamment de toute assomption du projet Brouwerien d’une mathématique s’en tenant strictement à l’objet constructif et à l’intuition constructive : l’idée est plutôt que nous avons là une modalité de la présentation des objets sur laquelle les praticien(ne)s de la mathématique s’accordent, simplement. À nos yeux, toute mathématique compte, implicitement ou explicitement, avec ce partage primitif.

412) La deuxième vertu philosophique de cette figure de l’objet mathématique a déjà été indiquée, même si nous ne sommes pas allés jusqu’au bout : elle lie profondément l’objet mathématique avec les structures du langage, et propose du coup une résolution triviale, par dégénérescence, du dilemme de Benacerraf.

42Un aspect de ce dilemme, présenté plus haut, est qu’il semble nous faire revenir au problème épistémologique de la philosophie moderne, se demandant comment les sujets que nous sommes entrent en relation avec le réel qu’ils prétendent connaître. La réponse traditionnelle était : ils le font en se fondant sur les phénomènes qu’ils ont de toute réalité. Or la philosophie analytique a renversé ce « phénoménisme ». Pour elle, la situation originaire est celle d’un sujet parlant, c’est-à-dire en fin de compte d’une instance langagière sur le point de risquer des énoncés revendiquant la vérité.

43On ne saurait donc, pour se poser le problème de Benacerraf, partir du sujet de la philosophie moderne : il faut plutôt se demander, dans le cas qui nous intéresse, si un agent linguistique a – comme tel – la faculté de dire le vrai sur des objets se présentant selon le mode de l’objectivité constructive.

44C’est le moment de rappeler que, nous l’avons observé, le format de l’objectivité constructive est partagé par les constituants fondamentaux des langages formels et par les entités élémentaires pour la mathématique que sont les entiers naturels (vus de façon constructive) : les uns et les autres se « présentent » de la même manière, comme des constructions habitant les classes de constructions licites proposées par une clause récursive.

  • 11 Tel que présenté, notre argument semble lié à la notion de langage formel, opposée à celle de la (...)

45Par suite, la réponse à la question soulevée à l’instant s’impose. L’instance dont émane l’activité énonciative prétendant à la vérité ne saurait ignorer la structure du système linguistique où elle puise les ressources de sa manifestation. Or, toute classe définie par clause récursive à partir d’éléments primitifs symboliques habite nativement le milieu dans lequel baigne l’usager des langages formels comme tel. Un tel format est celui des collections de productions typiques de l’agent de ces langages. Que ce dernier sache dire la vérité de l’objectivité constructive fondamentale, par exemple l’objectivité arithmétique, s’avère donc simplement garanti par la structure spéculaire : l’instance énonciatrice, par excellence l’agent d’un système formel, est a priori en mesure de redoubler l’objet constructif dans sa structure, déployant au sein du champ formel-langagier la réplique de ce qui fait face comme construction mathématique. Le problème de Benacerraf ne se pose pas, parce que le sujet n’est pas une conscience phénoménale et l’objet n’est pas une réalité spatio-temporelle ordinaire : l’un et l’autre sont en quelque sorte des manifestations symboliques équivalentes11.

46Pour revenir à l’exemple auquel Kant a donné ses lettres de noblesse, 7+5=12 comme fait arithmétique est « rattrapé » par une preuve formelle dans PA qui utilise 5 fois l’axiome x+Sy=S(x+y) : celle-ci, donc, redouble en elle-même le procès intuitif dépeint autrefois par Kant, synthétisant a priori douze à partir de 7 et de 5. Nous comprenons donc sans peine sur le plan fondationnel l’accès du sujet de la connaissance à l’objectivité regardée comme constructive : ce sujet est une instance agissant dans le même milieu, en mesure de redoubler ou répliquer pour son compte les structures élémentaires de l’objet.

  • 12 G. Longo dit que les principes de preuve ne capturent pas les principes de construction (cf. F. B (...)
  • 13 Une observation, néanmoins : lorsque la logique de Heyting déclare offrir une technologie inféren (...)

