• 1 Les éditions, traductions et mentions de l’ouvrage de Clairaut sont répertoriées systématiquement (...)
• 2 Dans tout l’article, nous écrivons « éléments » sous cette forme, pour désigner plutôt un genre d’ (...)
• 3 La première partie discute, au titre des « moyens les plus naturels d’employer pour parvenir à la (...)
• 4 En ce sens, même un « problème » au sens euclidien est un « théorème » aux yeux de Clairaut.

1Le texte des Éléments de géométrie de Clairaut, publié la première fois en 1741, tire sa valeur patrimoniale du fait qu’il est habituellement considéré comme le début d’une riche histoire plutôt que son aboutissement. Cela vient en partie du succès considérable que ce texte a eu dès sa parution (voire avant cette dernière) et qu’il a gardé jusqu’à aujourd’hui1. D’autre part, ce texte se présente et a été présenté comme un texte original car allant contre l’ordre euclidien. D’un point de vue formel, en effet, il ne commence pas par des « éléments2 », au sens propre d’un ensemble préliminaire de définitions, d’axiomes ou de postulats, mais par une préface et quatre introductions mi-historiques, mi-philosophiques aux quatre grandes parties de l’ouvrage3 qui débouchent essentiellement sur la discussion de problèmes enchaînés entre eux selon un ordre analytique : des « problèmes clés » d’ordre général (qu’ils soient de nature pratique ou non) sont progressivement réduits à des problèmes plus élémentaires ou bien à des définitions et théorèmes qui sont ceux de la « géométrie ordinaire ». De surcroît, Clairaut explicite cette stratégie d’exposition dans l’importante préface du traité, qui est reproduite dans bien des recensions du texte : Clairaut revendique en effet cette construction originale comme allant contre l’ordre d’exposition euclidien, qui irait essentiellement par théorèmes, le terme « théorème » étant pris dans un sens philosophique très général, de vérité qui n’a pas été justifiée au préalable4. Il ne fait aucun doute, comme nous le verrons, que tout ceci a été regardé comme une originalité de l’ouvrage dès sa publication.

• 5 Les traductions modernes (Heath, Vitrac, Acerbi) s’appuient toutes sur une édition de référence de (...)

2Mais conclure de là qu’il s’agit d’un texte hautement original dans son contexte de parution serait une erreur. Cela reviendrait en effet à faire l’ellipse de ce qu’était ce contexte et tout particulièrement la « soif de nouveautés » en matière de textes de géométrie qui caractérise le premier dix-huitième siècle, ainsi qu’à présupposer un peu vite qu’un texte d’Euclide était alors un objet unique et bien identifié, l’équivalent de ce que nous font connaître aujourd’hui les éditions modernes d’Euclide5. Le lecteur géomètre du dix-huitième connaît surtout des adaptations d’Euclide à des degrés divers, qui l’assortissent au minimum d’un nombre important de commentaires ou bien, à l’autre extrême, d’Éléments de géométrie ou de mathématiques qui ne gardent que le titre de l’ouvrage d’Euclide mais en revoient complètement l’ordre.

• 6 Comme nous le verrons, Clairaut fait allusion à plusieurs reprises à certains « auteurs », mais sa (...)
• 7 Les deux tendent du reste à se confondre, des œuvres « intégrées » dans l’esprit d’un cours comple (...)

