- 1 Via toutefois une certaine forme du théorème de Pythagore, cf. infra note 16. Rappelons que deux g (...)
1La représentation géométrique des entiers par les Grecs anciens permettait de les considérer comme partie d’un ensemble plus vaste, celui des grandeurs linéaires. On obtenait ainsi la possibilité d’une représentation de grandeurs irrationnelles, i.e. de grandeurs qui ne s’expriment pas comme un quotient de deux entiers. La question de l’origine de telles grandeurs irrationnelles ou « sans mesure commune » ou « incommensurables » (avec l’unité) est discutée. Néanmoins, à suivre la plus ancienne littérature qui nous est parvenue sur ce sujet, essentiellement les ouvrages de Platon et d’Aristote, il n’est guère douteux qu’elle suit de l’étude de la diagonale du carré, celle-ci étant « incommensurable » à son côté, ce que l’on note brièvement « incommensurabilité de la diagonale ». En langage moderne, cela s’exprime en disant que √2 est irrationnel1.
2Dans cet article, nous donnons une démonstration nouvelle de cette irrationalité, démonstration qui possède les propriétés suivantes.
- 2 Cela résulte du papyrus de Rhind, daté autour de 1600 av. J.-C., copie d’un manuscrit plus ancien (...)
3(1) Elle utilise des résultats extrêmement anciens, connus sans doute des Mésopotamiens et certainement des Égyptiens de l’antiquité, il y a au moins 4000 ans, et probablement beaucoup plus2.
4L’intérêt d’une telle démonstration est sa neutralité chronologique. L’ancienneté des résultats nécessaires à la démonstration n’impose aucune limite haute de datation, évitant ainsi les spéculations sur le moment de leur apparition.
5On pourrait donc s’interroger sur la tradition rapportant l’irrationalité aux Grecs anciens, et plus spécifiquement à Pythagore ou aux premiers pythagoriciens, c’est-à-dire autour du vie siècle av. J.-C. C’est ce que nous ferons au dernier chapitre de la deuxième partie.
6(2) Surtout, et c’est la raison principale qui a motivé notre recherche, elle est cohérente avec les textes (essentiellement d’Aristote, mais aussi de Platon). Pour reprendre une remarque de Maurice Caveing, elle donne sens à ce qui n’en a guère suivant les interprétations standard.
7(3) Il n’est pas nécessaire de recourir, sous une forme ou sous une autre, à une proposition des Éléments d’Euclide sur la représentation des rationnels comme rapport de deux entiers premiers entre eux (la proposition 22 du livre VII). Non seulement cette proposition n’est pas évidente et suppose un développement important de la théorie des nombres, mais elle impose un terminus post quem à la datation de l’irrationalité de √2. Inversement, celle-ci force un point de vue chronologique sur cette proposition, et en conséquence sur l’ouvrage tout entier.
8(4) On la retrouve comme en miroir au cœur de la dialectique platonicienne, en particulier dans sa stratégie définitionnelle, rendant compte de son importance chez le philosophe athénien.
9(5) Parce que, contrairement aux preuves usuelles, elle n’utilise aucun résultat démontré par l’impossible (ou l’absurde), l’incommensurabilité apparaît comme le premier résultat à n’avoir d’autre démonstration que par cette méthode de preuve. Ainsi, démonstration d’irrationalité et raisonnement par l’impossible entretiennent une relation très étroite, ce qui explique le rôle exemplaire des irrationnels, aussi bien chez Platon que chez Aristote.
10(6) Ce n’est pas la particularisation d’un résultat plus large, contrairement aux démonstrations usuelles qui admettent des généralisations immédiates à tout entier non carré. Or, chez les auteurs anciens, l’irrationalité de √2 apparaît, sous la forme de l’incommensurabilité de la diagonale du carré, comme un résultat en soi. Et dans un texte du Théétète de Platon (147d-148b), portant sur l’irrationalité des racines d’entiers, le nombre 2 se trouve même explicitement distingué des autres entiers. À l’époque de Socrate, où se situe le récit, il n’y avait donc pas de démonstration unique, valide pour tous les nombres. Si la preuve visée par Aristote est bien la plus ancienne démonstration d’irrationalité, ce ne pouvait donc être une preuve générale, dont 2 serait un cas particulier.
- 3 Ainsi, quoique selon des schémas différents, Szabó 1977, p. 92-93, ou Caveing 1998, p. 163.
11Si même, comme le pensent certains commentateurs3, il en allait différemment, et si le récit du Théétète n’exposait qu’une partie des résultats auxquels étaient parvenus les mathématiciens de cette époque, les textes que nous avons exigent une démonstration distincte pour 2.
- 4 Cela sera explicité dans un article à paraître dans un prochain numéro.
12(7) Enfin, à l’inverse des interprétations habituelles qui se fondent sur la démonstration standard, notre démonstration permet d’expliquer de manière cohérente ce texte du Théétète, concernant l’irrationalité de certains entiers4.
Cet article comprend trois parties.
13Dans la première, qui est aussi la plus longue, on rappelle (chap. I-III), les diverses preuves classiques qui ont été proposées et qui dérivent d’un même modèle, que l’on trouve dans les Éléments d’Euclide. Nous leur avons donné le nom général de démonstration(s) standard. Le lecteur pressé, ou connaissant déjà les preuves classiques, pourra donc, au moins dans un premier temps, passer directement à la suite. Dans les deux derniers chapitres, nous confrontons tout d’abord ces démonstrations à la théorie de la connaissance aristotélicienne des Analytiques, puis aux textes aristotéliciens qu’elles sont censées expliquer.
14La deuxième partie expose une nouvelle démonstration vérifiant les principales propriétés listées ci-dessus.
15Dans la dernière partie, nous concluons sur les conséquences qui suivent de cette démonstration pour la méthode du raisonnement par l’impossible et sa relation à la question de l’irrationalité. L’importance de ce sujet tient à la place qu’il occupe au carrefour entre histoire, mathématique et philosophie.
16Pour les citations en langue étrangère, nous avons utilisé, autant que possible, les traductions existantes. Lorsque aucune n’était disponible, nous avons traduit les textes, en donnant généralement l’original en note.
17L’irrationalité en mathématique intéresse non seulement les historiens des sciences, mais également les philosophes. Ainsi Aristote y fait-il plusieurs allusions dans les Premiers analytiques, sans en expliciter la démonstration. Par contre, il la commente de la manière suivante :
On prouve, par exemple, l’incommensurabilité de la diagonale, par cette raison que les nombres impairs deviendraient égaux aux nombres pairs, si on posait la diagonale commensurable ; on tire alors la conclusion que les nombres impairs deviennent égaux aux nombres pairs, et on prouve hypothétiquement l’incommensurabilité de la diagonale par ce qu’une conclusion fausse (ψεῦδος) découle de la proposition contradictoire. Car tel est, avons-nous dit, le raisonnement par l’absurde (διὰ τὸ ἀδυνάτου) : il consiste à prouver l’impossibilité (ἀδύνατον) d’une chose au moyen de l’hypothèse concédée au début. (An. pr. I, 23, 41a26-32, trad. Tricot.)
Assertion qu’il reprend en la résumant un peu plus loin (I, 44, 50a37-38).
- 5 Aristote emploie tantôt la formule « réduction à l’impossible » (An. pr. I, 7, 29b5), tantôt « pre (...)
La démonstration dont il est question ici, est donc un raisonnement « par l’impossible » (ou « par l’absurde »)5.
- 6 « Les travaux d’Aristote sont de la plus grande importance pour l’histoire des mathématiques et pa (...)
- 7 Autrement dit, que la datation doit être antérieure à cette limite.
- 8 Mais sans donner aucune limite haute. Ainsi que le remarquent Caveing 1998, p. 132, note 6, et W. (...)
18L’importance des textes aristotéliciens est considérable pour les historiens des mathématiques6. Ils permettent en particulier de donner une datation haute7 à la connaissance des irrationnels par les mathématiciens grecs et plus particulièrement à la preuve visée par Aristote8.
19Par commodité pour le lecteur, nous utiliserons un langage moderne pour exposer les démonstrations.
Lorsque cela paraît utile à la lisibilité des énoncés, on désignera la multiplication par ‘×’, sinon, comme il est d’usage, le signe de multiplication sera omis. Ainsi la multiplication des nombres a et b sera notée soit ab, soit a x b.
- 9 Pour l’énoncé original, on se reportera par exemple à Vitrac 1998, p. 414-415.
- 10 Cf. par exemple Heath 1998, p. 22-23.
- 11 Cf. par exemple Vitrac 1998, p. 412-414.
- 12 Ainsi Heath 1981, p. 90-91.
- 13 Par exemple, Tricot 1992 ou Tredennick 1938.
- 14 Ainsi Russell 1970, p. 86 ou Kline 1982, p. 104-105.
20Authentique ou pas, la démonstration qui se trouve au livre X des Éléments d’Euclide (appendice 27) de l’édition de Heiberg9, est très généralement considérée comme celle visée par Aristote dans les Premiers Analytiques10. Si certains, ainsi Árpád Szabó, y voient un texte ancien préservé par Euclide, pour d’autres, il s’agit d’une opération tardive faisant partie de la tradition du commentaire d’Aristote11. Dans ce dernier cas, l’objectif de ses auteurs était d’ajouter aux Éléments une proposition donnant une référence mathématique sérieuse à l’allusion d’Aristote dans les Premiers analytiques. Le recours fréquent, sans preuves textuelles, à des « traces fossilisées », s’expliquant par la volonté des commentateurs d’harmoniser les récits des auteurs grecs anciens. C’est néanmoins la démonstration qui, selon la plupart des historiens, est la preuve originale12, et c’est à elle que renvoient encore, pour explication, les traducteurs du texte aristotélicien13 aussi bien que les auteurs d’ouvrages généraux14.
- 15 « L’ontologie des irrationnels se place toujours dans un contexte géométrique. Les Grecs n’ont jam (...)
- 16 En effet, si b est la diagonale d’un carré de côté a, d’après le théorème de Pythagore, on a : b2 (...)
21Il s’agit de démontrer que la racine carrée de 2 n’est pas rationnelle, ou en termes plus proches des géomètres grecs15, que la diagonale du carré est incommensurable à son côté16.
22Pour cela, on note z cette grandeur (i.e. z2 = 2), et
- 17 Autrement dit, ces deux nombres n’ont pas de diviseur commun différent de l’unité. Ainsi 4 et 15 s (...)
Hypothèse : on suppose qu’il existe deux nombres (entiers) p et q en sorte que l’on ait z = p/q. On peut en outre supposer p et q premiers entre eux17. On va en déduire une contradiction, ce qui prouvera que z n’est pas rationnel.
Résultat 1 : p est pair.
Les égalités :
z2 = 2 et z = p/q
donnent (en élevant les deux membres de la seconde égalité au carré) :
2 = (p/q)2 = p2/q2
d’où
2q2 = p2,
et p2 donc p est pair (le carré d’un pair est pair, celui d’un impair est impair).
Résultat 2 : q est impair.
p et q étant premiers entre eux, ils ne peuvent être simultanément pairs, d’où : q est impair.
Conséquence :
Suivant le résultat 1, p est pair i.e. p = 2r où r est un entier. On a donc : 2 q2 = p2 = (2r)2 = 4r2, d’où q2 = 2r2 est pair,
et (comme ci-dessus, le carré d’un impair étant impair), on obtient :
q est pair.
Mais d’après le résultat 2, le nombre q est impair ; q est donc à la fois pair et impair, ce qui est impossible. En conséquence, l’hypothèse de départ est fausse, et z n’est pas commensurable avec a.
- 18 Entre autres, Charm. 166a, Euthyd. 290c, Gorg. 451b, Hipp. maj. 367a, Ion, 537e, Phaed. 104a-b, Ph (...)
23Cette preuve utilise implicitement la division en deux parties, sans élément commun, des entiers en pairs et impairs, et pas seulement le fait qu’ils sont disjoints. Cette propriété peut se lire dans l’équivalence non explicitée entre « pairs et impairs » et nombres, que l’on trouve communément dans les textes platoniciens18.
24Dans la recherche des origines de l’irrationalité, il importe, souligne Knorr, d’utiliser des textes qui ne soient pas tirés exclusivement des Éléments ; ce à quoi, ajoute-t-il, n’ont pas songé les historiens précédents19.
- 20 Pour le texte original, on peut se reporter à Wallies 1883, p. 260-261. On en trouvera une traduct (...)
- 21 Par exemple Knorr 1975, p. 228-229.
25On trouve une telle démonstration dans le Commentaire des Premiers analytiques par Alexandre d’Aphrodise (iiie siècle)20. Elle comporte diverses maladresses relevées par les commentateurs21. Pour la commodité du lecteur, nous la transposons en langage moderne en conservant les symboles de la démonstration précédente.
26Alexandre réfère tout d’abord au « théorème 4 du livre X » (qui, dans la numérotation moderne, est le troisième théorème du livre X des Éléments), pour formuler l’hypothèse de la démonstration par l’impossible, à savoir :
Hypothèse :
z2 = 2 et z est un rapport de deux nombres entiers.
