La structure d’horizon au sein des axiomatiques : la phénoménologie entre réalisme et idéalisme
Résumés
Faut-il entériner la thèse de l’objectivisme sémantique et admettre qu’il existe du sens en soi, doué d’identité absolue et ontologiquement indépendant de la conscience ? ou faut-il maintenir, dans le domaine des idéalités mathématiques, la thèse selon laquelle tout sens renvoie à une donation de sens par la conscience ? Nous examinons ici la question dans le cadre des mathématiques axiomatisées : les systèmes axiomatiques ne sont-ils pas clos a priori par la position des axiomes ? Partant, ce que Derrida affirmait des objets mathématiques (le fait qu’ils soient reconductibles à une donnée adéquate et s’épuisent dans leur phénoménalité) ne vaut-il pas pour les systèmes formels ? Nous voulons montrer que toute visée d’objets idéaux possède une structure d’horizon excédentaire, et que c’est à celle-ci que se réduit l’être en soi de tels objets. L’axiomatisation des théories renforce en effet le statut holiste de la visée d’idéalité mathématique, les formes d’objet n’ayant d’existence qu’intrathéorique et étant fonction du contexte théorique. Des divers sens de la thèse réaliste, on ne retiendra en définitive que la validité intersubjective des objets idéaux et leur obéissance à des lois idéales, sans admettre la thèse de leur indépendance ontologique.
Entrées d’index
Mots-clés :
mathématiques, idéalités, réalisme, idéalisme, être en soi, horizon, axiomatisation, formalisation, intrathéorique, historicitéKeywords:
mathematics, idealities, realism, idealism, being in itself, horizon, axiomatization, formalization, intratheoretical, historicityPlan
Haut de pageTexte intégral
« Il faut tuer le réalisme au nom de la vérité »
Charlie Chaplin
(cité par Jean-Pierre Melville dans une interview de 1967)
« Qu’importe la vérité exacte, pointillée, méticuleuse des faits, pourvu que les horizons se reconnaissent »
Barbey d’Aurevilly, L’ensorcelée
1La question de l’être des idéalités et du statut de leur constitution engage d’abord celle de l’articulation entre leur sens d’être (Seinssinn) et leur validité d’être (Seinsgeltung). S’il est entendu que cette dernière ne saurait être produite, mais seulement attestée par une procédure inférentielle, qu’en est-il cependant du premier ? Faut-il entériner la thèse de l’objectivisme sémantique et admettre qu’il existe du sens en soi, doué d’identité absolue et intemporelle et ontologiquement indépendant des visées intentionnelles de la conscience – lesquelles n’en pourraient actualiser que la prise de conscience ? Ou bien faut-il maintenir, jusque dans le domaine des idéalités mathématiques, la thèse selon laquelle tout sens renvoie à une donation ou instauration du sens par la conscience ?
- 1 Jacques Derrida, Introduction à Husserl, L’origine de la géométrie, Paris, PUF, 1962, p. 6 : « l’ (...)
2Si l’analyse de modèles empruntés à la mathématique grecque nous donne l’impression que le paradigme de la structure d’horizon, importé de la constitution de la res extensa, possède une validité pour les idéalités mathématiques, qu’en est-il lorsqu’on passe de la mathématique grecque et classique à la mathématique plus contemporaine, caractérisée par la méthode axiomatique ainsi que par la généralisation analytique riemannienne de l’espace tridimensionnel aux multiplicités n-dimensionnelles et l’émergence de concepts structuraux désignant des formes de domaine (groupe, corps, anneau, idéal, etc.) ? Dans une théorie axiomatisée où, dit-on, l’on ne fait que poser arbitrairement un ensemble de notations primitives dépourvues de dénotation intuitive et un ensemble d’axiomes dont il faut en principe démontrer ensuite l’indépendance, la cohérence et la complétude, comment la visée d’objets pourrait-elle posséder une structure d’horizon excédentaire et se dépasser elle-même ? La visée globale n’est-elle pas en ce cas exactement coextensive à la visée initiale ? Les systèmes axiomatiques ne sont-ils pas clos a priori par la position des axiomes ? Partant, ce que Derrida affirmait des objets mathématiques – le fait qu’ils soient reconductibles à une donnée adéquate et s’épuisent dans leur phénoménalité1 –, s’il ne valait pas pour les mathématiques grecques et classiques, ne vaut-il pas pour les systèmes formels ?
Holisme renforcé de la visée catégoriale dans les mathématiques axiomatisées et postfrégéennes
3L’axiomatisation des théories ne fait au contraire que renforcer le statut holiste de la visée d’idéalité mathématique, à savoir le primat du domaine sur l’objet idéal singulier : plus que jamais, une singularité mathématique ne peut être visée qu’au sein de… et à partir de la forme de champ d’objets dont elle relève.
- 2 Husserl, Formale und transzendentale Logik, § 28, éd. P. Janssen, Den Haag, M. Nijhoff, 1974, Hua (...)
4Considérons en effet la présentation qu’en donne Husserl en 1929. Le propre de l’axiomatisation est d’avoir transformé le concept de théorie déductive dans un sens holiste : les sciences déductives sont désormais considérées « comme des totalités théoriques » (als theoretische Ganzheiten) – à savoir, sur le plan syntaxique et déductif du sens, comme des « systèmes de jugements dans leur totalité » (Urteilssysteme in ihrer Ganzheit) ou des « formes possibles de théorie » (mögliche Theorienformen) et, sur le plan ontologique des objets, comme des « multiplicités » (Mannigfaltigkeiten), par quoi il faut entendre le « concept total d’objet » (gegenständlicher Totalbegriff) ou le « concept formel de domaine d’une science déductive » (Formbegriff eines Gebiets einer deduktiven Wissenschaft), étant entendu que l’unité ontologique de la forme de domaine est fonction de l’unité syntaxique et déductive du système propositionnel qu’est la théorie2.
5Quels sont alors les traits qui distinguent une forme de théorie déductive d’une théorie mathématique douée de contenu ?
- 3 Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie, Bd. I, § 13, éd. K. Schu (...)
- 4 Ideen I, § 10, Hua III/1, 26 (trad. fr., 40).
- 5 Logik und allgemeine Wissenschaftstheorie, § 26b, éd. U. Panzer, Dordrecht/Boston/London, Kluwer, (...)
6Le point essentiel réside dans l’acte de formalisation, entendu comme un acte de réduction analytique ou purement catégoriale des objets à de simples quelque chose en général (etwas überhaupt) : tandis que la généralisation (Generalisierung) consiste à s’élever par abstraction des individus aux espèces, puis à gravir les degrés de généralité jusqu’à parvenir à un genre suprême, la formalisation consiste en l’« universalisation qui part de ce qui est matérial pour passer au formel purement logique » (Verallgemeinerung von Sachhaltigem in das reinlogische Formale), c’est-à-dire vide l’objet de départ de tout contenu individuel et eidétique pour n’en garder que la pure et simple forme vide du quelque chose en général3. Ce qu’on atteint alors, ce ne sont plus des « essences “véritables” » (« eigentliche » Wesen) – lesquelles sont toujours matériales, c’est-à-dire référées à un contenu –, mais une « pure et simple forme eidétique » (bloße Wesensform) qui se réduit à une « essence complètement “vide” » (ein völlig « leeres » [Wesen]) ou à une « forme vide » (Leerform) et convient, dans une universalité complète, à tout type d’essence ou d’étant en général, quel qu’en soit le contenu ou la nature4. Ce passage des contenus d’expérience et de pensée à la représentation vide du quelque chose (Vorstellung « etwas ») constitue « ce qu’il y a de spécifiquement mathématique dans la mathesis, et ce qu’il y a de spécifiquement formel dans la logique formelle » (das spezifisch Mathematische der Mathesis, das spezifisch Formale der formalen Logik)5 : la pensée logique aussi bien que la pensée mathématique opèrent en effet par algébrisation des notations, en substituant aux termes référés à des contenus de pensée des désignations de variables a, b, c, etc. ou p, q, r, etc., ou encore x, y, z, etc.
- 6 Nous nous référons à la typologie des concepts brossée au § 60 de la Sixième Recherche, adoptée p (...)
- 7 Ideen I, § 10, Hua III/1, 27-28 (trad. fr. Ricœur, 41-43, Lavigne, 41-42). Tout le chap. II de Fo (...)
7Cela implique un trait essentiel de la logique et de la mathématique sous leur forme contemporaine : elles font abstraction de tout contenu ou de toute teneur réale, et mettent en jeu non une pensée eidétique matériale (rapportée aux essences matériales comme rouge, couleur, perception, jugement, etc.), ni un mixte de pensée catégoriale et sensible (rapporté aux essences mixtes comme droite, plan, cercle, etc.), mais une forme de pensée purement catégoriale, rapportée aux seules catégories analytiques, c’est-à-dire à la « région formelle » (formale Region), ou plutôt à la « forme vide de région en général » (leere Form von Region überhaupt) du quelque chose en général 6. Cette forme vide du quelque chose peut prendre deux formes : celle des « catégories de signification » (Bedeutungskategorien) ou « concepts catégoriaux (entendus comme significations) » (kategoriale Begriffe (als Bedeutungen)) en logique apophantique, et celle des « catégories formelles d’objet au sens fort » (formale gegenständliche Kategorien im prägnanten Sinne) ou « essences catégoriales » (kategoriale Wesen) dans la mathématique considérée comme le versant ontologique-formel de la logique7.