3L’objet de cette étude est donc de réévaluer au mieux la question de l’originalité du texte séminal de Clairaut en le rapportant plus précisément à son contexte d’apparition et de réception ainsi qu’à la nature de ses références implicites les plus probables6. Notre objectif est d’indiquer les différentes traditions d’écriture de la géométrie auxquelles ce manuel emprunte de manière plausible, en énumérant les caractéristiques qui en faisaient un objet sinon banal, du moins assez courant pour qu’on puisse le comparer à d’autres types de géométries à l’époque. Ce premier objectif revient à esquisser une première caractérisation du genre alors en pleine évolution des « éléments », que ce soit de géométrie ou de mathématiques en général7. Il s’agit alors d’une entité floue mais en voie manifeste de patrimonalisation puisque Clairaut s’y réfère. Notre seconde visée sera de déterminer sur cette base, en quoi précisément l’ouvrage peut apparaître comme novateur. Nous mettrons en valeur tout particulièrement deux traits majeurs de l’ouvrage de Clairaut : le fait qu’il suive un ordre analytique, mais sans introduire d’algèbre préalable à l’exposé géométrique ; et le fait de confondre dans un même ouvrage les caractéristiques d’une « géométrie pratique », suivant le vocable qui a connu ses plus grands succès éditoriaux aux dix-septième et dix-huitième siècles [Raynaud 2015, 19–20], avec celles d’un traité « élémentaire » à visée essentiellement théorique ou « spéculative », suivant là encore le vocabulaire de l’époque.

• 8 Son texte célèbre sur la figure de la Terre est paru en 1743. Pour un aperçu global de son œuvre d (...)
• 9 Il s’agit de son travail sur les courbes gauches ou « à double courbure » [Courcelle 2013].
• 10 C’est le cas par exemple de Jules Tannery, mais le texte a déjà fait l’objet au dix-neuvième siècl (...)
• 11 Outre les témoignages répertoriés sur le site d’Olivier Courcelle, dont plusieurs attestent d’une (...)

4La première publication du texte Éléments de géométrie d’Alexis Clairaut date de 1741, cinq ans après qu’il en a présenté une première version à l’Académie des sciences [Courcelle 2007]. Clairaut est aujourd’hui principalement connu pour ses travaux sur la forme de la Terre et plus généralement en astronomie8. Au moment de la publication de son texte de géométrie, il avait déjà acquis une solide réputation pour ses tout premiers travaux, qui lui avait valu une admission précoce à l’Académie des sciences9, et il venait de participer à la prestigieuse expédition en Laponie conduite par Maupertuis, qui allait jouer un rôle décisif dans la controverse savante sur les fondements théoriques permettant d’expliquer la forme de la Terre [Passeron 1994]. La publication des Éléments de géométrie a fait date en son temps puis pour la postérité longue : trois éditions en paraissent du vivant de Clairaut, suivies par plusieurs autres tout au long du dix-neuvième siècle et jusqu’au début du vingtième siècle, où il sert de référence à plusieurs des réformateurs qui rénovent l’enseignement de la géométrie au tournant du siècle10. Des traductions du texte en suédois, latin, italien, allemand, hollandais paraissent du vivant de Clairaut suivies par d’autres ensuite (polonais, anglais, portugais). Dans l’héritage court du texte, il faut aussi compter sur tous ceux qui diffusent son texte et le commentent [Courcelle 2017]11.

• 12 Voir les lettres de Clairaut à Cramer, par exemple [Courcelle 2010], où il fait allusion à son pro (...)

5La parution cinq ans plus tard des Éléments d’Algèbre, sur un modèle explicitement voisin, renforce encore l’effet de la première publication [Courcelle 2014]. Plus encore que le premier, ce traité élémentaire d’algèbre a d’autant plus attiré l’attention que, sous les apparences d’un texte élémentaire accessible aux débutants, il s’agit en fait d’un texte innovant et fort savant, à la pointe des recherches algébriques du temps. Clairaut s’était promis d’écrire un troisième texte, sur les applications de l’algèbre à la géométrie, peut-être dans le goût du traité également très célébré de Gabriel Cramer publié en 1750 [Courcelle 2010], [Joffredo 2013, 2017, 2019], ou dans celui de Nicolas Guisnée [Guisnée 1705] que Clairaut avait étudié et qui était alors une des principales références sur le sujet12. Clairaut n’a jamais mis ce projet à exécution, vraisemblablement en raison des travaux en astronomie fondamentale qui l’accaparaient à partir des années cinquante, comme l’indique sa correspondance avec Cramer.

