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Mathématique et philosophie leibniziennes à la lumière des manuscrits inédits

De l’intraitable à l’indéterminé : entre calcul et géométrie, réflexions leibniziennes autour de ⁰⁄₀ (1700-1706)

From the Intractable to the Undetermined : Between Calculus and Geometry, Leibnizian Thoughts on ⁰⁄₀ (1700-1706)
Sandra Bella
p. 21-45

Résumés

Leibniz introduit l’expression « ⁰⁄₀ » en 1672 dans un écrit mathématique sur les séries numériques pour exprimer la somme des unités. Il s’agit très probablement d’une des premières apparitions de cette expression dans l’histoire des mathématiques. Leibniz cependant l’abandonne aussitôt. Elle apparaît à nouveau dans le contexte du calcul différentiel au moment où celui-ci fait débat à l’Académie royale des sciences. Une des questions les plus saillantes soulevées par l’introduction du nouveau calcul est de savoir si la notion de différentielle doit être distinguée, dans la pratique, du zéro absolu. Cet article examine les efforts effectués, dans le cadre d’une nouvelle pratique mathématique, pour donner un sens à l’expression « ⁰⁄₀ ». On verra comment cette expression cesse de représenter une impossibilité algébrique, à condition de ne plus penser « 0 » comme un zéro absolu. Désormais, elle est le signe de l’existence d’une singularité d’une courbe. L’analyse de cette construction de sens met en évidence combien la représentation diagrammatique des caractères impliqués dans le calcul était importante pour les premiers pratiquants du calcul différentiel.

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Texte intégral

1 Introduction1

  • 1 Cet article a reçu le prix du meilleur texte en langue française sur l’œuvre de G. W. Leibniz ou s (...)

1Dès le début de sa diffusion, l’algorithme leibnizien est accompagné de critiques publiques, formulées par le Hollandais Bernard Nieuwentijt (1654-1718), ou privées, lorsque Leibniz échange épistolairement avec Christiaan Huygens (1629-1695), John Wallis (1616-1703) ou encore Jean Bernoulli (1667-1748). Ces critiques portent sur le statut existentiel des différentielles et sur leur mode de fonctionnement, sujets sur lesquels Leibniz est conduit à apporter des éclaircissements. Ces derniers ont fait l’objet de nombreuses études philosophiques et historiques [Beeley 2008], [Jesseph 2015], [Mancosu 1996], [Pasini 1985a,b, 1988, 1993], [Vermij 1989]. Dans le contexte de la querelle des infiniment petits à l’Académie royale des sciences, qui débute en juillet 1700, Michel Rolle (1652-1719) reprend et reformule ces critiques. Il affirme que, dans le cadre de la recherche des tangentes, la méthode du calcul différentiel n’est qu’un « déguisement » de la méthode de Fermat ou de celle de Barrow et qu’ainsi les différentielles ont la même signification qu’un zéro absolu. Étant redondantes, il serait donc inutile de les introduire.

2En France, le calcul a été introduit par Jean Bernoulli et un groupe de savants regroupés autour du philosophe Nicolas Malebranche (1638-1715) [Bella 2018], [Shank 2018]. Parmi les membres de ce groupe, Guillaume de L’Hospital (1661-1704) et Pierre Varignon (1654-1722) sont les plus actifs. Tous deux font partie de l’Académie royale des sciences. Leur position institutionnelle leur permet de diffuser le nouveau calcul auprès de leurs pairs par la lecture de mémoires l’utilisant.

3Pour défendre le nouveau calcul, ces mathématiciens comprennent qu’il est essentiel d’exposer des arguments qui montreraient les distinctions notables entre le zéro absolu et les différentielles. Par ce biais, ils espèrent asseoir le bien-fondé et l’utilité de ces dernières. Au sein de l’Académie royale des sciences, Varignon défend le statut des différentielles en invoquant l’autorité de Newton. Leibniz explique d’abord les différentielles par les incomparables puis, par sa formule bien connue « de fictions bien fondées ». Mais ces interventions ne réussissent pas à convaincre les opposants au calcul. Le débat autour des différentielles dégénère en un dialogue de sourds : aucune des parties adverses ne reconnaît la pertinence des arguments de l’autre.

  • 2 Une quartique est une courbe qui possède une équation algébrique de degré quatre.
  • 3 Cajori constate l’apparition de l’expression (...)

4Pendant les séances académiques, Rolle expose des exemples de courbes sur lesquelles il applique le calcul différentiel afin de montrer que celui-ci aboutit à des résultats insatisfaisants. Ces exemples font apparaître des points singuliers – des extrema, des points de rebroussement ou encore des points doubles – qui amènent à des discussions non seulement au sein de l’Académie, mais aussi en privé, entre Varignon, Jean Bernoulli et Leibniz. Parmi ces exemples, le cas d’une quartique2 possédant un point double avec deux tangentes attire particulièrement leur attention, car la recherche des tangentes en ce point par l’application du calcul différentiel conduit à se confronter au quotient Image. Alors que cette expression renvoie à un non-sens pour l’algèbre ordinaire3, cette contribution montre comment Leibniz s’efforce de l’interroger et de l’interpréter au moyen du langage différentiel, encore en voie de construction, tout en s’appuyant sur des ancrages géométriques. L’analyse de cet épisode devrait pouvoir contribuer à éclaircir les modalités de la pratique du nouveau calcul à ses débuts.

2 Hésitations de sens autour de ⁰⁄₀

2.1 Autour du calcul des séries numériques

  • 4 Leibniz ne fournit pas dans cet écrit la démonstration de ces résultats dont il assure la difficul (...)

5À ma connaissance, l’expression Image apparaît pour la première fois dans les écrits mathématiques de Leibniz, entre 1672 et 1674, lorsqu’il l’introduit dans un contexte de recherche autour des séries des inverses des nombres figurés [Hofmann 1974, 12–20]. Dans l’Accessio ad arithmeticam infinitorum qu’il destine à Jean Gallois (1632-1707) fin 1672 [A III, 1, 1–20], Leibniz restitue ses résultats sur ces séries sous forme d’une table (Figure 1). Il connaît les résultats pour les séries correspondant aux exposants supérieurs ou égaux à 3 – somme des inverses des nombres triangulaires, carrés, etc. – qu’il écrit à la dernière ligne « summa », destinée à cet effet4. Pour la troisième colonne (n=2), correspondant à la série des inverses des nombres entiers (c’est-à-dire la série harmonique), Leibniz raisonne par analogie avec les résultats précédents. Comme pour n≥3, la somme de la série est Image, Leibniz l’applique au cas n=2 et écrit en bas de la colonne « Image ». Suivre cette analogie pour n=0 ou n=1 ferait apparaître des nombres négatifs, Leibniz choisit, sans justifier, d’inscrire Image à la place.

  • 5 « Ego vero arbitror, si ullus sit numerus iste infinitus, eum esse zero seu nullum, vel quod idem (...)
  • 6 Dans un texte contemporain intitulé « Mathematica », il explique que (...)

6Leibniz sait que la série des unités (1+1+1+…) est infinie. Il lui octroie la valeur nulle puisque le « nombre infini » est nécessairement nul5. Comme à cette série est associée l’expression « Image », il en déduit que6 :

Image

7[A III, 1, 11–12]

8Leibniz associe la série harmonique à l’expression ¹⁄₀ et sachant que sa valeur est infinie, il lui fait également correspondre 0.