- 8 Form. u. transz. Logik, § 23, Hua XVII, 76-77 (trad. fr., 100-101) – Logik u. allg. Wissenschafts (...)
- 9 Alte und neue Logik. Vorlesung 1908-09, éd. E. Schuhmann, Dordrecht/Boston/London, Kluwer, 2003, (...)
- 10 Logik u. allg. Wissenschaftsth., § 26b, Hua XXX, 118. Cf. Form. u. transz. Logik, § 25, Hua XVII, (...)
8Du côté apophantique, on procède à la formalisation des propositions en y substituant, aux matériaux ou noyaux syntaxiques (désignations de substrats, de propriétés et de relations déterminées), des « matériaux syntaxiques indéterminés quelconques » (unbestimmt-beliebige [« syntaktische Stoffe »]) reliés par des « formes syntaxiques » (syntaktische Formen) qui sont des formes d’« opérations syntaxiques » (syntaktische Operationen) : négation, conjonction, disjonction, implication, mais aussi les modalisations8. Cela peut s’effectuer d’une double manière : ou bien par algébrisation directe, en substituant aux désignations des substrats, prédicats et relations les signes Si, Pi, Ri, de manière à convertir la proposition « la neige est blanche » en la forme propositionnelle « S est P » et « l’oxygène est plus lourd que l’hydrogène » en « R(S1, S2) » ; ou bien par la substituabilité indéfinie, qui aboutit à définir la forme propositionnelle comme classe d’équivalence des propositions isomorphes9. Toute la logique apophantique se réduit alors à un domaine de construction opératoire : en composant adéquatement les matériaux quelconques (formes de substrat, de prédicat et de relation) et les opérateurs syntaxiques (foncteur, connecteurs, modalités), on peut en droit espérer couvrir de façon constructive « l’édification de significations dans tout domaine de pensée possible » (Aufbau von Bedeutungen in jedem möglichen Denkgebiet)10.
- 11 Form. u. transz. Logik, § 24, Hua XVII, 81-82 (trad. fr., 107). Comme au § 10 des Ideen I, le ter (...)
9Sur le versant ontologique, on réalise une opération semblable afin de circonscrire, dans une « universalité formelle [formale Allgemeinheit] qui, par principe, laisse hors de considération toute détermination matériale des objets [jede sachhaltige Bestimmung der Gegenstände] » pour se rapporter à « l’univers du vide : objet en général ou quelque chose en général »11, toutes les formes complexes de ce dernier. Dans l’investigation de cette région formelle, il faut distinguer plusieurs niveaux.
- 12 Form. u. transz. Logik, § 26d, Hua XVII, 89 (trad. fr., 116).
10Le premier résulte de l’abstraction formalisante opérée sur les objets : l’essentiel est ici de faire la distinction nette entre ontologies réales et ontologie formelle, entre la « région universelle de l’existant possible (du réal au sens le plus large) » (universale Region des möglicherweise Daseienden (des […] Realen)), qui se divise ensuite en genres et espèces de réalités, et la « forme vide du quelque chose en général » (Leerform des Etwas überhaupt), qui n’admet que des spécifications analytiques-formelles12.
- 13 Form. u. transz. Logik, § 24, Hua XVII, 82 (trad. fr., 107-108).
- 14 Form. u. transz. Logik, § 24, Hua XVII, 81 (trad. fr., 106).
- 15 Ideen I, §§ 9 et 74, Hua III/1, 24 et 153-156 (trad. fr. Ricœur, 37 et 235-237, Lavigne, 38 et 21 (...)
11Le second est atteint en effectuant la dérivation syntaxique et constructive de ces espèces formelles de l’objet en général à titre de « configurations dérivées du quelque chose en général » (Ableitungsgestalten des Etwas überhaupt) : ainsi pense-t-on la conjonction d’unités quelconques et indéterminées (1 et 1 et 1…) pour en dériver par nominalisation les nombres cardinaux, ou encore la conjonction d’objets quelconques (ceci et ceci et ceci…) pour obtenir par nominalisation l’ensemble de ces objets pris comme éléments, ou encore la mise en ordre d’objets quelconques pour obtenir une nouvelle fois par nominalisation les nombres ordinaux – autant de formes susceptibles d’être engendrées par itération d’un opérateur syntaxique et nominalisation : ensemble, nombre cardinal, nombre ordinal, suite, tout et partie, etc13. Partant, la théorie des ensembles, l’arithmétique des cardinaux, des ordinaux, etc., font partie, en tant que disciplines mathématiques, de l’ontologie formelle14 – et ce par opposition à la géométrie euclidienne pour autant qu’elle se réfère à des figures spatiales, donc possédant une teneur matériale : la géométrie classique est une eidétique matériale de la res extensa, opérant avec des concepts catégoriaux mixtes ou des Idées limites de figures exactes, tandis que les disciplines mentionnées relèvent de l’eidétique analytique-formelle, opérant avec des concepts purement catégoriaux15.
- 16 Form. u. transz. Logik, § 30, Hua XVII, 97-98 (trad. fr., 128).
12C’est cependant le troisième niveau qui requiert toute notre attention, parce qu’il opère la transition vers un degré supérieur de formalité ou de purification catégoriale : celui qui fait conjointement passer des théories aux formes de théorie, et des champs d’objets déterminés aux multiplicités (Mannigfaltigkeiten). Sur le plan syntaxique de l’édifice propositionnel, on peut en effet passer d’une théorie mathématique déterminée, par exemple la géométrie euclidienne, à la forme (axiomatique) de géométrie correspondante : des axiomes comme vérités catégoriques, on passe alors à de simples « formes d’axiomes » (Axiomenformen) qui se réduisent à des « formes de principes présupposées » (vorausgesetzte Grundsatzformen) ; des théorèmes dont la vérité est affirmée et dérivée par inférence de celle des axiomes, à de simples « formes de théorèmes » (Formen von Lehrsätzen) dérivées par voie inférentielle sans être assertées ; et des inférences conçues comme transfert déductif de la vérité des principes à celle des théorèmes, à de simples « formes inférentielles et démonstratives » (Formen von Schlüssen und Beweisen) qui exhibent une pure structure déductive formelle au lieu d’opérer un transfert de vérité catégorique des antécédentes vers les conséquentes16.
13Concentrons-nous sur les axiomes ou propositions primitives. De quelle nature sont les objets qui y interviennent ?
- 17 Form. u. transz. Logik, § 28, Hua XVII, 95 (trad. fr., 125).
- 18 Cf. R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ?, § 1, Brauschweig, Vieweg, 1911, p. 1, puis (...)
- 19 Form. u. transz. Logik, § 28, Hua XVII, 95 (trad. fr., 125).
14En premier lieu, ils se réduisent à de purs « objets de pensée » (Denkobjekte) qui, « quant à leur matière, demeurent complètement indéterminés » (Ihrer Materie nach […] völlig unbestimmt)17 : qu’on se rappelle le début des Fondements de la géométrie, où Hilbert écrit qu’il va considérer trois types d’objet qu’il nomme points, droites et plans, pour lesquels il utilise les désignations respectives A, B, C, etc., a, b, c, etc. et α, β, γ, etc18. L’essentiel est ici que les axiomes ne soient précédés par aucune définition préalable qui en livrerait le contenu de signification ; aucune fixation de sens ne vient donc déterminer le fonds eidétique des espèces de substrats point, droite, plan avant d’explorer le système de leurs relations réciproques, de sorte que ces objets de pensée « ne sont déterminés ni directement en tant qu’éléments particuliers (individuels ou spécifiques), ni indirectement par leurs espèces ou genres internes » : c’est-à-dire ni comme singularités eidétiques, ni comme espèces subsumant des sous-espèces19.
15En second lieu, leur définition est de nature purement formelle et relationnelle, et de surcroît référée à de pures formes de relation non déterminées :
- 20 Ibid.
ils [scil. ces objets de pensée] sont exclusivement déterminés par la forme des liaisons qui leur sont assignées [ausschließlich durch die Form ihnen zugeschriebener Verknüpfungen]. Ces liaisons elles-mêmes sont donc aussi peu déterminées quant à leur contenu que les objets [inhaltlich ebensowenig bestimmt als ihre Objekte] ; ce qui est déterminé, c’est seulement leur forme, et ce grâce à la forme des lois élémentaires qu’on admet comme ayant une validité pour ces liaisons [durch die Form für sie als gültig angenommener Elementargesetze]20.
- 21 Grundlagen der Geometrie, § 1, 1e éd., Leipzig, 1899, p. 5, 9e éd., Stuttgart, Teubner, 1962, p. (...)
- 22 Nous avons traité de cet exemple dans Intuition et idéalités, Paris, PUF, 2020, p. 199 sq. Une ex (...)