• 13 C’est ce que note de manière assez perfide D’Alembert, son « ennemi intime » sur les questions d’a (...)
• 14 Les particularités de l’approche de Clairaut sont étudiées dans les articles déjà cités d’Évelyne (...)

6Il est clair que la célébrité des deux textes doit beaucoup à la réputation déjà acquise par son auteur et au fait qu’il s’agisse d’un mathématicien précoce, déjà membre de l’Académie13. Mais elle est également due à la méthode d’exposition employée pour le premier texte et reprise explicitement dans le second qui rend son contenu particulièrement accessible. Cette méthode « analytique », qui, selon les termes de D’Alembert, fait systématiquement précéder les notions et vérités d’une explication qui en donne le sens, a eu un riche héritage chez les successeurs immédiats et jusqu’à aujourd’hui14. Ces textes ont donc fait date et sont devenus sinon des classiques, du moins une référence importante pour d’autres auteurs de manuels de géométrie ou d’algèbre, comme en témoigne l’exemple de Sylvestre Lacroix, le prolifique auteur de manuels élémentaires des débuts du dix-neuvième siècle [Ehrhardt 2009], [Barbin 2021], [Lubet 2021].

• 15 Comme indiqué plus haut dans la première note, la question est abordée par Sander [Sander 1982] et (...)

7Ces rappels reviennent à constater que le traité de Clairaut est devenu à son tour un objet patrimonial pour ses successeurs immédiats et surtout pour les mathématiciens du dix-neuvième siècle. Les étapes de cette patrimonalisation des textes didactiques de Clairaut et de leur auteur sont des questions du plus haut intérêt mais qui ne font pas l’objet immédiat de cette étude, même si nous indiquerons en conclusion quelques pistes de recherche à ce sujet15.

• 16 Depuis l’Antiquité, la notion « d’éléments » [stoicheia] annonce un exposé qui repose sur les élém (...)
• 17 C’est donc un Euclide « tutélaire » qui est évoqué pour représenter l’esprit de la géométrie ancie (...)

8Pour en revenir aux seuls Éléments de géométrie et aux questions soulevées plus haut, la rédaction en est donc très brillante puisqu’elle introduit bien des connaissances géométriques fondamentales, tout en étant apparemment structurée uniquement autour de problèmes et sans faire recours à un appareil préalable de définitions ou d’axiomes, contrairement à ce que semble annoncer le titre16. Ce trait a d’autant plus contribué au succès de l’ouvrage que Clairaut revendique cette lacune dans la préface du texte, comme une caractéristique essentielle de son projet : ne pas introduire les connaissances par un jeu de définitions et d’axiomes, mais ne rien avancer non plus qui n’ait reçu une explication, un « pourquoi » sous la forme d’un problème d’ordre pratique ou théorique et qui donne du moins du sens aux connaissances introduites. C’est donc l’expression de besoins ou de questions curieuses qui sert d’introduction à des problèmes dont la résolution introduit elle-même aux notions et « vérités géométriques ». Clairaut rattache de plus ce choix de rédaction à une critique explicite du modèle euclidien, qui fait précéder l’énoncé des théorèmes d’une longue chaîne de définitions et d’axiomes dont la justification n’est pas toujours claire et n’a été motivée au mieux que dans les commentaires aux textes. Il y attache également une ambition philosophique plus générale qui est de développer l’esprit d’invention : « elle accoutumera, écrit Clairaut, l’esprit à chercher et découvrir » [Clairaut 1741, vii]. Il évoque à cet égard une histoire fictive de la géométrie, inspirée librement des Anciens et du lieu commun remontant à Hérodote sur les premiers inventeurs de la science, qui sert à la fois à défendre l’idée que le chemin suivi est celui des inventeurs, ou du moins celui qu’ils auraient pu naturellement suivre. Si d’autre part Euclide ne l’a pas suivi, c’était pour « fermer la bouche à la chicane, c’est-à-dire aux sophistes de son temps17 ».