Figure 1: LH XXXV, 3A 32, fol. 2v

Figure 1: LH XXXV, 3A 32, fol. 2v
  • 7 Je remercie David Rabouin et Arilès Remaki de me les avoir indiqués.
  • 8 « At summa seriei hujus infinitae (...)

9Des modifications significatives apparaissent dans deux autres écrits contemporains de ce premier7. La même table se retrouve dans un écrit de 1676 intitulé Scheda exigua [A VII, 3, 712–714] (Figure 2) et dans une lettre à Weigel de 1679 [A III, 2, 838]. Dans les deux cas, la première colonne, correspondant à la suite d’exposant 0, a disparu ainsi que l’expression Image associée à la somme des unités. Dans Scheda exigua, Leibniz est plus prudent : la somme des unités ne peut être que conjecturée [conjecturatia], elle n’est plus associée à Image mais à une expression qu’il invente : «Image ». Dans la lettre à Weigel, ayant expliqué que la série harmonique est un infini inférieur à celui de la somme des unités, il écrit tout simplement « infinit » pour la somme des entiers [A III ,2, 838–839]8.

Figure 2: LH XXXV, 8, 27 fol. 1

Figure 2: LH XXXV, 8, 27 fol. 1
  • 9 Cette expression n’atteint pas ici le statut de caractère au sens leibnizien, car elle n’en a pas (...)

10Dans le cadre de ces recherches sur les séries numériques, l’interprétation de l’expression Image renvoie à une interprétation en termes de rapport de nombres. Mais le rien n’est pas une grandeur, car il ne vérifie pas l’axiome du tout et de la partie. Amorcer une telle interprétation est donc vouée à l’échec. Ainsi, après avoir introduit de son propre chef l’expression Image, Leibniz ne la retient pas, jugeant que le jeu combinatoire a échoué en produisant une expression sans capacité représentative et nullement utile à l’art d’inventer9.

2.2 ⁰⁄₀ et le calcul différentiel

  • 10 Une présentation de ces deux textes et une transcription de Justification sont accessibles à l’adr (...)

11Leibniz use à nouveau de l’expression Image en 1702, dans un cadre très différent de celui de ses recherches sur les séries. Il s’agit de deux écrits, Justification du calcul des infinitesimales par celuy de l’Algèbre ordinaire [LBr 951, 15–16], [GM IV, 104–106] et Defense du calcul des Differences [LH XXXV, 6, 22, 1–2], [Pasini 1988, 705–708]. Leur dessein est de justifier l’utilisation du calcul différentiel. Le premier texte a été transmis à Varignon par l’intermédiaire de François Pinson (1645-1707) pour une publication au Journal de Trévoux. Cependant, l’un et l’autre textes restent inédits du vivant de Leibniz. Leurs éditions de nos jours ont fait l’objet d’analyses [Jesseph 2015], [Pasini 1993]. Les deux textes sont proches en partie car ils contiennent un développement qui s’appuie sur une configuration géométrique identique10.

  • 11 Leibniz envoie des éclaircissements à Varignon le 2 février 1702. Une partie de cette lettre est p (...)

12Defense du calcul des differences, contrairement à l’autre texte, contient un préambule dans lequel Leibniz annonce son intention de montrer que, dans son calcul, les élisions des quantités infiniment petites ne se font pas de manière arbitraire comme le soutiennent « des personnes habiles » qui « s’opposent au Calcul des Differences », mais suivant des règles qui peuvent être justifiées « à la manière d’Archimède ». Ces règles s’appuient sur son célèbre lemme des incomparables [Leibniz 1689] dont l’application permet de « connoistre ce qu’on peut negliger impunement sans qu’il en puisse naistre aucune erreur ». En invoquant les « personnes habiles » qui « s’opposent au calcul », Leibniz s’adresse surtout aux académiciens, comme Rolle et Gallois, qui n’acceptent pas de reconnaître l’exactitude du calcul différentiel. En effet, à peine un an auparavant, dans un court article au Journal de Trévoux [Leibniz 1701], Leibniz explique que la pratique de son calcul n’exige pas de prendre les infiniment petits de manière « rigoureuse », mais seulement comme des quantités aussi petites qu’il faut. Cette manière de procéder ne diffère de la manière des Anciens, avance-t-il, que dans les « expressions ». Reprenant des exemples qui illustraient son lemme des incomparables [Leibniz 1689], il maintient qu’il est possible de considérer que le rapport entre une boule et le diamètre de la Terre ou celui entre la Terre et la distance des fixes est un infiniment petit. De la même manière, il s’ensuit à ses yeux que le rapport entre la boule et la distance des fixes est un infiniment infiniment petit. Son développement, s’appuyant cependant sur des comparaisons avec des grandeurs finies, crée la confusion entre les membres de l’Académie royale des sciences, qu’ils s’opposent ou défendent le calcul. Quelques mois plus tard, dans un article au Journal des Sçavans [Leibniz 1702]11, il éclaircit ce qu’il a voulu dire par « expliquer l’infini par l’incomparable » et comment les différentielles peuvent être considérées comme « des idées propres à abréger les raisonnemens, & fondées en realitez ». Aux dires de Varignon, cette dernière publication apaise les attaquants du calcul, mais Leibniz, qui l’a écrite à la hâte, juge probablement qu’elle n’est pas suffisante puisqu’il rédige Justification du calcul des infinitesimales par celuy de l’Algèbre ordinaire quelques semaines après.

13Dans le préambule de Defense du calcul des differences, Leibniz annonce qu’il proposera une justification de « nostre manière de calculer par le calcul ordinaire de l’Algèbre ». Il avance que ceux qui pratiquent le calcul ordinaire de l’algèbre pratiquent déjà sans le savoir le calcul des infinitésimales. Par-là, il entend qu’ils usent de quantités infiniment petites même si certains d’entre eux prétendent que ce sont des riens. Il est utile de signaler que cette justification est formulée en ayant comme toile de fond une réflexion autour de la mathesis universalis. Entre 1698-1699, la mathesis universalis, qu’il définit comme la « science de la quantité considérée universellement », est distinguée en deux parties. L’Algèbre s’occupe de la quantité finie au moyen de quantités finies et une autre partie, la transcendante, traite aussi de la quantité finie, mais avec l’intervention des infinis qui s’évanouissent (c’est-à-dire son calcul différentiel) [LH XXXV, 1, 30, 1r], [Leibniz 2018, 127]. Aux yeux de Leibniz, l’algèbre ordinaire procède donc de manière analogue à son calcul, pourtant si critiqué par les algébristes, puisqu’elle applique un calcul général à un cas particulier en usant de quantités infiniment petites. Cet argument est à la base de la nouvelle stratégie de justification qu’adopte Leibniz et qui est autre que celle qu’il développe auprès des savants parisiens, par exemple dans le Journal de Trévoux juste quelques mois plus tôt.

14Son propos est illustré par un exemple à l’appui d’une figure. Cet exemple, aux notations près, est commun aux deux textes. Leibniz considère une droite fixe AE sur laquelle sont menées deux perpendiculaires IA et VE, également fixes. Une droite LM coupe AE en H selon un angle que Leibniz prend le soin de considérer différent de 45 degrés. Cette droite coulisse de H vers A parallèlement à elle-même en formant des triangles semblables ABHHEC ou Abh, hEc.

Figure 3: Défense du calcul des différences, LH XXXV, 6, 22, fol. 1v.

Figure 3: Défense du calcul des différences, LH XXXV, 6, 22, fol. 1v.
  • 12 Dans Justification, Leibniz préfère écrire « infinitesimales ».