47Bien entendu, on aurait tort de comprendre ici que la mathématique constructive – dût-on se limiter à elle – s’égale à un tel redoublement spéculaire de l’objectivité constructive. Nous installons dans le champ de l’objectivité constructive des opérations et des synthèses qui excèdent largement les modes structuraux de la preuve formelle12. Cela fait surgir, du côté de l’objectivité constructive, ce que l’on connaît sous le nom de complexité. Sur le plan philosophique, il ne suffit donc pas de comprendre l’accès à l’objet se présentant sur le mode constructif (comme nous venons de le faire) : il faut prolonger cette compréhension à une interprétation plus générale de ce qu’on peut appeler la « vérité constructive », qui saisit également la complexité de l’objet ; expliquer comment et à quel titre cette saisie peut se prétendre fidèle à la figure primitive du « redoublement spéculaire » ; je m’abstiens ici d’examiner plus avant cette question13. L’intelligence mathématique, en tout état de cause, hérite de la mission de déchiffrer, contrôler, classifier et dominer la complexité, qui n’est pas d’emblée mimétique de nos formes de preuve. L’expérience humaine est qu’elle a déployé en la matière, au fil des siècles, un trésor d’idées et d’ingéniosité.

L’objectivité corrélative

48L’inclusion de l’infini dans la pensée mathématique, croyons-nous savoir, est venue par Cantor et Dedekind, mettant au centre la figure de l’ensemble. Si l’objet mathématique est compris comme l’ensemble – ce statut étant supposé englober ceux traditionnels du nombre et de la figure – la question de la présentation devient celle de la présentation des ensembles. Les ensembles se présentent-ils à nous, avons-nous avec eux une accointance fondamentale, nous permettant d’élaborer et d’articuler la vérité à leur sujet ? Vis-à-vis de cette question l’infini pose problème : il semble excessif de dire qu’un ensemble infini se présente à nous.

49Un ensemble infini nous oppose en effet la difficulté décrite dans la philosophie kantienne comme celle du sublime : nous avons la capacité de « composer » une perception des collections finies, mais seulement jusqu’à un certain seuil, dont nous pouvons faire l’expérience. Un ensemble rassemblant en lui une infinité d’éléments se tient en revanche par principe au-delà de toute collection finie, même imaginée dépassant les capacités compositionnelles contingentes de l’organisme perceptif qui est le nôtre. Dire qu’un ensemble infini ne saurait se présenter, d’ailleurs, semble la même chose que dire qu’il n’est pas une construction.

50On peut prétendre que notre familiarité avec la notion d’ensemble est indifférente à cette difficulté, soutenir que nous « voyons » assez bien, à notre manière non perceptive, les ensembles même infinis. Cantor a plus ou moins assumé une telle attitude.

51Pourtant, on le sait, cette première pensée dite « naïve » d’ensembles pris comme intuitifs en dépit de leur éventuelle infinitude a conduit à des contradictions, en telle sorte qu’on a dû axiomatiser la théorie des ensembles.

52Le problème est alors de savoir ce qu’est devenu, dans la foulée, le statut présentatif des ensembles. Selon un commentaire souvent donné, il aurait disparu. Cette évaluation est fortement liée à une « réprobation de l’intuition » que l’on peut aisément comprendre. Le récit sous-jacent est le suivant : on avait coutume, en mathématiques, de se fier à une intuition spatiale réputée parfaite et incapable de nous tromper. Mais il est apparu que le postulat d’Euclide, quoique semblant l’énoncé d’une évidence intuitive, pouvait être logiquement mis de côté. L’idée d’une géométrie axiomatique a fait son chemin, et sont apparus des possibles plus nombreux que prévu. De même les notions d’élément, d’ensemble, d’appartenance et d’inclusion pouvaient apparaître comme motivant une intuition incontestable. Mais ces intuitions nous ont conduit à la contradiction, de plusieurs manières. En passant à une version formalisée/axiomatisée de la théorie des ensembles, on espère se débarrasser (enfin) de toute « conviction » intuitive.

53Pourtant, le rapport de la théorie formelle des ensembles ZFC à la théorie naïve dans laquelle Cantor s’était engagé n’est pas un rapport de révocation et de négation. Les axiomes de ZFC sont choisis tels que chacun d’eux confirme à vrai dire l’« intuition » de l’appartenance et des ensembles. Les schémas de compréhension et de remplacement se contentent de fixer un droit limitant les actes de collectivisation d’un ensemble ou d’introduction d’un ensemble via une relation fonctionnelle. Ces schémas ne révoquent pas l’intuition antérieure, ils lui octroient un espace de jeu légitime.

  • 14 Cf. les propos d’Alain Connes dans J.-P. Changeux et A. Connes, Matière à pensée, Paris, Odile Ja (...)

54D’où le fait que pour l’esprit mathématicien, ZFC n’est pas non-intuitive parce que formelle, mais intuitive et formelle : la charpente formelle fixe sans doute un recours juridique pour les preuves, mais elle n’abroge pas le rapport intuitif/instinctif du mathématicien à son monde mathématique. Les bons mathématiciens continuent d’être ceux qui « voient » la droite réelle plus intensément et mieux que le commun des mortels, ou qui sont capables de sentir l’harmonie d’un monde mathématique découvert par leur travail et structuré par leurs théorèmes14.

