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Varia

Axioms as Definitions: Revisiting Poincaré and Hilbert

Laura Fontanella
p. 167-183

Résumés

Un problème fondamental dans la réflexion sur les fondements des mathématiques consiste à déterminer ce qu’est un axiome. Cette question est spécialement importante en vue de l’étude de nouveaux axiomes pour la théorie des ensembles (tels que les axiomes de grands cardinaux) dont la légitimité est fortement controversée ; cet article s’insère dans le débat. En analysant les écrits de Poincaré et de Hilbert, nous observons que, malgré les différences profondes dans la pensée de ces deux logiciens, ils parvinrent à la même conception des axiomes de la géométrie qui ne seraient que des définitions déguisées. Nous généralisons cette conception des axiomes comme définitions de concepts à n’importe quel système axiomatique (en particulier aux axiomes de la théorie des ensembles).

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Plan

1 Introduction
2 Motivations for this work
3 Poincaré’s account of geometry
4 The Frege-Hilbert controversy
5 On the meaning of existential quantifiers
6 A multitude of concepts of set
7 Conclusion

Aperçu du début du texte

1 Introduction

Before the development of non-Euclidean geometries in the 19th century, the axioms of Euclid’s Elements were regarded as absolute principles formalising the basic laws of space. The introduction of hyperbolic and elliptic geometries challenged the dominant view on the a prioricity of geometry; if the principles of geometry were a priori, their violation would lead to a contradiction, instead, different geometries are possible. Despite the deep differences in their philosophical views, Poincaré and Hilbert came to the same conception of the axioms of geometry: they are definitions in disguise; rather than asserting undeniable truths, they fix the meaning of the basic terms of geometry (point, line, etc.) that would otherwise remain undefined. The main purpose of this paper is to extend Poincaré’s and Hilbert’s account of geometry to any axiomatic system.

Nowadays, mathematicians no longer consider geometry as a body of indisputable principles. Pluralism in geometry is sa...

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Pour citer cet article

Référence électronique

Laura Fontanella, « Axioms as Definitions: Revisiting Poincaré and Hilbert », Philosophia Scientiæ [En ligne], 23-1 | 2019, mis en ligne le 18 février 2021, consulté le 18 février 2019. URL : http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/1827 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.1827

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Auteur

Laura Fontanella

Université Aix-Marseille, CNRS, Institut de Mathématiques de Marseille, Marseille (France)

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Droits d’auteur

Tous droits réservés

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