Puis il choisit p et q des nombres le plus petits possible en sorte que l’on ait z = p/q.
Il renvoie alors au livre VII des Éléments (plus précisément, sans la nommer, à la proposition 22) pour obtenir :
p et q sont premiers entre eux (**’).
Suivant la proposition VII.27, il en déduit :
p2 et q2 sont premiers entre eux (***).
Résultat 1’ : p2 est pair.
Suivant l’hypothèse, on a :
z2 = 2 = p2/q2,
d’où :
2 q2 = p2,
et donc :
p2 est pair.
Résultat 1’bis : q2 est pair.
- 22 Pour Knorr 1975, p. 229, l’absence de renvois aux Éléments dans la seconde partie de cette démonst (...)
Sans référence à Euclide22, Alexandre écrit : « parce que la moitié des nombres carrés divisibles en deux parties égales est aussi paire », on obtient :
q2 est pair.
Résultat 2’ : p2 est impair.
D’après (**’), p et q sont premiers entre eux. Or pour que deux nombres soient premiers entre eux « il faut que tous deux soient impairs, ou que l’un seul d’entre eux le soit ». D’après le résultat 1’bis, q2 est pair, donc : p2 est impair.
Conséquence des résultats 1’ et 2’ :
- 23 Pluriel, ici, très surprenant. Dans cette démonstration, de même que dans les précédentes, on infè (...)
il a été démontré grâce à l’hypothèse qu’ils [p2 et q2] sont tous deux pairs ; les impairs sont donc égaux aux pairs23 en supposant la diagonale commensurable avec le côté, ce qui est impossible.
Aussi l’hypothèse de départ est fausse, i.e. il n’existe pas d’entiers p et q tels que l’on ait z = p/q autrement dit z n’est pas rationnel. La démonstration est ainsi achevée.
27Contrairement à la précédente, la contradiction (être pair et impair), et plus généralement la démonstration, porte non pas sur p (ou q) mais sur leurs carrés.
- 24 On en trouvera une traduction par exemple dans Vitrac 1998, p. 416.
28Une autre démonstration, plus brève, se trouve dans certains manuscrits de l’ouvrage, ainsi que dans la version gréco-latine24.
29En utilisant les mêmes notations et la même hypothèse, on remarque directement que, suivant la proposition VII.22, p et q sont premiers entre eux. Puis :
Résultat 1’’ : q n’est pas l’unité.
En effet, si q était l’unité, son carré le serait également, et on aurait alors p2 = 2, ce qui est impossible, car 2 n’est pas un carré (d’un entier).
Résultat 2’’ : p et q ne sont pas premiers entre eux.
En effet, z2 = p2/q2 = 2, i.e. p2 = 2q2, d’où (prop. VIII.14) q est un diviseur de p, et d’après le résultat précédent q est différent de l’unité. Les entiers p et q ne sont donc pas premiers entre eux.
Conséquence : cela est impossible (puisqu’on a choisi p et q premiers entre eux), et donc l’hypothèse, la rationalité de z, i.e. de la racine carrée de 2, est fausse.
30Toutes ces démonstrations sont ce que nous appelons des démonstrations par l’absurde, et procèdent de la manière suivante : pour établir une propriété (soit H), on la suppose fausse, c’est-à-dire que sa négation (non H) est vraie ; on montre alors que de cette propriété (non H) s’ensuit une conséquence fausse ; de là, on conclut à la fausseté de non H (supposée hypothétiquement vraie au début). La négation de la propriété à démontrer (non H) étant fausse, H est vraie.
- 25 Par un curieux retournement, selon la perspective de la logique moderne, au lieu d’une démonstrati (...)
31En termes plus simples, prouver une proposition revient à montrer que sa négation est fausse car elle entraîne une contradiction25. Pour montrer qu’une grandeur (la racine carrée de 2) est irrationnelle, on suppose qu’elle ne l’est pas, i.e. qu’elle est rationnelle, et on en déduit une impossibilité.
- 26 Becker 1936, p. 533 ; cf. aussi Szabó 1977, p. 233.
32Sur la démonstration qui se trouve à la fin des Éléments dans l’édition de Heiberg (cf. supra II.1), les historiens adoptent des points de vue différents. La plupart considèrent qu’elle n’est pas d’Euclide. O. Becker remarque ainsi que « les éditeurs modernes (ainsi déjà E.F. August en 1829 et plus récemment Heiberg) n’ont su que faire de cette proposition et l’ont donc écartée du texte »26.
- 27 Becker 1936, p. 534 ; Szabó 1977, p. 233.
33Selon ce dernier, rejoint par Á. Szabó, il s’agit d’une très ancienne proposition bien antérieure à l’œuvre d’Euclide. C’est lui (ou ses éditeurs) qui l’aurai(en)t ajoutée à l’ouvrage, parce que jugée « digne d’être conservée » pour des raisons historiques et/ou l’importance qu’il(s) lui accordai(en)t en tant que témoignage essentiel des origines des mathématiques27.
- 28 « La preuve traditionnelle du caractère irrationnel de certains nombres est indiquée par Aristote (...)
- 29 D’où la prudence qu’il est nécessaire d’observer concernant les tentatives de datation. Sur ce poi (...)
34Cette preuve, considérée comme participant d’une théorie pré-euclidienne et rajoutée dans les Éléments, serait alors celle à laquelle ferait référence Aristote28. Selon certains partisans de cette thèse, qu’elle se trouve chez ce dernier témoigne de son ancienneté ; selon d’autres, c’est précisément l’évidence de son ancienneté qui montre qu’elle est la preuve visée par le philosophe. Comme très souvent dans les questions de datation, le danger de circularité est présent29.
- 30 « Cela indique que ce théorème résultait d’une interpolation tardive, mais pré-théonienne, stimulé (...)
- 31 Cf. par exemple Knorr 1975, p. 24-26.
- 32 Cf. supra II.2.
- 33 Alexandre « possédait une copie des Éléments qui était essentiellement de la même forme que celle (...)
35Ceux qui contestent cette argumentation pensent qu’il s’agit d’un ajout tardif, dans la tradition des commentateurs aristotéliciens30, tel Alexandre, dont nous avons rapporté, au paragraphe précédent, l’explication du passage des Premiers analytiques sur l’incommensurabilité. Plusieurs raisons, notent-ils, rendent invraisemblable l’ancienneté de la démonstration ajoutée à la fin du livre X des Éléments. Ainsi, remarquent-ils, elle utilise d’autres propositions euclidiennes dont la datation ne saurait être très ancienne31. Ils pointent également sa similitude avec celle d’Alexandre32 qui, plusieurs siècles après les Éléments, en reprend des propositions dans le cours de la preuve, sans la citer à aucun moment. La proximité des deux preuves et les références explicites à des propositions euclidiennes non citées dans celle d’Alexandre suggèrent que cette démonstration qu’on trouve dans les Éléments leur est en réalité postérieure. Et surtout, si elle existait au temps d’Alexandre, plusieurs siècles après les Éléments, celui-ci n’aurait pas eu besoin d’en redonner une démonstration et y aurait directement renvoyé33. Ils en infèrent qu’elle a été ajoutée très tardivement, et en tout cas après le iiie siècle apr. J.-C., donc bien après Euclide, et ne saurait être connue d’Aristote.
- 34 Par exemple Vitrac 1998, p. 417.
36Enfin, ces deux démonstrations se fondent sur la possibilité de représenter toute fraction par un rapport de deux entiers premiers entre eux. Or, seul est nécessaire qu’ils soient de parités différentes. On peut en conclure, contrairement à Szabó et à la plupart des commentateurs, qu’il est peu probable que la démonstration visée par Aristote soit l’une ou l’autre de ces preuves34.
37Le dernier argument est d’autant plus sérieux que, dans tous les cas, la pierre de touche permettant de décider de la plus ancienne démonstration d’irrationalité sera les textes des Premiers analytiques (auxquels on peut ajouter celui, très bref, de Métaphysique, 983a19 sq.). Or selon Aristote, l’exactitude d’une démonstration ne dépend pas tant de la rigueur formelle du raisonnement (i.e. l’exactitude logique des enchaînements) que de la relation entre prémisse et conclusion. La première doit avoir la généralité (« l’universalité ») qui convient exactement à la conclusion (An. Post. I, 2, 71b9-13).
38Il est vrai que le rapprochement entre les démonstrations précédentes et celle dont parle Aristote paraît naturel.
39D’une part, Aristote insiste sur le type de preuve utilisé, celui par l’impossible. Parce que d’une hypothèse on déduit une impossibilité, il s’ensuit que la négation de cette hypothèse est vraie. Telle est bien la structure démonstrative euclidienne. En outre, cette impossibilité est liée au problème d’une violation du pair et de l’impair. De l’hypothèse posée découle en effet cette absurdité, qu’un même entier est à la fois impair et pair. Et la conclusion à laquelle aboutit la preuve rapportée par Aristote est bien une impossibilité relative au pair et à l’impair 35.
40Toutefois, nous avons exposé au paragraphe précédent des arguments qui rendent un tel rapprochement douteux. Nous allons voir que la théorie aristotélicienne de la démonstration elle-même, telle qu’on la trouve dans les Analytiques, est incompatible avec cette présentation.
- 36 En termes modernes, si dans le contexte considéré, sa valeur de vérité est vraie. On peut rapproch (...)
- 37 Arist. Metaph. B, 2, 996b19-20.
41En effet, une caractéristique des démonstrations précédentes est qu’elles sont trop générales pour le résultat qu’il s’agit d’établir. Or, selon Aristote, la connaissance ne consiste pas à énoncer une propriété vraie, ce n’est pas même son caractère principal. Il s’agit encore (An. Post. I, 24) d’en déterminer la cause, afin, dit-il, d’en obtenir une connaissance véritable ou universelle (καθόλου). Du point de vue démonstratif, cela se traduit par un raisonnement qui doit lui être précisément adapté. Il ne peut être ni trop général ni trop particulier. Dans l’un ou l’autre cas, affirme-t-il, la conclusion est incorrecte, même si, considérée « en elle-même », elle est vraie36. De même, la définition doit inclure la cause de son objet. Définir une chose consiste à la connaître, c’est-à-dire à en connaître l’essence37.
42Dans un autre ouvrage, il souligne encore :
- 38 De an. II, 2, 413a13-15.
Il ne faut pas en effet se contenter, dans l’énoncé d’une définition, d’exprimer un fait, comme c’est le cas dans la plupart des définitions : il faut aussi que la cause (αἰτίαν) y soit présente et rendue manifeste (ἐνυπάρχειν καὶ ἐμφαίνεσθαι)38.
- 39 C’est ainsi que procèdent Théétète et Socrate le Jeune dans le Théétète (148a-b) pour définir les (...)
43L’exemple qui suit ce texte, une quadrature, est, là encore, lié au rapport entre hypoténuse et côté d’un triangle rectangle. Dans le cadre de la géométrie grecque ancienne, il s’agit d’obtenir un carré (de surface) égale (à celle) d’un triangle ou d’un rectangle39.
- 40 La question soulevée permet de mieux saisir la notion de connaissance scientifique chez Aristote. (...)
- 41 De an. II, 2, 413a15-20.
44Pourtant, selon Aristote, cela n’est pas la réponse scientifique au problème. En effet, continue-t-il, de cette manière on obtient seulement la conclusion et non la définition cherchée (de la quadrature). Celle-ci est la « découverte d’une moyenne proportionnelle »40, car c’est alors seulement, que « la cause de la chose » est exprimée (τοῦ πράγματος λέγει τὸ αἴτιον)41.
- 42 An. Post. I, 2, 71b9-13.
45Dans ce cadre, la preuve de l’irrationalité de la racine carrée de 2 selon une méthode permettant d’établir aussi bien l’irrationalité d’autres nombres, est une connaissance « à la manière des sophistes »42. Elle ne rendrait pas compte, en effet, de la seule nature du nombre 2.
- 43 Bien que n’invoquant pas cette doctrine, Knorr remarquait déjà la distinction entre la démarche su (...)
46Or les démonstrations précédentes ne vérifient pas cette condition aristotélicienne. Leur point commun est l’appel à des propositions des Éléments d’Euclide beaucoup plus générales que la conclusion obtenue, en contradiction avec la doctrine aristotélicienne de la science43.
47La dernière démonstration (supra II.3), certes la plus élégante, est également la plus éloignée de la conception démonstrative aristotélicienne. Elle passe en effet, outre par la proposition VII.22, par la proposition VIII.14. En termes modernes, celle-ci établit une équivalence entre la division d’un nombre par un autre et celle de leurs carrés (i.e. q divise p équivaut à q2 divise p2).
48De ces deux propositions, il suit immédiatement que :
La racine carrée de tout entier qui n’est pas un carré (d’entier) est irrationnelle.
49Il suffit pour cela de remplacer, dans la preuve, 2 par un entier quelconque non carré. En voici une brève démonstration.
Soit z la racine carrée de n i.e. z2 = n. D’après l’hypothèse par l’absurde (rationalité de z), on a z = p/q, où p et q sont des entiers, qu’on peut supposer, suivant la proposition VII.22, premiers entre eux. En élevant les deux membres de l’égalité précédente au carré, on obtient :
z2q2 = n q2 = p2.