55Une manière simple de rendre compte de cela est simplement de prêter une puissance intentionnelle (au sens de la phénoménologie) à la stipulation ZFC : nous allons même plus loin en faisant comme si la simple énonciation – verbale ou scripturale – de la liste des axiomes de la théorie formelle des ensembles avait, par une sorte de magie métaphysique, suscité un « monde » d’objets satisfaisant son texte. La stipulation axiomatique nous aurait même mis en prise sur le monde mathématique, nous dotant de pouvoirs en son sein. L’énoncé des axiomes de groupe suffit par exemple à ce que nous nous vivions comme ayant le droit de simplifier dans les groupes. L’énoncé des axiomes de ZFC suffit à ce que, disposant d’un ensemble, nous sachions former son ensemble des parties.

  • 15 Cf. à ce sujet J.-M. Salanskis, Philosophie des mathématiques, Paris, Vrin, 2008, p. 79-88.

56La stipulation axiomatique est reçue comme mettant en scène ou convoquant une multiplicité – éventuellement fictive – d’entités satisfaisant la liste de thèses incluse en elle. Les ensembles acquièrent ainsi un statut plus fort que celui d’objets intentionnels au sens husserlien : ils sont également les corrélats d’une pratique ouverte, explorant le monde mathématique en son infinité comme la pratique humaine explore le monde « réel ». Nous ne sommes pas, vis-à-vis de l’univers des ensembles convoqué par la stipulation ZFC, dans la pure contemplation de ce qui serait une « fiction de monde » : nous nous interprétons plutôt comme jetés dans le monde stipulé, dotés de pouvoir pour une action en son sein, et engagés dans la découverte des horizons proposés par lui. Pour celles et ceux que cela aide, on peut résumer cette évocation en disant que nous sommes vis-à-vis de l’univers des ensembles comme le corps de l’être-au-monde merleau-pontien15 est vis-à-vis du monde sensible ordinaire.

  • 16 Tradition orale.

57Bien sûr, on peut toujours être un formaliste strict est n’accorder aucun crédit aux ensembles, affirmant, comme le regretté Robert Lutz l’exprimait « Il n’y a pas d’ensembles dans la théorie des ensembles »16. Mais alors, on perd le droit de s’étonner du théorème de Löwenheim-Skolem, de l’existence de modèles dénombrables de la théorie des ensembles ou de modèles non-standard de l’arithmétique : ces résultats sont ramenés à des faits syntaxiques par rapport auxquels aucune anticipation n’avait la moindre légitimité.

58Et, pire, on dément la manière dont chaque jour, des mathématiciens enseignent les mathématiques, vivent le monde mathématique, ou parviennent à des descriptions plus riches et plus profondes de ce monde : tout cela fonctionne, il me semble que les témoignages à ce sujet seraient convergents, par rapport à l’« hallucination » partagée d’un monde au sein duquel, de plus, on s’éprouve comme gambadant et bâtissant. Ce monde, qu’on peut et doit peut-être en un sens décrire comme non « donné », paraît frétiller dans notre expérience comme le monde sensible selon la phénoménologie de l’être-au-monde.

  • 17 Husserl nomme le principe au §48 de son ouvrage tardif Krisis (E. Husserl, La crise des sciences (...)

59Le mode correspondant de l’objectivité, je l’appelle mode de l’objectivité corrélative. D’une part, je veux rappeler avec cette terminologie que les objets en cause sont supposés « connus » uniquement comme satisfaisant collectivement la stipulation axiomatique : ils sont purement et simplement pris et compris comme corrélatifs de celle-ci. D’autre part, cette terminologie assume une sorte de clin d’œil en direction de la phénoménologie transcendantale husserlienne : on sait que Husserl formule dans son exposé l’idée de l’a priori universel de la corrélation, ce qui signifie chez lui que toute configuration visée du côté de l’intentionné comme tel (du côté noématique) possède par essence une contrepartie mimétique du côté de l’action intentionnelle (du côté noétique)17.

60Dans le cas de la stipulation axiomatique, il n’y a pas une telle symétrie. La structuration interne d’un univers des ensembles n’est pas « mimée » du côté des agencements syntaxiques du langage de ZFC, par exemple, loin s’en faut. On peut même dire que l’écart abyssal entre les deux donne tout son sel à l’effort intelligent de la mathématique : elle ne cesse d’œuvrer à l’élaboration de stratégies de description et de preuve afin de « rendre compte » d’un monde qui excède largement le plan de son discours.