15En notant AB=Ab=x, AH=Ah=z, EC=Ec=y et AE=f, la similitude des triangles permet d’écrire que, quelle que soit la position de la droite LM avant d’arriver en A : Image. Leibniz explique que lorsque la droite arrive en A, il est manifeste que les points b et h tombent en A. Les grandeurs z et x s’évanouissant, fz devient alors f−0. Pour comprendre cette situation géométrique à l’aide du calcul et dans toute sa généralité, c’est-à-dire jusqu’à l’évanouissement du triangle, Leibniz affirme qu’il faut admettre que les longueurs des côtés du triangle ne deviennent jamais absolument nulles, mais qu’« au dernier instant » elles doivent être considérées comme des « grandeurs évanouissantes12 ». Il soutient que bien que les grandeurs x et z ne soient plus comparables à f, elles sont comparables entre elles. Il n’est donc pas permis de les remplacer par des riens et d’écrire l’égalité Image. Pour valider cette affirmation, Leibniz raisonne par l’absurde en supposant que z et x sont des riens. Dans ce cas, le rapport Image des côtés du dernier triangle serait égale à Image.

16Que vaut Image ? Dans les deux textes apparaît le même argument. Dans Justification, il explique que comme « un rien vaut l’autre », z et x sont égaux, donc Image d’où f=y. Leibniz aboutit à l’égalité f=y qui constitue l’absurdité souhaitée, puisque, si elle était vérifiée, le triangle rectangle AEV serait isocèle en E et l’angle Image  vaudrait alors 45 degrés, contrairement à l’hypothèse de départ. Ainsi, z et x ne sont pas des riens absolus.

  • 13 La difficulté ne vient pas du fait qu’il a à être égal à un, car s’il était établi qu’il est égal (...)

17Dans les deux versions, déterminer la valeur de Image est décisif pour conclure que f=y. En effet, sans ce résultat, on n’aboutit pas à une absurdité13. Leibniz traite le rapport Image en appliquant la règle « Image », valable pour les rapports de grandeurs non nulles. Or ce traitement est ici illégitime et son raisonnement par l’absurde n’est donc pas valable. Certain d’avoir justifié qu’il est absurde de considérer z et x comme des riens, Leibniz semble affirmer que le contraire de « être des riens » est « être des évanouissants ». Ces « évanouissants » sont homogènes entre eux. En effet, bien que z soit considéré être un « rien » par rapport à f, il est « quelque chose par rapport à son homogène qui est x ». Dans Justification, Leibniz est plus catégorique en affirmant que z et x représentent des quantités qui sont l’affaire d’un « calcul d’Algèbre » : elles « ne sont prises pour des riens que comparativement [à f et à y] », mais cependant « ont du rapport l’une à l’autre ». Il convient de souligner que Leibniz tire cette dernière affirmation en appliquant le principe de continuité qu’il évoque plus avant. En effet, pendant le mouvement de la droite LM jusqu’à l’évanouissement de z et x, l’égalité des rapports entre les deux côtés de la paire de triangles est conservée, mais aussi l’existence de tels rapports (ce qui implique l’homogénéité des quantités).

  • 14 « Cavalieri, Mr Fermat, Mr Wallis, et autres supposent des certaines lettres, ou lignes infinement (...)

18Leibniz soutient que l’intégration « d’évanouissants » dans le calcul de l’algèbre permet de rendre plus général le traitement des problèmes. Il affirme que, de fait, ceux qui pratiquent la Spécieuse ordinaire ont nécessairement profité de cette considération pour « rendre leur calculs et constructions générales » [GM IV, 105]. Ici, il ranime une idée qu’il avait mise au point dès 1674 dans Méthode de l’universalité [A VII, 7, 18–84]14. L’argument est crucial, puisque ces textes s’adressent à des algébristes qui refusent d’introduire des quantités infiniment petites dans leur calcul. Pourtant, force est de constater qu’en dernière instance, pour légitimer l’appel aux évanouissants, Leibniz est contraint de faire appel au principe métaphysique de continuité. Or l’adhésion à ce principe ne va pas de soi pour ceux qui considèrent que la pratique calculatoire ne nécessite pas d’admettre des hypothèses audacieuses, autres que celle de supposer simplement que certaines quantités deviennent absolument nulles.

3 De l’utilité de la géométrie pour décrypter ⁰⁄₀

19Pendant la querelle des infiniment petits à l’Académie royale des sciences, Rolle propose plusieurs exemples de courbes pour lesquelles, selon lui, l’application du calcul leibnizien aboutit à des résultats insatisfaisants. Cependant, bien que Rolle commette plusieurs maladresses faciles à déceler, et qui rendent inopérante son intervention, ses exemples donnent lieu à des échanges entre Varignon, Jean Bernoulli et Leibniz concernant le comportement des différentielles en des points singuliers. Une des courbes qui les intéresse particulièrement est celle dont l’équation est :

20Image

21(où a et b sont des constantes).

Figure 4: Procès-verbaux de l’Académie royale des sciences, 9 juillet 1701, fol. 237r (traits ajoutés par mes soins).

Figure 4: Procès-verbaux de l’Académie royale des sciences, 9 juillet 1701, fol. 237r (traits ajoutés par mes soins).

22Pendant la séance académique du 9 juillet 1701, Varignon montre que la courbe présente une tangente horizontale (déterminée par dy=0) et deux tangentes verticales (déterminées par dx=0), alors que Rolle a avancé, en utilisant la méthode algébrique de Hudde, qu’elle possède trois tangentes horizontales, fournissant ainsi une forme erronée de la courbe [Varignon 1701]. La réponse de Varignon devant ses pairs constitue une victoire pour le calcul différentiel. Le nouveau calcul se montre effectivement plus propre à l’intelligence des lignes courbes que la méthode algébrique puisqu’il permet de préciser « les positions des tangentes » « par le moyen des dy et dx alternativement égales à zéro ». La méthode algébrique discerne les extrema, mais non la position relative des tangentes. Par conséquent, le traitement des courbes par le calcul différentiel est davantage en adéquation avec leur nature [Blay 1992, 49–55].

23Dans la lettre à Bernoulli du 19 avril 1701 [A III, 8, 619], Leibniz commente cet exemple. Il s’intéresse en particulier à un quelconque des points de rebroussement D (où la tangente est verticale). En posant z=xa et v=yb dans l’égalité

a(y-b)³ = (xx - 2ax + aa - bb)²

24elle devient

Image

25En différentiant, il vient

Image

  • 15 Leibniz n’écrit pas qu’aux minima zb, le dénominateur (...)

26Leibniz fait remarquer que pour satisfaire à dv=0 (i.e., dy=0) il y a deux possibilités. La première est z=0 (i.e., x=a) – qui correspond au maximum (D) et qui a déjà été trouvé ; la deuxième se produit pour dz=0. Leibniz affirme que ce dernier cas correspond aux minima de la courbe, c’est-à-dire à l’un des deux points D. Ainsi, dans le cas des minima, alors que la tangente est perpendiculaire à l’axe, il y aurait simultanément dv=0 et dz=015. À ces évidences calculatoires, Leibniz ajoute une interprétation géométrique.

Figure 5: Lettre de Leibniz à Jean Bernoulli du 19 juillet 1701, LK-MOW Bernoulli20, Bl. A47.

Figure 5: Lettre de Leibniz à Jean Bernoulli du 19 juillet 1701, LK-MOW Bernoulli20, Bl. A47.