Résultat 1’’ : q n’est pas l’unité.
Sinon (encore un raisonnement par l’impossible) son carré le serait également, et on aurait n q2 = n = p2, ce qui est impossible puisque (par hypothèse) n n’est pas un carré (d’entier).
Résultat 2’’ : p et q ne sont pas premiers entre eux.
En effet, p2 = nq2 implique :
q2 est un diviseur de p2, d’où :
p2 et q2 possèdent un facteur premier commun (à savoir q2) qui, d’après le résultat 1’’, est différent de l’unité, d’où (prop. VIII.14) :
p et q admettent un diviseur commun différent de l’unité. Ils ne sont donc pas premiers entre eux.
Conséquence : cela est impossible (puisqu’on a choisi p et q premiers entre eux). L’hypothèse est donc fausse, et la racine carrée de n (à savoir z) n’est pas rationnelle.
- 44 L’utilisation de ce terme indique une opposition extrême à tout ce qui relève de la connaissance s (...)
50On obtient ainsi non pas que « la racine carrée de 2 n’est pas rationnelle », mais la propriété beaucoup plus générale : la racine carrée de tout entier non carré (d’entier) n’est pas rationnelle. Au sens d’Aristote, l’utiliser pour le seul cas particulier de la racine carrée de 2 ne permet pas de remonter à la cause. Bien que le résultat soit vrai, c’est une vérité « sophistique » ou « accidentelle » (κατὰ συμβεβηκός)44.
51De toutes celles que nous avons considérées, la démonstration « usuelle » (supra II.1) se rapprocherait le plus d’une démonstration « minimale », c’est-à-dire utilisant les seules propriétés nécessaires à l’obtention de ce que l’on recherche.
- 45 Cf. supra II.1, note 17.
- 46 Cette proposition affirme que tout rapport est exprimable comme un rapport de deux entiers relativ (...)
52Cependant, comme les autres, elle passe par la proposition VII.22, c’est-à-dire une propriété non de parité, mais de relative primalité45. Si la première concerne un entier particulier, l’autre porte sur un couple d’entiers46. Cette fois encore, le moyen n’est pas adéquat à la conclusion. En effet, pour l’obtenir, il est besoin non que toute fraction puisse être mise sous la forme d’un rapport de deux nombres premiers entre eux, mais seulement non simultanément pairs.
53À considérer plus soigneusement les deux premières démonstrations, elles ne diffèrent d’ailleurs pas fondamentalement de la dernière. Car dans toutes les trois, la contradiction porte non pas tant sur le double attribut pair et impair d’un nombre indéterminé que sur le couple dont le rapport donne (sous l’hypothèse par l’absurde de sa rationalité) √2. En effet, les nombres qui le forment sont choisis relativement premiers, et on aboutit à ce qu’à la fois ils sont relativement premiers et ne le sont pas. L’intervention de la parité étant en quelque sorte accidentelle.
- 47 Celle-ci affirme que si deux entiers sont premiers entre eux, il en est de même de leurs carrés. D (...)
- 48 H. Zeuthen remarque que le livre VII et le début du livre VIII forment un ensemble complet en lui- (...)
- 49 C’est pourquoi il est difficile de suivre Heath lorsque, après avoir donné la démonstration standa (...)
54Cela suit de l’appel à la proposition VII.22. Car la démonstration générale que nous avons donnée (pour l’irrationalité de la racine carrée de tout entier non carré d’entier) reste identique en utilisant, en place de la proposition VIII.14, la proposition VII.2747. Or celle-ci est une suite logique et une conséquence très simple de la première, ainsi que le montre la disposition de cette partie du livre VII, où elle apparaît comme une sorte de conclusion à un bloc ouvert par la proposition VII.2248. Il paraît donc improbable qu’un intervalle de temps important les ait séparées49.
- 50 Une somme d’un nombre impair d’impairs est encore impaire.
- 51 Ainsi, O. Becker y voit le point de départ de constructions relevant d’une mathématique archaïque, (...)
55Un argument qui, selon ses partisans, va dans le sens de l’ancienneté de la démonstration « usuelle » serait sa référence à la proposition 23 du livre IX des Éléments50. Celle-ci suit de la division des nombres en pairs et impairs. Son ancienneté présumée, et plus généralement la partie comprise entre les propositions 21 et 34 (voire 36, cf. Szabó 1977, p. 282), est un témoignage essentiel invoqué à l’appui de leur thèse par ceux qui pensent qu’elle est la preuve visée par Aristote51.
56Les autres références au texte d’Euclide seraient des modifications de la preuve initiale, une sorte de commodité offerte au lecteur qui avait facilement accès à cet ouvrage. Elles ne sauraient donc être considérées comme réfutant leur interprétation.
57Mais ce raisonnement ad hoc peut être retourné, et le texte sera, au contraire, considéré comme un écrit tardif, où des éléments anciens ont été retravaillés pour les rendre conformes au modèle démonstratif euclidien, détruisant ainsi la structure propre du raisonnement primitif.
58Knorr plaide pour une telle interprétation, se fondant sur la distance entre le moyen (théorèmes généraux euclidiens) et la fin (l’irrationalité de la racine carrée de 2). Il ajoute que ce n’est qu’à partir de l’époque euclidienne qu’une séparation rigoureuse a lieu entre nombres et grandeurs, alors que l’auteur de cette démonstration distingue avec beaucoup de soin entre eux. L’approche ancienne aurait été plus « naïve »52. Il propose donc une reconstruction de la preuve pythagoricienne « purifiée de ces traits anachroniques », à partir de textes du Ménon de Platon.
59Si l’on admet cette approche, la critique « interne » (i.e. provenant de la théorie aristotélicienne de la connaissance) formulée à l’égard de la démonstration « usuelle » (supra II.1) n’est plus valable. Ainsi, de la représentation générale des fractions (d’entiers) par des nombres premiers entre eux, établie antérieurement, les mathématiciens grecs du temps d’Aristote auraient pu déduire, d’après un raisonnement sur le pair et l’impair, l’irrationalité de la seule racine carrée de 2. Dès lors, n’eût-il pas été légitime de penser cette irrationalité comme conséquence de la nature particulière de ce nombre ? L’exemple serait sans doute infortuné, mais pas absolument contradictoire avec la théorie de la connaissance du Stagirite.
- 53 Cf. p. ex. Heath 1956, I, p. 413, et aussi III, p. 3 et 19.
- 54 Si le rapprochement avec la question considérée ici a souvent été fait, on n’en a guère tiré de co (...)
60Toutefois, cette construction hypothétique ne s’accorde pas avec d’autres données textuelles. Car déjà au temps de Platon, et sans doute bien auparavant, il était connu que des racines carrées de nombres entiers différents de 2 étaient irrationnelles53. Dans le Théétète, le personnage éponyme, un jeune athénien, rapporte à Socrate une leçon du mathématicien Théodore. Celui-ci montre que les segments formant les côtés des carrés de 3 et de 5 pieds (carrés) sont incommensurables avec le segment d’un pied, puis il continue avec d’autres nombres jusqu’à 17 (147d). Il est donc impossible qu’Aristote, ou les mathématiciens de son époque, aient pu penser que l’irrationalité était liée à la nature du nombre 2, et de lui seul. Et de fait, l’exposé de Théodore exclut précisément ce nombre54.
61Néanmoins la principale difficulté à laquelle se heurtent toutes les interprétations « standard » se trouve dans le témoignage aristotélicien lui-même. En effet, la conclusion (impossible) à laquelle on parvient dans le texte, est non pas qu’un nombre impair serait égal à un nombre pair ; moins encore qu’un nombre serait à la fois pair et impair, ce à quoi aboutissent, pourtant, toutes ces démonstrations.
62L’assertion d’Aristote est beaucoup plus forte, puisqu’il conclut que, sous l’hypothèse par l’absurde, les nombres impairs deviendraient pairs. Autrement dit il n’y aurait plus de nombres impairs. Et en conséquence, mais seulement dans un deuxième temps, plus de nombres du tout. Aristote le répète deux fois en des termes identiques :
γίγνεσθαι τὰ περιττὰ (les impairs) ἴσα (égaux) τοῖς ἀρτίοις (aux pairs) : les <nombres> impairs deviennent égaux aux <nombres> pairs (An. pr. I, 23, 41a27),
et une ligne plus bas :
ἴσα γίγνεσθαι τὰ περιττὰ τοῖς ἀρτίοις (41a28).
63Un peu plus loin encore, il résume, utilisant toujours les mêmes termes, en se plaçant sur le mode du repos au lieu du mouvement (εἶναι au lieu de γίγνεσθαι), puisque, alors, la démonstration est achevée :
τὰ περιττὰ ἴσα εἶναι τοῖς ἀρτίοις : « les nombres impairs sont égaux aux nombres pairs » (An. pr. I, 44, 50a38).
- 55 Becker & Hofmann 1956.
64Dans ces trois textes, la contradiction n’est jamais présentée sous la forme d’un double prédicat associé à un nombre, à la fois pair et impair, mais d’une relation d’égalité (via le terme ἴσα) entre la totalité des nombres impairs et celle des nombres pairs. Cela semble pourtant largement ignoré par les commentateurs. Ainsi, Becker-Hofmann écrivent dans leur Histoire des mathématiques55 :
On trouve en outre dans Aristote (Premiers ana. I, 23, 41a26-27) une remarque d’après laquelle si le côté du carré était commensurable avec la diagonale, ce nombre devrait être pair et impair. (Nous soulignons.)
- 56 ‘It is given in practically the same form.’ (Heath 1998, p. 22.)
- 57 « L’allusion concerne clairement la preuve bien connue de l’incommensurabilité de la diagonale que (...)
- 58 Ibid., p. 23. Pourtant, lorsque dans sa traduction commentée des Éléments d’Euclide, il traduit lu (...)
65La position générale, avec diverses variantes, est bien représentée par celle de Thomas Heath. Il considère que les démonstrations d’Alexandre (démonstration II.2), celle que l’on trouve dans les Éléments (démonstration II.1), et celle à laquelle Aristote, par deux fois, fait allusion, sont « pratiquement de la même forme »56, cette dernière n’étant rien d’autre que celle que l’on trouve encore dans les ouvrages modernes57. Celle proposée par l’historien anglais est ce que nous avons appelé la « preuve usuelle » (démonstration II.1). Elle conclut effectivement qu’un nombre (noté q dans cette démonstration) est à la fois impair et pair, « ce qui est impossible »58.
66Dans un autre passage du Théétète que celui déjà mentionné, Socrate exprime la même idée que celle des Analytiques. Il s’agit d’exemples d’absurdités si démesurées que, la raison étant endormie, l’esprit se refuse encore à les envisager. Même en rêve, dit-il, il est impossible de jamais penser que :
τὰ περιττὰ ἄρτιά ἐστιν (« les impairs sont pairs », 190b).
67L’énormité d’une telle supposition est soulignée encore par sa relation à deux autres impossibilités, « se persuader que nécessairement le bœuf est un cheval, ou que deux [est] un » (190c).
68Aristote insiste, lui aussi, sur l’évidence de la conclusion. À l’inverse de la plupart des raisonnements, non mathématiques, qui demandent l’accord des interlocuteurs sur certains points pour aboutir à leur fin, rien de tel ici. Elle suit du raisonnement sans qu’il y ait place pour le moindre doute :
- 59 An. pr. I, 44, 50a32-39 (trad. Tricot).
La différence avec les syllogismes hypothétiques précédents, c’est que, dans les premiers, une convention préalable est nécessaire pour entraîner l’assentiment à la conclusion (…) par contre, dans le cas présent, même en l’absence d’une convention préalable, on donne son assentiment en raison de l’évidence de l’erreur59.
69Car l’unité étant ce par quoi le nombre est défini, à savoir une « pluralité » d’unités, si deux était un, tous les nombres seraient pairs, et on retrouverait cette absurdité des impairs devenant pairs, évidence telle qu’aucune argumentation n’est nécessaire.
70En outre, la structure même de la phrase (τὰ περιττὰ ἄρτιά ἐστιν, « les impairs sont pairs ») est importante. Il s’agit d’attribuer aux « impairs » (τὰ περιττά) un attribut, celui d’être pairs. La conclusion s’oppose à une simple conjonction, que ce soit dans « un pair égal à un impair » ou « un nombre à la fois pair et impair ». Celle-ci est en effet symétrique. Car c’est la même chose qu’un nombre soit « pair et impair » ou « impair et pair » ; et encore, qu’« un pair soit égal à un impair » ou qu’« un impair soit égal à un pair ». Les deux formulations se retrouvent d’ailleurs chez les commentateurs rapportant le texte aristotélicien.
71Au contraire, la phrase considérée est asymétrique. Elle n’indique pas, du moins directement, une identification entre les pairs et les impairs, mais plutôt que les impairs seraient des pairs.
72Il est vrai que, dans ce texte, c’est le terme d’égalité (ἴσα) qui est utilisé par Aristote.