• 18 Clairaut revendique dès les premières lignes un exposé très général de la géométrie dans toute sa (...)
• 19 L’ouvrage de Clairaut a été publié bien après sa rédaction et sa première présentation, très vrais (...)

9Mais Clairaut, malgré cette préface prometteuse et revendiquant une approche nouvelle, revendique aussi une certaine conformité de son ouvrage à un genre, celui des « éléments ». Comme il le répète fréquemment, il entend explicitement introduire le lecteur aux principaux résultats de la géométrie élémentaire et à son esprit : ce dernier est de fournir des connaissances géométriques exactes et rigoureusement établies, conforme au « langage des géomètres » et à l’exigence d’exactitude et ne permet pas de l’assimiler à un texte pratique18. L’ouvrage est d’ailleurs présenté à l’Académie dès 1736, cinq ans avant sa publication effective et approuvée par cette dernière comme un texte de géométrie légitime19 : c’est ce que confirmera sans ambiguïté l’examen critique de Dortous de Mairan [HARS [1741] 1744, 96–97], qui y reconnaît un texte de géométrie théorique et élémentaire, au sens qu’il introduit au petit nombre de principes et propositions géométriques qui fondent toute connaissance mathématique plus avancée.

• 20 Si la plupart des résultats géométriques renvoient à un contenu euclidien, l’introduction du Livre (...)
• 21 La théorie des proportions traitée au Livre V des Éléments d’Euclide, et dans une certaine mesure (...)
• 22 Le problème est introduit à l’article XXXVII du Livre I [Clairaut 1741, 39] et développé dans une (...)

11C’est ce qu’on voit aussi en examinant le contenu mathématique, par exemple les résultats et méthodes qui remplissent la table des matières sont pour la plupart conformes aux propositions géométriques habituelles, quoiqu’elles débordent par ailleurs largement les résultats de la géométrie euclidienne20. En outre le caractère très savant et informé des considérations et des approches adoptées par Clairaut dans son traité frappe en plus d’un endroit. Un des premiers exemples qu’on peut en donner est la préoccupation bien marquée de fonder correctement la théorie des grandeurs proportionnelles, dont la difficulté notoire était un problème classique de la rédaction de ce type de texte21. Cette préoccupation apparaît dès le premier livre, dans un problème d’apparence d’abord pratique, celui de reproduire à une certaine échelle un polygone donné. Mais le problème posé débouche sur un problème d’essence principalement théorique, celui de légitimer la possibilité même de reproduire à petite échelle des polygones semblables à des grands22. Ce problème du fondement de la théorie des proportions est repris au Livre II et Clairaut fait une rapide allusion à ces difficultés dès la préface, en signalant qu’il devrait faire l’objet d’un traité plus avancé, celui d’algèbre.

• 23 La théorie du calcul infinitésimal était d’introduction récente dans le monde savant, grâce notamm (...)

12De manière plus floue mais tout aussi sensible, on remarque des passages dont le caractère à la fois élégant et inventif, d’un point de vue mathématique, est très marqué. C’est le cas des chaînes de déduction attachées aux propriétés du segment de cercle qui constituent toute la fin du Livre III et qui conduisent Clairaut à évoquer dans l’introduction du livre suivant, les déductions bien plus avancées qu’on pourrait faire en suivant le même chemin. À titre d’exemple remarquable, on peut citer l’allusion glissée au moment de l’introduction de la tangente, à la « géométrie de l’infini », par quoi l’on désignait les théories plus avancées du calcul infinitésimal permettant d’aborder les problèmes de tangentes d’une part, de quadrature de l’autre23. Ayant introduit l’idée que les angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc sont égaux et se conservent quand le sommet « tend » à l’une des extrémités de l’arc (de sorte qu’un des côtés de l’angle se confond avec la tangente), il conclut :

• 24 Il s’agit de Privat de Molière et de l’abbé La Caille, qui étaient tous deux enseignants contraire (...)