16D’une part, la teneur de sens des objets primitifs est désormais fonction des relations élémentaires posées dans les axiomes (position, appartenance, ordre, congruence, continuité) ; par conséquent, « la description exacte et complète de ces relations [genaue und vollständige Beschreibung dieser Beziehungen] a lieu grâce aux axiomes de la géométrie »21. Il s’ensuit que loin que la compréhension de ces concepts primitifs soit fixée préalablement à la position de ces relations et maintenue fixe, chaque nouvel axiome qu’on ajoute, parce qu’il pose une nouvelle relation entre les objets primitifs, modifie le concept ou le fonds eidétique des objets eux-mêmes : l’adjonction de nouvelles relations est une adjonction intensionnelle de nouveaux caractères au concept. Ainsi les concepts de point, droite et plan sont-ils d’abord fixés par les relations d’appartenance (de points à une droite, de droites et de points à un plan), avant d’être successivement modifiés par l’introduction des relations d’ordre (qui définissent la relation entre), puis par celle des axiomes de congruence (qui définissent l’idée de déplacement, et établissent l’existence de l’angle droit et la congruence entre les angles droits) et par celle des axiomes de continuité (axiomes d’Archimède et d’intégrité linéaire)22. La relation prime ainsi sur l’être des substrats et le définit.
17D’autre part, les relations sont elles-mêmes maintenues dans la même indétermination de sens que les objets-substrats qu’elles relient.
- 23 Husserl, Form. u. transz. Logik, § 28, Hua XVII, 95 (trad. fr., 125).
- 24 Cela correspond à ce qu’autrefois on appelait algèbre formelle ou universelle – cf. A. North Whit (...)
18Quand, par exemple, on énonce dans une arithmétique formelle la loi de commutativité de l’addition « a+b = b+a », le signe « + » ne possède nullement le sens spécifiquement arithmétique de l’addition de nombres, mais c’est « le signe d’une liaison en général [einer Verknüpfung überhaupt] pour laquelle ont une validité des lois de la forme a+b = b+a [für welche Gesetze der Form a+b = b+a gelten] »23. Prenons un exemple. La loi de commutativité de l’addition a une validité dans l’arithmétique des nombres cardinaux finis, des entiers relatifs, des rationnels et des réels ; en revanche, elle n’a guère de validité dans l’arithmétique des ordinaux transfinis, où (par exemple) ne se vérifie pas l’égalité 1+ω0 = ω0+1, mais 1+ω0 = ω0 – ajouter un premier élément avant la suite des entiers ne change rien au type d’ordre, tandis qu’ajouter un nouvel élément après la suite des entiers produit un nouveau type d’ordre. Si, en revanche, on pose la loi de commutativité de l’addition « a+b = b+a » dans une arithmétique formelle, une telle position revient à définir par une simple forme de loi une structure de monoïde ou de semi-groupe commutatif pour des éléments quelconques24 ; ce n’est qu’au stade de l’interprétation (c’est-à-dire de l’assignation d’une dénotation), où les termes de la relation sont explicités comme étant des nombres ou bien des propositions, que le signe + sera conjointement interprété comme une addition de nombres ou comme une disjonction de propositions. La position en axiome d’une forme de loi aboutit donc à définir la pure structure d’un champ d’objets potentiel qui soit susceptible de satisfaire les lois relationnelles posées en axiomes.
19Transcrivons à présent cela dans l’idiome husserlien.
20L’axiomatisation pousse à son acmé le caractère catégorial de la pensée (à savoir l’indétermination des substrats, des notions primitives et des relations) et le primat de l’horizon externe sur l’horizon interne : au sein d’une multiplicité catégoriale, seul subsiste l’horizon externe des relations, le principe des relations internes impliquant que les prédicats d’un élément soient d’ordre purement relationnel. Tout substrat se réduisant désormais à un point du maillage structural, les formes d’objet n’ont d’existence qu’intrathéorique ; la substance est fonction du contexte théorique – holisme de la visée catégoriale.
Définition des objets à partir des relations (Frege, Zermelo, Desanti)
- 25 Desanti, « Le langage des idéalités », dans Le philosophe et les pouvoirs, Paris, Hachette, 2008, (...)
21Ce primat de la relation et ce holisme de la visée catégoriale se confirment dès qu’on analyse la notion d’existence des objets mathématiques et le bien-fondé de la thèse réaliste à leur propos. Le réalisme a toujours partie liée avec une position d’existence effective ou d’être idéal, avec un il y a. Cependant la locution il y a admet des significations distinctes selon qu’on la rapporte à différents types d’objet. S’agissant des objets de perception sensible (les res extensae), elle implique que de tels objets sont donnés d’avance (vorgegeben), préexistent et survivent à tout acte subjectif de perception (thèse minimale), voire en sont totalement indépendants (thèse maximale). Pour les objets pratiques, elle signifie que de tels objets sont par avance disponibles en vue de tel usage, soit qu’ils aient été fabriqués et achetés pour cet usage (thèse minimale : le marteau est à disposition pour enfoncer des clous), soit qu’ils préexistent à toute utilisation à titre de matériau naturel (thèse maximale : le charbon dans les mines). Pour les significations et états de chose, elle implique ou bien que les unes et les autres se caractérisent par leur accessibilité inconditionnée à tout sujet pensant (thèse minimale), ou bien qu’ils possèdent un être idéal absolument indépendant de tout être pensant (thèse maximale). Reste donc à déterminer ce qu’elle signifie pour les entités mathématiques25.
22Pris dans sa généralité, le réalisme est une thèse philosophique qui possède au moins une triple signification.
- 26 Log. Unters., Bd. I : Prolegomena zur reinen Logik, § 42, éd. E. Holenstein, Den Haag, M. Nijhoff (...)
23En premier lieu, le réalisme de la vérité est assimilable à la thèse de vérité en soi, prise au sens de l’indépendance totale à l’égard de l’existence et de la nature de sujets susceptibles de la connaître : « Ce contenu objectif de la science [objektiver Gehalt der Wissenschaft] est […] complètement indépendant de la subjectivité des chercheurs [von der Subjektivität der Forscher […] völlig überhaupt unabhängig], il est précisément vérité objective [objektive Wahrheit] »26. Cette position rejoint la thèse de l’objectivisme sémantique de Bolzano selon laquelle propositions et vérités en soi ont un être idéal totalement indépendant de l’existence d’un sujet qui les pense. Appliqué cette fois aux objets, le réalisme est la thèse d’existence en soi de ces objets, indépendamment de leur mode d’atteinte par une conscience, et signifie qu’il y a dans l’absolu des objets d’un type spécifique, qu’il existe ou non des sujets pour en faire l’expérience ou en prendre connaissance.
- 27 Log. Unters. : Prolegomena, § 39, Hua XVIII, 134 (trad. fr. RL I, 142).
- 28 Log. Unters. : Prolegomena, § 36, Hua XVIII, 125 (trad. fr. RL I, 130).
- 29 Form. u. transz. Logik, § 96a, Hua XVII, 247 (trad. fr., 322).
24En second lieu, le réalisme de la vérité est la thèse selon laquelle « ce qui est vrai est vrai absolument, “en soi” » (an sich) et « la vérité est identiquement une, que ce soient des êtres humains ou non humains, des anges ou des dieux qui l’appréhendent en jugeant » (identisch eine, ob sie Menschen oder Unmenschen, Engel oder Götter urteilend fassen) ; par voie de corrélation, « la vérité est “éternelle” [Die Wahrheit ist aber « ewig »] ou, mieux encore, c’est une Idée, et en tant que telle elle est supratemporelle [als solche überzeitlich] »27. L’expression de vérité en soi ne signifie plus ici qu’elle serait indépendante de tout acte subjectif, mais seulement qu’elle possède une « unité idéale » (ideale Einheit), c’est-à-dire omnisubjective et omnitemporelle, à savoir une constance pour tout sujet et en tout temps : elle est indifférente à la diversité des espèces de sujets qui peuvent la connaître, ainsi qu’à la datation ou à l’époque de la connaissance que l’on en peut prendre28. Transposé aux objets, le réalisme signifie que ces derniers ont une existence objective ou en soi, celle-ci étant cependant entendue non comme une consistance ontologique absolument indépendante, mais comme une identité intersubjective, en droit accessible à quiconque, à toute conscience possible, quelle qu’en soit la nature : « pour en tant qu’ego, le monde est constitué en tant que monde “objectif”, au sens de monde existant pour quiconque » (als « objektive », in jenem Sinn der für Jedermann daseienden [Welt])29. En d’autres termes, il y a les mêmes objets pour quiconque.
- 30 Log. Unters. : Prolegomena, § 42, Hua XVIII, 167 (trad. fr. RL I, 180).
- 31 Log. Unters. : Prolegomena, § 23, Hua XVIII, 81 (trad. fr. RL I, 77-78).