- 60 Xénophon, Hell. I, 6, 30 : ἐπετέτακτο δὲ Πρωτομάχῳ μὲν Λυσίας, ἔχων τὰς ἴσας ναῦς (« en soutien de (...)
- 61 Metaph. M, 8, 1084a1-2.
73Un premier sens peut être immédiatement exclu, celui d’égalité numérique (ainsi dans l’expression ἴσας ναῦς, « des navires en nombre égal »60). Outre que la construction est différente, les ensembles considérés ici sont infinis. Or un argument d’Aristote pour rejeter le caractère numérique de l’infini est précisément que tout nombre doit être ou pair ou impair, l’infini n’étant ni l’un ni l’autre61.
- 62 Qu’il importe pour lui de distinguer du cadre mathématique. Cf. Metaph. A, 9, 992a35-b1.
74Une autre possibilité consisterait à identifier les deux multitudes. L’asymétrie des trois énoncés successifs, où la propriété porte toujours sur les nombres impairs, va toutefois à l’encontre d’une telle interprétation. Certes, l’égalité mathématique est une relation symétrique : si a = b alors b = a et inversement. Mais si Aristote reprend un résultat mathématique, il le fait dans un cadre philosophique62. Or l’égalité, en langage usuel, n’est pas une relation symétrique.
- 63 Voir respectivement Croiset 1923, Canto 1987, Lamb 1925.
- 64 Même asymétrie dans le schème de la division dialectique par dichotomie décrit par Socrate en Phèd (...)
- 65 Il serait par exemple étrange que les amis des animaux exigent que « leurs droits soient égaux à c (...)
75Ainsi, dans le Gorgias de Platon, Socrate, comparant les politiques anciens et modernes, dit, en employant ce même terme ἴσος : οὖτοι δὲ ἀνεφάνησαν ἐξ ἴσου τοῖς νῦν ὄντες (517a2), traduit par A. Croiset de la manière suivante : « ceux-ci nous sont apparus comme valant les modernes » ; par M. Canto : « ces hommes étaient pareils à nos contemporains » ; ou encore par W. Lamb : « nous les avons trouvés être au même niveau que les nôtres au jour d’aujourd’hui » (‘these we have found to be on a par with ours of the present day’)63. Dans tous les cas, la comparaison porte sur le premier terme relativement au second. À gauche ce que l’on recherche, à droite l’étalon de comparaison64. Il en est de même en français usuel, ainsi lorsqu’on parle d’égalité des droits65.
- 66 Dans la démonstration que nous proposons, sous l’hypothèse de la rationalité de la racine carrée d (...)
76On peut donc comprendre qu’Aristote n’utilise pas tant ἴσα au sens d’une relation d’égalité mathématique strictement identificatoire que d’une attribution. Le sens est bien que tous les impairs deviendraient pairs. D’où la dissymétrie systématique des trois énoncés aristotéliciens, où, sous l’hypothèse par l’impossible, ce sont toujours les impairs qui reçoivent l’attribution. L’ambiguïté de la phrase, tient à ce que, une fois devenus pairs, on a aussitôt une identification entre pairs et impairs66. Suivant cette analyse, Aristote et Platon réfèrent bien au même énoncé mathématique.
77Quel que soit le sens précis que l’on prête ici à ἴσα, on aboutit à la disparition des impairs au profit des pairs. Situation qui est bien de la dernière absurdité, équivalant aux autres exemples donnés par Socrate dans le Théétète, impossible à imaginer, même en rêve.
78Reste à considérer la démonstration visée par Aristote, lui permettant de conclure à l’inclusion des impairs dans les pairs (ou à leur égalité). Nous allons tout d’abord examiner les difficultés que posent les démonstrations précédentes vis-à-vis de cette question.
79Celles que l’on trouve dans les divers manuscrits des Éléments, et que nous avons rapportées précédemment (supra, démonstrations II.1 à II.3) comportent quatre étapes que l’on rappelle brièvement.
Hypothèse 1 : z = p/q.
Propriété 1 : on choisit les entiers p et q premiers entre eux.
Conséquence 1 : 2 q2 = p2 = 4r2, d’où q2 = 2r2.
Conséquence 2 : p et q sont pairs, ce qui contredit la propriété 1.
80La propriété 1 est souvent posée comme une évidence donnée en passant, voire en note de bas de page. Si cela est cohérent avec le texte d’Aristote, lequel ne fait aucune allusion à un tel résultat, cela ne l’est guère dans le cadre d’une reconstitution de preuve mathématique. Cette propriété est en effet le point central de la démonstration.
81La représentation de tout rapport par des nombres premiers entre eux présuppose déjà à la fois une arithmétique suffisamment élaborée et un raisonnement par l’impossible devenu une méthode de preuve standard en mathématique. Toutes les démonstrations précédentes réfèrent, en effet, implicitement ou explicitement, à la proposition VII.22 des Éléments :
- 67 Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, proposition pa (...)
Les nombres les plus petits parmi ceux qui ont le même rapport qu’eux sont premiers entre eux67.
dont la preuve est obtenue par un raisonnement par l’impossible.
- 68 Il faudrait alors revoir les datations concernant ce raisonnement en mathématique (cf. Szabó 1977, (...)
82Si la preuve primitive d’incommensurabilité passait par cette proposition, le type de raisonnement par l’impossible ne serait pas apparu pour traiter de l’irrationalité, mais dans un cadre numérique (entier), pour démontrer ce résultat : tout rapport (d’entiers) est représentable par un rapport de deux entiers premiers entre eux68.
- 69 Caveing 1998, p. 133.
- 70 Cf. supra, chapitre IV.
83L’exemple de l’irrationalité traité par Aristote perdrait ainsi de son intérêt historique et de sa pertinence, alors que, rappelle M. Caveing, suivant l’Index Aristotelicus d’Hermann Bonitz, il n’apparaît pas moins de vingt-six fois dans le corpus aristotélicien69. Le Stagirite ne l’aurait pas choisi en tant que résultat paradigmatique de ces démonstrations, mais arbitrairement. Il aurait même fait preuve d’une certaine incohérence, puisque l’exemple fondamental pour illustrer ce mode de raisonnement nécessiterait un résultat intermédiaire obtenu d’après ce même mode. Pour éviter toute circularité dans la présentation, c’est celui-ci qui aurait dû être choisi, le cas étant d’ailleurs plus simple. En procédant différemment, Aristote irait à l’encontre de sa propre théorie de la connaissance qu’il soutient dans les Seconds analytiques70.
84Quoi qu’il en soit, dans la reconstruction des démonstrations que nous avons considérées ci-dessus, l’un des deux raisonnements s’impose :
-
l’incommensurabilité de la diagonale du carré à son côté doit être rapportée à la possibilité d’écrire un rapport numérique quelconque sous la forme de deux nombres premiers entre eux ;
-
tout rapport numérique s’écrit comme un rapport de deux nombres premiers entre eux, sous peine de l’absurde commensurabilité de la diagonale au côté du carré.
- 71 À la manière dont Socrate, parlant du texte de Zénon, le met en relation avec la doctrine parménid (...)
85Ces deux énoncés affirment la même chose, le premier sous une forme affirmative, le second sous une forme négative71.
86Pourtant, que ce soit chez Platon ou chez Aristote, on ne trouve aucune allusion à une construction imbriquant deux raisonnements par l’impossible, l’un établissant la propriété de représentation des rapports numériques par des entiers premiers entre eux, puis, de là, l’impossibilité de la rationalité de la racine carrée de 2.
87Pour éviter ces difficultés, il va s’agir de rendre compte de l’irrationalité, suivant une démonstration qui n’utilise pas cette argumentation, et plus généralement ne passe pas par un résultat prouvé par l’impossible.
88Enfin et surtout, il faut que la conclusion s’accorde avec celle des textes aristotéliciens, plutôt qu’avec ceux tirés des Éléments d’Euclide (authentiques ou pas) et de commentateurs tardifs.
- 72 Cf. supra II.1. Bien qu’il reprenne la démonstration usuelle, Heath n’en souligne pas moins que (a (...)
- 73 C’est également ce que note le physicien-mathématicien Roger Penrose lorsqu’il propose une démonst (...)
- 74 Comme p. ex. P.-H. Michel, cité dans Vuillemin 2001, p. 2.
- 75 Cf. p. ex. Heath 1981, p. 29.
89Tout d’abord, la propriété 1 n’est pas nécessaire dans toute sa généralité : il suffit que p et q ne soient pas simultanément pairs72. Et il est vrai que l’appel à la proposition VII.22 des Éléments n’est pas indispensable73. La démonstration que nous allons donner repose en effet sur un raffinement de la très ancienne méthode du pair et de l’impair, qui, pour certains74, précède même l’apparition de l’écriture. En tout état de cause, elle était bien connue des Égyptiens antiques qui utilisaient une représentation binaire (en parallèle à la représentation décimale) des nombres, particulièrement utile pour les multiplications ou les divisions75.
90Suivant les quelques papyrus qui nous sont parvenus de l’époque égyptienne antique, en particulier celui dit de Rhind (R37 et 38) daté entre 1500 et 1800 av. J.-C., lui-même copie d’un texte plus ancien (autour de 2000 av. J.-C.), on peut considérer que la méthode du pair et de l’impair raffinée que nous allons décrire ci-dessous date, au moins, de 4000 ans. Il s’agit de distinguer non pas seulement entre les nombres pairs (divisibles par 2) et les impairs qui ne le sont pas, mais de continuer la division des pairs aussi loin que possible. Autrement dit, de considérer le nombre maximal de fois qu’un nombre peut être divisé par 2, avant que l’on arrive à un nombre impair.
91Cela s’écrit (en langage moderne) :
- 76 Pour nous autres modernes, l’hypothèse n pair est superflue, car on considère alors que h est égal (...)
Pour tout entier n pair76, on a :
n = 2h u où h est le nombre de divisions possibles de n par 2, et u est un impair.
- 77 En termes modernes on parlerait de l’unicité de h et de u dans l’écriture de n sous la forme n = 2(...)
92On doit noter que dans cette écriture, h (donc u) est bien défini dès que n est donné. En effet, h est le nombre maximal de divisions possible d’un entier par 277. Ainsi :
28 = 2 × 14 = 2 × 2 × 7 est divisible 2 fois par 2, i.e. h = 2 ou encore 28 = 22 × 7,
30 = 2 × 15 est divisible une seule fois pas 2, i.e. h = 1 ou encore 30 = 21 × 15,
32 = 2 × 16 = 2 × 2 × 8 = 2 × 2 × 2 × 4 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25, i.e. h = 5 ou encore 32 = 25,
40 = 2 × 20 = 2 × 2 × 10 = 2 × 2 × 2 × 5, i.e. h = 3 ou encore 40 = 23 × 5.
93L’écriture de tout entier pair sous la forme n = 2h u (où u est impair), bien que découlant naturellement de la distinction entre pair et impair, permet de découper l’ensemble des nombres de manière plus précise. En fait, il s’agit de répéter ce découpage, mais cette fois-ci sur les pairs.
94Nous appellerons cette écriture la décomposition pair/impair de n. Et puisque dans la suite l’entier h joue un rôle essentiel, nous l’appellerons degré de parité de n.
95En notations modernes, si l’on pose :
N est l’ensemble des entiers, I l’ensemble des impairs et P l’ensemble des pairs,
2I l’ensemble des nombres impairs multipliés par 2 et 2P l’ensemble des nombre pairs multipliés par 2,
4I l’ensemble des impairs multipliés par 4 et 4P celui des pairs multipliés par 4,
et ainsi de suite,
on obtient le tableau de la figure 1 ci-dessous :
Fig. 1
Tableau de Nicomaque
96Ce tableau, essentiellement dû à Nicomaque, mais que les historiens font remonter aux pythagoriciens anciens, décrit précisément les pairs sous la forme d’une suite :
- 78 Bertier 1978, p. 67-68 (I, X, 9). Pour le lecteur intéressé, cela donne une démonstration très si (...)
2(2n+1), 4(2n+1), 8(2n+1), 16(2n+1), …78.
97C’est un cas très particulier d’écriture binaire. Dans le cadre opératoire égyptien, où elle était indispensable pour tout calcul, cette propriété allait de soi.
98Dans l’esprit des mathématiciens de la Grèce antique, elle est équivalente à la finitude de la suite des divisions par 2 d’un entier quelconque. Cela signifie encore qu’il n’existe pas de descente infinie de divisions par 2 pour les entiers.
- 79 Cf. supra, note 7.
- 80 Cinq (ou six suivant que l’on tient ou non l’une d’elles pour apocryphe) des définitions par lesqu (...)
- 81 Un nombre est « parfait » (τέλειος), s’il est égal à la somme de tous ses diviseurs (sauf lui-même (...)
99Comme dans le décryptage socratique de l’ouvrage de Zénon79, on a un même raisonnement, présenté sous deux formes, l’une affirmative, l’autre négative. Un début de classification fondé sur cette propriété est élaboré au livre VII des Éléments d’Euclide80. Cette construction intervient également dans la recherche des nombres « parfaits » que l’on trouve à la proposition 36 du livre IX81.