16Tout d’abord et sans paradoxe, le fait même de suivre une « voie originale » d’exposition de la géométrie élémentaire n’est pas vraiment original dans les termes de l’époque. C’est ce dont témoigne le rapport que fait Dortous de Mairan, le secrétaire de l’Académie des sciences, des trois ouvrages de géométrie élémentaire publiés la même année par des académiciens24. Il introduit l’examen critique des trois ouvrages par une discussion où il caractérise l’usure relative de la référence à Euclide, devenue progressivement inutile par l’extension du champ de la géométrie, et conclut que :

• 25 Sauveur (1653-1716) était précepteur des Enfants de France.

18De Mairan tient donc pour évident et banal qu’on suive des « nouvelles routes » d’exposition de la géométrie, qui ne suivent plus l’ordre euclidien mais répondent à d’autres besoins très divers. D’Alembert et La Chapelle, une quinzaine d’années plus tard, feront les mêmes constats dans leurs articles « Élémens des sciences » et surtout « Géométrie » de l’Encyclopédie : il est devenu impossible de caractériser de manière unique les « géométries élémentaires » tant elles répondent à des besoins et des lectorats différents. Un autre encyclopédiste, Guillaume Le Blond, fera des constats voisins dans l’intéressante introduction qu’il fait à sa réédition de la « géométrie élémentaire et pratique » de Joseph Sauveur25. Le Blond constate dans son avertissement que ces textes étaient considérés comme très clairs et accessibles et qu’ils ont eu un tel succès qu’une impression en était presque superflue :

• 26 On peut par exemple consulter l’avertissement de L’Arithmétique et la Géométrie de l’officier publ (...)
• 27 Plus généralement, l’enseignement précoce des sciences et des mathématiques reste au début du dix- (...)

21De même, que l’ouvrage de Clairaut se veuille accessible aux « commençants » renvoie à une expression courante dans les ouvrages de l’époque, qui ne réfère pas nécessairement à des jeunes écoliers mais aussi (et peut-être surtout) au genre de praticiens auquel Le Blond lui-même s’adressait26. Si on tient pour plausible que Clairaut se soit inspiré des cours donnés à Émilie du Châtelet pour construire son ouvrage [Zinsser & Courcelle 2003, 107–111], il s’agit là d’un type d’auditoire très semblable, se rapprochant du préceptorat à des « gens de condition », même si les relations entre Clairaut et du Châtelet n’avaient probablement pas la formalité d’un service rémunéré et que les buts poursuivis par la marquise touchaient évidemment à des fins théoriques, liées à sa traduction des Principia27.

• 28 Comme Irène Passeron le signale ironiquement, il est donc loin d’être clair qu’Euclide, comme le v (...)

25Concernant la référence faite à Euclide par Clairaut ou par ses contemporains, elle est loin d’être transparente et ne va pas très au-delà des lieux communs qu’on a relevés plus haut. Irène Passeron, qui a proposé dans sa thèse un examen critique de la bibliothèque de Clairaut, montre qu’il n’était pas, contrairement à de Mairan, un grand lecteur des Anciens [Passeron 1994, 51–52]. Si les œuvres de géométrique pratique comme celle de Marolois ou de Stévin sont bien représentées dans sa bibliothèque, ce sont les seuls auteurs un peu anciens qui y figurent, les lectures de Clairaut étant plutôt orientées vers les textes modernes, qu’il s’agisse de lettres ou de sciences, et les auteurs classiques n’y figurent pas28.

• 29 Voir à ce sujet les rappels de Maurice Caveing dans sa recension synthétique des éditions et tradu (...)
• 30 Clairaut écrit que « quelques auteurs ont imaginé mettre à la suite de chaque proposition essentie (...)
• 31 Dans la liste d’Éléments de géométrie mis sous le nom d’Euclide dans la liste de La Chapelle qui e (...)