27Il explique que le point D est le résultat de la déformation d’une courbe recourbée qui possède une tangente parallèle à l’axe des abscisses en un de ses points (en bas sur la Figure 5). Lorsque la « sinuosité de la recourbure » de la courbe « s’évanouit » – c’est-à-dire lorsque la courbe ne revient plus sur elle-même –, Leibniz affirme que la propriété de tangence (parallèle à l’axe des abscisses) est conservée, de sorte qu’« en quelque sens il est vray que la droite parallele à l’axe AP qui passe par D touche la courbe ». Dans ce cas, non seulement dz=0 mais aussi dv=0.

28Il est notable qu’ici Leibniz s’efforce de fournir une représentation géométrique à la double égalité dv=dz=0 qui conduit à faire apparaître le cas du point de rebroussement comme un cas dégénéré d’un cas plus général. Cette explication s’appuie sur la mise en œuvre du principe de continuité, même si Leibniz n’y fait pas explicitement appel.

  • 16 Ce terme provient du latin decussatus qui signifie « croisé ».

29Dans sa lettre de réponse du 7 mai 1701 [A III, 8, 632], Jean Bernoulli explique à Leibniz que la nullité simultanée des deux différentielles en un point est caractéristique d’un certain type de point, qu’il nomme de « décussation », car il est au croisement d’un nœud16. Il a rencontré un exemple de ce type, en échangeant avec Varignon, à propos d’une courbe quartique d’équation

30y⁴−8y³+16y²−12xy²+48xy+4x²−64x=0 (1)

31Cette quartique possède deux branches qui se croisent au point de coordonnées x=2 et y=2.

Figure 6: Quartique d’équation y⁴−8y³+16y²−12xy²+48xy+4x²−64x=0.

Figure 6: Quartique d’équation y⁴−8y³+16y²−12xy²+48xy+4x²−64x=0.

32La décussation implique ici l’existence de deux sous-tangentes.

  • 17 L’idée sur laquelle s’appuie l’algorithme est de remplacer y par y+nz et x par x+nv dans l’équatio (...)

33Le 13 avril 1702, Rolle publie un article « Règles et Remarques, pour le problème général des tangentes » [Rolle 1702], dans lequel il explique que les « méthodes ordinaires » – sans préciser lesquelles – ne conviennent pas pour trouver l’une quelconque des sous-tangentes à ce type de courbe. Il fournit un algorithme algébrique qui permet de trouver les valeurs des deux sous-tangentes cherchées, sans cependant fournir l’origine de cet algorithme17.

34Image Figure 7: Triangle caractéristique de côtés dx et dy semblable à TMP.

35Dans l’art. 9 de la section II du traité Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes [L’Hospital 1696, 11], L’Hospital présente la résolution générale de la recherche de la sous-tangente t en un point M en fournissant la formule Image. L’obtention de cette formule s’appuie sur des considérations géométriques (Figure 7) : au voisinage du point M, il est possible de considérer un point m infiniment proche de M de sorte que l’arc Mm puisse être supposé rectiligne. Le triangle curviligne MmR est ainsi supposé rectiligne et semblable à TMP. La figure garantit l’existence de ce qui est désigné par Image. Il suffit ensuite de faire confiance à l’algorithme qui, à partir de l’équation de la courbe, permet de trouver la valeur de Image.

36Dans le cas du point de décussation, la précédente configuration infinitésimale n’est pas reconductible, parce que l’existence de deux tangentes annule la détermination d’un triangle caractéristique. Comment le calcul en rend-il compte? En différentiant l’égalité :

37y⁴−8y³+16y²−12xy²+48xy+4x²−64x=0 (1)

38il suit

Image

39et pour x=2 et y=2, le numérateur et le dénominateur s’annulent. Dans ce cas, obtenir la valeur de Image implique de savoir traiter Image.

40Les lettres échangées entre Jean Bernoulli et L’Hospital entre 1693 et 1694 montrent que L’Hospital avait buté autrefois sur l’obtention de la valeur d’une expression dont le numérateur et le dénominateur s’annulent simultanément. Il avait demandé de l’aide à plusieurs reprises à Jean Bernoulli qui enfin, le 22 juillet 1694, lui dévoila une règle qui permet de sortir de cette impasse [Bernoulli 1955, 235]. Elle est énoncée dans l’article 163 de l’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes [L’Hospital 1696] en considérant que ce quotient exprime l’équation d’une courbe. Son énoncé et sa démonstration méritent de s’y attarder.

Soit une ligne courbe AMB (AP=x,PM=y,AB=a) telle que la valeur de l’appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur et dénominateur deviennent chacun zero lorsque x=a, c’est-à-dire lorsque le point P tombe sur le point B. On demande quelle doit être la valeur de l’appliquée BD. [...] si l’on prend la différence du numérateur, & qu’on la divise par la différence du dénominateur, après avoir fait x=a=Ab ou AB, l’on aura la valeur de l’appliquée BD ou bd. [L’Hospital 1696, 145]

  • 18 L’Hospital reprend presque intégralement celle que Jean Bernoulli lui a transmise en 1694.
  • 19 L’Hospital fait intervenir la quantité AB au numérateur par souci d’homogénéité, mais cette quanti (...)

41Pour la preuve18, L’Hospital considère deux courbes AN et CO de même axe AB que la courbe AND et telles que l’ordonnée PN (respectivement PO) exprime le numérateur (respectivement le dénominateur) de PM. Il peut alors écrire : ImageAB est une constante et représente l’abscisse du point B19. Ainsi, quand AP=x=a, les ordonnées PN et PO sont nulles par hypothèse et les deux courbes AN et CO se coupent donc sur l’axe au point B.

Figure 8: Figure 130 de l’Analyse des infiniments petits pour l’intelligence des lignes courbes de L’Hospital.

Figure 8: Figure 130 de l’Analyse des infiniments petits pour l’intelligence des lignes courbes de L’Hospital.
  • 20 Une théorie des développements limités n’a pas encore été explicitée.

42L’Hospital « imagine » une ordonnée bd infiniment proche de BD qui coupe chacune des courbes en f et g respectivement, ce qui lui permet d’écrire Image. Comme bd et BD sont infiniment proches, les suppositions de l’analyse des infinis assurent que la valeur de l’une peut être prise pour l’autre [L’Hospital 1696, 2–3]. Pour justifier que bf est la différentielle de PN et que bg est la différentielle de PO, L’Hospital explique qu’il est « visible » que lorsque AP devient AB, les ordonnées PN et PO deviennent nulles et que lorsque AP devient Ab, les ordonnées deviennent égales à bf et à bg, et que celles-ci sont en fait les différentielles des ordonnées en B et b par rapport aux courbes AN et CO. Le fait que « lorsque AP devient Ab, les ordonnées deviennent égales à bf et à bg » est non seulement « visible » mais tient à la définition des deux courbes. En revanche, il est important de constater que L’Hospital s’appuie fortement sur le diagramme pour justifier que bf et bg sont les différentielles des deux ordonnées. Dans le cadre de l’Analyse des infiniment petits, serait-il possible de fournir une autre explication ? Si bf ne différait de 0 que par une différentielle, on conclurait alors qu’elle est égale à cette différentielle, mais c’est justement ce qui est en jeu20.

43À la fin de son article, Rolle fait allusion à l’insuffisance des « méthodes ordinaires » pour trouver les valeurs des tangentes en un point de décussation [Rolle 1702]. Varignon et ses amis interprètent cette allusion comme une offensive contre la méthode différentielle. Ils souhaitent relever ce défi et ainsi illustrer la fécondité de l’algorithme en l’appliquant à plusieurs exemples, en particulier à la quartique d’équation (1). Pour ce faire, l’application de l’article 163 est précieux. Alors qu’il a été publié en 1696, il n’existe, à ma connaissance, aucune application avant celle-ci. Pour trouver la valeur de ᵈʸ⁄dₓ lorsque x et y sont égaux à 2, il convient de différentier le numérateur et le dénominateur de Image. Or

Image

  • 21 Ces égalités ne sont vraies que lorsque x et y sont égaux à 2.