100Une telle suite des puissances de 2 se retrouve dans les plus anciens textes grecs non mathématiques, leur connaissance était donc certainement très antérieure. Déjà les raisonnements par dichotomie de Zénon se fondent sur elles et leurs inverses, i.e. les fractions de la forme (1/2)n.
101Et l’Athénien des Lois de Platon propose de fixer les châtiments pour récidives, de la manière suivante :
- 82 Platon, Lois, 919e6-920a3 (trad. Brisson-Pradeau).
s’il est reconnu coupable d’avoir souillé par une occupation indigne le foyer qui est le sien et celui de ses ancêtres, il sera détaché de cette occupation en faisant un an de prison. Et s’il est repris, il fera deux ans de prison, et, à toute récidive il sera emprisonné de nouveau sans répit pour un temps chaque fois double du précédent82.
- 83 Voir par exemple la quasi-totalité du Sophiste ; Pol. 148c ; Phaedr. 266a, c. Vuillemin 2001, p. 2 (...)
Plus généralement, la division platonicienne dans la recherche des définitions prend modèle sur cette suite83.
- 84 Arist. P.A. I, 643a20-25.
- 85 Metaph. M, 7, 1082b3.
102Dans un texte critiquant le procédé dichotomique platonicien, Aristote remarque que celui-ci aboutit à ce que « les différences dernières seront au nombre de 4 ou ce sera quelque autre parmi les binaires successifs [en fait les puissances de 2] »84. Il reproche ainsi à Platon d’affirmer que les seules divisions naturelles seraient des puissances de 2, l’erreur de ce dernier étant d’oublier le facteur impair qui intervient lorsqu’on considère un nombre en général. Ce serait un autre exemple où, selon lui, un philosophe torture les faits pour imposer sa thèse85.
- 86 Metaph. Δ, 29, 1025a1 ; M, 7, 1081a14-25, b10-30 ; M, 8, 1083a13-14, b30-36 ; M, 9, 1085b5-10 ; N, (...)
103C’est encore suivant une telle procédure que peut se comprendre l’énigmatique engendrement de tout nombre à partir de l’« Un » et de la « Dyade », attribué à Platon par Aristote, et que l’on retrouve fréquemment lorsque ce dernier conteste les thèses de l’Académie86.
- 87 Metaph. M, 7, 1081a14-15.
104Un texte de la Métaphysique est particulièrement explicite. Après avoir noté, une fois encore, que la conception platonicienne du Nombre « procède de l’Un et de la Dyade indéfinie »87, Aristote remarque qu’un nombre ne peut être infini, car dans ce cas, dit-il, il ne serait ni pair ni impair, or tout nombre est nécessairement l’un ou l’autre. Puis il ajoute :
- 88 Ibid. M, 8, 1084a4-7 (trad. Tricot).
le nombre pair provient ou bien d’une duplication de la Dyade à partir de l’Un ou bien d’une duplication des nombres impairs <engendrés par l’application de l’Un au nombre pair>88.
- 89 Cf. aussi J. Tricot 1991, II, p. 240 note 2 et Caveing 1997, p. 209. Knorr propose une origine pyt (...)
105Ce qui n’est rien d’autre que la propriété pour tout pair de s’écrire sous la forme d’une certaine puissance de 2, multipliée par un impair, i.e. la décomposition pair/impair89.
- 90 Knorr 1975, p. 23 note 53, souligne que l’on trouve des exemples de dichotomies itérées sur les ta (...)
106La démonstration de cette propriété est beaucoup plus simple que celle, par l’impossible, de la proposition VII.22. Elle se ramène d’ailleurs à des résultats très primitifs, induits par la dichotomie itérée, qui sont parmi les plus anciens connus en mathématique, puisque remontant aux Babyloniens90 et à l’Égypte antique.
- 91 Cf. par exemple Allen 2000, p. 101. On a toutefois récemment montré la fragilité des témoignages s (...)
- 92 Caveing 1997, p. 201.
107Non seulement la série des puissances de 2 y était communément utilisée pour la multiplication entière, mais aussi celle de ses inverses. Ainsi, selon une tradition en égyptologie, cette série jusqu’à l’ordre 6 (i.e. 1/64) prenait le nom de « fractions œil d’Horus » (oudjat en égyptien)91. Et lorsqu’il repère la réforme métrologique introduite par Solon à partir des puissances de 2, M. Caveing y voit une « application judicieuse des quantièmes égyptiens “œil d’Horus” ». Il considère également qu’au vie siècle av. J.-C., l’usage de la duplication ou de la division par 2 « était usuel et dominant, sinon exclusif » chez les mathématiciens grecs92.
- 93 Pour Caveing 1994, 2e partie, I, 4, le « théorème fondamental », quoique implicite, de l’arithméti (...)
108On remarque en effet que la multiplication par des puissances de 2 est particulièrement simple dès lors que l’on décompose le multiplicateur en somme de telles puissances, ce qui est toujours possible93. Ainsi, 7 s’écrit : 7 = 22 + 2 + 1 et 10 = 23 + 2.
- 94 Granger 1976, p. 27, remarque l’importance d’une technique « où la multiplication d’un entier est (...)
109Suivant le papyrus de Rhind, cette écriture, comme somme de puissances de 2, était au fondement de la technique multiplicative égyptienne. Pour multiplier deux nombres, on décompose le multiplicateur sous la forme d’une somme de telles puissances, puis on procède à la multiplication par chaque élément de cette somme, et enfin on additionne l’ensemble94.
110En reprenant l’exemple donné par Heath95, pour multiplier, dans notre système décimal, un nombre par 13, nous utilisons sa décomposition en base 10 (i.e. 13 = 10 + 3). Nous multiplions alors ce nombre par 10, puis (ce même nombre) par 3, et nous additionnons les deux résultats ainsi obtenus.
- 96 En termes modernes, pour le multiplicateur, on utilise une représentation binaire des entiers. Cel (...)
111Dans le système égyptien, pour effectuer cette multiplication par 13 (= 8 + 4 + 1 = 23 + 22 + 1), on multiplie le nombre par 8, puis (ce même nombre) par 4, puis enfin par 1, et on additionne alors les trois résultats96. Par exemple, en écriture moderne, la multiplication de 15 par 13 aurait la forme suivante :
15 × 13 = 15 × (8 + 4 + 1) = 15 × 8 + 15 × 4 + 15 × 1 = 120 + 60 + 15 = 195.
112Certes, la manière usuelle grecque de multiplier était différente de celle des Égyptiens. Néanmoins, suivant un scholiaste du Charmide de Platon, les anciens Grecs en utilisaient également une autre qu’il nomme « méthode égyptienne » par opposition à la « méthode grecque ». Il aurait d’ailleurs été tout à fait extraordinaire qu’une technique calculatoire aussi simple et ancienne ait complètement échappé au Grecs anciens dont, dès la haute antiquité, les colonies africaines jouxtaient l’Égypte. Les plus anciens textes grecs notent d’ailleurs l’usage des Athéniens cultivés de séjourner en Égypte, afin d’y retrouver les sources du savoir. Ainsi Platon y situe, entre autre, l’origine mythique des mathématiques (Phaedr. 274c-275d). Et dans les Lois, c’est l’éducation mathématique des enfants égyptiens qu’il propose comme modèle pour celle des jeunes Grecs (VII, 819a-d).
113M. Caveing, comparant les constructions égyptiennes à celle donnée par Aristote, remarque leur similitude97. La première consiste en une décomposition complète (i.e. l’écriture du nombre en « base 2 »), la seconde à diviser autant de fois que possible par 2. Celle-là implique celle-ci très simplement, il suffit de considérer la plus petite puissance de 2 qui intervient dans la décomposition du nombre. Inversement, par itération, on passe de la seconde à la première.
- 98 Lorsque Penrose recherche une preuve de l’irrationalité de √2 aussi simple que possible pour le le (...)
- 99 Caveing 1998, p. 130.
114Sous sa forme négative, la décomposition pair/impair énonce que, pour tout nombre donné, la division successive par 2 ne peut se poursuivre indéfiniment. Elle est utilisée sous cette forme, généralement de manière implicite, dans les démonstrations élaborées par les commentateurs pour déduire l’irrationalité de la racine de 2 par le pair et l’impair. C’est elle qui permet de distinguer les nombres des grandeurs « continues », celles-ci étant infiniment divisibles en deux parties (égales) contrairement à ceux-là98. Ainsi, M. Caveing donne cette propriété, mais elle apparaît comme une conséquence explicative de l’impossibilité d’une descente infinie pour les entiers, plutôt qu’un résultat obtenu pour lui-même99.
115Un autre texte des Premiers analytiques rapproche encore les arguments de Zénon sur la dichotomie itérée (donc les puissances inverses de 2) et l’irrationalité :
si par exemple, voulant prouver l’incommensurabilité de la diagonale, on cherchait à démontrer l’argument de Zénon sur l’impossibilité du mouvement, et qu’en vue de cette proposition on procédât par la réduction à l’absurde : absolument d’aucune façon, la conclusion fausse n’est en connexion avec l’énonciation du début. (An. pr. II, 17, 65b16-21, trad. Tricot).
- 100 Caveing 1982, p. 119. Knorr 1975, p. 27, formule essentiellement le même point de vue sur cette qu (...)
116Certes Aristote donne ici un contre-exemple à un véritable syllogisme, consistant à vouloir prouver « l’incommensurabilité de la diagonale » par réduction à « l’impossible » de l’argumentation de Zénon sur le mouvement. Mais en les rapprochant, il signifie aussi qu’il existe quelque chose de commun entre eux. La reconstruction qu’en propose Caveing se fonde précisément sur la division infinie par 2100. Une fois encore, c’est la suite des puissances de 2 (ou de ses inverses) qui apparaît au cœur de questions très anciennes.
117(a) Cette propriété concerne le produit de deux nombres :
le degré de parité d’un produit est la somme des degrés de parité de chacun des termes de ce produit, i.e.
m = 2k u (avec u impair) et n = 2h v (v impair) ;
alors
m × n = 2k+h w (où w est impair, et en fait égal au produit de u et v i.e. w = u × v).
- 101 Le cas où l’un des deux nombres m ou n est impair est particulièrement simple. S’ils ne sont pas d (...)
118Nous appellerons cette propriété l’additivité des degrés de parité101.
119En particulier, suivant cette propriété, le degré de parité de m2 = m × m (i.e. le nombre de fois tel que m2 est divisible par 2) est le double du degré de parité de m. On a donc la propriété suivante :
Le degré de parité d’un carré est toujours pair, ce que nous appellerons la propriété des degrés de parité des carrés.
120De même, le degré de parité d’un cube est toujours un multiple de 3, ce que nous appellerons la propriété des degrés de parité des cubes.
121(b) De manière plus formelle, on peut voir la propriété d’additivité des degrés de parité de la façon suivante :
1. Tout d’abord, si un nombre n est divisible h fois par 2, alors 2n est divisible h+1 fois.
En termes moderne, si n = 2h u (où u est impair), alors 2n = 2h+1 u.
Exemples :
(a) 8 = 2 × 2 × 2 = 23 (h = 3) d’où 2 × 8 = 2 × 2 × 2 × 2 = 24 (et 4 = 3+1 = h+1) ;
(b) 14 = 2 × 7 (h = 1), d’où 2 × 14 = 2 × 2 × 7 = 22 × 7 (et 2 = 1+1 = h+1).
1222. De même, 2k n est divisible h+k fois, i.e. 2k n = 2h+k u.
Exemples :
soit 8 = 2 × 2 × 2 = 23 (k = 3) :
(a) pour n = 8 = 23 (h = 3), on a :
8 × n = 8 × 8 = (2× 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 26 (et 6 = 3+3 = h+k) ;
(b) pour n = 14 = 2 × 7 (h = 1), on a :
8 × n = 8 × 14 = 23 × 14 = (2 × 2 × 2) × (2 × 7) = 24 × 7 (et 4 = 3+1 = h+k).
1233. Et donc, si m est un entier divisible k fois par 2, et n un entier divisible h fois par 2, leur produit m × n est divisible k+h fois par 2.
Exemples :
(a) Soit n = 4 = 2 × 2 = 22 (h = 2) et m = 12 = 4 × 3 = 22 × 3 (donc k = 2).
On a alors :
12 × 4 = (22 × 3) × 22 = 24 × 3 = 2h+k × 3.
(b) Soit n = 6 = 2 × 3 (h = 1) et m = 12 = 4 × 3 = 22 × 3 (donc k = 2).
On a alors :
m × n = 12 × 6 = (22 × 3) × (2 × 3) = 23 × 9 = 2h+k × 9.
(c) Soit m = 6 = 2 × 3 (h = 1). On a alors :
m2 = m × m = 6 × 6 = (2 × 3) × (2 × 3) = 22 × 9,
et le degré de parité de 62 = 36 est 2 qui est bien le double du degré de parité de 6.
(d) Soit n = 2 (h = 1). On a alors :
m3 = m × m × m = 23 = 8,
et le degré de parité de 8 est 3, triple du degré de parité de 2.