25En troisième lieu, il existe un sens du réalisme qui concerne en propre les objectités idéales : celui de la validité en soi des lois auxquelles obéissent les objets idéaux, de leur exclusive « conformité à des lois idéales » (ideale Gesetzmäßigkeit)30 ; que ces lois possèdent un statut idéal ou en soi signifie, cette fois, qu’elles sont indépendantes tant de l’existence d’objets et de faits individuels que de celle de représentations et d’actes subjectifs individuels : « Aucune loi logique n’implique de “matter of fact”, pas plus que l’existence de représentations, jugements ou autres phénoménes de connaissance. […] pas davantage, en tout cas, que ne le font les lois de la mathématique pure » (jedenfalls nicht mehr als die Gesetze der reinen Mathematik)31. Il y a donc des lois et des relations idéales auxquelles obéissent les objectités de la logique (formes propositionnelles complexes, connexions de prédicats ou de relations) et de la mathématique (ensembles, nombres cardinaux, ordinaux, etc.).
26Que recouvre donc l’expression il y a dans la proposition « il y a des objets mathématiques » ? Implique-t-elle une thèse réaliste, et en quel sens ?
- 32 Desanti, « Le langage des idéalités », dans Le philosophe et les pouvoirs, op. cit., p. 303 – « S (...)
- 33 « Le langage des idéalités », dans Le philosophe et les pouvoirs, op. cit., p. 304.
27Le constat il y a des objets, pour la pensée mathématique, est toujours le corrélat d’une procédure d’identification, cette dernière n’étant cependant pas à entendre comme un acte noétique ou subjectif d’identifier l’objet (– ce qui est le sens husserlien : visée d’un objet identique, par opposition à la multiplicité des actes subjectifs qui le visent), mais comme une procédure objective idéale qui articule une relation, des propriétés structurelles de la relation et des objets supposés. On dira qu’il y a des objets mathématiques si l’on sait définir entre eux une relation mathématique d’égalité (que l’on note avec le signe =) qui soit une relation d’équivalence, c’est-à-dire possède les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité : quel que soit l’élément x appartenant au domaine, x = x (identité avec soi-même) ; quels que soient les éléments x et y du domaine, si x = y, alors y = x ; enfin quels que soient les éléments x, y, z du domaine, si x = y et y = z, alors x = z. À quoi l’on ajoutera la loi logique du tiers exclu, selon laquelle quels que soient les éléments x et y du domaine, on a x = y ou x ≠ y (tertium non datur)32. En d’autres termes, tout objet singulier se définit comme une classe d’équivalence de la relation d’équivalence qu’est l’égalité : la relation d’égalité prime sur l’existence des objets qu’elle relie, ces derniers ne se définissant qu’à partir des propriétés structurelles de la relation. C’est donc la définition mathématique de cette relation, ainsi que l’établissement de ses propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, qui permettent de viser un champ d’objets idéaux ; si objets mathématiques il y a, c’est en vertu de la possibilité de définir entre ces objets la relation en question. L’être des objets est par conséquent strictement corrélatif d’une procédure objective et intramathématique d’identification, de sorte qu’« on ne peut parler de l’“existence” des objets mathématiques que dans une région intrathéorique (intradiscursive) »33.
28Cette considération peut être complétée par le mode de définition des objets qu’on appelle parfois improprement définition par abstraction, qui est en réalité une définition des objets comme classes d’équivalence d’une relation d’équivalence :
- 34 L. Couturat, Les principes des mathématiques, chap. II, Paris, F. Alcan, 1905, p. 49-50.
S’il existe entre deux objets quelconques d’une certaine classe une relation symétrique et transitive, cette relation peut être ramenée à une même relation uniforme que ces objets ont avec un même terme. Ce principe est d’une application très fréquente en mathématique, toutes les fois qu’on emploie une définition par abstraction. Il a pour effet de ramener toute relation symétrique et transitive à une espèce d’égalité, c’est-à-dire d’identité34.
- 35 Ou antiréflexive (aucune droite n’est parallèle à elle-même), selon la définition que l’on donne (...)
- 36 G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, § 68, Breslau, W. Koebner, 1884, p. 79 (trad. fr. C. Imb (...)
- 37 Die Grundl. d. Arithm., § 68-73, p. 79-86 (trad. fr., 194-200) – cf. F. Patras, La possibilité de (...)
- 38 Cf. B. Russell, Principles of Mathematics, Cambridge University Press, 1903, chap. 2, § 28, p. 24 (...)
- 39 Cf. R. Brisart, « Le problème de l’abstraction en mathématiques », dans Husserl et Frege, Paris, (...)
29Ainsi, dans Les fondements de l’arithmétique, Frege présente-t-il le procédé de réduction des prédicats essentiels d’objets à des relations. Et ce, tout d’abord, en géométrie plane : plutôt que de dire que dans un plan donné, une droite se définit par un point et par le prédicat de sa direction, on considère à l’inverse la relation de parallélisme ou d’équidirectionnalité entre les droites, avant de démontrer qu’elle est réflexive (toute droite est confondue avec elle-même)35, symétrique (si une droite D1 est parallèle à une droite D2, l’inverse est alors vrai) et transitive (si une droite est parallèle à une seconde qui est parallèle à la troisième, alors la première est parallèle à la troisième) ; la relation de parallélisme permet alors de définir le prédicat qu’est la direction d’une droite D donnée comme « l’extension du concept “parallèle à la droite D” », c’est-à-dire comme la classe d’équivalence de toutes les droites qui lui sont parallèles ou équidirectionnelles36. De même en arithmétique élémentaire : si l’on considère des extensions de concepts quelconques, on peut définir entre elles la relation de correspondance biunivoque (bijection) par la possibilité de mettre en relation un et un seul élément du premier ensemble avec un et un seul élément du second ; une telle relation est à la fois réflexive (il suffit de mettre en relation chaque élément de l’extension de concept avec elle-même), symétrique (puisque la correspondance est univoque dans les deux sens, il suffit en effet de prendre comme relation converse celle qui associe à chaque élément de l’extension du second concept son antécédent par la première relation) et transitive (si l’extension d’un premier concept est en correspondance biunivoque avec celle d’un deuxième et celle-ci avec l’extension d’un troisième, il suffit de prendre pour relation entre les extensions du premier et du troisième concept la composée des deux relations) ; on définit cette relation comme l’équinuméricité (Gleichzahligkeit), c’est-à-dire le fait d’avoir la même cardinalité (ou puissance) ; chaque nombre cardinal se laisse alors déterminer comme une classe d’équivalence entre toutes les extensions de concept équinumériques37. Prédicats et objets se laissent ainsi reconduire à des relations d’équivalence : les objets se déterminent comme des éléments (par leur appartenance à une classe), et cette classe est elle-même définie par la satisfaction d’une relation ; or, une relation étant par essence intensionnelle38, le procédé revient à passer directement de l’intension d’un concept relationnel à son extension39.
- 40 Russell, Brief XXXVI/1 an Frege, 16.06.1902, dans Gottlob Freges Briefwechsel, Hamburg, F. Meiner (...)
- 41 E. Zermelo, « Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I », Mathem. Annalen, no 65, 190 (...)
- 42 « Unters. über d. Grundl. d. Mengenl. I », 264, éd. Heinzmann, 182 (trad. fr., op. cit., 373).
30On connaît la difficulté essentielle d’une telle procédure de définition de l’existence idéale : l’apparition des antinomies de la théorie des ensembles. La plus célèbre est celle de Russell, qui ne nous intéresse ici que dans la mesure où elle a conduit Zermelo à redéfinir la possibilité de définir des ensembles d’objets par une propriété caractéristique (ou une relation). Soit w le prédicat défini par le fait d’« être un prédicat qui ne peut être prédiqué de lui-même » (ein Prädikat zu sein welches nicht von sich selbst prädicirt werden kann) ; w peut-il être prédiqué de lui-même ? Chaque réponse implique sa contradictoire, de sorte qu’il faut en conclure que w n’est pas un prédicat. Par analogie, « il n’y a pas de classe (en tant que totalité) [keine Klasse (als Ganzes)] des classes qui, comme touts, ne s’appartiennent pas à elles-mêmes »40 : le fait de définir un ensemble d’idéalités comme totalité des objets qui satisfont une certaine propriété ou une certaine relation, c’est-à-dire par nominalisation de la satisfaction d’une propriété ou d’une relation, peut conduire à des contradictions insolubles. Aussi, pour prévenir cette antinomie, Zermelo a-t-il formulé, sous le nom d’axiome de séparation (Axiom der Aussonderung), une clause limitative de formation des ensembles : « si un énoncé ouvert P [Klassenaussage E(x)] est bien défini pour tous les éléments d’un ensemble E, E a toujours un sous-ensemble [Untermenge ME] qui contient exactement et exclusivement tous les élements x de E pour lesquels P(x) est vrai »41. Cela revient à exclure qu’on « ait jamais le droit de définir des ensembles de façon indépendante » (dürfen […] niemals Mengen independent definiert […] werden) : de nouveaux ensembles « ne peuvent jamais être définis que par séparation à partir d’ensembles déjà donnés » (immer nur als Untermengen aus bereits gegebenen ausgesondert [definiert] werden)42. En d’autres termes, la formation d’un nouvel ensemble ne saurait avoir lieu que sur le fondement d’un ensemble d’objets déjà donné, par une procédure de séparation qui départage les éléments qui satisfont un prédicat de ceux qui ne le satisfont pas ; aucune création ex nihilo d’idéalités n’est autorisée, mais seulement un partage dans un domaine d’idéalités prédonné.