44d’où21

Image

Figure 9: Les deux sous-tangentes au point de décussation.

Figure 9: Les deux sous-tangentes au point de décussation.

45Et en substituant x par 2 et y par 2, il vient Image soit Image. Comme x=2,

Image

46ou encore

Image

  • 22 Bien que cet article soit signé par le mathématicien Joseph Saurin (1659-1737), il est notable que (...)

47Ce résultat est publié le 3 août 1702 dans un article du Journal des Sçavans comme réponse à Rolle [Saurin 1702]22.

48La traduction analytique de la configuration de la double-tangente se trouvait réduite à l’expression aride Image. L’application de l’art. 163 permet de lui fournir une expression adéquate qui est celle d’une équation du second degré admettant deux solutions positives. L’expression Image ne renvoie plus nécessairement à une impossibilité.

4 Une synthèse argumentative de Leibniz

49La manière de procéder des défenseurs du calcul conduit encore à des critiques de la part de Rolle. Il explique qu’« on a fait concourir deux Methodes de cette Analyse, l’une de l’art. 9 l’autre de l’art. 163 » [Rolle 1703, 131]. Or, il indique que, dans ces deux articles, il n’est nullement question de recherche de tangentes doubles, ni d’ailleurs à aucun endroit de l’Analyse des infiniment petits, de sorte que des changements ont été nécessaires pour « y faire un supplément particulier des tangentes ». D’après lui, ces ajouts ont été effectués dans le but de déguiser sa propre méthode algébrique décrite dans l’article du 13 avril 1702 [Rolle 1702, 240–242].

50Saurin ne publie une défense à ces accusations que trois ans plus tard, le 23 avril 1705 [Saurin 1705]. Dans une lettre du 10 mai 1705, Varignon sollicite Leibniz pour intervenir et soutenir la cause du calcul différentiel auprès des membres de l’Académie. Il le prie cependant de faire attention à ne pas raviver les anciennes discussions sur le statut des différentielles au moment de la publication au Journal de Trévoux :

Nous vous prions donc instamment M. Saurin et moy de nous envoyer non seulement votre attestation, mais aussi celles de tout ce que vous connoissez de gens qui entendent votre calcul. Il ne faut toucher, s’il vous plaist, qu’au point traité dans le Journal du 23 avril dernier, sans parler d’infinis, de peur de fournir occasion à M. Rolle de s’accrocher ailleurs. Les points sur lesquels vous et ces Mrs êtes priés de prononcer, se trouvent de suite à la fin de ce Journal, et dans le Mémoire que voici : ce secours nous est absolument necessaire pour le triomphe de la vérité et de votre calcul en ce pays-ci. [A III, 9, 549]

  • 23 Une présentation et une transcription de ces deux manuscrits sont accessibles à l’adresse http://m (...)

51Leibniz accepte et rédige un écrit pour contrecarrer les propos de Rolle et défendre ses amis. Deux versions en existent : une version latine holographe [Gotha FB A 448–449, 41–42] et une version abrégée en français, de la main d’un copiste [LH XXXV, 7, 9, 1–2]. Celle-là est sûrement celle que Leibniz prévoyait pour un envoi aux savants parisiens, la première étant probablement réservée pour être publiée dans un journal savant européen. Seule la version latine de cet écrit est publiée sous le titre « Sentiment de Monsieur Leibnitz » [Leibniz 1706]23.

52Les textes se structurent en deux parties bien distinctes. La première s’attache à élucider quelques aspects techniques des critiques de Rolle. Leibniz ajoute ensuite un commentaire pour éclaircir l’article 163, qui est l’objet de la deuxième partie et l’intérêt des textes.

53Leibniz note par v, 3y²−12y−2x+16, et par z, y³−6yy+8y−6xy+12x, de sorte que :

Image

54Il est question de justifier pourquoi v et z ne sont pas pris pour des riens mais pour des « évanescents ». Leibniz commence par montrer pourquoi Image est indéterminable si on « demeure en ces termes », c’est-à-dire si on demeure dans le cadre de l’algèbre dans lequel 0 a des propriétés caractéristiques, en particulier pour la multiplication. Il explique que chacune des égalités

Image

55n’a pas plus de raison d’être vraie qu’une des autres, car multipliant chacun des membres de l’équation par 0, elles deviennent

0 = 1 × 0, 0 = 2 × 0, … 0 = b × 0

  • 24 Par exemple, 0+a=a ; 0+0=0 ; −0=0 ; si n+n=0, alors n=0 (n est considéré être positif) ; si −a=+a, (...)
  • 25 Par exemple : 0 × a = 0. De cette propriété, il observe que si 0= 0c, on ne peut pas déduire que (...)
  • 26 Leibniz commentant les notes prises par Philippe Naudé : « Quantitas quaevis, vel etiam 0, si supp (...)

56qui sont toutes algébriquement vraies en raison de la caractérisation algébrique de 0 : « quelque grandeur ou nombre qu’on puisse multiplier par 0, il provient tousjours 0 ». Ainsi, il n’est pas possible de décider si la fraction est égale à 1, 2 ou plus généralement à b [Gotha FB A 448–449, 42r], [Leibniz 1706, 38], [LH XXXV, 7, 9, 4]. Ce développement conduit à plusieurs remarques. Tout d’abord, il convient de contextualiser cette observation concernant 0. Leibniz s’est penché, aux alentours de 1700, sur les propriétés élémentaires de l’algèbre en rédigeant des textes sur son axiomatisation [Rabouin 2019, 277–296]. En particulier, il formule des propriétés et des caractérisations algébriques de zéro pour l’addition24 et pour la multiplication25, qu’il démontre pour la plupart [LH XXXV, 4, 12, 1–2], [LH XXXV, 4, 12, 7r–8v]. Comme le montre son développement, ce travail lui a permis de ne plus faire preuve d’hésitation pour affirmer le caractère indéterminé du rapport Image et la justification de celui-ci, contrairement aux textes de 1701 précédemment commentés. Ce type d’argumentation concernant la manipulation de zéro n’est d’ailleurs pas isolé car on retrouve dans d’autres manuscrits contemporains des développements proches [LH XXXV, 7, 17, 6–8], [Pasini 1985b, 19–31]26. Compris dans le strict cadre de l’algèbre, Image n’est pas calculable. Or, il s’agit ici de trouver le résultat du rapport Image lorsque dx et dy deviennent égaux chacun à 0 et à cette fin, de se procurer les moyens pour l’effectuer. Or, en prenant v et z pour des riens, « on n’apprend rien » [ex quibus nihil discemus, ma traduction] de ce rapport.

  • 27 « [...] a nihilo inassignabiler differentibus », [Gotha FB A 448–449, 42r], [Leibniz 1706, 38].
  • 28 « [...] ubi adhuc aliquid aut jam aliquid rei adest, etsi assignabile non sit », [Gotha FB A 448–4 (...)
  • 29 « Porro quantitas z, ubi est nascens aut evanescens, idem est quod dz ibidem existens ; [...] cum (...)