61Le mimétisme de l’a priori universel de la corrélation correspond plutôt à ce que nous avions dans le moment précédent, avec l’objectivité constructive : les objets de l’objectivité constructive sont par essence et par définition, à la base – avant la complexité en quelque sorte – dans un rapport mimétique avec ce qui se déploie du côté des langages formels mobilisés. Nous avions excipé de cette spécularité pour argumenter que le problème de Benacerraf ne se posait pas, à un premier niveau, au plan de l’objectivité constructive.

62En revanche, conformément à la tradition de la phénoménologie transcendantale, une voie imposée de la connaissance correspond au mode de présentation de l’objet qui est celui de la stipulation axiomatique. Je ne puis acquérir une vérité au sujet des objets selon l’objectivité corrélative autrement que par la voie de la preuve formelle dans le système déductif « stipulant » : la preuve formelle dans ZFC pour les ensembles.

63Tirons le bilan : l’objet mathématique peut être pris comme se présentant, comme nous ayant été introduit par une procédure plus ou moins rituelle. Nous avons vu deux manières d’une telle présentation : la manière de la clause récursive, et la manière de la stipulation axiomatique.

64On peut rattacher à la phénoménologie comme courant philosophique historique ce statut de l’objet « se présentant », même s’il convient alors de noter en même temps ce qui déroge au modèle phénoménologique, dans le second cas au moins : pour l’objectivité corrélative, la projection intentionnelle passe par un texte et non par une configuration de conscience, même si l’être-au-monde résultant garde quelque chose d’existentiel.

L’objet idéal, ou faisant défaut à son identité

65Il y a une troisième manière d’envisager l’objet mathématique, correspondant à un autre regard philosophique : on s’intéresse, cette fois, à la place des objets dont traite la mathématique au sein du système absolu des êtres.

66On peut partir, pour ce troisième temps d’exposition, d’une remarque kantienne à nouveau. Dans l’amphibologie des concepts de la réflexion, on le sait, Kant débat profondément avec Leibniz.

  • 18 Principe qui s’écrit à peu près comme suit : [(∀P P(x)↔P(y))→(x=y)], P désignant une propriété ar (...)
  • 19 Kant écrit : « Assurément, si je connais une goutte d’eau comme une chose en soi, d’après toutes (...)

67Kant observe que le principe des indiscernables18, auquel il est naturel d’adhérer pour les objets que pense la métaphysique, est mis en défaut par les objets de la géométrie. Selon l’exemple kantien, deux phénomènes spatiaux arrivent à se distinguer sans que nous puissions nommer une propriété conceptuelle que la chose sous-jacente à l’un possèderait et celle sous-jacente à l’autre non. Ils diffèrent par la position, mais justement nous comptons la différence de position comme indifférente vis-à-vis de l’essence achevée des entités concernées : les propriétés de position s’ajoutent à des substances complètement caractérisées avant elles19.

68Les objets mathématiques que sont les points de l’espace apparaissent ainsi comme affichant au niveau métaphysique le trait de la différence sans concept.

69Qu’entendons-nous, maintenant, par objet idéal, ou par objet possédant le statut de l’idéalité ? Simplement un objet qui ne se présente que dans ses occurrences, sans jamais coïncider avec aucune d’elles. S’associe à un tel statut le diagramme du « cône idéel » (cf. figure 1). L’idée du beau se présente dans les choses belles, mais elle est distincte de chacune d’elles (dont on dit qu’elle participe de l’idée du beau). Un symbole, comme la lettre a, serait rigoureusement l’invariant (introuvable) au-dessus des multiples écritures d’une occurrence ou d’une variante de a. Les occurrences d’un type idéal diffèrent les unes des autres, mais leur différence ne compte pas, elle est résorbée ou négligée pour les besoins de la machinerie idéalisante : à l’intérieur du régime idéal cette différence demeure sans concept.

Figure 1. Le cône idéel

Figure 1. Le cône idéel

70Tel est le double trait que nous mettons en avant désormais pour l’objet mathématique : son statut de cas d’une idéalité, et sa faculté de manifester la différence sans concept. La figure correspondante est illustrée de mille façons dans la mathématique.

71On peut commencer, pour en prendre la mesure, par revenir sur ce qui vient d’être vu, pour observer que l’objet selon l’objectivité constructive aussi bien que l’objet selon l’objectivité corrélative affichent à leur manière l’idéalité et/ou la différence sans concept.