Existence intrathéorique et intradiscursive des objets mathématiques – Refus de l’existence en soi, mais thèse d’objectivité idéale
31Tirons-en la conséquence philosophique essentielle : les objets n’ont d’existence qu’intrathéorique et intradiscursive, et c’est à ce titre que leur visée se caractérise par une structure d’horizon.
32La procédure frégéenne définit de nouveaux objets sur fond d’objets déjà donnés : c’est à partir des droites du plan euclidien qu’on peut définir la direction par la relation de parallélisme, à partir des triangles que l’on peut définir leur forme par la similitude, à partir des ensembles qu’on peut définir le cardinal par la relation d’équinuméricité ; toute procédure de formation de nouvelles idéalités est une constitution d’objets de degré supérieur à partir d’objets donnés de degré inférieur. Elle possède donc un quadruple trait d’essence.
- 43 Husserl, Vorlesungen über Ethik und Wertlehre, Dordrecht, Kluwer, 1988, Hua XXVIII, 252 : « [Acte (...)
33D’une part, elle repose sur le fondement ontologique d’un domaine prédonné : de même que nulle expérience d’objets sensibles n’est vierge de tout savoir, nulle définition de nouveaux objets ne peut avoir lieu sans l’assise de champs d’idéalités déjà disponibles ; la clause introduite par l’axiome de séparation ne fait que renforcer ce double caractère de présupposition et d’édification sur des objets déjà donnés. La constitution obéit donc à la relation de fondation (Fundierung) entre niveaux successifs de l’objectualité idéale, avec son double sens de présupposition de… et d’édification sur…43.
- 44 Desanti, « Le langage des idéalités », dans Le philosophe et les pouvoirs, 2e éd., Paris, Hachett (...)
- 45 Desanti, Les Idéalités mathématiques, Paris, Seuil, 1968, p. 64, note 1.
34D’autre part, il s’agit d’une procédure noématique d’extension opératoire du champ des idéalités : « Il n’y a pas de raison […] pour que le domaine des “objets” acceptables soit limité une fois pour toutes » – mais, à partir d’objectités idéales prédonnées, il est toujours possible d’effectuer de nouvelles définitions d’objets44. Cela évacue le réalisme entendu en son sens maximal : il n’existe en effet pas de domaine en soi et total des mathemata qui, indépendamment de toute effectuation, contiendrait la totalité des entités mathématiques. Car les objets sont toujours le corrélat d’opérations, et la possibilité de définir de nouvelles opérations a pour conséquence l’extensibilité indéfinie du champ des objectités mathématiques. Tel est ce que Desanti nomme schème opératoire : une position de relations sur un domaine d’objets donnés, qui ouvre la possibilité de définir une nouvelle classe d’objets – ainsi la position d’une relation d’ordre sur l’ensemble des nombres rationnels permet-elle de définir l’ensemble des coupures sur cet ensemble45.
- 46 R. Carnap, Der logische Aufbau der Welt, Berlin, Weltkreis, 1928, § 2 : « Un objet (ou un concept (...)
- 47 Cf. Dedekind, Stetigkeit und irrazionale Zahlen, dans GMW III, 315-391 (trad. fr. H. Benis Sinace (...)
35Partant, loin de se réduire à une activité synthétique de la conscience, tout engendrement d’objets est une procédure opératoire d’ordre intramathématique, douée d’objectivité idéale : elle consiste à définir sur un champ d’objets idéaux un prédicat et à le reconduire à une relation d’équivalence. Le terme d’opération désigne donc prioritairement non un acte de pensée, mais une procédure définie par une règle de mise en correspondance ; c’est seulement a parte post, et par le biais d’une réflexion transcendantale, qu’il peut en venir à désigner une effectuation de la conscience, laquelle est alors le miroir noétique ou l’intériorisation subjective de la première. C’est pourquoi, dans le cas des idéalités, la constitution possède le sens spécifique que lui accorde Carnap, celui d’une articulation intranoématique entre les niveaux d’objets : à savoir le passage, grâce à une procédure définitionnelle ou opératoire, d’un palier à son voisin immédiat46 – laquelle peut être entendue comme une procédure de reconduction si elle va de haut en bas, ou à l’inverse comme une procédure d’extension si elle procède de bas en haut : ainsi la démarche de Kronecker consiste-t-elle à réduire aux seuls nombres entiers les différentes espèces de nombres (relatifs, rationnels, réels), tandis qu’à l’inverse celle de Dedekind consiste à construire de nouveaux ensembles de nombres à partir des nombres cardinaux47.
- 48 J. Cavaillès, Sur la logique et la théorie de la science, I, Paris, Vrin, 1976, p. 4, 1997, p. 20 (...)
- 49 Desanti, « Les idéalités mathématiques », dans Le philosophe et les pouvoirs, op. cit., p. 186 – (...)
- 50 Nous empruntons à Maurice Caveing l’expression très parlante de « chantier de théorisation » – Le (...)
- 51 Husserl, Cartesianische Meditationen, § 20, Hua I, 84 (trad. fr. dir. M. de Launay, Méditations c (...)
36C’est ce qui fonde la structure d’horizon indéfini de la visée des idéalités : toute position d’objets n’est en effet qu’un maillon ou un palier dans une chaîne de positions de domaines qui peuvent s’échelonner à l’infini, sans qu’il y ait jamais de borne supérieure ; nulle visée d’idéalités ne peut être close sur soi, mais enveloppe à titre potentiel l’épaisseur de son horizon implicite. Cela autorise à parler avec Cavaillès de dynamisme de la pensée mathématique48, et avec Desanti d’inachèvement et de mobilité des théories mathématiques : « une théorie mathématique n’est jamais donnée une fois pour toutes. Bien entendu, elle conserve toujours une certaine stabilité, mais en même temps, elle manifeste une mobilité essentielle »49. Mais rien n’autorise donc à conclure de la structure d’horizon de la visée catégoriale à l’être en soi des idéalités mathématiques ; la notion d’horizon ne désigne ici que le domaine implicite des propriétés à déterminer et des idéalités coposées à explorer. L’existence mathématique n’est pas un être en soi, mais le corrélat historique d’un chantier de théorisation en devenir 50, car toute position d’un champ d’objets appelle la thématisation potentielle d’autres domaines implicitement coposés. On retrouve ainsi, au cœur des idéalités, la caractéristique hyperbolique que Husserl considère au § 20 des Méditations cartésiennes comme un moment eidétique (Wesensmoment) de toute conscience : le fait d’être par essence une « visée excédentaire » (Mehrmeinung), un « acte de viser-au-delà-de-soi-même » (Über-sich-hinaus-Meinen)51. Vaut par conséquent, pour la visée des objectités mathématiques, ce qu’en commentaire de ce passage des Méditations Levinas discernait comme formant la structure excédentaire de l’intentionnalité, corrélative au débordement de l’explicite par l’implicite :
- 52 Levinas, « La ruine de la représentation », dans En découvrant l’existence avec Husserl et Heideg (...)
L’intentionnalité désigne ainsi une relation avec l’objet, mais une relation telle qu’elle porte en elle, essentiellement, un sens implicite. La présence auprès des choses implique une autre présence auprès d’elles, qui s’ignore, d’autres horizons corrélatifs de ces intentions implicites […] Affirmer l’intentionnalité, c’est apercevoir la pensée comme liée à l’implicite où elle ne tombe pas accidentellement, mais où, par essence, elle se tient52.
- 53 Frege, « Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift », dans Nachgelassene Schriften, Hamburg, (...)
37De surcroît, vu que les relations doivent être entendues de manière intensionnelle, la définition des nouveaux objets s’avère elle-même de nature intensionnelle, c’est-à-dire qu’elle s’effectue sur fond de caractères conceptuels de nature relationnelle : l’ascension d’un niveau à un autre ne consiste jamais à ajouter, de façon purement extensionnelle, de nouvelles singularités idéales à un domaine existant, mais à définir une relation d’équivalence qui permette de disposer en compréhension des nouveaux objets. Ainsi se manifeste un trait de la pensée mathématique : c’est fondamentalement une pensée intensionnelle des relations, et seulement par voie de corrélation une pensée extensionnelle des singularités idéales. Par là se voit confirmé le rejet frégéen de la conception purement agrégative des ensembles : un ensemble d’objets n’est pas donné par énumération, c’est-à-dire par la seule liste de ses éléments, mais par la définition des prédicats ou relations que vérifient ces objets53 – holisme de la constitution catégoriale : la saisie intensionnelle du tout précède et fonde celle de ses éléments.
- 54 Nous empruntons le terme Wesenseiendes au § 8 des Ideen III, où Husserl l’oppose au Daseiendes : (...)
- 55 Cf. Frege, Die Grundl. d. Arithm., § 67, p. 78 : « La définition d’un objet, en tant que telle, n (...)
- 56 Desanti, « Le langage des idéalités », op. cit., 305. La formule n’est pas de Kreisel lui-même, m (...)