124Cette propriété résulte pratiquement de la définition du degré de parité. Elle est d’ailleurs le fondement de la multiplication utilisée par les Égyptiens de l’antiquité, et connue par les Grecs anciens, au moins depuis les pythagoriciens anciens (sans doute parce que rien ne nous est parvenu, ne serait-ce qu’indirectement, des mathématiques grecques antérieures).
125Comme dans les démonstrations standard, on va procéder au moyen d’un raisonnement par l’impossible.
126Il s’agit de montrer que l’existence d’entiers m et n de rapport égal à √2, conduit à une impossibilité.
127Supposons donc que l’on ait : √2 = m/n.
En élevant au carré, on obtient : 2 = (m/n)2 = m2/n2, ou encore :
2n2 = m2 (égalité 1).
128Suivant l’additivité des degrés de parité (cf. supra II.a), le degré de parité de 2n2 est égal à celui de n2 augmenté d’une unité. Et suivant la propriété des degrés de parité des carrés (ibid.), les degrés de parité de n2 et de m2 sont pairs.
129Les membres de gauche et de droite de l’égalité représentant le même nombre, les degrés de parité de droite et de gauche (i.e. le nombre maximal de divisions par 2 de ce nombre) sont donc identiques.
130On a donc : un nombre pair augmenté d’une unité est égal à un nombre pair.
- 102 L’unité serait alors divisible par 2, ce qui ne ferait pas rire les mathématiciens de la Républiqu (...)
L’unité, différence de deux pairs, est donc paire102.
- 103 C’est la définition 7 du livre VII des Éléments d’Euclide : « Un impair est un nombre (…) qui diff (...)
131Par définition, un impair est la somme d’un pair et d’une unité103. Celle-ci étant paire, tout impair est alors somme de deux pairs. La somme de deux pairs étant paire, on obtient que tout impair est pair, et donc l’effondrement de l’impair dans le pair, ce qui est bien la contradiction, indiquée par trois fois, dans les Premiers Analytiques d’Aristote.
- 104 M. Caveing aboutit lui aussi à cette formule. Mais c’est pour en déduire que p et q ne peuvent êtr (...)
132De l’égalité 1, on pourrait certes aboutir à une égalité entre un nombre impair et un nombre pair. Mais contrairement aux démonstrations usuelles, qui raisonnaient abstraitement sur les nombres, l’unité apparaît ici explicitement. C’est ce qui permet de conclure non pas (simplement) qu’un nombre (indéterminé) possède le double attribut d’être impair et pair, mais que l’unité est paire104.
- 105 Cf. supra, première partie, chap. V, en particulier notes 47 et 49.
133Cette démonstration n’utilise pas la proposition VII.22 des Éléments, qui se trouve au cœur de la preuve générale d’irrationalité des entiers non carrés. Une fois celle-ci obtenue, l’impossibilité à laquelle aboutissait le raisonnement se déplaçait de la parité à la primalité105, et le résultat particulier concernant 2 ainsi que la méthode fondée sur la parité devaient alors disparaître. Cela explique que, dès l’antiquité, mais quelques siècles après Aristote, les commentateurs se soient évertués à le réconcilier avec Euclide, en proposant d’autres démonstrations fondées sur cette proposition. Du point de vue mathématique, la tendance est, en effet, à la généralisation et à l’oubli des étapes historiques intermédiaires.
134La diversité des preuves « usuelles » supposées rendre compte des énoncés aristotéliciens sur l’incommensurabilité résulte de la manière dont on les lit : si l’on s’attache aux termes, on essaiera d’introduire, de manière plus ou moins raffinée, la notion de parité. Si l’on s’intéresse plutôt à la cohérence mathématique, on sera amené à s’en débarrasser.
135Dans la construction que nous avons proposée, au contraire, la parité joue un rôle crucial, via la décomposition pair/impair. Dans la démonstration, elle intervient de manière très spéciale, concluant à ce que l’unité devient paire. D’où s’ensuit l’effondrement de la notion même de parité, l’impair étant défini comme l’addition d’un pair et de l’unité (cf. supra note 103).
- 106 Pour revenir à la discussion sur la symétrie ou non de la relation d’égalité dans les Premiers ana (...)
136On peut dès lors interpréter littéralement ces textes des Premiers analytiques. On conclut en effet, non pas à ce qu’un impair soit égal à un pair, ou encore à ce qu’un nombre soit à la fois pair et impair, ce à quoi aboutissent les autres démonstrations, mais à ce que tout impair est pair. Ou encore, en termes aristotéliciens, que (le genre) impair est (le genre) pair (τὰ περιττὰ ἴσα εἶναι τοῖς ἀρτίοις), les neutres pluriels (περιττά, ἀρτίοις) désignant la classe générale définie par le nom106.
137Il suffit de répéter la démonstration précédente.
En effet, soit x = 2i s un entier, où i et s sont impairs (décomposition pair/impair de x).
Supposons par l’absurde qu’il existe des entiers m et n dont le rapport est égal à √x.
En élevant au carré, on obtient :
x = (m/n)2 = m2/n2
ou encore :
x × n2 = m2 (égalité 1’)
138Cette égalité signifie que les membres de gauche (x × n2) et de droite (m2) représentent le même nombre.
139Suivant l’additivité des degrés de parité (cf. supra II.a), le degré de parité du membre de gauche est égal à la somme de ceux de x et de n2. Les degrés de parité de n2 et m2 étant pairs (ibid.), la somme d’un nombre impair (l’entier i) et d’un pair (le degré de parité de n2) est égal à un nombre pair (le degré de parité de m2).
- 107 À la différence du paragraphe précédent, on conclut sur cette contradiction, plutôt que sur l’unit (...)
140La somme d’un impair et d’un pair étant impaire, on a une égalité entre un pair et un impair, d’où une impossibilité107.
141Application
- 108 Le sens de la parenthèse est quelque peu ambigu. On ne veut pas signifier que les racines carrées (...)
Les racines carrées de tous les nombres pairs tels 2 (ce qu’on sait déjà), 6, 8, 10, 14 (mais ni 4, ni 12, ni 16) sont irrationnelles108.
142Nous utiliserons ici une propriété très simple sur les carrés : si on multiplie le côté d’un carré par un entier, son rapport au premier carré est le carré de cet entier.
143Ainsi, en doublant le côté d’un carré, on obtient un carré 4 fois plus grand, comme Socrate le montre à la surprise du jeune serviteur du Ménon de Platon (82e-83b), qui pensait ainsi doubler le carré initial.
Puisque √t est le côté du carré de surface t, en écriture moderne, cela donne :
√(a2t) = a√t (égalité 2)
où a et t sont des entiers.
144Considérons maintenant le cas d’un entier y de degré de parité pair, i.e. sa décomposition pair/impair donnée par :
y = 22i s, où s est impair,
et, d’après l’additivité des degrés de parité (cf. supra II.a), on a :
(2i)2 = 2i × 2i = 22i
1451. La racine carrée de y est rationnelle signifie qu’il existe des entiers p et q tels que :
√y = p/q ou encore (puisque y = 22i s = (2i)2 s),
√y = √(22is)= √((2i)2s )= (suivant l’égalité 2) 2i√s = p/q
i.e. √s est rationnel.
La rationalité de √y étant équivalente à celle de √s, leur irrationalité l’est aussi.
146Autrement dit, pour un entier pair z = 2j w (où w est impair) deux cas sont possibles :
-
ou bien son degré de parité j est impair, et alors sa racine carrée est irrationnelle ;
-
ou bien j est pair, et dans ce cas, √z est rationnel (ou irrationnel) selon que √w l’est (ou ne l’est pas). Ainsi, la rationalité (ou pas) de racine carrée de 12 = 4 × 3 = 22 × 3 se ramène à celle de 3.
147Pour résoudre le problème de la rationalité/irrationalité des racines carrées d’entiers, il suffit donc de résoudre celui des seuls nombres impairs.
1482. En outre, la racine carrée de w (entier impair) est rationnelle équivaut à w est le carré d’un nombre rationnel, i.e. il existe des entiers m et n tels que :
w = (m/n)2 = m2/n2
ou encore :
w × n2 = m2 (égalité 3)
149Si on note m = 2h u et n = 2k v (u et v impairs), les décompositions pair/impair de m et n, d’après l’additivité des degrés de parité (cf. supra II.a), celui de m2 est 2h, et celui de n2 est 2k, i.e.
m2 = 22h t et n2 = 22k r où t = u2 et r = v2 sont impairs.
150L’entier w étant impair, le degré de parité de w × n2 est égal à celui de m2 i.e. à 2h (cf. supra II, note 101). D’après l’égalité 3, on a donc :
2h = 2k i.e. h = k,
d’où :
w = m2/n2 = (22h t)/(22k r) = t/r = u2/v2 = (u/v)2,
et w est le carré d’un rapport de deux impairs.
151Ainsi, d’après les numéros 1 et 2 ci-dessus, la question portant sur les racines carrées est entièrement ramenée au cadre des entiers impairs.
152En effet, il s’agit d’étudier uniquement les racines carrées des impairs, mais pour être rationnelles, celles-ci doivent en outre être quotient de deux entiers impairs. Par exemple, la rationalité de racine carrée de 12 se ramène à celle de 3 ; mais, en outre, la racine carrée de 3, pour être rationnelle, doit être le quotient de deux impairs.
153Dans le cadre de cette démonstration, il est inutile de recourir à la proposition VII.22 des Éléments, selon laquelle tout rationnel peut être représenté comme rapport de deux entiers premiers entre eux, nombres minimaux parmi tous les rapports donnant ce rationnel. D’une part, cette proposition n’est aucunement triviale et en outre, elle pose un problème chronologique difficile (cf. supra note 49). La faire intervenir ajoute un degré d’incertitude très fort pour dater la connaissance de l’irrationalité de √2, et par conséquent celle des autres racines irrationnelles d’entiers. Inversement, sa datation influencera celle de la proposition VII.22, voire de la totalité du livre VII, avec, une fois de plus, un risque de circularité évident.
Suivant notre démonstration, au contraire, ces deux questions sont indépendantes.
154Cette méthode du raffinement du pair et de l’impair s’étend facilement au cas des racines cubiques.
155Au paragraphe précédent, on a donné une condition nécessaire pour que la racine carrée d’un entier soit rationnelle (i.e. que le côté d’un carré soit commensurable à l’unité) : le degré de parité de cet entier doit être pair. Ou de manière négative (cf. supra, note 71), si le degré de parité d’un entier est impair, sa racine carrée est irrationnelle.
156On va donner ici une condition nécessaire pour la rationalité de la racine cubique d’un entier (i.e. pour que le côté d’un cube de volume entier soit commensurable à l’unité).
157Soit x un entier pair. Supposons qu’il existe des entiers m et n dont le rapport est égal à la racine cubique de x, i.e.
∛x = m/n.
En élevant au cube, des deux côtés de l’égalité, on obtient :
x = (m/n)3 = m3/n3
ou encore :
x × n3 = m3 (égalité 1’’)
158D’après la propriété du degré de parité des cubes (cf. supra II.a), on a :
le degré de parité de n3 et m3 est un multiple de 3 (propriété 1)
et d’après la propriété d’additivité des degrés de parité (cf. toujours II.a) :
le degré de parité de x × n3 est la somme du degré de x et de celui de n3 (propriété 2)
159D’après l’égalité 1’’, les degrés de parité de x × n3 et de m3 sont identiques.
D’après la propriété 2, le degré de parité de x est donc la différence des degrés de parité de m3 et n3.
Et donc, d’après la propriété 1, le degré de parité de x est la différence de deux multiples de 3, c’est donc un multiple de 3.
160Ainsi une condition nécessaire pour que la racine cubique d’un entier soit rationnelle est que son degré de parité soit un multiple de 3. Ce qui s’écrit encore négativement (cf. supra, note 71) :
Propriété des racines cubiques
Si le degré de parité d’un entier n’est pas un multiple de 3, sa racine cubique est irrationnelle.
161Application
- 109 On utilise l’analogue pour les cubes de la propriété (2) des carrés (cf. supra, b) : le rapport de (...)
Les racines cubiques de 2, 4, 6, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 ne peuvent être rationnelles. Pour celle de 24 = 8 × 3 = 23 × 3, on est ramené au problème de la racine cubique de 3109.
- 110 On obtient ainsi un parallélisme complet avec le cas des racines carrées, comme indiqué dans le Th (...)
162Ainsi, cette fois encore, le problème se ramène à la seule question des impairs110.
163Nous avons souligné que l’utilisation de la proposition VII.22 dans les démonstrations standard posait un problème par rapport à la théorie aristotélicienne de la science. Elle est beaucoup trop générale et (via la proposition VII.27 qui en est en quelque sorte le pendant) elle donne la solution pour tous les entiers non carrés (d’entiers). Ainsi s’expose-t-elle à une double critique. Épistémologique, en tant que contrevenant à l’adéquation exigée par Aristote entre le moyen (la preuve) et la fin (le résultat obtenu) ; chronologique, en tant que les témoignages textuels imposent une période suffisamment longue entre le résultat particulier de l’irrationalité de racine carrée de 2, et le cas général.
164Reste à voir si notre démonstration ne s’expose pas, elle aussi, à cette critique.