72Dans le cas de l’objet selon l’objectivité constructive, cela résulte pour commencer du recours fait à l’ordre symbolique : les objets primitifs d’une clause récursive sont toujours des entités symboliques. Des écritures répétables, susceptibles d’être mobilisées plusieurs fois dans une construction : ainsi le bâtonnet ou le symbole | dans la construction d’un nombre entier, ou le symbole P pour une formule du calcul propositionnel comme P(QP). Les cellules de bases d’une construction sont supposées être des symboles, il en est besoin pour qu’on puisse réitérer leur convocation.

73Mais un symbole est une idéalité au vieux sens platonicien, c’est-à-dire la présumée identité invariante d’un type au-delà des occurrences qui le réalisent. Entre deux telles actualisations occurrentielles du type, il n’y a aucune différence qui compte en principe : elles interviennent comme des cas répétés, c’est-à-dire des instances relevant de la différence sans concept. La positionnalité syntaxique fonctionne ici comme la positionnalité géométrique : l’occurrence de P dans l’antécédent de P(QP) et son occurrence dans le conséquent se distinguent comme deux points de l’espace regardés à l’aune de l’argument kantien dirigé contre Leibniz.

74De plus, la différence sans concept affecte également les sous-structures par essence répétables d’une construction [ainsi PR dans (PR)(Q∧(PR))].

75L’objet selon l’objectivité constructive « pullule » en somme à partir d’un pouvoir de répétition multiforme, qui donne lieu à la complexité constructive résultant du libre enchâssement, à la limite. Il illustre de manière pure une différence sans concept procédant de l’idéalité.

76Quid, maintenant, du deuxième mode présentatif, celui de l’objectivité corrélative ? D’emblée, nous voyons que les objets en cause procèdent de leur stipulation : à défaut de se ranger directement et clairement dans le registre idéal, ils contrastent, comme objets décidés et convoqués, avec les objets perçus ou rencontrés du réel ordinaire. Examinons ces objets, maintenant, du point de vue de la différence sans concept.

  • 20 Cf. J. R. Schönfield, Mathematical Logic, New York, Addison Wesley, 1967, p. 57-61.

77Nous devons d’abord différencier, au sein de l’objectivité corrélative, les objets vulgaires et les objets distingués, en quelque sorte. Certains objets sont directement singularisés par le langage : ce dernier comporte un nom propre (une constante non logique), appelant dans la multiplicité de corrélation un individu supportant son rôle. C’est le cas de 0 pour la théorie PA de l’arithmétique formelle et de ∅ pour la théorie formelle des ensembles ZFC. Cependant, un tel statut d’objet distingué s’étend à d’autres individus de la multiplicité corrélative : soit parce que nous définissons des symboles fonctionnels élargissant le langage (par un axiome énonçant l’existence et l’unicité de l’image, donnant lieu à une théorie conservative sur la théorie de départ20), soit parce que nous caractérisons des objets dans la théorie, rendant possible l’adjonction d’une constante non logique qui les nomme, ce qui conduit à nouveau à une extension conservative. Nous introduisons ainsi, dans notre discours sur les ensembles, des objets comme {∅,{∅}}, R ou L2(R3, C).

  • 21 Cf. G. Choquet, « Le Continu, le Discret, et … Tout le Reste », dans J.-M. Salanskis et H. Sinace (...)

78En vertu d’une telle pratique la multiplicité corrélative se divise entre des éléments désignés, paraissant jouir de la même singularité qu’on attribue aux choses réelles, et des éléments non désignés, constituant le gros des troupes. Ces derniers se contentent pour ainsi dire d’assurer le « lien social », de contribuer à l’être-satisfait des axiomes : je reprends la métaphore du « lien social » à Gustave Choquet, qui présentait ainsi21 la fonction des nombres réels non distingués, dont la suite des décimales ne se laisse pas caractériser par un algorithme producteur. Déjà, à ce stade, on est tenté de dire que les éléments de ce « gros des troupes » entretiennent une différence sans concept : on peut attribuer à leur meute globalement une cardinalité, mais par définition le discours ne les relève pas individuellement dans leur exceptionnalité (pour des raisons de principe il ne saurait le faire pour tous, pas même pour une fraction substantielle dès que le multiple correspondant est assez vaste).