38Enfin, jamais l’acte de définition n’est, par lui-même et isolément, créateur de nouvelles objectités : l’acte définitoire pose un sens présumé, mais seule une procédure d’attestation intramathématique permet de réaliser ce sens, c’est-à-dire de convertir la signification posée en Wesenseiendes, c’est-à-dire en essence mathématique douée d’existence idéale54. En témoigne la reconduction des prédicats à des relations : une telle relation ne définit un nouveau champ d’objets idéaux que s’il s’agit d’une relation d’équivalence ; or, que telle soit bien la nature de la relation qui a été définie, cela requiert une démonstration ; de manière générale, toute fixation arbitraire d’une notion mathématique nouvelle exige ensuite une démonstration d’existence idéale55. Qu’on entende cette dernière en un sens constructiviste, finitiste, formaliste ou logiciste, cela ne change rien à la thèse générale : le sens d’être (Seinssinn) idéal ne saurait acquérir de validité d’être (Seinsgeltung) par simple décret arbitraire du sujet, mais seulement par une procédure de vérification qui est de nature démonstrative et, à chaque époque de la praxis mathématique, épouse les contours qu’assigne à la pratique démonstrative la communauté mathématicienne. Le problème ontologique de l’existence des objets idéaux se laisse reconduire par conséquent à la question syntaxique de la justification des énoncés au sein d’une théorie donnée : jamais l’être des idéalités ne saurait se scinder radicalement de la question des modes de validation des énoncés au sein d’une théorie, voire de validation des théories elles-mêmes comme systèmes d’énoncés. C’est en ce sens précis que le mode d’être des objets mathématiques est intrathéorique ou intradiscursif, et c’est pourquoi Desanti souscrit à la formule de G. Kreisel : « Le problème n’est pas de l’existence des objets mathématiques, mais de l’objectivité de leurs énoncés [sic – scil. des énoncés mathématiques] » (The point is not of the existence of mathematical objects, but the objectivity of mathematical statements)56.
39Une telle position est compatible avec le réalisme entendu dans les deuxième et troisième sens, mais non avec le réalisme pris dans le premier sens. En effet, les objectités idéales ne possèdent pas d’être absolument indépendant de toute possibilité de les connaître, c’est-à-dire de tout acte de théorisation (statut intrathéorique), de tout mode de désignation, de définition et de démonstration de leur existence et de leurs propriétés ; en revanche, elles se caractérisent bien par leur objectivité (prise au sens d’identité omnisubjective, de l’être pour quiconque) et leur légalité idéale (entendue comme obéissance à des lois idéales de consistance qui ne sont pas instituées, mais découvertes par le sujet mathématicien). Si le terme de réalisme désigne, de manière générale, une thèse de réalité rapportée à un domaine d’entités spécifique, il n’y a ici de réalisme que relativement aux lois idéales, et entendu au double sens du caractère non institué de ces lois et de leur validité pour quiconque ou pour tout sujet connaissant, quelle qu’en soit la nature ; le réalisme se réduit par conséquent à la double reconnaissance de l’omnisubjectivité et de la légalité idéale propres à ces objets.
Les modes de l’effectivité chez Lotze : primat de la consistance des relations et de la validité des propositions
- 57 R. H. Lotze, Logik, Leipzig, 1843 ; éd. en trois volumes en 1880, puis éd. G. Misch, Leipzig, 191 (...)
- 58 « Die Ideenwelt », § 316, p. 511 (trad. fr., 116).
40Dans le célèbre chapitre intitulé « Le monde des Idées » du tome III de sa Logique, Rudolf Hermann Lotze tente de brosser une typologie formelle des contenus de pensée – et ce en montrant qu’au-delà de la fugacité des affections sensorielles, les contenus sensibles correspondants (une couleur vue, un son entendu, etc.) contiennent un « certain élément de positivité » ou « d’affirmation » (ein gewisses Element der Bejahung) : à savoir la présence constante d’une teneur idéale à laquelle le regard peut à loisir revenir pour l’expliciter57. Or un tel contenu est d’emblée inséré dans un réseau de modalités d’être. Prenons une nuance de couleur rouge : l’affection sensorielle de couleur advient ou se produit ; le contenu chromatique, en revanche, est ; en même temps, il s’oppose aux autres couleurs fondamentales (jaune, bleu) et à leurs composés, et se situe dans l’échelle chromatique des rouges ; enfin, on peut énoncer à son sujet diverses propositions valides. Ces différents modes d’être ou manières d’avoir un élément de positivité, Lotze les regroupe sous l’appellation formelle d’effectivité ou de réalité effective (Wirklichkeit), pour en distinguer les déclinaisons suivantes : une chose est (ist), un événement se produit ou advient (geschieht), une relation ou un rapport consiste (besteht) ou possède une consistance idéale, tandis qu’une proposition vaut (gilt) ou possède une validité idéale58.
41Cependant la question se pose de déterminer quelle est la hiérarchie de ces modes de la réalité effective : faut-il admettre l’être, l’advenir, la consistance relationnelle et la validité propositionnelle comme autant de modalités cooriginaires et de même rang, ou bien est-il possible de mettre en évidence entre eux des rapports de dérivation ?
42Les analyses qui précèdent permettent de statuer s’agissant des objectités mathématiques : qu’elles aient un mode d’être intrathéorique et intradiscursif, cela signifie que leur être est fonction de la consistance (Bestehen) des relations (celle de relations d’équivalence sur un champ donné), ainsi que de la validité (Geltung) des théories ou de propositions inscrites dans une théorie. Que de surcroît les théories se caractérisent par leur inachèvement, cela implique qu’elles possèdent une certaine forme de temporalité ou d’historicité : consistance des relations et validité des propositions se situent ainsi dans une manière historique d’advenir (Geschehen) des théories et des champs d’objets associés. L’être des objets idéaux ne se laisse donc scinder ni de l’historicité de la théorisation mathématique, ni des procédures opératoires de définition, ni des procédures démonstratives d’attestation.
Notes
1 Jacques Derrida, Introduction à Husserl, L’origine de la géométrie, Paris, PUF, 1962, p. 6 : « l’objet mathématique est idéal. Son être s’épuise et transparaît de part en part dans sa phénoménalité. Absolument objectif, c’est-à-dire totalement délivré de la subjectivité empirique, il n’est pourtant que ce qu’il apparaît. Il est donc toujours déjà réduit à son sens phénoménal et son être est d’entrée de jeu être-objet pour une conscience pure. »
2 Husserl, Formale und transzendentale Logik, § 28, éd. P. Janssen, Den Haag, M. Nijhoff, 1974, Hua XVII, 93-94 (trad. fr. S. Bachelard, Logique formelle et logique transcendantale, Paris, PUF, 1957, p. 123-124).
3 Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie, Bd. I, § 13, éd. K. Schuhmann, Den Haag, M. Nijhoff, 1976, Hua III/1, 31 (trad. fr. J.-F. Lavigne, Idées directrices pour une phénoménologie pure et une philosophie phénoménologique, Paris, Gallimard, 2018, p. 46).
4 Ideen I, § 10, Hua III/1, 26 (trad. fr., 40).
5 Logik und allgemeine Wissenschaftstheorie, § 26b, éd. U. Panzer, Dordrecht/Boston/London, Kluwer, 1996, Hua XXX, 117-118.
6 Nous nous référons à la typologie des concepts brossée au § 60 de la Sixième Recherche, adoptée pour point de départ des analyses que nous avons menées dans Intuition et idéalités (Paris, PUF, 2020, p. 68 sq.) – cf. Logische Untersersuchungen, VI. Unters., § 60, U. Panzer, Den Haag, M. Nijhoff, 1984, Hua XIX/2, 713 (trad. fr. H. Élie et al., Recherches logiques, tome III, Paris, PUF, 1974, p. 221).
7 Ideen I, § 10, Hua III/1, 27-28 (trad. fr. Ricœur, 41-43, Lavigne, 41-42). Tout le chap. II de Formale und transzendentale Logik est le développement de cette distinction fondamentale du § 10 des Ideen I : l’orientation respective de la pensée catégoriale vers les formes de signification et les formes d’objet – §§ 23-27, Hua XVII, 76-93 (trad. fr., 100-122), not. § 27b, Hua XVII, 92 (trad. fr., 121).
8 Form. u. transz. Logik, § 23, Hua XVII, 76-77 (trad. fr., 100-101) – Logik u. allg. Wissenschaftsth., § 26a-b, Hua XXX, 116-118, où Husserl emploie de préférence le terme de « noyau vide » (Leerkern), qui n’est « pas un noyau, mais une écorce vide de noyau » (leere Hülse von Kern).
9 Alte und neue Logik. Vorlesung 1908-09, éd. E. Schuhmann, Dordrecht/Boston/London, Kluwer, 2003, Hua Materialien IV, 30, 69 et 88.