26Par ailleurs et bien plus fondamentalement, ce qu’on appelle un « Euclide » renvoie au dix-huitième siècle à un nombre important d’éditions différentes, qui sont pour l’essentiel des Euclide redigérés, commentés et expliqués29. Autrement dit, il ne s’agit jamais du texte d’Euclide, mais de l’Euclide « de quelqu’un », qu’il s’agisse de Dechalle, Ozanam ou Tacquet. Certains sont mêlés à des exemples « d’usages » comme c’est le cas du Dechalle commenté par Ozanam, qui fait autorité au début du dix-huitième siècle, et auquel Clairaut fait probablement allusion dans sa préface30. Des éditions critiques nouvelles du texte d’Euclide existent bien au début du dix-huitième siècle, notamment celle de Barrow qui inclut nouvellement le traité des Phénomènes d’Euclide, mais ces textes ne font pas référence comme pour nous le texte d’Heiberg et ses traductions, du moins dans le contexte français31. Cela veut dire aussi que les textes d’Euclide qu’on peut lire alors, sont assortis d’introductions, de commentaires et d’additions diverses qui en font la valeur aux yeux des contemporains, comme l’édition que fait William Whiston à Cambridge de la géométrie de Tacquet en 1703 et à laquelle Chambers puis La Chapelle réfèrent. Derrière la façon « cinématique » dont Clairaut introduit par exemple le théorème concernant la somme des angles intérieurs d’un triangle [Clairaut 1741, 62 sq.], on reconnaît un commentaire célèbre datant de l’Antiquité (Proclus) et qui se retrouve couramment repris dans les éditions d’Euclide.

• 32 C’est le cas, par exemple, de l’introduction de la géométrie pratique incluse dans le cours mathém (...)

28C’est précisément le modèle de rédaction par problèmes caractérisant cette littérature de Géométries pratiques qui se rapproche le plus du choix stylistique de Clairaut, au sens qu’on peut donner à cette expression au regard de son succès au début de l’époque moderne : elle renvoie (généralement sous ce titre) à un genre dont on peut délimiter les caractéristiques et contenus principaux [Raynaud 2015, Introduction]. Un des traits les plus remarquables de ces traités, la division entre longimétrie, planimétrie et stéréométrie structure manifestement le traité de Clairaut. On y retrouve aussi d’autres éléments classiques du genre : la centralité des problèmes de mesure (de distances ou de surfaces inaccessibles), ou encore la discussion de l’usage d’instruments comme ceux qui servent à la mesure ou au report des angles. Ce choix est d’autant plus plausible qu’il est bien mieux attesté dans la bibliothèque de Clairaut, qui possède les œuvres de Stevin ou de Marolois, que tout autre ouvrage classique. Il est certain par ailleurs que Clairaut a étudié sur les géométries pratiques dans le genre des beaux textes du graveur Sébastien Leclerc, dont D’Alembert recommande encore la lecture dans son article « Géodésie » [Mathis 2017], [Darley 2019a]. Dans cette tradition de traités de « géométrie pratique », dont le traité éponyme d’Ozanam donne un exemple célèbre [Ozanam 1684], l’écriture par problèmes est la norme – même si bien des traités de ce genre s’ouvrent par une liste de définitions et « termes de l’art » ou comprennent des théorèmes. De plus, elles sont assez couramment introduites par le genre d’historique de la discipline que propose Clairaut32.

• 33 Dans sa proposition synthétique de classification des ouvrages du genre « géométrie pratique », D. (...)

29L’idée même d’introduire les connaissances géométriques « spéculatives », donc relevant de droit d’une géométrie euclidienne, par une pratique appelant une justification est au cœur de certains projets comme la Géométrie et pratique d’icelle de Errard de Bar-le-Duc dès le seizième siècle. Celui-ci n’introduit en effet un instrument, dans son traité, que pour « toucher à l’œil, et voir les raisons sur lesquelles les démonstrations suivantes sont fondées » [Errard 1594]33. Sur ce point, c’est-à-dire au niveau de l’objectif recherché, celui de Clairaut n’est donc que modérément original. Ce qui l’est bien davantage est de confondre entièrement cette perspective avec celle « d’éléments », les deux visées restant pour les auteurs comme Errard ou plus tard Ozanam, strictement distinctes même si l’une (l’exposition d’éléments théoriques) est considérée comme complémentaire de l’autre (la partie pratique ou applicative) : nous proposerons plus loin de retenir cet aspect comme une des innovations de Clairaut (partie 8).