57Il est à remarquer qu’ici Leibniz n’écrit pas que v et z ne sont pas des riens mais que si l’on veut espérer l’effectuation d’un calcul, il ne faut pas les prendre pour des riens. Avoir à les considérer autrement que comme des riens est donc un impératif lié à une pratique calculatoire : « il faut les prendre [v et z] pour des grandeurs naissantes ou évanouissantes ». Cette dernière expression est précisée par la suite dans la version latine du texte. Les grandeurs naissantes ou évanouissantes sont celles qui différent du rien de manière inassignable27. Bien qu’elles ne soient pas assignables, elles se trouvent être quelque chose d’existant et non pas un rien absolu28. En outre, la grandeur z, naissante ou évanouissante, est « autant que son dz » parce que z ne différant du rien que de manière inassignable, sa première ou ultime différence infinitésimale, existant au même moment, coïncide avec elle29.

  • 30 Arthur utilise le terme anglais de « consilience » qui n’a pas de véritable équivalent en français

58Quelques aspects de ce développement méritent qu’on s’y attarde. À la demande de Varignon, ces deux textes sont rédigés en vue d’attester du bien-fondé du nouveau calcul qui cause tant de querelles à l’Académie des sciences. Ils s’adressent non seulement aux membres académiques mais aux acteurs de la République des lettres qui suivent depuis presque cinq ans ce débat. En raison de ces enjeux communautaires, Leibniz est plus prudent. Il ne présente plus les différentielles comme des incomparables. En effet, cela avait conduit à des méprises lorsque, pour « rendre le raisonnement sensible à tout le monde » [Leibniz 1702, 183], il avait fait appel à des analogies entre les degrés d’infinité et des grandeurs finies. Cela est notable par son choix de vocabulaire : le terme « incomparable », ou celui de « fiction » ou même celui de « différentielle » sont absents alors que foisonnent les couples « évanouissant/naissant » et « inassignable/assignable ». Sa terminologie n’est d’ailleurs pas sans rappeler celle utilisée par Newton dans le premier Livre des Principia [Newton 1687]. Cinq ans auparavant, lors des séances académiques des 7 et 11 août 1700, Varignon s’était appuyé sur la notoriété du texte newtonien pour défendre le calcul. Citant quasi intégralement en latin le scholie de la fin du Livre I des Principia, il caractérisait la différentielle comme évanescente [Varignon 1700, 314–315]. Présenter la nature de la différentielle comme celle d’evanescentia divisibilia était un argument crucial pour défendre l’idée qu’elle pouvait être rendue « plus petite que quelque grandeur que ce soit » et ainsi se placer dans la lignée de la géométrie des Anciens [Peiffer 1990], [Bella 2018]. Qu’il y ait une proximité terminologique entre le texte de Leibniz, la défense de Varignon et les Principia témoigne que la rhétorique liée aux justifications du calcul s’uniformise et se stabilise. Choisir de définir la différentielle comme « inassignable » renvoie à une conception de l’infinitésimale comme « moindre que toute quantité donnée » et permet une justification de la méthode différentielle en utilisant le vocabulaire archimédien. Dans « Leery Bedfellows : Newton and Leibniz on the Status of Infinitesimals » [Arthur 2008], Richard Arthur soutient que Newton et Leibniz, malgré les différences notables dans leurs philosophies des mathématiques, s’accordent sur une conception de ce qu’est un infinitésimal, et surtout sur la manière de fonder le calcul30. En particulier, chacun d’eux fait appel au principe d’Archimède sous la forme de ce qu’Arthur nomme le « principe de la différence inassignable ». Chez Newton, ce principe correspond, dans sa version synthétique, au premier lemme du Livre I des Principia [Arthur 2008, 19].

59Après avoir expliqué pourquoi v et z doivent être pris pour des évanescents, Leibniz revient à la configuration géométrique en indiquant que ses affirmations sont confirmées par l’observation de la figure :

Comme il est manifeste dans la figure 130 du traité de l’Analyse des infinitésimales, ou la distance entre B et b est moindre qu’aucune qu’on puisse assigner. [LH XXXV, 7, 9, 4]

  • 31 Cela ne peut pas être traité ici, mais à notre connaissance, pour la période du calcul différentie (...)

60Ce retour à la figure est intéressant. Par ce qui a été dit plus haut, Leibniz est convaincu que son calcul s’accorde avec les réquisits d’exactitude des Anciens et qu’ainsi le terme « infinitésimal », ou tout autre choix métaphorique de formulation, est un moyen pour abréger des développements dans lesquels une différence doit être rendue moindre que toute quantité donnée. Cependant, bien que l’usage de son langage infinitésimal doive suffire à la preuve, Leibniz sollicite son lecteur pour une ultime vérification sur la figure. Le lecteur est conduit à « voir » qu’entre B et b la distance est « moindre qu’aucune qu’on puisse assigner ». À l’évidence, le « voir » n’est pas immédiat mais doit passer par l’imagination : le segment Bb, bien que fini sur la figure matérielle, peut être rendu plus petit que n’importe quel assignable. Cette opération mentale n’est de fait qu’une autre façon d’exprimer l’infinitésimal et relève de la tension à cette époque entre représentation géométrique et analyse. L’invention du calcul leibnizien a pour but de résoudre des problèmes liés aux courbes. Or, pour intégrer le cadre géométrique dans lequel ces courbes habitent, les différentielles sont naturellement interprétées géométriquement [Fraser 2015, 31–33, 43]. Dans ce sens, dans le cadre du calcul infinitésimal, la figure, bien que non-démonstrative, ne peut pas être réduite à son seul rôle illustratif, ni non plus à une fonction « monstrative » [Knecht 1981, 142–143]. Il conviendrait d’affiner le rôle joué par le diagramme dans les preuves de l’analyse infinitésimale à ses débuts, et en particulier en quel sens et de quelle manière le diagramme peut garantir la preuve développée dans le texte, comme l’a fait Tournès pour une période plus tardive [Tournès 2012]31.

61Après ce développement, Leibniz peut conclure. Le calcul différentiel est le seul à fournir une interprétation au problématique Image, qui est apparu dans la configuration du point de décussation. Cette interprétation suppose un traitement calculatoire efficace et s’appuie sur des considérations figuratives. Leibniz ajoute que le cas de la décussation n’est pas isolé puisque, par exemple, dans la méthode des tangentes « arrive la même chose sur le même fondement », car

  • 32 « [...] differentias abscissarum vel ordinatarum adhibemus non jam coincidentium, ubi differentia (...)

nous utilisons les différences des abscisses ou ordonnées, non déjà coïncidentes, lorsque la différence est pleinement nulle, mais disparaissant [les différences] dans la coïncidence, lorsque les différences aussi ne sont pas encore nulles, mais posées cependant dans l’acte d’évanouir. [Gotha FB A 448-449, 42v], [Leibniz 1706, 38]32

62Leibniz souligne que l’écriture « Image » renvoie à cette situation [Gotha FB A 448–449, 42r].

63Pour finir, en guise d’épilogue, il est intéressant d’observer la manière dont Leibniz intègre l’opération de division par 0 dans des écrits contemporains d’axiomatisation d’algèbre. À titre d’exemple, dans l’un des manuscrits, Leibniz écrit :

Image est une absurdité à moins qu’a ne soit 0.

Démonstration : Soit a un autre que 0 et Image donc (prop. 15, cor. 7) Image

Image

  • 33 Le corollaire 7 de la proposition 15 exprime que si a=b alors ac=bc. La proposition 13 énonce que (...)