10 Logik u. allg. Wissenschaftsth., § 26b, Hua XXX, 118. Cf. Form. u. transz. Logik, § 25, Hua XVII, 83 : Husserl cite l’exemple de l’algèbre de la logique de Boole, laquelle procède à une arithmétisation de la logique qui se limite aux seules grandeurs 0 et 1 et définit les connecteurs (disjonction et conjonction) comme de simples opérations analogues aux opérations arithmétiques élémentaires (addition et multiplication logiques) (trad. fr., 108) – Cf. G. Boole, An Investigation of the Laws of Thought, 1854 (trad. fr. B. Diagne, Les lois de la pensée, Paris, Vrin, 1992, et la présentation donnée par L. Couturat dans L’Algèbre de la logique, Paris, A. Blanchard, 1980).
11 Form. u. transz. Logik, § 24, Hua XVII, 81-82 (trad. fr., 107). Comme au § 10 des Ideen I, le terme Allgemeinheit doit être traduit par universalité, et non par généralité.
12 Form. u. transz. Logik, § 26d, Hua XVII, 89 (trad. fr., 116).
13 Form. u. transz. Logik, § 24, Hua XVII, 82 (trad. fr., 107-108).
14 Form. u. transz. Logik, § 24, Hua XVII, 81 (trad. fr., 106).
15 Ideen I, §§ 9 et 74, Hua III/1, 24 et 153-156 (trad. fr. Ricœur, 37 et 235-237, Lavigne, 38 et 213-214) – Erste Philosophie, Bd. I, 4. Vorles., Hua VII, 29-30 (trad. fr. A. L. Kelkel, Philosophie première, Paris, PUF, 1970, p. 41-42).
16 Form. u. transz. Logik, § 30, Hua XVII, 97-98 (trad. fr., 128).
17 Form. u. transz. Logik, § 28, Hua XVII, 95 (trad. fr., 125).
18 Cf. R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ?, § 1, Brauschweig, Vieweg, 1911, p. 1, puis Gesammelte mathematische Werke, Brauschweig, Vieweg, 1932, Bd. III, p. 344 (trad. fr. H. Benis Sinaceur, Que sont et à quoi servent les nombres ? dans Dedekind, La création des nombres, Paris, Vrin, 2008, p. 153-154) – D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, chap. I, § 1, Leipzig, 1899, p. 2 ; puis Leipzig/Berlin, Teubner, 1930 (trad. fr. P. Rossier, Les fondements de la géométrie, Paris, Dunod, 1971, rééd. J. Gabay, 1997, p. 11) – Cf. Desanti, La philosophie silencieuse, Paris, Seuil, 1975, p. 81.
19 Form. u. transz. Logik, § 28, Hua XVII, 95 (trad. fr., 125).
20 Ibid.
21 Grundlagen der Geometrie, § 1, 1e éd., Leipzig, 1899, p. 5, 9e éd., Stuttgart, Teubner, 1962, p. 2 (trad. fr., p. 11). La traduction est ici très imprécise.
22 Nous avons traité de cet exemple dans Intuition et idéalités, Paris, PUF, 2020, p. 199 sq. Une excellente présentation est donnée par Bernard Vitrac dans la Notice intitulée « Sur l’axiomatique » de sa traduction des Livres I-IV des Éléments d’Euclide (Paris, PUF, 1990, p. 188-194).
23 Husserl, Form. u. transz. Logik, § 28, Hua XVII, 95 (trad. fr., 125).
24 Cela correspond à ce qu’autrefois on appelait algèbre formelle ou universelle – cf. A. North Whitehead, A Treatise on Universal Algebra, Cambridge, Cambridge University Press, 1898.
25 Desanti, « Le langage des idéalités », dans Le philosophe et les pouvoirs, Paris, Hachette, 2008, p. 304.
26 Log. Unters., Bd. I : Prolegomena zur reinen Logik, § 42, éd. E. Holenstein, Den Haag, M. Nijhoff, 1975, Hua XVIII, 166 (trad. fr. H. Élie, A. L. Kelkel et R. Schérer, Recherches logiques, tome I : Prolégomènes à la logique pure, Paris, PUF, 1969, p. 179).
27 Log. Unters. : Prolegomena, § 39, Hua XVIII, 134 (trad. fr. RL I, 142).
28 Log. Unters. : Prolegomena, § 36, Hua XVIII, 125 (trad. fr. RL I, 130).
29 Form. u. transz. Logik, § 96a, Hua XVII, 247 (trad. fr., 322).
30 Log. Unters. : Prolegomena, § 42, Hua XVIII, 167 (trad. fr. RL I, 180).
31 Log. Unters. : Prolegomena, § 23, Hua XVIII, 81 (trad. fr. RL I, 77-78).
32 Desanti, « Le langage des idéalités », dans Le philosophe et les pouvoirs, op. cit., p. 303 – « Sur l’usage de la notion d’objet en mathématiques », dans Mathesis, idéalité et historicité, Paris, ENS Éditions, 2014, p. 214.
33 « Le langage des idéalités », dans Le philosophe et les pouvoirs, op. cit., p. 304.
34 L. Couturat, Les principes des mathématiques, chap. II, Paris, F. Alcan, 1905, p. 49-50.
35 Ou antiréflexive (aucune droite n’est parallèle à elle-même), selon la définition que l’on donne du parallélisme.
36 G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, § 68, Breslau, W. Koebner, 1884, p. 79 (trad. fr. C. Imbert, Les fondements de l’arithmétique, Paris, Seuil, 1969, p. 193).
37 Die Grundl. d. Arithm., § 68-73, p. 79-86 (trad. fr., 194-200) – cf. F. Patras, La possibilité des nombres, Paris, PUF, 2014, p. 317-318.
38 Cf. B. Russell, Principles of Mathematics, Cambridge University Press, 1903, chap. 2, § 28, p. 24 et chap. 9, § 98, p. 99 : « Il semble par conséquent plus correct d’adopter un point de vue intensionnel sur les relations [to take an intensional view of relations] et de les identifier plutôt avec les concepts de classes qu’avec les classes [to identify them rather with class-concepts than with classes] » (trad. fr. part. J.-M. Roy, Les principes de la mathématique, in Écrits de logique philosophique, Paris, PUF, 1989, p. 49 et 145). Cela tient à l’irréductibilité des relations orientées à des classes de couples : par exemple, la relation plus grand que implique non seulement l’appariement des référents et des relata, mais encore un sens de cet appariement ; les termes en relation forment des couples, et non des paires.
39 Cf. R. Brisart, « Le problème de l’abstraction en mathématiques », dans Husserl et Frege, Paris, Vrin, 2002, p. 13-47, not. p. 18-30. Passé l’excellente présentation de la méthode frégéenne de définition des nombres cardinaux (p. 18-23), l’optique de notre ami regretté se situe à l’opposé de la nôtre en faisant siennes les critiques qu’adresse Husserl à Frege dans la Philosophie de l’arithmétique : en définissant tout cardinal comme une classe d’équivalence de classes équinumériques (c’est-à-dire par la substituabilité de ces dernières), Frege aurait indûment confondu l’identité et l’égalité et s’en serait tenu à une conception purement extensionnelle du concept à laquelle R. Brisart oppose la conception intensionnelle du jeune Husserl (p. 23-27). Cette critique est erronée sur le fond, et ce pour plusieurs raisons. 1) Frege ne défend nullement une conception purement extensionnelle des concepts, mais refuse au contraire la conception purement agrégative ou quantitative qui assimile un concept à son extension ; une extension conceptuelle ne consiste pas dans les individus qu’elle contient, mais dans l’unité du concept correspondant, et ce dernier se définit non par l’énumération des objets qui tombent sous lui, mais par l’indication de ses caractères ou des propriétés générales que vérifient ces objets (le texte décisif est ici la « Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik » [Éclaircissement critique de certains points des Leçons d’E. Schröder sur l’algèbre de la logique], Archiv für system. Philosophie I (1895), note p. 441, 445, 451-455). 2) Loin d’identifier tout simplement les nombres cardinaux à des totalités extensionnelles de classes équinumériques, Frege les définit à partir de la relation d’équinuméricité ; or une relation est une fonction à deux places de nature intensionnelle, et non extensionnelle – ce qui signifie que le fondement de la définition des entiers est intensionnel. 3) R. Brisart parle chez Frege d’une définition des concepts de nombres entiers, pour objecter qu’il concevrait ces concepts de manière extensionnelle (p. 26) ; or les cardinaux ne sont nullement pour Frege des concepts, mais des objets ; il n’y a donc aucun sens à lui opposer sur ce point la conception intensionnelle des concepts qu’a le jeune Husserl. 4) On ne saurait enfin passer sous silence l’aveu d’erreur décisif de Husserl : « dans mon chapitre sur les définitions de nombres par équivalences, je me suis donc incontestablement trompé » (« Zur Lehre vom Inbegriff », Hua XII, 403 ; trad. fr. J. English, « Sur la théorie de l’ensemble », dans Articles sur la logique, Paris, PUF, 1975, p. 470) ; il est clair que la théorie de la constitution transcendantale des nombres entiers s’est élaborée sur fond de reconnaissance du caractère mal fondé des critiques précédemment adressées à Frege, et d’intégration d’éléments propres à la conception frégéenne.
40 Russell, Brief XXXVI/1 an Frege, 16.06.1902, dans Gottlob Freges Briefwechsel, Hamburg, F. Meiner, 1980, p. 59 (trad. fr. C. Webern in G. Frege et B. Russell, Correspondance, éd. bilingue, Paris, E.P.E.L., 1994, p. 47).