- 111 D’après ce qui précède, la question se pose pour les seuls entiers impairs. Mais cela ne joue pas (...)
De fait, il ne paraît pas très difficile de passer de la preuve particulière donnée au chapitre IV à la preuve générale111.
165Soit donc x un entier quelconque. On reprend la démonstration du chapitre III, en remplaçant 2 par x.
Tout entier n peut s’écrire sous la forme d’un produit n = xh u où h est le nombre maximal de divisions possibles de n par x, et u est un entier non divisible par x.
De la définition de h suit immédiatement son unicité (et donc celle de u), ainsi que les propriétés d’additivité des degrés (cf. supra chap. II).
On suppose alors que la racine carrée de x est rationnelle, i.e. elle s’écrit :
√x = m/n avec n = xh u et m = xk v où u et v sont des entiers non divisibles par x, d’où :
x = m2/n2 et donc x × n2 = m2,
et (car n = xh u et m = xk v) on obtient finalement :
x2h+1 t = x2k s avec t = u2 et s = v2 (résultat 1)
166Pour conclure par unicité, comme dans le cas x = 2, il suffirait alors que t et s ne soient pas divisibles par x. Mais on sait seulement que u et v ne le sont pas, il s’agit donc de passer de ceux-ci à ceux-là.
- 112 Ainsi, Th. Heath, qui conteste la thèse selon laquelle les pythagoriciens anciens n’auraient pas e (...)
167Pour x = 2, cela est évident, car les entiers et leurs carrés ont même parité. Il n’en est pas de même dans la situation générale qui, au contraire, nécessite une arithmétique suffisamment développée, tout à fait incompatible avec l’époque que nous avons considérée112.
- 113 Ainsi 4 n’est pas divisible par 8, mais son carré 42 = 16 l’est. Et 18 n’est pas divisible par 12, (...)
168Cela est d’ailleurs faux en général : qu’un entier ne soit pas divisible par un autre ne signifie pas qu’il en soit de même de son carré113.
169Et de fait, pour conclure le raisonnement par l’absurde prouvant l’irrationalité de √x il faut montrer l’impossibilité que le résultat 1 soit vérifié (quels que soient les entiers k, h, u et s). Or celui-ci peut se récrire de la manière suivante :
-
Si 2h+1 est plus grand que 2k : x2h+1-2k = s/t = v2/u2 i.e. √(x2h+1-2k) = v/u
-
Si 2k est plus grand que 2h+1 : x2k-2h-1 = t/s = u2/v2 i.e. √(x2k-2h-1) = u/v.
- 114 La situation pourrait sembler plus compliquée même que celle de départ, où il s’agissait (seulemen (...)
- 115 Cela n’est pas tout à fait exact car, cette fois, on sait que si elles sont rationnelles, elles do (...)
170Mais cela revient (quasiment) à démontrer l’irrationalité de la racine carrée de n’importe quelle puissance impaire de x114, autrement dit à prouver la question dont on est parti115. Nous sommes donc dans un cercle, et la généralisation échoue.
- 116 Cela ne signifie pas qu’avant l’élaboration complète de la théorie des irrationnels, attribuée par (...)
- 117 Cf. Junge 1907.
- 118 Cf. Vogt 1908 et 1910.
- 119 Heath pense également que la première démonstration d’irrationalité de la racine carrée de 2 est t (...)
171La démonstration proposée évite donc la critique aristotélicienne d’inadéquation du moyen à la fin que l’on peut soulever contre les démonstrations standard116. Elle n’encourt pas plus celles de bon sens, faites entre autres par G. Junge117 et H. Vogt118, qui tiennent pour invraisemblable qu’un intervalle de temps très long ait pu s’écouler entre la démonstration standard de l’irrationalité de √2, et la preuve générale119.
172Nous avons insisté au début de cet article sur l’ancienneté des propriétés utilisées dans notre démonstration, qui remontent pour la plupart au moins à deux millénaires av. J.-C.
173Pourtant, il n’est aucune trace de ce résultat (en tant que théorème général de mathématique) avant celles de la Grèce classique. Au vu de la rareté des textes de cette époque parvenus jusqu’à nous, cette absence n’infirme pas nécessairement qu’il ait pu être établi ailleurs. Néanmoins, le manque de toute référence dans les textes grecs que nous avons est certainement significatif. Les Grecs anciens, et Platon en particulier, si soucieux d’accorder aux Égyptiens anciens les découvertes les plus étonnantes (et pas seulement en mathématiques), ne leur réfèrent jamais cette question.
- 120 Exemple favori de Leibniz, dont l’impossibilité n’apparaît pas immédiatement (Heath 1956, I, p. 14 (...)
174Le théorème (dit) de Pythagore, quant à lui, est indépendant de ce résultat, et n’intervient pas dans la démonstration. Celle-ci est une preuve de non-existence : il n’est pas de nombre (rationnel) de carré égal à 2, pas plus que de bouc-cerf ou de solide régulier (convexe) à dix côtés120.
- 121 An. post. I, 10 ; II, 7, 92b10-39.
- 122 Ibid. II, 8, 93a16-21.
175Mais l’existence même, dans le cadre géométrique, d’une grandeur dont le carré est égal à 2 est une conséquence du théorème de Pythagore ou, plus exactement, d’un cas particulièrement simple de celui-ci. La démonstration en est donnée dans le Ménon de Platon, Socrate faisant apparaître sur un dessin, ou plutôt conduisant, comme par la main, un très jeune serviteur grec à la découverte du doublement d’un carré par considération de sa diagonale (cf. supra IV.b). Cette existence est préliminaire à l’établissement de quelque résultat que ce soit le concernant. La séparation entre la définition et son existence est un point sur lequel insiste Aristote121, aussi bien que l’impossibilité de dire quoi que ce soit d’une chose avant d’en avoir prouvé l’existence122.
- 123 Comme le souligne Heath, pour qui cela relève de l’évidence (Heath 1956, I, p. 351).
- 124 Ainsi Diogène Laërce (VIII, 12) rapporte une anecdote de seconde main, sans se prononcer lui-même, (...)
- 125 Pour une position critique concernant cette dernière hypothèse, cf. Heath 1956, I, p. 360-364 ; po (...)
- 126 Cf. p. ex. Robson 2008, p. 28 sq.
176L’irrationalité de racine carrée de 2, outre sa formulation comme incommensurabilité, suppose donc ce théorème123. Son attribution à Pythagore pose des difficultés, les témoignages étant très tardifs, postérieurs d’au moins un demi-millénaire, et peu sûrs124. Certains historiens pensent qu’il est beaucoup plus ancien, le faisant remonter aux Mésopotamiens, aux Égyptiens anciens ou aux Indiens125. Il est vrai que des cas numériques (ainsi le triangle de côtés 3, 4 et 5) se retrouvent dans de très anciens textes qui nous sont parvenus, la difficulté étant le niveau de généralité de ces résultats, mais aussi ce qu’il faut entendre par « démonstration mathématique »126.
- 127 Voir la longue analyse de Caveing 1998, p. 142-145.
- 128 Cf. Heath 1956, I, p. 351.
177Le cas de l’irrationalité est moins disputé. Il est vrai qu’il est explicitement attribué à Pythagore ou aux pythagoriciens par Aristote ainsi que dans de nombreux textes grecs, jamais aux Égyptiens de l’antiquité. Et sa preuve, chez Platon et Aristote aussi bien que chez les auteurs postérieurs, est rapportée à la théorie du pair et de l’impair, qui est synonyme de la théorie des nombres pour les mathématiciens grecs127. C’est d’ailleurs sur cet accord des historiens que s’appuie Heath pour défendre l’authenticité de l’attribution du théorème de Pythagore à celui-ci128.
178Mais l’argument essentiel nous paraît se trouver ailleurs. Certes, l’ancienneté des résultats sur le pair et l’impair, utilisés dans la preuve de l’irrationalité de la racine carrée de 2, est bien connue des historiens de l’antiquité égyptienne et mésopotamienne. Il est même possible qu’égyptiens et mésopotamiens aient été en possession d’une forme plus ou moins primitive du théorème de Pythagore. En revanche, ce qui paraît complètement absent de leurs mathématiques, c’est l’utilisation de la méthode dite de démonstration par l’impossible, où il s’agit paradoxalement de prendre comme point de départ un énoncé faux, pour en conclure une proposition mathématique (vraie).
179Dans la dernière partie, nous allons voir le lien étroit entretenu par la preuve d’irrationalité que nous proposons avec la méthode générale de raisonnement par l’impossible, ainsi que la relation de celle-ci au discours philosophique.
- 129 Pour une discussion sur ce point, cf. Löwenheim 1946.
- 130 Lorsqu’un mathématicien moderne, tel G. Hardy, recherche des modèles pour faire comprendre la natu (...)
180La démonstration d’irrationalité que nous avons donnée dans la deuxième partie rend compte convenablement des témoignages textuels portant sur l’origine des irrationnels, contrairement aux démonstrations standard. Mais elle présente un autre intérêt concernant l’origine du raisonnement par l’impossible. Elle explique, chez les Grecs anciens, le caractère paradigmatique de la démonstration géométrique d’incommensurabilité, en tant que modèle de démonstration par l’impossible. Cette propriété d’incommensurabilité était, certes, en elle-même, fondamentale. Mais, n’utilisant aucun résultat intermédiaire déjà obtenu par cette méthode, c’était surtout le premier théorème qu’aucune méthode directe ne permettait d’obtenir129. D’où la relation entre irrationnel et preuve par l’impossible, que l’on retrouve, en particulier, dans les ouvrages aristotéliciens. La valeur de cette forme démonstrative dérivait de l’importance accordée à la « découverte » de l’irrationalité130.
- 131 Metaph. A, 2, 983a15-19.
181On peut se demander si cette relation entre démonstration par l’impossible et preuve d’incommensurabilité est établie par Aristote, ou bien s’il ne fait que rapporter le point de vue des mathématiciens. Sa présentation en deux temps, dans la Métaphysique, où tous s’étonnent d’abord de l’incommensurabilité de la diagonale au côté du carré, alors que, dit ensuite Aristote, les mathématiciens, eux, seraient frappés de stupéfaction si elle devenait commensurable131, permet de pencher pour le second cas.
- 132 Ainsi Le Blond 1938, p. v, remarque : « Les affirmations d’Aristote sont souvent ponctuées, dans l (...)
- 133 On en trouve un exemple dans la Métaphysique avec la démonstration rejetant une intelligence divin (...)
182Toutefois, la démonstration par l’impossible n’est pas cantonnée à la sphère mathématique. Elle permet plus généralement d’établir ou réfuter des thèses132, et elle est massivement utilisée aussi bien dans les dialogues platoniciens que par Aristote133, qui lui consacre une forme de syllogisme (An. pr. I, 44).
- 134 Cf. Szabó 1977, troisième partie, notam. p. 336-337.
- 135 Szabó 1988, p. 287, 290-291.
183Cela conduit Árpád Szabó à formuler une double thèse. D’une part, la cause de la singularité des mathématiques grecques antiques, en tant que démonstratives et hypothético-déductives, est à rechercher dans cette forme de raisonnement134. D’autre part, celle-ci serait née chez les Éléates, le premier texte où se trouverait un tel raisonnement serait le Poème de Parménide. Et de conclure au fondement philosophique des mathématiques grecques antiques, donc des mathématiques telles que nous les entendons. Il reprend cette argumentation dans Szabó 1988, ajoutant qu’inversement Aristote n’a eu aucune influence sur les mathématiques de son époque135.
- 136 Et Zénon en aurait fait de même pour la contraposition (cf. supra note 71).
184Pour défendre son point de vue, Á. Szabó s’appuie sur le discours de Parménide, tenant un raisonnement par l’impossible, dans l’ouvrage éponyme de Platon. Mais rien ne permet de penser que celui-ci, quand il met dans la bouche de ses personnages des notions ou raisonnements, signifie nécessairement qu’ils en sont les auteurs. Si même telle était l’intention de Platon, cela signifierait plutôt que Parménide aurait été le premier à introduire ce type de raisonnement dans le discours philosophique136.
- 137 Cf. Knorr 1982, p. 121, 135, 143. Granger 1998, p. 23, trouve également douteuses les conclusions (...)
- 138 Euthydème, 290c.
- 139 Selon Vlastos 1992, p. 138, le niveau de connaissance de Platon serait l’équivalent, à son époque, (...)
- 140 ̓Αγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω (« Que nul n’entre ici qui ne soit géomètre »). Sur son caractère cer (...)
185Pourtant, Wilbur Knorr remarquait déjà que, lorsqu’une telle direction existe, le sens en est généralement opposé, les philosophes s’emparant des travaux, résultats, définitions ou démonstrations mathématiques, afin de les exploiter137. Et dans l’Euthydème, ce sont les dialecticiens que Socrate voit « cuisiner » les résultats mathématiques138. C’est pourquoi les philosophes doivent être rompus aux mathématiques (cf. Resp. VII)139, ce que veut sans doute signifier la tradition autour de l’inscription sur le portique de l’Académie140.