Ainsi a=0⋅x(ax⋅7)=0 donc a=0 ce qui est une absurdité quand on suppose que a n’est point 0. [LH XXXV, 4, 12, 7r]33

64Puis il ajoute un scholie :

65Quand on divise par 0 dans le Calcul des infinitésimales, 0 n’y signifie pas un rien absolument, mais un nombre qui exprime une grandeur évanouissante ou qui est sur le point de devenir rien, et, qui par conséquent garde encor la nature de la grandeur qu’on suppose décroître continuellement jusqu’à l’évanouissement. Et lorsqu’un tel nombre, multiplie quel autre nombre le produit n’est pas absolument un rien ou 0, mais c’est encor quelque chose d’évanouissant. [LH XXXV, 4, 12, 7r]

5 Remarques conclusives

66Leibniz se confronte à l’expression Image dans des cadres différents de recherche – les séries numériques puis le calcul différentiel. Dans chacun de ces cas, il s’efforce d’évaluer dans quelle mesure cette expression peut être interprétée, ou quelle est sa capacité à représenter avec exactitude quelque chose. Dans le cas des séries numériques, cette confrontation, hasard de la combinatoire, se solde par un échec : cette expression ne saurait mettre en évidence une quelconque relation entre objets. Dans le cas du calcul différentiel, il en est tout autrement. L’association des signes du rapport « − » et de zéro « 0 », que constitue Image renvoie pour l’algèbre à une impossibilité et indique une borne. Intraitable par l’algèbre ordinaire, le calcul différentiel, au moyen des quantités évanouissantes, relève le défi de donner sens à et dépasse cette borne. Cependant, force est de constater que cette donation de sens se réalise non seulement dans une tension entre algèbre et calcul différentiel. Si Leibniz, ainsi que ceux qui pratiquent son calcul, s’efforcent d’interpréter ce quotient dans le cadre de l’analyse des courbes, c’est que, d’une certaine façon, ils partagent la conviction que le quotient de deux quantités infiniment petites est une expression qui doit avoir un pendant géométrique.

67L’analyse de la manière dont l’expression Image a été interprétée et traitée révèle certaines formes générales de la pratique du calcul différentiel à ses débuts. Elle illustre tout d’abord les difficultés rencontrées pour développer un langage analytique intégrant les notions et les principes du calcul différentiel, alors que pour ceux-ci il n’y a pas de consensus établi. Elle montre aussi que cette pratique s’appuie de manière essentielle sur un raisonnement diagrammatique. C’est sous cette double tension, entre algèbre/calcul différentiel et entre calcul/géométrie, que se constitue un cadre où émerge une pratique productrice d’une forme de rigueur, contrairement à ceux qu’une certaine historiographie a pu affirmer.

Abréviations

A

Leibniz, G.W., Sämtliche Schriften und Briefe, herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften und der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen, Reihe 1–8, Darmstadt, Lepzig, Berlin, 1923- [A suivi du numéro de la série en chiffres romains et du numéro du tome].

GM

Leibnizens Mathematische Schriften, éd. Gerhardt, Halle, 1850-1853, rééd. Hildesheim, New-York, Olms, 1962. [GM suivi du tome en chiffres romains].

LH XXXV

Leibniz-Handschriften zur Mathematik

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Bibliographie

Sources primaires

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Saurin, Joseph[1705], Défense de la réponse à M. Rolle de l’Académie royale des sciences contenue dans le Journal des Sçavans du 3 août 1702 CONTRE La réplique de cet auteur publiée en 1703 sous le titre de Remarques touchant le Problème général des Tangentes, Journal des Sçavans, 23 avril, 241–256.

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Notes

1 Cet article a reçu le prix du meilleur texte en langue française sur l’œuvre de G. W. Leibniz ou sur sa réception, décerné par la SELLF (Société d’études leibniziennes de langue française) en 2021.

2 Une quartique est une courbe qui possède une équation algébrique de degré quatre.

3 Cajori constate l’apparition de l’expression Image en 1704 dans un article de Jean Bernoulli, mais il n’en donne pas l’origine, ni une interprétation [Cajori 1928, 260–261].

4 Leibniz ne fournit pas dans cet écrit la démonstration de ces résultats dont il assure la difficulté [Hofmann 1974, 21].

5 « Ego vero arbitror, si ullus sit numerus iste infinitus, eum esse zero seu nullum, vel quod idem est dicere, numerum istum infinitum esse nullum, seu = 0 » [A III, 1, 11].

6 Dans un texte contemporain intitulé « Mathematica », il explique que Image ne peut pas être égal à 1 car cela conduit à une absurdité. En revanche, il égalise ce rapport à 0 car « Et 0. Alteri 0 ; neque aequale est neque inaequale » [A VII, 1, 656].

7 Je remercie David Rabouin et Arilès Remaki de me les avoir indiqués.

8 « At summa seriei hujus infinitae Image etc., est Image  quae quantitas est infinita, major scilicet quovis numero assignabili, quemadmodam etiam demonstrare possum interim multo imo infinities minor est quam summa seriei hujus Image, etc. » [A III, 2, 838–839].

9 Cette expression n’atteint pas ici le statut de caractère au sens leibnizien, car elle n’en a pas la capacité représentative [Leibniz 1995, 145–149], [Leibniz 2018, 80–81].

10 Une présentation de ces deux textes et une transcription de Justification sont accessibles à l’adresse http://mathesis.altervista.org/justification-of-the-differential-calculus/, consulté le 4 avril 2021.

11 Leibniz envoie des éclaircissements à Varignon le 2 février 1702. Une partie de cette lettre est publiée au Journal des Sçavans le 20 mars 1702.

12 Dans Justification, Leibniz préfère écrire « infinitesimales ».

13 La difficulté ne vient pas du fait qu’il a à être égal à un, car s’il était établi qu’il est égal à tout autre nombre, il suffirait dans ce cas de changer l’hypothèse initiale de l’angle pour aboutir à une absurdité. La difficulté vient de que ce « rapport » n’est pas défini.

14 « Cavalieri, Mr Fermat, Mr Wallis, et autres supposent des certaines lettres, ou lignes infinement petites ou egales a rien. J’ay mis la mesme chose en usage, et j’ay adjousté des lettres qui representent une grandeur infinie, ou des lignes egales à des rectangles, comme sont les asymptotes de l’Hyperbole » [A VII, 7, 51]. Leibniz met en œuvre cette méthode pour obtenir une équation générale de « la » conique qui comprend les cas de l’ellipse, l’hyperbole, la parabole et le triangle.

15 Leibniz n’écrit pas qu’aux minima zb, le dénominateur Image de l’expression de dv s’annule aussi et qu’ainsi dv apparaît sous la forme Image.

16 Ce terme provient du latin decussatus qui signifie « croisé ».

17 L’idée sur laquelle s’appuie l’algorithme est de remplacer y par y+nz et x par x+nv dans l’équation de la quartique. L’algorithme permet de calculer « par tranches » les termes de la nouvelle égalité. La première tranche (qui correspond à la détermination des tangentes en un point non singulier) se forme à partir des termes de l’équation de la courbe en multipliant chacun des termes en y par leur exposant puis en remplaçant par z un seul des y dans le produit. Par exemple y⁴ est transformé en 4y³z. Le même type de procédé est appliqué aux termes en x, mais en remplaçant par v. Puis tous ces produits sont multipliés par n. Pour le deuxième bloc, on procède de manière similaire à partir du premier bloc, obtenu lors de la première étape, sauf que cette fois-ci, les produits sont multipliés par . Ainsi, l’algorithme permet de calculer un bloc à partir du précédent par ordre rétrograde. Rolle présente la nouvelle égalité rangée par ordre. Dans le cas de la quartique, en remplaçant x et y par 2, la première partie de l’égalité ainsi rangée s’annule, il faut donc passer au bloc suivant qui cette fois-ci ne s’annule pas et fournit les valeurs des deux sous-tangentes.