• 34 On en trouve un autre exemple dans les Éléments de géométrie de Pierre Varignon, dont la facture e (...)

31Et de fait, les notions de « problème » et « théorème » ne sont introduites chez lui que très tardivement, au dernier livre [Pardies 1671, 96 sq.] qui est une sorte de géométrie pratique abrégée, écrite par problèmes34. Tout le reste est rédigé, comme chez Clairaut, par des livres structurés en articles et assortis ici ou là de commentaires métadiscursifs insérés en italiques.

• 35 Cette diffusion des notations et concepts introduits par Fontenelle, même si elle n’a pas eu le su (...)

33On peut enfin citer les Éléments de géométrie de l’infini que Fontenelle publie en 1727. Si le texte n’est absolument pas destiné à des commençants, il débute cependant par une sorte d’introduction historique sur le caractère très ancien de la considération de l’infini, puis par une suite d’articles qui s’enchaînent logiquement les uns aux autres et visent à éclairer le lecteur sur les fondements du calcul infinitésimal. Le tout ressemble plus à une discussion philosophique continue, dont le principe est posé dans l’introduction, comme chez Clairaut, qu’à la présentation « d’éléments de mathématiques » classiques. Que Clairaut fils (ou père) aient pu s’inspirer de Fontenelle est par ailleurs entièrement plausible tant sa réputation de styliste était grande au début du dix-huitième siècle. Si certains mathématiciens parmi les contemporains de Fontenelle n’avaient accordé que peu d’importance à un texte qui ressortait pour eux d’une approche philosophique par ailleurs discutable, d’autres ont vite adopté ses notations. Ainsi le « calcul sur des infinis » et ses notations particulières introduits par Fontenelle sont visiblement employés par La Caille dans son arithmétique qui introduit à la géométrie publiée la même année que Clairaut [La Caille 1741, 118–121], et on sait par ailleurs que les deux hommes étaient proches. On a vu plus haut, de surcroît, que Clairaut fait une allusion claire à la « géométrie de l’infini » dont Fontenelle était un des propagandistes notoires35.

• 36 Chez Ozanam ce traité porte simplement le titre de « Traité de Géométrie » mais l’introduction exp (...)
• 37 Pour faire bonne mesure, il faut mentionner le fait, relevé par Lubet ou Sander, que les commentat (...)

36Il faut en tout premier lieu remarquer le fait spectaculaire de confondre entièrement la perspective d’une géométrie pratique orientée vers les problèmes de mesure et celle d’une géométrique spéculative organisée déductivement. Si, comme on l’a vu, c’était déjà l’usage de les associer étroitement en insérant des « commentaires pratiques » même dans les ouvrages théoriques, en vue d’en souligner l’utilité profonde, à l’exemple des cours de mathématiques tel que celui d’Ozanam [Ozanam 1693], il n’était pas habituel de les confondre. Pour Ozanam par exemple, la distinction persiste nettement et est réaffirmée en introduction à sa géométrie pratique au début du tome III de son Cours mathématique36. Chez Clairaut, cette association est renforcée par le fait que les problèmes pratiques ne sont suivis généralement d’aucune application numérique concrète qui les rendrait applicables. Autrement dit, il y a chez lui une subversion apparente de la distinction traditionnelle entre géométrie spéculative et pratique : c’est une sorte de géométrie spéculative qui emprunte les formes d’une géométrie pratique37.

• 38 Sur les particularités de cette société et de ses idéaux directeurs, on renvoie ici à la belle étu (...)