186Que ce soit chez Platon ou chez Aristote, voire chez les commentateurs plus tardifs, on ne trouve pas d’allusion à une origine philosophique, moins encore parménidienne, du raisonnement par l’impossible. Si cette relation existait, ce silence serait difficilement explicable, au vu de l’importance accordée, chez ces auteurs, au rapport entre mathématique et philosophie.
- 141 Cf. Arist. An. pr. I, 44, 50a39 et supra, première partie, chap. V.
187En outre, la tradition rapporte que nombre de penseurs présocratiques ont été mathématiciens, ainsi Thalès, Démocrite, Anaximandre ou Pythagore. On peut donc douter qu’une nouvelle forme de raisonnement ait pu être utilisée longtemps dans l’un des champs sans passer dans l’autre. Celui par l’impossible fut très probablement mis en œuvre, antérieurement à Parménide, concomitamment ou de manière très proche, en mathématique et dans les autres secteurs de connaissances à la recherche de la rigueur, les preuves mathématiques, particulièrement celles obtenues par l’impossible, étant de l’ordre de l’évidence141.
- 142 Ainsi L. Robin écrit : « Jamais, que nous sachions, la science orientale, à travers tant de siècle (...)
- 143 Pour certains, la science elle-même commence avec les Grecs de l’époque classique. Ainsi Burnet 19 (...)
- 144 Cf. Resp. VII, 534c. Caveing 1988, p. 294, va plus loin, considérant que l’espace euclidien s’oppo (...)
188Il n’empêche que l’on peut suivre Árpád Szabó, lorsqu’il propose de lier naissance des mathématiques grecques et raisonnement par l’impossible. Et il est vrai que beaucoup d’historiens des sciences considèrent que les mathématiques qui précèdent celles de la Grèce antique, quelque développées qu’elles aient été, formaient des techniques caractérisées par un aspect purement utilitaire142. Sans aborder ici la question de l’exceptionnalité de la mathématique grecque143, Szabó a certainement raison de souligner l’importance de ce type de raisonnement en mathématiques, pour dépasser la représentation sensible, en particulier visuelle144. Cette méthode serait à l’origine de la construction démonstrative, au sens hypothético-déductif, telle qu’elle apparaît, pour autant qu’on le sache, en Grèce antique. L’introduction des grandeurs irrationnelles, en mettant fin aux seuls calculs sur les entiers, exigeait cette nouvelle approche, ainsi dans la preuve de l’irrationalité de la racine carrée de 2.
189Cela est noté par de nombreux auteurs. Ainsi B. Artmann remarque que si, dans la justification d’une démonstration où se trouvent des constructions géométriques, celles-ci peuvent ou non aider,
- 145 ‘What has been said so far is about geometric construction, where pictures may or may not help. Th (...)
la situation change complètement avec l’introduction de concepts abstraits qui n’ont pas de contrepartie intuitive. Historiquement, le premier et le plus important d’entre eux est le concept d’incommensurabilité, ou d’irrationalité. Il n’y a pas d’arrière-plan intuitif qui permettrait de contrôler la validité des assertions concernant de tels concepts abstraits145.
- 146 ‘Unlike other branches of mathematics, this field can make no appeal to practice for supporting it (...)
- 147 Au tout début du livre A de la Métaphysique (2, 983a13-20), « l’incommensurabilité de la diagonale (...)
190W. Knorr note que « contrairement aux autres branches des mathématiques, ce domaine ne peut faire appel à la pratique pour soutenir ses affirmations. (…) Sa justification ne peut être basée que sur une déduction logique, et une théorie de telles quantités ne peut avoir qu’un critère de validité : la cohérence logique. »146 (nous soulignons). Et M. Caveing considère, plus généralement, qu’avec le raisonnement par l’absurde, la géométrie est en quelque sorte contrainte de sortir du cadre de l’image (Caveing 1998, p. 316). C’est pourquoi l’irrationalité se retrouve au centre de la démonstration par l’impossible147. Et c’est naturellement encore qu’elle passe des mathématiques au discours fondé sur le raisonnement démonstratif.
- 148 « Nous possédons l’episteme, quand nous maîtrisons la structure axiomatique du système en question (...)
- 149 Granger 1976, p. 270-271 ; c’est l’auteur qui souligne.
- 150 Au sens de « l’absolue continuité » dont Socrate qualifie la « théorie » d’Hippias selon laquelle (...)
191Les mathématiques fournissaient en effet le premier type de discours cohérent, aussi bien dans sa totalité que dans ses parties, ce qui, selon Alexander Nehamas, représente le caractère opératoire qui, chez Platon, distingue la connaissance (ἐπιστήμη) de la croyance fausse148. Et G.G. Granger caractérise la « connaissance rationnelle [comme celle qui] conçoit et organise son objet de telle sorte que ses parties ne soient pas reconnues comme contradictoires entre elles, ni contradictoires avec le tout »149. Les mathématiques apparaissant alors comme un discours « absolument » rationnel150.
192Cette démarche, caractérisée par la recherche de la certitude vraie opposée à la vraisemblance, est même considérée comme un trait originel des mathématiques. Et dans son commentaire du livre I des Éléments d’Euclide, plus particulièrement du postulat I.5 (dit des parallèles), Proclus approuve un auteur plus ancien, Géminus, d’affirmer que
- 151 ‘… that we have learned from the very pioneers of this science not to have any regard to mere plau (...)
nous avons appris des pionniers mêmes de cette science (scil. la géométrie) de n’avoir pas le moindre égard pour les images vraisemblables lorsqu’il s’agit d’une question concernant les raisonnements à inclure dans notre doctrine géométrique151.
193De ce point de vue, les mathématiques pouvaient apparaître comme un modèle à imiter.
- 152 Cf. p. ex. Knorr 1975, p. 14 ; Pellegrin 2007, p. 35.
194Toutefois, qu’un tel discours soit possible hors de la sphère mathématique n’est pas une évidence. Les énoncés usuels sont des conjectures, des possibilités ou des probabilités bien plutôt que des certitudes152.
- 153 Cf. Metaph. Θ ; De int. 9 ; voir aussi Granger 1998, p. 224-225 et Gourinat 2001. Pour un commenta (...)
- 154 De int. 9, 18b32-39.
- 155 Ibid. 18b17-25, 19b30-31. Ce que Quine 1966, p. 21, critique en qualifiant cette position d’assez (...)
195Aristote lui-même, lorsqu’il polémique contre les Mégariques, est confronté à des problèmes soulevés dans le cadre d’une logique inusuelle, admettant diverses valeurs de vérité (le nécessaire et l’impossible, mais aussi le possible ou le contingent, le probable…). Il en est de même à propos des énoncés concernant le futur, l’exemple le plus fameux étant celui sur lequel ont travaillé des générations entières de logiciens médiévaux, d’une bataille navale pour le lendemain153. Selon le Stagirite, ces énoncés participent d’une logique de ce qui est en puissance opposée à celle de ce qui est en acte, où le principe du tiers exclu (une proposition doit être ou bien vraie, ou bien fausse) peut être tenu en échec154. Car alors, ni l’affirmation que demain une bataille navale aura lieu ni sa contradictoire, « une bataille navale n’aura pas lieu », ne sont nécessaires. En revanche, elles ne peuvent être simultanément vraies155.
- 156 D’où cette difficulté d’interpréter les dialogues de Platon, certains allant jusqu’à se demander s (...)
- 157 Cela fait sens avec l’analyse que fait J.-M. Le Blond de l’emploi par Aristote du terme εὔλογος so (...)
- 158 Cf. Knorr 1975, p. 3.
196Le principe commun au raisonnement admettant la réfutation n’est donc pas, comme en mathématiques, telles que les concevaient du moins les mathématiciens de la Grèce antique, celui du tiers exclu, mais un principe plus faible, celui de non-contradiction. Suivant celui-ci, un discours contenant deux énoncés contradictoires est nécessairement faux. Or, si l’on ne cherche qu’à réfuter une thèse (et non pas à en établir une), la démonstration par l’impossible ne nécessite que cette forme faible. On comprend alors l’importance qu’Aristote lui accorde, ce principe apparaissant bien plus fréquemment dans ses textes que celui du tiers exclu. Et là même où il s’applique, à l’inverse d’un raisonnement mathématique où l’énoncé faux, à savoir l’hypothèse de départ, est évident, la source de l’erreur dans un discours général est souvent plus difficile à discerner156. Le raisonnement discursif général n’est donc pas restreint aux seuls cas où s’applique le principe du tiers exclu, ni par conséquent au domaine d’application du raisonnement par l’absurde, qui, comme on l’a vu, permet d’établir des propositions vraies, et non pas (seulement) la fausseté de tel ou tel énoncé157. Il est ainsi extrêmement improbable que celui-ci soit apparu ailleurs que là où il s’imposait naturellement, et le principe du tiers exclu assuré, à savoir au sein des mathématiques, pour lesquelles ce type de raisonnement est parfaitement adapté, et simple à mettre en œuvre158. Les démonstrations s’y fondent en effet sur une logique strictement bivalente du tiers exclu (un énoncé est ou vrai ou faux, « ou » étant exclusif).
- 159 Mais aussi la possibilité de dissocier cohérence locale et globale. Un exemple en est donné par Mo (...)
- 160 Selon Heath 1981, p. 3, le génie des Grecs anciens en mathématiques « était simplement un aspect d (...)
- 161 Knorr 1986 note ce qu’il appelle la « convergence des intérêts géométriques et philosophiques » à (...)
197À l’inverse, le raisonnement par l’impossible n’a rien de naturel à l’intérieur du discours philosophique, ce que montrent par exemple les énoncés aristotéliciens concernant les futurs contingents159. Il a donc été très certainement importé par ceux qui tenaient à donner un caractère rigoureux au discours. Cela a été d’autant plus facile et rapide que, à l’origine, les divers champs de connaissances n’étaient pas disjoints160. Par la suite, si les savants n’étaient pas savants en tout (comme se présente encore Hippias dans les dialogues homonymes de Platon), du moins connaissaient-ils bien ce qui se faisait dans les autres domaines. Ainsi Platon nous montre Socrate, mais aussi Parménide, comme d’excellents connaisseurs des mathématiques161. Et Abel Rey ne devait pas être si éloigné de la vérité lorsque, sur le lien entre démonstration par l’impossible en mathématique et en philosophie, il écrivait :
Est-ce trop s’aventurer que supposer que ce schéma (scil. l’argumentation par l’impossible) pouvait être d’usage courant et traditionnel, dans l’argumentation, au moment où l’emploie Zénon ? La démonstration par l’absurde sera affectionnée de la mathématique grecque. Zénon n’a fait que la transposer à la logique pure. (Rey 1933, p. 202.)
- 162 Celui-ci examine cette possibilité (Szabó 1977, p. 269-273), et la récuse d’après des arguments de (...)
198Si l’on devait choisir, il est donc bien plus vraisemblable que, contre l’opinion de Szabó, l’origine de la démonstration par l’impossible se trouve en mathématiques162 plutôt que dans tout autre domaine.
- 163 Le plus récent serait sans doute une certaine forme du théorème de Pythagore, donnant la diagonale (...)
- 164 Cf. aussi supra note 29.
199Pour conclure, il est difficile de ne pas ajouter une pièce aux conjectures déjà existantes concernant la période où a été obtenue l’irrationalité de la racine carrée de 2 (ou plus précisément, l’incommensurabilité du rapport de la diagonale aux côtés du carré). Suivant notre démonstration, les résultats mathématiques nécessaires étaient très anciennement disponibles163. Reste la mise en forme du raisonnement qui exige une démonstration par l’impossible (cf. supra, début de ce paragraphe). Ou en d’autres termes, une conception nouvelle de la mathématique, permettant d’élaborer cette forme de preuve. Cela irait dans le sens de, ou pour être plus exact, ôterait certains obstacles à, une datation haute. Elle pourrait en effet remonter à la période pythagoricienne, soit, si l’on suit la tradition, le début du ve siècle, voire antérieurement. Une difficulté majeure est de dater cette forme de raisonnement, la circularité guettant toujours : d’une datation hypothétique de celle-ci, on tirerait celle-là, et inversement164. Quoi qu’il en soit, suivant la perspective que nous proposons, l’irrationalité se trouve intrinsèquement liée à la méthode par l’impossible, non seulement comme un cas d’application fondamental, mais logiquement, voire chronologiquement, en accord avec la stricte relation que l’on trouve dans les textes.
- 165 Cf. Heath 1981, p. 156-157.
- 166 Cela sera développé et approfondi dans notre article sur le Théétète à paraître dans un prochain n (...)
200Ce n’est pas le lieu de procéder ici à une critique détaillée des arguments soulevés par Knorr contre une datation haute. Cette position s’appuie sur la thèse selon laquelle une théorie générale de l’irrationalité aurait été développée par Théétète. Pourtant, argumentant d’après les mêmes lignes, Th. Heath aboutit à une telle datation165. Suivant notre interprétation, les deux questions sont indépendantes, au moins du point de vue de leur démonstration. Car il est bien une relation entre elles : la nécessaire antériorité de l’incommensurabilité de la diagonale et de ses conséquences (cf. chap. IV de la deuxième partie) par rapport à la preuve générale166.