18 L’Hospital reprend presque intégralement celle que Jean Bernoulli lui a transmise en 1694.

19 L’Hospital fait intervenir la quantité AB au numérateur par souci d’homogénéité, mais cette quantité ne joue aucun rôle dans la preuve.

20 Une théorie des développements limités n’a pas encore été explicitée.

21 Ces égalités ne sont vraies que lorsque x et y sont égaux à 2.

22 Bien que cet article soit signé par le mathématicien Joseph Saurin (1659-1737), il est notable que Varignon a collaboré à sa rédaction [Bella 2018]. La querelle des infiniment petits devenant trop longue, elle est à l’encontre des règles de bienséance de l’Académie des sciences. Celle-ci impose le silence de sorte qu’aucun des adversaires ne doit publier de mémoire provocateur. Varignon ne peut donc pas signer cet article sans que cela contrevienne à cette résolution.

23 Une présentation et une transcription de ces deux manuscrits sont accessibles à l’adresse http://mathesis.altervista.org/justification-of-the-differential-calculus/, consulté le 4 avril 2021.

24 Par exemple, 0+a=a ; 0+0=0 ; −0=0 ; si n+n=0, alors n=0 (n est considéré être positif) ; si −a=+a, alors a=0.

25 Par exemple : 0 × a = 0. De cette propriété, il observe que si 0= 0c, on ne peut pas déduire que b=c. Aussi, pour b non nul, Image.

26 Leibniz commentant les notes prises par Philippe Naudé : « Quantitas quaevis, vel etiam 0, si supponatur divisa vel divisum per 0, potest vere esse =0, et = quantitati cuilibet assignabili ; et =∞ ; qua de causa, talibus uti in calculis non magis possumus, quam si nunquam quantitas esse possent, quia Image, vel Image vel generalius Image sunt res omnimode indeterminata et incognita, quia aliquando verae sunt quantitates assignabiles ; aliquando ∞, et aliquando 0 [...] Unde patet, quod si in calculo quodam algebraico obtineremus pro responsione vel pro ipsa resolutione Image vel = Image, non certe inde sequeretur x aequale ese infinito, nec certe aequalem quantitati assignabili, sed cuinam inter haec, nullo modo scriri posse hac responsione. » [LH XXXV, 7, 17, 7r–8r], [Pasini 1985b, 20].

27 « [...] a nihilo inassignabiler differentibus », [Gotha FB A 448–449, 42r], [Leibniz 1706, 38].

28 « [...] ubi adhuc aliquid aut jam aliquid rei adest, etsi assignabile non sit », [Gotha FB A 448–449, 42r], [Leibniz 1706, 38].

29 « Porro quantitas z, ubi est nascens aut evanescens, idem est quod dz ibidem existens ; [...] cum magnitudo nascens aut evanescens, seipsa a nihilo differat inassignabiliter, primaque adeo seu ultima differentia (infinitesimalis scilicet) coincidat cum termino ipso » [Gotha FB A 448–449, 42r], [Leibniz 1706, 38].

30 Arthur utilise le terme anglais de « consilience » qui n’a pas de véritable équivalent en français.

31 Cela ne peut pas être traité ici, mais à notre connaissance, pour la période du calcul différentiel à ses débuts, aucune étude sur le rôle des diagrammes n’a encore été proposée. Dominique Tournès examine où et comment apparaissent les diagrammes dans le cadre de la théorie des équations différentielles entre les xviiie et xixe siècles (c’est-à-dire peu après le début du calcul). Lorsque le diagramme est qualitatif (c’est-à-dire pouvant demeurer dans l’imagination ou obtenu par un tracé à main levée), il est un auxiliaire psychologique du raisonnement et permet un contrôle de la recherche analytique. Tournès affirme que les diagrammes sont une aide précieuse pour écrire les démonstrations et ajoute que bien qu’il soit possible, dans le cadre des équations différentielles, de donner des preuves sans aucun diagramme, les diagrammes contribuent à la preuve en fournissant, à défaut de fondations logiques, des fondations cognitives. Il conclut en soulignant que la confiance en les preuves analytiques vient en grande partie du fait qu’elles sont consistantes avec ce qui est vu sur le diagramme.

32 « [...] differentias abscissarum vel ordinatarum adhibemus non jam coincidentium, ubi differentia plane nulla est, sed in coincidentiam abeuntium, ubi differentiae quoque non adhuc nullae sunt, sed tamen positae in actu evanescendi », [Gotha FB A 448–449, 42v], [Leibniz 1706, 38, ma traduction].

33 Le corollaire 7 de la proposition 15 exprime que si a=b alors ac=bc. La proposition 13 énonce que Image pour le démontrer Leibniz utilise l’axiome 12 : Image. Enfin la proposition 10 énonce que Image, pour la démontrer Leibniz utilise l’axiome 11 : Image. Les axiomes et les propositions sont valables implicitement pour des quotients dont le dénominateur n’est pas nul. Or appliquée à 0, la proposition 10 implique que Image. Leibniz semble plus attaché aux manipulations aveugles qu’à l’implication concernant le quotient de deux zéros. Le but de Leibniz est de montrer que Image est une absurdité mais que ce n’est pas nécessairement le cas pour Image.

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Table des illustrations

Titre Figure 1: LH XXXV, 3A 32, fol. 2v
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Fichier image/png, 530k
Titre Figure 2: LH XXXV, 8, 27 fol. 1
URL http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/docannexe/image/3028/img-14.png
Fichier image/png, 114k
Titre Figure 3: Défense du calcul des différences, LH XXXV, 6, 22, fol. 1v.
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Fichier image/png, 158k
Titre Figure 4: Procès-verbaux de l’Académie royale des sciences, 9 juillet 1701, fol. 237r (traits ajoutés par mes soins).
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Fichier image/png, 71k
Titre Figure 5: Lettre de Leibniz à Jean Bernoulli du 19 juillet 1701, LK-MOW Bernoulli20, Bl. A47.
URL http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/docannexe/image/3028/img-33.png
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Titre Figure 6: Quartique d’équation y⁴−8y³+16y²−12xy²+48xy+4x²−64x=0.
URL http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/docannexe/image/3028/img-34.png
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Titre Figure 8: Figure 130 de l’Analyse des infiniments petits pour l’intelligence des lignes courbes de L’Hospital.
URL http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/docannexe/image/3028/img-43.png
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Titre Figure 9: Les deux sous-tangentes au point de décussation.
URL http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/docannexe/image/3028/img-48.png
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Pour citer cet article

Référence papier

Sandra Bella, « De l’intraitable à l’indéterminé : entre calcul et géométrie, réflexions leibniziennes autour de ⁰⁄₀ (1700-1706) »Philosophia Scientiæ, 25-2 | 2021, 21-45.

Référence électronique

Sandra Bella, « De l’intraitable à l’indéterminé : entre calcul et géométrie, réflexions leibniziennes autour de ⁰⁄₀ (1700-1706) »Philosophia Scientiæ [En ligne], 25-2 | 2021, mis en ligne le 12 juillet 2021, consulté le 24 octobre 2021. URL : http://journals.openedition.org/philosophiascientiae/3028 ; DOI : https://doi.org/10.4000/philosophiascientiae.3028

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Auteur

Sandra Bella

Laboratoire SPHERE, UMR 7219, Université de Paris – CNRS, Paris (France)

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