79Mais à vrai dire la situation est plus radicalement défavorable au principe des indiscernables que je ne viens de le dire. Il faut compter en effet avec l’intérêt structural de la mathématique ensembliste. En liaison avec la démarche axiomatique, et comme il apparaît avant même que le mouvement de formalisation ne s’accomplisse, le passage à la vision ensembliste de l’objet mathématique est inséparable du privilège accordé aux identités structurales : ce qui nous intéresse n’est pas ce corps ordonné R que nous pouvons construire à partir de N par une suite connue de gestes d’extension, mais la structure obtenue d’un corps totalement ordonné connexe dans lequel Q est dense. Une structure qu’il nous est loisible de transporter dans n’importe quel ensemble de cardinalité assez grande, pour réaliser une copie structurale du continu linéaire.

80Et à vrai dire, les mathématiques sont constamment tournées vers les « objets à isomorphisme près » plutôt que vers les objets au sens strict. Leurs démarches se situent à un niveau de généralité indiqué par les propriétés prises en compte des objets dont on a traité : la juste formulation des résultats obtenus signale la variété d’incarnations et de réalisations des objets et de leurs propriétés à laquelle on a affaire. Pour prendre l’exemple le plus simple et le plus commun, le théorème de Pythagore antique concerne « déjà » non pas tel triangle rectangle particulier, mais tout triangle rectangle, il s’adresse à un schème au sens kantien. Et dans la reprise contemporaine, il est affirmé pour deux vecteurs arbitraires d’un espace euclidien arbitraire : l’unicité de l’espace n’est plus maintenue même à titre de fiction, on « avoue » que le contexte et les éléments en lui sont multi-réalisables (cf. figure 2).

Figure 2. La structure et ses réalisations

Figure 2. La structure et ses réalisations

81La pratique de la mathématique ensembliste souligne et majore cet aspect de l’objet mathématique : on ne cesse de repérer les manières de démultiplier et varier un objet ou une structure, on ne cesse de reconnaître plusieurs façons de définir un objet en lui gardant le même rôle dans l’économie d’ensemble. On est prêt à parfois distinguer ce qui n’est en dernière analyse pas ensemblistement le même, parfois en revanche à l’identifier : ainsi, lorsqu’on construit Z, Q ou R, on récupère à chaque fois l’ensemble d’en bas à travers sa copie structurale plongée dans le nouvel ensemble : on commence par distinguer entre N et le sous-ensemble Z des classes de couples (n,p) avec np, ensuite on décide d’identifier et d’oublier l’identité « d’origine ». Savoir jouer ce jeu est une partie de la compétence contemporaine : lorsque nous faisons des mathématiques ensemblistes, nous avons en vue un principe d’identité excédant l’identité juridique au sens de l’univers des ensembles. Notre exploration joyeuse d’un champ ensembliste « paradis » pour une agentivité inhabituelle est conduite avec les lunettes d’un principe d’identité fluctuant, surdéterminant l’« être-au-monde » non standard évoqué plus haut.

82De toute façon, pourrait-on ajouter, les identités fixes ultimes de référence dans un univers satisfaisant ZFC nous échappent en un sens de droit : à l’endroit de l’instauration même de l’objectivité corrélative, notre métaphysique spontanée nous conduit à envisager de nouveau une variation possible ; plusieurs tels univers sont a priori envisageables. La pluralité des modèles de la théorie des ensembles calculés à partir d’un univers U nous donne une image d’une telle variation, sans être en droit de l’interpréter avec exactitude : nous ne savons pas a priori décliner et paramétrer la pluralité des univers satisfaisant ZF ou ZFC.

83Les objets de la mathématique contemporaine sont, en bilan, pour ainsi dire « noyés » dans la différence sans concept, sur un mode de nouveau couplé avec l’idéalité.

84Notons enfin que l’étage catégorique – ajouté depuis à peu près soixante-dix ans – majore le trait : d’un côté, la lecture catégorique de la mathématique identifie de nouvelles structures multi-réalisées (nous conduisant à voir les groupes et les espaces topologiques d’un unique regard saisissant la même machinerie par exemple), de l’autre côté, la théorie des catégories conduit à « identifier » d’une nouvelle manière ce qui à un premier niveau est différent, s’il est vrai que l’on pourra confondre jusqu’à un certain point ce qui se tient dans une équivalence de catégories.

Observations finales

85Reste à faire une observation essentielle sur les trois régimes de l’objet mathématique successivement pris en compte : il est impossible de les concevoir comme en compétition. Nous n’avons pas à décider si en dernière analyse l’objet mathématique est enfant de la vérité, accessible suivant un mode de présentation directeur à son endroit, ou idéalité donnant lieu à la différence sans concept.