37L’association des deux est par ailleurs justifiée avec brio dans la préface. Cet argument, qui ne sépare pas les deux aspects, rappelle très profondément les buts pour ainsi dire idéologiques et théoriques de la fameuse Société des Arts parisienne dont Clairaut père était un des co-fondateurs38. Il est donc possible que l’idée d’une géométrie élémentaire d’un nouveau genre, alliant étroitement pratique et théorie, ait été un produit de la famille Clairaut plutôt que du seul Alexis, et qu’il faille alors voir le traité comme un hommage à l’esprit qui dominait cette Société.

• 40 S’il s’était donc manifestement promis d’introduire un traitement général des proportions dans son (...)

39De plus, le fait de suivre un chemin d’invention en géométrie, sans algèbre préalable, n’était pas coutumier chez les auteurs qui faisaient volontiers précéder leur géométrie d’un traité d’arithmétique et d’algèbre, en vue notamment de faciliter l’exposé de la théorie des proportions. Cela se voit par exemple chez Polinière ou même chez La Chapelle, qui fait précéder ses Institutions de géométrie de trois cents pages qui sont un abrégé d’arithmétique puis d’algèbre. Cette idée n’était du reste pas tout à fait hors de l’esprit de Clairaut manifestement, puisqu’il fait allusion à l’idée que la théorie des proportions se trouvera mieux fondée dans son futur traité d’algèbre, que dans celui de géométrie [Clairaut 1741, préface, xii]40. Mais il s’est globalement tenu à une géométrie qui, comme le recommandera plus tard D’Alembert, se dispense d’un recours à l’algèbre et à ses notations.

• 41 D’Alembert, à l’article « Géométrie » et rappelant ce qu’il en a dit dans l’article « Eléments des (...)

40Enfin, il faut bien sûr compter au rang des originalités de l’ouvrage, l’élément central de brio stylistique, littéraire et mathématique, qui par nature est plus difficile à caractériser, encore que ce point mériterait un examen plus attentif, comme nous l’avons suggéré plus haut au sujet de l’influence possible d’Ozanam ou de Fontenelle. Cet aspect relève aussi du talent particulier de l’auteur, que les contemporains lui reconnaissaient déjà comme on l’a vu (partie 2) et qui rend jusqu’à aujourd’hui la lecture des Éléments de géométrie aussi captivante. Clairaut est probablement un auteur idéal « d’éléments des sciences » comme D’Alembert le rêvait, malgré toute l’inimitié qu’il avait pour l’astronome : un mathématicien de talent, connaissant sa matière et capable d’introduire simplement à des notions profondes41.

• 42 Si l’efficacité dans l’exposition est une des revendications de Clairaut, elle doit du reste être (...)
• 43 Ce point mériterait d’être approfondi au travers de la réception des traités de Clairaut, et parti (...)

41Cette esquisse de paysage éditorial permettant de situer le texte de Clairaut ne prétend pas être définitive ; pour cela il faudrait noter plus précisément les similitudes et écarts dans le style ou le contenu, des textes les plus voisins du traité de Clairaut, comme ceux d’Ozanam. Mais cela suffit pour nous faire une image plus plausible de sa réussite : ce n’était ni dans les contenus ni dans le style général, qui pouvaient chacun séparément rappeler des choses connues au contemporain, mais dans l’ordre et la finesse d’exposition et la réussite de la synthèse entre ces différentes influences. Si le traité garde la trace de ces différentes influences, le tressage en est particulièrement brillant, cohérent et efficace42. Il pousse à l’extrême, d’un côté, un mouvement de simplification et de densification du propos géométrique en réponse à une demande forte pour de tels textes, déjà bien engagé au tournant des dix-septième et dix-huitième siècles. Il tire profit de l’autre du mouvement d’idées qui avaient conduit des mathématiciens et des praticiens à se regrouper dans des associations comme la « Société des Arts ». Clairaut a ainsi réussi une synthèse à la fois originale mais en pleine correspondance avec l’esprit et les attentes du temps. Ce faisant, il a aussi contribué à brouiller les distinctions courantes entre la géométrique pratique, la géométrie spéculative et déductive, et la géométrie « pour l’invention » à la manière cartésienne43.