41 E. Zermelo, « Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I », Mathem. Annalen, no 65, 1908, p. 263, rééd. dans Poincaré, Russell, Zermelo et Peano, Textes de la discussion (1906-1912) sur les fondements des mathématiques : des antinomies à la prédicativité, éd. G. Heinzmann, Paris, Blanchard, 1986, p. 181 (trad. fr. F. Longy, « Recherches sur les fondements de la théorie des ensembles », dans Ph. de Rouilhan et F. Rivenc, Logique et fondements des mathématiques. Une anthologie (1850-1914), Paris, Payot, 1992, p. 373).
42 « Unters. über d. Grundl. d. Mengenl. I », 264, éd. Heinzmann, 182 (trad. fr., op. cit., 373).
43 Husserl, Vorlesungen über Ethik und Wertlehre, Dordrecht, Kluwer, 1988, Hua XXVIII, 252 : « [Actes] fondés en un double sens : 1) s’édifier sur quelque chose [sich auf etwas bauen] ; 2) présupposer ce dernier comme nécessaire [es als notwendig voraussetzen]. » (trad. fr. P. Ducat, P. Lang et C. Lobo, Leçons sur l’éthique et la théorie de la valeur, Paris, PUF, 2009, p. 334).
44 Desanti, « Le langage des idéalités », dans Le philosophe et les pouvoirs, 2e éd., Paris, Hachette, 2008, p. 303.
45 Desanti, Les Idéalités mathématiques, Paris, Seuil, 1968, p. 64, note 1.
46 R. Carnap, Der logische Aufbau der Welt, Berlin, Weltkreis, 1928, § 2 : « Un objet (ou un concept) est dit “reconductible” à un ou plusieurs autres objets [auf einen oder mehrere andere Gegenstände “zurückführbar”] si tous les énoncés qui portent sur lui se laissent convertir en énoncés portant sur ces objets. […] Par “système de constitution” [“Konstitutionssystem”], nous entendons une mise en ordre des objets en niveaux [stufenweise Ordnung der Gegenstände] de telle sorte que les objets de chaque niveau soient constitués à partir de ceux des niveaux inférieurs. » (trad. fr. Th. Rivain, L’édification logique du monde, Paris, Vrin, 2008, p. 58).
47 Cf. Dedekind, Stetigkeit und irrazionale Zahlen, dans GMW III, 315-391 (trad. fr. H. Benis Sinaceur, Continuité et nombres irrationnels, op. cit., p. 21-89) – L. Kronecker, « Über den Zahlbegriff », Journal für die reine und angewandte Mathematik, no 101, repris dans Leopold Kroneckers Werke, Bd. 3.1, hrsg. v. d. Königlich Preussischen Akad. d. Wissensch., éd. K. Hensel, Leipzig, Teubner, 1899, p. 249-274 (trad. fr. J. Boniface, « Sur le concept de nombre », Gazette des mathématiciens, no 81, 1999, p. 49-70, reprise dans J. Boniface, Les constructions des nombres réels dans le mouvement d’arithmétisation de l’analyse, Paris, Ellipses, 2002, p. 152-168) – On trouve une présentation claire dans L. Couturat, De l’infini mathématique, note III : « Sur la théorie des nombres algébriques de Kronecker », Paris, Alcan, 1896, puis A. Blanchard, 1973, p. 603-616 – Sur cette opposition entre Kronecker et Dedekind, cf. H. Benis Sinaceur, Note introductive à Que sont et à quoi servent les nombres, dans La création des nombres, p. 100-101.
48 J. Cavaillès, Sur la logique et la théorie de la science, I, Paris, Vrin, 1976, p. 4, 1997, p. 20 (Œuvres complètes de philosophie des sciences, Paris, Hermann, 1994, p. 486).
49 Desanti, « Les idéalités mathématiques », dans Le philosophe et les pouvoirs, op. cit., p. 186 – L’expression de « conscience d’inachèvement » est employée dans Les Idéalités mathématiques, op. cit., p. 179.
50 Nous empruntons à Maurice Caveing l’expression très parlante de « chantier de théorisation » – Le problème des objets dans la pensée mathématique, Paris, Vrin, 2004, p. 87.
51 Husserl, Cartesianische Meditationen, § 20, Hua I, 84 (trad. fr. dir. M. de Launay, Méditations cartésiennes et Conférences de Paris, Paris, PUF, 1994, p. 92).
52 Levinas, « La ruine de la représentation », dans En découvrant l’existence avec Husserl et Heidegger, Paris, Vrin, 1982, p. 130.
53 Frege, « Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift », dans Nachgelassene Schriften, Hamburg, F. Meiner, 1964, p. 38-39 (trad. fr. É. Schwartz, « La logique calculatorie de Boole et l’idéographie », dans Frege, Écrits posthumes, éd. P. de Rouilhan et C. Tiercelin, Nîmes, J. Chambon, 1994, p. 44-45) – « Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik » [Éclaircissement critique de quelques points dans les leçons de Schröder sur l’algèbre de la logique], Archiv für systematische Philosophie 1 (1895), p. 441, note – Russell, My Philosophical Development, chap. VIII, Londres, Allen & Unwin, 1959, p. 87 : « Ce qui confère à une classe son unité, c’est seulement l’intension qui est commune et particulière à ses membres. » (What gives unity to a class is solely the intension which is common and peculiar to its members) (trad. fr. G. Auclair, Histoire de mes idées philosophiques, Paris, Gallimard, 1961, p. 109).
54 Nous empruntons le terme Wesenseiendes au § 8 des Ideen III, où Husserl l’oppose au Daseiendes : il désigne en effet un étant d’ordre eidétique, qui se confond avec une essence, par opposition à tout existant individuel relevant de la réalité spatiotemporelle (Hua V, 41 ; trad. fr. D. Tiffeneau, La phénoménologie et les fondements des sciences, Paris, PUF, 1993, p. 50).
55 Cf. Frege, Die Grundl. d. Arithm., § 67, p. 78 : « La définition d’un objet, en tant que telle, ne dit absolument rien de cet objet, mais fixe le sens d’un signe [setzt die Bedeutung eines Zeichens fest]. » (trad. fr., 193).
56 Desanti, « Le langage des idéalités », op. cit., 305. La formule n’est pas de Kreisel lui-même, mais lui est attribuée par Michael Dummett dans Truth and other Enigmas (Harvard University Press, 1978, p. XXVIII et 228), qui se réfère à sa recension du livre de Wittgenstein sur les fondements des mathématiques : « Wittgenstein argues against a mathematical object (presumably : substance), but, at least in places […] not against the objectivity of mathematics, especially through the recognition of formal facts » (G. Kreisel, « Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics », The British Journal for the Philosophy of Science, vol. 9, no 34, 1958, p. 138, note 1) – Cf. G. Sundholm, « Vestiges of Realism », dans B. McGuinness et G. Oliven (éd.), The Philosophy of Michael Dummett, Dordrecht, Kluwer, 1994, p. 137-165, p. 144, note 24, et, dans cette perspective, M. van Atten, « Dummett’s objection to the ontological route to intuitionistic logic : a rejoinder », Inquiry, 2019. Je suis redevable à Mark van Atten de ces informations.
57 R. H. Lotze, Logik, Leipzig, 1843 ; éd. en trois volumes en 1880, puis éd. G. Misch, Leipzig, 1912, Drittes Buch : Vom Erkennen, II. Kap. : « Die Ideenwelt », § 313 sqq., p. 505 sqq., rééd. Hamburg, F. Meiner, 1989, p. 31 sqq. (trad. fr. A. Dewalque in Philosophie no 91, 2006 : « Le monde des Idées », p. 9 sqq.), ici § 316, p. 510-511 (trad. fr., 13-14). Cette traduction a été revue et rééditée dans un beau volume intitulé Sur la théorie platonicienne des Idées, contenant des textes de B. Bauch, H. Cohen, R. Hönigswald, E. Lask, R. H. Lotze, P. Natorp et W. Windelband, traduits et présentés par A. Dewalque (Paris, Vrin, 2021, ici p. 115) ; c’est à la pagination de cette réédition révisée que nous renvoyons désormais.
58 « Die Ideenwelt », § 316, p. 511 (trad. fr., 116).
Haut de pagePour citer cet article
Référence papier
Dominique Pradelle, « La structure d’horizon au sein des axiomatiques : la phénoménologie entre réalisme et idéalisme », Noesis, 38 | 2022, 99-121.
Référence électronique
Dominique Pradelle, « La structure d’horizon au sein des axiomatiques : la phénoménologie entre réalisme et idéalisme », Noesis [En ligne], 38 | 2022, mis en ligne le 01 juin 2024, consulté le 03 novembre 2024. URL : http://journals.openedition.org/noesis/7056 ; DOI : https://doi.org/10.4000/11xm9
Haut de pageDroits d’auteur
Le texte et les autres éléments (illustrations, fichiers annexes importés), sont « Tous droits réservés », sauf mention contraire.
Haut de page