86Ces trois statuts ou styles de l’objectivité de l’objet sont à l’évidence compatibles, bien que retenir l’un ou l’autre signale un type d’intérêt philosophique. Nous pouvons en effet remarquer que :

871) Voir l’objet comme enfant de la vérité correspond à l’intention philosophique de considérer les mathématiques comme cas de la science, mettant originairement à disposition un stock de vérités acquises. On s’installe dans le sentiment que ces vérités sont les plus solides et certaines que nous possédions, et l’on suspecte qu’une critique (au sens kantien) de celles-ci est inévitablement dérisoire. Par suite on ne saurait comprendre les objets et leur contribution à la vérité mathématique autrement que depuis cette vérité. Cette attitude, qui me semble souvent celle de la philosophie analytique contemporaine, est-elle une reprise du « veritas norma sui et falsi » de Spinoza ? On peut le supposer et je laisse chacun se faire son opinion à ce sujet.

882) Voir l’objet comme se présentant, et se trouver dans la foulée conduit à envisager l’objet selon l’objectivité constructive et l’objet selon l’objectivité corrélative, c’est la façon la plus naturelle d’élaborer philosophiquement la justification pour nous des vérités mathématiques, en mobilisant à l’endroit de la mathématique et de son corps de vérités l’attitude critique : en réactivant à leur égard un point de vue d’inspiration phénoménologique (surtout dans la veine husserlienne). C’est aussi accueillir dans la philosophie les sentiments ou symptômes que l’on observe parmi les mathématiciens : l’amour des objets et le désir de se mettre d’accord sur la façon de les rencontrer pour les connaître ensuite.

893) Voir l’objet comme idéalité donnant lieu à la différence sans concept, c’est se placer implicitement dans le champ métaphysique et vouloir avant tout formuler ce que les objets mathématiques ont de différent par rapport aux objets ordinaires. C’est assumer et interroger le paradoxe suivant lequel, bien que le discours mathématique se comporte vis-à-vis des objets mathématiques comme un discours de connaissance ordinaire faisant face à des objets indubitables s’imposant sur la scène mondaine, les objets en cause n’en sont pas moins différents sur le plan métaphysique, pour autant qu’ils relèvent de l’idéalité, ainsi que du jeu de la répétition et des variantes « inessentialisées a priori ». C’est encore assumer et mettre au premier plan la vision platonicienne des idées comme realia (mais realia exceptionnels).

90La préférence pour un type de regard ou un autre en dit beaucoup sur le genre de philosophie que l’on professe ou que l’on veut faire advenir. Mais on ne saurait honnêtement imaginer une décision argumentative entre ces trois regards. Il y a plutôt toute apparence qu’ils correspondent à trois exigences inaliénables de la rationalité et de l’intelligence, en telle sorte qu’aucun ne saurait prétendre envelopper les deux autres et nous dispenser d’eux.

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Notes

1 Cf. Boolos, « The Standard of Equality of Numbers », Meaning and method : Essays in Honor of Hilary Putnam, Cambridge University Press, 1990, p. 261-277, aussi dans Logic, Logic and Logic, Harvard Univ. Press, 1998, p. 202-219 ; selon Sean Walsh, le rapport d’interprétation est bi-directionnel (cf. S. Walsh, « Comparing Peano Arithmetic, Basic Law V, and Hume’s Principle », Annals of Pure and Applied Logic, vol. 163, no 11, 2012, p. 1694-1699), l’interprétabilité étant définie de manière sémantique.

2 Cela dit, la notion ici présentée de l’objet enfant de la vérité semble très proche de ce qui s’appelle « thèse de la priorité syntaxique » chez les néologicistes (cf. M. Panza et A. Sereni, Introduction à la philosophie des mathématiques, Paris, Flammarion, 2013, p. 307).

3 Cf. L. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, 2.15/3.032, trad. franç. P. Klossowski, Paris, Galliamrd, 1961, p. 51-56.

4 Cf. B. Russell, The Philosophy of Logical Atomism, dans Marsh R.C. (éd.), Logic and Knowledge, Londres, Routledge, 1988, 1989, 1992, p. 199.

5 Cf. M. Panza et A. Sereni, Introduction à la philosophie des mathématiques, Paris, Flammarion, 2013.

6 Ibid., p. 348.

7 Ibid., p. 350.

8 Cf. E. Husserl, Idées directrices pour une phénoménologie, trad. franç. Paul Ricœur, Paris, Gallimard, 1950, p. 282-334.

9 Cf. par exemple L.E.J. Brouwer, « Conscience, philosophie et mathématiques », trad. franç. Jean Largeault, dans J. Largeault, Intuitionnisme et théorie de la démonstration, Paris, Vrin, 1992, p. 423-428.

10 Cf. J.-MSalanskis, Modèles et pensées de l’action, Paris, L’Harmattan, 2000, p. 195-200.

11 Tel que présenté, notre argument semble lié à la notion de langage formel, opposée à celle de la langue naturelle. Mais à vrai dire Chomsky ou Montague nous ont appris que la familiarité avec les formes récursives était incluse dans l’exercice de la langue naturelle aussi, même s’il n’est pas sûr que cette dernière se laisse reconduire à la grammaire universelle de l’un ou de l’autre. Le sujet épistémologique de la philosophie analytique, comme énonciateur du langage naturel, accède donc à l’objectivité constructive (dût-il, pour l’occasion, rapprocher sa langue d’une langue formelle).

12 G. Longo dit que les principes de preuve ne capturent pas les principes de construction (cf. F. Bailly et G. Longo, Mathématiques et sciences de la nature, Paris, Hermann, 2006, p. 78-79).

13 Une observation, néanmoins : lorsque la logique de Heyting déclare offrir une technologie inférentielle « conservant l’évidence constructive » de même que la logique classique fournit une technologie inférentielle conservant la vérité, elle prétend peut-être répondre à ce problème en justifiant l’instrument logique. Et la BHK-explication met en lumière une telle conservation en exposant la logique de Heyting à partir d’elle en quelque sorte.

14 Cf. les propos d’Alain Connes dans J.-P. Changeux et A. Connes, Matière à pensée, Paris, Odile Jacob, 2000, p. 25-42.

15 Cf. à ce sujet J.-M. Salanskis, Philosophie des mathématiques, Paris, Vrin, 2008, p. 79-88.

16 Tradition orale.

17 Husserl nomme le principe au §48 de son ouvrage tardif Krisis (E. Husserl, La crise des sciences européennes et la phénoménologie transcendantale, trad. franç. Gérard Granel, Paris, PUF, 1962), mais il informe l’analyse intentionnelle depuis longtemps : déjà dans les exposés des Idées directrices… en tout cas (E. Husserl, Idées directrices pour une phénoménologie, trad. franç. Paul Ricœur, Paris, Gallimard, 1950).

18 Principe qui s’écrit à peu près comme suit : [(∀P P(x)↔P(y))→(x=y)], P désignant une propriété arbitraire.

19 Kant écrit : « Assurément, si je connais une goutte d’eau comme une chose en soi, d’après toutes ses déterminations intérieures, je ne puis en admettre aucune qui soit différente de l’autre, si tout son concept est identique à celui de l’autre. Mais si cette goutte d’eau est un phénomène dans l’espace, elle n’a pas son lieu simplement dans l’entendement (parmi les concepts), mais dans l’intuition sensible extérieure (dans l’espace), et alors les lieux physiques sont tout à fait indifférents par rapport aux déterminations intérieures des choses, et un lieu=b peut recevoir une chose absolument semblable et égale à une autre située dans un lieu=a, tout autant que si la première était intérieurement très différente de la seconde. La diversité des lieux rend la pluralité et la distinction des objets, comme phénomènes, non seulement possibles par elles-mêmes, mais même nécessaires » [A 272 B 328 ; Ak, III, 221-222 ; édition de la Pléiade volume 1, p. 997].

20 Cf. J. R. Schönfield, Mathematical Logic, New York, Addison Wesley, 1967, p. 57-61.

21 Cf. G. Choquet, « Le Continu, le Discret, et … Tout le Reste », dans J.-M. Salanskis et H. Sinaceur (éd.), Le Labyrinthe du Continu, Paris, Springer France, 1992, p. 267-278, spécialement p. 271.

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Table des illustrations

Titre Figure 1. Le cône idéel
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Pour citer cet article

Référence papier

Jean-Michel Salanskis, « Trois régimes de l’objet mathématique »Noesis, 38 | 2022, 75-98.

Référence électronique

Jean-Michel Salanskis, « Trois régimes de l’objet mathématique »Noesis [En ligne], 38 | 2022, mis en ligne le 01 juin 2024, consulté le 31 octobre 2024. URL : http://journals.openedition.org/noesis/7011 ; DOI : https://doi.org/10.4000/11xm8

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Auteur

Jean-Michel Salanskis

Jean-Michel Salanskis est professeur émérite de philosophie à l’Université Paris Nanterre. Il a travaillé dans les domaines de la philosophie des mathématiques, de la philosophie contemporaine et sur la tradition juive. Parmi ses publications : L’herméneutique formelle (Klincksieck, 2013), Le constructivisme non standard (Presses universitaires du Septentrion, 1999), Philosophie des mathématiques (Vrin, 2008). 

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